越秀区华侨中学高三(上)摸底数.docx

2016-2017学年广东省广州市越秀区华侨中学高三（上）摸底数
学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U=R，若集合A={x|3x＞1}，B={x|log3x＞0}，A∩∁U B=（）
A．{x|x＜0} B．{x|x＞1} C．{x|0≤x＜1}D．{x|0＜x≤1}
2．已知复数z=﹣2i（其中i为虚数单位），则|z|=（）
A．3 B．3C．2D．2
3．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（3，1），=（2，
﹣2），则（）
A．2 B．﹣2 C．﹣10 D．10
4．己知命题P：∀x∈（2，3），x2+5＞ax是假命题，则实数a的取值范围是（）
A．[，+∞） B．[，+∞）C．[，+∞）D．（﹣∞，]
5．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为（）
A．B．C．D．
6．过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B 两点，则|AB|=（）
A．B．2C．6 D．4
7．已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图，则（）
A．函数f（x）有1个极大值点，1个极小值点
B．函数f（x）有2个极大值点，2个极小值点
C．函数f（x）有3个极大值点，1个极小值点
D．函数f（x）有1个极大值点，3个极小值点
8．函数y=x2+bx+c当x∈（﹣∞，1）时是单调函数，则b的取值范围（）
A．b≥﹣2 B．b≤﹣2 C．b＞﹣2 D．b＜﹣2
9．已知a=，b=，c=，则（）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
10．函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）
A．a•b=0 B．a+b=0 C．a=b=0 D．a=b
11．设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x ﹣1，则有（）
A．f（）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（）
D．f（）＜f（）＜f（）
12．已知函数f（x）=x4﹣2x3+3m，x∈R，若f（x）+9≥0恒成立，则实数m的取值范围
是（）
A．m≥B．m＞C．m≤D．m＜
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知命题p：∃x∈R，x2+2x=3，则￢p是．
14．设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B=．
15．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3）•f （x）=﹣1，f（﹣1）=2，则f为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ＜）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）已知△ABC的内角分别是A，B，C，角A为锐角，且f（﹣）=，cosB=，求sinC的值．
18．为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的1500名志愿者进行互联网知识测试，从这1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取15人，所得成绩如下：57，63，65，68，72，77，78，78，79，80，83，85，88，90，95．
（Ⅰ）作出抽取的15人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这1500志愿者中成绩不低于90分的人数；
（Ⅱ）从抽取的成绩不低于80分的志愿者中，随机选3名参加某项活动，求选取的3人中恰有一人成绩不低于90分的概率．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．
（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；
（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；
（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上点到两焦点的距离和为，短轴长为，直线
l与椭圆C交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C方程；
（Ⅱ）若直线MN与圆O：x2+y2=相切，证明：∠MON为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求|OM|•|ON|的取值范围．
21．已知函数f（x）=ax2﹣lnx﹣2，a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，并与AB相交于点E，点F为弦CD上异于点E的任意一点，连接BF、AF并延长交⊙O于点M、N．
（1）求证：B、E、F、N四点共圆；
（2）求证：AC2+BF•BM=AB2．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．
（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；
（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设f（x）=|ax﹣1|．
（Ⅰ）若f（x）≤2的解集为[﹣6，2]，求实数a的值；
（Ⅱ）当a=2时，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤7﹣3m成立，求实数m的取值范围．
2016-2017学年广东省广州市越秀区华侨中学高三（上）
摸底数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U=R，若集合A={x|3x＞1}，B={x|log3x＞0}，A∩∁U B=（）
