高考数学大一轮复习 第七章 数列与数学归纳法 第1节 数列的概念及简单表示法学案 理

第1节数列的概念及简单表示法
最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
知识梳理
1．数列的概念
(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．
2．数列的分类
分类原则类型满足条件
按项数分类
有穷数列项数有限
无穷数列项数无限
按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1＞a n
其中
n∈N*递减数列a n＋1＜a n
常数列a n＋1＝a n
按其他标准分类有界数列存在正数M，使|a n|≤M
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项
小于它的前一项的数列
3.数列的通项公式
(1)通项公式：如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
(2)递推公式：如果已知数列{a n}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
4．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），
S n －S n －1 （n ≥2）.
[常用结论与微点提醒] 1．一些常见数列的通项公式
(1)数列1，2，3，4，…的通项公式为a n ＝n ； (2)数列2，4，6，8，…的通项公式为a n ＝2n ； (3)数列1，2，4，8，…的通项公式为a n ＝2
n －1
；
(4)数列1，4，9，16，…的通项公式为a n ＝n 2
； (5)数列1，12，13，14，…的通项公式为a n ＝1
n .
2．已知递推关系求通项一般有两种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加或累乘法求数列的通项公式．
诊 断 自 测
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的．( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )
(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列． (2)数列中的数是可以重复的． (3)不是所有的数列都有通项公式． 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
，则a 8的值为( ) A ．15
B ．16
C ．49
D ．64
解析 当n ＝8时，a 8＝S 8－S 7＝82－72
＝15. 答案 A
3．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( )
A ．a n ＝(－1)
n －1
＋1
B ．a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，
0，n 为偶数
C ．a n ＝2sin
n π
2
D ．a n ＝cos(n －1)π＋1
解析 对n ＝1，2，3，4进行验证，a n ＝2sin n π
2
不合题意，故选C.
答案 C
4．已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *
，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
解析 因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *
，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2
＋λ(n ＋1)＞
n 2＋λn ，整理，
得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)．(*)
因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3. 答案 (－3，＋∞)
5．(2018·台州月考)在数列{x n }中，x 1＝10，x n ＝log 2(x n －1－2)，则数列{x n }的第2项是________，所有项和T ＝________． 解析 ∵x 1＝10，x n ＝log 2(x n －1－2)，
∴x 2＝log 2(x 1－2)＝log 28＝3，x 3＝log 2(x 2－2)＝log 21＝0. 数列{x n }所有项的和为10＋3＋0＝13. 答案 3 13
6．(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式
a n ＝________．
解析 a 1＝1，a 2＝6＝1＋5＝1＋5×(2－1)，
a 3＝11＝1＋5×2＝1＋5×(3－1)， a 4＝16＝1＋5×3＝1＋5×(4－1)，
∴a n ＝1＋5×(n －1)＝5n －4. 答案 5n －4
考点一 由数列的前几项求数列的通项
【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，415，635，863，10
99，…； (3)12，2，92，8，25
2，…； (4)5，55，555，5 555，….
解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n
，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n
(6n －5)． (2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，…，相邻的偶数，故所求数列的一个通项公式为a n ＝2n （2n －1）（2n ＋1）
.
(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，4
2，
92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 2
2
. (4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n
－1，
故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59
(10n
－1)．
规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： (1)分式中分子、分母的各自特征； (2)相邻项的联系特征； (3)拆项后的各部分特征；
(4)符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想． 【训练1】 (1)数列0，23，45，6
7，…的一个通项公式为( )
A ．a n ＝
n －1n ＋2(n ∈N *
) B ．a n ＝n －12n ＋1
(n ∈N *
)
C ．a n ＝2（n －1）2n －1
(n ∈N *
)
D ．a n ＝2n 2n ＋1
(n ∈N *
)
(2)数列－11×2，12×3，－13×4，1
4×5，…的一个通项公式a n ＝________．
解析 (1)注意到分子0，2，4，6都是偶数，对照选项排除即可．
(2)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n
1
n （n ＋1）
.
