第19讲 等腰三角形与直角三角形-2021年中考数学一轮复习知识考点习题课件

∵EF＝EH，∴△EFH是顶角为120°的等腰三角形，
∴FH＝ 3EF＝20 3 .
∵FM＝MG，GN＝NH，∴MN＝
1 2
FH＝10
3.
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类比拓展： 顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为__2_s_in_α_∶__1__.(用含α的 式子表示)
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段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD.
(1)若∠A＝28°，求∠ACD的度数；
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝28°， ∴∠B＝62°.∵BD＝BC， ∴∠BCD＝∠BDC＝59°， ∴∠ACD＝90°－∠BCD＝ 31°.
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(2)设BC＝a，AC＝b. ①线段AD的长是方程x2＋2ax－b2＝0的一个根吗？说明理由；
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6.(2020·河南)如图，在△ABC中，AB＝BC＝ 3 ，∠BAC＝30°，分别以点
A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边
形ABCD的面积为( D )
A.6 3
B.9
C.6
D.3 3
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7.《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地
9.(2020·岳阳)等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长 是__1_0_或__1_1___.
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10.(2020·台州)如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三 等分点.分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的 △DEF的周长是___6_____.
”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：
有一根与地面垂直且高一丈的竹子(1丈＝10尺)，现被大风折断成两截，尖端
落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺.问折断处高地面的距离为（ B ）
A.5.45尺
B.4.55尺
C.5.8尺
D.4.2尺
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8.(2020·常州)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F. 若△AFC是等边三角形，则∠B＝____3_0___°.
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20.(2020·绍兴)问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E， C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数. 答案：∠DAC=45°.
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思考：
(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那 么∠DAC的度数会改变吗？说明理由.
第四章 图形初步与三角形
第19讲 等腰三角形与直角三角形
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1.(2020·福建)如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等 于( B ) A.10
B.5
C.4
D.3
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2.(2020·自贡)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆
并与x轴的正半轴夹角为30°.C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为( B )
A. 3, 3
B. 3,1
C.(2，1)
D. 2, 3
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5.(2020·河北)如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6 km到达l；从点P 出发向北走6 km也到达l.下列说法错误的是( A ) A.从点P向北偏西45°走3 km到达l B.公路l的走向是南偏西45° C.公路l的走向是北偏东45° D.从点P向北走3 km后，再向西走3 km到达l
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11.(2020·襄阳)如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝ ____4_0_°_____.
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12.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于点E.若AB＝10，BE＝8， DE＝6 3，则AD的长是____6___2_____.
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2
由勾股定理，得 a2
+ b2
2
b
2 a
,
整理，得 a 3 .
b4
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15.(2020·河北)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥
拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中
三块(可重复选取)按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大
解：∠DAC的度数不会改变．理由如下：
∵EA＝EC，∴∠AED＝2∠C①.
∵∠BAE＝90°，
∴∠BAD＝ 1 [180°－(90°－2∠C)]＝45°＋∠C，
2
∴∠DAE＝90°－∠BAD＝90°－(45°＋∠C)＝45°－∠C②，
由①②得∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝45°.
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(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”
的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ B ） A.1，4，5 B.2，3，5 C.3，4，5 D.2，2，4
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16.如图，过边长为6的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为 BC延长线上一点，连接PQ交AC边于点D，当PA＝CQ时，DE的长为( C ) A.1 B.2 C.3 D.4
2
2
2
2
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21.(2020·天水)性质探究： 如图1，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度 之比为_____3__:_1____； 理解运用： (1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为 4 2 3 ，则它的面积为 _____3___；
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(2)如图2，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH，在边FG，GH上分别取中点
解：由勾股定理，得AB BC2 + AC2 a2 + b2 , ∴AD＝ a2 + b2 a. 解方程x2＋2ax－b2＝0，得 a2 + b2 a, ∴线段AD的长是方程x2＋2ax－b2＝0的一个根．
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②若AD＝EC，求 a 的值. b
解：∵AD＝AE，AD＝EC，
∴AE＝EC b .
n m
3 1
的值为_____2_____.
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18.(2020·哈尔滨)在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝ 6 3, CD＝1，则BC的长为____5_或__7____.
19.如图，∠MAN＝90°，点B在射线AN上，AB＝4，点C为射线AM上一动 点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，D为AB的中点，连 接A′D，当△A′BD为直角三角形时，AC的长为____43__3_或__4____.
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17.(2020·孝感)如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个
小正方形，这个图形是汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称
它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部
分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的
边长为n，若S1＝S2，则
M，N，连接MN.若∠FGH＝120°，EF＝20，求线段MN的长.
解：连接FH.∵∠FGH＝120°，EF＝EG＝EH，
∴∠EFG＝∠EGF，∠EHG＝∠EGH，
∴∠EFG＋∠EHG＝∠EGF＋∠EGH＝∠FGH＝120°.
∵∠FEH＋∠EFG＋∠EHG＋∠FGH＝360°，
∴∠FEH＝360°－120°－120°＝120°.
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(2)求证：∠BEC＝3∠ABE.
证明：∵DE＝AE，∴∠A＝∠ADE. ∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB， ∴∠ADE＝∠DBE＋∠DEB＝2∠ABE， ∴∠A＝2∠ABE. ∵∠BEC＝∠A＋∠ABE， ∴∠BEC＝3∠ABE.
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14.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线
心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ D ）
A.50°
B.40°
C.30°
D.20°
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3.(2020·临沂)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则 ∠BCD＝( D )
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
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4.(2020·荆州)如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，
改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数.
解：设∠ABC＝m°，
则 ∠BAD= 1 180 m 90 1 m ,
2
2
∠AEB＝180°－n°－m°，
∴ ∠DAE=n ∠BAD n 90 1 m .
∵EA＝EC，∴∠CAE=
1 ∠AEB
2 90
1n
1m.
2
2
2
∴∠DAC＝∠DAE＋∠CAE =n 90 1 m 90 1 n 1 m 1 n .
13.如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE是边AC上的中线，且BD＝CE. (1)求证：点D在BE的垂直平分线上； 证明：连接DE.∵CD是边AB上的高， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°. ∵BE是边AC上的中线， ∴AE＝CE，∴DE＝CE＝AE. ∵BD＝CE，∴BD＝DE， ∴点D在BE的垂直平分线上．