辽宁省六校协作体高二数学下学期期初考试试题 理

2016-2017学年度下学期省六校协作体期初考试
高二理科数学试题
时间：120分钟 满分：150分
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集U R =，集合2
3
{|4},{|
0},1
x A x x B x x +=>=<-则()U C A B I 等于（ ） A ． {|21}x x -≤< B ． {|32}x x -<< C ．{|22}x x -<< D ．{|32}x x -≤≤ 2. 下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递增的是（ ）
A. 1y x
=
B. 1y g x =
C. cos y x =
D. 22x y x =+ 3. 某校高三年级有1000名学生，随机编号为0001,0002，．．．，1000，现按系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ） A ．0927 B ．0834 C ．0726 D ．0116
4. 已知平面向量a r ，b r 满足()
3a a b ⋅+=r r r ，且2a =r ，1b =r ，则向量a r 与b r 夹角的正弦值为（ ）
A ．12-
B ．32-
C ．1
2
D ．32
5. 若正数,x y 满足35,x y xy +=则34x y +的最小值是（ ）
A.
245 B.28
5
C.6
D.5 6. 设0.43a =，3log 0.4b =，30.4c =，则 a b c ，，的大小关系为
（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．c b a >>
7. 一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示， 则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A ．30π
B ．29π
C ．
292
π
D ．216π 8. 《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问题”“今有竹九节，下三节容量四升，
上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少？”意思为 :今有竹九节，下三节容量和为4升，上四节
容量之和为3升，且每一节容量变化均匀（即每节容量成等差数列）.问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为（ ） A.
6766 B. 3733 C. 72 D. 1011
9. 设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：
①若m α⊥，//n α，则m n ⊥；②若//m n ，//n α，则//m α；③若//m n ，n β⊥，//m α，则αβ⊥；④若m n A =I ，//m α，//m β，//n α，//n β，则//αβ． 其中真命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10. 已知数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为
5
4
，则5S =（ ）
A ．63
B ．31
C ．33
D ．15
11. 已知函数2(43)3,0
()log (1)1,0
a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩（0a >，且1a ≠）在R 上单调递减，且函数
()|()|2g x f x x =+-恰好有两个不同的零点，则a 的取值范围是（ ）
A ．2(0,]3
B ．23
[,]34 C ．123[,]{}334U D ．123[,){}334
U
12. 如图，已知平面α⊥平面β，,A B 是平面α与
平面β的交线上的两个定点，,DA CB ββ⊂⊂， 且,,4,8,6DA AB CB AB AD BC AB ⊥⊥===，在平面
α上有一个动点P ，使APD BPC ∠=∠，则四棱锥P ABCD -体积的最大值是（ ）
A ．243
B ．16
C ．144
D ．48
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13. 如图，输入5n =时，则输出的S =________.
输入n
P
D C
B
A
β
α
14. 设变量,x y 满足约束条件36020x y x y y a +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪≤⎩
，
且目标函数2z y x =-的最小值为7-，则实数a 等于_____.
15. 函数22sin()2
4()2sin 1
2
x f x x π
-+=+的最大值为M ，最小值为m ， 则M m +等于________.
16. 在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若存在12(1,2,)i x i x x =≠，
21(23)14i i k kx x ⊗--=+-，则实数k 的取值范围为_______.