A．{x|x＜0} B．{x|x＞1} C．{x|0≤x＜1}D．{x|0＜x≤1}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】求出集合A，B中的不等式的解集，确定出集合A，B，根据全集U=R，找出集合B的补集，然后找出集合B补集与集合A的公共元素，即可求出所求的集合
【解答】解：集合A={x|3x＞1}={x|x＞0}，B={x|log3x＞0}={x|x＞1}，
则∁U B={x|x≤1}，
则A∩∁U B={x|0＜x≤1}，
故选：D．
2．已知复数z=﹣2i（其中i为虚数单位），则|z|=（）
A．3B．3C．2D．2
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】根据复数的运算法则和复数的模计算即可．
【解答】解：z=﹣2i=﹣2i=3﹣i﹣2i=3﹣3i，
则|z|=3，
故选：B．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（3，1），=（2，
﹣2），则（）
A．2 B．﹣2 C．﹣10 D．10
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】求出的坐标，再计算数量积．
【解答】解：=（5，﹣1），=（﹣1，﹣3）．
∴=5×（﹣1）+（﹣1）×（﹣3）=﹣2．
故选B．
4．己知命题P：∀x∈（2，3），x2+5＞ax是假命题，则实数a的取值范围是（）
A．[，+∞） B．[，+∞）C．[，+∞）D．（﹣∞，]
【考点】全称命题．
【分析】利用参数分离法和函数的单调性，求出命题P为真命题时的等价条件，由全称命题与其否定真假之间的关系，求出实数a的取值范围．
【解答】解：若“∀x∈（2，3），x2+5＞ax恒成立，则a＜（x+）min，x∈（2，3）．
∵f（x）=x+在（2，）上是减函数，（，3）上为增函数，
∴函数f（x）的最小值是f（）=2，
则a＜2，
∵命题P：∀x∈（2，3），x2+5＞ax是假命题，
∴a≥2，实数a的取值范围是[2，+∞），
故选：A．
5．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】根据题意得出基本事件为（x，y），总共有6×6=36，列举两次朝上的点数之积为奇数事件求解个数，运用古典概率公式求解即可．
【解答】解：骰子的点数为：1，2，3，4，5，6，
先后抛掷两颗质地均匀的骰子，基本事件为（x，y），
总共有6×6=36，
两次朝上的点数之积为奇数事件为：A
有（1，1），（1，3），（1，5），
（3，1），（3，3），（3，5），
（5，1），（5，3），（5，5），
共有9个结果，
∴两次朝上的点数之积为奇数的概率为P（A）==
故选：C
6．过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B 两点，则|AB|=（）
A．B．2C．6 D．4
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．
【解答】解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，
过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，
可得y A=2，y B=﹣2，
∴|AB|=4．
故选：D．
7．已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图，则（）
A．函数f（x）有1个极大值点，1个极小值点
B．函数f（x）有2个极大值点，2个极小值点
C．函数f（x）有3个极大值点，1个极小值点
D．函数f（x）有1个极大值点，3个极小值点
【考点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值．
【分析】先观察导函数的图象，找到等于0的点，再观察正负变化情况即可．
【解答】解：根据导函数的图象知，在x2处导函数由大于0变为小于0，此时原函数有极大值，
在x3处导函数由小于0变为大于0，此时原函数有极小值，
在x1、x4处导函数没有正负变化无极值点．
故选A．
8．函数y=x2+bx+c当x∈（﹣∞，1）时是单调函数，则b的取值范围（）
A．b≥﹣2 B．b≤﹣2 C．b＞﹣2 D．b＜﹣2
【考点】函数单调性的性质．
【分析】二次函数图象是抛物线，开口向上，对称轴是x=﹣，又y=x2+bx+c（x∈（﹣∞，1））是单调函数，故1应在对称轴的左边．
【解答】解：∵函数y=x2+bx+c的对称轴是x=﹣，
∵函数y=x2+bx+c（x∈（﹣∞，1））是单调函数，
又函数图象开口向上
∴函数y=x2+bx+c（x∈（﹣∞，1））是单调减函数
∴1≤﹣，
∴b≤﹣2，
∴b的取值范围是b≤﹣2．
故选B．
9．已知a=，b=，c=，则（）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【考点】对数函数图象与性质的综合应用；指数函数的单调性与特殊点；幂函数的实际应用．
【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，
进而得到答案．
【解答】解：∵a==，
b=，
c==，
综上可得：b＜a＜c，
故选A
10．函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）
A．a•b=0 B．a+b=0 C．a=b=0 D．a=b
【考点】函数奇偶性的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】若f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，根据恒等式成立的条件即可求得a、b的值．
【解答】解：若f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即﹣x|x﹣a|+b=﹣x|x+a|﹣b恒成立，
亦即x（|x﹣a|﹣|x+a|）=2b恒成立，
要使上式恒成立，只需|x﹣a|﹣|x+a|=2b=0，即a=b=0，
