河北省保定市第一中学2023一2024学年高二上学期第四次阶段考试数学试题

´L´
2n
=
21+2+L+n
=
n ( n +1)
22
，
当 n = 3 时， a4 = 26 = 64 ． 故选：D． 7．C
答案第21 页，共22 页
【分析】方法一：根据等比数列的前 n 项和公式求出公比，再根据 S4, S8 的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前 n 项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列{an} 的公比为 q ，首项为 a1 ，
{ } 【详解】试题分析：因为 an 为等比数列，所以 a1 × a2n-1 = a2 × a2n-2 = L = a5 × a2n-5 = 22n ,
( ) ( ) \log2 a1 + log2 a3 + L+ log2 a2n-1 = log2
a1a2n-1
n
2 = log
22n
n
2 = log2 2n2 = n2 .故 C 正确.
æ çè
x
-
p
2
ö
2 ÷ø
+
y2
=
p2 4
，其中 p＞0，直线 l 经过
C1
的焦点，依次交
C1，C2
于
A，D，B，C
四点，则
uuuv AB
×
uuuv CD
的值为
．
四、解答题
17．已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ， a3 = 5, S6 = 36 ， （1）求数列{an} 的通项公式； （2）设 bn = 2an ，求数列{bn} 的前 n 项和Tn .
若 q = -1 ，则 S4 = 0 ¹ -5 ，与题意不符，所以 q ¹ -1 ；
若 q = 1 ，则 S6 = 6a1 = 3´ 2a1 = 3S2 ¹ 0 ，与题意不符，所以 q ¹ 1；
( ) ( ) ( ) 由 S4 = -5 ， S6 = 21S2 可得， a1 1- q4
1- q
=
-5
14．已知等比数列{an} 的公比为 q，前 n 项和为 Sn = m - qn ，若 a5 = -8a2 ，则 S5 = ． 15．在等比数列{an} 中， a3 ， a15 是方程 x2 + 6x + 2 = 0 的两根，则 a12a6 的值为 ．
a9
16．如图，抛物线
C1：y2＝2px
和圆
C2：
， a1
=
1 2
， a2
=
3 2
．
(1)证明：数列{an+1 - an} 是等比数列；
(2)求数列{an} 的通项公式．
20．如图，直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 的底面是菱形， AA1 = 4 ， AB = 2 ， ÐBAD = 60° ，
E ， M ， N 分别是 BC ， BB1 ， A1D 的中点.
C．曲线 C1 : x2 + y2 + 2x = 0 与曲线 C2 : x2 + y2 - 4x - 8 y + m = 0 恰有三条公切线，则 m=4
D．已知圆 C
:
x2
+
y2
=
4
，点
P
为直线
x 4
+
y 4
= 1上一动点，过点
P
向圆
C
引两条切
线 PA，PB，A，B 为切点，则弦 AB 长度的最小值为 2 2 12．如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E, F ，且
河北省保定市第一中学 2023 一 2024 学年高二上学期第四
次阶段考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
( ) 1．若直线过两点 (1, 0), 4,3 3 ，则此直线的倾斜角是（ ）
A． 30o
B． 60o
EF =
2 .则下列结论中正确的有（
2
）
A．当 E 向 D1 运动时， AE ^ CF 总成立 B．当 E 向 D1 运动时，二面角 A - EF - B 逐渐变小
试卷第31 页，共33 页
C．二面角 E - AB - C 的最小值为 45° D．三棱锥 A - BEF 的体积为定值
三、填空题 13．与直线 2x - 3y +1 = 0 垂直，且在 x 轴上的截距为 -2 的直线方程是 ．
易知， S8 + 21 = -64 ，即 S8 = -85 ；
( ) ( ) 当 S2
=
5 4
时， S4
=
a1
+
a2
+
a3
+ a4
=
( a1
+ a2 )
1+
q2
=
1+ q2
S2 > 0 ，
与 S4 = -5 矛盾，舍去．
答案第31 页，共22 页
故选：C． 【点睛】本题主要考查等比数列的前 n 项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键
b2 + a2
则△FOH 的内切圆的半径为
，
r
=
a
+
b 2
-
c
设△FOH 的内切圆与 FH 切于点 M，则
MH
=r=
a+b-c 2
答案第41 页，共22 页
由
uuur BF
=
uuur 2OB
，得
FM
=
BF
=
2 3
c,
BF
+
MH
=
2 3
c
+
a
+
，
当 a = 0 时，直线 l1 : x -1 = 0 与直线 l2 : -x -1 = 0 平行，
当
a
=
1 4
时，直线 l1
:
x
+
1 2
y
-1
=
0
与直线 l2
:
-
1 2
x
-
1 4
y
-1
=
0
平行，
因此 l1//l2
，则 a
=
0
或
a
=
1 4
，
所以“
a
=
1 4
”是“
l1//l2
”的充分不必要条件.
