北京市九年级上册数学期中试题

合集下载

北京市朝阳外国语学校来广营校区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

北京市朝阳外国语学校来广营校区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一元二次方程2250x x +-=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A ．2，1，5B ．2，1，－5C ．2，0，－5D ．2，0，52．下列四个图形中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．将抛物线2y x =向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A ．23y x =+B ．23y x =-C ．()23y x =+D ．()23y x =-4．在平面直角坐标系中，点()2,3关于原点对称的点的坐标是（）A ．()2,3-B ．()2,3-C ．()3,2D ．()2,3--5．用配方法解方程x 2＋4x ＝1，变形后结果正确的是（）A ．(x ＋2)2＝5B ．(x ＋2)2＝2C ．(x －2)2＝5D ．(x －2)2＝26．已知二次函数24y x x c =-+（c 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程240x x c -+=的两个实数根是（）A ．x 1=1，x 2=-1B ．x 1=-1，x 2=2C ．x 1=-1，x 2=0D ．x 1=1，x 2=37．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列四个说法中：①20a b +=；②0a b c ++<；③20ax bx c ++=的两个解是12x =-，24x =；④当0x ≤时，y 随x 的增大而减小；正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．下面的四个问题中都有两个变量：①一个圆柱的高等于底面半径x，这个圆柱的表面积为y；②x个球队比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次为y；③某产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量为y；④某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，利润为y元．其中，变量y与变量x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可以用一条开口向上的抛物线表示的是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③二、填空题绕点A13．如图，将ABC16．已知1(,),M x m N 211x x -=，总有|n m -三、解答题17．用适当的方法解下列方程：(1)280x x -=(2)2640x x ++=18．若1x =是关于x 的一元二次方程22420x mx m -+=的根，求代数式()()()2211m m m -++-的值．19．如图,一条公路的转弯处是一段圆弧（ AB ），点O 是这段弧所在圆的圆心.100m AB =,C 是 AB 上一点，OC AB ⊥，垂足为D ，=10m CD ，求这段弯路的半径．20．已知二次函数经过点()1,0-，()3,0，且最大值为4．(1)求二次函数的解析式；(2)在平面直角坐标系xOy 中，画出二次函数的图象；(3)当03x <<时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围．21．如图，在4×4的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上．（1）在图1中，画出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形；（2）在图2中，画出一个与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形；（3）在图3中，画出△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转90°后的三角形．22．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，将线段CA 绕点C 逆时针旋转60°，得到线段CD ，连接AD ，BD ．（1）依题意补全图形；（2）若BC =1，求线段BD 的长．23．已知关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-+-=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若0m ＜，方程的两个实数根为1x 、2x ，且12x x <，若2123x x -=，求m 的值．24．如图，用长为6m 的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m ，窗户的透光面积为2m y （铝合金条的宽度不计）．(1)求出y 与x 的函数关系式；(2)如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．25．悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁.其缆索几何形状一般近似于抛物线.从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住.某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道.图2是该悬索桥的示意图.小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引.他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB=CD,两个索塔均与桥面垂直.主桥AC 的长为600m ，引桥CE 的长为124m.缆索最低处的吊杆MN 长为3m ，桥面上与点M 相距100m 处的吊杆PQ 长为13m.若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D 与锚点E 的距离.图226．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2﹣2x （a≠0）与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧）．（1）当a=﹣1时，求A ，B 两点的坐标；（2）过点P （3，0）作垂直于x 轴的直线l ，交抛物线于点C ．①当a=2时，求PB+PC 的值；②若点B 在直线l 左侧，且PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．27．在菱形ABCD 中，BAD ∠=α，E 为对角线AC 上的一点（不与A ，C 重合），将射线EB 绕点E 顺时针旋转β角之后，所得射线与直线AD 交于F 点，试探究线段EB 与EF 的数量关系，小字发现点E 的位置，α和β的大小都不确定，于是他从特殊情况开始进行探究．(1)如图1，当90a β==︒时，菱形ABCD 是正方形．小宇发现，在正方形中，AC 平分BAD ∠，作EM AD ⊥于M ，EN AB ⊥于N ．由角平分线的性质可知EM EN =，进而可得EMF ENB △≌△，并由全等三角形的性质得到EB 与EF 的数量关系为__________．(2)如图2，当60α=︒，120β=︒时，①依题意补全图形；②请帮小字继续探究（1）的结论是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请举出反例说明；28．在平面直角坐标系xOy 中，对于第一象限的P ，Q 两点，给出如下定义：若y 轴正半轴上存在点P '，x 轴正半轴上存在点Q '，使PP QQ '' ，且1=2=∠∠α（如图1），则称点P 与点Q 为α-关联点．(1)在点()13,1Q ，()25,2Q 中，与()1,3为45︒关联点的是___________________；(2)如图2，()6,4M ，()8,4N ，()(),81P m m >．若线段MN 上存在点Q ，使点P 与点Q 为45︒-关联点，结合图象，求m 的取值范围；(3)已知点()1,8A ，(),6B n ()1n >﹒若线段AB 上至少存在一对30︒-关联点，直接写出n 的取值范围．。

2023_2024学年北京市海淀区九年级上册期中数学模拟测试卷(含解析)

