专题4.2 因式分解(十字相乘法与分组分解法)(教师版)

专题4.2 因式分解（十字相乘法与分组分解法）
1.理解十字相乘法的原理，并能用十字相乘法分解因式（二次三项式）；
2.能熟练使用分组分解法分解因式（四项及以上）；
3.能灵活使用因式分解的四种方法，并能解决一些实际问题。

知识点01 因式分解的方法（三）十字相乘法
【知识点】
③十字相乘法：a 2+(p+q )a+pq=(a+p )(a+q )
注意：对于二次三项式的因式分解中，当公式法不能匹配时，十字相乘就是我们的首选方法。

【知识拓展1】十字相乘法分解因式
例1．（2022·成都市初二课时练习）运用十字相乘法分解因式：
（1）232x x --；（2）210218x x ++；（3）22121115x xy y --；（4）2()3()10x y x y +-+-．
【答案】（1）(32)(1)x x +-；（2）(21)(58)x x ++；（3）(35)(43)x y x y -+；（4）
(5)(2)x y x y +-++．
【分析】（1）直接运用x 2+（p+q ）x+pq=（x+p ）（x+q ）分解因式得出即可；
（2）ax 2+bx+c （a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a 1，a 2的积a 1•a 2，把
常数项c 分解成两个因数c 1，c 2的积c 1•c 2，并使a 1c 2+a 2c 1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果：
ax 2+bx+c=（a 1x+c 1）（a 2x+c 2）；（3）同（2）；（4）把(x y +)当作一个整体，运用x 2+（p+q ）x+pq=（x+p ）（x+q ）分解因式得出即可
【详解】（1）232(32)(1)x x x x --=+-．
（2）210218(21)(58)x x x x ++=++．
（3）22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+．
（4）2()3()10[()5][()2](5)(2)x y x y x y x y x y x y +-+-=+-++=+-++．
【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．
【即学即练】
1．（2020·四川内江·中考真题）分解因式：4212b b --=_____________
【答案】()
()()2322b b b ++-【分析】先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解．
【解析】4212b b --=()()()
()()22234322b b b b b +-=++-故答案为：()
()()2322b b b ++-．【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．
2．（2022·湖南岳阳·八年级期末）阅读理解题
由多项式乘法：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：
()()()2x a b x ab x a x b +++=++．
示例：分解因式：()()()2256232323x x x x x x ++=+++´=++．
分解因式：()()()()222121212x x x x x x --=++-+´-=+-éùéùëûëû．
多项式()2x a b x ab +++的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
（1）尝试：分解因式：268x x ++=（x +______）（x +______）；
（2）应用：请用上述方法将多项式：256x x -+、256x x --进行因式分解．
【答案】（1）2，4；（2）（x -2）（x -3），（x +1）（x -6）
【分析】（1）根据“常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和”可得；
（2）利用“x 2+（a +b ）x +ab =（x +a ）（x +b ）”进行因式分解即可．
【详解】解：（1）x 2+6x +8=x 2+（2+4）x +2×4=（x +2）（x +4），故答案为：2，4；
（2）x 2-5x +6=x 2+[（-2）+（-3）]x +[（-2）×（-3）]=（x -2）（x -3），
x 2-5x -6=x 2+[1+（-6）]x +[1×（-6）]=（x +1）（x -6）．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是理解“常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和”．
【知识拓展2】先换元再十字相乘
例2．（2022·广西象州·八年级期中）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过
程：
解：设，则（第一步）
原式（第二步）
（第三步）
把代入上式，得原式（第四步）我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题：
（1）该同学因式分解的结果
（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请你直接写出因式分解的最
后结果： ；（2）请你仿照上面的方法，对多项式进行因式分解．
【答案】（1）不彻底，；（2）【分析】（1）根据因式分解的步骤进行解答即可；
（2）设，再根据不同的方法把原式进行分解即可．
【详解】解：（1）该同学因式分解的结果不彻底，
原式=；
（2）设，
则=====【点睛】本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意完全平方公式和十字相乘法的应用．()()2252564x x x x -+-++25x x y -=(2)(6)4y y =+++22816(4)y y y =++=+25x x y -=()2
254x x =-+()()223344a a a a --++()()2214x x --()()
2212a a --23a a x -=()
2
254x x =-+()()2214x x --23a a x -=()()223344a a a a --++()44
