2024年新课标Ⅰ卷高考数学考前押题试卷附答案解析

2024年新课标Ⅰ卷高考数学考前押题试卷
（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合}{}{
3,Z ,06A x x n n B x x ==∈=≤≤，则A B = （）
A ．{1,2}
B ．{3,6}
C ．{0,1,2}
D ．{0,3,6}2．若角α的终边位于第二象限，且1sin 2α=，则πsin 2α⎛⎫
+= ⎪⎝⎭（
）A ．1
2
B ．12
-
C
D
．3．双曲线2
2
21(0)y x m m
-=>的渐近线方程为2y x =±，则m =（）
A ．1
2
B ．
2
2
C
D ．2
4．已知在ABC 中，点D 在边BC 上，且5BD DC = ，则AD =
（）
A ．1566A
B A
C + B ．1566AC AB +uuu
r uu u r C ．1455AB AC + D ．4155
AB AC
+ 5．函数()2
1e
x x f x -=的图象大致为（）
A
．B
．C ．D
．
6．三个相同的圆柱的轴线123,,l l l ，互相垂直且相交于一点O ，底面半径为1.假设这三个圆柱足够的长，P 同时在三个圆柱内（含表面），则OP 长度最大值为（）
A ．1
B
．
2
C
．D
．
2
7．甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（）A ．
209277
B ．
210277
C ．
211277
D ．
212277
8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S
，且
()1
142,N 2n n n n n a a *-=+≥∈，若11a =，则（）
A ．202431,2S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
B ．20243,22S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
C ．202452,2S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
D ．20245,32S ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数12,z z ，下列结论正确的有（）
A ．若120z z ->，则12
z z >B ．若22
12z z =，则12
=z z C ．1212
z z z z ⋅=⋅D ．若11z =，则12i z +的最大值为3
10．如图，点,,A B C 是函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象与直线3
2
y =相邻的三个交点，且
ππ,0312BC AB f ⎛⎫
-=-= ⎪⎝⎭
，则（）
A ．4
ω=B ．9π182
f ⎛⎫=
⎪⎝⎭C ．函数()f x 在ππ,32⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减
D ．若将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ的最小值为
π24
11．已知椭圆22
143
x y +=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,P Q 两点，则（）
A ．2PF Q △的周长为4
B ．1PF 的取值范围是[]1,3
C ．PQ 的最小值是3
D ．若点,M N 在椭圆上，且线段MN 中点为()1,1，则直线MN 的斜率为34
-第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x ：
，
①()()()1212f x x f x f x =；②当()0,x ∈+∞时，()f x 为增函数；③()f x 为R 上偶函数.
13．甲、乙两选手进行围棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为2
3，乙获胜的概率为13
，采用三局两胜
制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了两局的概率为．
14．若关于x 的方程()
2e e x x
x a x +=存在三个不等的实数根，则实数a 的取值范围是
．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
15．已知函数()e x
f x =．
(1)求曲线()y f x =在0x =处的切线l 与坐标轴围成的三角形的周长；
(2)若函数()f x 的图象上任意一点P 关于直线1x =的对称点Q 都在函数()g x 的图象上，且存在[)0,1x ∈，使()()2e f x x m g x -≥+成立，求实数m 的取值范围．
16．为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1．
(1)根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．
17．如图，在三棱柱
111ABC A B C -中，1AA 与1BB 12AB AC A B ===，1
AC BC ==
(1)证明：平面11A ABB ⊥平面ABC ；
(2)若点N 在棱11A C 上，求直线AN 与平面11A B C 所成角的正弦值的最大值．
18．已知,A B 是椭圆2
2:
14
x E y +=的左，右顶点，点()(),00M m m >与椭圆上的点的距离的最小值为1.(1)求点M 的坐标.
