第五章经济学模型华东理工大学数学建模精品PPT课件
合集下载
回归模型华东理工大学数学建模课件
数学建模
i
i
2019/1/16东华理工学院数信学院信 息技术系
yi a bxi i (i 1, 2,n)
…………….(2)
称(2)为一元线性回归模型. “一元”是指只有一个自变量X,这个自变量X 是引起因变量Y变化的部分原因. “线性”它一方面指因变量Y与自变量X之间 2 为线性关系,即 y y
息技术系
数学建模
ˆ ˆ bx ya
模型的参数最小二乘估计
问题：设x与y之间的线性关系为（１）式，如何由 一组统计值（xi,yi）,i=1,2…n.来建立起y与x之间的 线性统计模型（线性回归方程）。 ˆ 尽可能 ˆ ，使直线 y a ˆ bx 如何确定参数 a ˆ, b 靠近所有的点（xi,yi）。 即如何去寻找拟合散布点的直线？拟合一条直线的 准则是什么？
(i j; i, j 1, 2,, n)
数学建模
i
2 (3) 误差项 的方差与 n 无关 , 为一常数 . 即 var( i ) E (( i E ( i )) ) 2 2 2019/1/16 E (东华理工学院数信学院信 ) i i (i 1, 2, , n) 息技术系
数学建模
2019/1/16东华理工学院数信学院信 息技术系
另一方面也指因变量Y与参数a,b之间为线性 关系,即
x
2019/1/16东华理工学院数信学院信 息技术系
y y y y 1, 2 0; x, 2 0 a a b b
2 2
数学建模
b,
x
2
0
模型假设条件
(1)误差项 i 的数学期望(均值)为零.即 E( i ) 0(i 1, 2,, n) (2)不同的误差项 i 和 j 之间互相独立. 即 cov( i , j ) E(( i E( i ))( j E( j ))) 0
i
i
2019/1/16东华理工学院数信学院信 息技术系
yi a bxi i (i 1, 2,n)
…………….(2)
称(2)为一元线性回归模型. “一元”是指只有一个自变量X,这个自变量X 是引起因变量Y变化的部分原因. “线性”它一方面指因变量Y与自变量X之间 2 为线性关系,即 y y
息技术系
数学建模
ˆ ˆ bx ya
模型的参数最小二乘估计
问题：设x与y之间的线性关系为（１）式，如何由 一组统计值（xi,yi）,i=1,2…n.来建立起y与x之间的 线性统计模型（线性回归方程）。 ˆ 尽可能 ˆ ，使直线 y a ˆ bx 如何确定参数 a ˆ, b 靠近所有的点（xi,yi）。 即如何去寻找拟合散布点的直线？拟合一条直线的 准则是什么？
(i j; i, j 1, 2,, n)
数学建模
i
2 (3) 误差项 的方差与 n 无关 , 为一常数 . 即 var( i ) E (( i E ( i )) ) 2 2 2019/1/16 E (东华理工学院数信学院信 ) i i (i 1, 2, , n) 息技术系
数学建模
2019/1/16东华理工学院数信学院信 息技术系
另一方面也指因变量Y与参数a,b之间为线性 关系,即
x
2019/1/16东华理工学院数信学院信 息技术系
y y y y 1, 2 0; x, 2 0 a a b b
2 2
数学建模
b,
x
2
0
模型假设条件
(1)误差项 i 的数学期望(均值)为零.即 E( i ) 0(i 1, 2,, n) (2)不同的误差项 i 和 j 之间互相独立. 即 cov( i , j ) E(( i E( i ))( j E( j ))) 0
数学建模讲座PPT_ppt课件
数学建模讲座 PPT
讲座内容
关于数学建模
80年代以来在发达国家兴起并引起巨大凡响的 数学建模竞赛是适应世界性高科技发展及人才需求 而出现的新生事物。 在国家教育部高教司的领导和支持下，提出在 全国普通高校开展数学建模竞赛，旨在“培养学生 解决时间问题的能力和创造精神，全面提高学生的 综合素质”。
不是开玩笑，这就是数学建模。从不同度思考一个 问题，想尽所有的可能，正所谓智者千虑，绝无一 失，这才是数学建模的高手。
数学建模的意义
1 体现了数学的应用价值 2 有利于学生理论联系实际能力的培养 3 有利于培养学生的科研素养 4 有利于增加同学参加课外学术活动的 经验并在评优时更有竞争力。
数学建模的乐趣
论 文
数学建模论文的一般结构
• • • • • • • • • 摘要 问题重述与分析 问题假设 符号说明 模型建立与求解 模型检验 结果分析 模型的进一步讨论 模 问题的重述 基本假设与符号说明 问题的分析与模型的准备
论文的模块设计
模型的建立 模型的求解 模型的检验 模型的灵敏度与稳定性分析 模型的科学性及现实意义 模型的使用说明 模型的进一步讨论与改进 模型评价与推广
1.可以认识一群人； 2.可以消磨一下无聊的时光； 3.可以学会喝咖啡，提高生活品味；
获奖后： 1.加个奖励分拿个奖学金； 2.加个分，保个研； 3.各种其他好处。
数学建模需要能力？？？？
1）分析题意的能力