2023_2024学年北京市海淀区九年级上册期中数学模拟测试卷一、选择题.（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1.抛物线的顶点坐标为（）2(1)1y x =-+A 、 B. C. D.(1,1)(1,1)-(1,1)-(1,1)--2.平面直角坐标系内一点关于原点对称点的坐标是（）(3,4)-A.、 B. C. D.、(3,4)(3,4)--(3,4)-(4,3)-3.一元二次方程有一根为零，则下列说法正确的是（）20ax bx c ++=A. B. C. D.240b ac -=0c =0b =0c ≠4.如图，在中，直径弦于，连接，若，，则的O AB ⊥CD E BD 30D ∠=︒2BD =AE 长为（）A.2B.3C.4D.55.如图，抛物线与轴交于点，对称轴为，则下列结论中正确的2y ax bx c =++x (1,0)-1x =是（）A. B.当时，随的增大而增大0a >1x >y x C. D.是一元二次方程的一0c <3x =20ax bx c ++=个根6.关于的二次函数中，若，则下列示意图中符合要求的是（）x 2()y a x h k =-+0ahk <A.B. C. D.7.二次函数的图像可能是（）2y x bx b =++A. B. C. D.8.如图，在平面直角坐标系中，，，的圆心为点，半径为1.xOy (2,0)A (0,2)B C (1,0)C -若是上的一个动点，线段与轴交于点，则面积的最大值是（）D C DA yE ABE △A.2B.C. D.832+2-二、填空题.（本题共16分，每小题2分）9.请写出一个常数的值，使得关于的方程有两个不相等的实数根，则的c x 220x x c ++=c 值可以是__________.10.二次函数，当时，的取值范围是__________.2(1)2y x =-+32x -<<y 11.如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交O AB O A OB O C A //AD OB 于点，连接.若，则等于__________.O D CD 50B ∠=︒OCD ∠12.如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为ABCD A D A B C ''''，若，则__________.()090αα︒<<︒1110∠=︒α∠=13.为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国.今作6月份盈利12000元，8月份盈利27000元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率.设6月份到8月份盈利的月平均增长率为，根据题意，可列方程为__________.x 14.如图，抛物线的对称轴为，点，点是抛物线与轴的两个交点，2y ax bx c =++1x =P Q x 若点的坐标为，则点的坐标为__________.P (1,0)-Q15.如图，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径CD O 8CD =20ACD ∠=︒B AD P 上的一个动点，则的最小值为__________.CD PA PB +16.我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值.在平面内有一个矩形，，，中心为，在矩形外有一点，ABCD 4AB =2AD =O P ，当矩形绕着点旋转时，则点到矩形的距离的取值范围为__________.3OP =O P d三、解答题：（本题共68分，第17题8分，第21、24题各4分，第18、20、22、23题各5分，第19、25、26题各6分，第27、28题各7分）17.解方程（1）（2）2670x x ++=226212x x x x+-=+18.已知关于的方展有两个不相等的实数根.x 22230x x k -+-=（1）求的取值范围；k （2）若为符合条件的最大整数，求此时方程的根.k 19.对于抛物线.243y x x =-+（1）它与轴交点的坐标为__________，与轴交点的坐标为__________，顶点坐标为x y __________；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线：x……y……（3）利用以上信息解答下列问题：若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取x 2430x x t -+-=712x -<<值范围是__________.20.如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，C AB O CD ACB ∠O D AB E 过点作交的延长线于点.D //DF AB CO F（1）求证：直线是的切线；DF O（2）若，，求的长.30A ∠=︒AC =DF 21.如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、均为格点（每个A B O 小正方形的顶点叫做格点）.（1）作点关于点的对称点；A O 1A （2）连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点为，画1AB 1A B 1A 90︒11A B B 1B 出旋转后的线段；11A B （3）连接、，则的面积为__________.（直接写出结果即可）.1AB 1BB 1ABB △22.如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点AB O CB CD O B D CD BA ，的延长线交于点，于点.若，.E CO O G EF OG ⊥F 6BC =4DE =（1）求证：；FEB ECF ∠=∠（2）求的半径长.O （3）求线段的长.EF 23.某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10米），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形（如图），已知栅栏的总长度为24米，设较小矩形的宽为米.x（1）若矩形养殖场的总面积为36平方米，求此时的的值；x （2）当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大面积为多少？x 24.下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.已知：如图，及上一点.求作：过点的的切线.O O P P O 作法：①如图，作射线；OP ②在直线外任取一点，以点为圆心，为半径作，与射线交于另一点；OP A A AP A OP B③连接并延长与交于点；BA A C ④作直线；PC 则直线即为所求.PC 根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成证明：是的直径，BC A （_________________________）（填推理的依据）.90BPC ∴∠=︒.OP PC ∴⊥又是的半径，OP O 是的切线（_________________________）（填推理的依据）.PC ∴O 25.已知函数的图象过点，.2(2)y x bx c x =++≥(2,1)A (5,4)B （1）直接写出的解析式；_________________________.2(2)y x bx c x =++≥（2）如图，请补全分段函数的图象（不要求列表），并回答以下问2221(2),(2),x x x y x bx c x ⎧-++<=⎨++≥⎩题：①写出此分段函数的一条性质：_________________________；②若此分段函数的图象与直线有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数的取值y m =m 范围：_________________________；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线围成的封112y x =-闭区域（不含边界）为“区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标W _________________________.26.在平面直角坐标系中，点，，在抛物线xOy ()12,m y -()2,m y ()32,m y -上，其中，且.221y x ax =-+1m ≠2m ≠（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含的式子表示）；a（2）当时，若，比较与的大小关系，并说明理由；0m =13y y =1y 2y （3）若存在大于1的实数，使，求的取值范围.m 123y y y >>a 27.已知，点为射线上一定点，点为射线上一动点（不与点重45MAN ∠=︒B AN C AM A 合），点在线段的延长线上，且.过点作于点.D BC CD CB =D DE AM ⊥E图1 图2（1）当点运动到如图1的位置时，点恰好与点重合，此时与的数量关系是C E C AC DE __________；（2）当点运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：；C 2AC AE DE =+（3）在点运动的过程中，点能否在射线的反向延长线上？若能，直接用等式表示C E AM 线段、、之间的数量关系；若不能，请说明理由.AC AE DE 28.在平面直角坐标系中，对于点和线段，给出如下定义：为线段上任意一xOy R PQ M PQ 点，如果，两点间的距离的最小值恰好等于线段的长，则称点为线段的“等R M PQ R PQ 距点”.（1）已知点.(5,0)A ①在点，，，中，线段的“等距点”是__________；1(3,4)B -2(1,5)B 3(4,3)B -4(3,6)B OA ②若点在直线上，并且点是线段的“等距点”，求点的坐标；C 25y x =+C OA C （2）已知点，点，图形是以点为圆心，1为半径的位于轴(1,0)D (0,1)E -W (,0)T t T x 及轴上方的部分.若图形上存在线段的“等距点”，直接写出的取值范围.x W DE数册中考试答案一、选择题：（每题2分，共16分）题号12345678答案ACBBDADD二、填空题：（每题2分，共16分）9.0（答案不唯一，即可）10.11.201c <2y 18≤<12.20︒13.14.15.4212000(1)27000x +=(3,0)16.32d -≤≤三、解答题：（本题共68分，第17题8分，第21、24题各4分，第18、20、22、23题各5分，第19、26、27题各6分，第25、28题各7分）17.（1）解：，，，267x x +=-2692x x ++=2(3)2x +=，3x +=3x =-±（2）设，则原方程化为，，解得，.22t x x =+6t 1t-=26t t -=3t =2t =-经检验，，是原方程的解.3t =2t =-当时，解得，3t =223x x +=13x =-21x =当时，此方程无解.2t =-222x x +=-综上，，.13x =-21x =18.解：（1）.2(2)4(23)8(2)k k ∆=---=-该方程有两个不相等的实数根，，解得.8(2)0k ∴->2k <（2）当为符合条件的最大整数时，.k 1k =此时方程化为，方程的根为.2210x x --=11x =+21x =-19.（1）；；.(1,0)(3,0)(0,3)(2,1)-（2）x…01234…y…301-03…表格图象略（3）.18t -≤<20.（1）证明略（221.解：（1）（2）画图结果如图所示.（3）.18ABB S =△22.（1）证明略（2）半径的长为3（3）23.解：（1）解：由已知得，较大矩形的宽为米，长为米2x 242(8)3x xx --=-根据题意有.(2)(8)36x x x +-=解得或，经检验，时，，不符合题意，故舍去..2x =6x =6x =31810x =>2x ∴=答：此时的值为2.x （2）解：设矩形养殖场的总面积为，墙的长度为10米，故，2m y 1003x <≤根据题意得，，22(2)(8)3243(4)48y x x x x x x =+-=-+=--+当时，有最大值为.103x =y 1403答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大面积为平方米.103x =140324.（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成证明：是的直径，BC A （直径所对的圆周角是直角）90BPC ∴∠=︒.OP PC ∴⊥又是的半径，OP O 是的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）.PC ∴O 25.（1）269y x x =-+（2）补图象略.①答案不唯一：例如：当时，随的增大而增大.3x >y x ②.02m <<（3），，.(0,0)(1,0)(1,1)26.（1）x a=（2）解：当时，这三个点分别为，，，0m =()12,y -()20,y ()32,y ，与关于对称轴对称，13y y = ()12,y ∴-()32,y 抛物线的对称轴为.为抛物线的顶点.∴0x =()20,y ∴抛物线的开口向上，当时，为函数的最小值，.∴0x =2y 221y x ax =-+21y y ∴<（3）解一：依题意，点，，在抛物线上，()12,m y -()2,m y ()32,m y -221y x ax =-+其中，且.1m ≠2m ≠当时，.12m <<22m m m -<-<抛物线开口向上，对称轴为直线，x a =当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，∴x a ≤y x x a ≥y x，点在对称轴左侧，与对称轴的距离最大，点在对称轴123y y y >> ∴()12,m y -()2,m y 右侧，与对称轴的距离居中，点与对称轴的距离最小，.()32,m y -11m a ∴-<<存在的实数，使成立.的取值范围是. 12m <<m 123y y y >>a ∴01a <<当时，.2m >22m m m -<-<抛物线开口向上，对称轴为直线，无论为何值，均不能满足. x a =∴a 123y y y >>综上，的取值范围是.a 01a <<解二：将，和分别代入，2x m =-x m =2x m =-得：，，.21(2)2(2)1y m a m =---+2221y m am =-+23(2)2(2)1y m a m =-+-+则有：，，124(1)y y a m -=+-234(1)(1)y y a m -=--于是成立，即为和同时成立，123y y y >>120y y ->230y y ->也即为和同时成立.1a m >-(1)(1)0a m -->①当时，，故，不存在大于1的实数；0a ≤10m a -<≤1m ≤m ②当时，，要使，则，也不存在大于1的实数；1a >10a ->(1)(1)0a m -->1m <m ③当时，，不符合题意；1a =(1)(1)0a m --=④时，只需取满足的即可满足前述两个不等式同时成立，即01a <<11m a <<+m 成立.123y y y >>综上所述，的取值范围是.a 01a <<27.（1）；AC DE =（2）补全图形，证明：法1：在射线上取点，使，AM F AC CF =，，，AC CF = BC CD =BCA DCF ∠=∠..ABC FDC ∴≌△△45DFE A ∴∠=∠=︒，，DE AM ⊥ DE EF ∴=，.2AF AE EF AC =+= 2AC AE DE ∴=+法2：作于点，BF AM ⊥F ，，.BF AM ⊥ DE AM ⊥90BFC DEC ∴∠=∠=︒，，，，.CD CB = BCF DCE ∠=∠BCF DCE ∴≌△△CF CE ∴=BF DE =，.45MAN ∠=︒ AF BF DE ∴==.2()2AE DE AF FE DE AF FC AC ∴+=++=+=结论得证.（3）点能在线段的反向延长线上，如图所示，此时.E AC 2AC AE DE +=28.（1）①，1B 2B ②点在直线上，设点的坐标为.C 25y x =+∴C (,25)a a +点是线段的“等距点”，，， C OA OC OA ∴=22(25)25a a ∴++=解之得，，点的坐标为或.10a =24a =-∴C (0,5)(4,3)--（2或2t ≤≤+21t -≤≤-解析：如图1，此时，如图2，此时2t =+t =如图3，此时，如图4，此时1t =-2t =-图1 图2图3 图4。

