巧用两点间的距离公式证明不等式

案例展示
2013-07
我们在必修二中学习了平面中两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，
y 2）的距离公式P 1P 2=（x 1-x 2）2+（y 1-y 2）2
√.特别地，点A （x ，y ）与原点间的
距离公式为OA =x 2+y 2√.其实两点间距离公式不仅对处理解析几何问题有重要意义，它的几何意义还在很多方面有着非常广泛
的应用.本文就在证明不等式方面举几例加以说明.
在高中数学解题中，有一类不等式的证明利用常规方法难以下手，但是若能与两点间的距离公式联系起来，进行恰当的变形后就可以找到证明的思路，并且证明过程非常简洁，计算也非常简单，不得不感叹其巧妙之处.
首先，我们先来看一个等式的例题：
例1.对于任意实数a ，b ，c ，d ，求证：a 2
+b 2
√+c 2
+d 2
ó
（a-c ）2+（b -d ）2
√
.分析：在这个等式的左右两端，都有根式，常见思路是将左右
平方，然后化简计算.但是计算略显繁杂，如果利用坐标系，构造几
何模型并赋以它几何意义，再用几何知识解决，将是很好的思路.
证明：在平面直角坐标系内，如图所示.
设P 1（a ，b ），P 2（c ，
d ），则OP 1=a 2+b 2√，OP 2=c 2+d 2√，P 1P 2
=（a-c ）2+（b -d ）2
√.
当O ，P 1，P 2三点不共线时，构成△OP 1P 2，则有
OP 1+OP 2>P 1P 2，
当O ，P 1，P 2三点共线且O 不在线段P 1P 2上时，则有OP 1+OP 2>P 1P 2，当O ，P 1，P 2三点共线且O 在线段P 1P 2上时，则有OP 1+OP 2=P 1P 2，
综上可知：对于任何实数a ，b ，c ，d ，都有
a 2+
b 2√+
c 2+
d 2√≥（a-c ）2+（b -d ）2
√
.通过本例，我们可以发现，若能发现其几何意义，过程就显得非常简洁.我们再把这个思想应用到下面的不等式证明中.
变式：设a ，b ，c ，d ∈R ，求证：对于任意p ，q ∈R ，都有
（a-p ）2+（b -q ）2√
+（c-p ）2+（d -q ）2√≥（a-c ）2+（b -d ）2√分析：此不等式若要平方展开作差，计算量非常之大，会让很多学生望而却步.但是我们注意它的形式，与两点间的距离公式有异曲同工之处，用其几何意义则能发现很巧妙的证明方法.
证明：设A （a ，b ），B （c ，d ），C （p ，q ），则
AB =（a-c ）2+（b -d ）2√，AC =（a-p ）2+（b -q ）2
√，BC =（c-p ）2+（d -q ）2
√
因为对于平面上的三点A ，B ，C 总有AC +BC ≥AB ，所
以（a-p ）2+（b -q ）2√+（c-p ）2+（d -q ）2√≥（a-c ）2+（b -d ）
2
√我们再来看下面的例题：
例2.已知0<x <1，0<y <1，求证：x 2+y 2√+x 2+
（1-y ）2√+（1-x ）2+y 2√+（1-x ）2+（1-y ）2
ó22
√并求使等式成立的条件.
分析：此题若在直角坐标系中，设点画图，就能找到几何证法.证明：在直角坐标系中，画
出A （1，0），B （1，1），C （0，1）三点.
设P （x ，y ）是正方形OABC 内一点，则有
0<x <1，0<y <1，PO =x 2+y 2√,
PC =
x 2+
（1-y ）2√，PB =（1-x ）2+（1-y ）2√,PA =（1-x ）2
+y 2√即证明PO +PA +PB +PC ≥22√,
连结OB ，AC ，在△POB 中有PO +PB ≥OB =2√,当P 在线段OB 时等号成立.
在△PAC 中有PA +PC ≥AC =2√当P 在线段AC 时等号成立，∴PO +PA +PB +PC ≥22
√当P 在线段OB 和线段AC 交点时等号成立
即x 2+y 2√+x 2+（1-y ）2√+（1-x ）2+y 2√+（1-x ）2+（1-y ）2
ó
22
√等号成立的条件是x =12，y =12
.
由以上几个例子我们可以发现，用几何方法来证明不等式是
如此美妙和简洁.要使用几何方法解决代数问题的关键在于根据代数问题的几何意义，构造适当的几何模型，使代数问题几何化.以上是笔者在教学过程中对于两点间的距离公式在不等式证明中应用的一点心得体会，要想能够达到熟练运用距离公式来解决问题的目的，还需平时多加练习，同时多拜读一些经典证法.
参考文献：［1］王淼生.数学百题精彩千解［M ］.福建教育出版社，2009.
［2］吴振奎.数学解题中的特殊方法［M ］.哈尔滨工业大学出版
社，2011.
（作者单位福建省福州第四中学
）
B （1，1）
A （1，0）
C
O
P
巧用两点间的距离公式证明不等式
文/张唐蕾
摘要：通过学习过的两点间的距离公式，去探寻它的几何意义，并将其几何意义应用于等式和不等式证明题中，启发思路，简化证明过程，感受数学之美妙，提高数学素养。

关键词：不等式；两点间的距离公式；高中数学
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