2013-2014鹤岗一中高二数学下期末试卷有答案理科

2013-2014鹤岗一中高二数学下期末试卷（有答案理科）
一. 选择题（本题共12道小题，每题5分，共60分） 1.已知集合A=2{|20},x x x -=B={0,1,2},则A B =( )
A.{0}
B.{0,1}
C. {0,2}
D.{0,1,2} 2.已知x R ∈,则“1x ≥”是“
1
1x
≤”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤6｝，B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（ ）.
A. f ：x →y ＝12x
B. f ：x →y ＝13x
C. f ：x →y ＝14x
D. f ：x →y ＝1
6x
4.下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是（ )． A ．x ＝y 2
＋1 B ．y ＝2x 2
＋1 C ．x －2y ＝6 D ．x ＝y
5. 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c
6.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A.()f x ()g x 是偶函数 B .|()f x |()g x 是奇函数 C.()f x |()g x |是奇函数 D.|()f x ()g x |是奇函数
7. 下列函数中，与函数y
=
有相同定义域的是( ) A .()ln f x x = B ．1
()f x x
=
C ． ()||f x x =
D ．()x f x e = 8. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos2x ，x ∈R B ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0
C ．y ＝e x －e －x 2
，x ∈R D ．y ＝x 3
＋1，x ∈R
9. 在同一坐标系中画出函数y ＝l og a x ，y ＝a x
，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( )．
(10)已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2≤0，y －1≤0，
x ＋2y －2≥0
表示的平面区域上运动，则x －y 的取值范
围是( ) A ．[－2，－1] B ．[－2,1] C ．[－1,2]
D ．[1,2]
11.国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为( )． A ．2 800元 B ．3 000元 C ．3 800元
D ．3 818元
12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a ·2x
，x ≤0，log 1
2
x ，x >0.
若关于x 的方程f (f (x ))＝0有且仅有一个实数解，
则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0)∪(0,1) C ．(0,1)
D ．(0,1)∪(1，＋∞)
二 填空题（本小题共有4道小题，每题5分，共20分）
13. 已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为________.
14.函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中m ，n >0)，则1m ＋2
n
的最小值等于________．
15.若f (x )为R 上的增函数，则满足f (2－m )<f (m 2
)的实数m 的取值范围是________．
16. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
e －x
－2，x ≤0，2ax －1，x ＞0
(a 是常数且a ＞0)．对于下列命题：
①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数；
③若f (x )＞0在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a ＞1； ④对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有1212()()
(
)22
x x f x f x f ++<
其中正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号)． 三，解答题
17.已知向量11(,2),(2,)n n n n p a q a ++==-，n ∈N *
，向量p 与q 垂直，且a 1＝1.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2a n ＋1，求数列{a n ·b n }的前n 项和S n .
18．中国2010年上海世博会已于2010年5月1日在上海隆重开馆．小王某天乘火车从重庆到上海去参观世博会,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0．8、0．7、0．9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求: (1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2）这三列火车至少有一列正点到达的概率
19..如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是
菱形，AC ＝2，BD ＝23，E 是PB 上任意一点． (1)求证：AC ⊥DE ；
(2)已知二面角A ­PB ­D 的余弦值为15
5
，若E 为PB 的中点，求EC 与平面PAB 所成角的正弦值．
20．已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为.36
（I ）若原点到直线0=-+b y x 的距离为,2求椭圆的方程； （II ）设过椭圆的右焦点且倾斜角为︒45的直线和椭圆交于A ，B 两点. 当3||=
AB ，求b 的值；
21.已知函数()ax e x f x
-=（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的切线斜率为-1.
（I ）求a 的值及函数()x f 的极值；（II ）证明：当0>x 时，x
e x <2
；
（III ）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，0x x ，恒有x
ce x <2
.
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F.
（1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED.
23.(本小题10分)选修4—4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧-=-=t y t a x 42，（t 为参数），圆C 的参数方程为 ⎩⎨⎧==θ
θ
sin 4cos 4y x ，
（θ为参数）.
（I ）求直线l 和圆C 的普通方程；
（II ）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围. 24.（本小题10分）选修4—5：不等式选讲
已知定义在R 上的函数()21-++=x x x f 的最小值为a . （I ）求a 的值；
（II ）若r q p ，，
为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p .
高二数学理科试题答案
一.选择题
1.C 2 A 3. A 4. A 5.D 6. C 7. A 8.B 9. D 10. C 11 .C 1
2.B 二.填空题
13.0 14.8 15. (,2)(1,)-∞-+∞ 16.(1)(3)(4)
三．解答题
17.解：(1)∵向量p 与q 垂直， ∴2n
a n ＋1－2n ＋1
a n ＝0，即2n a n ＋1＝2n ＋1a n ，
∴
a n ＋1
a n
＝2，∴{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2n －1
.
(2)∵b n ＝log 2a n ＋1，∴b n ＝n ，∴a n ·b n ＝n ·2n －1
，
∴S n ＝1＋2·2＋3·22
＋4·23
＋…＋n ·2
n －1
，①
∴2S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n
，② ①－②得，
－S n ＝1＋2＋22
＋23
＋24
＋…＋2
n －1
－n ·2n
＝1－2n
1－2－n ·2n ＝(1－n )2n －1， ∴S n ＝1＋(n －1)2n
.
