人教版高中数学必修四精品讲义

任意角和弧度制
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1.理解1弧度的角、弧度制的定义.
2.掌握角度与弧度的换算公式
3.熟记特殊角的弧度数
(一)角的概念：1 任意角
正角：___________________________________ 负角：___________________________________2 象限角
定义：角的顶在原点始边与x 轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。

与角α有相同终边所有角表示为：__________________________（1）在直角坐标系内讨论角：
注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与角终边相同的角的集合：
（3）区间角的表示： ①象限角：
象限角象限角的集合表示
第一象限角的集合
第二象限角的集合第三象限角的集合
第四象限角的集合
α}
,2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或
②写出图中所表示的区间角： 由的终边所在的象限， 来判断
所在的象限，来判断
所在的象限
(二)弧度制
1 弧度角的规定.
它的单位是rad 读作弧度
如图：∠AOB=1rad
∠AOC=2rad 周角=2πrad
定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

与圆的半径无关以弧度为单位
来度量角的制度叫弧度制。

（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角α的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径） （3）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）弧度制与角度制的换算公式：弧度制=角度制*π/180o
角度制=弧度制*180o /π
2π=360o
弧度数α与弧长L 与半径R 的关系：__________________________ （4）弧长公式：____________；扇形面积公式：________________
弧长公:_______________，扇形面积公式：________________（初中）
2 弧度制与角度制的换算：
因为周角的弧度数是2，角度是360°，所以有
把上面的关系反过来写
α2
α
3
α
r
l
=
αl r πrad
rad rad
rad 01745.0180
11802360≈=
==π
ππ o
r
C 2rad 1rad r l=2r
o A A B
之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.
度0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
类型一：角的概念问题
1. 终边相同的角的表示
例1 若角是第三象限的角，则角的终边在第______象限.
练习：与角终边相同的角可表示为_____________. 2. 象限角的表示
例2 已知角是第二象限角，问（1）
角
是第几象限的角？（2）角终边的位置.
类型二：弧度制与弧长公式
1.角度制与弧度制的互化
例3　把下列各角的度数化为弧度数：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷　
练习：把下列各角的弧度数化为度数：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷例4（1）设，用弧度制表示，并指出它所在的象限；
（2）设，用角度制表示，并在～内找出与它有相同终边的所
有角.
1803602==rad rad ππ815730.57)180
(
1'
=≈= rad rad π
360~0αα-o
610α2
α
2α
150'3037
'
3022
-
315-rad 43πrad 5.3rad 35πrad 4
9π-o
750α=α35
βπ=βo
720-o 0
练习：（1）设，用弧度制表示，并指出它所在的象限； （2）设，用角度制表示，并在～内找出与它有相同终边的所有角.
2.求弧长与扇形面积
例5 已知一扇形中心角为，所在圆半径为.
（1）若，cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；
（2）若扇形的周长为一定值，当为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值.
练习：设扇形的周长为cm ，面积为cm
2，则扇形的圆心角的弧度数是________.
1. 下列角中终边与330°相同的角是（ ）
A ．30°
B ．-30°
C ．630°
D ．-630°
2. －1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3. 把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 （ ） A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°
4. 终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝
B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝
C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝
D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝
5. 已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A C D ．A=B=C
6. 下列结论正确的是（ ）
Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同
D ．=7. 若是第四象限的角，则是( )
A ．第一象限的角
B ．第二象限角
C ．第三象限的角
D ．第四象限的角8. 写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．9. 与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________．
o
570α=-α7
3
βπ=βo 720-o 0αR 3
π
α=
10R =(>0)C C α84⊂{
}Z k k ∈±⋅=,90360|
αα{}
Z
k k ∈+⋅=,90180| αααα-
180
10. 若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．
_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
基础巩固
一、选择题
1. (2014·山东济南商河弘德中学)已知α＝－3，则角α的终边所在的象限是( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2. 与－13π
3
终边相同的角的集合是( )
A．{－π3}B．{5π3}
C．{α|α＝2kπ＋π3，k∈Z}D．{α|α＝2kπ＋5π3，k∈Z}
3. 已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B＝( )
A．∅
B．{α|0≤α≤π|
C．{α|－4≤α≤4|
D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}
4. 一条弧所对的圆心角是2rad，它所对的弦长为2，则这条弧的长是( )
A．
1
sin1
B．
1
sin2
C．
2
sin1
D．
2
sin2
5. (2014·浙江象山中学高一月考)某扇形的面积为1cm2，它的周长为4 cm，那么该扇形的圆心角等于( )
A．2°B．2
C．4°D．4
6. 如图中，圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是( )
A ．175π36
B ．125π18
C ．
75π18
D ．
34π9
二、填空题
7. 若两个角的差是1°，它们的和是1弧度，则这两个角的弧度数分别是__________．8. 正n 边形的一个内角的弧度数等于__________．三、解答题
9. 已知α1＝－570°、α2＝750°，β1＝
3π5，β2＝－7π3
.(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在象限；
(2)将β1、β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与β1、β2有相同终边的角．
能力提升
一、选择题
1. 扇形的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 ____弧度．( )A ．πB ．π2C ．π
3
D ．π4
2. 在直角坐标系中，若角α与角β终边关于原点对称，则必有( )A ．α＝－βB ．α＝－2k π±β(k ∈Z )C ．α＝π＋β
D ．α＝2k π＋π＋β(k ∈Z )
3．在半径为3cm 的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为( )A ．π3cm B ．πcm C ．3π2
cm D ．2π3
cm 4. 下列各组角中，终边相同的角是( )A ．(2k ＋1)π与(4k ±1)π，k ∈Z
B ．
k π
2
与k π＋
π
2
，k ∈Z
C．kπ＋π
6
与2kπ±
π
6
，k∈Z D．kπ±
π
3
与
kπ
3
，k∈Z
二、填空题
5. 把－11π
4
写成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是________．
6. 用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为________.
三、解答题
7. x正半轴上一点A绕原点依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A每分钟转过θ角(0<θ≤π)，经过2min到达第三象限，经过14min回到原来的位置，那么θ是多少弧度？
8. 设集合A＝{α|α＝3
2
kπ，k∈Z}，B＝{β|β＝
5
3
kπ，|k|≤10，k∈Z}，求与A∩B
的角终边相同的角的集合．
9. 已知扇形AOB的周长为8cm.
(1)若这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的弧度数和弦长AB.
任意角的三角函数
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；
2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题.
（一）任意角的三角函数：
任意点到原点的距离公式：____________________1.三角函数定义：
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为
，它与原点的距离为，那么
（1
）比值叫做α的正弦，记作，即；（2）比值叫做α的余弦，记作，即；
（3）比值叫做α的正切，记作，即；
（4）比值
叫做α的余切，记作，即；正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

