中学数学思想方法(一)

研 究 两 点 A x1,sin x1 和 B x2,sin x2 与 O0,0 连线的斜率.
由图象可知, kOA kOB ,即 a b .
图3-20
24
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16
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【例 4】已知向量 OB (2, 0) , CA ( 2 cos, 2 sin ) ， OC (2, 2) ,
则 OA 与 OB 夹角的最小值和最大值依次是（ ）.
（A） 0,
4
(B) , 5 (C) , 5
4 12
12 12
(D) 5 ,
12 2
17
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0
（）
A． (1，1) B． (1，1) C． (1，1) D． (1，1)
【分析及解】画出
x
x
y y
1 1
0，表示的平面区域（图 0
3-19）, 到直线 x y 1 0 的 距离为 2 的 点在直线 2
y x 2 及 y x 上,显然,符合要求的点在直线 y x 上,
结合选项可得 C.
3
A． 2
3
B． 1
3
C． 1
3
D． 2
3
【分析及解】本题可以通过向量运算求出 的值，但
是画图会更简单.
作出 ABC ,过 D 作 DF // AC 交 BC 于 F ,作 DE // AC 交
AC 于 E （图 3-18）,由 AD 2DB 得 CE 1 CA,CF 2 CB , B
3
则方程 t 2 bt c 0 有 2 个不同实数解,且为一正根,一零
根.
因此, b 0 且 c 0 ,故选(C).
图3-1
4
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【例 2】（2004 湖北卷）两个圆 C1 : x2 y 2 2x 2 y 2 0 与 C2 : x2 y 2 4x 2y 1 0 的公切线有且仅有（ ）
x
（A） 1
2
（B） 3
3
（C） 3
2
（D） 3
【分析及解】根据已知等式,画出以 2,0 为圆心,以 3 为半径的圆,则 y 的几
x
何意义是圆上一点 x, y与原点 0,0 所连直线的斜率.
显然, y 的最大值是过原点 0,0 与圆相切的直线 OA的斜率（图 3-12）,由
x
OC 2,CA 3 可得 AOC . 3
x 1
实数解的充要条件是（ ）
(A) b 0 且 c 0 (C) b 0 且 c 0
( B) b 0且 c 0 (D) b 0 且 c 0
3
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【分析及解】画出函数 f x 的图象（图 3-1）,该图像关于 x 1 对称,且
f x 0,
令 f x t ,
若 f 2 (x) bf (x) c 0 有 7 个不同实数解,
是（ ）
A．
，
B．
，3
C．
，
D．
3
，2
【分析及解】只要画出 y sin x 的图象（图 3-4）,就可以得到要 选的选项.
图3-4 6
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【例 2】（1989 全国卷）设 f (x) 是定义在区间 (,) 上以 2 为周 期的函数，对于 k Z ，用 Ik 表示区间 (2k 1,2k 1] ，已知当 x I0 时， f (x) x2 ．
g x x2 4k 1 x 4k2 0
在区间 (2k 1,2k 1] 内有两个不相等的实根，其充要条件是
4k 12 16k 2 0,
2k 1 4k 1 2k 1,
2
g 2k
1 0,
g 2k 1 0.
由这个不等式组解得 k 的取 值范围.
图3-5
用 数 形 结 合 思 想 则 比 较 直 观 . 由 图 3-5 中 ， 立 即 可 得 , a 的 取 值 范 围 为
0a 1 . 2k 1
8
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【例 3】（2006 湖南卷，理）若圆 x2 y 2 4x 4 y 10 0 上至少有
三个不同的点到直线 l : ax by 0的距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角的取
值范围是( ).
(A)
12，4
(B)
12，512
(C)
6
，
3
(D)
54 2
d d
10 15
，
即
4a1 5a1
6d 10, 10d 15.
，
2a1a1 2d3d3
5，, .
a4 a1 3d ．
图3-13
建立平面直角坐标系 a1 O d ，画出可行域 2a1a1 23dd35 （如图 3-13）， 画出目标函数即直线 a4 a1 3d ， 当直线 a4 a1 3d 过可行域内 (1,1) 点时截距最大，此时目标函数取最大值 a4 4 ．
又直线的斜率为 3 ,则 A AFx 60 ,再由抛物线的定义知 AF AK ,从 而 AFK 是边长为 4 的正三角形.
∴ SAFK
3 42 4 4
3 ．故选 C.
21
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【例 4】 (2007 全国Ⅱ卷,理)在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，
若 AD 2DB，CD 1 CA CB ，则 （ ）
A. 1 条 B.2 条 C. 3 条 D. 4 条
【分析及解】画出圆 C1 和 C2（图 3-2）,可知,两圆相交,故只有两条外公切线.
图3-2 5
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二、对于参数范围的问题, 用图形分析帮助解决问题的关键是讨 论参数的几何意义的范围.
【例 1】 (2007 全国Ⅱ卷,理，文)函数 y sin x 的一个单调增区间
中学数学思想方法（一）
数形结合思想
1
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数形结合思想
• 把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把 图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决 问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略， 就是数形结合的思想。
• 数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图 形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。
但是注意到数形结合,可以很快解决问题.
为此,延长 CA 到 D ,使 AD AB （图 3-16）,则
CD AB AC , CBD B , D ,
6
6
由正弦定理 BC AB AC sin D sin B
,即 AB AC 6sin B ,由此,选(C).
6
6
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【分析及解】 本题用直接法相当麻烦, 而根据向量的几何意义用图形解题就比较简单.