2）超找资料的能力 3）建立数学模型的能力 4）问题的转化能力 5）现学现用的能力 6）编程能力 7）论文写作能力
论文的模块设计
参考文献 附录
数学建模竞赛网上资源
• 中国数学建模网: • 数学中国网: • 中国大学生数学建模竞赛网:
讲座内容
关于数学建模
80年代以来在发达国家兴起并引起巨大凡响的 数学建模竞赛是适应世界性高科技发展及人才需求 而出现的新生事物。 在国家教育部高教司的领导和支持下，提出在 全国普通高校开展数学建模竞赛，旨在“培养学生 解决时间问题的能力和创造精神，全面提高学生的 综合素质”。
不是开玩笑，这就是数学建模。从不同度思考一个 问题，想尽所有的可能，正所谓智者千虑，绝无一 失，这才是数学建模的高手。
数学建模的意义
1 体现了数学的应用价值 2 有利于学生理论联系实际能力的培养 3 有利于培养学生的科研素养 4 有利于增加同学参加课外学术活动的 经验并在评优时更有竞争力。
数学建模的乐趣
论 文
数学建模论文的一般结构
• • • • • • • • • 摘要 问题重述与分析 问题假设 符号说明 模型建立与求解 模型检验 结果分析 模型的进一步讨论 模 问题的重述 基本假设与符号说明 问题的分析与模型的准备
论文的模块设计
模型的建立 模型的求解 模型的检验 模型的灵敏度与稳定性分析 模型的科学性及现实意义 模型的使用说明 模型的进一步讨论与改进 模型评价与推广
1.可以认识一群人； 2.可以消磨一下无聊的时光； 3.可以学会喝咖啡，提高生活品味；
获奖后： 1.加个奖励分拿个奖学金； 2.加个分，保个研； 3.各种其他好处。
数学建模需要能力？？？？
1）分析题意的能力
2）超找资料的能力 3）建立数学模型的能力 4）问题的转化能力 5）现学现用的能力 6）编程能力 7）论文写作能力
论文的模块设计
参考文献 附录
数学建模竞赛网上资源
• 中国数学建模网: • 数学中国网: • 中国大学生数学建模竞赛网:
经济数学课件PPT课件
80%
极限的四则运算
极限的四则运算包括加减乘除， 以及复合函数的极限运算。这些 运算法则是微积分中处理函数极 限的重要手段。
导数与微分
导数的定义与几何意义
导数描述了函数在某一点的切 线斜率，是函数局部变化快慢 的量度。导数的几何意义是切 线的斜率。
微分的概念与运算
微分是函数增量的线性部分， 即函数在某一点附近的小变化 。微分的运算包括基本初等函 数的微分公式和微分法则。
最简形式，从而得到方程组的解。
线性方程组的解的性质
线性方程组的解具有一些重要的性质，如唯一解、无穷多解等 。这些性质可以通过对方程组进行分类和讨论来得到。
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念之一。对于给定的 矩阵A，如果存在一个非零向量x和实数λ，使得Ax=λx成立，则称λ 为矩阵A的特征值，x为A的对应于λ的特征向量。
定积分的计算方法
定积分的计算方法包括直接法、 换元法和分部积分法等。这些方 法可以帮助我们解决各种复杂的 定积分问题。
03
线性代数
向量与矩阵
01
02
03
04
向量
向量是具有大小和方向的几何 对象，可以表示为有序数列。 在数学中，向量通常用黑体字 母表示，如$mathbf{a}$。
矩阵
矩阵是一个由数字组成的矩形 阵列，可以表示为二维数组。 矩阵的行和列都有明确的数量 和顺序。
导数与微分的应用
导数和微分在经济、工程和科 学等领域有广泛的应用，如边 际分析、优化问题、近似计算 等。
积分
定积分的概念与性
质
定积分是积分的一种，它描述了 函数在某个区间上的面积。定积 分有严格的定义和性质，是微积 分的重要组成部分。
经济学模型(1)
且矩阵A是负定矩阵。
推论1.2 设函数 f (X)=XTAX+BX+C是一个二次多项式, 且AT=A。 则函数 f (X) 在点(a1, a2,…, an)T处达到极小值的充分必要条件是
且矩阵A是正定矩阵。
经济学模型(1)
多元函数的条件极值 Lagrange multiplier
(一)约束条件问题
在最优销售价格p*的表达式中含有规模参数k、价格系数a。 为了确定电视机的最优销售价格,必须预先给出这些参数。
经济学模型(1)
3rew
演讲完毕，谢谢听讲!
再见，see you again
2020/12/12
经济学模型(1)
经济学模型(1)
T(x)在[0, l]上连续,T(x)在 x(0, l )上有唯一的零点x0,且x0是T(x)
在(0,l )内唯一的极小值点, 从而x0也是T(x)在(0,l )内的极小值点,
设 x0满足 T (x)=0, 即
与 1 联系
与 2 联系
经济学模型(1)
记
因此， 即当点 P 满足上述条件时，APB即是光线的传播途径。
经济学模型(1)
3. 需要解决几个问题：
(1) 对实际问题的分析、归纳，做出一些必要且合理的假设条 件，将实际问题中的一些指标进行量化； (2) 给出描述问题的数学提法； (3) 利用数学理论和方法或计算机进行分析, 得出结论； (4) 利用现实问题验证结论的合理性，并作修正.