x x ++244
x x ++()2
2x +()
2232a a -+()()22
12a a --
【即学即练】
1．（2022·陕西金台·八年级期末）阅读下列材料：
材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令xy＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；
①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3
【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2
【分析】（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；
（2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可；
②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
【详解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；
（2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16，
A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；
②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3，
即B2-2B-3=（B-3）（B+1）=（m2-2m-3）（m2-2m+1）=（m-3）（m+1）（m-1）2，
所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．
【点睛】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
知识点02 因式分解的方法（四）分组分解法
【知识点】
④分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
一般地，分组分解分为三步：1）将原式的项适当分组；2）对每一组进行处理（因式分解）3）将经过处理后的每一组当作一项，再进行分解。

注：分组方法往往不唯一，但殊途同归。

有时，分组不当会导致因式分解无法继续进行，此刻切不可气馁，可再尝试新的分组方法，也许“惊喜”就在后面。

【知识拓展1】
例1．（2022·诸暨市初二期中）请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：
当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：
（1）am an bm bn
+++=()()
am an bm bn +++=()()
a m n
b m n +++=()()
m n a b ++（2）2221
x y y ---=()
2221
x y y -++=()221x y -+=()()
11x y x y ++--（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行因式分解：
ax ay bx by --+=(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)=
(_____________)(_____________)；
22x y x y -+-=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)=
(_____________)(______________)．
（2）分解下列因式：①ab ac b c -+-；②222496b a ac c -+-+．
【答案】（1）ax ay -；bx by -；()a x y -；()-b x y ；x y -；-a b ；22x y -；x y -；
()()x y x y -+；x y -；x y -；1x y ++；（2）①()()1-+b c a ；②()()
3232-+--a c b a c b
【分析】（1）利用分组分解法结合提公因式法和平方差公式因式分解即可；
（2）①利用分组分解法结合提公因式法因式分解即可；
②利用分组分解法结合公式法因式分解即可；
【详解】解：（1）ax ay bx by --+=(ax ay -)-(bx by -)=()a x y --()-b x y = (x y -)(-a b )；22x y x y -+-=(22x y -)+(x y -)=()()x y x y -+ +(x y -)=()()
1-++x y x y 故答案为：ax ay -；bx by -；()a x y -；()-b x y ；x y -；-a b ；22x y -；x y -；
()()x y x y -+；x y -；x y -；1x y ++；
（2）①ab ac b c -+-=()()-+-a b c b c =()()
1-+b c a ②222496b a ac c -+-+=()222496-+-+b a ac c =()2234--a c b =()()
3232-+--a c b a c b 【点睛】此题考查因式分解，掌握利用分组分解法结合提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键．
【即学即练1】
1．（2022·福建泉州八年级期末）因式分解：(1)43244ab ab ab -+
(2)22
12-+-x xy y 【答案】（1）22(2)ab b -；（2）(1)(1)
x y x y -++-【分析】（1）先提取公因式2ab ，再利用完全平方公式分解因式；
（2）先分组，将多项式的后三项分为一组，再利用完全平方公式以及平方差公式分解因式．
【解析】解：（1）224232244(44)(2)ab b b ab b b ab b a a -+=-+=-；
（2）222221(2)121()(1)(1)x xy y x y x y x x x y y y =--+=--=-++--+-．
【点睛】本题考查的知识点是因式分解，掌握因式分解常用方法是解此题的关键，主要有提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等等．【知识拓展2】分组分解法解决实际问题
