江苏省2018年中考数学难题(最新修正)

1．（2018•无锡）如图，已知点E 是矩形ABCD 的对角线AC 上的一动点，正方形EFGH 的顶点G 、H 都在边AD 上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE 的值（ ）
A ．等于7
3 B ．等于
3
3 C ．等于4
3
D ．随点
E 位置的变化而变化
2．（2018•无锡）如图是一个沿3×3正方形方格纸的对角线AB 剪下的图形，一质点P 由A 点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P 由A 点运动到B 点的不同路径共有（ ） A ．4条B ．5条C ．6条D ．7条
3．（2018•常州）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA 的0刻度固定在半圆的圆心O 处，刻度尺可以绕点O 旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB 的值是（ ）
A. 85
B.87
C.107
D.5
4
4．（2018•苏州）如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数y=
x
k
在第一象限内的图象经过点D ，交BC 于点E ．若AB=4，CE=2BE ，tan∠AOD=4
3
，则k 的值为（ ） A ．3 B.3
2
C ．6
D ．12
5．（2018•连云港）如图，菱形ABCD 的两个顶点B 、D 在反比例函数y=
x
k
的图象上，对角线AC 与BD 的交点恰好是坐标原点O ，已知点A （1，1），∠ABC=60°，则k 的值是（ ） A ．-5B ．-4C ．-3D ．-2
6．（2018•扬州）如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰Rt△ABC 和等
腰R t△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：
①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．②③
7．（2018•泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（9，6），AB⊥y 轴，垂足为B，点P从原点O出发向x轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，若点P与点Q的速度之比为1：2，则下列说法正确的是（）
A．线段PQ始终经过点（2，3）
B．线段PQ始终经过点（3，2）
C．线段PQ始终经过点（2，2）
D．线段PQ不可能始终经过某一定点
8．（2018•南京）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′C′D′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为．
9．（2018•无锡）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是．
10．（2018•常州）如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是．
11．（2018•苏州）如图，已知AB=8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，
∠DAP=60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（结果留根号）．
12．（2018•连云港）如图，E、F，G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA 的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC=6，则AB的长为．
13．（2018•淮安）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图
象，点A
1的坐标为（1，0），过点A
1
作x轴的垂线交直线l于点D
1
，以A
1
D
1
为
边作正方形A
1B
1
C
1
D
1
；过点C
1
作直线l的垂线，垂足为A
2
，交x轴于点B
2
，以A
2
B
2
为边作正方形A
2B
2
C
2
D
2
；过点C
2
作x轴的垂线，垂足为A
3
，交直线l于点D
3
，以
A 3D
3
为边作正方形A
3
B
3
C
3
D
3
，…，按此规律操作下所得到的正方形A
n
B
n
C
n
D
n
的面积
是．
14．（2018•盐城）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ=．
15．（2018•扬州）如图，在等腰Rt△ABO，∠A=90°，点B 的坐标为（0，2），若直线l ：y=mx+m （m≠0）把△ABO 分成面积相等的两部分，则m 的值为．
16．（2018•泰州）如图，△ABC 中，∠ACB=90°，sinA=
13
5
，AC=12，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△A'B'C，P 为线段A′B'上的动点，以点P 为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P 与△ABC 的边相切时，⊙P 的半径为．
17．（2018•宿迁）如图，将含有30°角的直角三角板ABC 放入平面直角坐标系，顶点A 、B 分别落在x 、y 轴的正半轴上，∠OAB=60°，点A 的坐标为（1，0）．将三角板ABC 沿x 轴向右作无滑动的滚动（先绕点A 按顺时针方向旋转60°，再绕点C 按顺时针方向旋转90°…），当点B 第一次落在x 轴上时，则点B 运动的路径与两坐标轴围成的图形面积是．
18．（2018•南京）如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，连接DE ．过点A 作AF⊥DE，垂足为F ，⊙O 经过点C 、D 、F ，与AD 相交于点G ． （1）求证：△AFG∽△DFC；
（2）若正方形ABCD 的边长为4，AE=1，求⊙O 的半径．
19．（2018•南京）结果如此巧合! 下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，Rt△ABC 的内切圆与斜边AB 相切于点D ，AD=3，BD=4， 求△ABC 的面积．
解：设△ABC 的内切圆分别与AC 、BC 相切于点E 、F ，CE 的长为x ． 根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x ． 根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2． 整理，得x 2+7x=12． 所以S△ABC=
21AC •BC=21（x+3）（x+4）=21（x 2+7x+12）=2
1
×（12+12）=12． 小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC 的面积等于AD 与BD 的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：△ABC 的内切圆与AB 相切于点D ，AD=m ，BD=n ．
可以一般化吗？
（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．
倒过来思考呢？
（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°．
改变一下条件……