经济学模型(1)
4.数学模型建模的步骤
P
x
h2 水 2
B
经济学模型(1)
解：设点 A 到水面的垂直距离为 AO= h1, 点B 到水面的垂直距 离为BQ= h2, x 轴沿水面过点O、Q,, OQ = l。
推论1.2 设函数 f (X)=XTAX+BX+C是一个二次多项式, 且AT=A。 则函数 f (X) 在点(a1, a2,…, an)T处达到极小值的充分必要条件是
且矩阵A是正定矩阵。
经济学模型(1)
多元函数的条件极值 Lagrange multiplier
(一)约束条件问题
在最优销售价格p*的表达式中含有规模参数k、价格系数a。 为了确定电视机的最优销售价格,必须预先给出这些参数。
经济学模型(1)
3rew
演讲完毕，谢谢听讲!
再见，see you again
2020/12/12
经济学模型(1)
经济学模型(1)
T(x)在[0, l]上连续,T(x)在 x(0, l )上有唯一的零点x0,且x0是T(x)
在(0,l )内唯一的极小值点, 从而x0也是T(x)在(0,l )内的极小值点,
设 x0满足 T (x)=0, 即
与 1 联系
与 2 联系
经济学模型(1)
记
因此， 即当点 P 满足上述条件时，APB即是光线的传播途径。
经济学模型(1)
3. 需要解决几个问题：
(1) 对实际问题的分析、归纳，做出一些必要且合理的假设条 件，将实际问题中的一些指标进行量化； (2) 给出描述问题的数学提法； (3) 利用数学理论和方法或计算机进行分析, 得出结论； (4) 利用现实问题验证结论的合理性，并作修正.
经济学模型(1)
4.数学模型建模的步骤
P
x
h2 水 2
B
经济学模型(1)
解：设点 A 到水面的垂直距离为 AO= h1, 点B 到水面的垂直距 离为BQ= h2, x 轴沿水面过点O、Q,, OQ = l。
《数学建模大学》PPT课件
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
编辑ppt
8
3 走路步长的选择 问题提出 模型建立 模型求解 请你思考
∴ 因此，总能量消耗为
编辑ppt
10
模型求解 为了使能量消耗最小，应有
约去v/4得
例如，某人m=65kg, l=1m，m’=10kg， v=1.5m/s，则
(米/步)
n=v/s=1.5/0.37≈4(步/秒)
模型基本上符合实际。编辑ppt
11
请你思考 观察鱼在水中的运动发现，它不是水平游动，而是锯
uk~第k次渡船上的商人数
uk, vk=0,1,2;
vk~第k次渡船上的随从数
k=1,2,
dk=(uk , vk)~决策 D={(u , v) u+v=1, 2} ~允许决策集合
sk+1=sk +(-1)kdk
~状态转移律
多步决策 问题
求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按 转移律由编s辑1=pp(t 3,3)到达 sn+1=(0,0). 18
比例系数不随行星而 改变 这规其律中的（必反绝定映对是，某哼常哼一数，力）我学
要找出它。。。。
编辑ppt
22
简单推导如下：
如图，有椭圆方程 :
r p
1ecos
矢径所扫过的面 积A的微分为: dA 1 r2d
2
由开普勒第二定 律:
dA 1r2w常数
dt 2
立即得出: 0d(r2w)2rr•wr2w •
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
编辑ppt
8
3 走路步长的选择 问题提出 模型建立 模型求解 请你思考
∴ 因此，总能量消耗为
编辑ppt
10
模型求解 为了使能量消耗最小，应有
约去v/4得
例如，某人m=65kg, l=1m，m’=10kg， v=1.5m/s，则
(米/步)
n=v/s=1.5/0.37≈4(步/秒)
模型基本上符合实际。编辑ppt
11
请你思考 观察鱼在水中的运动发现，它不是水平游动，而是锯
uk~第k次渡船上的商人数
uk, vk=0,1,2;
vk~第k次渡船上的随从数
k=1,2,
dk=(uk , vk)~决策 D={(u , v) u+v=1, 2} ~允许决策集合
sk+1=sk +(-1)kdk
~状态转移律
多步决策 问题
求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按 转移律由编s辑1=pp(t 3,3)到达 sn+1=(0,0). 18
比例系数不随行星而 改变 这规其律中的（必反绝定映对是，某哼常哼一数，力）我学
要找出它。。。。
编辑ppt
22
简单推导如下：
如图，有椭圆方程 :
r p
1ecos
矢径所扫过的面 积A的微分为: dA 1 r2d
2
由开普勒第二定 律:
dA 1r2w常数
dt 2
立即得出: 0d(r2w)2rr•wr2w •
《数学建模》课件
第一章课程概述§1.1 数学模型与数学建模一．基本概念数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。
其产生以及许多重大发展都是和现实世界的生产活动和其他相应学科的需要密切相关的；同时，作为认识和改造世界的强有力的工具，又促进了科学技术和生产建设的发展。
特别在当今时代，由于计算机软硬件的迅速发展和普及，数学方法被广泛应用于生产实践、社会管理的各个领域和层面。
对具体的应用问题或问题类进行合理的简化假设以及适当的抽象并最终表述为某种数学结构，即我们在这里讨论的数学模型，是现代生产实践与社会生活实现优化决策和科学管理的必要环节。
而数学建模则是指根据实际需要或最终管理目标，对现实问题构建数学模型，对模型进行分析求解，并最终将模型解翻译为决策方案应用于实际的一个由诸多环节组成的一个完整过程。
