专题20 压轴题(解析版)-2021年中考数学真题分项汇编

专题20压轴题
一、函数压轴
1．（2021·江苏南通市）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数11
22
y x =
+的图象的“等值点”． （1）分别判断函数22,y x y x x =+=-的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数3
(0),y x y x b x
=
>=-+的图象的“等值点”分别为点A ，B ，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为C ．当ABC 的面积为3时，求b 的值；
（3）若函数22()y x x m =-≥的图象记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图象记为2W ．当12,W W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m 的取值范围．
【答案】（1）函数y =x +2没有“等值点”； 函数2
y x x 的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）b =-（3）
9
8
m <-或12m -<<．．
【分析】
（1）根据定义分别求解即可求得答案；
（2）根据定义分别求A ，B (2b ，2
b
)，利用三角形面积公式列出方程求解即可；
（3）由记函数y =x 2-2（x ≥m ）的图象为W 1，将W 1沿x =m 翻折后得到的函数图象记为W 2，可得W 1与W 2的图象关于x =m 对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案． 【详解】
解：（1）∵函数y =x +2，令y =x ，则x +2=x ，无解， ∵函数y =x +2没有“等值点”； ∵函数2
y
x x ，令y =x ，则2x x x -=，即()20x x -=，
解得：1220x x ==，， ∵函数2
y
x x 的“等值点”为(0，0)，(2，2)；
（2）∵函数3
y x
=，令y =x ，则23x =，
解得：x =负值已舍)，
∵函数3y x
=的“等值点”为A ； ∵函数y x b =-+，令y =x ，则x x b =-+，
解得：2
b x =
， ∵函数y x b =-+的“等值点”为B (2b ，2
b
)；
ABC 的面积为
11•••32222
B A b b
BC x x -==，
即2240b --=，
解得：b =-
（3）将W 1沿x =m 翻折后得到的函数图象记为W 2． ∵W 1与W 2两部分组成的函数W 的图象关于x m =对称，
∵函数W 的解析式为()()2
2222()
y x x m y m x x m ⎧=-≥⎪⎨=--<⎪⎩， 令y =x ，则22x x -=，即220x x --=， 解得：1221x x ==-，，
∵函数22y x =-的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；
令y =x ，则2(2)2m x x --=，即()22
41420x m x m -++-=，
当2m ≥时，函数W 的图象不存在恰有2个“等值点”的情况； 当12m -<<时，观察图象，恰有2个“等值点”；
∵W 1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)， ∵函数W 2没有“等值点”，
∵()()2
2
4141420m m ⎡⎤=-+-⨯⨯-<⎣⎦，
整理得：890m +<， 解得：98
m <-．
综上，m 的取值范围为9
8
m <-或12m -<<．
本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
2．（2021·江苏常州市）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数()0y kx k =≠和二次函数2
134
y x bx =-++的
图像都经过点(4,3)A 和点B ，过点A 作OA 的垂线交x 轴于点C ．D 是线段AB 上一点（点D 与点A 、O 、B 不重合），E 是射线AC 上一点，且AE OD =，连接DE ，过点D 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，以DE 、DF 为邻边作DEGF ．
（1）填空：k =________，b =________；
（2）设点D 的横坐标是(0)t t >，连接EF ．若FGE DFE ∠=∠，求t 的值； （3）过点F 作AB 的垂线交线段DE 于点P ．若1
3
DFP
DEGF
S
S =，求OD 的长．
【答案】（1）34，1；（
2）t =（3）11536 【分析】
（1）把(4,3)A 分别代入一次函数解析式和二次函数解析式，即可求解； （2）先证明EF =ED ，结合D (t ，
3
4
t )，F (t ， 2134t t -++)，可得点E 的纵坐标为：2173882t t -++，过点A 作AM ∵EG ，
延长GE 交x 轴于点N ，由4cos cos 5EM AOC AEM AE ∠=∠==，从而得21
7334882554
t t t ⎛⎫--++ ⎪
⎝⎭=，进而即可求解；
（3）先推出
23DP DC =，由FP ∵AC ，得23DQ DP DA DC ==，结合35DQ DH DF OD ==，可得DA =32DQ =2331132544t t ⎛⎫
⨯⨯-++ ⎪⎝⎭
，
结合
DA +OD =5，列出方程，即可求解．
解：（1）把(4,3)A 代入()0y kx k =≠得：34k =，解得：3
4
k =， 把(4,3)A 代入2134y x bx =-++得：2
134434
b =-⨯++，解得：b =1，
故答案是：3
4
，1；
（2）∵在DEGF 中，FGE FDE ∠=∠，
∵FGE DFE ∠=∠， ∵FDE ∠=DFE ∠， ∵EF =ED ，
∵设点D 的横坐标是(0)t t >，则D (t ，
3
4
t )，F (t ， 2134t t -++)，
∵点E 的纵坐标为：（3
4
t 2134t t -++）÷2=2173882t t -++，
联立213434y x x y x ⎧
=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：43x y =⎧⎨=⎩或394x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，
∵A (4，3)，
∵ 过点A 作AM ∵EG ，延长GE 交x 轴于点N ，则∵AEM =∵NEC =∵AOC ， ∵4
cos cos 5