答案 (1)C (2)(－1)
n
1
n （n ＋1）
考点二 由S n 与a n 的关系求a n (易错警示)
【例2】 (1)(2017·温州市十校联考)在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________．
(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n
＋1，则数列的通项公式a n ＝________．
解析 (1)依题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1，两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n ，又S 1＝2a 1＋1＝a 1，因此a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项、2为公比的等比数列，a n ＝－2
n －1
.
(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n
＋1－3n －1
－1＝2·3
n －1
.
显然当n ＝1时，不满足上式．
∴a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1
，n ≥2. 答案 (1)－2
n －1
(2)⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，
2·3n －1
，n ≥2
规律方法 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，
S n －S n －1，n ≥2.①当n ＝1时，a 1若适
合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；②当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．
易错警示 在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形．
【训练2】 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2
－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________． (2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1
3，则{a n }的通项公式a n ＝________．
解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12
－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．
故数列的通项公式为a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，
6n －5，n ≥2.
(2)由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋1
3，
两式相减，得a n ＝23a n －2
3a n －1，
∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，即
a n
a n －1
＝－2. 又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋1
3，a 1＝1，
∴a n ＝(－2)
n －1
.
答案 (1)⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2
(2)(－2)n －1
考点三 由数列的递推关系求通项公式
【例3】 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *
)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．
(2)(2018·衢州质检)在数列{a n }中，a 1＝1，(n 2
＋2n )(a n ＋1－a n )＝1(n ∈N *)，则通项公式a n ＝________．
解析 (1)由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0， 得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，
∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1
，
∴n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2
，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3，
将以上各式累加得
a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)，
∴a n ＝3×2
n －1
－2(当n ＝1时，也满足)．
(2)由(n 2
＋2n )(a n ＋1－a n )＝1得a n ＋1－a n ＝
1n 2
＋2n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以a 2－a 1＝12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
11－13，a 3－a 2＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14，…，a n －1－a n －2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ，a n －a n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1，所以a n ＝(a n
－a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋1＝7
4－2n ＋1
2n （n ＋1）.
答案 (1)3×2
n －1
－2 (2)74－2n ＋1
2n （n ＋1）
规律方法 (1)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系式利用累加法求通项公式，特别注意能消去
多少项，保留多少项．
(2)形如a n ＋1＝a n ·f (n )的递推关系式可化为
a n ＋1
a n
＝f (n )的形式，可用累乘法，也可用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2
a 1
·a 1代入求出通项． (3)形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式可以化为(a n ＋1＋x )＝p (a n ＋x )的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键． 【训练3】 在数列{a n }中，
(1)若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项公式a n ＝________． (2)(一题多解)若a 1＝1，a n ＝
n －1
n
a n －1(n ≥2)，则通项公式a n ＝________． (3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项公式a n ＝________．
解析 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1.又a 1＝2＝1×（1＋1）
2＋1，符合上式，
因此a n ＝
n （n ＋1）
2
＋1.
(2)法一 因为a n ＝
n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1·a n －2，…，a 2＝12
a 1，以上(n －1)个式子的等号两端分别相乘得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1
n .
法二 因为a n ＝
a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －1n －2·…·1＝1
n
. (3)设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1＋t ＝2(a n ＋t )，即a n ＋1＝2a n ＋t ，解得t ＝3. 故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．
令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且
b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3
a n ＋3
＝2. 所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列． ∴b n ＝4·2n －1
＝2n ＋1
，∴a n ＝2
n ＋1
－3.
答案 (1)
n （n ＋1）
2
＋1 (2)1n
(3)2n ＋1
－3
基础巩固题组
一、选择题
1．数列23，－45，67，－8
9
，…的第10项是( )
A ．－1617
B ．－1819
C ．－2021
D ．－2223
解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1
·2n 2n ＋1，故a 10＝－20
21
. 答案 C
2．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式a n 等于( ) A.（－1）n
＋12 B ．cos n π2
C ．cos
n ＋1
2
π D ．cos
n ＋2
2
π
解析 令n ＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确． 答案 D
3．(一题多解)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式a n ＝( ) A ．2n
－1
B ．2
n －1
＋1 C ．2n －1 D ．2(n －1)
解析 法一 由a n ＋1＝2a n ＋1，可求a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，验证可知a n ＝2n
－1. 法二 由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n
，∴a n ＝2n
－1. 答案 A
4．数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
解析 依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，所以
a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4.