为理解现实对象与数学模型的关系，以下给出数学建模的一个流程图：二．（引例1）椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？三．（引例2）商人过河设有三名商人，各带一个随从，欲乘一小船渡河，小船只能容纳两人，须由他们自己划行。
随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
而如何乘船渡河的大权掌握在商人们的手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？以下的模型给出了肯定的回答。
一．模型假设：1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一点，四脚的连线呈正方形；2．地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没台阶）。
即地面可视为数学上的连续曲面；3．对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置上至少有三只脚同时着地。
数学建模概论PPT课件
精选最新版ppt
20
数学建模的六个环节
六个环节各自的含义
（5）讨论和验证：根据模型求解的结果，讨论得到的解是 否和情况相符。模型的各个环节都可能影响模型的结果，例 如假设是否合适，归结为数学问题时推理是否正确，求解所 用的方法是否恰当，数据是否满足一定的精确度要求等等， 都应该在讨论的范围之内。
数学建模理论与实践
—— 数学建模概论
精选最新版ppt
1
本讲主要内容
数学建模的基本含义 数学建模的六个环节 数学建模的学习建议
精选最新版ppt
2
数学建模的基本含义 数学建模的六个环节 数学建模的学习建议
精选最新版ppt
3
数学建模的含义
数学模型的起源
1980年4月，美国数学教师协会（NCTM）公布了一份指 导80年代学校数学教育的纲领性文件《关于行动的议程》。 该文件指出：“80年代的数学教育大纲，应当在各年级都介 绍数学的应用，把学生引进到问题解决中去”；“数学课程 应当围绕问题解决来组织，数学教师应当创造一种使问题解 决得以蓬勃发展的课堂环境。” “必须把问题解决作为学校数学教育的核心”。
精选最新版ppt
9
数学建模的含义
数学建模是一个“迭代”的过 程
精选最新版ppt
10
数学建模的含义
传统的应用题与数学建模的关系
当前应用题教学的主要变化趋势是：问题的来源更生活化， 更贴近实际；条件和结论更模糊；可用信息和最终结论更有 待学生自己去挖掘；数据量或信息量趋于海量。因此，当前 应用题教学的发展趋势是逐步向数学建模过渡。数学建模要 从应用做起，从应用题的改革做起。
精选最新版ppt
11
数学建模的含义
一个简单的实例
建模方法示例--华东理工大学数学建模课件.ppt
p1 / n1 p2 / n2 rA (n1 , n2 ) ~ 对A的相对不公平度 p2 / n2
类似地定义 rB(n1,n2)
公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即 设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平
定义 Qi
2 pi
否则, 该席给B
ni (ni 1)
, i 1,2, 该席给Q值较大的一方
2 pi
推广到m方 分配席位
2019/4/24
计算 Qi
ni (ni 1)
, i 1,2， , m
该席给Q值最大的一方 数学建模
Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
2019/4/24 数学建模
2.2 录像机计数器的用途
问 题
经试验，一盘标明180分钟的录像带 从头走到尾，时间用了184分，计数 器读数从0000变到6061。
在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为
4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？
思考
要求
2019/4/24
计数器读数是均匀增长的吗？
p1/n1– p2/n2=5 虽二者的绝对 不公平度相同
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5 但后者对A的不公平 程度已大大降低! 数学建模
2019/4/24
“公平”分配方 法
将绝对度量改为相对度量
若 p1/n1> p2/n2 ，定义
数学建模培训课件-第五章 微分方程模型培训
Q f0L(K / L)
g(y)
Q(K, L) f0K L1 Douglas生产函数
Q , Q 0 K L
2Q K 2
,
2Q L2
0
含义？
0
y
数学建模培训课件-第五章 微分方程模型培训
数学建模培训课件-
18
1. Douglas生产函数
Q(K, L) f0 K L1
QK ~ 单位资金创造的产值 KQK , LQL 1
di
ds
1
s
1
i
1
i(s)
(s0
i0
)
s
1
ln
s s
i
s s0
i 0
D
0
i(0) i0 , s(0) s0
P4
s(t)单调减相轨线的方向 im s 1/ , i im t , i 0
P2
P1
P3
s满足
s0
i0 s
1
ln
s s0
0
0
s S0 1/ s0
1s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至 0 P2: s0<1/ i(t)单调降至0
1
tm~传染病高潮到来时刻 t i 1 ?