例2．（2022·河南淮滨八年级期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解方法叫作分组分解．
例如：．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：()()()2
222161644x xy y x y x y x y -+-=--=-+--
（1）分解因式：；
（2）三边满足，判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）；（2）为等腰三角形．理由见解析
【分析】（1）根据题意分组分解，再用提公因式法因式分解；（2）将等式的左边分组分解，再用提公因式法因式分解，再根据三角形三边关系即可求得进而判断三角形的形状．
【详解】解：（1）．
（2）为等腰三角形．理由如下：
∵，∴，∴．
∵，，为三边，∴，∴，即，∴为等腰三角形．
【点睛】本题考查了分组分解法，提公因式法因式分解，三角形三边关系，掌握提公因式法因式分解是解题的关键．
【即学即练2】
2．（2022·广东龙岗·初二期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x 2﹣2xy +y 2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，
进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：
x 2﹣2xy +y 2﹣16＝（x ﹣y ）2一16＝（x ﹣y +4）（x ﹣y ﹣4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）9a 2+4b 2﹣25m 2﹣n 2+12ab +10mn ；
（2）已知a 、b 、c 分别是△ABC 三边的长且2a 2+b 2+c 2﹣2a （b +c ）＝0，请判断△ABC 的形状，并说明理由．
【答案】（1）（3a +2b +5m ﹣n ）（3a +2b ﹣5m +n ）；（2）△ABC 的形状是等边三角形．
【分析】（1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解．（2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用非负数的性质求出a 、b 、c 的关系即可．
【详解】（1）9a 2+4b 2﹣25m 2﹣n 2+12ab +10mn
=（9a 2+12ab +4b 2）﹣（25m 2﹣10mn +n 2）
=（3a +2b ）2﹣（5m ﹣n ）2
=（3a +2b +5m ﹣n ）（3a +2b ﹣5m +n ）
22926x y x y --+ABC V ,,a b c 220a b ac bc --+=ABC V ()()332x y x y -+-ABC V a b =22926x y x y --+()()()3323x y x y x y =+---()()332x y x y =-+-ABC V 220a b ac bc --+=()()()0a b a b c a b +---=()()0a b a b c -+-=a b c ABC V 0a b c +->0a b -=a b =ABC V
（2）由2a 2+b 2+c 2﹣2a （b +c ）=0可得：2a 2+b 2+c 2﹣2ab ﹣2ac =0
∴（a 2﹣2ab +b 2）+（a 2﹣2ac +c 2）=0，∴（a ﹣b ）2+（a ﹣c ）2=0
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，于是：a ﹣b =0，a ﹣c =0，所以可以得到a =b =c ．即：△ABC 的形状是等边三角形．
【点睛】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．
知识点03 因式分解的步骤和实际应用
【知识点】
因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

②在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及以上的可以尝试分组分解法分解因式③分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

【知识拓展1】灵活选用分解方法
例1．（2022·江苏南通·八年级月考）因式分解：（1）3x (a -b )-2y (b -a )；（2)（a 2+9）2﹣36a 2；（3）
(x +1)(x -5)+9．
【答案】（1）（a-b ）（3x+2y ）；（2）（a+3）2（a-3）2；（3）（x-2）2
【分析】(1)先将式子后面的b -a 变为a -b ，然后提取公因式求解；
(2)运用平方差公式和完全平方公式求解；(3)先去括号，再用完全平方公式求解．
【详解】(1) 3x (a -b )-2y (b -a )=3x (a -b )+2y (a -b )=(a -b )( 3x ＋2y )；
(2)（a 2+9）2﹣36a 2=（a 2+9）2﹣(6a )2=（a 2+6a +9)( a 2-6a +9)=（a +3）2（a -3）2；
(3) (x +1)(x -5)+9=2459x x --+=244x x -+ =2(2)x -．
【点睛】本题考查了因式分解，需要运用提取公因式和公式法进行求解，熟练掌握因式分解的求解方法是解决本题的关键．
【即学即练】
1．（2022·东平县八年级月考）因式分解：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）（7） （8）（9） （10）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．【分析】（1）（2）直接提公因式分解，可得答案；（3）根据平方差公式分解，可得答案；
（4）根据十字相乘法分解可得答案；（5）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，可得答案；（6）根据整式的乘法、合并同类项整理，再利用完全平方公式分解，可得答案；
（7）先提公因式，再根据平方差公式继续分解，可得答案；
（8）先提公因式，再根据十字相乘法分解可得答案；
（9）先利用平方差公式分解，再提公因式，可得答案；