EM AOC AEM AE ∠=∠=
=， 又∵AE OD =
54t ，
∵21
7334882554
t t t ⎛⎫--++ ⎪
⎝⎭=
，解得：t =
t =
∵t =
（3）当13
DFP
DEGF S
S =时，则
2
3
DP DC =， ∵AB ∵FP ，AB ∵AC
，
∵
2
3
DQ DP DA DC ==， ∵∵FDQ =∵ODH ，
∵334cos cos 554t
DQ DH FDQ ODH DF OD t ∠=
==∠==， 又∵DF =2134t t -++-3
4
t =211344t t -++，
∵DQ =23113544t t ⎛⎫
-++ ⎪⎝⎭
，
∵DA =32DQ =2331132544t t ⎛⎫
⨯⨯-++ ⎪⎝⎭
，
∵DA +OD =5，
∵2331132544t t ⎛⎫⨯⨯-++ ⎪⎝⎭+5
4t =5，解得：239t =或4t =（舍去）， ∵OD =54
t =11536．
本题主要考查二次函数与平面几何的综合，根据题意画出图形，添加合适的辅助线，熟练掌握锐角三角函数的定义，平行四边形的性质，是解题的关键．
3．（2021·江苏盐城市）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P 绕着某定点A 顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P '．经过进一步探究，小明发现，当上述点P 在某函数图像上运动时，点P '也随之运动，并且点P '的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点A 的坐标和角度α的大小来解决相关问题．
如图1，设(1,1)A ，90α=︒，点P 是一次函数y kx b =+图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点1(1,1)P -． （1）点1P 旋转后，得到的点1P '的坐标为________；
（2）若点P '的运动轨迹经过点2(2,1)P '，求原一次函数的表达式． （深入感悟）
（3）如图2，设(0,0)A ，45α=︒，点P 反比例函数1
(0)y x x
=-<的图像上的动点，过点P '作二、四象限角平分线
的垂线，垂足为M ，求OMP '的面积． （灵活运用）
（4）如图3，设
A (1,，60α=︒，点P
是二次函数2
172
y x =
++图像上的动点，已知点(2,0)B 、(3,0)C ，试探究BCP '△的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）(1,3)；（2）1322
y x =+；（3）1
2；（4）存在最小值，118
【分析】
（1）根据旋转的定义得112
AP AP '==，观察点1P '和(1,1)A 在同一直线上即可直接得出结果． （2）根据题意得出2P 的坐标，再利用待定系数法求出原一次函数表达式即可．
（3）先根据1
(0)y x
y x x =-⎧⎪
⎨=-<⎪⎩
计算出交点坐标，再分类讨论∵当1x ≤-时，先证明()PQA P MA AAS '≌再计算OMP '面积．∵当-10x <<时，证()PHO OP M AAS '≌，再计算1
22P MO PHO k S S '===即可．
（4）先证明OAB 为等边三角形，再证明()C AO CAB SAS '≌，根据在Rt C GB '中，9030C GB C B C '''∠=︒
-∠=︒，写出12C ⎛'
⎝⎭，从而得出OC '的函数表达式，当直线l 与抛物线相切时取最小值，得出11
2y =+，由'B C T
B C P
S
S
'''=计算得出BCP '△的面积最小值．
【详解】
（1）由题意可得:112
AP AP '== ∵1P '的坐标为(1,3) 故答案为：(1,3)； （2）∵2(2,1)P '，由题意得
2P 坐标为(1,2)
∵(1,1)P -，(1,2)P 在原一次函数上，
∵设原一次函数解析式为y kx b =+
则1
2k b k b -+=⎧⎨
+=⎩ ∵1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∵原一次函数表达式为13
22
y x =
+； （3）设双曲线与二、四象限平分线交于N 点，则
1(0)y x
y x x =-⎧⎪
⎨
=-<⎪⎩
解得(1,1)N - ∵当1x ≤-时 作PQ x ⊥轴于Q ∵45QAM POP '∠=∠=︒ ∵PAQ P AN '∠=∠ ∵PM AM ⊥
∵90P MA PQA '∠=∠=︒ ∵在PQA △和P MA '中
PQA P MA PAQ P AM AP AP ∠=∠⎧⎪
∠=∠'='⎨'⎪⎩
∵()PQA P MA AAS '≌
12
2
P MA
PQA
k S
S '==
=
即12
OMP S
'
=
；
∵当-10x <<时 作PH ⊥于y 轴于点H ∵45POP NOY '∠=∠=︒ ∵PON P OY '∠=∠
∵90MP O MOY P OY ''∠=︒-∠-∠
45P OY '=︒-∠
∵POH POP P OY ''∠=∠-∠
45P OY '=︒-∠
∵POH OMP '∠=∠ 在POH 和OP M '中 PHO OMP POH MP O PO P O ∠=∠⎧⎪
∠=∠'='⎨'⎪⎩
∵()PHO OP M AAS '≌ ∵12
2
P MO
PHO
k S
S
'==
=
；
（4）连接AB ，AC ，将B ，C 绕A 逆时针旋转60︒得B '，C
'，作AH x ⊥轴于H ∵A ，(2,0)B ∵1OH BH == ∵2OA AB OB ===
∵OAB 为等边三角形，此时B '与O 重合，即(0,0)B ' 连接C O '，∵60CAC BAO ∠=∠='︒ ∵CAB C AB ''∠=
∠ ∵在C AO '和CAB △中
C A CA C AO CAB BA OA =⎧⎪
∠=∠'⎨='⎪⎩
∵()C AO CAB SAS '≌
∵1C O CB '==，120C OA CBA ∠'=∠=︒ ∵作C G y '⊥轴于G
在Rt C GB '中，9030C GB C B C '''∠=︒-∠=︒ ∵1sin 2
C G OC C BG '''=⋅∠=
∵OG =
，即1,22C ⎛' ⎝⎭
，此时OC '
的函数表达式为：y = 设过P 且与B C ''平行 的直线l
解析式为y b =+ ∵B P
BC C P S
S
'
''=
∵当直线l 与抛物线相切时取最小值
则2
17
2y b
y x ⎧=+⎪
⎨=++⎪⎩
2
172
b x +=
++
∵21
702
x b +-= 当0∆=时，得112
b =
∵112
y +
设l 与y 轴交于T 点 ∵'B C T
B C P
S S
'''=
∵1
2
B C P
S B T CG '''=⨯⨯ 1111222=⨯⨯ 118
=
