(新课标Ⅰ卷)2020届3月高三第三次数学(文科)大联考试卷(含解析答案)

y2 b2
1(a
0,b
0) 的右焦点为 F
，若双曲线 C
的一条渐近线的倾斜角为
3
，且点 F
到
该渐近线的距离为 3 ，则双曲线 C 的实轴的长为
A．1
B． 2
C． 4
D． 8 5 5
4．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下 频率分布直方图：
根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为
（2）若射线
4
(
0)
与l
和C
分别交于点
A, B
，求 |
AB |
．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 2x 1| | ax 1| ， a R ．
（1）当 a 2 时，求不等式 1 f (x) 1的解集；
（2）当
x
(
1 2
, 0)
时，不等式
f
CG，在
Rt△CBG
中，
cos CBG
BC BG
，易得
BD
AD
AB
2
2 ，所以 BG
6 ，所以 cos CBG
2 6
6 3
，故选
B．
10．C
【解析】将函数
f
(x)
的图象向左平移
3
个单位长度，得到函数
g(x)
2
sin(
x
3
3 ) 的图象，因
为函数
g(x)
的图象的一条对称轴是
x
6
，所以
sin(6
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设直线 l : y kx n(n 1) 交椭圆 于 P ，Q 两点，设直线 BP 与直线 BQ 的斜率分别为 kBP ，kBQ ，
若 kBP kBQ 1，试判断直线 l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
21．（本小题满分 12 分）
CN 2 3 ． （1）证明： MN 平面 BCN ； （2）求点 N 到平面 CDM 的距离．
文科数学 第 4 页（共 5 页）
20．（本小题满分 12 分）
已知椭圆
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
过点 (
2,
2 2
)
，设椭圆
的上顶点为 B
，右顶点和右焦点分别为
A，
F
，且
AFB
5 6
．
2020 年 3 月高三第三次在线大联考（新课标Ⅰ卷） 文科数学
（满分：150 分 考试时间：120 分钟）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的）
1．已知
i
为虚数单位，若复数
z
1 2i 2i
1
，则
z
A．
9 5
i
B．1 i
(x)
2x
恒成立，求实数
a
的取值范围．
文科数学 第 5 页（共 5 页）
2020 年 3 月高三第三次在线大联考（新课标Ⅰ卷）
文科数学 全解全析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
B
C
C
B
B
A
B
C
C
C
1．B
【解析】因为
z
1 2i 2i
1
(1 2i)(2 i) (2 i)(2 i)
1
2
i
4i 5
文科数学 第 3 页（共 5 页）
赛成绩，已知这 50 名学生的竞赛成绩均在[50，100]内，并得到如下的频数分布表：
分数段 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
人数
5
15
15
12
3
（1）将竞赛成绩在 [70,100] 内定义为“合格”，竞赛成绩在[50, 70) 内定义为“不合格”．请将下面的
第一象限），过点 A ， B 分别作抛物线 C 的准线的垂线，垂足分别为点 A1 ， B1 ，抛物线 C 的准线交 x 轴
于点
K
，若
| |
A1K B1K
| |
2
，则直线
l
的斜率为
A．1
B． 2
C． 2 2
D． 3
12．在
△ABC
中，角
A,
B, C
所对的边分别为
a, b,
c
，已知
C
2 3
，
c
1 ．当
a,
C．1 i
2．已知集合 A {x | x2 1} ， B {x | ln x 1} ，则
D． i
A． A B {x | 0 x e}
B． A B {x | x e}
C． A B {x | 0 x e}
D． A B {x | 1 x e}
3．已知双曲线 C :
x2 a2
已知函数
f
(x)
ax
(a
1) ln
x
1 x
，aR
．
（1）当 a 1 时，讨论函数 f (x) 的单调性；
（2）若 a
1 ，当 x [1, 2] 时，函数 F (x)
f (x)
4 x
1 x2
2 x3
，求函数 F (x) 的最小值．
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目
A． 171.25 cm
B． 172.75 cm
C． 173.75 cm
D．175 cm
5．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为 2 的等边三角形，则该几何体的体积为
文科数学 第 1 页（共 5 页）
A．
8 3
B． 4 3 3
C．1
D． 2
x 1
6．已知实数
x,
y
满足约束条件
zmin
2 (1) 3
1 2
7 2
，故选
B．
7．B
【解析】初始： k
1，T
2 ，第一次循环： T
2
2 1
2 3
8 3
2.8
，
k
2 ，继续循环；
第二次循环： T
8 3
4 3
4 5
128 45
2.8
，
k
3
，此时 T
2.8 ，满足条件，结束循环，
所以判断框内填入的条件可以是 k 3? ，所以正整数 m 的最小值是 3，故选 B．
14．已知函数
f
(x)
| x 1|, x 4x2 , x 0
0
，若函数
y
f ( x) a 有 3 个不同的零点 x1, x2 , x3 (x1
x2
x3 ) ，则 x1
x2
a x3
的取值范围是___________．
15．若 sin(
6
)
1 3
，
(0, )
，则
cos
___________．
A． 2
B． 3
C． 4
8．函数
f
(x)
5x 2sin 3x 3 x
x
(x
[, 0)
(0, ])
的大致图象为
D． 5
9．如图，在三棱锥 D ABC 中，DC 平面 ABC ，AC BC ，AC BC CD 2 ，E ，F ，G 分别是棱 AB ， AC ， AD 的中点，则异面直线 BG 与 EF 所成角的余弦值为
2)
，且 a1
a2 ， a3
1 5
， a1, a2, a5 成等比数列．
（1）求证：数列
{
1 an
}
是等差数列，并求数列
{an
}
的通项公式；