答案 D
5．数列{a n }的前n 项积为n 2
，那么当n ≥2时，a n 等于( ) A ．2n －1
B ．n
2
C.
（n ＋1）
2
n 2
D.
n 2
（n －1）
2
解析 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2
，
当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2
（n －1）2
.
答案 D
6．(2018·宁波镇海中学调研)已知数列{a n }的首项a 1＝a ，其前n 项和为S n ，且满足S n ＋S n
－1
＝4n 2(n ≥2，n ∈N *)，若对任意n ∈N *
，a n ＜a n ＋1恒成立，则a 的取值范围是( )
A ．(3，5)
B ．(4，6)
C ．[3，5)
D ．[4，6)
解析 由S n ＋S n －1＝4n 2(n ≥2，n ∈N *)，得S n ＋1＋S n ＝4(n ＋1)2
.两式相减得，a n ＋1＋a n ＝8n ＋4(n ≥2)，则a n ＋2＋a n ＋1＝8n ＋12.两式相减得，a n ＋2－a n ＝8(n ≥2)．又由a 1＝a ，a 1＋a 2＋a 1＝16得a 2＝16－2a ，又由a 1＋a 2＋a 3＋a 1＋a 2＝4×32
得a 3＝4＋2a ，所以a 2n ＝a 2＋8(n －1)＝8n ＋8－2a ，a 2n ＋1＝a 3＋8(n －1)＝8n －4＋2a .因为对任意n ∈N *
，a n ＜a n ＋1恒成立，所以
⎝ ⎛a ＜16－2a ，
8n ＋8－2a ＜8n －4＋2a ，
8n －4＋2a ＜8（n ＋1）＋8－2a ，
解得3＜a ＜5. 答案 A 二、填空题
7．若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝34
21，则a 5＝________．
解析 借助递推关系，则a 8递推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝8
5.
答案 8
5
8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0(n ∈N *
)，又a n a n ＋1＝S n ，则a 3－a 1＝________． 解析 因为a n a n ＋1＝S n ，所以令n ＝1得a 1a 2＝S 1＝a 1，由于a 1≠0，则a 2＝1，令n ＝2，得a 2a 3＝S 2＝a 1＋a 2，即a 3＝1＋a 1，所以a 3－a 1＝1. 答案 1
9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
＋2n ＋1(n ∈N *)，则a 1＝________；a n ＝________． 解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2. 答案 4 ⎩
⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2
10．(2018·绍兴一中适应性考试)数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2
＋n ＋1，b n ＝
(－1)n ·(a n －2)(n ∈N *
)，则数列{a n }的通项公式为________，数列{b n }的前50项和为________．
解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2
＋n ＋1－[(n －1)2
＋(n －1)＋1]
＝2n ，当n ＝1时不满足上式，则其通项公式为a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，
2n ，n ≥2.当n ＝1时，b 1＝－1；当n ≥2
时，b n ＝(－1)n ·(a n －2)＝(－1)n
·2(n －1)，则数列{b n }的前50项和为－1＋2×1－2×2
＋2×3－…＋2×49＝－1＋2×(1－2＋3－…＋49)＝－1＋2×25＝49.
答案 a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，
2n ，n ≥2 49
三、解答题
11．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2
－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当n ＝4时，a 4＝42
－4×7＋6＝－6.
(2)令a n ＝150，即n 2
－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．
(3)令a n ＝n 2
－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍)． ∴从第7项起各项都是正数．
12．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋2
3
a n .
(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．
解 (1)由S 2＝4
3a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，
解得a 2＝3a 1＝3.
由S 3＝5
3a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，
解得a 3＝3
2(a 1＋a 2)＝6.