本题考查旋转、全等三角形的判定和性质、一次函数的解析式、反比例函数的几何意义、两函数的交点问题，函数的最小值的问题，灵活进行角的转换是关键．
4．（2021·江苏宿迁市）如图，抛物线2
1y 2
x bx c =-++与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)，与y 轴交于点C ．连接AC ，
BC ，点P 在抛物线上运动． (1)求抛物线的表达式；
(2)如图∵，若点P 在第四象限，点Q 在P A 的延长线上，当∵CAQ =∵CBA +45°时，求点P 的坐标；
(3)如图∵，若点P 在第一象限，直线AP 交BC 于点F ，过点P 作x 轴的垂线交BC 于点H ，当∵PFH 为等腰三角形时，求线段PH 的长．
【答案】（1）213222
y x x =-++；（2）（6，-7）；（3）PH =5或1.5或15
8
【分析】
（1）根据待定系数法解答即可；
（2）求得点C 的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断∵ACB =90°，继而可得∵ACO =∵CBA ，在x 轴上取点E （2，0），连接CE ，易得∵OCE 是等腰直角三角形，可得∵OCE =45°，进一步可推出∵ACE =∵CAQ ，可得CE ∵PQ ，然后利用待定系数法分别求出直线CE 与PQ 的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可；
（3）设直线AP 交y 轴于点G ，如图，由题意可得若∵PFH 为等腰三角形，则∵CFG 也为等腰三角形，设G （0，m ），求出直线AF 和直线BC 的解析式后，再解方程组求出点F 的坐标，然后分三种情况求出m 的值，再求出直线AP 的解析式，进而可求出点P 的坐标，于是问题可求解． 【详解】
解：（1）把A (-1，0)，B (4，0)代入2
1y 2
x bx c =-++，得
102840
b c b c ⎧--+=⎪⎨⎪-++=⎩，解得：322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∵抛物线的解析式是213222
y x x =-++； （2）令x =0，则y =2，即C （0，2），
∵222125AC =+=，2222420BC =+=，AB 2=25，
∵222AC BC AB +=，
∵∵ACB =90°，
∵∵ACO +∵CAO =∵CBA +∵CAO =90°，
∵∵ACO =∵CBA ，
在x 轴上取点E （2，0），连接CE ，如图，
则CE =OE =2，
∵∵OCE =45°，
∵∵ACE =∵ACO +45°=∵CBA +45°=∵CAQ ，
∵CE ∵PQ ，
∵C （0，2），E （2，0），
∵直线CE 的解析式为y =-x +2，
设直线PQ 的解析式为y =-x +n ，把点A （-1，0）代入，可得n =-1，
∵直线PQ 的解析式为y =-x -1， 解方程组2132221
y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=--⎩，得10x y =-⎧⎨=⎩或67x y =⎧⎨=-⎩， ∵点P 的坐标是（6，-7）；
（3）设直线AP 交y 轴于点G ，如图，
∵PH ∵y 轴，
∵∵PHC =∵OCB ，∵FPH =∵CGF ，
∵若∵PFH 为等腰三角形，则∵CFG 也为等腰三角形，
∵C （0，2），B （4，0），
∵直线BC 的解析式为122
y x =-+， 设G （0，m ），∵A （-1，0），
∵直线AF 的解析式为y =mx +m ， 解方程组122y x y mx m ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩，得4221521m x m m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
， ∵点F 的坐标是425,2121m m m m -⎛⎫ ⎪++⎝
⎭， ∵()2222
22224254252,2,21212121m m m m CG m CF FG m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当CG =CF 时，()222425222121m m m m m -⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
，解得：m =， 此时直线AF 的解析式为y
x
，
解方程组213222y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪⎪⎩
，得10x y =-⎧⎨=⎩
或5x y ⎧=⎪⎨⎪⎩ ∵点P
的坐标是（5
），此时点H
的坐标是（5
）， ∵PH
5=； 当FG =FC 时，2222425425221212121m m m m m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，解得m =12或m =12-（舍）或m =2（舍）， 此时直线AF 的解析式为y =12x +1
2， 解方程组2132221122y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得10x y =-⎧⎨=⎩或32x y =⎧⎨=⎩， ∵点P 的坐标是（3，2），此时点H 的坐标是（3，12），
∵PH =2-12=1.5；
当GF =GC 时，()22
242522121m m m m m m -⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得34m =或m =2（舍去）， 此时直线AF 的解析式为y =34x +34
，
解方程组2132223344y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得10x y =-⎧⎨=⎩或52218x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∵点P 的坐标是（52，218），此时点H 的坐标是（52，34
）， ∵PH =21315848
-=；
综上，PH
=5或1.5或
158
． 本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．
5．（2021·江苏扬州市）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
说明：∵汽车数量为整数．．
； ∵月利润=月租车费-月维护费；
∵两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1
