第3章-角动量定理和刚体的转动题解

第3章 角动量定理和刚体的转动
3.1 一发动机的转轴在7s 内由200r/min 匀速增加到3000r/min. 求：（1）这段时间内的初末角速度和角加速度. （2）这段时间内转过的角度和圈数. （3）轴上有一半径为2.0=r m 的飞轮, 求它边缘上一点在7s 末的切向加速度、法向加速度和总加速度.
解：（1）这段时间初的角速度
200
2220.9/60
f rad s ωππ
==≈ 这段时间末的角速度
3000
22314/60
f rad s ωππ
==≈ 角加速度
231420.9
41.9/7
rad s t ωβ∆-=
=≈∆
（2）转过的角度为
3020.9314
7 1.17101862
2
t rad ωω
θ-+=
=
⨯=⨯= （3）切向加速度
241.90.28.38/a r m s τβ==⨯=
法向加速度为
22423140.2 1.9710/n a r m s ω==⨯=⨯
总的加速度为
421.9710/a m s ===⨯
总的加速度与切向的夹角
4
01.9710arctan 89598.37
θ⨯'==
3.2 地球在1987年完成365次自转比1900年长1
4.1s. 求在1900年到1987年间, 地球自转的平均角加速度.
解：平均角加速度为
000
3652365287T t T a t T ππ
ωω⨯⨯-
-+∆==
212373
036523652 1.140.9610/8787(3.1510)
t rad s T ππ-⨯⨯∆⨯⨯≈
=-=-⨯⨯⨯
3.3一人手握哑铃站在转盘上, 两臂伸开时整个系统的转动惯量为2kgm 2
. 推动后, 系统以
15r/min 的转速转动. 当人的手臂收回时, 系统的转动惯量为0.8kgm 2
. 求此时的转速.
解：由刚体定轴转动的动能定理可知
1122.2.2I n I n ππ=
121
221537.5/min 0.8
I n n r I ==⨯=
3.4 质量为60kg, 半径为0.25m 的匀质圆盘, 绕其中心轴以900r/min 的转速转动. 现用一个闸杆和一个外力F 对盘进行制动（如图所示）, 设闸与盘之间的摩擦系数为
4.0. 求：（1）当100=F N, 圆盘可在多长时间内停止, 此时已经转了多少转？（2）如果在2s 内盘转速减少一半, F 需多大？
解：（1）设杆与轮间的正压力为N ,10.5l m =，20.75l m =，由杆杆平衡条件轴
121121
()()F l l Nl F l l N l +=+=
图3-5 习题1.4图
闸瓦与杆间的摩擦力
121
()
F l l f N l μμ
+== 由定轴转动定律21
,2
M I I mR β==
，有 1212()403
F l l fR I mRl μβ+=-
=-=- 停止转动的时间 0900237.066040
t s ωπβ⨯⨯=-==⨯ 转过的角度
201
53.12332.762t t rad rad θωβπ∆=+=⨯≈
201
332.76532
t t rad θωβ∆=+==≈圈
（2）030ωπ=，在2s 内角速度减小一半，知
02
7.5/23.55/rad s rad s t
ωωβππ-=-=-=-
由（1）中所示β的关系，制动力为
112600.250.523.55
1772()20.4 1.25
mrl F N l l βμ⨯⨯⨯=-
=-≈+⨯⨯
3.5发动机带动一个转动惯量为50kgm 2
的系统作定轴转动. 在0.5s 内由静止开始匀速增加
到120r/min 的转速. 求发动机对系统施加的力矩. 解： 由刚体定轴转动的转动定理，可知
2825.12/5025.121256.M I rad s t
M N M
β
ω
βπ=∆=
==∆=⨯=∑∑
3.6一轻绳绕于半径为R 的圆盘边缘, 在绳端施以mg F =的拉力, 圆盘可绕水平固定光滑轴在竖直平面内转动. 圆盘质量为M , 并从静止开始转动. 求：（1）圆盘的角加速度及转动的角度和时间的关系. （2）如以质量为m 的物体挂在绳端, 圆盘的角加速度及转动的角度和时间的关系又如何？
解：（1）由刚体转动定理可知：FR I β= 又因为
F mg =, 21
2
I MR =
解得
2mg MR β=
， 22
12mg t t MR
θβ== （2）对物体受力分析
'mg F ma -= 'F R I β= a R β=, 21
2
I MR =
由上式解得
22mg
MR mR β=
+
22122mg t t MR mR
θβ==+
3.7某冲床飞轮的转动惯量为3104⨯kgm 2
. 当转速为30r/min 时, 它的转动动能是多少？每
冲一次, 其转速下降10r/min. 求每冲一次对外所作的功. 解：转动动能为
232411
410 1.9721022
E I J ωπ=
=⨯⨯⨯=⨯ 第一次对外做功为
22324011161
4100.658102292
A I I J ωωπ=
-=⨯⨯⨯⨯≈⨯
3.8半径为R , 质量为M 的水平圆盘可以绕中心轴无摩擦地转动. 在圆盘上有一人沿着与圆盘同心, 半径为R r <的圆周匀速行走, 行走速度相对于圆盘为v . 设起始时, 圆盘静止不动, 求圆盘的转动角速度.
