福建省三明地区部分高中校协作2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

作圆 O 的切线 QC，QD，切点分别为 C，D，则下列说法正确的有( ) A．当∠PAB 最大时， PA 3 2
B．点 P 到 l 的距离的最大值为 3 2 3 C．四边形 CQDO 的面积的最小值为 9 D．四边形 CQDO 的面积最小时，直线 OQ 的方程为 x - 2 y + 2 = 0 11．已知抛物线 C ： y2 2 px （ p 0 ）的焦点 F 到准线的距离为 2，过 F 的直线 l 交抛
C．第三象限
D．第四象限
4．已知直线 l1 : x ay 1 0与 l2 : 2x y 1 0平行，则 l1 与 l2 的距离为（ ）
A． 1 4
B． 5
5
C． 3 5
D． 3 5 5
5．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊
蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、
a1
1，
an
(1)n
an1
1
n 2022
，记数列 an 的前nFra bibliotek项和为
Sn
，
则 S2023
．
四、解答题
17．已知圆 C 的圆心为 (2,1) ，半径为 3， l 是过点 P 0, 2 的直线．
(1)求圆 C 的方程，并判断点 P 是否在圆上，证明你的结论；
(2)若圆 C 被直线 l 截得的弦长为 2 5 ，求直线 l 的方程．
二、多选题
9．已知数列an 的前 n 项和 Sn n2 4n ，则（ ）
A． an 不是等差数列
B． an 2n 5
C．数列
Sn
是等差数列
n
D． a1 a2 a10 67
10．已知点 P 为圆 O：x2 y2 9 上的动点，直线 l 过点 A(6, 0), B(0, 6) ，过 l 上一点 Q
B．3
C．7
D．9
2．已知向量
a
0,1,1
，
b
1,1,
0
，则向量
b
在向量
a
上的投影向量为（
）
A．
0,
1 2
,
1 2
B．
1 2
,
0,
1 2
C． 0, 1, 1
D． 1,0, 1
3．如果 AB 0 ， BC 0 ，那么直线 Ax By C 0 不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
A．
0,
1 3
B．
0,
2 3
C．
1 3
,1
D．
2 3
,1
8．若曲线 C1 : x2 4 y (ky x 3k) 0 与曲线 C2 : y 1 x2 2x 的图象恰有三个不同
的交点，则 k 的取值范围为（ ）
A．
3 4
,
B．
4 3
,
1
C．
4 3
,
1
D．
3 4
,1
试卷第 1页，共 4页
的垂直平分线与 A1B 交于点 P ，记 P 的轨迹为 ． (1)求 的方程； (2)坐标原点 O 关于 A1, A2 的对称点分别为 B1, B2 ，点 A1, A2 关于直线 y x 的对称点分别为
C1, C2 ，过 A1的直线 l 与 交于点 M , N ，直线 B1M ,B2 N 相交于点 Q ．请从下列结论中， 选择一个正确的结论并给予证明． ① QB1C1 的面积是定值；② QB1B2 的面积是定值；③ △QC1C2 的面积是定值．
线准线的距离不大于10 ，过点 P 作斜率存在的直线与抛物线 E 交于 A, B 两点（ A 在第一
象限），过点
A
作斜率为
2 3
的直线与抛物线的另一个交点为点
C
．
(1)求抛物线 E 的标准方程；
(2)求证：直线 BC 过定点．
22．已知圆 A1：(x 1)2 y2 16， B 是圆 A1上的点， A1关于 y 轴的对称点为 A2 ，且 A2B
5
求 l 的方程.
20．在三棱锥 P ABC 中，底面 ABC 与侧面 PAB 均为正三角形，AB 2, PC 6 ，M 为
AB 的中点．
试卷第 3页，共 4页
(1)证明：平面 PCM 平面 PAB ；
(2)
N
为线段 PA 上一点，且 S△CMN
3 4
，求二面角 P CN
M
的正弦值.
21．已知点 F 为抛物线 E : y2 2 px( p 0)的焦点，点 P 7,3 , PF 3 5 ，且点 P 到抛物
18．已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ， a5 a9 2 ， S3 =57 .
(1)求数列an 的通项公式 an ；
(2)求 Sn 的最大值.
19．已知双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的离心率为
2，且过点
A2,3 .
(1)求 C 的方程；
(2)若斜率为 5 的直线 l 与 C 交于 P，Q 两点，且与 x 轴交于点 M，若 Q 为 PM 的中点，
14．已知抛物线 C ： y2 4x ，直线 l ： y 2x 2 交 C 于 A, B 两点，则线段 AB 的长
是
．
15．设 F1，F2 分别是椭圆 x2 + y2 =1 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点 M 的坐标 25 16
为(6，4)，则|PM|+|PF1|的最大值为 .
16．已知数列 an 满足
立春、春分日影长之和为 31.5 尺，前九个节气日影长之和为 85.5 尺，则小满日影长为（ ）
A． 4.5 尺
B． 3.5 尺
C． 2.5 尺
D．1.5 尺
6．动圆 P 过定点 M(0，2)，且与圆 N： x2 y 22 4 相内切，则动圆圆心 P 的轨迹
方程是（ ）
A． y2 x2 1y 0
福建省三明地区部分高中校协作 2023-2024 学年高二上学期 期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知椭圆 x2 y2 1的一个焦点坐标为 0, 2 ，则 k 的值为（ ）
k2 9
A．1
试卷第 4页，共 4页
物线 C 于两点 A ， B ，则（ ） A． C 的准线方程为 x 2 B．若 AF 4，则 OA 21 C．若 AF BF 4 p2 ，则 l 的斜率为 3 3 D．过点 A 作准线的垂线，垂足为 H ，若 x 轴平分 HFB ，则 AF 4
12．如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2 ，点 M 为 CC1 的中点，点 P 为正方 体上底面 A1B1C1D1 上的动点，则（ ）
3
B． y2 x2 1 3
C． y2 x2 1 y 0
3
D． x2 y2 1 3
7．已知椭圆
C
：
x a
2 2
y2 b2
1a
b
0 的右焦点为 F
，左顶点为 A .若点 P 为椭圆 C 上的
点， PF x 轴，且 sin PAF 10 ，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（ ） 10
A．满足 MP // 平面 BDA1 的点 P 的轨迹长度为 2 B．满足 MP AM 的点 P 的轨迹长度为 2
2 C．存在唯一的点 P 满足 APM π
2
试卷第 2页，共 4页
D．存在点 P 满足 PA PM 4
三、填空题
13．以点 A2,1 为圆心，且与 x 轴相切的圆的标准方程为
.