=
r P (,)x y (0)r r ==>y r sin αsin y r α=x r cos αcos x
r α=y x tan αtan y
x
α=x y cot αcot x y
α=
（二）单位圆与三角函数线：
1.三角函数线的定义：当角的终边上一点的坐标满足____________时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。

2.有向线段：____________________________
规定：与坐标轴方向一致时为_____，与坐标方向相反时为______。

3．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
_________________， _______________，_______________我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。

(,)P x y αO x P
(,)x y P
x M (1,0)A αT α,OM
x MP y ==sin 1
y y y MP r
α====cos 1x x x OM r α
====tan y MP AT AT x OM OA
α====,,MP OM AT （Ⅳ）
（Ⅲ）
5.三角函数在各象限符号：
任意角的三角函数符号的记忆方法：
口诀：“全正切余”可音译为“全是天才”（三）同角三角函数的基本关系：1.
由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
（1）商数关系:________________ （2）平方关系:___________________
类型一：任意角的三角函数
例1．已知角α的终边经过点，求α的三个函数制值。

练习：已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.
例2．求下列各角的三个三角函数值：
（1）； （2）； （3
）
．(2,3)
P -α0(3,4)P --α0π32
πx
类型二：三角函数的定义与三角函数的符号1.利用三角函数值的符号确定角的终边所在的象限例3 确定下列三角函数值的符号 （1）； （2）； （3）； （4）.练习：
1.点位于第________象限；
2.，，的大小关系是_________________(用“”号连接).
例4 已知角终边上一点与轴的距离和与轴的距离之比为:(且均不为零)，求的值.
练习：设角的终边过点，求、和的值.
类型三：同角三角函数的基本关系
例5. 已知，，求、的值．练习：1.已知，，求、.o
cos250sin(4
π
-
o tan(672)-11tan
3
π
o
o
(sin(20),tan 280)P -sin1cos1tan1<αP x y 342sin cos αα+α(5,12) (0)P a a a -≠sin αcos αtan α4sin 5α=
(,)2
π
απ∈cos αtan α1cos 4θ=
(,0)2
π
θ∈-sin θtan θ
2.已知，，求.例6.证明练习：1.证明例7.已知 ，求下列各式的值：（1）
（2）练习：1.已知,则（ ）
例8．已知，且．求、的值；
练习：
1.已知
，求的值.3(,
)2
π
απ∈tan 2α=cos αsin tan tan (cos sin )sin cot csc αα
αααααα
+-+
=+1sin 1cos tan cot 1cos 1sin θθ
θθθθ
--⋅
=⋅
++3sin(3)2sin(
)2
π
παα+=+sin 4cos ;5sin 2cos αα
αα
-+2
sin sin 2αα
+tan 2θ=2
2sin
sin cos 2cos θθθθ+-=4.3A -5.4
B 3.4
C -4.
5D 1
sin cos 5
ββ+=0βπ<<sin cos ββsin cos ββ-sin cos αα+=
2211sin cos αα
+
1.(文)(2011·绵阳二诊)已知角A 同时满足sin A >0且tan A <0，则角A 的终边一定落在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2.(理)(2012·广西田阳高中月考)若sin αtan α<0，且cos α
tan α
<0，则角α是( )A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三角限角
D ．第四象限角
3．已知点P (－3,4)在角α的终边上，则sin α＋cos α
3sin α＋2cos α
的值为( )
A ．－16
B.16
C.718
D ．－1
4.(理)(2011·海口模拟)已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内
α的取值范围是( )
A ．(π4，π2)
B ．(π，5π
4
)C ．(
3π4，5π4
) D ．(
π4，π2)∪(π，5π4
)5.(理)函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b
2
＝( )
A ．0 B.
22
C ．－1
D ．1
6．(2011·太原调研)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是角α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.
7．(2011·江西文)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－
25
5
，则y ＝________.8.(理)如图所示，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A
（cos α，3
5
），则cos α－sin α＝________.
9．已知角θ的终边上有一点M (3，m )，且sin θ＋cos θ＝－1
5
，则m 的值为________．