故选：B 5．C
，
a1
1- q6 1- q
=
21´
a1
1- q 1- q2 Nhomakorabea①，
由①可得，1+ q2 + q4 = 21 ，解得： q2 = 4 ，
( ) ( ) 所以 S8 = a1 1- q8 ( ) 1- q
=
a1
1- q4 1-q
´ 1+ q4
= -5´ (1+16) = -85 ．
故选：C．
方法二：设等比数列{an} 的公比为 q ，
1．B
参考答案：
【分析】根据斜率公式求出斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系即得.
( ) 【详解】因为直线过点(1, 0), 4,3 3 ，
所以直线的斜率为
k
=
3
3 -0 4 -1
=
3，
设倾斜角为a ，则 tana = 3 ，又Q0° £ a < 180° ，
解得a = 60o . 故选：B. 2．B 【分析】根据已知条件求得 a6 ，然后根据等差数列前 n 项和公式求得正确答案.
5．已知等比数列{an} 满足 an > 0, n = 1, 2,L，且 a5 × a2n-5 = 22n (n ³ 3) ，则当 n ³ 1时，
log2 a1 + log2 a3 +L + log2 a2n-1 =
A． n(2n -1)
B． (n +1)2
C． n2
D． (n -1)2
试卷第11 页，共33 页
是把握 S4, S8 的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．
8．C
【分析】首先求出
r
=
a
+
b 2
-
c
，由
uuur BF
=
uuur 2OB
，通过运算得到
3b
=
c
+
3a
，再利用
a, b,
c,
e
之间的关系得到关于 e 的方程，解出 e 即可. 【详解】∵F 到渐近线的距离为 FH = | bc | = b ，∴ OH = c2 - b2 = a ，
( ) 22．已知椭圆 E :
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
> 0) 的离心率为
2 ，一顶点坐标为 A 0, -2 2
2
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知
M､N
为椭圆上异于
A
的两点，且
uuuur AM
^
uuur AN
，判断直线
MN
是否过定点？若
试卷第51 页，共33 页
过定点，求出此点坐标. 试卷第61 页，共33 页
B． 4 + 17 4
C． 3 + 3 17 8
D． 3 + 3 17 4
二、多选题 9．下列命题错误的是（ ）
( ) A．经过定点 P x 0, y 0 的直线都可以用方程 y - y0 = k ( x - x0 ) 表示
B．直线 xsina
+
y
+
2
=
0
的倾斜角的取值范围是
éêë0,
π43ùúûπÈ
论正确的是（ ）
试卷第21 页，共33 页
A．数列{an} 是递增数列
B． S5 = 60
C．
d
Î
æ çè
-
24 7
,
-3
ö ÷ø
11．下列四个命题表述正确的是（ ）
D．数列{Sn} 中最大项为第 6 项
A．直线 (3 + m)x + 4 y - 3 + 3m = 0 恒过定点 (-3, -3)
B．圆 x2 + y2 = 4 上有且仅有 3 个点到直线 l : x - y + 2 = 0 的距离等于 1
考点：1 等比比数列的性质;2 对数的运算法则.