（10）根据整式的乘法、合并同类项整理，再根据完全平方公式分解，可得答案．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；（6）；
（7）；
（8）；（9）；
（10）．()()39a x y y x -+-2(23)23m n m n --+22(2)(2)a b a b +--222m mn n --43244ab ab ab -+()(4)a b a b ab
--+422436x x y -+222430x xy y --224(23)(9)x x ---1
(4)(5)4
x x +++()()33x y a --()()23231m n m n ---()()33a b b a +-()()2m n m n +-()222ab b -()2
2a b -()()2433x x y x y -+-()()253x y x y -+()()1531x x -+2
92x æö+ç÷èø()()39a x y y x -+-()()33x y a =--2(23)23m n m n --+()()23231m n m n =---22(2)(2)a b a b +--()()2222a b a b a b a b =++-+-+()()33a b b a =+-222m mn n --()()2m n m n =+-43244ab ab ab -+()()2
222442ab b b ab b =-+=-()(4)a b a b ab --+2244a ab ab b ab =--++2244a ab b =-+()2
2a b =-422436x x y -+()()()222249433x x y x x y x y =--=-+-222430x xy y --()()()222215253x xy y x y x y =--=-+224(23)(9)x x ---()()469469x x x x =-+---+()()51533x x =-+()()1531x x =-+1(4)(5)4x x +++219204x x =+++2
2819942x x x æö=++=+ç÷èø
【点睛】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底．
【知识拓展2】配方的应用
例1．（2022·四川眉山市·八年级期末）观察下列分解因式的过程：2223a ab b +-．
解：原式=222223a ab b b b ++--222(2)4a ab b b =++-22
()(2)a b b =+-()()22a b b a b b =+++-(3)()
a b a b =+-像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法．
（1）请你运用上述配方法分解因式：2245a ab b +-；
（2）代数式222612a a b b ++-+是否存在最小值？如果存在，请求出当a 、b 分别是多少时，此代数式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）（a-b ）（a+5b ）；（2）存在最小值，当a=-1，b=3时，最小值为2．
【分析】(1)理解题意，按题意所给方法分解因式即可；(2)根据题中所给方法，对原式进行变形求解即可．
【详解】解：(1) 2245a ab b +-22224445a ab b b b -=++-()()22
23a b b =+-()()2323b a b a b b =+++-()()5a b a b =+-；
（2）代数式222612a a b b ++-+=a 2+2a+1+b 2-6b+9-1-9+12=()()22
132a b ++-+，()()2210,30a b +³-³Q ，∴当10a +=，b-3=0即1a =-，b=3时原式有最小值，最小值是2．
【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，掌握因式分解的方法，正确理解问题情境是解题关键．
【即学即练】
1．（2022·湖南天元·） 教科书中这样写道：“我们把多项式a 2+2ab +b 2及a 2-2ab +b 2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求最值问题．例如：分解因式x 2+2x -3=(x 2+2x +1)-4=(x +1)2-4=(x +1+2)(x +1-2)=(x +3)(x -1)；
例如求代数式2x 2+4x -6=2(x +1)2-8，当x = -1时，2x 2+4x -6有最小值，最小值是-8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m 2-4m -5=（2）当a ，b 为何值时，多项式2a 2+3b 2-4a +12b +18有最小值，求出这个最小值．（3）当a ，b 为何值时，多项式a 2 - 4ab +5b 2 - 4a +4b +27有最小值，并求出这个最小值．
【答案】（1）；（2）当，时，最小值为4；（3）当，时，最小值为19．(1)(5)m m +-1a =2b =-6a =2b =
【分析】（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可；（2）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答；（3）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答．
【详解】解：（1）．
故答案为；
（2），∴当，时，有最小值，最小值为4；
（3），
当，时，多项式有最小值19．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式、以及非负数的性质，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
【知识拓展3】
例3．（2022·江苏沭阳·期中）阅读理解以下文字：
我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式．通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的．这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题．
