2018-2019学年河南省新乡市延津高级中学高二(上)期中数学试卷(理科)(附答案详解)

2018-2019学年河南省新乡市延津高级中学高二（上）期
中数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设集合A ={x|x −2>0}，B ={x|x 2−3x −4<0}，则A ∩B =( )
A. (−2,4)
B. (2,4)
C. (1,3)
D. (4,+∞) 2. 数列23，45，67，89，…的第10项是( )
A. 1617
B. 1819
C. 2021
D. 2223 3. 设△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =2，c =4，B =60°，则b 等
于( )
A. 28
B. 2√7
C. 12
D. 2√3
4. 已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式一定成立的是( )
A. ad >bc
B. ac >bd
C. a −c >b −d
D. a +c >b +d
5. 数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n +1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )
A. 4
B. 8
C. 15
D. 31
6. 不等式x −2y +6<0表示的平面区域在直线x −2y +6=0的( )
A. 右上方
B. 右下方
C. 左上方
D. 左下方 7. 已知f(x)=x +1x −2(x <0)，则f(x)有( )
A. 最大值0
B. 最小值0
C. 最大值−4
D. 最小值−4 8. 数列{a n }满足a 1=2,a n =a n+1−1
a n+1+1,(n ∈N ∗)其前n 项积为T n ，则T 2018=( )
A. −6
B. −13
C. 23
D. 3 9. 在△ABC 中，A =60°，AB =2，且△ABC 的面积为√32，则BC 的长为( )
A. √32
B. √3
C. 2√3
D. 2
10. 《九章算术》中有这样一段叙述：“今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里，
良马初日行一百九十三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．”则现有如下说法：①驽马第九日走了九十三里路；②良马五日共走了一千零九十五里路；③良马和驽马相遇时，良马走了二十一日．则错误的说法个数为( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
11. 如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球
的高度是60m ，则河流的宽度BC 等于( )
A. 30(√3+1)m
B. 120(√3−1)m
C. 180(√2−1)m
D. 240(√3−1)m
12. 下列命题中，正确命题的个数是( )
①a >b ⇒ac 2>bc 2；
②a ≥b ⇒ac 2≥bc 2；
③a c >b
c ⇒ac >bc ；
④a c ≥b c ⇒ac ≥bc ； ⑤a >b 且ac >bc ⇒c >0；
⑥a ≥b 且ac ≥bc ⇒c ≥0．
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知数列{a n }中，a 1=1且1a n+1=1a n +1
3(n ∈N ∗)，则a 10=______． 14. 已知实数x ，y 满足{x +y −1≤0
x −y ≤0x ≥0
，则2x −y 的最大值为______．
15. 已知数列{a n }的通项公式是a n =
2n −12n ，其前n 项和S n =32164，则项数n 的值等于
______．
16. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：
1，1，2，3，5，8，13，……，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着项数的增加，前一项与后一项的比值越逼近黄金分割0.6180339887.若把该数列{a n }的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n }，在数列{b n }中第2018项的值是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知f(x)=−3x 2+m(6−m)x +6
(Ⅰ)若关于x 的不等式f(x)>n 的解集为(−1,3)，求实数m ，n 的值；
(Ⅱ)解关于m的不等式f(1)<0．
18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b2+c2=a2+bc．
(Ⅰ)求A的大小；
(Ⅱ)如果cosB=√6
，b=2，求a的值．
3
19.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n
，n∈N∗．
2
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n=2a n+(−1)n a n，求数列{b n}的前2n项和．
20.为了测量某峰顶一棵千年松树的高(底部不可到达)，我们选择与峰底E同一水平线
的A，B为观测点，现测得AB=20米，点A对主梢C和主干底部D的仰角分别是40°，
30°，点B对D的仰角是45°.求这棵千年松树的高(即求CD的长，结果保留整数．参考数据：sin10°=0.17，sin50°x，y，z)