(2)过点M 作直线l 交椭圆E 于,C D 两点（与,A B 不重合），连接AC ，BD 交于点G .（ⅰ）证明：点G 在定直线上；
（ⅱ）是否存在点G 使得CG DG ⊥，若存在，求出直线l 的斜率；若不存在，请说明理由.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足23n n S a +=；数列{}n b 满足121n n b b n ++=+，其中11b =.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；
(2)对于给定的正整数()1,2,,i i n = ，在i a 和1i a +之间插入i 个数12,,,i i ii c c c ，使1,i i a c ，21,,,i ii i c c a + 成等差数列.
（i ）求11212212n n n nn T c c c c c c =+++++++ ；
（ii ）是否存在正整数m ，使得
2
1
123
123m m m m b a m b T +-+
+--
-恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有满足条
件的m 的值；若不存在，说明理由.1．D
【分析】利用交集的定义即可求解.
【详解】依题意，}{}{
{}3,Z 060,3,6A B x x n n x x ⋂==∈⋂≤≤=.故选：D.2．D
【分析】根据已知条件利用诱导公式确定πsin cos 2αα⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，再根据角α
所属象限确定
cos α=-
，即可求解.【详解】由诱导公式有：πsin cos 2αα⎛⎫
+= ⎪⎝⎭，
因为角α
的终边位于第二象限，则cos 2
α=-
，
所以πsin cos 22αα⎛⎫
+== ⎪⎝⎭
.
故选：D.
3．D
【分析】借助渐近线的定义计算即可得.【详解】由题意可得21
m =，又0m >，故2m =.
故选：D.4．A
【分析】根据向量的线性运算即可.
【详解】在ABC 中，BC AC AB =-，又点D 在边BC 上，且5BD DC =
，则
()
55156666
AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，故选：A.
5．A
【分析】利用导数判断函数的单调性即可得到函数的大致图象.【详解】易知R x ∈，因为()()
1
2e
x x x f x --'=
，令()0f x '=，得0x =，或2x =，则()(),02,x ∞∞∈-⋃+时，()0f x '<，()0,2x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在(),0∞-和(2,)+∞上单调递减，在()0,2上单调递增，
所以选项A 符合题意,故选：A.6．B
【分析】根据给定条件，构造以线段OP 为体对角线的长方体，再求出OP 的最大值.
【详解】令直线123,,l l l 两两确定的平面分别为,,αβγ，显然,,αβγ两两垂直，把三个圆柱围成的几何体等分为8个部分，
由对称性知，考查其中一个部分，当线段OP 在平面α或β或γ内时，1OP =，当线段OP 不在,,αβγ的任意一个内时，线段OP 可视为一长方体的体对角线，
要OP 最长，当且仅当此长方体为正方体，其中一个表面正方形在α内，对角线长为1，
边长即正方体的棱长为
22，体对角线长为22
所以OP 长度最大值为
2
.故选：B 7．B
【分析】先根据古典概型得出一轮游戏中，甲得3分、1分、0分的概率.进而求出三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的概率，以及事件三轮比赛中，事件甲乙均有得3分的概率.即可根据条件概率公式，计算得出答案.
【详解】用(),a b 分别表示甲、乙两人投掷一枚骰子的结果，
因为甲、乙两人每次投掷均有6种结果，则在一轮游戏中，共包含6636⨯=个等可能的基本事件.其中，甲得3分，即a b >包含的基本事件有
()()()()()()()()()()()()()()()2,1,3,1,3,2,4,1,4,2,4,3,5,1,5,2,5,3,5,4,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5，共15个，概率
为1553612
p =
=.同理可得，甲每轮得0分的概率也是
512
，得1分的概率为16.
所以每一轮甲得分低于3分的概率为57
111212
p -=-=．
设事件A 表示甲至少有一轮比赛得3分，事件B 表示乙至少有一轮比赛得3分，则事件A 表示经过三轮比赛，甲没有比赛得分为3分.
则()3
3
33
77C 1212P A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()3
71385
11121728
P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.