北京市九年级上学期期中考试数学试卷含答案(人教版)

北京市第八十中学2018～2019学年度第一学期九年级期中数学试卷班级姓名考号（满分100分，考试时间120分钟）一、选择题(共8道小题，每小题2分，共16分)四个选项中符合题意的选项只有一个．1．要得到抛物线2)4(31-=x y ，可将抛物线231x y =( )A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向右平移4个单位D ．向左平移4个单位2．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A ． B. C. D.3.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R 表示电流I 的函数表达式为（）A ．3I R=B ．I R =-6 C ．3I R=-D ．I R=6 4. 如图，点A ，B ，P 是⊙O 上的三点，若︒=∠40AOB ，则APB ∠的度数为（）A. ︒80B. ︒140C. ︒20D. ︒505. 点()11,y A x ，()22,y B x 都在反比例函数2y x=的图象上，若120x x ＜＜，则（）A ．210y y ＞＞B ．120y y ＞＞C ．210y y ＜＜D ．120y y ＜＜6. 函数y ＝x 2＋2x －3(－2≤x ≤2)的最大值和最小值分别为( ) A ．4和－3B ．5和－3C ．5和－4D ．－1和47. 如图，直线AE 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 直径。

∠EAC=150°，D 是弧BC 的中点，则弦AC 与AD 的数量关系是( )3:1.3:2.3:1B.2:1.D C A8. 已知点A 为某封闭图形边界上一定点，动点P 从点A 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P 运动的时间为x ，线段AP的长为y ．表示y 与x 的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能是( )AADCBAA二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分)9. 抛物线已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象如下图所示，则 b______0,c____0,b 2－4ac_____010. 如图，四边形ABCD 外切于圆，AB=16，CD=10，则四边形的周长是________________。

北京市第十四中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

北京市第十四中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的为()A ．B ．C ．D ．2．抛物线()2235y x =--+的顶点坐标是（）A ．()3,5-B ．()3,5-C ．()3,5D ．()3,5--3．如图，在Rt ABC △中，90,30ACB ABC ∠=︒∠=︒，将ABC V 绕点C 顺时针旋转α角()0180a ︒<<︒至A B C ''△，使得点A '恰好落在AB 边上，则α等于（）A ．150︒B ．90︒C ．30︒D ．60︒4．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个实数根，则k 的取值范围是（）A ．1k ≥B ．1k ≥-C ．1k ≥-且0k ≠D ．1k -＞且0k ≠5．如图，点A ，B ，C 都在O 上，OC OB ^，点A 在 BC上，且OA AB =，则ABC ∠的度数是（）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30°6．某厂家2024年1—5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（）A ．2180(1)442x -=B ．2180(1)461x +=C ．2137(1)461x +=D ．2368(1)442x +=7．如图，抛物线y ＝﹣116x 2+1与x 轴交于A ，B 两点，D 是以点C (0，﹣3)为圆心，2为半径的圆上的动点，E 是线段BD 的中点，连接OE ，则线段OE 的最大值是（）A ．2B ．72C ．3D ．528．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x 时，线段MN 的长度记为d （x ）．下列描述正确的是（）A ．()25%1d =B ．当50%x >时，()1d x >C ．当12x x >时，()()12d x d x >D ．当12100%x x +=时，12dx d x =（）（）二、填空题9．在平面直角坐标系xOy 中，点()3,4P -关于原点O 的对称点的坐标为．10．若()2223my m x x -=-+是关于x 的二次函数，则m 的值为．11．如图，直线y mx n =+与抛物线2y x bx c =++交于A ，B 两点，其中点()2,3A -，点()5,0B ，不等式2x bx c mx n ++<+的解集为．12．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x 米，可列方程为．13．如图，C ，D 为AB 的三等分点，分别以C ，D 为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点E ，F ，连接EF ．若9AB =，则EF 的长为．14．已知函数2=23y x x --，当1x a -≤≤时，函数的最小值是-4，实数a 的取值范围是.15．在二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中，y 与x 的部分对应值如表：x (1)-0 1.523…y…02mn…则m n ，的大小关系为mn ．（填“>”“=”或“<”）16．如图，已知Rt ACB △，90ACB ∠=︒，=60B ∠︒，AC =D 在CB 所在直线上运动，以AD 为边作等边三角形ADE ，则CB =．在点D 运动过程中，CE 的最小值．三、解答题17．解下列方程：(1)21610x -=(2)249211x x x +-=-(3)2210x -+=18．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3．（（1）用配方法将y ＝x 2－4x ＋3化成y=a （x -h ）2+k 的形式；（2）求抛物线与x 轴交点坐标；（3）在平面直角坐标系xOy 中，画出这个二次函数的图象；（4）结合图象直接写出y＞0时，自变量x的取值范围是______；（5）当0＜x＜3时，y的取值范围是______．19．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，作射线OP；①在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；②连接并延长BA与⊙A交于点C；③作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC=90°（填推理依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（填推理依据）．20．已知关于x的一元二次方程22-+=．40x mx m(1)求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根；(2)若=2是该方程的根，求代数式()()22223m m ---的值．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点分别为A （－3，4），B （－5，1），C （－1，2）．（1）画出△ABC 关于原点对称的△A 1B 1C 1，并写出点B 1的坐标；（2）画出△ABC 绕原点逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2，并写出点B 2的坐标．22．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．如图2所示，在车轮上取A 、B 两点，设 AB 所在圆的圆心为O ，半径为cm r ．作弦AB 的垂线OC ，D 为垂足，则D 是AB 的中点．其推理的依据是：．经测量，90cm AB =，15cm CD =，则AD =cm ；用含r 的代数式表示OD ，OD =cm ．在Rt OAD △中，由勾股定理可列出关于r 的方程：2r =，解得r =．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．23．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x 轴方向，1m 为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y 轴上的A 点出手，运动路径可看作抛物线，在B 点处达到最高位置，落在x 轴上的点C 处．小明某次试投时的数据如图所示．(1)根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；(2)若铅球投掷距离（铅球落地点C 与出手点A 的水平距离OC 的长度）不小于10m ，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．24．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，BD 为直径，AE 是O 切线，且AE CD ⊥的延长线于点E ．(1)求证：DA 平分BDE ∠；(2)若46AE CD ==，，求O 的半径和AD 的长．25．如图，已知点()()1122,,,M x y N x y 在二次函数2(2)1(0)y a x a =-->的图像上，且213x x -=．(1)若二次函数的图像经过点(3,1)．①求这个二次函数的表达式；②若12y y =，求顶点到MN 的距离；(2)当12x x x ≤≤时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M ，N 在对称轴的异侧，求a 的取值范围．26．已知：Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ．（1）如图1，点D 是BC 边上一点（不与点B ，C 重合），连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，连接CE ．①若∠BAD ＝α，求∠DBE 的大小（用含α的式子表示）；②用等式表示线段EA ，EB 和EC 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，点D 在线段BC 的延长线上时，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足E 在线段AD 上，连接CE ．①依题意补全图2；②直接写出线段EA ，EB 和EC 之间的数量关系．27．如图，在平面直角坐标系xOy 中的W 上，有弦MN ，取MN 的中点P ，将点P 绕原点O 顺时针旋转90︒得到点Q ，称点Q 为弦MN 的“中点对应点”．设W 是以()3,0W -为圆心，半径为2的圆．(1)已知弦MN 长度为2，点Q 为弦MN 的“中点对应点”．①当MN x ∥轴时，在图1中画出点Q ，并且直接写出线段OQ 的长度；②当MN 在圆上运动时，直接写出线段WQ 的取值范围．(2)已知点()5,0M -，点N 为W 上的一动点，设直线y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，若线段AB 上存在弦MN 的“中点对应点”点Q ，求出b 的取值范围．。