21.已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．
(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；
(2)令c n=(a n+1)n+1
(b n+2)n
，求数列{c n}的前n项和T n．
22.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA−2cosC
cosB =2c−a
b
．
(1)求sinC
sinA
的值；
(2)若cosB=1
4
，△ABC的周长为5，求b的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵A ={x|x −2>0}={x|x >2}，
B ={x|x 2−3x −4<0}={x|−1<x <4}，
∴A ∩B ={x|2<x <4}，
故选：B ．
解不等式，求出A ，B ，取交集即可．
本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是基础题．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得其通项公式a n =2n 2n+1.即可得出．
本题考查数列的概念与表示，考查数列的通项公式，属于基础题．
【解答】
解：由数列23，45，67，89，…可得其通项公式a n =2n 2n+1．
∴a 10=2×102×10+1=2021．
故选：C ． 3.【答案】D
【解析】解：∵△ABC 中，a =2，c =4，B =60°，
∴由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB =4+16−8=12，
则b =2√3．
利用余弦定理列出关系式，把a ，c 以及cosB 的值代入计算即可求出b 的值．
此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题关键．
4.【答案】D
【解析】解：令a=2，b=−2，c=3，d=−6，
则2×3<(−5)(−6)=30，可排除A
2×3<(−2)×(−6)可排除B；
2−3<(−2)−(−6)=4可排除C，
∵a>b，c>d，
∴a+c>b+d(不等式的加法性质)正确．
故选：D．
a>b，c>d，根据不等式的性质即可得到答案．
本题考查不等式的基本性质，对于选择题，可充分利用特值法的功能，迅速排除，做到节时高效，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1(n∈N+)，
∴a2=2a1+1=2+1=3，
a3=2a2+1=6+1=7，
a4=2a3+1=14+1=15．
故选：C．
由数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1(n∈N+)，分别令n=1，2，3，能够依次求出a2，a3和a4．
本题考查数列的递推式，是基础题．解题时要认真审题，仔细求解，注意数列递推公式的合理运用．
6.【答案】C
【解析】解：过点(−6,0)和(0,3)作出直线x−2y+6=0，
把原点(0,0)代入得x−2y+6>0，
∴不等式x−2y+6<0表示的平面区域是不含原点的半平面，
∴不等式x−2y+6<0表示的平面区域在直线x−2y+6=0的左上方．
故选：C．
过点(−6,0)和(0,3)作出直线x−2y+6=0，把原点(0,0)代入x−2y+6<0，不成立，不等式x−2y+6<0表示的平面区域是不含原点的半平面．
本题考查二无一次不等式的几何意义，解题时要作出半平面，然后结合图象数形结合，事半功倍．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查函数的最值，函数的单调性．
利用对勾函数的单调性，即可求出结果．
【解答】
解：令y =x +1x ，x <0，
由对勾函数的单调性可得，
在x <−1时，函数y =x +1x 单调递增；−1<x <0时，函数y =x +1x 单调递减； 故x =−1时，y =x +1x 取得最大值−2，
因为f(x)=x +1x −2(x <0)，
所以f(x)有最大值−4.
故选：C ．
8.【答案】A
【解析】解：∵a n =a n+1−1
a n+1+1， ∴a n+1=1+a
n 1−a n ， ∵a 1=2，
∴a 2=−3，a 3=−12，a 4=13，a 5=2，⋅⋅⋅，
∴{a n }是周期为4的周期数列，且a 1a 2a 3a 4=1，
∵2018=4×504+2，
∴T 2018=a 2017⋅a 2018=a 1⋅a 2=2×(−3)=−6．
故选：A ．
根据已知条件，可推得{a n }是周期为4的周期数列，且a 1a 2a 3a 4=1，即可求解． 本题主要考查数列的递推式，确定{a n }是周期为4的周期数列是解本题的关键，属于基
础题．
9.【答案】B
【解析】解：∵在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为√3
2
，
∴1
2AB⋅AC⋅sinA=√3
2
，即1
2
×2×AC×√3
2
=√3
2
，
解得：AC=1，
由余弦定理得：BC2=AC2+AB2−2AC⋅AB⋅cosA=1+4−2=3，
则BC=√3．
故选：B．
利用三角形面积公式列出关系式，把AB，sinA，已知面积代入求出AC的长，再利用余弦定理即可求出BC的长．
此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：根据题意，良马走的路程可以看成一个首项a1=193，公差d1=13的等差数列，记其前n项和为S n，