(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23
a n －n ＋1
3
a n －1，
整理得a n ＝n ＋1
n －1
a n －1. 于是
a 1＝1， a 2＝31a 1， a 3＝42
a 2，
……
a n －1＝n n －2
a n －2， a n ＝n ＋1n －1
a n －1. 将以上n 个等式两端分别相乘，
整理得a n ＝n （n ＋1）2.
显然，当n ＝1时也满足上式．
综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n （n ＋1）2.
能力提升题组
13．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( )
A.163
B.133
C ．4
D ．0 解析 ∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34
，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0. 答案 D
14．(2018·杭州调考)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝3，则a 2 019的值为________．
解析 由题意得，a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，∴数列{a n }是周期为6的周期数列，而2 019＝6×336＋3，
∴a 2 019＝a 3＝1.
答案 1
15．(2017·金丽衢十二校联考)对于各项均为整数的数列{a n }，如果a i ＋i (i ＝1，2，3，…)为完全平方数，则称数列{a n }具有“P 性质”．不论数列{a n }是否具有“P 性质”，如果存在与{a n }不是同一数列的{b n }，且{b n }同时满足下面两个条件：
①b 1，b 2，b 3，…，b n 是a 1，a 2，a 3，…，a n 的一个排列；
②数列{b n }具有“P 性质”，则称数列{a n }具有“变换P 性质”．
下面三个数列：
①数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3
(n 2
－1)； ②数列1，2，3，4，5；
③1，2，3， (11)
具有“P 性质”的为________；具有“变换P 性质”的为________．
解析 对于①，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－n ，∵a 1＝0，∴a n ＝n 2－n ，∴a i ＋i ＝i 2(i ＝1，2，3，…)为完全平方数，∴数列{a n }具有“P 性质”；对于②，数列1，2，3，4，5，具有“变换P 性质”，数列{b n }为3，2，1，5，4，具有“P 性质”，∴数列{a n }具有“变换P 性质”；对于③，因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，所以1，2，3，…，11，不具有“变换P 性质”．
答案 ① ②
16．(2018·台州测试)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1
a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)．
(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．
解 (1)∵a n ＝1＋1
a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，
又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *
)．
结合函数f (x )＝1＋1
2x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，
a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *)．
∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.
(2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12
n －2－a 2
，
已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，
结合函数f (x )＝1＋12
x －2－a 2
的单调性，
可知5<2－a 2<6，即－10<a <－8.
即a 的取值范围是(－10，－8)．
17．(一题多解)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2
＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .
(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；
(2)设c n ＝a 2
n ·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1＜c n .
(1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4.
对于n ≥2，有a n ＝S n －S n －1＝2n (n ＋1)－2(n －1)n ＝4n .
又当n ＝1时，a 1＝4适合上式，故{a n }的通项公式a n ＝4n . 将n ＝1代入T n ＝2－b n ，得b 1＝2－b 1，故T 1＝b 1＝1. (求b n 法一)对于n ≥2，由T n －1＝2－b n －1，T n ＝2－b n ，
得b n ＝T n －T n －1＝－(b n －b n －1)，b n ＝12b n －1，所以数列{b n }是以1为首项，公比为12
的等比数列，故b n ＝21－n
.
(求b n 法二)对于n ≥2，由T n ＝2－b n ，得T n ＝2－(T n －T n －1)， 2T n ＝2＋T n －1，T n －2＝12(T n －1－2)，T n －2＝21－n (T 1－2)＝－21－n ， T n ＝2－21－n ，b n ＝T n －T n －1＝(2－21－n
)－(2－22－n )＝21－n . 又n ＝1时，b 1＝1适合上式，故{b n }的通项公式b n ＝21－n
.
(2)证明 (法一)由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n
，
得c n ＋1c n ＝12⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1n 2.
当且仅当n ≥3时，1＋1n ≤43＜2，即c n ＋1＜c n .
(法二)由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n
，得
c n ＋1－c n ＝24－n [(n ＋1)2－2n 2]＝24－n [－(n －1)2＋2]． 当且仅当n ≥3时，c n ＋1－c n ＜0，即c n ＋1＜c n .。