）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a 元()0a >给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围．
【答案】（1）48000，37；（2）33150元；（3）50150a <<
【分析】
（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月利润；设每个公司租出的汽车为x 辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；
（2）设两公司的月利润分别为y 甲，y 乙，月利润差为y ，同（1）可得y 甲和y 乙的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y 关于x 的表达式，根据二次函数的性质，结合x 的范围求出最值，再比较即可；
（3）根据题意得到利润差为()25018001850y x a x =-+-+，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为17辆，结合x
为整数可得关于a 的不等式180016.517.5100
a -<
<，即可求出a 的范围． 【详解】 解：（1）()50105030001020010-⨯+⨯-⨯⎡⎤⎣⎦=48000元，
当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；
设每个公司租出的汽车为x 辆，
由题意可得：()5050300020035001850x x x x -⨯+-=-⎡⎤⎣⎦，
解得：x =37或x =-1（舍），
∵当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；
（2）设两公司的月利润分别为y 甲，y 乙，月利润差为y ，
则y 甲=()50503000200x x x -⨯+-⎡⎤⎣⎦，
y 乙=35001850x -，
当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x ＜37，
y =y 甲-y 乙=()()5050300020035001850x x x x -⨯+---⎡⎤⎣⎦
=25018001850x x -++，
当x =1800502
--⨯=18时，利润差最大，且为18050元； 当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x ≤50，
y =y 乙-y 甲=()3500185050503000200x x x x ---⨯++⎡⎤⎣⎦
=25018001850x x --，
∵对称轴为直线x =1800502
--⨯=18， 当x =50时，利润差最大，且为33150元；
综上：两公司月利润差的最大值为33150元；
（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为25018001850y x x ax =-++-=()25018001850x a x -+-+，
对称轴为直线x =1800100
a -， ∵x 只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大， ∵180016.517.5100
a -<<， 解得：50150a <<．
本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图像和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其（3）中要根据x 为整数得到a 的不等式．
二、几何压轴
6．（2021·江苏泰州市）如图，在∵O 中，AB 为直径，P 为AB 上一点，P A ＝1，PB ＝m （m 为常数，且m ＞0）．过点P 的弦CD ∵AB ，Q 为BC 上一动点（与点B 不重合），AH ∵QD ，垂足为H ．连接AD 、BQ ．
（1）若m ＝3．
∵求证：∵OAD ＝60°；
∵求BQ DH
的值； （2）用含m 的代数式表示
BQ DH ，请直接写出结果； （3）存在一个大小确定的∵O ，对于点Q 的任意位置，都有BQ 2﹣2DH 2+PB 2的值是一个定值，求此时∵Q 的度数．
【答案】（1）∵见解析；∵2；（2（3）存在半径为1的圆，45°
【分析】
（1）∵连接OD ，则易得CD 垂直平分线段OA ，从而OD =AD ，由OA =OD ，即可得∵OAD 是等边三角形，从而可得结论；
∵连接AQ ，由圆周角定理得：∵ABQ =∵ADH ，从而其余弦值相等，因此可得
BQ AB DH AD
= ，由∵可得AB 、AD 的值，从而可得结论；
（2）连接AQ 、BD ， 首先与（1）中的∵相同，有BQ AB DH AD
=，由∵APD ∵∵ADB ，可求得AD 的长，从而求得结果； （3）由（2）的结论可得：22(1)BQ m DH =+，从而BQ 2﹣2DH 2+PB 222(1)m DH m =-+
当m =1时，即可得是一个定值，从而可求得∵Q 的值．
【详解】
（1）∵如图，连接OD ，则OA =OD
∵AB =P A +PB =1+3=4
∵OA =122
AB = ∵OP =AP =1
即点P 是线段OA 的中点
∵CD ∵AB
∵CD 垂直平分线段OA
∵OD =AD
∵OA =OD =AD
即∵OAD 是等边三角形
∵∵OAD =60°
∵连接AQ
∵AB 是直径
∵AQ ∵BQ
根据圆周角定理得：∵ABQ =∵ADH ，
∵cos cos ABQ ADH ∠=∠
∵AH ∵DQ
在Rt ∵ABQ 和Rt ∵ADH 中
cos cos BQ DH ABQ ADH AB AD
∠==∠= ∵BQ AB DH AD
=
∵AD =OA =2，AB =4 ∵422
BQ AB DH AD ===
（2）连接AQ 、BD
与（1）中的∵相同，有
BQ AB DH AD
= ∵AB 是直径
∵AD ∵BD ∵∵DAB +∵ADP =∵DAB +∵ABD =90°
∵∵ADP =∵ABD
∵Rt ∵APD ∵Rt ∵ADB ∵PA AD AD AB
= ∵AB =P A +PB =1+m ∵1AD PA AB ==+
∵
BQ AB DH AD ==
（3）由（2）知，
BQ DH =∵BQ m DH
即22(1)BQ m DH =+
∵BQ 2﹣2DH 2+PB 2=22222(1+)2(1)m DH DH m m DH m -+=-+
当m =1时，BQ 2﹣2DH 2+PB 2是一个定值，且这个定值为1，此时P A =PB =1，即点P 与圆心O 重合
∵CD ∵AB ，OA =OD =1
∵∵AOD 是等腰直角三角形
∵∵OAD =45°
∵∵OAD 与∵Q 对着同一条弧
∵∵Q =∵OAD =45°
故存在半径为1的圆，对于点Q 的任意位置，都有BQ 2﹣2DH 2+PB 2的值是一个定值1，此时∵Q 的度数为45.
