2020-2021学年北师大版高中数学必修一同步练测：2.2对函数的进一步认识

最新（新课标）北师大版高中数学必修一 §1生活中的变量关系§2对函数的进一步认识同步练测
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60分钟
100分
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1.设{|02}A x x ≤≤＝，{|12}B y y ≤≤＝，下列表示
从集合A 到集合B 的函数图像的是( )
2.已知函数1
()1
f x x =+，则函数(())f f x 的定义域是（ ） A.{|1}x x ≠- B.{|2}x x ≠- C.{|12}x x x ≠-≠-且 D.{|12}x x x ≠-≠-或 3.已知()12
g x x =-,2
2
1(())(0)x
f g x x x -=
≠，则12f ⎛⎫
⎪⎝⎭
等于（ ） A.15
B.1
C.3
D.30
4.定义域为R 的函数()y f x =的值域为[,]a b ，则函数()y f x a =+的值域为（ ） A.[2,]a a b + B.[0,]b a - C.[,]a b
D.[,]a a b -+
5.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为2
21y x =+，值域为{5，19}的“孪生函数”共有（ ） A.4个
B.6个
C.8个
D.9个
6.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A.2,y x y x ==
B.2
22,4y x x y x =-⋅+=-
C.3
31,x y y x
==
D.2
,()y x y x ==
7.已知A B 、两地相距150千米，某人开汽车以 60千米/时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1
小时后再以50千米/时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x （千米）表示为时间t (时)的函数解析式是（ ） A.60x t = B.6050x t t =+
C.60(0 2.5),
15050( 3.5)
t t x t t ≤≤⎧=⎨->⎩
D.60(0 2.5),150(2.5 3.5),32550(3.5 6.5)t t x t t t ≤<⎧⎪
=≤≤⎨⎪-<≤⎩
8.设f g ，都是由集合A 到集合A 的映射，其对应关系如下表（从上到下）： 表1 映射f 的对应关系
原像 1 2 3 4 像
3
4
2
1
表2 映射g 的对应关系 原像 1 2 3 4 像
4
3
1
2
则与((1))f g 的值相同的是（ ） A.((1))g f B.((2))g f C.((3))g f
D.((4))g f
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
9.已知函数()f x 满足：2
(21)821f x x x -=--，
则()f x =_______.
§1生活中的变量关系§2对函数的进一步认识同步练测参考答案
1.D 解析：A 、B 选项不满足集合A 中的每个实数在集合B 中都有实数对应，故不正确；选项C 对集合A 中不等于2的实数在集合B 中都有两个实数对应，不符合唯一确定的要求，所以也不正确；D 选项的图形符合函数图像的要求，故选D.
2.C 解析：由10x +≠，得1x ≠-，故函数(())f f x 中()1f x ≠-，即1
11
x ≠-+，得1x ≠-且2x ≠-.
3.A 解析：令1()2g x =,得1122x -=，解得14x =.所以2
2
11511141615
1241164f f g ⎛⎫- ⎪
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选A. 4.C 解析：因为函数()f x 的定义域为R,所以x +a 的取值范围也是R,因此函数()y f x a =+的值域与函数()
f x 的值域相同，是[a,b].
5.D 解析：令2215x +=
得x =；令22119x +=得3x =±，故使得函数值为5的情况有三种，
即x =使得函数值为19的情况也有三种，即333x =-±，，，则“孪生函数”共有3×3=9（个）．故选D ．
6.A 解析：B 、C 、D 三个选项中的两个函数的定义域不相同，不能表示同一个函数，A 选项中的两个函数的定义域与对应关系都相同，表示相同的函数.故选A.
7.D 解析：从Ａ地到Ｂ地需用
150
2.560
=(小时),当0 2.5t ≤<时,60x t =. 因为在B 地停留1小时,所以当2.5 3.5t ≤≤时,150x =.
汽车经过3.5小时开始返回,由B 地到A 地需用150
350
=（小时）,因此当3.5 6.5t <≤时, 15050( 3.5)32550x t t =--=-.
综上所述, 60(0 2.5),150(2.5 3.5),32550(3.5 6.5).t t x t t t ≤<⎧⎪
=≤≤⎨⎪-<≤⎩
8.A 解析：由题意知，(1)4g =，((1))(4)1f g f ==. 对于A ：((1))(3)1g f g ==，故A 正确； 对于B ：((2))(4)2g f g ==，故B 不正确； 对于C ：((3))(2)3g f g ==，故C 不正确； 对于D ：((4))(1)4g f g ==，故D 不正确，故选A ．
9.4
2
23x x +
解析：令t ，得212t x +=，故()f t =222(1)1
82142
t t ++⨯
-⨯-，整理得42()23f t t t =+，即42()23f x x x =+．
10.2
5-
解析：∵ (6)4620f =-=-<，∴ 22((6))(2)235
f f f =-=
=---. 11.5 解析：∵37(21)32(21)22f x x x +=-=+-，∴37()22f x x =-.又()4f a =，即37
422
a -=，解得5a =.
12.5 解析：∵ 对应关系为{32101234}f a a A →=---：，，
，，，，，，， ∴ 0,1,2,3,4a =，共5个值，故集合B 中元素的个数为5.
13.解：（1）由⎩⎨
⎧>-≠+,
0||,
01x x x 得⎩
⎨⎧<-≠,0,1x x 故函数x x x y -+=||)1(0的定义域是{|01}x x x <≠-且．
（2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠>
-≥+,
0,02,032x x x 即3
,22,0.x x x ⎧≥-⎪⎪<⎨⎪≠⎪
⎩
∴ 0223≠<≤-x x 且.
故函数的定义域是⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≠<≤-0223
x x x 且．
14.解：()11()1a x f x a x a x
--+=
=-+--.
当13a +≤x ≤12a +时，12a --≤x -≤13a --，
12-≤a x -≤13-，3-≤1a x
-≤2-， 于是4-≤1
1a x
-+-≤3-，即()f x 的值域为[4,3]--.
15.解：(1)因为x ∈Z ，所以函数图像是由一些点组成的，这些点都在直线1y x =-上(如图①).
(2)所给函数可化简为1(1),
1(01),x x y x x -≥⎧=⎨-<<⎩
是一条折线(如图②).
16.解：(1)由
21112113x x -=+，解得6x =，故11
13
的原像是6. 又214127214129⨯-=⨯+，故14的像是27
29
．
（2）由220a a -=，解得5a =或4a =-. 又a ∈N ，故5a =，即20的原像是5．
（3）把2x =代入2(1
1)x x ++，，可得2的像是(21)，3. 由212,
12,
x x +=⎧⎨+=⎩解得1x =，故（2，2）的原像是1． 17.解：(1)方法一 (配凑法)：222=()2+11)1x x x x x +--+， ∴22(1)(1)11)()1(1)f x x x f x x x ≥=≥＝-，即-． 方法二(换元法)：令1t x =，则2(1)1x t t =-≥，.代入原式得
()222()(1)2(1)21+22=11f t t t t t t t t =--=+-≥+--，即()()2 1 1f x x x ≥＝－．
(2)∵()00f c ＝＝，∴22(1)(1)(1)(2)f x a x b x c ax a b x a b ＋
＝＋＋＋＋＝＋＋＋＋， ()2211(1)1f x x ax bx x ax b x ＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋.
∴ 211a b b a b +=+⎧⎨+=⎩，⇒1
,21.
2a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴()21122f x x x ＝＋.。