(日接触率) tm
数学建模培训课件-第五章 微分方程模型培训
病人可以治愈！
数学建模培训课件-
8
模型3
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模 N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
0
当t
1
(1 )
经济数学建模 ppt课件
由模型决定队员数量x
经济数学模型
模型四 产品销售问题（扩展）
经济数学模型
一、独家耐用产品销售模型
一种耐用新产品进入市场后，一般会经过 一个销售量先增加，然后下降的过程，称为产 品的生命周期，简记为PLC。PLC曲线可能有若 干种情况，其中有一种为钟型，建立数学模型 分析此现象。
问题分析
经济数学模型
模型二 生猪出售问题
经济数学模型
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备， 题 估计使当前80千克重的生猪每天增加2公斤。
市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。 如果估计和预测有误差，对结果有何影响。
分 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 析 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大
经济数学模型
2、复利现值模型
每年折现一次，若n年后的资金是Sn,则初期的资金 为
S0 S（n 1 r）-n
经济数学模型
每年折现m次，若n年后的资金量是Sn,则初期的 资金量为
S0
S（n 1
r ）mn m
连续折现,若n年后的资金量是Sn,则初期的资 金量为
S0 Snern
经济数学模型
dS1 dt
AS1
Be t
C
t
t
解得
经济数学模型
同理
S1(t) K1e At K2e t K3
S2 (t) M1e At M 2e t M 3
其中 K1, K2, K3, M1, M2, M3 都是常数。 由此可见，甲、乙两厂的销售模型是同一 类型。
最优销售价格为
p*
c0
经济数学模型
模型四 产品销售问题（扩展）
经济数学模型
一、独家耐用产品销售模型
一种耐用新产品进入市场后，一般会经过 一个销售量先增加，然后下降的过程，称为产 品的生命周期，简记为PLC。PLC曲线可能有若 干种情况，其中有一种为钟型，建立数学模型 分析此现象。
问题分析
经济数学模型
模型二 生猪出售问题
经济数学模型
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备， 题 估计使当前80千克重的生猪每天增加2公斤。
市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。 如果估计和预测有误差，对结果有何影响。
分 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 析 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大
经济数学模型
2、复利现值模型
每年折现一次，若n年后的资金是Sn,则初期的资金 为
S0 S（n 1 r）-n
经济数学模型
每年折现m次，若n年后的资金量是Sn,则初期的 资金量为
S0
S（n 1
r ）mn m
连续折现,若n年后的资金量是Sn,则初期的资 金量为
S0 Snern
经济数学模型
dS1 dt
AS1
Be t
C
t
t
解得
经济数学模型
同理
S1(t) K1e At K2e t K3
S2 (t) M1e At M 2e t M 3
其中 K1, K2, K3, M1, M2, M3 都是常数。 由此可见，甲、乙两厂的销售模型是同一 类型。
最优销售价格为
p*
c0
数学建模培训PPT课件
第15页/共62页
数学建模作为用数学方法解决实际问题的 第一步，越来越受到人们的重视。
第16页/共62页
数学建模的一般步骤
实体 信息
假设
建模
求
解
应用 验证 分析
第17页/共62页
数学模型的分类
分类标准
具体类别
对某个实际问题 了解的深入程度
白箱模型、灰箱模型、黑箱模型
模型中变量的特 连续模型、离散模型；确定性模型、随
第28页/共62页
建模：
x k • ：第 次渡河前此岸的商人数 k
yk：第 k次渡河前此岸的随从数
xk , yk 0,1, 2,3; k 1, 2, sk (xk , yk ) ：过程的状态
S ：允许状态的集合
S {(x, y) | x 0, y 0,1,2,3; x 3, y 0,1,2,3; x y 1,2}
x=(x1, …, xn)T: 决策变量 f (x): 目标函数, hi(x), gp(x): 约束函数
第38页/共62页
数学规划的一般模型
• min f (x) s.t. hi(x)=0, i=1, …, m gp(x)≥0, p=1, …, t
(MP)
若f(x), hi(x)( i=1, …, m), gp(x)( p=1, …, t) 均为线性函数，则问题(MP)就被称为线
相遇时他已步行了多少分钟？
请思考：本题解答中隐含了哪些假设条 件？
5:30
5分钟 5:35
会合点
相遇点
家
第35页/共62页
预备技能
• 数学知识
分析、代数、几何、概率、统计、优化、 方程…
软件使用
Matlab, Mathematica, Maple, Lindo, Lingo…
数学建模作为用数学方法解决实际问题的 第一步，越来越受到人们的重视。
第16页/共62页
数学建模的一般步骤
实体 信息
假设
建模
求
解
应用 验证 分析
第17页/共62页
数学模型的分类
分类标准
具体类别
对某个实际问题 了解的深入程度
白箱模型、灰箱模型、黑箱模型
模型中变量的特 连续模型、离散模型；确定性模型、随
第28页/共62页
建模：
x k • ：第 次渡河前此岸的商人数 k
yk：第 k次渡河前此岸的随从数
xk , yk 0,1, 2,3; k 1, 2, sk (xk , yk ) ：过程的状态
S ：允许状态的集合
S {(x, y) | x 0, y 0,1,2,3; x 3, y 0,1,2,3; x y 1,2}
x=(x1, …, xn)T: 决策变量 f (x): 目标函数, hi(x), gp(x): 约束函数
第38页/共62页
数学规划的一般模型
• min f (x) s.t. hi(x)=0, i=1, …, m gp(x)≥0, p=1, …, t
(MP)
若f(x), hi(x)( i=1, …, m), gp(x)( p=1, …, t) 均为线性函数，则问题(MP)就被称为线
相遇时他已步行了多少分钟？
请思考：本题解答中隐含了哪些假设条 件？
5:30
5分钟 5:35
会合点
相遇点
家
第35页/共62页
预备技能
• 数学知识
分析、代数、几何、概率、统计、优化、 方程…
软件使用
Matlab, Mathematica, Maple, Lindo, Lingo…
华东理工大学概率论与数理统计课件第五章
例11:设随机变量X 服从正态分布N ( , 2 , ) 而 X1 ,, X 9
分别是来自总体 X 的 s.r.s,且
2 Y1 X i / 6，Y2 X i / 3,s 2 = （X i -Y2） /2 i 1 i 7 i 7 6 9 9
求证：
Z=
证：
（ 2 Y1 -Y2） ~t(2) s
3) X与 S 相互独立.