事件AB 可分三类情形：
①甲有两轮得3分，一轮得0分，概率为2
213
55125
C 1212576P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；②甲有一轮得3分，两轮得0分，概率为2
1
23
55125
C 1212576P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
③甲有一轮得3分，一轮得0分，一轮得1分，概率为3
3355125A 12126144
P ⨯
⨯⨯==.所以()12312512525175576576144288P AB P P P =++=
++=175
288
=，所以()()()175
210
288|1385277
1728
P AB P B A P A ===.故选：B ．8．A
【分析】先对1
n a
)22n ≥+≥
()
*21N n n ≥-∈，进而()
()()()2
1
1
111223212232121n a n n n n n n ⎛⎫
≤
<
=-≥ ⎪----⎝⎭
-，应用裂项相消法即可求解.
【详解】因为11a =
，则
21
1402n
a a =+>，即20a >，
结合
()1
142,N 2n n n
n n a a *-=+≥∈，可得0n a >，
则()2
2
1112422222n n n n n n a a a --⎛⎫⎛⎫
-==+
≥+≥ ⎝⎝
，
)
22
n
≥+≥
()
22
n≥，
2
2，…
()
22
n≥，
()
21
n
≥-
()()
21212
n n n
+-=-≥，
当1
n=
1=
()*
21N
n n
≥-∈，
所以()()()()
2
111112
232122321
21
n
a n
n n n n
n
⎛⎫
≤<=-≥
⎪
----
⎝⎭
-
，
所以()
1
11111111313
111
2335232122122212 n
S a
n n n n
⎛⎫⎛⎫
<+-+-+⋅⋅⋅+-=+-=-<
⎪ ⎪
----
⎝⎭⎝⎭
，
故2024
3
2
S<，因为0
n
a>，所以
20241220241
1
S a a a a
=++⋅⋅⋅+>=，所以
2024
3
1
2
S<<．
故选：A．
【点睛】数列与不等式结合，关键是看能不能求和，不能的要对通项公式进行放缩后进行. 9．BCD
【分析】利用特殊值判断A选项；由复数的运算判断BCD.
【详解】若复数12
2i,1i
z z
=+=+，满足
12
z z->，但这两个虚数不能比大小，A选项错误；
若22
12
z z=，则22
12
z z-=，即()()
1212
z z z z
+-=，
得
12
z z
=或12
z z
=-，所以
12
=
z z，B选项正确；
设()
11111
i R
,
z a b a b
=+∈，()
22222
i R
,
z a b a b
=+∈，
则()()()()
12112212121221
i i i
z z a b a b a a b b a b a b
⋅=++=-++，
12
||
z z⋅==
12
||||
z z==，
所以1212
z z z z
⋅=⋅，C选项正确；
若11
z=，得22
11
1
a b+=，有1
11
a
-≤≤，
1
11
b
-
≤≤，
则
1
2i3
z+===≤，1
b=时取等号，
则12i z +的最大值为3，D 选项正确.故选：BCD.10．ACD
【分析】令()f x =
,,A B C x x x 根据π3BC AB -=求得4ω=，根据π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得()f x 的解析式，
再逐项验证BCD 选项.
【详解】令()()sin 2
f x x ωϕ=+得，π2π3x k ωϕ+=+或2π2π3x k ωϕ+=+，Z k ∈，由图可知：π2π3A x k ωϕ+=+，π2π+2π3C x k ωϕ+=+，2π
2π3
B x k ωϕ+=+，所以1π2π3
C B BC x x ω⎛⎫=-=
-+ ⎪⎝⎭
，1π3B A AB x x ω=-=⋅，所以π12π2π33BC AB ω⎛⎫
=-=-+ ⎪⎝⎭
，所以4ω=，故A 选项正确，
所以()()sin 4f x x ϕ=+，由π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且π12x =-处在减区间，得πsin 03ϕ⎛⎫
-+= ⎪⎝⎭
，
所以π
π2π3
k ϕ-
+=+，Z k ∈，所以4π
2π3
k =
+ϕ，Z k ∈，所以()4π4ππsin 42πsin 4sin 4333f x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=++=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，9π9ππ1sin 8232f ⎛⎫⎛⎫
=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故B 错误.
