不等式及均值定理

不等式∙均值定理
主要内容：
1．不等式的性质：
① a b b a >⇔<；（对称性）
② a b a c b c >⇔+>+；
③ ,()a b b c b c a c >>≥⇒>， ,a b b c a c ≥>⇒>， ,a b b c a c
≥≥⇒≥；（传递性） ④ ,a b c d a c b d >>⇒+>+，,a b c d a d b c >>⇒->-（同向可以相加，异向可以相减）； ⑤ ,0a b c ac bc >>⇒>， ,0a b c ac bc ><⇒<， 11,0a b ab a b >>⇒
<； ⑥ 0,00a b c d ac bd >>>>⇒>>， 00a b c d d c >>⇒
>>； ⑦ 00n n a b a b >>⇒>>，
00a b >>⇒>> *()n N ∈；
⑧ ||||(||||)||||||||||||a b b a a b a b a b --≤-≤±≤+（绝对值不等式，注意“＝”成立的条件）。

2．均值定理及几个重要不等式：
①
,)2
a b
a b R ++≥∈；（均值不等式） ②222(,)a b ab a b R +≥±∈；（绝对不等式）
③ 2
0,||0()a a a R ≥≥∈；
④
2
1
1
2a b a b a b +≤≤≤≤≤+(0)b a ≥>；
⑤。

3．最值问题：（均值定理的应用，注意“＝”成立的条件，“一正二定三相等”）
① 若(,0,0)ab P a b P =>>且为常数
，则)a b a b +≥==
=当且仅当成立“”；
② 若(,0,0)a b S a b S =>>且为常数＋，则2()42S
S
ab a b ≤===当且仅当时成立“”。

典型例题：
1．设01x <<，则函数)1(x x y -=的最大值是 。

2．函数x x y 492-
-=的值域是 。

3．已知1>a ，则11-+
a a 的最小值是___________。

4．若210<
<a ，则)21(16a a -的最大值是___________。

5．函数22(42)(0y x x x =-<<
的最大值是___________。

6．已知+∈R b a ,，且3=+b a ，则22a b +的最小值是___________。

7．,0x y >，且21x y +=，则
11x y +的最小值是_________________。

8．若lg lg 2x y +=，则
11x y +的最小值是_____________。

9．若0,0x y >>且
191x y +=，则x y +的最小值是___________。

10．若0,0x y >>且
192x y +=，则2x y +的最小值是___________。

11．,0a b >，且3ab a b =++，则a b 的取值范围是_________________________。

12．函数2
y =
的最小值是______________。

13．函数x x y sin 4sin +
=()π<<x 0的最小值是___________。

14．若0,0x y >>且10xy =，则lg lg x y 的最大值为___________。

15．若,x y R +∈且2212y x +
=，则的最大值是 。