2
X
2
n 2 (n 1) S
2
/(n 1)
X ~ t (n 1) S/ n
4)设X~N(μ1,σ12),Y~ N(μ2,σ22),从中分别抽取
容量为n1,n2的样本,且两组样本独立,则
( X Y ) ( 1 2 )
2 5）当 1
2
解
1
2 0.975
(10) 20.483
ห้องสมุดไป่ตู้
2
2 0.05
(10) 3.940
例 设 X 1 , X 2 , X 3 , X 4是取自总体N(0,4)的简单随机样本
X a( X 1 2 X 2 ) b(3 X 3 4 X 4 ) 当a =___,b=___时,
X1 ,, X 25
P（0 X 6, 57.7 s 151.73）
2
解：
P（0 X 6, 57.7 s 2 151.73） =P（0 X 6）P(57.7 s 2 151.73）
0-3 X-3 6-3
24s 2 =P（ ）P(13.848 36.4152） 100 100 100 100 25 25 25 =（2（1.5） -1）（0.95-0.05） =（2 0.9332-1） 0.9 =0.77976
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
建模
二、垄断竞争市场的特点
垄断正好是完全竞争的反面，在完 全竞争市场上，许多厂商生常一种同质产 品，不同厂商的产品之间可以完全替代， 而垄断则是某种产品只有唯一的一家生产 者，因这种产品没有良好的替代品。所以 垄断厂商的产量就是行业的产量，垄断厂 商面临的需求曲线就是行业的需求曲线。
府曾根据《谢尔曼反垄断法》起诉杜邦公司，因 为杜邦公司在玻璃纸市场销售额中占75%，有垄 断的嫌疑。
25.10.2020
数学建模
但最后法院判杜邦公司无罪，因为主要用于包 装的玻璃纸有许多的替代品，如蜡纸、塑料纸 、锡箔纸等，若把所有的包装纸包括在内，杜 邦的市场份额就降到了20％，还不能购成垄断 。再如，不少经济学家认为区域性的发电厂在 照明能源上具有垄断地位，因为煤油灯、蜡烛 虽然是电灯的替代品，但实在算不上良好或相 近的替代品，所以在判断垄断是否成立时，必 须全面考虑替代品的存在和替代性的强度。
25.10.2020
数学建模
厂商要成为永久的垄断者，还必须设置很多
的壁垒，使其他厂商不可能进入该行业，即使目 前的垄断者享有巨额利润。所以垄断厂商是某种 产品唯一的生产者，无论该产品的价格的高低， 该厂商都将是唯一的生产者。从这个标准来看， 一家米店就不是垄断者，因为若他涨价过高，马 上会有竞争者开第二家米店。那么什么原因引起 垄断的存在。
25.10.2020
数学建模
虽然可能没有一种行业能完全满足这 些条件（可能只有一些标准化产品市场， 如初级产品，农产品比较接近完全竞争）， 但完全竞争模型不失为微观经济学理论中 最关键的部分。现实情况或多或少完全偏 离了完全竞争的假设前提，但运用完全竞 争理论的扩展和延伸模型来分析，有时并 没有太大的影响。
数学建模
厂商利润极大化均衡模型
▪ 市场论中不同类型市场的特点 ▪ 完全竞争市场的特点 ▪ 垄断竞争市场的特点 ▪ 寡占市场的特点 ▪ 厂商在不同类型市场中的利润极大化均衡
模型分析
25.10.2020
数学建模
市场论中不同类型市场的特点
一、完全竞争市场的特点 在常人心目中，竞争让人想起商场上你死我活的
五种原因被认为是造成垄断的经典原因。 （1）对投入品（原材料）的控制。资源的 垄断带来了产品的垄断，比如“石油输出国组织” 该组织成员国占据了全世界原油储量的近70%,所 以能在相当程度上操作世界原油价格。
25.10.2020
数学建模
不过严格地说，该组织并不是单个垄断者， 而是一种卡特尔。4个核心国家（沙特、科威特、 伊朗和委内瑞拉）占了欧佩克石油储量的四分之 三以上（在某个行业中，若几个主要的厂商联手 限制产量、操作价格，以实现垄断利润。称这种 联合为卡特尔（cartel）），它能使一个竞争市 场变成垄断市场。一般地，没有哪一个卡特尔对 经济造成严重影响，从经济学的角度来分析，卡 特尔失败是因为其内在不稳定性。首先，卡特尔 内部的每一家厂商都有强烈的欺骗动机。卡特尔 的高价格是通过限制产量来实现的，但每个成员 都希望只享受卡特尔的好处——高价格，
可替代的，那么甲厂商不可能定价比乙厂家
高，否则他会一袋面粉也卖不出去。
25.10.2020
数学建模
4、生产者和消费者都拥有充分的信息。在完 全竞争市场上，所有与该产品的信息都是完全 公开的，生产者和消费者可据此作出正确的决 策。对生产者来说，有关信息包括产品的生产 方法，投入要素的价格以及产品的价格等；对 消费者来说，有关信息包括他们自己的偏好， 产品价格等，此外消费者有时也是生产要素的 供应者，他们必须知道自己供应的要素可得到 多少报酬。