故函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是a=b=0，
故选C．
11．设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x ﹣1，则有（）
A．f（）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（）
D．f（）＜f（）＜f（）
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．
【分析】由题意可得，离直线x=1越近的点，函数值越小，由此判断答案．
【解答】解：由题意可得，函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，
再根据函数的图象关于直线x=1对称，可得函数在（﹣∞，1]上是减函数．
故离直线x=1越近的点，函数值越小．|﹣1|=，|﹣1|=，|﹣1|=，
∴f（）＜f（）＜f（），
故选：B
12．已知函数f（x）=x4﹣2x3+3m，x∈R，若f（x）+9≥0恒成立，则实数m的取值范围
是（）
A ．m ≥
B ．m ＞
C ．m ≤
D ．m ＜
【考点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】要找m 的取值使f （x ）+9≥0恒成立，思路是求出f ′（x ）并令其等于零找出函数的驻点，得到函数f （x ）的最小值，使最小值大于等于﹣9即可求出m 的取值范围．
【解答】解：因为函数f （x ）=x 4﹣2x 3+3m ，所以f ′（x ）=2x 3﹣6x 2．
令f ′（x ）=0得x=0或x=3，经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f
（3）=3m ﹣．
不等式f （x ）+9≥0恒成立，即f （x ）≥﹣9恒成立，
所以3m ﹣≥﹣9，解得m ≥．
故答案选A ．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x=3，则￢p 是 ∀x ∈R ，x 2+2x ≠3 ．
【考点】命题的否定．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
【解答】解：∵命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x=3是特称命题，
∴根据特称命题的否定是全称命题，得¬p ：∀x ∈R ，x 2+2x ≠3．
故答案为：∀x ∈R ，x 2+2x ≠3．
14．设集合A={x |﹣4＜x ＜3}，B={x |x ≤2}，则A ∩B= {x |﹣4＜x ≤2} ．
【考点】交集及其运算．
【分析】根据集合的基本运算，即可得到结论
【解答】解：集合A={x |﹣4＜x ＜3}，B={x |x ≤2}，则A ∩B={x |﹣4＜x ≤2}，
故答案为：{x |﹣4＜x ≤2}．
15．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x +3）•f （x ）=﹣1，f （﹣1）=2，则f 满足f （x +3）•f （x ）=﹣1，
∴f （x +6）•f （x +3）=﹣1，
∴f （x +6）=f （x ），
∴函数f （x ）的周期为6，
∵f （﹣1）=2，
∴f=f （1）=﹣f （﹣1）=﹣2．
故答案为：﹣2．
16．已知f （x ）为偶函数，当x ≤0时，f （x ）=e ﹣x ﹣1﹣x ，则曲线y=f （x ）在点（1，2）处的切线方程是 y=2x ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】由已知函数的奇偶性结合x ≤0时的解析式求出x ＞0时的解析式，求出导函数，得到f ′（1），然后代入直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：已知f （x ）为偶函数，当x ≤0时，f （x ）=e ﹣x ﹣1﹣x ，
设x＞0，则﹣x＜0，
∴f（x）=f（﹣x）=e x﹣1+x，
则f′（x）=e x﹣1+1，
f′（1）=e0+1=2．
∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2=2（x﹣1）．
即y=2x．
故答案为：y=2x．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ＜）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）已知△ABC的内角分别是A，B，C，角A为锐角，且f（﹣）=，cosB=，
求sinC的值．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（Ⅰ）由函数图象得到半周期，进一步求得周期，再利用周期公式求ω的值，再由
f（）=1结合φ的范围求得φ值，则函数解析式可求，再由函数图象得到函数的减区
间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的解析式结合f（﹣）=求得A，由cosB=求得sinB，
利用sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）展开两角和的正弦求得sinC的值．
【解答】解：（Ⅰ）由图象可知，得
，
即ω=2．
当x=时，f（x）=1，可得sin（+φ）=1．
∵φ＜，
∴φ=．
故．
由图象可得f（x）的单调递减区间为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，即，
又角A为锐角，
∴A=．
∵0＜B＜π，cosB=，
∴，
∴sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）
=sinAcosB+cosAsinB
=．
18．为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的1500名志愿者进行互联网知识测试，从这1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取15人，所得成绩如下：57，63，65，68，72，77，78，78，79，80，83，85，88，90，95．