本题是圆的综合，它考查了圆的基本性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，难点是第（3）问，得出BQ 2﹣2DH 2+PB 222(1)m DH m =-+后，当m =1即可得出BQ 2﹣2DH 2+PB 2是一个定值． 7．（2021·江苏徐州市）如图1，正方形ABCD 的边长为4，点P 在边AD 上（P 不与,A D 重合），连接,PB PC ．将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°得到PE ，将线段PC 绕点P 逆时针旋转90°得到PF ．连接EF EA FD ,,．
（1）求证：
∵PDF ∆的面积212
S PD =
； ∵EA FD =；
（2）如图2，EA FD .的延长线交于点M ，取EF 的中点N ，连接MN ，求MN 的取值范围．
【答案】（1）∵见详解；∵见详解；（2）4≤MN ＜【分析】
（1）∵过点F 作FG ∵AD 交AD 的延长线于点G ，证明PFG CPD ≌，即可得到结论；∵过点E 作EH ∵DA 交DA 的延长线于点H ，证明PEH BPA ≌，结合PFG CPD ≌，可得GD =EH ，同理：FG =AH ，从而得AHE FGD ≌，进而即可得到结论；
（2）过点F 作FG ∵AD 交AD 的延长线于点G ，过点E 作EH ∵DA 交DA 的延长线于点H ，可得∵AMD =90°，MN =1
2EF ，HG = 2AD =8，EH +FG = AD =4，然后求出当点P 与点D 重合时， EF 最大值=P 与AD 的中点重
合时，EF 最小值= HG =8，进而即可得到答案．
【详解】
（1）∵证明：过点F 作FG ∵AD 交AD 的延长线于点G ，
∵∵FPG +∵PFG =90°，∵FPG +∵CPD =90°，
∵∵FPG =∵CPD ，
又∵∵PGF =∵CDP =90°，PC =PF ，
∵PFG CPD ≌（AAS ），
∵FG =PD ，
∵PDF ∆的面积21122
S PD FG PD =⋅=； ∵过点E 作EH ∵DA 交DA 的延长线于点H ，
∵∵EPH +∵PEH =90°，∵EPH +∵BP A =90°，
∵∵PEH =∵BP A ，
又∵∵PHE =∵BAP =90°，PB =PE ，
∵PEH BPA ≌（AAS ），
∵EH =P A ，
由∵得：FG =PD ，
∵EH +FG =P A +PD =AD =CD ，
由∵得：PFG CPD ≌，
∵PG=CD，
∵PD+GD= CD= EH+FG，
∵FG+ GD= EH+FG，
∵GD=EH，
同理：FG=AH，
又∵∵AHE=∵FGD，
≌，
∵AHE FGD
∵EA FD
；
（2）过点F作FG∵AD交AD的延长线于点G，过点E作EH∵DA交DA的延长线于点H，
≌，
由（1）得：AHE FGD
∵∵HAE=∵GFD，
∵∵GFD+∵GDF=90°，
∵∵HAE+∵GDF=90°，
∵∵HAE=∵MAD，∵GDF=∵MDA，
∵∵MAD+∵MDA=90°，
∵∵AMD=90°，
∵点N是EF的中点，
EF，
∵MN=1
2
∵EH=DG=AP，AH=FG=PD，
∵HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4，
当点P与点D重合时，FG=0，EH=4，HG=8，
此时EF 最大值
当点P 与AD 的中点重合时，FG =2，EH =2，HG =8，
此时EF 最小值= HG =8，
∵MN 的取值范围是：4≤MN
＜
本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，添加辅助线，构造直角全等的直角三角形，是解题的关键．
8．（2021·江苏苏州市）如图，在矩形ABCD 中，线段EF 、GH 分别平行于AD 、AB ，它们相交于点P ，点1P 、2P 分别在线段PF 、PH 上，1PP PG =，2PP PE =，连接1PH 、2P F ，1
PH 与2P F 交于点Q ．已知::1:2AG GD AE EB ==．设AG a =，AE b =．
（1）四边形EBHP 的面积______四边形GPFD 的面积（填“>”、“=”或“<”）；
（2）求证：1
2PFQ P HQ ∽△△； （3）设四边形12PPQP 的面积为1S ，四边形CFQH 的面积为2S ，求12
S S 的值．
【答案】（1）=；（2）见解析；（3）14
【分析】
（1）由四边形ABCD 为矩形及//GH AB ，//EF AD ，证明四边形PFCH 为矩形，四边形AGPE 、GDFP 、EPHB 均为矩形．再利用矩形的面积公式求解四边形EBHP 的面积与四边形GPFD 的面积，从而可得答案；
（2）由1PP PG =，2PP PE =，结合2PE PH ab ⋅=，2PG PF ab ⋅=，结合21FPP HPP ∠=∠，
证明21PP F PPH ∽△△．可得21PFP PHP ∠=∠．从而可得结论；
（3）解法一：连接12PP ，FH ，证明12PPP CFH ∽
△△．可得1221214PP P CFH S PP S FH ⎛⎫== ⎪⎝⎭．再证明12PQP FQH ∽△△．可得12
21214PQP FQH S PP S FH ⎛⎫== ⎪⎝⎭
△△，从而可得答案； 解法二：连接12PP 、FH ．证明四边形12PPOP ∽的四边形CFQH ．从而可得答案．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，
∵90BAD B C ．
∵//GH AB ，
∵90B GHC ∠=∠=︒，90BAD PGD ∠=∠=︒．
∵//EF AD ，