驽马走的路程可以看成一个首项b1=193，公差为d2=−0.5的等差数列，记其前n项和为T n，
依次分析3个说法：
对于①、b9=b1+(9−1)×d2=93，故①正确；
对于②、S5=5a1+5×4
2
×d1=5×193+10×13=1095；故②正确；
对于③、设第n天两马相遇，则有S n+T n≥6000，
即na1+n(n−1)
2d1+nb1+n(n−1)
2
d2≥6000，变形可得5n2+227n−4800≥0，
分析可得n的最小值为16，
故两马相遇时，良马走了16日，故③错误；
3个说法中只有1个错误；
故选：B．
根据题意，良马走的路程可以看成一个首项a1=193，公差d1=13的等差数列，记其
前n项和为S n，驽马走的路程可以看成一个首项b1=193，公差为d2=−0.5的等差数列，记其前n项和为T n，由等差数列的通项公式以及其前n项和公式分析三个说法的正误，即可得答案．
本题考查等差数列的通项公式与求和公式，关键要熟悉等差数列的通项公式和前n项和公式．
11.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查主要考查了解三角形的实际应用，属于基础题．
由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．
【解答】
解：如图，
∠DAB=15°，
∵tan15°=tan(45°−30°)=tan45°−tan30°
=2−√3．
1+tan45∘tan30∘
在Rt△ADB中，又AD=60，
∴DB=AD⋅tan15°=60×(2−√3)=120−60√3．
在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，
∴DC=AD⋅tan60°=60√3．
∴BC=DC−DB=60√3−(120−60√3)=120(√3−1)．
∴河流的宽度BC等于120(√3−1)m．
故选B．
12.【答案】D
【解析】解：当c=0时，a>b⇒ac2>bc2不成立，故①错误；
当c=0时，a≥b⇒ac2≥bc2成立，故②正确；
由a
c >b
c
可得c≠0，则c2>0，则ac>bc故③正确；
a c ≥b
c
可得c≠0，则c2>0，则ac≥bc故④正确；
a>b且ac>bc，则c>0，故⑤正确；
a≥b且ac≥bc⇒c≥0，故⑥正确；
故选D
令c=0，我们可以判断①和②的真假；根据分母c不为0中，则c2>0，我们可以判断③和④的真假，根据不等式的基本性质，我们可以判断⑤和⑥的真假，进而得到答案．本题考查的知识点是不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键，其中易忽略c=0时，命题①为假命题，得到错解．
13.【答案】1
4
【解析】解：由1
a n+1=1
a n
+1
3
，得
1
a n+1
−1
a n
=1
3
，
∴数列{1
a n }是以1
a1
=1为首项，以1
3
为公差的等差数列，
则1
a n =1+1
3
(n−1)=n+2
3
，
∴a n=3
n+2
．
则a10=3
12=1
4
．
故答案为1
4
．
由数列递推式可知数列{1a
n }是以1
a1
=1为首项，以1
3
为公差的等差数列，由此求得数列{a n}
的通项公式，则答案可求．
本题考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式，是基础题．
14.【答案】1
2
【解析】解：设变量x 、y 满足约束条件{x +y −1≤0
x −y ≤0x ≥0
，在坐标系中画出可行域三角形，
平移直线2x −y =0经过点B(12,12)时，2x −y 最大，最大值为：12，
则目标函数z =2x −y 的最大值为：12．
故答案为：12．
先根据条件画出可行域，再利用z =2x −y ，几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最大，只需求出直线z =2x −y ，过可行域内的点B 时的最大值，从而得到z 最大值即可．
借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
15.【答案】6
【解析】解：由数列{a n }的通项公式是a n =
2n −12n =1−12n ， 前n 项和S n =n −
12−12n+11−12=n −1+12n ， 由S n =32164，则n −1+12n =32164，解得：n =6，
∴项数n 的值为6，
故答案为：6．
由a n =1−12n ，根据等比数列前n 项和公式，即可求得S n ，列方程，即可求得n 的值． 本题考查数列的通项公式，等比数列的前n 项和公式，考查计算能力，属于基础题．
16.【答案】1
【解析】解：1，1，2，3，5，8，13，……，除以4所得余数分别为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0……，
由此可知新数列{b n}是一个周期为6的新数列，
所以b2018=b6×336+2=b2=1，
故答案为：1．
根据已知数列{a n}，找出余数构成数列{b n}是周期数列，即可得出所求的结论．
本题考查数列的应用，考查阅读理解能力和逻辑思维能力，属中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)>n，
∴3x2−m(6−m)x+n−6<0，
∴−1，3是方程3x2−m(6−m)x+n−6=0的两根，
∴{2=m(6−m)
3
−3=n−6
3
，
∴{m=3±√3
n=−3
；
(Ⅱ)由已知f(1)=−m2+6m+3，
∴−m2+6m+3<0，