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）
在ABC ∆中，边,,a b c 的对角分别为,,A B C ；且4,3
b A π
==，面积23S =．
（1）求a 的值；
（2）设()()2cos sin cos cos f x C x A x =-，将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的
1
2
（纵坐标不变）得到()g x 的图象，求()g x 的单调增区间． 18.（本小题满分12分）
如图（1）所示，在直角梯形ABCP 中，//BC AP ，AB BC ⊥，CD AP ⊥，2AD DC PD ===，
E 、
F 、
G 分别为线段PC 、PD 、BC 的中点，现将PDC ∆折起，使平面PDC ⊥平面ABCD （图（2））．
（1）求证：平面//EFG 平面PAB ；
（2）若点Q 是线段PB 的中点，求证：PC ⊥平面ADQ . （3）求三棱锥C EFG -的体积．
19.（本小题满分12分）
某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成)50,40[，
)60,50[，)70,60[，)80,70[，)90,80[，]100,90[六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察
图形中的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[)80,70内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；
（3）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的
概率．
20.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 中，*111,()3
n
n n a a a n N a +==
∈+
（1）求证：1
12n a ⎧⎫
+⎨
⎬⎩⎭
是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足(31)2n n n n n b a =-⋅
⋅，数列{}n
b 的前n 项和为n T ，若不等式1
(1)2n
n n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围．
21.（本小题满分12分）
已知圆C 的圆心在坐标原点，且与直线022:1=--y x l 相切． （1）求直线0534:2=+-y x l 被圆C 所截得的弦AB 的长；
（2）过点(1,3)G 作两条与圆C 相切的直线，切点分别为,,M N 求直线MN 的方程；
（3）若与直线1l 垂直的直线l 与圆C 交于不同的两点,P Q ，若POQ ∠为钝角，求直线l 在y 轴
上的截距的取值范围．
22.（本小题满分12分）
已知函数()f x 满足：对任意,x y R ∈，都有()()()()()2f x y f x f y f x f y +=--+成立，且
0x >时，()2f x >，
（1）求(0)f 的值，并证明：当0x <时，1()2f x <<． （2）判断()f x 的单调性并加以证明．
（3）若函数()|()|g x f x k =- 在(,0)-∞上递减，求实数k 的取值范围．
2016-2017学年度下学期省六校协作体期初考试
高二理科数学参考答案
一、选择题
二、填空题 13、
56 14、 3 15、 2 16、53(,]124
三、解答题
17、解：（1）在ABC ∆中 A bc S sin 2
1
=
Θ 2=∴c 221
2cos 16424223,2
a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯
= …………4分 （2）∵
234
,,sin 1,sin sin sin 3a b B A B B ==∴= 又∵0B π<<∴2B π= 6C π=
∴(()2cos sin cos cos )2sin()6
f x C x A x x π
=-=-，
将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到()2sin(2)6
g x x π
=-， …………8分 令222,2
6
2
k x k π
π
π
ππ-≤-
≤+
即,()
6
3
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
()g x 的单调增区间为,,()63k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
…………10分
18、解：（1）证明：∵E 、F 分别是,PC PD 的中点， ∴//EF CD
又//CD AB ．∴//EF AB ．
∵EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴//EF 平面PAB ．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B A D D A B A C B
C
D
同理，//EG 平面PAB ，∵EF EG E =I ，
EF ⊂平面EFG ，EG ⊂平面EFG
∴平面//EFG 平面PAB . …………4分 （2）解：连接DE ，EQ ，
∵E 、Q 分别是PC 、PB 的中点，∴//EQ BC ，又//BC AD ． ∴//EQ AD
∵平面PDC ⊥平面ABCD ，PD DC ⊥， ∴PD ⊥平面ABCD ． ∴PD AD ⊥，
又AD DC ⊥，PD DC D =I ，∴AD ⊥平面PDC ，∴AD PC ⊥． 在PDC ∆中，PD CD =，E 是PC 的中点，∴DE PC ⊥，
∵DE AD D =I ，∴PC ⊥平面ADEQ ，即PC ⊥平面ADQ ． …………8分
（3）1111
(11)1.3326
C EFG G CEF CEF V V S GC --∆==
⋅=⨯⨯⨯⨯= …………12分 19、解：（1）设分数在[70，80）内的频率为x ，根据频率分布直方图，则有