北京市三帆中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

北京市三帆中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）．A ．B ．C ．D ．2．抛物线y ＝﹣3（x ﹣2）2＋4的开口方向和顶点坐标分别是（）A ．向上，(2，4)B ．向上，(﹣2，4)C ．向下，(2，4)D ．向下，(﹣2，4)3．如图，A ，B ，C ，D 是O 上的四点，若70D ∠=︒，则B ∠的度数为（）A ．100︒B ．110︒C ．70︒D ．109︒4．把抛物线21y x =+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）A ．()2=+31y x -B ．2(3)3y x =++C ．2=(3)1y x --D ．2(3)3y x =-+5．抛物线223y mx mx =--与x 轴交于A B ，两点，若点A 的坐标是()10-，，则点B 的坐标为（）．A ．()30，B ．()50，C ．()03-，D ．()10，6．如图，已知O 的半径OC 经过弦AB 的中点D ，分别连接OB AC ，，则2A B ∠+∠的度数为（）．A ．80︒B ．45︒C ．90︒D ．70︒7．数学课上，邱老师提出如下问题：已知：如图，AB 是O 的直径，射线AC 交O 于C ．求作：弧BC 的中点D ．同学们分享了如下四种方案：①如图1，连接BC ，作BC 的垂直平分线，交O 于点D ．②如图2，过点O 作AC 的平行线，交O 于点D ．③如图3，作BAC ∠的平分线，交O 于点D ．④如图4，在射线AC 上截取AE ，使AE AB =，连接BE ，交O 于点D ．上述四种方案中，正确的方案的序号是（）．A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①②③④8．下面的三个问题中都有两个变量：①边长为3dm 的正方形纸片中间剪去一个边长为x dm 的正方形纸片，剩下纸片的面积y 与x ；②用长为50cm 的绳子围成一个矩形，矩形的面积y 与一边长x ；③某种商品的价格为4元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x ，经过两次降价后的价格y 与x ．其中变量y 与x 之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）．A ．①B ．②C ．③D ．①③13．如图，O 的直径AB 垂直弦CD 于点E ，若为．14．二次函数24y x x c =-+满足以下条件：当当45x <<时，它的图象位于x 轴的上方，则16．在平面直角坐标系中，已知点个动点，满足60ACB ∠=︒，则线段三、解答题17．解方程：2430x x -+=．四、证明题18．已知关于x 的方程()24240x k x k -+++=．(1)求证：不论k 为何值，该方程总有两个实数根；(2)设该方程有两个根为1x ，2x ，若127x x +=，求k 的值．五、计算题19．如图，A 是O 外一点，AB 23AB =，求圆的半径．六、作图题①该函数的顶点坐标为__________②抛物线与坐标轴的交点坐标为③当0y >时，x 的取值范围是(2)求该二次函数的解析式．七、应用题21．2023年9月，以“人文自主庚七秩，二附一心向未来”为主题的北师大二附中建校70周年庆祝活动在校隆重举行，师生校友参与了丰富多彩的校庆活动，并通过购买文创纪念品的方式献上爱心，其中的“三帆熊”和“二附兔”受到大家青睐，这两种吉祥物成本价均为每个40元，设两种吉祥物的销售单价均为x 元，每小时共售出两种吉祥物y 个，经研究发现y 与x 之间有如下关系：60y x =-+．设在这次活动中两种吉祥物每小时的利润共w 元．(1)求w 与x 之间的函数表达式（需写出x 的取值范围）．(2)这两种吉祥物的销售单价定为多少元，可以使每小时的利润最大？八、计算题22．阅读对话，解答问题．(1)分别用m ，n 表示好好从珊珊、帆帆袋子中抽出卡片上标有的数字，请用列表法写出(),m n 的所有取值；(2)求在(),m n 的所有取值中使关于x 的一元二次方程220x mx n -+=有实数根的概率P ．九、作图题23．已知：如图，在ABC 中，AB AC =．求作：ABC 的外接圆．十、应用题(1)某球员一次投篮时，记录了篮球的水平距离水平距离/m x 00.51 1.5竖直高度/my 22.723.283.68十一、证明题(1)求证：AP 是O 的切线；(2)作AD 平分BAC ∠交并求OP 的长．十二、问答题26．平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线x t =．(1)若抛物线经过点()2,c ，求t 的值；(2)若抛物线上存在两点()11,A x y ，()22,B x y ，其中110x -<<，213x <<，且12y y =，求t 的取值范围．十三、证明题27．已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，CD AB ⊥于D ，E 为线段BC 上的一动点，连接ED ，将ED 绕点E 逆时针旋转90︒，得到线段EF ，连接AF 交直线．．CD 于点G ．(1)当E 与C 重合时，如图1，求证：AG FG =；(2)当E 与C 不重合时，如图2，则（1）中的结论是否成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；(3)若2AC =，直接写出CG 长的最大值．十四、问答题28．设T 是平面内的几何变换，它使得平面内任意一点P 都有唯一的对应点P '，从而使任何图形G 都能经过变换T 得到另一图形G '．在此基础上：若点P 的对应点是它本身，则称点P 是变换T 的不动点；若图形G 经过变换T 后得到的图形仍然是它本身，则称图形G 是变换T 的不动图形．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1A ，()0,2B ，()2,0C ．(1)变换1T ：先关于y 轴对称，再将坐标为(),a b 的点变为点()4,a b -．①若点A 在经过变换1T 后得到点A '，则AA '=__________；②有下列图形：A ．过点A 且平行于x 轴的直线；B ．开口向下，且以B 为顶点的抛物线；C ．以点C 为圆心的半径为1的圆．其中是变换1T 的不动图形的是__________；(2)变换2T ：先关于直线1y kx =+对称，再关于y 轴对称．请判断点B 、点C 中哪个点经过变换2T 后可能得到点A ，并求出此时k 的值；(3)变换3T ：先绕点O 顺时针旋转90︒，再绕点C 逆时针旋转60︒．①以C 为圆心作半径为r 的圆，若C 上存在点M ，它经过变换3T 后的对应点恰好在x 轴上，直接写出r 的取值范围；②变换3T 是否有不动点？若有，写出其不动点的坐标；若没有，说明理由．。

北京市朝阳区北京中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

北京市朝阳区北京中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．方程()10x x -=的解是（）A ．1x =B ．120,1x x ==C ．0x =D ．120,1x x ==-2．关于x 的一元二次方程210x ax ++=有两个实数根，则a 的值可以是（）A ．3B ．1-C ．1D ．03．将抛物线2y x =向右平移3个单位长度得到的抛物线是（）A ．23y x =+B ．23y x =-C ．()23y x =-D ．()23y x =+4．用配方法解方程x 2＋4x ＝1，变形后结果正确的是（）A ．(x ＋2)2＝5B ．(x ＋2)2＝2C ．(x －2)2＝5D ．(x －2)2＝25．关于二次函数y =-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（）A ．当x ＞-2时，y 随x 增大而减小B ．当x ＞-2时，y 随x 增大而增大C ．当x ＞2时，y 随x 增大而减小D ．当x ＞2时，y 随x 增大而增大6．已知m 是方程210x x --=的一个根，那么代数式2m m -的值等于（）A ．1B ．0C ．1-D ．27．如图是二次函数y =ax 2+bx +c 的图象，图象上有两点分别为A （2.18，﹣0.51）、B （2.68，0.54），则方程ax 2+bx +c =0的一个解只可能是（）A ．2.18B ．2.68C ．﹣0.51D ．2.458．某同学将如图所示的三条水平直线1m ，2m ，3m 的其中一条记为x 轴（向右为正方向），三条竖直直线4m ，5m ，6m 的其中一条记为y 轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数2210y ax ax a =-+<（）的图象，那么她所选择的x 轴和y 轴分别为直线（）A ．14m m ，B ．25m m ，C ．36m m ，D ．24m m ，二、填空题16．一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付（1）若该旅游团一晚的住宿房费为1530（2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有元．三、计算题17．（1）228=0x x --，（2）()2121x x -=+．四、作图题18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，OAB 的顶点坐标分别为()0,0O ，()5,0A ，()4,3B -．将OAB 绕点O 顺时针旋转90︒得到OA B ''△，点A 旋转后的对应点为A '．(1)画出旋转后的图形OA B ''△，并写出点A '的坐标：(2)求线段BB '的长．五、证明题19．关于x 的一元二次方程2240x mx m -+-=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求m 的取值范围．六、解答题20．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x 米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+2x ＋c 的部分图象经过点A (0，－3)，B (1，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)结合函数图象，直接写出y ＜0时，x 的取值范围．七、作图题22．已知二次函数2=23y x x --．(1)求二次函数2=23y x x --图象的顶点坐标；(2)在平面直角坐标系xOy 中，画出二次函数2=23y x x --的图象；(3)结合图象直接写出自变量03x ≤≤时，函数的最大值和最小值．八、问答题23．小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y 与x 的对应值．九、解答题24．随着冬季的到来，干果是这个季节少不了的营养主角，某超市购进一批干果，分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本20元销售过程中发现，每天销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y＝-2x＋80（20≤x≤40），设每天获得的利润为w（元）（1）求出w与x的关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？(3)今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：______（填写“是”或“否”）．十一、解答题26．已知抛物线242(0)y ax ax a =-+≠过(1,)A m -，(2,)B n ，(3,)C p 三点．(1)求n 的值（用含有a 的代数式表示）；(2)若0mnp <，求a 的取值范围．(1)依题意补全图形；用等式表示(2)若2DG DF =，用等式表示线段十三、解答题28．定义：在平面直角坐标系B ．点P 为平面内任意一点，若中点”．特别地，当PA 物线223y x x =-与（1）若点C 是线段OM。