∵90PGD HPF ∠=∠=︒．
∵四边形PFCH 为矩形．
同理可得：四边形AGPE 、GDFP 、EPHB 均为矩形．
∵AG a =，AE b =，::1:2AG GD AE EB ==，
∵PE a =，PG b =，2GD PF a ==，2EB PH b ==．
∵四边形EBHP 的面积2PE PH ab =⋅=，四边形GPFD 的面积2PG PF ab =⋅=．
．四边形EBHP 的面积=四边形GPFD 的面积．
（2）∵1PP PG =
，2PP PE =，由（1）中2PE PH ab ⋅=，2PG PF ab ⋅=，
∵21PP PH PP PF ⋅=⋅，即
21
PP PF PP PH =， ∵21FPP HPP ∠=∠，
∵21
PP F PPH ∽△△． ∵21PFP PHP ∠=∠． ∵1
2PQF P QH ∠=∠， ∵1
2PFQ P HQ ∽△△． （3）解法一：连接12PP ，FH ，
∵
2122PP a CH a ==，1122PP b CF b ==， ∵21PP PP CH CF
=． ∵1290PPP C ∠=∠=︒，
∵12PPP CFH ∽
△△． ∵12112PP PP FH CF ==，1221214
PP P CFH S PP S FH ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 由（2）12PFQ P HQ ∽△△，得12PQ FQ P Q HQ =， ∵12PQ P Q FQ HQ
=． ∵12PQP FQH ∠=∠，
∵12PQP FQH ∽
△△． ∵12
2
1214PQP FQH S PP S FH ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△． ∵12121PP P P P Q S S S =+△△，
∵()12111144
44
CFH FQM CFH FQM S S S S S S =+=+=△△△△．
∵1214
S S =． 解法二：连接12PP 、FH ． ∵
2122PP a CH a ==，1122PP b CF b ==， ∵21PP PP CH CF
=． ∵1290PPP C ∠=∠=︒，
∵12PPP CFH ∽
△△． ∵
12112
PP PP FH CF ==，12PPP CFH ∠=∠，21PP P CHF ∠=∠． 由（2）中12PFQ P HQ ∽△△，得12PQ FQ P Q HQ =， ∵12PQ P Q FQ HQ
=． ∵12PQP FQH ∠=∠，
∵12PQP FQH ∽
△△． ∵
121212PQ P Q PP FQ QH FH ===，21P PQ HFQ ∠=∠，12PP Q FHQ ∠=∠． ∵121212
PQ P Q PP PP FQ HQ CF CH ====，1PPQ CFQ ∠=∠，2PP Q CHQ ∠=∠． 又12PPP C ∠=∠，12PQP
FQH ∠=∠， ∵四边形12PPOP ∽的四边形CFQH ． ∵2
11214
S PP S CF ⎛⎫== ⎪⎝⎭．
本题考查的是矩形的性质，矩形的判定，相似三角形的判定与性质，相似四边形的判定与性质，构建相似三角形的模型是解题的关键．
9．（2021·江苏连云港的）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1）ABC 是边长为3的等边三角形，E 是边AC 上的一点，且1AE =，小亮以BE 为边作等边三角形BEF ，如图1，求CF 的长；
（2）ABC 是边长为3的等边三角形，E 是边AC 上的一个动点，小亮以BE 为边作等边三角形BEF ，如图2，在点E 从点C 到点A 的运动过程中，求点F 所经过的路径长；
（3）ABC 是边长为3的等边三角形，M 是高CD 上的一个动点，小亮以BM 为边作等边三角形BMN ，如图3，在点M 从点C 到点D 的运动过程中，求点N 所经过的路径长；
（4）正方形ABCD 的边长为3，E 是边CB 上的一个动点，在点E 从点C 到点B 的运动过程中，小亮以B 为顶点作正方形BFGH ，其中点F 、G 都在直线AE 上，如图4，当点E 到达点B 时，点F 、G 、H 与点B 重合．则点H 所经过的路径长为______，点G 所经过的路径长为______．
【答案】（1）1；（2）3；（3（4）34π 【分析】
（1）由ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，BA BC =，BE BF =， ABE CBF ∠=∠，可证ABE CBF ∆∆≌即可； （2）连接CF ，ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，
可证ABE CBF ∆∆≌，可得BCF ABC ∠=∠，又点E 在C 处时，CF AC =，点E 在A 处时，点F 与C 重合．可得点F 运动的路径的长3==AC ；
（3）取BC 中点H ，连接HN ，由ABC ∆、BMN ∆是等边三角形，可证≌∆∆DBM HBN ，可得NH BC ⊥．又点M
在C 处时，==HN CD M 在D 处时，点N 与H 重合．可求点N 所经过的路径的长==CD （4）连接CG ,AC ，OB ，由∵CGA =90°，点G 在以AC 中点为圆心，AC 为直径的BC 上运动，由四边形ABCD 为
正方形，BC 为边长，设OC =x ，由勾股定理222CO BO BC +=即，可求x =
点G 所经过的路径长为BC 长，点H 所经过的路径长为BN 的长34π=． 【详解】
解:（1）∵ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，