110)005.0025.02015.001.0(=+⨯++⨯+x ，可得3.0=x ，…………2分
所以频率分布直方图为：
…………4分
（2）以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分步直方图分成面积相等的两个部分，由频率分布直方图知，中位数要把最高的小长方形三等分， ∴中位数是1220701033+⨯
= 所以估计本次考试成绩的中位数为220
3
………8分
（3）设所抽取2人成绩之差的绝对值大于10为事件M ，
第1组学生数：61.060=⨯人（设为1，2，3，4，5，6） 第6组学生数：600.053⨯=人（设为A ，B ，C ）
所有基本事件有：12，13，14，15，16，1A ，1B ，1C ，23，24，25，26，2A ，2B ，2C ，34，35，36，3A ，3B ，3C ，45，46，4A ，4B ，4C ，56，5A ，5B ，5C ，6A ，6B ，6C ，AB ，AC ，BC 共有36种， 事件M 包括的基本事件有：1A ，1B ，1C ， 2A ，2B ，2C ， 3A ，3B ，3C ，4A ，4B ，4C ，5A ，5B ，5C ， 6A ，6B ，6C 共有18种 所以181()362
P M =
= 所以所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率为1
2。

…………12分 20、（1）证明：由1(*)3
n
n n a a n N a +=
∈+， 得
11331n n n n a a a a ++==+， 11111
3()22
n n a a +∴
+=+ 所以数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
是以3为公比，以1113
()22a +=为首项的等比数列，
从而
11132
32231
n n n n a a -+=⨯⇒=-；…………6分 （2）1
2
n n n b -=
01221
11111
123(1)22222n n n T n n --=⨯
+⨯+⨯++-⨯+⨯
L 1211111
12(1)22222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯L ， 两式相减得 012111111222222222
n n n n T n n -+=++++-⨯=-L 12
42
n n n T -+∴=- …………10分
12
(1)42
n n λ-∴-<-
若n 为偶数，则12
4,32n λλ-∴<-∴<
若n 为奇数，则12
4,2,22n λλλ-∴-<-∴-<∴>-
23λ∴-<< …………12分
21、（1）由题意得：圆心)0,0(到直线022:1=--y x l 的距离为圆的半径，
22
2
2==
r ，所以圆C 的标准方程为：422=+y x …………2分 所以圆心到直线2l 的距离1322=-=
d …………3分
∴ 2222123AB =-= …………4分
（2）因为点)3,1(G ,所以10312
2
=+=OG ,622=-=
OM OG GM
所以以G 点为圆心，线段GM 长为半径的圆G 方程：6)3()1(2
2
=-+-y x （1）
又圆C 方程为：42
2
=+y x （2），由)2()1(-得直线MN 方程：043=-+y x … 8分 （3）设直线l 的方程为：b
x y +-=联立42
2
=+y x 得：042222=-+-b bx x ，
设直线l 与圆的交点),(),,(2211y x Q y x P ，
由0)4(8)2(2
2
>---=∆b b ，得82
<b ，2
4,22121-=⋅=+b x x b x x （3） 10分
因为POQ ∠为钝角，所以0<⋅,
即满足02121<+y y x x ，且与不是反向共线，
又b x y b x y +-=+-=2211,，所以0)(22
21212121<++-=+b x x b x x y y x x （4） 由（3）（4）得42<b ，满足0>∆，即22<<-b ， ………… 11分 当与反向共线时，直线b x y +-=过原点，此时0=b ，不满足题意， 故直线l 在y 轴上的截距的取值范围是22<<-b ，且0≠b ………… 12分 22、解：（1）∵()()()()()2f x y f x f y f x f y +=--+,令0x y ==，
(0)(0)(0)(0)(0)2f f f f f =⋅--+
∴2
(0)3(0)20f f -+=,(0)2f =或(0)1f =
若(0)1f =, 则(1)(10)(1)(0)(1)(0)21f f f f f f =+=⋅--+=，
与已知条件0x >时，()2f x >相矛盾，∴(0)2f = …………2分 设0x <，则0x ->，那么()2f x ->
又2(0)()()()()()2f f x x f x f x f x f x ==-=⋅----+
()1
()1()1()1
f x f x f x f x -∴=
=+----
∵()2f x ->，∴1
01()1
f x <
<--，从而1()2f x << …………4分
（2）函数()f x 在R 上是增函数
设12x x <则210x x ->，∴21()2f x x ->
2211211211()()()()()()2f x f x x x f x x f x f x x f x =-+=----+ 2111()[()1]()2f x x f x f x =---+
∵由（1）可知对x R ∈，()1f x >，∴1()10,f x ->，又21()2f x x -> ∴2111()[()1]2()2f x x f x f x -⋅->-
21111()[()1]()2()f x x f x f x f x ---+>
即21()()f x f x >
∴函数()f x 在R 上是增函数…………8分 （3）∵由（2）函数()f x 在R 上是增函数 ∴函数()y f x k =-在R 上也是增函数 若函数()|()|g x f x k =-在(,0)-∞上递减 则(,0)x ∈-∞时，()|()|g x f x k =-()k f x =- 即(,0)x ∈-∞时，()0f x k -<， ∵(,0)x ∈-∞时，()(0)2f x f <=， ∴2k ≥ …………12分。