北京市第八十中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

北京市第八十中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽部分作品图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．已知⊙O 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为8，那么点P 与⊙O 的位置关系是（）．A ．点P 在⊙O 外B ．点P 在⊙O 内C ．点P 在⊙O 上D ．无法确定3．如果在二次函数的表达式y=ax 2+bx+c 中，a ＞0，b ＜0，c ＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4．如图，将ABC 绕点A 顺时针旋转60︒得到AED △，连接BE ．若线段3AB =，则BE 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在⊙O 中，OA BC ⊥，25ADB ∠=︒.则AOC ∠的度数为（）A．130︒二、填空题三、解答题17．解方程：2430x x -+=．18．如图，A ，P ，B ，C 是O 上的四个点，60APC CPB ∠=∠=︒．求证：ABC 是等边三角形．(1)画出．．OAB 关于原点对称．．．．．．的图形(2)以点．A 为旋转中心．．．．．，将ABO 顺时针．．．点2O 的坐标为______．23．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线求作：过点P 的⊙O 的切线．作法：如图，作射线OP ；①在直线OP 外任取一点B ；②连接并延长BA 与⊙A 交于点③作直线PC ；则直线PC 即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（2）完成下面的证明：证明：∵BC 是⊙A 的直径，∴∠BPC=90°（填推理依据）∴OP ⊥PC ．又∵OP 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线（填推理依据）24．如图，O 是ABC 的外接圆，(1)求证：CP 是O 的切线；(2)若8CD =，2EB =，求O 的半径．25．悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸作为上部结构主要承重构件的桥梁．多吊杆(吊杆垂直于桥面)，把桥面吊住．某悬索桥道．图2是该悬索桥的示意图，小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引，他通过查找资料了解到此桥的相关信息；这座桥的缆索近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即垂直，主桥AC 的长为600m ，索塔顶端D 与锚点E 的距离DE 为155m ．缆索最低处的吊杆MN 长为3m ，桥面上与点M 相距100m 处的吊杆PQ 长为13m ．若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息解决问题．(1)根据题意，在图3中建立适当的坐标系，并写出以下点的坐标：N ______，Q ______(2)求这条抛物线的解析式；(3)求引桥CE 的长．26．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m ，()4,n 在抛物线()20y ax bx c a =++>上．设抛物线的对称轴为直线x t =．(1)若30a b +=．比较,,m n c 的大小关系，并说明理由；(2)点()00),1(x m x ≠在抛物线上，若m c n <<，求t 及0x 的取值范围．27．在ABC 中，0(45)B C αα∠=∠=︒<<︒，AD BC ⊥于点D ，P 为线段BD 上的动点（不与点B 、D 重合），连接AP 并将线段AP 绕点A 逆时针旋转1802α︒-，得到线段'AP ，连接PP '，取PP '的中点Q ．(1)依题意补全图形；(2)用含α的式子表示BCP '∠，并说明理由；(3)点M 为线段DC 上一点，当MD 与BP 满足的数量关系为______时，对于任意的点P ，总有2QMB α∠=．证明你的结论．28．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O 的弦B C ''（B '，C '分别是B ，C 的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”．(1)如图，点A ，1B ，1C ，2B ，2C ，3B ，3C 的横、纵坐标都是整数．在线段11B C ，22B C ，33B C 中，O 的以点A 为中心的“关联线段”是______；(2)ABC 是边长为1的等边三角形，点(0,)A t ，其中0t ≠．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；(3)在ABC 中，1AB =，2AC =．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，并说明理由．。

2023-2024学年北师大新版九年级上册数学期中复习试卷(含答案)