当ππ,32x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，π5ππ42π333x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，
因为sin y t =-在5ππ,2π3
3t ⎛⎫∈+ ⎝⎭为减函数，故()f x 在ππ,32⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；
将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位得()πsin 443g x x θ⎛
⎫=-++ ⎪⎝⎭
，（0θ<时向右平移，0θ>时向左平
移），
()g x 为偶函数得ππ
4π32
k θ+
=+，Z k ∈，所以ππ244k θ=
+，Z k ∈，则θ的最小值为π24
，故D 正确.故选：ACD.
11．BCD
【分析】利用椭圆的定义可判定A ，利用焦半径公式可判定B ，利用椭圆弦长公式可判定C ，利用点差法可判定D.
【详解】由题意可知椭圆的长轴长24a =，左焦点()11,0F -，
由椭圆的定义可知222221148PF Q C PF QF PQ PF QF PF QF a =++=+++== ，
故A 错误；
设()()1122,,,P x y Q x y ，
111
42
PF x =
==+，易知[][]112,242,6x x ∈-⇒+∈，故B 正确；若PQ 的斜率存在，不妨设其方程为：y kx k =+，
联立椭圆方程()2
2
2222
1438412043x y k x k x k y kx k ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩，则2
1222
12284341243k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=
⎪+⎩
，
所以
22
3
334343
PQ k k ===+>++，若PQ 的斜率不存在，则其方程为=1x -，与椭圆联立易得3PQ =，显然当PQ 的斜率不存在时，min 3PQ =，故C 正确；
设()()3344,,,M x y N x y ，易知()()()()22
33
343443342
2
44143
0431
4
3x y x x x x y y y y x y ⎧+=⎪+-+-⎪⇒+=⎨⎪+=⎪⎩343434343434
34PQ y y y y y y k x x x x x x +-+⇒⋅=-=⋅+-+，若MN 中点为()1,1，则34433
24
PQ x x y y k +=+=⇒
=-，故D 正确.
故选：BCD
12．()2
f x x =（答案不唯一）
【分析】利用基本初等函数的性质，逐一分析各性质即可得解.【详解】由性质①可联想到幂函数，由性质②可知该幂函数的指数大于0，
由性质③可考虑将该幂数函数的自变量加上绝对值，或指数为偶数，或指数为分式形式且分子为偶数，
综上，可考虑()()0a
f x x a =>或()a
f x x =（a 为正偶数）或()n
m f x x =（n 为偶数，
0n
m
>），
不妨取2a =，得()2
f x x =.
故答案为：()2
f x x =（答案不唯一）.
13．3
5
##0.6
【分析】根据题意，设甲获胜为事件A ，比赛进行两局为事件B ，根据条件概率公式分别求解()P A 、
()P AB 的值，进而计算可得答案．
【详解】根据题意，设甲获胜为事件A ，比赛进行两局为事件B ，
()P A 122221220
C 3333327=⨯+⨯
⨯⨯=，22
224
()C 339
P AB =⨯⨯=，故4
()123
9(|)20()
20527
P AB P B A P A =
===．故答案为：3
5．
14．1e ,e ∞⎛⎫-+ ⎪
⎝⎭
【分析】0x =不是方程的根，当0x ≠时，变形为e e x x x a x =-，构造()e e
x x x
f x x =-，0x ≠，求导得到函
数单调性，进而画出函数图象，数形结合得到答案.
