2020_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.2立体图形的直观图素养课件新人教A版必修第

【类题通法】 1.直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段,且平行 于x′轴的线段还原时长度不变,平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相 应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.
2.直观图与原图形面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S′,则有S′= 2 S或S=
关键能力探究
探究点一 画平面图形的直观图 【典例1】用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图.
【思维导引】(1)建立平面直角坐标系. (2)确定不在坐标轴上的点. (3)建立坐标系xOy后,B,E两点不在坐标轴上或平行于坐标轴的直线上,故需作 BG⊥x轴于G,EH⊥x轴于H.
【类题通法】 直观图中应遵循的基本原则 (1)一斜:原图中坐标轴的夹角∠xOy=90°,直观图中坐标轴的夹角为 ∠x′O′y′=45°(或135°). (2)二测:平行于x轴的线段在直观图中长度保持不变,平行于y轴的线段长度变 为原来的 1 .
【定向训练】 一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的 上底面重合,圆柱的底面直径为3 cm,高为4 cm,圆锥的高为3 cm,画出此几何 体的直观图.
探究点三 直观图的还原与计算 【典例3】(1)如图所示,ABCD是一个平面图形的斜二测直观图,则该平面图形 是 ()
(3)在几何体中,平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成_平__行__于 x′轴、y′轴或z′轴的线段,并使它们和所画坐标轴的位置关系,与已知图形 中相应线段和原坐标轴的位置关系相同. (4)在几何体中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度_不__变__,平行于y轴 的线段,长度为原来的_一__半__. (5)擦除作为辅助线的坐标轴,就得到了空间几何体的直观图.
A.正三角形 C.钝角三角形
B.锐角三角形 D.直角三角形
课堂素养达标
1.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上,则圆柱的高应画 成 () A.平行于z轴且大小为10 cm B.平行于z轴且大小为5 cm C.与z轴成45°且大小为10 cm D.与z轴成45°且大小为5 cm 【解析】选A.平行于z轴(或在z轴上)的线段,在直观图中的方向和长度都与原 来保持一致.
2.如图所示的直观图△A′O′B′,其平面图形的面积为________.
【解析】由直观图可知其对应的平面图形△AOB中,∠AOB=90°,OB=3,OA=4,
所以S△AOB=
1 OA·OB=6.
2
答案:6
【补偿训练】 如图,某直观图中,A′C′∥y′轴,B′C′∥x′轴,则该直观图所表示的平面 图形是 ( )
探究点二 空间图形直观图的画法 【典例2】用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF的直观图,其中底面ABCDEF是正 六边形,点P在底面的投影是正六边形的中心O(尺寸自定). 【思维导引】先画出正六边形的直观图,再画出的画法规则 (1)画轴:通常以高所在直线为z轴建系. (2)画底面:根据平面图形的直观图画法确定底面. (3)确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点. (4)连线成图.
【知识生成】 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)在已知图形中取互相_垂__直__的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们 画成对应的x′轴与y′轴,两轴交于点O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°), 它们确定的平面表示水平面.
(2)在已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成_平__行__于x′轴 或y′轴的线段. (3)在已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度_不__变__,平行于y轴 的线段,长度变为原来的_一__半__.
2.观察正四棱锥P-ABCD及其直观图,回答下面的问题:
(1)在画上述正四棱锥的直观图时,与z轴重合或平行的线段在直观图中有何变 化? 提示:与z轴重合或平行的线段在直观图中与z′轴重合或平行且长度不变. (2)空间几何体的直观图一定唯一吗?为什么? 提示:不一定,作直观图时,由于观察的角度不同及建系方法差异,所画直观图不 一定相同.
8.2 立体图形的直观图
必备知识生成
【情境探究】 1.观察下面的图形,回答有关问题:
(1)从图1到图2,图形中的角发生了怎样的变化? 提示:由直角变成锐角或钝角.
(2)从图1到图2,从图形中的位置关系和数量关系上观察你能发现什么? 提示:从位置关系看:图1中平行的直线,在图2中保持平行. 从数量关系看:与y轴重合或平行的线段数量关系减半;与x轴重合或平行的线段 数量关系不变.
2
【定向训练】 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中的线段说法错误的 是 () A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直 C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点 【解析】选B.由斜二测画法规则知,B选项错误.
2.用斜二测画法画出图中水平放置的△OAB的直观图.
【补偿训练】 如图所示,画出水平放置的四边形OBCD的直观图.
2.画空间几何体的直观图的步骤 (1)在几何体中取水平平面,作互相垂直的轴Ox,Oy,再作Oz轴,使∠xOy=90°, ∠xOz=90°. (2)画出与Ox,Oy,Oz对应的轴O′x′,O′y′,O′z′,使∠x′O′y′=45°(或 135°),∠x′O′z′=90°,x′O′y′所确定的平面表示水平平面.
A . 2 2 B . 1 2 C .2 2 D . 1 2
2
2
4.在已知图形中平行于x轴的线段AB=6 cm,则在直观图中线段A′B′= ________cm;在已知图形中平行于y轴的线段CD=4 cm,则在直观图中线段 C′D′=________cm.
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4
2 2 S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原
图形面积.
【定向训练】
1.已知梯形ABCD是直角梯形,按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′
(如图所示),其中A′D′=2,B′C′=4,A′B′=1,则直角梯形DC边的长度
是
()
A .5 B . 2 2 C . 2 5 D .3
A.平行四边形 C.直角梯形
B.矩形 D.等腰梯形
(2)如图,△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图,则△OAB的面积是( )
A.6
B.3 2
C.6 2
D.12
【思维导引】(1)利用直观图与原图形的位置关系判断. (2)利用直观图与原图形的长度关系求原图形的面积. 【解析】(1)选C.斜二测直观图形中,BC∥AD,且平行于x′轴,AB平行于y′轴, 所以平面图形中,BC∥AD,且平行于x轴,AB平行于y轴,故四边形为直角梯形. (2)选D.由斜二测画法的规则可得△OAB为直角三角形,且∠AOB=90°, OA=6,OB=4,所以△OAB的面积为S△OA12 B= ×4×6=12.
2.如图所示是水平放置的三角形的直观图,A′B′∥y′轴,则原图中△ABC 是 ()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.任意三角形
【解析】选B.因为A′B′∥y′轴,所以由斜二测画法可知在原图形中BA⊥AC,
故△ABC是直角三角形.
3.一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的 等腰梯形,那么原平面图形的面积是 ( )