2023-2024学年北师大新版九年级上册数学期中复习试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．若一元二次方程x2+px+2p＝0的一个根为2，则p的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣22．如图，在离某围墙AB的6米处有一棵树CD，在某时刻2米长的竹竿垂直地面，太阳光下的影长为3米，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在墙上AE处，墙上的影高为4米，那么这棵树高约为（）米．A．6B．8C．9D．103．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）A．抛一枚硬币，正面朝上的概率B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率4．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．正方体B．圆锥C．四棱柱D．圆柱5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边的中点，连接EF．若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（）A．4B．C．4D．286．如图，矩形ABCD中，BD＝2，AB在x轴上．且点A的横坐标为﹣1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为（）A．（2+，0）B．（2+1，0）C．（2﹣1，0）D．（2，0）7．下列一元二次方程中，无实数根的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0B．x2+3x+2＝0C．x2﹣2x+1＝0D．x2+2x+3＝0 8．已知一元二次方程x2﹣8x+c＝0有一个根为2，则另一个根为（）A．10B．6C．8D．﹣29．如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD 近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为（）米．A．2B．C．D．10．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边△CDE，BE与AC相交于点M，则下列结论中：①BM＝DM；②∠BEC＝∠MDC＝15°；③∠AMD的度数是75°；④△AMB≌△AMD≌△EMD．正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．在△ABC中，点D，E分别在边AB和AC上，且DE∥BC，如果AD＝2，DB＝4，AE＝3，那么AC＝．12．今年五月上旬我市空气质量指数如下表，省外某单位组织了一次退休职工到我市旅游3天，则他们在我市旅游3天时，空气质量都是优良（空气质量指数不大于100表示空气质量优良）的概率是．日期12345678910空气质量指数304236588095701155610113．如图，小芸用灯泡O（看作一个点）照射一个矩形相框ABCD，在墙上形成矩形影子A'B'C'D'．现测得OA＝20cm，OA'＝50cm，相框ABCD的周长为36cm，则影子A'B'C'D'的周长为 cm．14．如图，某同学拿着一把12cm长的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60cm，则电线杆的高度是 m．15．如图，已知四边形ABCD为矩形，且AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转一定角度得到矩形A'B'CD'，B'C与AD交于点O，且DO＝B'O，则AO的长为．三．解答题（共7小题，满分75分）16．用适当的方法解一元二次方程：（1）2x2﹣3x＝2；（2）x2+6x﹣111＝0．17．为推进社会主义新农村建设，东胜区某社区决定组建社区文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全社区范围内随机抽取部分居民进行问卷调查，并将调查结果绘制如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）扇形统计图中“纸牌”所在扇形的圆心角的度数为；并补全条形统计图；（2）若在“纸牌、象棋、跳棋、军棋”这四个项目中任选两项组队参加元旦节庆典活动，请用列表法或画树状图的方法，求恰好选中“象棋、军棋”这两个项目的概率．18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（1，5），C（3，4），画出△ABC，并画出以原点O为位似中心，将△ABC三条边放大为原来的2倍后的△A1B1C1．19．操作作图如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点D在边AC上，请用圆规和直尺作菱形DEFG，使点E、F在边AB上，点G在边BC上（不写作法，但要保留作图痕迹）．阅读理解我们把图①中的菱形DEFG称为△ABC的有一边平行于AB的内接菱形，简称AB类内接菱形．类似的可得到AB类内接矩形．若公共顶点为D的AB类内接菱形DEFG恰好以BC类内接矩形DFMC的一边为对角线，求CD的长．深入探究（1）当CD长度满足什么条件时，可作2个AB类内接菱形DEFG？说明理由；（2）直接写出AB类内接菱形DEFG面积的最大值．20．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．（1）直接写出：OA＝，OB＝；（2）若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO．求此时点E的坐标．21．小琴的父母承包了一块荒山地种植一批香梨树，今年收获一批香梨，小琴的父母打算以m元/斤的零售价销售5000斤香梨；剩余的5000（m+1）斤香梨以比零售价低1元的批发价批给外地客商，总共的销售额为55000元．（1）小琴的父母今年共收获这种香梨多少斤？（2）批发商买回这批香梨后，零售平均每天可售出200斤，每斤盈利2元．为了加快销售和获得较好的利润，采取了降价措施，发现销售单价每降低0.1元，平均每天可多售出40斤，应降价多少元使得每天销售利润为600元？22．综合与实践问题情境：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．操作发现：（1）如图①，当AC＝BC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．①∠CBE的度数为；②探究发现AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；探究证明：（2）如图2，当BC＝2AC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE．①在点D的运动过程中，请判断AD与BE有什么数量关系？并证明；②若AC＝2，在点D的运动过程中，当△CBE的形状为等腰三角形时，直接写出此时△CBE的面积．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：∵一元二次方程x2+px+2p＝0的一个根为2，∴22+2p+2p＝0．∴4p＝﹣4．∴p＝﹣1．故选：C．2．解：过点A作AF∥DE交CD于点F，则DF＝AE＝4m，△CAF∽△C′CD′．∴D′C′：C′C＝CF：CA，即2：3＝CF：6．∴CF＝4．∴DC＝4+4＝8（m）．即：这棵树高8m．故选：B．3．解：A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；B、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意；C、转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为，故此选项不符合题意；D、从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率，故此选项符合题意；故选：D．4．解：该几何体的视图为一个圆形和两个矩形．则该几何体可能为圆柱．故选：D．5．解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF＝，∴AC＝2EF＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC＝，OB＝BD＝2，∴AB＝＝，∴菱形ABCD的周长为4．故选：C．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝2，由题意可知：AM＝AC＝2，∵OA＝|﹣1|＝1，∴OM＝AM﹣OA＝2﹣1，∴点M的坐标为（2﹣1，0），故选：C．7．解：在x2﹣2x﹣3＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项A不符合题意；在x2+3x+2＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项B不符合题意；在x2﹣2x+1＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，即该方程有两个相等实数根，故选项C不符合题意；在x2+2x+3＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，即该方程无实数根，故选项D 符合题意；故选：D．8．解：设方程的另一个根为t，根据题意得2+t＝8，解得t＝6，即方程的另一个根是6．故选：B．9．解：如图，过点P作PM⊥BE，垂足为M，交AF于点N，则PM＝1.6，设FA＝x米，由3FD＝2FA得，FD＝x＝MN，∵四边形ACDF是矩形，∴AF∥CD，∴△PAF∽△PBE，∴＝，即＝，∴PN＝x，∵PN+MN＝PM，∴x+x＝1.6，解得，x＝，故选：D．10．解：∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，∴BC＝DC，∠BCA＝∠DCA＝45°，BC＝DC，∠BCD＝90°，在△BCM和△DCM中，，∴△BCM≌△DCM（SAS），∴BM＝DM，故结论①正确；∵△CDE为等边三角形，∴∠DCE＝60°，DC＝CE，∴BC＝CE，∴∠BEC＝∠EBC，∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，∴°，∵△BCM≌△DCM，∴∠MBC＝∠MDC，即：∠BEC＝∠MDC＝15°；故结论②正确；∵∠MDC＝15°，∠DCA＝45°，∴∠AMD＝∠MDC+∠DCA＝60°，故结论③不正确；在△AMB和△AMD中，，∴△AMB≌△AMD（SAS），∵四边形ABCD为正方形，△CDE为等边三角形，∴AD＝ED，∠ADC＝90°，∠EDC＝60°，∵∠MDC＝15°，∴∠ADM＝∠ADC﹣∠MDC＝75°，∠EDM＝∠MDC+∠EDC＝75°，∴∠ADM＝∠EDM＝75°，在△AMD和△EMD中，，∴△AMD≌△EMD（SAS），∴△AMB≌△AMD≌△EMD，故结论④正确，综上所述：正确的结论是①②④，共有3个．故选：C．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．解：∵DE∥BC，∴AD：AB＝AE：AC，∵AD＝2，DB＝4，AE＝3，∴2：6＝3：AC，∴AC＝9，故答案为：9．12．解：由表格可得，所有的可能性是：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），其中旅游3天，空气质量都是优良的有5种结果，所以空气质量都是优良的概率是，故答案为：．13．解：∵OA＝20cm，OA'＝50cm，∴OA：OA′＝20：50＝2：5，∵AB∥A′B′，∵∠AOB＝∠A′OB′，∴△AOB∽△A′OB′，∴AB：A′B′＝OA：OA′＝2：5，∴矩形ABCD的周长：矩形A′B′C′D′的周长为2：5，又矩形ABCD的周长为36cm，则矩形A′B′C′D′的周长为90cm．故答案为：90．14．解：如图，作AN⊥EF于N，交BC于M，∵BC∥EF，∴AM⊥BC于M，∴△ABC∽△AEF，∴，∵AM＝0.6，AN＝30，BC＝0.12，∴EF＝＝＝6（m）．答：电线杆的高度是6m．故答案为：6．15．解：∵将矩形ABCD绕点C顺时针旋转一定角度得到矩形A'B'CD'，∴AB＝CD＝3，B′C＝BC＝AD＝4，∠D＝90°．设OD＝x，则B'O＝x，OC＝4﹣x．在Rt△COD中，∵∠D＝90°，∴OC2＝OD2+CD2，即（4﹣x）2＝x2+32，解得x＝，∴AO＝AD﹣OD＝4﹣＝．故答案为：．三．解答题（共7小题，满分75分）16．解：（1）2x2﹣3x＝2，2x2﹣3x﹣2＝0，（2x+1）（x﹣2）＝0，∴2x+1＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣，x2＝2；（2）x2+6x﹣111＝0，x2+6x+9＝111+9，即（x+3）2＝120，∴x+3＝，∴x1＝﹣3+2，x2＝﹣3﹣2．17．解：（1）这次参与调查的居民人数为：24÷20%＝120（人）；∴喜欢“纸牌”的人数为：120﹣24﹣15﹣30﹣9＝42（人），∴扇形统计图中“纸牌”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝126°，故答案为：126°，补全条形图如图所示：（2）设：纸牌为A，象棋为B，跳棋为C，军棋为D，根据题意画树状图：由树状图可知：一共有12种等可能的情况，其中恰好选中“象棋、军棋”这两个项目的有2种，∴恰好选中“象棋、军棋”这两个项目的的概率是同时选中B、D的概率为＝．18．解：如图，△ABC和△A1B1C1为所作．19．解：操作作图：如图所示中的四边形DEFG为符合条件的其中一个菱形．阅读理解：符合条件的图形如图所示：∵公共顶点为D的AB类内接菱形DEFG恰好以BC类内接矩形DFMC的一边为对角线，∴DG＝GF，DC＝FM，∠C＝∠FMC＝90°＝∠FMB．∴Rt△DCG≌Rt△FMG（HL）．∴CG＝MG．∵DG∥AB，∴∠DGC＝∠B．∴△DCG≌△DMB（AAS）．∴CG＝BM．∴．∵△DCG∽△ACB，∴．即，∴DC＝2．深入探究：（1）如图所示，当点E与点A重合时，此时存在符合条件的两个菱形．在Rt△ABC中，．∵四边形DEFG为菱形，∵DG∥AB，∴，即．解得DC＝．如图，当DE⊥AB时，过点C作CH⊥AB，交DG于点Q，交AB于点H．在Rt△ABC中，．∵DG∥AB，∴△ABC∽△DGC．∴．即，∴．∴．即，∴．∴当＜CD≤时，可作2个AB类内接菱形DEFG．（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，交DG于点Q．∵四边形DEFG为菱形，设DG＝x，∵DG∥AB，∴△ABC∽△DGC．∴．即，∴CQ＝．则QH＝．∴S菱形DEFG＝DG×CH＝．配方得．当点F与点B重合时，可求得DG＝，由（1）可知：．在此范围内S菱形DEFG随x的增大而增大，∴当x＝时，S菱形DEFG最大，最大值为．∴AB类内接菱形DEFG面积的最大值为．20．解：（1）方程x2﹣7x+12＝0，分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0，可得：x﹣3＝0，x﹣4＝0，解得：x1＝3，x2＝4，∵OA＞OB，∴OA＝4，OB＝3；故答案为4，3；（2）设点E的坐标为（m，0），则OE＝|m|，∵△AOE∽△DAO，∴＝，∴＝，∴|m|＝，∴m＝±，∴点E的坐标为：（，0）或（﹣，0）．21．解：（1）依题意，得5000m+（m﹣1）×5000（m+1）＝55000，整理，得m2+m﹣12＝0，解得：m1＝3，m2＝﹣4（不合题意，舍去），∴5000+5000（m+1）＝25000．答：小琴的父母今年共收获这种香梨25000斤．（2）设降价x元，则每斤的利润为（2﹣x）元，每天的销售量为200+＝（200+400x）斤，依题意，得（2﹣x）（200+400x）＝600，整理，得2x2﹣3x+1＝0，解得：x1＝0.5，x2＝1，又∵为了加快销售，∴x＝1．答：应降价1元使得每天销售利润为600元．22．解：（1）①∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，∴∠DCE＝90°，DC＝CE，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵AC＝BC，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠CAD＝45°，故答案为：45°；②AD＝BE，理由如下：由①知△ACD≌△BCE，∴AD＝BE；（2）①，理由如下：∵BC＝2AC，CE＝2CD，∴，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴，∴；②过C作CF⊥AB于F，CG⊥BE于G，如图：∵AC＝2，BC＝2AC，∴BC＝4，AB＝＝2，∴sin∠ABC＝＝＝＝，cos∠ABC＝＝＝，∴＝，＝，∴CF＝，BF＝，∵四边形CGBF是矩形，∴CG＝BF＝，BG＝CF＝，（Ⅰ）当CB＝CE时，如图：∴BE＝2BG＝，∴△CBE的面积为××＝；（Ⅱ）当BC＝BE时，如图：此时BE＝BC＝4，∵CG＝BF＝，∴△CBE的面积为×BE•CG＝×4×＝（Ⅲ）当CE＝BE时，如图：设BE＝CE＝t，则EG＝t﹣，在Rt△CEG中，t2＝（）2+（t﹣）2，解得t＝2，∴BE＝2，∴△CBE的面积为CG•BE＝××2＝8，综上所述，△CBE的面积为或或8．。