∵BA BC =，BE BF =，60∠=∠=︒ABC EBF ．
∵∠+∠=∠+∠ABE CBE CBF CBE ，
∵ABE CBF ∠=∠，
∵ABE CBF ∆∆≌，
∵1CF AE ==；
（2）连接CF ，
∵ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，
∵BA BC =，BE BF =，60∠=∠=︒ABC EBF ．
∵∠+∠=∠+∠ABE CBE CBF CBE ，
∵ABE CBF ∠=∠，
∵ABE CBF ∆∆≌，
∵CF AE =，60∠=∠=︒BCF BAE ，
∵60ABC ∠=︒，
∵BCF ABC ∠=∠，
∵//CF AB ，
又点E 在C 处时，CF AC =，点E 在A 处时，点F 与C 重合．
∵点F 运动的路径的长3==AC ；
（3）取BC 中点H ，连接HN ， ∵12BH BC =， ∵12
=BH AB ， ∵CD AB ⊥， ∵12
BD AB =，
∵BH BD =，
∵ABC ∆、BMN ∆是等边三角形，
∵BM BN =，60∠=∠=︒ABC MBN ，
∵∠+∠=∠+∠DBM MBH HBN MBH ，
∵∠=∠DBM HBN ，
∵≌∆∆DBM HBN ，
∵=HN DM ，90∠=∠=︒BHN BDM ，
∵NH BC ⊥，
又点M 在C 处时，==HN CD M 在D 处时，点N 与H 重合，
∵点N 所经过的路径的长==
CD （4）连接CG ,AC ，OB ，
∵∵CGA =90°， ∵点G 在以AC 中点为圆心，AC 为直径的BC 上运动，
∵四边形ABCD 为正方形，BC 为边长，
∵∵COB =90°，设OC =x ，
由勾股定理222CO BO BC +=即2223x x +=，
∵2
x =
点G 所经过的路径长为BC 长=12424π⎛⨯= ⎝⎭
， 点H 在以BC 中点为圆心，BC 长为直径的弧BN 上运动，
点H 所经过的路径长为BN 的长度，
∵点G 运动圆周的四分之一，
∵点H 也运动圆周的四分一，
点H 所经过的路径长为BN 的长=1332424
ππ⨯⨯=，
故答案为34π．
本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解题关键． 10．（2021·江苏无锡市）已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 是射线BC 上的动点，以AE 为直角边在直线BC 的上方作等腰直角三角形AEF ，90AEF ∠=︒，设BE m =．
（1）如图1，若点E 在线段BC 上运动，EF 交CD 于点P ，AF 交CD 于点Q ，连结CF ，
∵当13
m =时，求线段CF 的长；
∵在PQE 中，设边QE 上的高为h ，请用含m 的代数式表示h ，并求h 的最大值；
（2）设过BC 的中点且垂直于BC 的直线被等腰直角三角形AEF 截得的线段长为y ，请直接写出y 与m 的关系式． 【答案】（1）
∵2h m m =-+，h 最大值=14；（2）32222211(0)22211()222m m m m m y m m m m
⎧+++≤≤⎪⎪+=⎨+⎪>⎪+⎩ 【分析】
（1）∵过点F 作FM ∵BC ，交BC 的延长线于点M ，先证明ABE EMF ≅，可得FM =13，CM =13
，进而即可求解；∵由BAE CEP ，得CP =2m m -，把ADQ △绕点A 顺时针旋转90°得ABG ，可得EQ =DQ +BE ，利用勾股定理
得DQ =11m m -+，EQ =211m m ++，QP =31m m m
++，结合三角形面积公式，即可得到答案； （2）以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则E (m ，0)，A (0，1)，F (1+m ，m )，从而求出AE 的解析式为：y =1m -
x +1，AF 的解析式为：y =11m m -+x +1，EF 的解析式为：y =mx -m 2，再分两种情况：∵当0≤m ≤12时，∵当m ＞12时，分别求解即可．
【详解】
解：（1）∵过点F 作FM ∵BC ，交BC 的延长线于点M ，
∵在等腰直角三角形AEF 中，90AEF ∠=︒，AE =FE ，在正方形ABCD 中，∵B =90°，
∵∵BAE +∵AEB =∵FEM +∵AEB ，
∵∵BAE =∵FEM ，
又∵∵B =∵FME ，
∵ABE EMF ≅，
∵FM =BE =13
，EM =AB =BC ， ∵CM =BE =13
，
∵CF = ∵∵∵BAE =∵FEC ，∵B =∵ECP =90°，
∵BAE CEP ， ∵CP CE BE AB =，即：11
CP m m -=， ∵CP =2m m -，
把ADQ △绕点A 顺时针旋转90°得ABG ，则AG =AQ ，∵GAB =∵QAD ，GB =DQ ， ∵∵EAF =45°，
∵∵BAE +∵QAD =∵BAE +∵GAB =90°-45°=45°，即：∵GAE =∵EAF =45°，
∵∵ABG =∵ABE =90°，
∵B 、G 、E 三点共线，
又∵AE =AE ，
∵GAE EAQ ≅∠，
∵EQ =EG =GB +BE =DQ +BE ，
∵在Rt CEQ 中，222CE CQ QE +=，即：()()()222
11m DQ m DQ -+-=+，
∵DQ =11m m -+， ∵EQ = DQ +BE =11m m -++m =211m m ++，QP =1-11m m -+-(2m m -)=31m m m
++， ∵1122QPE S QP CE QE h =⨯=⋅，即：31m m m ++×(1-m )= 211m m
