北京市东城区高三数学文科一模试题及答案

北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）
数学（文科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项
中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{|31}
A x x
=-<<，{|1
B x x
=<-或2}
x>，则A B=
I
（A）{|31}
x x
-<<-（B）{|32}
x x
-<<
（C）{|11}
x x
-<<（D）{|12}
x x
<<
（2）复数
i
1i
z=
-
在复平面内对应的点位于
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
（3）若,x y满足
20,
220,
0,
x y
x y
y
+-≤
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪≥
⎩
则y x
-的最大值为
（A）2-（B）1-
（C）2（D）4
（4）执行如图所示的程序框图，如果输出的S值为30，那么空白的判断框中应填入的条件是
（A）2
n≤
（B）3
n≤
（C）4
n≤
（D）5
n≤
（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为
（A）2
（B）2
2
（C）3
2
（D） 4
（6）函数
4
()2x
f x
x
=-的零点所在区间是
（A）
1
(0,)
2
（B）
1
(,1)
2
（C）
3
(1,)
2
（D）
3
(,2)
2
（7）已知平面向量,,
a b c b c a”是“向量,a c
a b c均为非零向量，则“()()
⋅=⋅
同向”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（8）为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选
择一个游览．高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约
定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，
在甲、乙两个景点中有18人会选择甲，在乙、丙两个景点中有18人
会选择乙．那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是
①该班选择去甲景点游览；
②乙景点的得票数可能会超过9；
③丙景点的得票数不会比甲景点高；
④三个景点的得票数可能会相等.
（A）①②（B）①③
（C）②④（D）③④
第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）命题“x
∀∈R，e0
x>”的否定是_________．
（10）已知抛物线22(0)
y px p
=>的焦点坐标为
1
(,0)
4
，则p=_______．
（11）在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边的角θ的终边经过点
34 (,) 55
，
则sinθ=_______，tan2θ=_________．
（12）已知圆22
(1)1
x y
-+=上的点到直线2
y kx
=-的距离的最小值为1，则实数k= ?．
（13）已知实数,x y满足21
x y
+=，则xy的最大值为 ?．
（14）定义：函数()
f x在区间[,]
a b上的最大值与最小值的差为()
f x在区间
[,]
a b上的极差，记作(,)
d a b.
①若2
()22
f x=x x
-+，则(1,2)
d=________；
②若()m
f x=x+
x ，且(1,2)|(2)(1)|
d f f
≠-，则实数m的取值范围是
________.
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）
已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且36a =-，56S S =．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足12b a =，23b S =，求{}n b 的前n 项和．
（16）（本小题13分）
函数()sin()(0,)22
f x x ωϕωϕππ
=+>-
<<的部分图象如图所示． （Ⅰ）求()f x 的解析式；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移3
π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，
令()()F x f x g =+
（17）（本小题13分）
某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取10000名进行调查，将受访用户按年龄分成5组：[10,20)，[20,30)，…，[50,60]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人，估计其
年龄低于40岁的概率；
（Ⅲ）估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄．
（18）（本小题14分）
如图，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=o ，ED ⊥平面ABCD ，
频率
组距年龄
a 0.005
0.030.02
0.01
A
22ED AD EF ===，EF ∥AB ，M 为BC 中点．
（Ⅰ）求证：FM ∥平面BDE ；
（Ⅱ）求证：AC BE ⊥；
（Ⅲ）若G 为线段BE
上的点，当三棱锥G BCD -的体积为
9时，求BG
BE
的值．
（19）（本小题共14分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点M 是以长轴为直径的圆O 上一点，圆O 在点M 处的切线交直线
3x =于点N ．
求证：过点M 且垂直于直线ON 的直线l 过椭圆C 的右焦点．
（20）（本小题13分）
已知函数()sin cos f x x x a x x =++，a ∈R . （Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当2a=时，求()f x 在区间[0,]2
π
上的最大值和最小值； （Ⅲ）当2a >时，若方程()30f x -=在区间[0,]2
π上有唯一解，求a 的取值范围.。