北京市昌平区融合学区(第一组)2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含答案)

2023-2024学年第一学期昌平区融合学区（第一组）初三年级期中质量抽测数学试卷2023.10本试卷共7页，三道大题，28个小题，满分100分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，请交回答题卡。

一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1.已知，则下列比例式中正确的是A.B.C.D.2.抛物线的顶点坐标是A. B. C. D.3.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接DE 、AC 交于点F ，那么的值为A.B.C.D.14.将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到二次函数表达式为A. B.C. D.5.如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是()340a b ab =≠43a b =34a b =34a b =43a b=22y x =-()0,2()2,0()0,2-()2,0-EFDF1312232y x =()234y x =+-()234y x =++()234y x =--()234y x =-+12∠=∠ABC ADE ∽△△A. B.C. D.6.点，，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是A. B.C. D.7.下列正方形方格中四个三角形中，与图1中的三角形相似的是图1A. B.C. D.8.如图，正方形ABCD的边长为2cm，点P，Q同时从点A出发，速度均为2cm/s，若点P沿向点C 运动，点Q沿向点C运动，则的面积与运动时间之间函数关系的大致图象C E∠=∠B ADE∠=∠AB ACAD AE=AB BCAD DE=()111,P y-()223,P y()335,P y()212y x=-+1y2y3y 123y y y>>312y y y>>123y y y=>321y y y>=A D C--A B C--APQ△()2cmS()s tA. B.C. D.二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9.如图，直线，直线AC 分别交，，于点A ，B ，C ，直线DF 分别交，，于点D ，E ，F ，若，，，则线段___________.10.请写出一个开口向下，对称轴为直线的抛物线的解析式__________.11.二次函数图象经过点，，则其对称轴为直线__________.12.如图，已知，，，，那么与的面积比是__________.123l l l ∥∥1l 2l 3l 1l 2l 3l 3DE =6EF =4AB =BC =3x =2y x bx c =++()0,3A ()2,3B ()1,4A ()3,4B ()2,1C --()1,1D -ABE △CDE △13.如图，在中，，点D 在AC 上，于点E .若，，，则___________.14.抛物线与抛物线的位置如图所示，a 的值可能为__________.15.如图，小明借助太阳光线测量树高.在早上8时小明测得树的影长为2m ，下午3时又测得该树的影长为8m ，且这两次太阳光线刚好互相垂直，则树高为__________m.ABC △90C ∠=︒DE AB ⊥4AC =5AB =3AD =AE =2y x =-2y ax =16.二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）.其中正确的结论有__________（填序号）.三、解答题（本题共12道小题，第17--22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分）17.如图，已知四边形四边形.（1）________°.（2）求边x ，y 的长度.18.已知二次函数.（1）求二次函数的图象的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象；()20y ax bx c a =++≠0abc >b a c <+420a b c ++>23c b <()a b m am b +>+1m ≠ABCD ∽A B C D ''''B ∠=223y x x =+-（3）当x 在什么范围时，y 随着x 的增大而减小？19.如图，，点B 、C 分别在AM 、AN 上，且.（1）尺规作图：作的角平分线BD ，BD 与AN 相交于点D ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求证：.20.二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x …-3-2-1012n 4…y …15m3-138…（1）该二次函数图象的对称轴为直线_____________；（2）__________，__________；（3）根据表中信息分析，方程的解为_________________.21.已知二次函数的图象与x 轴有两个交点.（1）求m 的取值范围；（2）写出一个符合条件的m 的值，并求出此时图象与x 轴的交点坐标.22.如图，抛物线与x 轴交于点，，与y 轴交于点.30MAN ∠=︒40ABC ∠=︒CBM ∠ABC ADB ∽△△()20y ax bx c a =++≠m =n =()200ax bx c a ++=≠()22211y x m x m =+++-()4,0A -()2,0B ()0,2C（1）求该抛物线的表达式；（2）已知，是抛物线上的两点，根据图象分析，若，则的取值范围是_________________.23.如图，在中，，点D 在AB 上，，过点B 作，交CD 的延长线于点E .（1）求证：；（2）如果，，求AC 的长.24.如图，要测量楼高MN ，在距MN 为15m 的点B 处竖立一根长为5.5m 的直杆AB ，恰好使得观测点E ，直杆顶点A 和高楼顶点N 在同一条直线上.若，，求楼高MN .25.2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军.女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前.投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分.建立平面直角坐标系xOy，篮()1,m M y (),n n N x y m n y y ≥n x Rt ABC △90ACB ∠=︒CA CD =BE CD ⊥ABC DBE ∽△△5BC =3BE =5m DB = 1.5m DE =球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是3m ，韩旭进行了两次投篮训练.（1）第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离x /m 01234…竖直高度y /m2.03.03.63.83.6…①在平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是________m ；③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离5m ，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由.（2）第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离________5（填“>”，“=”或“<”）.26.在平面直角坐标系中，点和在抛物线上.（1）若，求该抛物线的对称轴；（2）若，设抛物线的对称轴为直线，①直接写出的取值范围；②已知点，，在该抛物线上.比较，，的大小，并说明理由.27.已知等边中的边长为4，点P ，M 分别是边BC ，AC 上的一点，以点P 为顶点，作，PN 与直线AB 交于点N .（1）依题意补全图1；（2）求证：（3）如图2，若点P 为BC 中点，，求AN 的长.()23 4.25y a x =-+d xOy ()1,m ()2,n 2y x bx =-+0m =0mn <x t =t ()11,y -23,2y ⎛⎫⎪⎝⎭()33,y 1y 2y 3y ABC △60MPN ∠=︒BN CM CP BP⋅=⋅2AM AN =图1图2备用图28.如图1，抛物线的顶点为M ，平行于x 轴的直线与该抛物线交于点A ，B （点A 在点B 左侧），根据对称性恒为等腰三角形，我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”.图1图2（1）①如图2，抛物线的“完美三角形”斜边AB 的长为_____________；②抛物线与的完美三角形的斜边长的数量关系是____________.（2）若抛物线的“完美三角形”的斜边长为4，求a 的值；（3）若抛物线的“完美三角形”斜边长为n ，且的最大值为1，直接写出m ，n 的值.2023-2024学年第一学期昌平区融合学区（第一组）初三年级期中质量抽测数学试卷参考答案及评分标准2023.10一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）题号12345678答案ACBADDBC二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）AMB △AMB △AMB △2y x =21y x =+2y x =24y ax =+225y mx x n =++-225y mx x n =++-题号910111213141516答案8答案不唯一例如：直线4：9答案不唯一例如：4③④⑤三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分）17.解：（1）；（2）∵四边形四边形，∴解得，.18.解：（1）所以顶点坐标为.（2）（3）当时，y 随着x 的增大而减小.19.解：（1）()23y x =--1x =12512-69B ∠=︒ABCD ∽A B C D ''''612812y x ==4x =18y =()()2222321414y x x x x x =+-=++-=+-()1,4--1x <-（2）证明：∵，∴∵∴.∵是的角平分线，∴.∴.∴.∵∴.20.解：（1）；（2），；（3），.21.解：（1）∵图象与x 轴有两个交点∴.∵∴（2）取，则二次函数为.令，则，解得，.此时图象与轴交点坐标为（0，0）和（-3，0）.22.解：（1）设抛物线表达式为.∵与轴交于点，∴.将点，代入可得解得，30MAN ∠=︒40ABC ∠=︒110ACB ∠=︒40ABC ∠=︒140CBM ∠=︒BD CBM ∠1702CBD CBM ∠=∠=︒110ABD ∠=︒ACB ABD ∠=∠A A ∠=∠ABC ADB ∽△△1x =8m =3n =10x =12x =240b ac ->()()2224214145b ac m m m -=+--=+450m +>54m >-1m =23y x x =+0y =230x x +=10x =23x =-x ()20y ax bx c a =++≠y ()0,2C 2c =()4,0A -()2,0B 164204220a b a b -+=⎧⎨++=⎩14a =-12b =-∴抛物线表达式为.（2）或.23.（1）证明：∵，，∴.∵∴.∵，∴.∴.（2）解：∵在中，，，∴.∵.∴.设，.则，∴∴∴.24.解：∵，∴∴由题可知，，，.∴，.∴，解得.∴.25.（1）①②3.8m ；211242y x x =--+3n x ≤-1n x ≥BE CD ⊥90ACB ∠=︒ABC E ∠=∠CA CD =A ADC ∠=∠ADC BDE ∠=∠A BDE ∠=∠ABC DBE ∽△△Rt BCE △3BE =5BC =4CE =ABC DBE ∽△△BC AC BE DE=AC x =AC CD x ==4DE x =-534x x =-52x =52AC =AC EF ⊥NF EF⊥EAC ENF ∽△△EC AC EF NF=5.5m AB =15m BM CF ==5m DB EC == 1.5m DE BC MF ===4m AC =20m EF =5420NF=16NF =17.5m MN =③是，理由如下：由题可知，抛物线的对称轴为直线，又∵抛物线过（1，3），∴抛物线必过（5，3）.∵篮筐中心距离地面的竖直高度是3m ，∴韩旭距篮筐中心的水平距离5m ，第一次投篮练习可以成功.（2）26.解：（1）∵点在抛物线上，，∴.∴.∴该抛物线的对称轴为.（2）①.②.理由如下：由题意可知，抛物线过原点.设抛物线与x 轴另一交点的横坐标为.∵抛物线经过点，，∴.∴.设点关于抛物线的对称轴的对称点为∵点在抛物线上，∴点也在抛物线上.由得.∵，∴.∴.∴.由题意可知，抛物线开口向下.∴当时，y 随x 的增大而减小.∵点，，在抛物线上，且，∴.3x =5d >()1,m 2y x bx =-+0m =10b -+=1b =12x =112t <<312y y y <<x '()1,m ()2,n 0mn <12x '<<112t <<()11,y -x t =()01,x y ()11,y -()01,x y ()01x t t -=--021x t =+112t <<12t 2<<22t 13<+<023x <<x t >23,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭()01,x y ()33,y 0332t x <<<312y y y <<27.解：（1）补全图1（2）证明：∵是等边三角形.∴∵∴∵∴∴.∴∴.（3）∵等边是的边长为4，∴.∵点P 为BC 中点，∴.由（2）问可知∴.由，可设，则图1图2①如图1，当N 在线段AB 上时，可得，.∵∴解得，（舍）ABC △60B C ︒∠=∠=60MPN ∠=︒120BPN CPM ∠+∠=︒120BPN BNP ∠+∠=︒BNP CPM∠=∠BNPCPM ∽△△BN BP CP CM=BNCM CP BP ⋅=⋅ABC △4AB BC AC ===2BP CP ==BN CM CP BP⋅=⋅4BN CM ⋅=2AM AN =AN x =2AM x=4BN x =-42CM x =-4BN CM ⋅=()()4424x x --=13x =23x =②如图2，当N 在线段AB 的延长线上时，可得，.∵∴解得，（舍）.综合上述，的长为.28.（1）①2；②相等（2）∵抛物线与抛物线形状相同，∴抛物线与抛物线的“完美三角形”全等.∴抛物线的“完美三角形”斜边AB 长也为4.∴或（2，-2）把点B 坐标代入得到.（3），.4BN x =+42CM x =-4BN CM ⋅=()()4424x x +-=11x =-21x =-AN 3124y ax =+2y ax =24y ax =+2y ax =2y ax =()2,2B 2y ax =12a =±12m =-4n =。