（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．
20．如图，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°
＜θ＜90°）得到矩形A
1BC
1
D
1
，点A
1
在边CD上．
（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；
（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A
2BC
2
D
2
，点D
2
在BC
的延长线上，设边A
2B与CD交于点E，若
EC
E
A
1=6-1，求
m
n
的值．
21．（2018•无锡）已知：如图，一次函数y=kx-1的图象经过点A（35，m）（m＞0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC=2AC，过点C作x轴的垂
线，垂足为点D ．若AC=CD ． （1）求这个一次函数的表达式；
（2）已知一开口向下、以直线CD 为对称轴的抛物线经过点A ，它的顶点为P ，若过点P 且垂直于AP 的直线与x 轴的交点为Q （-5
5
4，0），求这条抛物线的函数表达式．
22．（2018•常州）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x 3+x 2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x （x 2+x-2）=0，解方程x=0和x 2+x-2=0，可得方程x 3+x 2-2x=0的解．
（1）问题：方程x 3+x 2-2x=0的解是x 1=0，x 2=，x 3=； （2）拓展：用“转化”思想求方程32 x =x 的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD 的长AD=8m ，宽AB=3m ，小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点B ，沿草坪边沿BA ，AD 走到点P 处，把长绳PB 段拉直并固定在点P ，然后沿草坪边沿PD 、DC 走到点C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C ．求AP 的长．
23．（2018•常州）（1）如图1，已知EK 垂直平分BC ，垂足为D ，AB 与EK 相交于点F ，连接CF ．求证：∠AFE=∠CFD．
（2）如图2，在Rt△GMN 中，∠M=90°，P 为MN 的中点．
①用直尺和圆规在GN 边上求作点Q ，使得∠GQM=∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②在①的条件下，如果∠G=60°，那么Q 是GN 的中点吗？为什么？
24．（2018•常州）如图，二次函数y=-3
1
x 2+bx+2的图象与x 轴交于点A 、B ，
与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（-4，0），P 是抛物线上一点（点P 与点A 、B 、C 不重合）．
（1）b=，点B 的坐标是；
（2）设直线PB 与直线AC 相交于点M ，是否存在这样的点P ，使得PM ：MB=1：2？若存在求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC 、BC ，判断∠CAB 和∠CBA 的数量关系，并说明理由．
25．（2018•苏州）如图①，直线l表示一条东西走向的笔直公路，四边形ABCD 是一块边长为100米的正方形草地，点A，D在直线l上，小明从点A出发，沿公路l向西走了若干米后到达点E处，然后转身沿射线EB方向走到点F处，接着又改变方向沿射线FC方向走到公路l上的点G处，最后沿公路l回到点A处．设AE=x米（其中x＞0），GA=y米，已知y与x之间的函数关系如图②所示，（1）求图②中线段MN所在直线的函数表达式；
（2）试问小明从起点A出发直至最后回到点A处，所走过的路径（即△EFG）是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由．
26．（2018•苏州）问题1：如图①，在△ABC中，AB=4，D是AB上一点（不与
A ，
B 重合），DE∥BC，交A
C 于点E ，连接C
D ．设△ABC 的面积为S ，△DEC 的面积为S′． （1）当AD=3时，
S
S '
=； （2）设AD=m ，请你用含字母m 的代数式表示
S
S '． 问题2：如图②，在四边形ABCD 中，AB=4，AD∥BC，AD=
2
1
BC ，E 是AB 上一点（不与A ，B 重合），EF∥BC，交CD 于点F ，连接CE ．设AE=n ，四边形ABCD 的面积为S ，△EFC 的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n 的代数式表示
S
S '
．
27．（2018•苏州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，AD 垂直于过点C 的切线，垂足为D ，CE 垂直AB ，垂足为E ．延长DA 交⊙O 于点F ，连接FC ，FC 与AB 相交于点G ，连接OC ． （1）求证：CD=CE ；
（2）若AE=GE ，求证：△CEO 是等腰直角三角形．
28．（2018•连云港）如图1，图形ABCD 是由两个二次函数y 1=kx 2+m （k ＜0）与
y
=ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D 2
（0，-3）．
（1）直接写出这两个二次函数的表达式；
（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），
并说明理由；
（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其
中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标
29．（2018•连云港）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC
是边长为2的等边三角形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边
三角形BEF，连接CF．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角
形全等，请你找出来，并证明．
（2）当点E 在线段上运动时，点F 也随着运动，若四边形ABFC 的面积为34
7
，求AE 的长．
（3）如图2，当点E 在AC 的延长线上运动时，CF 、BE 相交于点D ，请你探求△ECD 的面积S 1与△DBF 的面积S 2之间的数量关系．并说明理由． （4）如图2，当△ECD 的面积S 1=6
3
时，求AE 的长．
30．（2018•淮安）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC 是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=°； （2）如图①，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若AD 是∠BAC 的平分线，不难证明△ABD 是“准互余三角形”．试问在边BC 上是否存在点E （异于点D ），使得△ABE 也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE 的长；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，在四边形ABCD 中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC 是“准互余三角形”，求对角线AC 的长．