（Ⅰ）作出抽取的15人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这1500志愿者中成绩不低于90分的人数；
（Ⅱ）从抽取的成绩不低于80分的志愿者中，随机选3名参加某项活动，求选取的3人中恰有一人成绩不低于90分的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（Ⅰ）以十位数为茎，以个位数为叶，能作出抽取的15人的成绩茎叶图，由样本得
成绩在90分以上频率为，由此能计这1500志愿者中成绩不低于90分的人数．
（Ⅱ）设抽取的15人中，成绩在80分以上（包含80分）志愿者为A，B，C，D，E，F，其中E，F 的成绩在90分以上（含90分），利用列举法能求出选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的概率．
【解答】解：（Ⅰ）以十位数为茎，以个位数为叶，
作出抽取的15人的成绩茎叶图如右图所示，…3分
由样本得成绩在90分以上频率为，
故志愿者测试成绩在90分以上（包含90分）的人数约为=200人．…5分
（Ⅱ）设抽取的15人中，成绩在80分以上（包含80分）志愿者为A，B，C，D，E，F，其中E，F 的成绩在90分以上（含90分），…6分
成绩在80分以上（包含80分）志愿者中随机选3名志愿者的不同选法有：
{A，B，C}，{A，B，D}，{A，B，E}，{A，B，F}，{A，C，D}，{A，C，E}，{A，C，F}，
{A，D，F}，{A，D，E}，{A，E，F}，{B，C，D}，{B，C，E}，{B，C，F}，{B，D，E}，{B，D，F}，
{C，D，E}，{C，D，F}，{D，E，F}，{B，E，F}，{C，E，F}，共20种，…8分
其中选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的不同取法有：
{A，B，E}，{A，B，F}，{A，C，E}，{A，C，F}，{A，D，F}，{A，D，E}，{B，C，E}，{B，C，F}，
{B，D，E}，{B，D，F}，{C，D，E}，{C，D，F}，共12种，…10分
∴选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的概率为==．…12分
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．
（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；
（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；
（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．可得DO为△AB1C 中位线，A1B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；
（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D⊥平面ACC1A；
（3）利用等体积转换，即可求三棱锥C﹣BC1D的体积．
【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．
∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，
∴A1B∥OD．
∵OD⊂平面AB1C，A1B⊄平面BC1D，
∴直线AB1∥平面BC1D；
（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，
∴AA1⊥BD，
∵底面ABC正三角形，D是AC的中点
∴BD⊥AC
∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，
∵BD ⊂平面BC 1D ，∴平面BC 1D ⊥平面ACC 1A ；
（3）解：由（2）知，△ABC 中，BD ⊥AC ，BD=BCsin60°=3，
∴S △BCD =
=
，
∴V C ﹣BC1D =V C1﹣BCD =•
•6=9
．
20．已知椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）上点到两焦点的距离和为，短轴长为，直线
l 与椭圆C 交于M 、N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 方程；
（Ⅱ）若直线MN 与圆O ：x 2+y 2=
相切，证明：∠MON 为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求|OM |•|ON |的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）由已知得，2b=，由此能求出椭圆C 的方程．
（Ⅱ）当直线MN ⊥x 轴时，．当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN ：y=kx +b ，
直线MN 与与圆O ：的交点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由直线MN 与圆O 相
切，得25b 2=k 2+1，联立
，得（9+16k 2）x 2+32kbx +16b 2﹣1=0，由此能证明
为定值．
（Ⅲ）设∠XOM=θ，则∠XON=，由三角函数定义知M（|OM|cosθ，|OM|sinθ），
N（±|ON|sinθ，±|ON|cosθ），从而=（9cos2θ+16sin2θ）（9sin2θ+16cos2θ）=9×16+
（9﹣16）2sin22θ，由此能求出|OM|•|ON|的取值范围．
【解答】（Ⅰ）解：由椭圆C：（a＞b＞0）上点到两焦点距离和为，
得，即a=；
由短轴长为，得2b=，即b=．
∴椭圆C的方程为：9x2+16y2=1．
（Ⅱ）证明：当直线MN⊥x轴时，∵直线MN与圆O：相切，
∴直线MN方程为：x=或x=﹣，
当直线方程为x=，得两点分别为（）和（），
故=0，．
同理当x=﹣时，．
当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN：y=kx+b，直线MN与与椭圆的交点M（x1，y1），N（x2，y2），
由直线MN与圆O相切得，即25b2=k2+1，①