解：设圆盘的转动角速度为2ω，则人的角速度为12v
r
ωω=-。

圆盘的转动惯量为
21
2
MR ，人的转动惯量为2mr ,有 22221
2
v mr MR r ωω⎛⎫-= ⎪⎝⎭
即
222
22mrv
mr MR ω=
+
3.9两滑冰运动员, 质量分别为60kg 和70kg, 他们的速率分别为7m/s 和6m/s, 在相距1.5m 的两平行线上相向滑行. 当两者最接近时, 互相拉手并开始绕质心作圆周运动. 运动中, 两者间距离保持m 5.1不变. 求该瞬时：（1）系统的总角动量. （2）系统的角速度. （3）两人拉手前后的总动能. 解：设1m 在原心，质心为c r
70 1.5
0.817060
c r m ⨯=
≈+
120.81, 1.50.810.69c r r m r m ===-= 2111222630./J m v r m v r kg m s ∴=+=
1
1
7/0.818.64/v rad s r ω=
=≈ 220112211
273022
E m v m v J =+=
()()22221211
600.81700.698.642713.2522
E I I J ω=+=⨯⨯+⨯⨯=
3.10半径为R 的光滑半球形碗, 固定在水平面上. 一均质棒斜靠在碗缘, 一端在碗内, 一端在碗外. 在碗内的长度为c , 求棒的全长. 解：棒的受力如图所示
1cos sin N F G θθ= 12sin cos N N F F G θθ+=
21
cos 02
N F G θ-=
由上式解得
24(2)c R L c
-=
3．11一均质的梯子, 一端置于摩擦系数为5.0的地板上, 另一端斜靠在摩擦系数为1/3的高墙上. 一人的体重为梯子的三倍, 爬到梯子顶端时, 梯子尚未开始滑动. 求梯子与地面的最小倾角.
解：梯子的受力分析如图所示，由平衡条件可知
12120N F f G G +--= (1) 210N F f -= (2)
221
3N f F = (3)
111
3
N f F = (4)
1211
(cos cos sin 02
N F G f l θθθ--= (5)
由上面式子解得 4124tg θ=
所以梯子与地面的最小倾角为
4124
arctg
θ=
3.12半径为R 的均质圆盘水平放置在桌面上, 绕其中心轴转动. 已知圆盘与桌面的摩擦系数为μ, 初始时的角速度为0ω. 求经过多少时间后圆盘将静止.
解：圆盘由于受到摩擦力距M 的作用，所以最终会停止转动，为求出摩擦力矩，可将圆盘分为无限多个微元，其中一个微元dm ，所受摩擦力矩为
2
mg
dm u
rrd dr R θπ=- 对上式积分求得整个圆盘所受的摩擦力矩为
222
2
3
R
mg M u
r dr d R umgR
π
θ
π=-=-⎰
⎰
由于圆盘的转动惯量21
2
I mR =
，所以圆盘的角加速度 43M ug
I R
β==-
由0t ωωβ=+，0t ω=,得
34R t ug
ω=
3.13通风机转动部分的转动惯量为I , 以初角速度0ω绕其轴转动. 空气阻力矩与角速度成正比, 比例系数为k . 求经过多少时间后, 转动角速度减为初角速度的一半, 在此时间内共转了多少圈. 解：根据转动定理
d I
k dt ω
ω=- d k dt I ωω∴=- 两边积分
00
2
t
o d k
dt I
ωω
ω
ω
=-⎰⎰
ln 2/2kt =, (ln 2)/t I k =
由 0t t ωωβ=+, 02
t ωω=
得 02
t ωβ=, 02ln 2
k
I ωβ=
由2
012
t t t θωβ=+
，代入得 03ln 24I k ωθ=
， 03ln 2
/28I n k
ωθππ== 3.14赤道上有一高为h 的高楼. 由于地球自转, 楼顶和楼底对地心参照系都有线速度.（1）
求楼顶和楼底的线速度之差. （2）证明一物体自楼顶自由下落, 由于地球自转的影响, 着
地点将在楼底东侧约ω.
解：（1）楼顶的线速度为()v R h τω=+，楼底的线速度为b v R ω=
两者之差b v v h τω-=
（2）将楼所在处的地面局部视为向东以速度R ω平移，则落体下落时间为
t =
而着地时偏东的距离为
()b s v v t τω=-=。