31．（2018•淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-
3
2
x+4的图象与x 轴和y 轴分别相交于A 、B 两点．动点P 从点A 出发，在线段AO 上以每秒3个单位长度的速度向点O 作匀速运动，到达点O 停止运动，点A 关于点P 的对称点为点Q ，以线段PQ 为边向上作正方形PQMN ．设运动时间为t 秒．
（1）当t=3
1
秒时，点Q 的坐标是；
（2）在运动过程中，设正方形PQMN 与△AOB 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数表达式；
（3）若正方形PQMN 对角线的交点为T ，请直接写出在运动过程中OT+PT 的最小值．
32．（2018•盐城）【发现】如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D 任意放在BC 边上（点D 不与点B 、C 重合），使两边分别交线段AB 、AC 于点E 、F ．
（1）若AB=6，AE=4，BD=2，则CF=； （2）求证：△EBD∽△DCF．
【思考】若将图①中的三角板的顶点D 在BC 边上移动，保持三角板与边AB 、AC 的两个交点E 、F 都存在，连接EF ，如图②所示，问：点D 是否存在某一位置，使ED 平分∠BEF 且FD 平分∠CFE？若存在，求出BC
BD
的值；若不存在，请说明理由．
【探索】如图③，在等腰△ABC 中，AB=AC ，点O 为BC 边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O 处（其中∠MON=∠B），使两条边分别交边AB 、AC 于点
E 、
F （点E 、F 均不与△ABC 的顶点重合），连接EF ．设∠B=α，则△AEF 与△ABC 的周长之比为（用含α的表达式表示）．
33．（2018•盐城）如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A （-1，0）、B （3，0）两点，且与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ ． （1）若点P 的横坐标为-2
1
，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标； （Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．
34．（2018•扬州）问题呈现
如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．
问题解决
（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN 的值；
思维拓展
（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．
35．（2018•扬州）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A 出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．
（1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为；
（2）当△CBQ 与△PAQ 相似时，求t 的值；
（3）当t=1时，抛物线y=x 2+bx+c 经过P ，Q 两点，与y 轴交于点M ，抛物线的顶点为K ，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D ，使∠MQD=2
1
∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D 的坐标；若不存在，说明理由．
36．（2018•泰州）日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L ：（H-H 1），其中L 为楼间水平距离，H 为南侧楼房高度，H 1为北侧楼房底层窗台至地面高度．
如图②，山坡EF 朝北，EF 长为15m ，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM 上有一高为22.5m 的楼房AB ，底部A 到E 点的距离为4m ． （1）求山坡EF 的水平宽度FH ；
（2）欲在AB 楼正北侧山脚的平地FN 上建一楼房CD ，已知该楼底层窗台P 处至地面C 处的高度为0.9m ，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C 距F 处至少多远？
37．（2018•泰州）对给定的一张矩形纸片ABCD 进行如下操作：先沿CE 折叠，使点B 落在CD 边上（如图①），再沿CH 折叠，这时发现点E 恰好与点D 重合（如图②）
（1）根据以上操作和发现，求AD
CD
的值； （2）将该矩形纸片展开．
①如图③，折叠该矩形纸片，使点C 与点H 重合，折痕与AB 相交于点P ，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；
②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P 点，要求只有一条折痕，且点P 在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）
38．（2018•泰州）平面直角坐标系xOy 中，横坐标为a 的点A 在反比例函数
y 1═x
k
（x ＞0）的图象上，点A′与点A 关于点O 对称，一次函数y 2=mx+n 的图
象经过点A′．
（1）设a=2，点B （4，2）在函数y 1、y 2的图象上． ①分别求函数y 1、y 2的表达式；
②直接写出使y 1＞y 2＞0成立的x 的范围；
（2）如图①，设函数y 1、y 2的图象相交于点B ，点B 的横坐标为3a ，△AA'B 的面积为16，求k 的值； （3）设m=
2
1
，如图②，过点A 作AD⊥x 轴，与函数y 2的图象相交于点D ，以AD 为一边向右侧作正方形ADEF ，试说明函数y 2的图象与线段EF 的交点P 一定在函数y 1的图象上．
39．（2018•宿迁）如图，在边长为1的正方形ABCD 中，动点E 、F 分别在边AB 、CD 上，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 始终落在边AD 上（点M 不与点A 、D 重合），点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，设BE=x ．
（1）当AM=3
1
时，求x 的值；
（2）随着点M 在边AD 上位置的变化，△PDM 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；
（3）设四边形BEFC 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式，并求出S 的最小值．
40．（2018•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a ）（x-3）（0＜a ＜3）的图象与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点D ，
过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；
（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．。