联立，得（9+16k2）x2+32kbx+16b2﹣1=0，
∴△＞0，，，
由=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+b）（kx2+b）
=
=，②
由①②，得=0，即，
综上，为定值．
（Ⅲ）解：不妨设∠XOM=θ，则∠XON=，
由三角函数定义知M（|OM|cosθ，|OM|sinθ），N（±|ON|sinθ，±|ON|cosθ），
∵M，N都在9x2+16y2=1上，
∴=（9cos2θ+16sin2θ）（9sin2θ+16cos2θ）
=9×16+（9﹣16）2sin2θcos2θ
=9×16+（9﹣16）2sin22θ，
又sin22θ∈[0，1]，故（）2∈[9×16，]，
∴|OM|•|ON|的取值范围是[]．
21．已知函数f（x）=ax2﹣lnx﹣2，a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点．
【分析】（I）求出导函数，函数的定义域，通过①当a≤0时，②当a＞0时，分别求解函数的单调区间即可．
（II）通过a≤0时，当a＞0时，利用函数的单调性结合函数的零点，列出不等式即可求解a的取值范围．
【解答】（本小题满分12分）
解：（I）…
①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；…
②当a＞0时，令f′（x）=0，解得，
当时，f′（x）＜0；
当时，f′（x）＞0；
∴函数f （x ）在当内单调递减，在内单调递增；…
（II ） 当a ≤0时，由（I ）知f ′（x ）＜0，f （x ）在（0，+∞）上单调递减， 函数f （x ）不可能有两个零点； …
当a ＞0时，由（I ）得，函数f （x ）在当内单调递减，
在
内单调递增，且当x 趋近于0和正无穷大时，f （x ）都趋近于
正无穷大，
故若要使函数有两个零点；…
则f （x ）的极小值
，即
，解得0＜a ＜e 3
所以a 的取值范围是（0，e 3）…
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 垂直，并与AB 相交于点E ，点F 为弦CD 上异于点E 的任意一点，连接BF 、AF 并延长交⊙O 于点M 、N ． （1）求证：B 、E 、F 、N 四点共圆； （2）求证：AC 2+BF •BM=AB 2．
【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定． 【分析】（1）连结BN ，证明∠BEF +∠BNF=180°，即可证明B 、E 、F 、N 四点共圆； （2）由直角三角形的射影原理可知AC 2=AE •AB ，由Rt △BEF 与Rt △BMA 相似可知：
，即可得出结论．
【解答】证明：（1）连结BN ，则AN ⊥BN ， 又CD ⊥AB ，
则∠BEF=∠BNF=90°，即∠BEF +∠BNF=180°， 则B 、E 、F 、N 四点共圆．…
（2）由直角三角形的射影原理可知AC 2=AE •AB ，
由Rt △BEF 与Rt △BMA 相似可知：
，
∴BF •BM=BA •BE=BA •（BA ﹣EA ）， ∴BF •BM=AB 2﹣AB •AE ，
∴BF •BM=AB 2﹣AC 2，即AC 2+BF •BM=AB 2．…
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．
（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；
（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．
【考点】直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）先根据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合
直线l的参数方程：，联解得到关于参数t的二次方程，运用根的判别式列式并解之，即可得到角α的取值范围；
（2）由（1）可得曲线C的参数方程，从而得到x+y=3+2sin（θ+），最后结合正弦函
数的值域，即可得到x+y的取值范围．
【解答】解：（1）将曲线ρ2﹣6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程，得圆C：x2+y2﹣6x+5=0
直线l的参数方程为（t为参数）
将其代入圆C方程，得（﹣1+tcosα）2+（tsinα）2﹣6（﹣1+tcosα）+5=0
整理，得t2﹣8tcosα+12=0
∵直线l与圆C有公共点，
∴△≥0，即64cos2α﹣48≥0，可得cosα≤﹣或cosα≥
∵α为直线的倾斜角，得α∈[0，π）
∴α的取值范围为[0，]∪[，π）
（2）由圆C：x2+y2﹣6x+5=0化成参数方程，得（θ为参数）
∵M（x，y）为曲线C上任意一点，
∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2sin（θ+）
∵sin（θ+）∈[﹣1，1]
∴2sin（θ+）∈[﹣2，2]，可得x+y的取值范围是[3﹣2，3+2]．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设f（x）=|ax﹣1|．
（Ⅰ）若f（x）≤2的解集为[﹣6，2]，求实数a的值；
（Ⅱ）当a=2时，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤7﹣3m成立，求实数m的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）通过讨论a的符号，求出a的值即可；
（Ⅱ）令h（x）=f（2x+1）﹣f（x﹣1），通过讨论x的范围，得到函数的单调性，求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）显然a≠0，…
当a＞0时，解集为，，无解；…
当a＜0时，解集为，
令，，
综上所述，．…
（Ⅱ）当a=2时，
令h（x）=f（2x+1）﹣f（x﹣1）
=|4x+1|﹣|2x﹣3|
=
…
由此可知，h（x）在单调减，在单
调增，在单调增，
则当时，h（x）取到最小值，…
由题意知，，则实数m的取值范围是
…
2016年10月18日。