高中数学：1.4 三角函数的图象与性质 (138)

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
选题明细表
知识点、方法题号
求三角函数的周期1,6,9 三角函数的奇偶性的判断8
正、余弦函数的单调性2,3,7,13 正、余弦函数的值域与最值问题5,11,12 正、余弦函数的综合问题4,10
基础巩固
1.(2019·拉萨市高一月考)函数y=sin(x+)(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值为( A )
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10
解析:函数y=sin(x+)(k>0)的最小正周期不大于2,可得T==≤2,k ≥2π,则正整数k的最小值为7.故选A.
2.满足sin(x-)=的x的集合是( D )
(A)
(B)
(C)
(D)
解析:sin(x-)=,
x-=2kπ+或x-=2kπ+π,k∈Z,
x=2kπ+π或x=2kπ+π,k∈Z.故选D.
3.(2018·贵阳市高一期末)在下列给出的函数中,以π为周期且在区间(0,)内是减函数的是( B )
(A)y=sin (B)y=cos 2x
(C)y=sin(x-) (D)y=sin(2x+)
解析:对于A,y=sin 的周期为T==4π,不合题意;
对于B,x∈(0,)时,2x∈(0,π),
所以y=cos 2x在(0,)上是减函数,
又函数的周期为T=π,满足题意;
对于C,x∈(0,)时,x-∈(-,),
所以y=sin(x-)在(0,)内是增函数,不合题意;
对于D,x∈(0,)时,2x+∈(,),
所以y=sin(2x+)在(0,)内不是单调递减函数,不合题意.故选B. 4.(2019·南昌市高一月考)已知函数f(x)=sin(x-)(x∈R),下列结论错误的是( A )
(A)函数f(x)是奇函数
(B)函数f(x)的最小正周期为2π
(C)函数f(x)在区间[0,]上是增函数
(D)函数f(x)的图象关于直线x=0对称
解析:函数f(x)=sin(x-)
=-sin（-x）=-cos x(x∈R),
所以f(x)=-cos x是偶函数,A错误;
f(x)=-cos x的最小正周期为2π,B正确;
y=cos x在[0,]上是减函数,
所以f(x)=-cos x在区间[0,]上是增函数,C正确;
由y=cos x的图象知,f(x)=-cos x的图象关于直线x=0对称,D正确.故选A.
5.如果函数y=3cos(2x+ϕ)的图象关于点(,0)中心对称,那么|ϕ|的最小值为( A )
(A)(B)(C)(D)
解析:函数关于点(,0)对称,
则有3cos(2×+ϕ)=0,
即cos(+ϕ)=0,
所以cos(+ϕ)=0,
即+ϕ=+kπ,k∈Z,
即ϕ=-+kπ,k∈Z,
所以当k=0时,|ϕ|=,此时|ϕ|最小.
故选A.
6.(2018·巢湖市高一期末)函数f(x)=3cos(x-)的最小正周期为.
解析:根据题意,函数f(x)=3cos(x-),
其中ω=,
其最小正周期T==4.
★答案★:4
7.函数f(x)=2sin(-2x)在[π,2π]上的单调递增区间是.
解析:2kπ+≤-2x≤2kπ+π,k∈Z,
2kπ+≤-2x≤2kπ+π,k∈Z,
-kπ-π≤x≤-kπ-,k∈Z.又x∈[π,2π],
故当k=-2时,≤x≤满足题意.
★答案★:
8.已知函数f(x)=sin(2x+ϕ),试求ϕ为何值时:
(1)f(x)是奇函数?(2)f(x)是偶函数?
解:(1)因为f(x)的定义域为R,
所以当f(x)为奇函数时必有f(0)=0.
即sin ϕ=0,所以ϕ=kπ(k∈Z).
即当ϕ=kπ(k∈Z)时,f(x)=sin(2x+ϕ)是奇函数.
(2)因为偶函数的图象关于y轴对称,且正、余弦函数在对称轴处取最值,
所以要使f(x)为偶函数,需有f(0)=±1,
即sin ϕ=±1.所以ϕ=kπ+(k∈Z).
即当ϕ=kπ+(k∈Z)时,f(x)=sin(2x+ϕ)是偶函数.
能力提升
9.设f(x)是定义域为R,最小正周期为的函数,若f(x)=
则f(-)的值等于( B )
(A)1 (B)(C)0 (D)-
解析:由题意知,f(-)=f(-3×+)
=f()=sin =.
10.(2019·沈阳市高一期中)函数f(x)=sin(2x+ϕ+)(|ϕ|<)是偶函数,则下列说法错误的是( C )
(A)函数f(x)在区间(0,)上单调递减
(B)函数f(x)的图象关于直线x=-对称
(C)函数f(x)在区间(,)上单调递增
(D)函数f(x)的图象关于点(,0)对称
解析:因为函数f(x)=sin(2x+ϕ+)(|ϕ|<)是偶函数,
所以ϕ+=+kπ,k∈Z,
则ϕ=+kπ,k∈Z,ϕ=.
所以f(x)=sin(2x+)=cos 2x.
当x∈(0,)时,2x∈(0,π),函数f(x)在区间(0,)上单调递减,故A正
确;
f(-)=cos(-π)=-,函数f(x)的图象关于直线x=-对称,故B
正确;
当x∈(,)时,2x∈(,),函数f(x)在区间(,)上先减后增,故C
错误;
f（）=cos=0,函数f(x)的图象关于点（,0）对称,故D正确.
所以说法错误的是C.故选C.
11.(2018·张家港市高一期中)已知函数f(x)=sin（x+）,其中x∈[-,],则f(x)的值域是.
解析:函数f(x)=sin(x+),当x∈[-,]时,x+∈[-,],
所以sin(x+)∈[-,1];
且x=-时,f(x)取得最小值-,
x=时,f(x)取得最大值1;
所以f(x)的值域是[-,1].
★答案★:[-,1]
12.已知函数f(x)=2asin(2x-)+b的定义域为[0,],最大值为1,最小
值为-5,求a和b的值.
解:因为0≤x≤,所以-≤2x-≤π,
所以-≤sin(2x-)≤1,易知a≠0.
当a>0时,f(x)max=2a+b=1,
f(x)min=-a+b=-5.
由解得
当a<0时,f(x)max=-a+b=1,
f(x)min=2a+b=-5.
由解得
探究创新
13.已知ω是正数,函数f(x)=2sin ωx在区间[-,]上是增函数,求ω的取值范围.
解:由-+2kπ≤ωx≤+2kπ(k∈Z)得
-+≤x≤+(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间是
[-+,+](k∈Z).
据题意,[-,]⊆[-+,+](k∈Z).
从而有解得0<ω≤. 故ω的取值范围是(0,].。