由 OA 2 2 c os , 2 2s i n
则点 A 在以 C 2, 2 为圆心, 2 为半径的圆上,又由已知,
OB (2,0) ,则 OB 是 Ox 轴上的一个向量 ,所以圆 C 上的点与
0,0 点的连线的倾斜角即为 OA 与 OB 的夹角.
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【例 3】（2007 全国Ⅰ卷，理）抛物线 y2 4x 的焦点为 F ，准线
为 l ，经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点
A ， AK ⊥l ，垂足为 K ，则△AKF 的面积是（ ）
A． 4 B． 3 3
C． 4 3
D． 8
图3-17 【分析及解】如图 3-17，过 A 作 AB x 轴于 B，设准线 l 与 x 轴交点为 C， 直线 FA： y 3(x 1) ，代入 y2 4x ，解得 xA 3 ， AK 4，
l : ax by 0的距离 d 应小于等于 2 （图 3-6），
∴
d | 2a 2b | ≤ a2 b2
2 ，∴
a b
2
4
a b
1
0
，
∴
2
3
a b
2
3，k a ， b
∴ 2 3 k 2 3 ，即 tan tan tan 5 ，
12
12
直线
l
的倾斜角的取值范围是
（Ⅰ）求 f (x) 在 Ik 上的解析表达式；
（Ⅱ）对自然数 k ,求集合 M k a 使方程 f (x) ax 在 Ik 上有两个
不相等的实根}．
7
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【分析及解】（Ⅰ）由题意， f x x 2k 2 , x Ik ， （Ⅱ）代数解法需解方程 x 2k 2 ax. 即方程
0，2
9
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【分析及解】 圆 x2 y 2 4x 4 y 10 0 整理为
(x 2)2 ( y 2)2 (3 2)2 ，
∴圆心坐标为(2，2)，半径为 3 2 ， 要求圆上至少有三个不同的点到直线
l : ax by 0 的 距 离 为 2 2 ， 则 圆 心 到 直 线
于是, y 的最大值是 tan 3 ,故选（D
x
3
14
目录 图3-上1页2
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【例 3】(2008 四川卷,理 16)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，
若 S4 10，S5 15 ，则 a4 的最大值为
．
15
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【分析及解】 4.
由题意，
4a1 5a1
43 2
12，512
，选
B.
图3-6
10
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【例 4】已知方程 x2 a x 3 0 a 0 有两个不相等的实数根，
求实数 a 的取值范围.
【分析及解】已知方程化为 x2 a x 3 . 作函数 y x2 a , y x 3的图象， 已知方程 x2 a x 3 0 有两个实数根就是两个函数的图象有两 个交点，由图 3-7 可知，只有 a 3，即 a 9 时。才有可能。故实数 a 的取值范围是 a 9 .
象（图 3-11），由 f x 的定义,可得
f
x
x
1
x
2
x 1 2 ， x 1 2
则
f min x
f 1 2
1 2
1
3 .
2
图3-11
13
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【例 2】(1990 全国卷)如果实数 x, y 满足等式 x 22 y2 3,
那么 y 的最大值是( ).
图3-14
如图 3-14,可以求出, AOx
, DOx
5
.
4 6 12
4 6 12
因而,
min
12
,max
5 ,选(C).
12
18
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, 用图形分析帮助解决问题的关
键是借助于图形，进行观察与计算。
【 例 1 】（ 2007 天 津 卷 , 理 ） 设 a,b,c 均 为 正 数 , 且
• 这里主要讨论运用图形分析帮助解决问题的例子。
2
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一、对于方程或方程组的解的个数问题, 用图形分析帮助解决问
题的关键是讨论图象交点的个数.
【 例 1 】 (2005 年 ， 上 海 卷 ) 设 定 义 域 为 R 的 函 数
f
(x)
|
lg
|
x 1||, 0,
x 1，则关于 x 的方程 f 2 (x) bf (x) c 0 有 7 个不同
图3-15
19
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【例 2】 (2005 江苏卷)△ ABC 中，A , BC 3, 则△ ABC 的周长
3
为( ).
A. 4 3 sin(B ) 3
3
B. 4 3 sin(B ) 3
6
C. 6sin(B ) 3
3
D. 6sin(B ) 3
6
【分析及解】本题用三角恒等变形和正弦定理通过一定量的计算可以完成,
2a
log 1
2
a,
1 2
b
log 1
2
b,
1 c 2
log2
c, 则(
).
A. a b c B. c b a
C. c a b
D. b a c
【分析及解】由题意画出函数
y
2x
,
y
1 2
x
,
y
log2
x,
y
log 1
2
x
的
图
象
（图 3-15:
从图象可得 a b c ,故选(A).
图3-19
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【例
6】设 0
x1
x2
,试比较 a
sin x1 x1
和b
sin x2 x2
的大小.
【分析及解】由式子 sin x 的结构可知, x
sin x 的 的 几 何 意 义 是 连 接 两 点 O0,0
x
T x,sin x的直线的斜率.,于是,
可以画出 y sin x 的图象（图 3-20）,
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三、对于最大值或最小值的问题, 用图形分析帮助解决问题的关 键是讨论图形的极端位置.
【例 1】
(2006
浙江卷,理)对
a, b
R
,记
maxa, b
a, a b b, a＜b
,函数
f x max x 1 , x 2 xR 的最小值是 .
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【分析及解】画出函数 y x 1 和 y x 2 的图
3
于 是 , CD CE CF 1 CA 2 CB , 对 照 题 设 等 33
式, 2 ,故选 A.
3
A
D
E
F
C
图3-18
22
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【例 5】（2007 全国Ⅰ卷，理）下面给出的四个点中，到直线
x y 1 0 的距离为
2 2
，且位于
x x
y y
1 1
0，表示的平面区域内的点是