例如：方程2230x x +=就可以这样来解：
解：原方程可化为()230
x x +=所以0x =或者230x +=．
解方程230x +=，得32x =-
所以解为10x =，232
x =-．根据你的理解，结合所学知识，解决以下问题：
（1）解方程：250x x -=；（2）解方程：22(3)40x x +-=；
（3）已知ABC D 的三边长为4，x ，y ，请你判断代数式22816y y x -+-的值的符号．
【答案】（1）x 1=0或x 2=5；（2）x 1 =-1，x 2=3；（3）见解析
245m m --2449m m +--2(2)9m --22245449(2)9(23)(23)(1)(5)m m m m m m m m m --=-+-=--=-+--=+-(1)(5)m m +-222223412182(2)3(4)18a b a b a a b b +-++=-+++222(21)3(44)4a a b b =-+++++222(1)3(2)4a b =-+++1a =2b =-222341218a b a b +-++22454427a ab b a b -+-++Q 2224(1)4(1)(2)19a a b b b =-++++-+22(22)(2)19a b b =--+-+\6a =2b =22222427a ab b a b -+--+
【分析】（1）提取公因式分解因式，可得两个一元一次方程，可得方程的解；
（2）利用平方差公式分解因式，可得两个一元一次方程，可得方程的解；
（3）将代数式变形后得：（y+4-x ）（y+4+x ），根据三角形的三边关系得：x+y-4＞0，x-y+4＞0，y+4+x ＞0，则
y 2-8y+16-x 2＞0
【解析】解：（1）250x x -=，∴()50x x -=，∴x=0或x-5=0，∴x 1=0或x 2=5；
（2）（x+3）2-4x 2=0，∴（x+3+2x ）（x+3-2x ）=0，∴（3x+3）（-x+3）=0，∴3x+3=0或-x+3=0，
解方程得：x 1 =-1，x 2=3；
（3）∵△ABC 的三边长为4，x ，y ，∴x+y ＞4，x+4＞y ，∴x+y-4＞0，x-y+4＞0，y+4+x ＞0，
∵y 2-8y+16-x 2=（y-4-x ）（y-4+x ）＜0，即代数式y 2-8y+16-x 2的值的符号为负号．
【点睛】本题考查了平方差公式分解因式、三角形的三边关系，运用平方差公式是解题的难点，准确判断三边关系来求解．
【即学即练3】
1．（2022·上海市静安区初二课时练习）已知2227x xy y +-=，且x ，y 都是正整数，试求x ，y 的值．
【答案】x=3，y=2．
【分析】运用十字相乘法对等式的左边进行因式分解，再根据x ，y 的值均是正整数进行讨论即可得出答案．
【解析】∵()()2222x xy y x y x y +-=+-，且x ，y 都是正整数 ∴2x y +是正整数，x y -是整数，
又∵2227x xy y +-=，7是正整数，∴2x y +，x y -均是正整数，
又∵7=7×1，∴271x y x y +=ìí-=î或217x y x y +=ìí-=î，解271x y x y +=ìí-=î得32x y =ìí=î
，解217x y x y +=ìí-=î得52
x y =ìí=-î（不符合题意，舍去）所以x=3，y=2．【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握十字相乘法分解因式并确定出关于x 、y 的方程组是解题的关键．
题组A 基础过关练
1．（2022·全国初二课时练习）若多项式251712x x +-可因式分解成()()x a bx c ++，其中a 、b 、c 均为整数，则a c +之值为何？（ ）
A ．1
B ．7
C ．11
D ．13
【答案】A
【分析】首先利用十字交乘法将251712x x +-因式分解，继而求得a ，c 的值．【解析】解：利用十字交乘法将251712x x +-因式分解，可得：()()2
51712453x x x x +-=+﹣．4a \=，3c =-，431a c \+=-=．故选：A ．
【点睛】本题考查十字相乘法分解因式的知识．注意()2
0ax bx c a ++¹型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数1a ，2a 的积12a a ×，把常数项c 分解成两个因数1c ，2c 的积12c c ×，并使1221a c a c +正好是一次项b ，那么可以直接写成结果：()()2
1122ax bx c a x c a x c ++=++．2．（2022·陕西凤翔·初二期中）计算结果为256x x --的是（ ）
A ．()()
23x x -+B ．()()61x x +-C ．()()23x x +-D ．()()
61x x -+【答案】D
【分析】运用十字相乘的方法来分解即可．
【解析】解：256x x --=（x-6）（x+1）故选D
【点睛】本题考查了运用十字相乘的方法来分解因式，熟练掌握该方法是解决本题的关键．
3．（2022·长春市八年级月考）分解因式234x x --=________________．
【答案】(4)(1)
x x -+【分析】把-4写成-4×1，又-4+1=-3，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【解析】∵-4=-4×1，又-4+1=-3∴234(4)(1)x x x x --=-+．故答案为：(4)(1)
x x -+【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
4．（2022·湖南茶陵·初二期末）分解因式x 2+3x +2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）．这样，我们可以得到x 2+3x +2＝（x +1）（x +2）．请利用这种方法，分解因式2x 2﹣3x ﹣2＝_____．
【答案】（2x +1）（x ﹣2）
【分析】根据题中的方法将原式分解即可．
【解析】解：原式＝（2x +1）（x ﹣2），故答案为（2x +1）（x ﹣2）
【点睛】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
5．（2023·四川渠县·八年级期末）因式分解：22225x xy y -+-．
【答案】（x -y +5）（x -y -5）