25.10.2020
数学建模
垄断厂商的产品没有相近的替代品，若存在 替代品，该厂商不得不和别的厂商进行竞争而没 有完全控制市场的能力。如，松下电器公司是生 产松下电器的唯一厂商，但它并不是垄断者，因 为索尼，东芝，菲力浦电器均是其非常相近的替 代品，若松下公司冒然提价，便会轻易地失去相 当部分的市场份额。当然，怎么样的替代品才能 构成竞争具有一定的模糊性。如，1956年美国政
25.10.2020
3、同质产品。在完全竞争市场上，所有厂
商都生产同一种标准化产品，在消费者眼里，
购买不管那家厂商的产品都没有差异的。所
数学建模
以整个行业的总产量就等于单个厂商的产品
相加。产品的同质性（Homogeneity）是市场
统一价格的前提，若甲厂商生产的面粉与乙
（
厂商生产的面粉被认为是完全同质的，完全
第五章 经济学模型
数学建模
▪ 5.1 ▪ 5.2 ▪ 5.3 ▪ 5.4 ▪ 5.5 ▪ 5.6 ▪ 5.7
厂商利润极大化均衡模型 寡占市场的价格领导模型 垄断厂商对要素的需求模型 完全竞争厂商对要素的需求模型 效用极大化的消费者选择模型 最优成本组合与厂商长期成本模型 价格歧视
25.10.2020
25.10.2020
数学建模
2、资源完全自由流动。当外部条件（如 产品价格等）发生变化时，产业发生相应的调 整往往会带来部分资源进入或退出该行业。当 行业扩张时，新的劳动、土地、能源、资金等 会流入该行业，而当行业收缩时，原行业内的 部分资源又会流出该行业另觅出路。一个完人 竞争的市场要求资源进入或退出该行业没有人 为的壁垒，如，执照特许等。还有自然因素也 会带来资源转移的壁垒。如有些行业规模经济 十分显著，要建立一个大规模的企业，但需要 有十分雄厚的财力基础，这在事实上给绝大多 数潜在进入者设置了障碍，称为自然垄断 （Natural Monopoly）。
斗争，如：福特汽车公司与通用汽车公司，松下电器 与索尼电器都是老竞争对手，每家公司在作出决策时， 都要考虑自己的行动会如何引起竞争对手的反应和对 策。然而，在经济学模型中，完全竞争的定义却与通 常意义上的竞争相差甚远。在一个完全竞争的行业中， 每家厂商都失去了自己的个性，并且不必考虑自己的 行为会给整个市场带来什么影响，因为每一家厂商在 市场中所占份额都是微不足道的，更精确的说，经济 学意义的完全竞争市场必须符合以下四个条件。
25.10.2020
数学建模
1、大量的买主和卖主。在市场的买方和卖 方两边都必须有大量的参与者，从而任何一名 买者或卖者都不会在市场占显著的份额，均无 法 通过自己的买卖行为来影响总产量或市场价 格。即完全竞争市场上每个人都是价格接受者， 即厂商将市场价格看作是与自己产量无关的既 定变量，所以每个厂商都面临一条从截距为市 场价格P的水平需求曲线。只要厂商人数较多， 且没有串谋，价格接受者的假设基本成立。
二、垄断竞争市场的特点
垄断正好是完全竞争的反面，在完 全竞争市场上，许多厂商生常一种同质产 品，不同厂商的产品之间可以完全替代， 而垄断则是某种产品只有唯一的一家生产 者，因这种产品没有良好的替代品。所以 垄断厂商的产量就是行业的产量，垄断厂 商面临的需求曲线就是行业的需求曲线。
府曾根据《谢尔曼反垄断法》起诉杜邦公司，因 为杜邦公司在玻璃纸市场销售额中占75%，有垄 断的嫌疑。
25.10.2020
数学建模
但最后法院判杜邦公司无罪，因为主要用于包 装的玻璃纸有许多的替代品，如蜡纸、塑料纸 、锡箔纸等，若把所有的包装纸包括在内，杜 邦的市场份额就降到了20％，还不能购成垄断 。再如，不少经济学家认为区域性的发电厂在 照明能源上具有垄断地位，因为煤油灯、蜡烛 虽然是电灯的替代品，但实在算不上良好或相 近的替代品，所以在判断垄断是否成立时，必 须全面考虑替代品的存在和替代性的强度。
25.10.2020
数学建模
厂商要成为永久的垄断者，还必须设置很多
的壁垒，使其他厂商不可能进入该行业，即使目 前的垄断者享有巨额利润。所以垄断厂商是某种 产品唯一的生产者，无论该产品的价格的高低， 该厂商都将是唯一的生产者。从这个标准来看， 一家米店就不是垄断者，因为若他涨价过高，马 上会有竞争者开第二家米店。那么什么原因引起 垄断的存在。
25.10.2020
数学建模
虽然可能没有一种行业能完全满足这 些条件（可能只有一些标准化产品市场， 如初级产品，农产品比较接近完全竞争）， 但完全竞争模型不失为微观经济学理论中 最关键的部分。现实情况或多或少完全偏 离了完全竞争的假设前提，但运用完全竞 争理论的扩展和延伸模型来分析，有时并 没有太大的影响。