（2）记数列
{
1 an
}
的前
n
项和为
Sn
， bn
an an+1Sn
1 4
，求数列 {bn } 的前
n
项和
Tn
．
19．（本小题满分 12 分）
如图，已知正方形 ABCD 所在平面与梯形 ABMN 所在平面垂直，BM∥AN， NA AB 2 ， BM 4 ，
2i2
1 1 i ，所以 z
1 i ，故选 B．
2．D 【解析】因为 A {x | x2 1} {x | 1 x 1} ， B {x | ln x 1} {x | 0 x e} ，
所以 A B {x | 0 x 1} ， A B {x | 1 x e} ，故选 D．
文科数学 全解全析 第 1 页（共 7 页）
8．A
【解析】因为
f (x)
5(x) 2sin(x) 3 x 3x
5x 2sin x 3x 3 x
f (x) ，所以函数
f (x) 是偶函数，排除 B、D，
又
f
()
5 3 3
0 ，排除
C，故选
A．
9．B 【解析】根据题意可得 BC 平面 ACD ， EF ∥BC ，则 CBG 即异面直线 BG 与 EF 所成的角，连接
文科数学 第 2 页（共 5 页）
A．0
B． 6 3
C． 3 3
D．1
10．已知函数
f
(x)
2sin( x
3
)(
A
0,
0) ，将函数
f
(x)
的图象向左平移
3
个单位长度，得到函数
g(x)
的图象，若函数
g
(
x)
的图象的一条对称轴是
x
6
，则
的最小值为
A．
1 6
B．
2 3
C．
5 3
D．
5 6
11．已知抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ，过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A ， B 两点（设点 A 位于
y x
1 2y
2
0
，则
2
x
3y
的最小值是
2x y 2 0
A． 2
B．
7 2
C．1
D．4
7．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆
内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下 界，开创了圆周率计算的几何方法 ，而中国数学家刘徽只
用圆内接正多边形就求得 的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无
b
变化时，若
z
b
a
存在
最大值，则正数 的取值范围为
A． (0,1)
B． (0, 2)
C．
(
1 2
,
2)
D． (1,3)
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知向量 a (2,1) ， b (1, m) ，若向量 a b 与向量 a 平行，则实数 m ___________．
2 2 列联表补充完整，并判断是否有 95% 的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一
新生”有关？
合格
不合格
合计
高一新生
12
非高一新生
6
合计
（2）在（1）的前提下，按“竞赛成绩合格与否”进行分层抽样，从这 50 名学生中抽取 5 名学生，再
从这 5 名学生中随机抽取 2 名学生，求这 2 名学生竞赛成绩都合格的概率．
16．若存在直线
l
与函数
f
(x)
1 x
(x
0)
及
g(x)
x2
a
的图象都相切，则实数
a
的 最小值为___________．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 12 分）
为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知 宪法、守宪法”的良好校园氛围， 某学校开展了“宪法小 卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛．现从全校学生中随机抽取 50 名学生，统计他们的竞
3
3 )
1 ，即
6
3
3
2
பைடு நூலகம்
k ,
k
Z
，
所以
5 3
2k,
k
Z
，又
0
，所以
的最小值为
5 3
．故选
C．
11．C 【解析】根据抛物线定义，可得 | AF || AA1 | ， | BF || BB1 | ，
又
AA1
∥FK
∥BB1
，所以
| |
A1K B1K
穷级数等各种 值的表达式纷纷出现，使得 值的计算精度也迅速增加．华理斯在 1655 年求出一个公式：
π 2
2 1
2 4 4 6 6 3 3 5 5 7
，根据该公式绘制出了估计圆周率
π
的近似值的程序框图，如下图所示，执行
该程序框图，已知输出的 T 2.8 ，若判断框内填入的条件为 k m ? ，则正整数 m 的最小值是
则 (0.005 0.010 0.020) 10 0.35 ， 0.35 0.040 10 0.75 0.5 ，
所以这部分男生的身高的中位数的估计值为
170
0.5 0.35 10 0.040
10
173.75(cm)
，故选
C．
5．C 【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为 2 的等边三角形，三棱锥的高为 3 ，所
3．B
【解析】双曲线 C 的渐近线方程为 y
b a
x
，由题可知
b a
tan
3
3．
设点 F (c,0) ，则点 F 到直线 y
3x 的距离为
| 3c |
( 3)2 (1)2
3 ，解得 c 2 ，
所以 c2 a2 b2 a2 3a2 4a2 4 ，解得 a 1 ，所以双曲线 C 的实轴的长为 2a 2 ，故选 B． 4．C 【解析】由题可得 (0.005 2 a 0.020 2 0.040) 10 1 ，解得 a 0.010 ，
参考公式及数据：
K2
(a
n(ad bc)2 b)(c d )(a c)(b
d)
，其中 n
a
b
c
d
．
P(K 2 k0 )
0.100
0.050 0.010
0.001
k0
2.706 3.841 6.635 10.828
18．（本小题满分 12 分）
已知数列{an} 满足
an an1
an an1
2(n
计分．
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
y
8 2
4t 2
t t
（
t
为参数）．以坐标原点
O
为极点，
x
轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin ．
（1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；
以该几何体的体积 V
1 3
1 2
2