【详解】当0x =时，()
e 0x
x a x +=，2e 1x =，两者不等，故0不是方程的根，
当0x ≠时，e e
x x x
a x =-，
令()e ,0x
g x x x =≠，则()()2
e 1x x g x x ='-，
当0x <，01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，且当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >，
画出()e ,0x
g x x x
=≠
的图象如下：
令()e x
x
h x =，0x ≠，则()1e x
x
h x =
'-，当0x <，01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，且当0x <时，()0h x <，当0x >时，()0h x >，画出()e x
x
h x =
，0x ≠的函数图象，如下：
令()e e x x x f x x =-，0x ≠，则()()()2
2e 11e 11e e x x x x x x f x x x x -⎛⎫-=-=-+ ⎝'⎪⎭，由于2e 1
0e
x x x +>在()(),00,∞∞-⋃+上恒成立，
故当0x <，01x <<时，()0f x '<，()e e x x
x
f x x =
-单调递减，当1x >时，()0f x '>，()e e
x x x
f x x =-单调递增，
其中()1
1e e
f =-，
从()(),g x h x 的函数图象，可以看出当x →-∞时，()f x ∞→+，当0x <且0x →时，()f x ∞→-，画出函数图象如下，
要想e e
x x x
a x =-有三个不同的根，则1e ,e a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭.
故答案为：1e ,e ∞⎛⎫
-+ ⎪
⎝⎭
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题或函数零点，一般有三个方法，
一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.
二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，
三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.15．(1)2
(2)(,∞--【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程,进而求得l 与x 轴的交点与y 轴的交点，计算可得结果；（2）根据对称性求函数()g x 的解析式，将问题转化为存在[)0,1x ∈，使2e e 2e x x x m ---≥成立，构造函
数()2e e 2e x x
F x x -=--，转化为函数的最值问题并求解.【详解】（1）由()e x f x =，得()()01,e x
f f x '==，
所以切线l 的斜率(0)1k f '==.
所以切线l 的方程为1y x -=，即1y x =+.
令0x =，得1y =，令0y =，得=1x -，所以切线l 与x 轴交于点(1,0)-，与y 轴交于点(0,1)，
所以切线l 与坐标轴围成的三角形的周长为112+=.
（2）设(,)Q x y ，则(2,)P x y -，由题意知(2,)P x y -在()f x 的图象上，所以2e x y -=，所以()2e x
g x -=.
由()()2e f x x m g x -≥+，
得()()2e f x g x x m --≥，即2e e 2e x x x m ---≥，
因为存在[)0,1x ∈，使()()2e f x x m g x -≥+成立，所以存在[)0,1x ∈，使2e e 2e x x x m ---≥成立，
设()2e e 2e x x F x x -=--，则()2e e 2e x x
F x -='+-，又()2e 0F x ≥'=，当且仅当1x =时等号成
立，
所以()F x 单调递增，
所以当[)0,1x ∈时，()(1)2e F x F <=-，
可得2e m <-，即实数m 的取值范围是(,2e).∞--16．(1)67（分钟）(2)分布列见解析；期望为1
【分析】（1）根据平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和求解；（2）依题意求出随机变量ξ的分布列，并利用数学期望公式求解.
【详解】（1）由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，日均阅读时间的平均数为：
300.15500.25700.3900.21100.167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）
（2）由题意，在[60，80），[80，100），[100，120]三组分别抽取3，2，1人ξ的可能取值为：0，1，2
则3042
36C C 1(0)C 5
P ξ===
2142363(1)5C C P C ξ===12
423
61
(2)5
C C P C ξ===所以ξ的分布列为：
ξ
012
P
1
53515
()131
0121
555
E ξ=⨯+⨯+⨯=17．(1)证明见解析(2)
42
7
【分析】（1）利用等腰三角形的性质作线线垂直，结合线段长度及勾股定理判定线线垂直，根据线面垂直的判定与性质证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角结合基本不等式求最值即可.
