2021年高中数学 3.2一元二次不等式练习 苏教版必修5

2021年高中数学 3.2一元二次不等式练习苏教版必修5 1．一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为二次的整式不等式，叫做一元二次不等式．
2．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次方程f(x)＝0的解集，就是使二次函数值等于0时自变量x的取值的集合．
3．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)＞0的解集，就是使二次函数值大于0时自变量x的取值的集合．
4．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴无交点，则说明方程f(x)＝0无实数解，此时，一元二次方程的判别式的值Δ＜0.
5．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)判别式的值Δ＜0，则说明二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴没有交点，若a＞0，则意味着不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是全体实数，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是空集．6．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)判别式的值Δ＞0，则说明二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)，设x1＜x2，若a＞0，则使y＝f(x)的函数值为负值的自变量x的取值的集合为{x|x1＜x＜x
}，此集合即为不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．
2
7．若ax2＋bx＋c≥0的解集是空集，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，且与x轴没有交点．
8．若ax2＋bx＋c＞0的解集是实数集R，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的
图象开口向上，且二次三项式的判别式Δ＜0.
9．应用不等式解实际问题的步骤：①建立数学模型；②设变量；③建立数学关系式；④解不等式；⑤检验．
10．周长为l 的矩形的面积的最大值为
l 216
，对角线长的最小值为
4
l ． 11．b 克糖水中含有a 克糖(b ＞a ＞0)，糖水的浓度为a b
，若再加入m 克糖，
则糖水更甜了，此时糖水的浓度为
a ＋m
b ＋m
． 12．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)判别式的值Δ＝0，则说明二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴相切于⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－b 2a ，0；若a ＞0，则不等式ax 2
＋bx ＋c ＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a ∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－b 2a ，＋∞，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解
集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪－b 2a ．
13．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)与x 轴有两个交点，要求出不等式ax 2
＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)的解集，只要求出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根即可．
14．若一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}，则可以判定
a ＞0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根分别为x 1、x 2．
►基础巩固 一、选择题
1．不等式2x 2－x －1＞0的解集是(D )
A .⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，1 B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D .⎝ ⎛⎭
⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)
解析：∵2x 2
－x －1＞0⇔(2x ＋1)(x －1)＞0⇔x ＜－1
2
或x ＞1.
2．下列命题中正确的是(B )
A ．不等式x 2＞1的解集是{x|x ＞±1}
B ．不等式－4＋4x －4x 2≤0的解集是R
C ．不等式－4＋4x －x 2≥0的解集是空集
D ．不等式x 2
－2ax －a －5
4
＞0的解集是R
解析：结合三个二次的关系． 3．不等式
x －1
2x ＋1
≤0的解集为(A ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，1
C.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞)
D.⎝
⎛
⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)
解析：x －12x ＋1≤0⇔⎩⎨⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0⇒－1
2＜x ≤1.
4．不等式(x －1)(x －3)＞0的解集为(C ) A ．{x |x ＜1} B ．{x |x ＞3}
C ．{x |x ＜1或x ＞3}
D ．{x |1＜x ＜3} 解析：结合图象求解．
5．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围是(B )
A ．(0，2)
B ．(－2，1)
C ．(－1，2)
D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：根据定义，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.
二、填空题
6．(xx·广东卷)不等式x 2＋x －2＜0的解集为________． 解析：由x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)＜0得－2＜x ＜1. 答案：(－2，1)
7．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范
围是________．
解析：x 2－ax ＋2a ＞0恒成立⇔Δ＜0，即a 2－4×2a ＜0，解得0＜a ＜8. 答案：(0，8)
8．不等式x 2－9
x －2＞0的解集是________．
解析：原不等式可化为（x ＋3）（x －3）
x －2
＞0，利用穿根法，易得－3＜x ＜2
或x ＞3.
答案：(－3，2)∪(3，＋∞) 三、解答题
9．求函数y ＝lg(x 2－2x －3)＋
1
－x 2
＋3x ＋10
的定义域． 解析：依题意可得⎩⎨⎧x 2
－2x －3＞0，
－x 2
＋3x ＋10＞0， ∴⎩
⎨⎧x ＜－1或x ＞3，－2＜x ＜5.
∴不等式组的解是－2＜x ＜－1或3＜x ＜5. ∴函数的定义域为(－2，－1)∪(3，5)．
10．解不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．
解析：原不等式可化为：(ax －1)(x －1)＜0(a ＞0)． ①当0＜a ＜1
时，原不等式的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪
⎫1＜x ＜1a ；
②当a ＞1
时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭
⎪⎬⎪⎫1a ＜x ＜1； ③当a ＝1时，原不等式的解集为∅. ►能力升级 一、选择题
11．(xx·安徽卷)已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞12，
则f (10x )＞0的解集为(D )
A ．{x |x ＜－1或x ＞lg 2}
B ．{x |－1＜x ＜lg 2}
C ．{x |x ＞－lg 2}
D ．{x |x ＜－lg 2}
解析：由题意得－1＜10x ＜12⇒x ＜lg 1
2
＝－lg 2.
12．关于x 的不等式（x －a ）（x －b ）
x －c ≥0的解集为{x |－1≤x ＜2或x ≥3}，
则P (a ＋b ，c )点位于(A )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：由解集的形式可知，c ＝2，a ，b 中有一个是－1，另一个是3，∴a ＋b ＝－1＋3＝2，故P (2，2)．
13．关于x 的方程(m ＋3)x 2－4mx ＋2m －1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么m 的取值范围是(A )
A ．(－3，0)
B ．(0，3)
C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) 解析：由题意知，
⎩⎪⎨
⎪⎧Δ＝16m 2－4（m ＋3）（2m －1）＞0，
x 1
＋x 2
＝4m m ＋3
＜0，
x 1x 2
＝
2m －1
m ＋3＜0.
解得－3＜m ＜0. 二、填空题
14．关于x 的不等式x 2
＋ax ＋a 2
4－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，则实数c ＝
________．
解析：由x 2
＋ax ＋a 2
4－c ＜0，得⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＜c ，即－c －a 2＜x ＜c －a 2，
∴⎝
⎛
⎭⎪⎫c －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a 2＝6.解得c ＝9. 答案：9
15．对于满足0≤a ≤4的实数a ，使x 2＋ax ＞4x ＋a －3恒成立的x 的取值范
围是________．
解析：原不等式等价于x 2＋ax －4x －a ＋3＞0，即(x －1)a ＋x 2－4x ＋3＞0，令f (a )＝(x －1)a ＋x 2
－4x ＋3，则有⎩⎨⎧f （0）＞0，f （4）＞0⇒⎩⎨⎧x 2
－4x ＋3＞0，x 2－1＞0⇒x ＜－1
或x ＞3.
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 三、解答题
16．(xx·上海卷)甲厂以x 千克/时的速度生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝
⎛
⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围． (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应选取何种生产速度？并求最大利润．
解析：(1)根据题意200⎝ ⎛
⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000⇒5x －14－3x ≥0即5x 2－14x －3≥0
⇒3≤x ≤10.
(2)设利润为y 元，则y ＝900
x ×100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104
⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112，
故x ＝6时，y max ＝457 500元．
故按6千克/时的生产速度，可使利润最大，且最大利润为457 500元．uL40746 9F2A 鼪
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