∴m2−6m−3>0，
∴3−2√3>m或m>3+2√3，
∴不等式f(1)<0的解集为：{m|3−2√3>m或m>3+2√3}．
【解析】(Ⅰ)根据二次函数和不等式的关系，得到方程组，解出即可；(2)由已知f(1)=−m2+6m+3，得不等式−m2+6m+3<0，解出即可．
本题考查了二次函数的性质，考查了不等式和二次函数的关系，是一道基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)∵b2+c2=a2+bc，即b2+c2−a2=bc，
∴cosA=b2+c2−a2
2bc =1
2
，
又∵A∈(0,π)，
∴A=π
3
；
(Ⅱ)∵cosB=√6
3
，B∈(0,π)，
∴sinB=√1−cos2B=√3
3
，
由正弦定理a
sinA =b
sinB
，得a=bsinA
sinB
=2×
√3
2
√3
3
=3．
【解析】(Ⅰ)利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，即可确定出A的大小；
(Ⅱ)由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由sinA，b的值，利用正弦定理即可求出a的值．
此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)当n=1时，a1=S1=1，
当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+n
2−(n−1)2+(n−1)
2
=n，
又a1=1，满足a n=n(n≥2)，
∴数列{a n}的通项公式是a n=n，n∈N∗；
(2)由(1)知，b n=2n+(−1)n×n，
记数列{b n}的前2n项和为T2n，
则T2n=(21+22+⋯+22n)+(−1+2−3+4−⋯+2n)
=2(1−22n)
1−2
+n=22n+1+n−2．
∴数列{b n}的前2n项和为22n+1+n−2．
【解析】本题考查数列的通项公式，分组转化求和法，考查学生的运算能力，属于中档题．
(1)根据题意，进行求解即可；
(2)利用分组转化求和法，即可得出结论．
20.【答案】解：∵∠DAE=30°，∠DBE=45°，
∴∠ADB=45°−300，
∴sin∠ADB=sin(450−300)=sin45°cos30°−
cos45°sin30°=√2
2×√3
2
−√2
2
×1
2
=√6−√2
4
=
1
4 .…(4分)
在△ABD 中，由正弦定理得AD sin∠ABD =AB sin∠ADB ，
∵AB =20，
∴AD =AB⋅sin∠DBE sin∠ADB =20×
√2214=20×1.4214=56.…(8分)
根据题意，得∠CAD =10°，∠ACD =50°，在△ACD 中，由正弦定理得CD sin∠CAD =AD sin∠ACD
即CD =56×sin100
sin500=56×0.170.8≈12(米).…(11分)
答：这棵千年松树高12米．…(12分)
【解析】先利用正弦定理求出AD ，在△ACD 中，由正弦定理求出CD ．
本题考查仰角的定义，考查学生的计算能力，要求学生能借助正弦定理解题．
21.【答案】解：(1)由题意知当≥2时，a n =S n −S n−1=6n +5，
当n =1时，a 1=S 1=11，所以a n =6n +5．
设数列{b n }的公差为d ，
由{a 1=b 1+b 2a 2=b 2+b 3，即{11=2b 1+d 17=2b 1+3d
，可解得b 1=4，d =3， 所以b n =3n +1．
(2)由(1)知c n =(6n+6)n+1
(3n+3)n =3(n +1)⋅2n+1，
所以T n =3×[2×22+3×23+4×24+5×25+⋯+(n +1)×2n+1]，
2T n =3×[2×23+3×24+4×25+⋯+(n +1)×2n+2]，
两式作差，得−T n =3×[2×22+23+24+⋯+2n+1−(n +1)×2n+2]
=3×[4+4(2n −1)2−1−(n +1)×2n+2]=−3n ⋅2n+2，
所以T n =3n ⋅2n+2．
【解析】(1)数列{a n }的中，由题意知当≥2时，a n =S n −S n−1=6n +5，当n =1时，再求得a 1的值，即可求得数列{a n }的通项公式；设数列{b n }的公差为d ，依题意得{a 1=b 1+b 2a 2=b 2+b 3
，解之可得b 1与d ，从而可得数列{b n }的通项公式； (2)由(1)知c n =(6n+6)n+1
(3n+3)n =3(n +1)⋅2n+1，利用错位相减法即可求得T n =3n ⋅2n+2．
本题主要考查了等差、等比数列的性质和等比数列的求和，突出考查了错位相减法的应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为cosA−2cosC
cosB =2c−a
b
所以cosA−2cosC
cosB
=2sinC−sinA
sinB
，
即：cosAsinB−2sinBcosC=2sinCcosB−cosBsinA，所以sin(A+B)=2sin(B+C)，即sinC=2sinA，
所以sinC
sinA
=2，
(2)由(1)可知c=2a…①
a+b+c=5…②
b2=a2+c2−2accosB…③
cosB=1
4…④
解①②③④可得a=1，b=c=2；
所以b=2。

【解析】本题是中档题，考查正弦定理、余弦定理的应用、两角和的三角函数的应用，函数与方程的思想，考查计算能力，常考题型．
(1)利用正弦定理化简等式的右边，然后整理，利用两角和的正弦函数求出sinC
sinA
的值．(2)利用(1)可知c=2a，结合余弦定理，三角形的周长，即可求出b的值．。