6．D
【分析】先用累乘法求出 an+1
n( n+1)
=2 2
2n
= 21+2+L+n
n( n +1)
=2 2
，对四个选项验证得 n = 3 符合题
意，即可求解．
【详解】 an+1
=
a1 ×
a2 a1
×
a3 a2
gLg an+1 an
= 1´ 21 ´ 22
因为 S4 = -5 ， S6 = 21S2 ，所以 q ¹ -1 ，否则 S4 = 0 ，
从而， S2, S4 - S2 , S6 - S4 , S8 - S6 成等比数列，
所以有， (-5 -
)S2 2
=
S2
( 21S 2
+ 5)
，解得： S2
=
-1 或 S2
=
5 4
，
当 S2 = -1 时， S2, S4 - S2 , S6 - S4 , S8 - S6 ，即为 -1, -4, -16, S8 + 21，
（1）证明： MN / / 平面 C1DE ；
（2）求 AM 与平面 A1MD 所成角的正弦值.
21．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1 = 1，Sn = an+1 - 2n
(1)证明：数列{
Sn 2n
}为等差数列；
(2) "n Î N *，(n - 6) an ³ l2n ，求 λ 的最大值．
【详解】由
y
=
-2x2
得：
x2
=
-
1 2
y
，
\ 其焦点坐标为
æ çè
0,
-
1 8
ö ÷ø
.
故选：A. 4．B
【分析】根据给定条件，求出 l1//l2 的充要条件即可判断得解.
答案第11 页，共22 页
【详解】依题意，当直线 l1 与直线 l2
不相交时，
2a(2a
-1)
+
a
=
0
，解得
a
=
0
或
a
=
1 4
【详解】设公差为d ，则 a1 + a4 + a13 = 6 Þ a1 + a1 + 3d + a1 + 12d = 6 Þ a1 + 5d = 2 = a6 ，
所以 S11= 11a6 = 11´ 2 = 22 ，B 选项正确，其它选项无法求出确定结果. 故选：B 3．A 【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可得焦点坐标.
ö ÷ø
B．
æ çè
-
1 2
,
0
ö ÷ø
C．
æ çè
0,
-
1 2
ö ÷ø
D．
æ çè
-
1 8
,
0
ö ÷ø
4．已知直线 l1
:
x
+
2ay
-1
=
0
， l2
:
(2a
- 1) x
-
ay
-1
=
0
，则“
a
=
1 4
”是“ l1//l2
”的
（）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
18．已知圆心 C 在直线 l : 2x - y - 3 = 0 上，圆 C 过点 A(4,1) ， B(2,3) ． (1)求圆 C 的标准方程；
试卷第41 页，共33 页
(2)已知点 M (0, 2) ，求过点 M 的圆 C 的切线方程．
19．已知数列{an} 满足 an+2
=
3an+1
-
2an
é êë
4
,π
ö ø÷
C．经过任意两个不同的点 P1 ( x1, y1 ) ， P2 ( x2, y2 ) 的直线都可以用方程
( y - y1 )( x2 - x1 ) = ( x - x1 )( y2 - y1 ) 表示
D．不经过原点的直线都可以用方程
x a
+
y b
=
1
表示
10．设等差数列{an} 的公差为 d，前 n 项和为 Sn ，若 a3 = 12, S12 > 0, S13 < 0 ，则下列结
6．已知数列 a1 ， a2 ， a3 ，…， an+1 ，…是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则下列
a1 a2
an
数中是数列{an} 中的项的是（ ）
A．16
B．128
C．32
D．64
7．记 Sn 为等比数列{an} 的前 n 项和，若 S4 = -5 ， S6 = 21S2 ，则 S8 = （ ）．
C．120o
D．150o
2．已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ， a1 + a4 + a13 = 6 ，则下列等式一定成立的是