【分析】根据分组分解法的法则原则将x 2-2xy +y 2为一组，-25为一组，再利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式=（x 2-2xy +y 2）-25=（x -y ）2-52=（x -y +5）（x -y -5）．
【点睛】本题考查分组分解法分解因式，掌握分组分解法的分组原则，即因式分解在组内能进行，在组与组之间也能进行，是正确解答的关键．
6．（2023·利辛县第四中学）分解因式：（1）3244x y x y xy -+； （2）2242x y x y -+-．
【答案】（1）2(2)xy x -；（2）(2)(21)x y x y -++．
【分析】（1）先提取公因式xy ,然后再运用公式法分解即可；
（2）采用分组法、再运用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：（1）3244x y x y xy -+=()244xy x x -+）=2(2)xy x -；
（2）2242x y x y -+-=()()222x y x y x y +-+-=(2)(21)x y x y -++．【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握分组法、提取公因式法和公式法是解答本题的关键．
7．（2022·重庆北碚·八年级开学考试）因式分解：
（1）x 2+5x ﹣6．（2）x 3﹣4xy 2．
【答案】（1）（x -1）（x +6）；（2）x （x -2y ）（x +2y ）
【分析】（1）利用十字相乘法分解即可；（2）先提公因式x ，再利用平方差公式即可分解；
【详解】解：（1）原式=（x -1）（x +6）；
（2）原式=x （x 2-4y 2）=x （x -2y ）（x +2y ）．
【点睛】此题考查了十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解时要分解到每一个因式再也不能分解为止．
8．（2022·江苏南通·八年级期中）分解因式：（1）(2)(1)4x x -+-；（2）322
363a a b ab -+【答案】（1）(3)(2)x x -+；（2）2
3()-a a b 【分析】（1）先进行多项式乘法去括号，再合并同类项，最后因式分解即可；（2）先提取公因数3a ，再利用完全平方公式分解因式．
【详解】解：原式()224x x =---26x x =--(3)(2)x x =-+；
（2）解：原式()2232a a ab b =-+23()a a b =-；
【点睛】本题主要考查因式分解的方法：十字相乘法、提取公因式法、公式法，以及整式乘法运算．掌握因式分解的基本方法是解答本题的关键．
9．（2022·上海市静安区实验中学初二课时练习）因式分解：【答案】【分析】将（x-y ）当做一个整体，发现-50=-5×10，-5+10=5，因此利用十字相乘法进行分解即可．
【解析】=．【点睛】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，对二次三项式进行因式分解时，若无法使用公式法和提取公因式法因式分解，则考虑使用十字相乘法分解．本题中注意整体思想的运用．
题组B 能力提升练
1．（2022浙江杭州市·八年级模拟）对于算式320182018-，下列说法错误的是
（ ）
()()2
550
x y x y -+--()()
105x y x y -+--()()2550x y x y -+--()()105x y x y -+--
A ．能被2016整除
B ．能被2017整除
C ．能被2018整除
D ．能被2019整除
【答案】A
【分析】根据因式分解的方法对原式进行变形后可以得解．
【详解】解：∵()
3220182018201820181-=- =()()20182018120181+- =201820192017´´，∴B 、C 、D 正确，A 错误，故选A ．
【点睛】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的各种方法并灵活运用是解题关键．
2．（2022·浙江初二月考）如图，设()0k a b =>>甲图中阴影部分面积乙图中阴影部分面积
，则k 的值可以为（ ）
A ．1
2B ．1C ．3
2D ．2
【答案】C
【分析】先用a 、b 的代数式表示出甲图和乙图的面积，然后利用分式的约分可得k 的值，由0a b >>即可确定k 的取值范围，进而可得答案．
【解析】解：甲图中阴影部分的面积=22a b -，乙图中阴影部分的面积=()a a b -，
∴()()()()22
1a b a b a b a b b k a a b a a b a a
-+-+====+--，∵0a b >>，∴01b a <<，∴12k <<，观察4个选项，k 的值可以为32
．故选：C ．【点睛】本题考查了多项式的因式分解、分式的约分化简以及用代数式表示图形的面积，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述相关知识是解题的关键．
3．（2022·河北安国·八年级期末）因式分解：2xy +9﹣x 2﹣y 2＝___．
利用因式分解计算：（﹣2）2022+（﹣2）2021﹣22020＝___．
【答案】()()33x y x y --+--; 22020．
【分析】先分组()2292x xy y --+利用完全平方公式()223x y --，再利用平方差公式因式分解．先提公因式
22020得22020（22-2-1）计算括号内的即可．
【详解】解： 2xy +9﹣x 2﹣y 2=()2292x xy y --+()2
23x y =--，()()33x y x y =+---éùéùëûëû()()33x y x y =--+--，故答案为()()33x y x y --+--；
（﹣2）2022+（﹣2）2021﹣22020＝22022-22021-22020=22020（22-2-1）=22020． 故答案为22020．
【点睛】本题考查分组法因式分解，以及因式分解应用计算，掌握分组法因式分解方法，会利用因式分解应用计算是解题关键．
4．（2022·树德中学都江堰外国语实验学校期中）如果490m n +=，2310m n -=，那么
()()
2223m n m n +--=______.
【答案】-900【分析】先对原式运用平方差公式进行因式分解，然后再整体代入求值即可.