【详解】（1）取棱1A A 中点D ，连接BD ，因为1AB A B =，所以1BD AA ⊥因为三棱柱111ABC
A B C -，所以11//AA BB ，所以1BD BB ⊥，所以BD =因为
2AB =，所以1AD =，12AA =；
因为2AC =，1A C =222
11AC AA A C +=，所以1AC AA ⊥，
同理AC AB ⊥，
因为1AA AB A = ，且1AA ，AB ⊂平面11A ABB ，所以AC ⊥平面1
1A ABB ，因为AC ⊂平面ABC ，所以平面11A ABB ⊥平面ABC ；（2）
取AB 中点O ，连接1AO ，取BC 中点P ，连接OP ，则//OP AC ，
由（1）知AC ⊥平面11A ABB ，所以OP ⊥平面11A ABB 因为1AO 平面11A ABB ，AB ⊂平面11A ABB ，所以1OP A O ⊥，OP AB ⊥，因为11AB A A A B ==，则1A O AB
⊥以O 为坐标原点，OP ，OB ，1OA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
则(0,1,0)A -
，1A
，1(0,B ，(2,1,0)C -，
可设点(N a =，()02a ≤≤，
()110,2,0A B =
，(12,1,A C =-
，(AN a =
，
设面11A B C 的法向量为(,,)n x y z =
，得1110202n A B y
n A C x y ⎧⋅==⎪⎨⋅==-⎪⎩ ，
取x =0y =，2z =
，所以n =
设直线AN 与平面11A B C 所成角为θ，
则sin cos ,n AN n AN n AN θ⋅=<>=⋅
=若0a =
，则21
sin 7
θ=，若0a
≠
，则42sin 7θ=
=
，当且仅当4
a a
=
，即2a =时，等号成立，所以直线AN 与平面11A B C
427
.18．(1)()3,0；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）存在，【分析】（1）设
()00,P x y ，利用两点间距离公式得PM =然后根据330,22m m ≤
分类讨论求解即可；
（2）（ⅰ）设直线()()1122:3,,,,l x ty C x y D x y =+，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理得12126
5
y y ty y +=-，
写出直线AC ，BD 的方程，进而求解即可；
（ⅱ）由题意点G 在以AB
为直径的圆上，代入圆的方程求得4,33G ⎛± ⎝⎭
，写出直线AC 的方程，与椭
圆联立，求得点C 的坐标，进而可得答案.
【详解】（1）设()00,P x y 是椭圆上一点，则22
0044x y +=，
因为
()022PM x =-≤≤，
①若min 30,12m PM <≤=，解得0m =（舍去），
②若min
3
,12
m PM >
=，解得1m =（舍去）或3m =，所以M 点的坐标位()3,0.
（2）（ⅰ）设直线()()1122:3,,,,l x ty C x y D x y =+，
由22
3
14
x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪
⎩，得()
22
4650t y ty +++=，所以12122265,44t y y y y t t +=-=++，所以12126
5
y y ty y +=-，①
由216800t ∆=-
>，得
t >t <，易知直线AC 的方程为()1
122
y y x x =++，②直线BD 的方程为()2
222
y y x x =
--，③联立②③，消去y ，得
()()()()1212122
2121121
2552221x y ty y ty y y x x x y ty y ty y y ++++===--++，④联立①④，消去12ty y ，则
()()122
1215
5265526
y y y x x y y y -
+++==---++，解得43x =
，即点G 在直线4
3
x =上；（ⅱ）由图可知，CG DG ⊥，即AG BG ⊥，所以点G 在以AB 为直径的圆上，
设4,3G n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2
2
443n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，所以3n =±
，即4,3G ⎛ ⎝⎭
.故直线AC
的方程为)2y x =+，直线AC 的方程与椭圆方程联立，得291640x x +-=，因为2A x =-,
所以412929C x ⎛⎫=-⋅-= ⎪⎝⎭
，所以C y =
故l MC k k ==
19．(1)()
1
*
1,3n n n a b n n -⎛⎫
==∈ ⎪
⎝⎭
N (2)（i ）323223n n
n T +=
-⨯；（ii ）存在，1m =【分析】（1）根据,n n S a 的关系式可得{}n a 是首项为1，公比为1
3
的等比数列，再根据121n n b b n ++=+可
分别对{}n b 的奇数项和偶数项分别求通项公式可得()
1
*1,3n n n a b n n -⎛⎫
==∈ ⎪
⎝⎭
N ；
（2）（i ）利用定义可求得新插入的数列公差()231n n
d n =-
+，求得23
nk n n
c =并利用错位相减法即可求出
323
223n n
n T +=
-⨯；（ii ）求得121
1132313123
m m m m m m b a m m m b T ++-+
-+=+-+--
-，易知对于任意正整数m 均有1
131313m m m m +-+<≤-+，而1113n n a -⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，所以不是数列{}n a 中的项；又()
*
n b n n =∈N ，分别对其取值为1
132,313m m
m m +-+=-+时解方程可求得1m =.