数学建模
厂商利润极大化均衡模型
▪ 市场论中不同类型市场的特点 ▪ 完全竞争市场的特点 ▪ 垄断竞争市场的特点 ▪ 寡占市场的特点 ▪ 厂商在不同类型市场中的利润极大化均衡
模型分析
25.10.2020
数学建模
市场论中不同类型市场的特点
一、完全竞争市场的特点 在常人心目中，竞争让人想起商场上你死我活的
五种原因被认为是造成垄断的经典原因。 （1）对投入品（原材料）的控制。资源的 垄断带来了产品的垄断，比如“石油输出国组织” 该组织成员国占据了全世界原油储量的近70%,所 以能在相当程度上操作世界原油价格。
25.10.2020
数学建模
不过严格地说，该组织并不是单个垄断者， 而是一种卡特尔。4个核心国家（沙特、科威特、 伊朗和委内瑞拉）占了欧佩克石油储量的四分之 三以上（在某个行业中，若几个主要的厂商联手 限制产量、操作价格，以实现垄断利润。称这种 联合为卡特尔（cartel）），它能使一个竞争市 场变成垄断市场。一般地，没有哪一个卡特尔对 经济造成严重影响，从经济学的角度来分析，卡 特尔失败是因为其内在不稳定性。首先，卡特尔 内部的每一家厂商都有强烈的欺骗动机。卡特尔 的高价格是通过限制产量来实现的，但每个成员 都希望只享受卡特尔的好处——高价格，
可替代的，那么甲厂商不可能定价比乙厂家
高，否则他会一袋面粉也卖不出去。
25.10.2020
数学建模
4、生产者和消费者都拥有充分的信息。在完 全竞争市场上，所有与该产品的信息都是完全 公开的，生产者和消费者可据此作出正确的决 策。对生产者来说，有关信息包括产品的生产 方法，投入要素的价格以及产品的价格等；对 消费者来说，有关信息包括他们自己的偏好， 产品价格等，此外消费者有时也是生产要素的 供应者，他们必须知道自己供应的要素可得到 多少报酬。
25.10.2020
数学建模
垄断厂商的产品没有相近的替代品，若存在 替代品，该厂商不得不和别的厂商进行竞争而没 有完全控制市场的能力。如，松下电器公司是生 产松下电器的唯一厂商，但它并不是垄断者，因 为索尼，东芝，菲力浦电器均是其非常相近的替 代品，若松下公司冒然提价，便会轻易地失去相 当部分的市场份额。当然，怎么样的替代品才能 构成竞争具有一定的模糊性。如，1956年美国政
25.10.2020
3、同质产品。在完全竞争市场上，所有厂
商都生产同一种标准化产品，在消费者眼里，
购买不管那家厂商的产品都没有差异的。所
数学建模
以整个行业的总产量就等于单个厂商的产品
相加。产品的同质性（Homogeneity）是市场
统一价格的前提，若甲厂商生产的面粉与乙
（
厂商生产的面粉被认为是完全同质的，完全
第五章 经济学模型
数学建模
▪ 5.1 ▪ 5.2 ▪ 5.3 ▪ 5.4 ▪ 5.5 ▪ 5.6 ▪ 5.7
厂商利润极大化均衡模型 寡占市场的价格领导模型 垄断厂商对要素的需求模型 完全竞争厂商对要素的需求模型 效用极大化的消费者选择模型 最优成本组合与厂商长期成本模型 价格歧视
25.10.2020
25.10.2020
数学建模
2、资源完全自由流动。当外部条件（如 产品价格等）发生变化时，产业发生相应的调 整往往会带来部分资源进入或退出该行业。当 行业扩张时，新的劳动、土地、能源、资金等 会流入该行业，而当行业收缩时，原行业内的 部分资源又会流出该行业另觅出路。一个完人 竞争的市场要求资源进入或退出该行业没有人 为的壁垒，如，执照特许等。还有自然因素也 会带来资源转移的壁垒。如有些行业规模经济 十分显著，要建立一个大规模的企业，但需要 有十分雄厚的财力基础，这在事实上给绝大多 数潜在进入者设置了障碍，称为自然垄断 （Natural Monopoly）。
斗争，如：福特汽车公司与通用汽车公司，松下电器 与索尼电器都是老竞争对手，每家公司在作出决策时， 都要考虑自己的行动会如何引起竞争对手的反应和对 策。然而，在经济学模型中，完全竞争的定义却与通 常意义上的竞争相差甚远。在一个完全竞争的行业中， 每家厂商都失去了自己的个性，并且不必考虑自己的 行为会给整个市场带来什么影响，因为每一家厂商在 市场中所占份额都是微不足道的，更精确的说，经济 学意义的完全竞争市场必须符合以下四个条件。
25.10.2020
数学建模
1、大量的买主和卖主。在市场的买方和卖 方两边都必须有大量的参与者，从而任何一名 买者或卖者都不会在市场占显著的份额，均无 法 通过自己的买卖行为来影响总产量或市场价 格。即完全竞争市场上每个人都是价格接受者， 即厂商将市场价格看作是与自己产量无关的既 定变量，所以每个厂商都面临一条从截距为市 场价格P的水平需求曲线。只要厂商人数较多， 且没有串谋，价格接受者的假设基本成立。