【解析】原式=()()()()[23][23](4)(23)
m n m n m n m n m n m n ++-+--=-+-∵490m n +=，2310m n -=∴原式=9010900
-´=-【点睛】本题主要考查了应用平方差公式进行因式分解和整体代入法，能够正确的进行因式分解是解题的关键.
5．（2022·贵阳市白云区初二期末）已知3a b -=，4b c -=-，则代数式()2
a ac
b a
c ---的值是________．
【答案】-3
【分析】先根据3a b -=，4b c -=-，求出a-c=-1，再将多项式分解因式代入求值即可.
【解析】∵3a b -=，4b c -=-，∴a-c=-1，
∴()2
a ac
b a
c ---=()()a a c b a c ---=()()a c a b --=13-´ =-3，故答案为：-3.【点睛】此题考查多项式的化简求值，掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的关键.
6．（2022·浙江八年级月考）分解因式
（1）ax bx - （2）26348n n x x -+
（3）2221a a b -+- （4）3()a b a b --+【答案】（1）()x a b -；（2）()()()23412121n n n n x x x x ++-；（3）()()11a b a b +---；（4）
()()()
11a b a b a b --+--
【分析】（1）提公因式x 即可分解；（2）提公因式23n x -，再逐步利用平方差公式分解；（3）先分组，再利用完全平方公式分解，最后利用平方差公式分解；（4）先提公因式a-b ，再利用平方差公式分解．
【详解】解：（1）ax bx -=()x a b -；
（2）26348n n x x -+=()322348n n
x x -+=()2223116n n x x éù--êúëû=()222314n n x x éù--êúëû=()()22234141n n n x x x -+-=()()22234121n n n x x x éù-+-êúëû
=()()()23412121n n n n x x x x ++-；（3）2221a a b -+-=()221a b --=()()11a b a b +---；
（4）3()a b a b --+=()()3
a b a b ---=()()21a b a b éù---ëû
=()()()11a b a b a b --+--【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键，注意因式分解要彻底．
7．（2022·江西抚州·八年级期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．例1：“两两分组”：ax ay bx by
+++解：原式()()
ax ay bx by =+++()()
a x y
b x y =+++()()
a b x y =++例2：“三一分组”：2221xy x y +-+
解：原式2221
x xy y =++-()2
1
x y =+-()()11x y x y =+++-归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
（1）分解因式：①255x xy x y -+-；②2244m n m --+；
（2）已知ABC V 的三边,,a b c 满足220a b ac bc --+=，试判断ABC V 的形状．
【答案】（1）①(5)()x x y +-；②(2)(2)m n m n -+--；（2）ABC V 是等腰三角形．
【分析】（1）①将原式进行分组，然后再利用提取公因式法进行因式分解；②将原式进行分组，然后利用
完全平方公式和平方差公式进行因式分解；（2）将原式进行分组，然后利用平方差公式和提公因式法进行因式分解，然后结合三角形三边关系和多项式乘法的计算法则分析判断．
【详解】解：（1）①255x xy x y -+-2()(55)x xy x y =-+-()5()x x y x y =-+-()(5)x y x =-+；
②2244m n m --+22(44)m m n =-+-22(2)m n =--(2)(2)m n m n =-+--；
（2）220a b ac bc --+=Q ，22()()0a b ac bc \---=，
()()()0a b a b c a b \+---=，()()0a b a b c \-+-=，
a Q ，
b ，
c 是ABC V 的三边，a b c \+>，0a b c \+->，
0a b \-=，a b \=，即ABC V 是等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握提取公因式的技巧和完全平方公式：2222()a
ab b a b ++=+，平方差公式
22()()a b a b a b -=+-是解题关键．8．（2022·石家庄市八年级期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：例1．()()()()()()
ax by bx ay ax bx ay by x a b y a b a b x y +++=+++=+++=++例2．222222121()1(1)(1)
xy y x x xy y x y x y x y +-+=++-=+-=+++-（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：例1．222223214(1)2(12)(12)(3)(1)
x x x x x x x x x +-=++-=+-=+++-=+-请你仿照以上例题的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：22x n x n -+-；（2）分解因式：243a a ++．