【详解】（1）由23n n S a +=①，当2n ≥时，1123n n S a --+=②，①-②得()111
20.23
n n n n n a a a a a n --+-=∴=≥，
当1n =时，11123,1a a a +=∴=，
{}n a ∴是首项为1，公比为13的等比数列，故()1
*
13n n a n -⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
N ，
由121n n b b n ++=+③.由11b =得22b =，又1223n n b b n +++=+④.④-③得22n n b b +-=，
{}n b 的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列：
所有偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列.
得()(
)()
*212n 11221,2122,n n b n n b n n b n n -=+-⨯=-=+-⨯=∴=∈N .综上可得()
1
*1,3n n n a b n n -⎛⎫
==∈ ⎪
⎝⎭
N ；
（2）（i ）在n a 和1n a +之间新插入n 个数12,,,n n nn c c c ，使121,,,,,n n n nn n a c c c a + 成等差数列，设公差为n d ，则()()
1
111233
21131n
n n n n n a a d n n n -+⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
===-
+-++，则1
11122(1)2,33(1)33(1)23
n n
nk n n nk n n n n k k n n n n c a kd c n n --=+⎛⎫
=+=-∴=-⋅= ⎪
++⎝⎭
∑.11212212212
233
3n n n nn n
n T c c c c c c ⎛⎫
=+++++++=+++ ⎪⎝⎭
⑤则231112
2333
3n n n T +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭ ⑥⑤-⑥得：2111111211
1233332211333333313n n n n n n n n n T +++⎛⎫
-⨯ ⎪+⎛⎫=+++=-=-
⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝
⎭
，
所以可得323223n n
n T +=
-
⨯（ii ）由（1）()
1
*1,3n n n a b n n -⎛⎫
==∈ ⎪
⎝⎭
N ，又323223n n
n T +=-⨯，由已知1
21
1132313123
m m m m m m b a m m m b T ++-+
-+=+-+--
-，假设1
1313
m m
m m +-+-+是数列{}n a 或{}n b 中的一项，不妨设()
()()()1
*130,,113313
m m m
m k k m k m k m +-+=>∈∴--=-⋅-+N ，
因为(
)
*
10,30m
m m -≥>∈N ，所以13k <≤，而1
113n n a -⎛⎫
=≤ ⎪
⎝⎭
，
所以1
1313m m
m m +-+-+不可能是数列{}n a 中的项.假设1
1313
m m
m m +-+-+是{}n b 中的项，则*k ∈N .当2k =时，有13m m -=，即1
13
m m -=，
令()()()11
1123
,13333m m m m m m m m f m f m f m ++---+=
+-=-=，当1m =时，()()12f f <；
当2m ≥时，(1)()0,(1)(2)(3)(4)f m f m f f f f +-<<>>> ，由()()110,29f f ==
知11
13
m m +-=无解.当3k =时，有10m -=，即1m =.
所以存在1m =使得1
13313
m
m m m +-+=-+是数列{}n b 中的第3项；又对于任意正整数m 均有1131313m m m m +-+<≤-+，所以4k ≥时，方程1
1313m m
m k m +-+=-+均无解；
综上可知，存在正整数1m =使得2
1
123
123
m m m m b a m b T +-+
+--
-是数列{}n b 中的第3项.
【点睛】关键点点睛：求解是否存在正整数m ，使得
2
1
123
123m m m m b a m b T +-+
+--
-恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项时，
关键是限定出1
131313m m
m m +-+<≤-+，再对数列{}n a 的取值范围进行限定可得不是数列{}n a 中的项，再由{}n b 只能取得正整数可知只需讨论1
13213m
m m m +-+=-+或3有无解即可求得结论.。