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
基础巩固
一、选择题
1．(2014·全国大纲文，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( )A ．
45
B ．
35
2．若sin θ·cos θ<0，则θ在( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限
D ．第二、四象限
3．已知角α的终边经过点P (－b,4)，且sin α＝4
5，则b 等于( )
A ．3
B ．－3
C ．±3
D ．5
∴b ＝±3.
4．设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，则下列各组数中有意义且均为正值的是( )A ．tan A 与cos B B ．cos B 与sin C C ．sin C 与tan A
D ．tan A
2与sin C
5．点A (sin2 014°，cos2 014°)在直角坐标平面上位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限
D ．第四象限
6．已知角α的终边上一点P (－8m,15m )(m <0)，则cos α的值是( )A ．
817
B ．－
817C ．817或－
817D ．根据m 确定
二、填空题
7．(2014·四川成都市树德协进中学高一阶段测试)已知角α终边上一点P (5,12)，则sin α＋cos α＝________.
8．使得lg(cos θ·tan θ)有意义的角θ是第__________象限角．三、解答题
9．求函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x
|tan x |
的值域．
能力提升
一、选择题
1．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A ．sin α＋cos α<0B ．tan α－sin α<0C ．cos α－cot α<0
D ．cot αcsc α<0
2．下列说法正确的是( )
A ．正角的三角函数值是正的，负角的三角函数值是负的，零角的三角函数值是0
B ．角α终边上一点为P (x ，y )，则sin α的值随y 的增大而增大
C ．对任意角α，若α终边上一点坐标为(x ，y )，都有tan α＝
y
x D ．对任意角α(α≠k π
2，k ∈Z )，都有|tan α＋cot α|＝|tan α|＋|cot α|
3．已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ
2的终边在( )
A ．第二、四象限
B ．第一、三象限
C ．第一、三象限或x 轴上
D ．第二、四象限或x 轴上4．若角α的终边在直线y ＝3x 上且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4
二、填空题
5．函数y ＝tan x ＋lgsin x 的定义域为________．
6．若点P (3a －9，a ＋2)在角α的终边上，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是__________．
三、解答题7．求函数f (x )＝
sin x ＋lg (9－x 2)
cos x
的定义域．
8．已知角α的终边上一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，求sin α、cos α、tan α的值．
9．已知：cos α<0，tan α<0.(1)求角α的集合；
(2)求角α
2的终边所在的象限；
(3)试判断sin α2、cos α2、tan α
2
的符号．
诱导公式
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1.理解四组诱导公式及其探究思路
2.学会利用四组诱导公式求解任意角的三角函数值，会进行简单
的化简与证明。

（一）诱导公式诱导公式一:
_______________
______________
_____________（其中）
诱导公式二： ________________
_______________
_______________（其中
）
=+)2sin(παk =+)2cos(παk =+)2tan(παk Z ∈k =-）αsin(=-）αcos(=-）αtan(Z ∈
k
诱导公式三: ____________
___________ ___________（其中）诱导公式四：_____________ ___________
____________（其中）
作用：实现正弦（切）函数和余弦（切）函数的互化。

口决：奇变偶不变，符号看象限．
六组诱导公式（公式中Z ）组数一
二
三
四
五
六
角正弦余弦正切口诀函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
总口诀
奇余偶同，象限定号
=-）απsin(=-）
απcos(=-）
απtan(Z ∈k =+）απsin(=+）απcos(=+）απtan(Z ∈k )
(2
由象限决定数的符号符号指的是前面三角函的奇偶性；
中奇偶指的是
k k
πk ∈2k πα+πα+πα-α
-2
π
α
+2
π
α
-
类型一：利用诱导公式求值
例1 (直接应用) 求下列各三角函数值 （1）； （2）.练习：求的值.
例2 (变式应用) 求的值
练习：求. 例3 (综合应用) 已知
，且为第四象限角，求的值.练习：若，且为第三象限角，求的值.16
sin()3
π-
o cos(945)-o o o o
sin10sin(260)cos100cos(170)---o
o
o
o
o
sin(1200)cos1290cos(1020)sin(1050)tan 945-+--+35463755tan()cos tan 6366
ππππ
-
--o
1cos(75)3
α-=-
αo
sin(105)α+o
1cos(75)3
α+=
αo o
cos(15)sin(15)αα-+-。