【答案】（1）（x -n ）（x +n +1）；（2）（a +1）（a +3）
【分析】（1）将前两项利用平方差公式分解因式，进而利用提取公因式法分解因式得出答案；
（2）直接利用拆项法分解因式得出答案．
【详解】解：（1）原式=（x +n ）（x -n ）+（x -n ）=（x -n ）（x +n +1）；
（2）原式=a 2+4a +4-1=a 2-1+4a +4=（a +1）（a -1）+4（a +1）=（a +1）（a -1+4）=（a +1）（a +3）
【点睛】此题主要考查了拆项法以及分组分解法分解因式，读懂材料并理解所给做法是解题的关键．9．（2022·山东平阴·）王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m 2＋2mn ＋2n 2－6n ＋9＝0，求m 和n 的值．
解：∵m 2＋2mn ＋2n 2－6n ＋9＝0，∴m 2＋2mn ＋n 2＋n 2－6n ＋9＝0．
即： （m ＋n ）2＋（n －3）2＝0，∴m ＋n ＝0，n －3＝0，∴m ＝－3，n ＝3．
为什么要对2n 2进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
（1）若x 2－4xy ＋5y 2 ＋2y ＋1＝0，求x y 的值；
（2）已知a 、b 、c 是等腰△ABC 的三边长，且满足a 2－10a ＋b 2－12b ＋61＝0，求此三角形的周长．
【答案】（1）-；（2）△ABC 的周长为16或17.【分析】（1）先利用分组法分解因式，再求出x ，y 的值即可；
（2）先利用分组法分解因式，求得ab 的值，再根据等腰三角形确定边长，最后求出周长即可．
【解析】（1）∵x 2－4xy ＋5y 2＋2y ＋1＝0，∴x 2－4xy ＋4y 2 ＋y 2＋2y ＋1＝0．
即：（x-2y ）2＋（y+1）2＝0，∴x-2y ＝0，y+1＝0，∴x ＝－2，y ＝-1，∴x y =(-2)-1=-
；（2）∵a 2－10a ＋b 2－12b ＋61＝0，∴a 2－10a ＋25＋b 2－12b ＋36＝0，
即：（a-5）2＋（b-6）2＝0，∴a-5＝0，b-6＝0，∴a ＝5，b ＝6，
∵a 、b 、c 是等腰△ABC 的三边长，∴当a=c=5时，△ABC 的周长为5+5+6=16，
当b=c=6时，△ABC 的周长为5+6+6=17，故△ABC 的周长为16或17．
【点睛】本题考查了分组法分解因式以及等腰三角形的周长，注意拆项是分组法分解因式的关键．10.（2022·重庆月考）仔细阅读下列解题过程：
若，求的值．
解：根据以上解题过程，试探究下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．12
12
2222690a ab b b ++-+=a b 、2222690a ab b b ++-+=Q 222222690
()(3)0
030
33
a a
b b b b a b b a b b a b \+++-+=\++-=\+=-=\=-=，，2222210x xy y y -+-+=2x y +2254210a b ab b +--+=a b 、248200m n mn t t =++-+=，2m t n -23x y +=21a b ==，21m t n -=
【分析】（1）首先把第3项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得代入求得数值；（2）首先把第2项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得代入求得数值；（3）先把代入，得到关于和 的式子，再仿照
（1）（2）题．
【详解】解：（1） （2）（3）【点睛】本题考查的分组分解法、配方法和非负数的性质，对于项数较多的多项式因式分解，分组分解法是一个常用的方法. 首先要观察各项特征，寻找熟悉的式子，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是基础.
题组C 培优拔尖练
1．（2022·江苏金坛·八年级期末）因式分解：22421x y y ---=__________．
【答案】(21)(21)
x y x y ++--【分析】先分组，然后根据公式法因式分解．
【详解】22421x y y ---224(21)x y y =-++22(2)(1)x y =-+(21)(21)x y x y =++--．
故答案为：(21)(21)x y x y ++--．
【点睛】本题考查了分组分解法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．
2．（2022·江苏南京·初二期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a 、b ，长方形纸片乙的长和宽分别为a 和b （a ＞b ）．现有这三种纸片各6张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成的不同正方形的个数为_____．
22y 22y y +x y 、25b 224b b +a b 、4m n =+28200mn t t +-+=n t 2222210x xy y y -+-+=Q 2222210
x xy y y y \-++-+=22()(1)0x y y \-+-=010x y y \-=-=，，
11x y \==，，23x y \+=；2254210a b ab b +--+=Q 22244210
a b ab b b \+-+-+=22(2)(1)0a b b \-+-=2010a b b \-=-=，21a b \==，；
4m n =+Q ，2(4)8200n n t t \++-+=22448160
n n t t \+++-+=22(2)(4)0n t \++-=2040
n t \+=-=，24n t \=-=，42m n \=+=20(2)1
m t n -\=-=。