++×h ， ∵2
h m m =-+=21124m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，即m =12时，h 最大值=14；
（3）以点B为坐标原点，BC 所在直线为x轴，建立直角坐标系，则E(m，0)，A(0，1)，∵直线m过AB的中点且垂直AB，
∵直线m的解析式为：x=1
2
，
过点F作FM∵x轴于点M，由（1）可知：ABE EMF
≅，即FM=BE，EM=AB，
∵F(1+m，m)，
设AE的解析式为：y=kx+b，
把E(m，0)，A(0，1)代入上式，得
1
km b
b
=+
⎧
⎨
=
⎩
，解得：
1
1
k
m
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∵AE的解析式为：y=
1
m
-x+1，
同理：AF的解析式为：y=
1
1
m
m
-
+
x+1，EF的解析式为：y=mx-m2，
∵当0≤m≤1
2时，如图，G(1
2
，
31
22
m
m
+
+
)，N(1
2
，1
2
m-m2)，
∵y=31
22
m
m
+
+
-(1
2
m-m2)=
32
221
22
m m m
m
+++
+
，
∵当m＞1
2时，如图，G(1
2
，
31
22
m
m
+
+
)，N(1
2
，
21
2
m
m
-
)，
∵y=31
22
m
m
+
+
-
21
2
m
m
-
=
2
2
1
22
m
m m
+
+
，
综上所述：
32
2
2
2211
(0)
222
11
()
222
m m m
m
m
y
m
m
m m
⎧+++
≤≤
⎪⎪+
=⎨
+
⎪>
⎪+
⎩
．
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，添加辅助线构造全等三角形，建立坐标系，把几何问题用代数的方法解决，是解题的关键．
11．（2021·江苏南京市）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
π．在图∵所示的（1）如图∵，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，AC的长为4cm
圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．
（2）图∵中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．
∵蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．
∵设AD的长为a，点B在母线OC上，OB b
=．圆柱的侧面展开图如图∵所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B 的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．
【答案】（1）作图如图所示；（2）∵h +l；∵见解析．
【分析】
（1）根据两点之间线段最短，即可得到最短路径；连接OA ，AC ，可以利用弧长与母线长求出∵AOC ，进而证明出∵OAC 是等边三角形，利用三角函数即可求解；
（2）∵由于圆锥底面圆周上的任意一点到圆锥顶点的距离都等于母线长，因此只要蚂蚁从点A 爬到圆锥底面圆周上的路径最短即可，因此顺着圆柱侧面的高爬行，所以得出最短路径长即为圆柱的高h 加上圆锥的母线长l ； ∵如图，根据已知条件，设出线段GC 的长后，即可用它分别表示出OE 、BE 、GE 、AF ，进一步可以表示出BG 、GA ，根据B 、G 、A 三点共线，在Rt ∵ABH 中利用勾股定理建立方程即可求出GC 的长，最后依次代入前面线段表达式中即可求出最短路径长．
【详解】
解：（1）如图所示，线段AB 即为蚂蚁从点A 爬行到点B 的最短路径；
设∵AOC =n °，
∵圆锥的母线长为12cm ， AC 的长为4cm π， ∵12=4180
n ππ， ∵60n =；
连接OA 、CA ，
∵12OA OC ==，
∵OAC 是等边三角形，
∵B 为母线OC 的中点，
∵AB OC ⊥，
∵°sin 60AB OA =⨯
（2）∵ 蚂蚁从点A 爬行到点O 的最短路径为：先沿着过A 点且垂直于地面的直线爬到圆柱的上底面圆周上，再沿圆锥母线爬到顶点O 上，因此，最短路径长为h +l
∵ 蚂蚁从点A 爬行到点B 的最短路径的示意图如下图所示，线段AB 即为其最短路径（G 点为蚂蚁在圆柱上底面圆周上经过的点，图中两个C 点为图形展开前图中的C 点）；
求最短路径的长的思路如下：如图，连接OG ，并过G 点作GF ∵AD ，垂足为F ，由题可知，OG OC l ==，GF =h ， OB =b ，
由AD 的长为a ，得展开后的线段AD =a ，设线段GC 的长为x ，则GC 的弧长也为x ，由母线长为l ，可求出∵COG ， 作BE ∵OG ，垂足为E ，
因为OB=b，可由三角函数求出OE和BE，从而得到GE，利用勾股定理表示出BG，
接着由FD=CG=x，得到AF=a-x，利用勾股定理可以求出AG，
将AF+BE即得到AH，将EG+GF即得到HB，
因为两点之间线段最短，∵A、G、B三点共线，
利用勾股定理可以得到：222
=+,进而得到关于x的方程，即可解出x，
AB AH BH
将x的值回代到BG和AG中，求出它们的和即可得到最短路径的长．
本题考查的是曲面上的最短路径问题，涉及到圆锥和圆柱以及它们的组合体上的最短路径问题，解题过程涉及到“两点之间、线段最短”以及勾股定理和三角函数等知识，本题为开放性试题，答案形式不唯一，对学生的空间想象能力以及图形的感知力要求较高，蕴含了数形结合等思想方法．。