18.用A 、B 、C 分别表示这三列火车正点到达的事件．则
()0.8,()0.7,()0.9P A P B P C ===所以()0.2,()0.3,()0.1P A P B P C ===
(1）恰好有两列正点到达的概率为
(2）三列火车至少有一列正点到达的概率为
21()10.20.30.10.994P P ABC =-=-⨯⨯=
19.解：(1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，
∴PD ⊥AC ，
∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ， 又BD ∩PD ＝D ，∴AC ⊥平面PBD ， ∵DE ⊂平面PBD ，∴AC ⊥DE .
(2)在△PDB 中，EO ∥PD ，∴EO ⊥平面ABCD ，分别以OA ，OB ，OE 所在直线为x 轴，y 轴，
z 轴建立空间直角坐标系，设PD ＝t ，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，0，t 2，
P (0，－3，t )，AB ＝(－1，3，0)，AP ＝(－1，－3，t )．
由(1)知，平面PBD 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)，设平面PAB 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，
则根据⎩⎨
⎧
n 2·AB ＝0，
n 2·AP ＝0
得⎩⎨
⎧
－x ＋3y ＝0，－x －3y ＋tz ＝0，
令y ＝1，得平面PAB 的一个法向量为n 2＝
⎝
⎛
⎭⎪⎫3，1，23t .
∵二面角APBD 的余弦值为
15
5
，
则|cos 〈n 1，n 2〉|＝
15
5
，即 34＋12t
2
＝
15
5
，解得t ＝23或t ＝－23(舍去)， ∴P (0，－3，23)．
设EC 与平面PAB 所成的角为θ，
∵EC ＝(－1,0，－3)，n 2＝(3，1,1)， 则sin θ＝|cos 〈EC ，n 2〉|＝232×5＝15
5，
∴EC 与平面PAB 所成角的正弦值为
155
. 20. 【答案】解：（I ）22
2
=∴==
b b d 32
3
6
22=∴=
=a
c a c e
2
22223
24a a c b a =
-∴=- 解得.4,1222==b a 椭圆的方程为.14
122
2=+y x
（II ）∵e .23
2
,3,36222222b a c b a c
===∴=
椭圆的方程可化为： 22233b y x =+ ①
易知右焦点)0,2(b F ，据题意有AB ：b x y 2-= ② 由①，②有：032642
2
=+-b bx x ③ 设),(),,(2211y x B y x A ，
334
24244872)11()()(||22
2
222
2
122
12==⋅=-+=-+-=b b b b y y x x AB 1=∴b
21.解法一：（I ）由()x f x e ax =-，得'()x
f x e a =-.又'(0)11f a =-=-,得2a =.
所以()2,'()x
x
f x e x f x e =-=-.令'()0f x =,得ln 2x =.当ln 2x <时,
'()0,()f x f x <单调递减;当ln 2x >时, '()0,()f x f x >单调递增.所以当ln 2x =时,
()f x 取得极小值,且极小值为ln2(ln 2)2ln 22ln 4,()f e f x =-=-无极大值.
（II ）令2()x g x e x =-,则'()2x g x e x =-.由（I ）得'()()(l n 2)0g x f x f =≥>,故()g x 在
R 上单调递增,又(0)10g =>,因此,当0x >时, ()(0)0g x g >>,即2x x e <.
（III ）①若1c ≥,则x x e ce ≤.又由（II ）知，当0x >时, 2x x e <.所以当0x >时, 2x x ce <.取00x =,当0(,)x x ∈+∞时，恒有22x cx <. ②若01c <<,令1
1k c
=
>,要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立.而要使2x e kx >成立，则只要2ln()x kx >,只要2ln ln x x k >+成立.令()2ln ln h x x x k =--,则
22'()1x h x x x
-=-
=.所以当2x >时, '()0,()h x h x >在(2,)+∞内单调递增.取01616x k =>,所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增.又
0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+.易知ln ,ln 2,50k k k k >>>.
所以0()0h x >.即存在016x c
=
,当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x
x ce <. 综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2x
x ce <.
解法二：（I ）同解法一 （II ）同解法一
（III ）对任意给定的正数c ，取
o x =
由（II ）知，当x>0时，2
x
e x >，所以2
2
2
2
,()()2
2
x x x
x x e e e =>
当o x x >时， 2
22241()()()222x
x x x e x c c
>>=
因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2x
x ce <.
22.（Ⅰ）因为PD =PG ,所以∠PDG =∠PGD .
由于PD 为切线，故∠PDA =∠DBA ,又由于∠PGD =∠EGA ,故∠DBA =∠EGA ,所以∠DBA +∠BAD =∠
EGA +∠BAD ,从而∠BDA =∠PFA .
由于AF 垂直EP ，所以∠PFA =90°，于是∠BDA =90°，故AB 是直径. (Ⅱ)连接BC ，DC .
由于AB 是直径，故∠BDA =∠ACB =90°， 在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB =BA ,AC =BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB =∠CBA . 又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ，故DC ∥AB . 由于,,AB EP DC EP DCE ⊥⊥∠所以为直角 于是ED 是直径，由（Ⅰ）得ED =AB .
解.（I ）直线l 的普通方程为220x y a --=.圆C 的普通方程为2216x y +=.
（II ）因为直线l 与圆有公共点,故圆C 的圆心到直线l 的距离4d =
≤,解得
a -≤.
24.解（I ）因为12(1)(2)3x x x x ++-≥+--=,当且仅当12x -≤≤时,等号成立,所以
()f x 的最小值等于3,即3a =.
（II ）由（I ）知3p q r ++=,又因为,,p q r 是正数,
所以2
2
2
2
2
2
2
2
()(111)(111)()9p q r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=++=, 即2
2
2
3p q r ++≥.。