高考数学《平面向量的概念及线性运算》名师复习课导学练习案附答案解析

第1讲平面向量的概念及线性运算
1.考查平面向量的线性运算．2．考查平面向量的几何意义及其共线条件．
【复习指导】
本讲的复习，一是要重视基础知识，对平面向量的基本概念，加减运算等要熟练掌握，二是要掌握好向量的线性运算，搞清这些运算法则和实数的运算法则的区别．
1．向量的有关概念
(1)向量是如何定义的？
提示：□1____________________________________________
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是□2________的．
(3)单位向量：长度等于□3____________的向量．
(4)平行向量：方向□4__________的非零向量．
(5)相等向量：长度□5________且方向□6________的向量．
(6)相反向量：长度□7________且方向□8________的向量．
温馨提醒：零向量和单位向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性．
2．向量的加法与减法
(1)加法
①向量的加法服从哪两种运算法则？
提示：□9____________________________________________
②向量的加法满足哪两种运算律？
10____________________________________________ 提示：□
(2)减法：减法与加法互为逆运算，服从三角形法则．
温馨提醒：(1)利用三角形法则进行加法运算时，两向量要首尾相连，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点．
(2)利用三角形法则进行减法运算时，两个向量要有相同的起点，然后连接两向量的终点，并指向被减向量即为差向量．
3．实数与向量的积
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)当□11________时，λa与a的方向相同；当□12________时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
(3)运算律：设λ，μ∈R，则：
①λ(μa)＝□13________；
14________；
②(λ＋μ)a＝□
15________．
③λ(a＋b)＝□
4．两个向量共线定理
16向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得□________．
温馨提醒：向量的平行与直线的平行不同，向量的平行包括两向量所在直线平行和重合两种情形． 双基自测
1． D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于 ( )．
A ．－BC
→＋12BA → B ．－BC
→－12BA → C. BC
→－12
BA →
D. BC
→＋12
BA → 2．判断下列四个命题：
①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b|. 正确
的
个
数
是
( )．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( )． A.EF
→＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE →
4．(2011·四川)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝ ( )．
A ．0
B.BE
→ C.AD →
D.CF
→ 5．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________.
考向一 平面向量的概念
【例1】下列命题中正确的是( )． A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线
B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量
D ．有相同起点的两个非零向量不平行 【训练1】 给出下列命题：
①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB
→＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的
充要条件；
②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；
④若a 与b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中正确命题的序号是________．
考向二 平面向量的线性运算
【例2】如图，
D ，
E ，
F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )． A.AD
→＋BE →＋CF →＝0 B.BD
→－CF →＋DF →＝0 C.AD
→＋CE →－CF →＝0 D.BD
→－BE →－FC →＝0 【训练2】 在△ABC 中，AB
→＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝
( )．
A.23b ＋13c
B.53c －23b
C.23b －13c
D.13b ＋23c
考向三 共线向量定理及其应用
【例3】►设两个非零向量与不共线．
(1)若AB →＝＋，BC →＝2＋8，CD →＝3(－)． 求证：A ，B ，D 三点共线；
(2)试确定实数k ，使k ＋和＋k 共线．
【训练3】已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么
A ，
B ，
C 三点共线的充要条件是( )． A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1
D ．λμ＝1
第1讲 平面向量的概念及线性运算
(时间：60分钟) A 级 基础达标演练
一、选择题
1．如图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )．
A 、A
B →＝D
C → B 、.A
D →＋AB →＝AC → C 、AB →－A D →＝BD → D 、AD →＋CB →＝0 2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )． A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB
→＋PC →＝0
D.P A →＋PB
→＋PC →＝0 4．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13
CA →＋λCB →，则λ
＝( )． A.2
3
B.1
3
C ．－1
3
D ．－23
二、填空题
5．在▱ABCD 中，AB
→＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则
MN
→＝________.(用a ，b 表示) 6．给出下列命题：
①向量AB
→的长度与向量BA →的长度相等；
②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量AB
→与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上．
其中不正确的个数为________．
7．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，
其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________. 三、解答题
8．如图所示，△ABC 中，AD
→＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，AM 是BC 边上的中线，交DE 于N .设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 分别表示向量AE →，BC →，DE
→，DN →，AM →，
AN →.
B 级 综合创新备选
一、选择题
1．(2010·湖北)已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得
AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )． A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．O 是△ABC 所在平面内的一定点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|A C →|，λ∈[0，＋∞)，则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )． A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 二、填空题
3．在△ABC 所在的平面上有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，
则△PBC 与△ABC 的面积之比是________．
4．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________． 三、解答题
5．如图，以向量OA
→＝a ，OB →＝b 为边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13
CD →，用a ，
b 表示OM →，ON →，MN →.
6．已知O ，A ，B 三点不共线，且OP →＝mOA →＋nOB →，(m ，n ∈R )．
(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.
第1讲 平面向量的概念及线性运算答案
【要点梳理】
□
1既有大小又有方向的量 □2任意 □31个单位长度 □4相同或相反 □5相等 □6相同 □
7相等 □8相反 □9服从三角形法则和平行四边形法则 □
10a ＋b ＝b ＋a (交换律)；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )(结合律) □11λ＞0 □12λ＜0 □
13(λμ)a □14λa ＋μ a □15λa ＋λb □16b ＝λa 双基自测 1、A 2、A 3、B 4、D 5、－12
【例1】解析 由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B 不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D 不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假设a 与b 不都是非零向量，即a 与b 中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a 与b 共线，符合已知条件，所以有向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量，故选C. 答案 C
【训练1】答案 ①②
【例2】解析 ∵AB →＋BC →＋CA →＝0，∴2AD →＋2BE →＋2CF →＝0， 即AD →＋BE →＋CF →＝0. 答案 A
【训练2】解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，
∴3AD
→＝2AC →＋AB → ∴AD
→＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 答案 A
【例3】(1)证明 ∵AB
→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．
∴BD
→＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB
→，BD →共线，又它们有公共点，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .
又a ，b 是两不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.
【训练3】解析 由AB →＝λa ＋b ，AC →
＝a ＋μb (λ，μ∈R )及A ，B ，C 三点共线得：AB →＝t AC →
，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1.故选
D.
A 级 基础达标演练
一、选择题1、C 2、A 3、B 4、A
二、填空题5、 －14a ＋14
b 6、3 7 、 4
3
三、解答题
8、解 AE →＝23b ，BC →＝b －a ，DE →＝23(b －a )，DN →
＝13(b －a )， AM
→＝12(a ＋b )，AN →＝13(a ＋b )．
B
级一、选择题 1.B2.B 解析 OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭
⎪
⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，化为OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|A B →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A B →|A B →|＋AC →|AC →|.由于AB →|AB →|是AB →上的单位向量i ，A C →|AC →
|是AC →上的单位向量j ，所以AB →|AB →|＋AC →
|AC →|＝i ＋j ，由加法几何意义知，AP
→在∠BAC 的平分线
上，选B.
二、填空题 3.
23
4. 解析 (等价转化法)OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC
→－OA →＝AB →＋AC →， OB
→－OC →＝CB →＝AB →－AC →， ∴|AB
→＋AC →|＝|AB →－AC →|. 故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形．
答案 直角三角形 三、解答题
5解 ∵BA
→＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，
∴OM
→＝OB →＋BM →＝16a ＋56
b .又OD →＝a ＋b .
∴ON
→＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(a ＋b )．
∴MN
→＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .
即OM
→＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .
6. 证明 (1)m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1， ∴OP
→＝mOA →＋nOB →＝mOA →＋(1－m )OB →，
即OP
→－OB →＝m (OA →－OB →)． ∴BP
→＝mBA →，而BA →≠0，且m ∈R . 故BP
→与BA →共线，又BP →，BA →有公共点B . ∴A ，P ，B 三点共线．
(2)若A ，P ，B 三点共线，则BP →与BA →共线，故存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－
OB
→＝λ(OA →－OB →)． 即OP
→＝λOA →＋(1－λ)OB →. 由OP
→＝mOA →＋nOB →. 故mOA
→＋nOB →＝λOA →＋(1－λ)OB →. 又O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →
不共线． 由平面向量基本定理得⎩⎨⎧
m ＝λ，
n ＝1－λ.
∴m ＋n ＝1.。