2022-2023学年北京市海淀区首都师大附中九年级(上)期中数学试题及答案解析

2022-2023学年北京市海淀区首都师大附中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 抛物线y=3(x−1)2−4的对称轴是直线( )A. x=1B. x=−1C. x=4D. x=−42. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlpℎaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是( )A. B. C. D.3. 若关于x的一元二次方程mx2−2x+6=0的一个根是−1，则m的值是( )A. −3B. −2C. −1D. −84. 在平面内，已知OP=2，OQ=4，若点P在⊙O上，那么点Q与⊙O的位置关系是( )A. 点Q在⊙O内B. 点Q在⊙O上C. 点Q在⊙O外D. 无法判断5. 如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠AOB=50°，则∠ACB的度数是( )A. 25°B. 50°C. 75°D. 100°6. 如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，且BE=1，∠BAE=30°，将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADF，使点B与点D重合，则点E，F之间的距离为( )A. √3B. 2C. 2√2D. 37. 二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集是( )A. x≤2B. x≤0C. −3≤x≤0D. x≤−3或x≥08. 在一次足球比赛小组赛中，每两支队伍之间都要各进行一次主场比赛、一次客场比赛，主办方共投入使用6个球场，每天每个球场共安排4场比赛，若连续10天才能保证小组赛全部比完，则本次小组赛参赛球队有( )A. 15支B. 16支C. 17支D. 18支二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9. 将抛物线y=5x2向下平移2个单位长度，所得新抛物线的表达式为______．10. 设x1，x2分别是一元二次方程x2−2x−3=0的两个不相等的实数根，则x1⋅x2的值为______．11. 如图，BD是⊙O的直径，C是AB⏜的中点，若∠AOC=70°，则∠AOD的度数为______．12. 请写出一个开口向下，且经过点(2,−4)的抛物线的表达式为______．13. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=3，点D在AC上，且AD=2，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为，CE 的长为．14. 如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD.请写出图中任意一组互补的角为______和______(不添加辅助线，不添加数字角标和字母)．15. 关于x的方程kx2−(2k+1)x+k=0有两个不相等的实根，则k的取值范围是______；若该方程的两个实根均为有理数，则整数k的最小值为______．16. 我们将满足等式x2+y2=1+|x|y的每组x，y的值在平面直角坐标系中画出，便会得到如图所示的“心形”图形．下面三个结论中，(1)“心形”图形是轴对称图形；(2)“心形”图形所围成的面积一定大于2；(3)“心形”图形上任意一点到原点的距离都小于√2，所有正确结论的序号是______．三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）17. 解方程：x2−7x+6=0．四、解答题（本大题共9小题，共48.0分。

北京市九年级上学期期中考试数学试卷

2019-2020学年北京市九年级上学期期中考试数学试卷解析版一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（3分）下列函数中①y＝3x+1②y＝4x2﹣3x；③y=1x④y＝﹣2x2+5，是二次函数的有（）A．①②B．②④C．②③D．①④【解答】解：①y＝3x+1②y＝4x2﹣3x；③y=1x④y＝﹣2x2+5，是二次函数的有：②y＝4x2﹣3x；④y＝﹣2x2+5，故选：B．2．（3分）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB＝72°，则∠ACB的度数为（）A．18°B．30°C．36°D．72°【解答】解：∵∠AOB＝72°，∴∠ACB＝36°．故选：C．3．（3分）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形．故选：B．4．（3分）已知⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标是（4，3），则点P 在⊙O（）A．内B．上C．外D．不确定【解答】解：由勾股定理得：OP=√42+32=5，∵⊙O的半径为5，∴点P在⊙O上．故选：B．5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：1，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：1【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴△DEF∽△BAF，∵DE：EC＝3：1，∴DE+DC＝DE：AB＝3：4，∴S△DEFS△ABF =（DEAB）2=916．故选：B．6．（3分）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．。

北京市第八中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

北京市第八中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题一、单选题1．将抛物线2y x =向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，就得到抛物线（）A ．()213y x =++B ．()213y x =--C ．()213y x =+-D ．()213y x =-+2．如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，若32CDB ∠=︒，则ABC ∠等于（）A ．68°B ．64°C ．58°D ．32°3．已知⊙O 的半径是8，点P 到圆心O 的距离d 为方程2450x x --=的一个根，则点P 在（）A ．O 的内部B ．O 的外部C ．O 上或O 的内部D ．O 上或O 的外部4．用配方法解一元二次方程x 2-4x-7=0，可变形为（）A ．（x-2）2=7B ．（x-2）2=11C ．（x+2）2=7D ．（x+2）2=115．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则点(),a bc 在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．如图，在ABC 中，35C '∠=︒，将ABC 绕点A 逆时针旋转α至AB C ''△，且B '，B ，C '三点共线．若75CDC '∠=︒，则ABC ∠=（）A ．40︒B ．60︒7．如图，过点A 作O 的切线AB ，交AB ，AC 于点E ，F ．若90A ∠=A ．y 与x 满足一次函数关系，B ．y 与x 满足一次函数关系，C ．y 与x 满足反比例函数关系，D ．y 与x 满足反比例函数关系，二、填空题14．已知二次函数2y ax =+则123,,y y y 的大小关系为三、解答题19．解方程：(1)22240--=x x(2)2++=2410x x20．下面是小于同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．∥．求作：直线PQ，使得PQ l小于同学的作法：如下，（1）在直线l的下方取一点O；交直线l于点C，D（点C在左侧），连接CP；（2）以点O为圆心，OP长为半径画弧，O于点Q（点Q与点P位于直线l同侧）；（3）以点D为圆心，CP长为半径画弧，交O（4）作直线PQ；所以直线PQ即为所求．请你依据小于同学设计的尺规作图过程，完成下列问题．(1)使用直尺和圆规，完成作图：（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明：证明：连接DP ，∵CP DQ =，∴ CP DQ =___________（填推理的依据）．∴PDC Ð=___________．∴PQ l ∥___________（填推理的依据）．21．已知关于x 的一元二次方程()()23410m x m x ----=（m 为实数），(1)若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；(2)若m 为整数，且该方程有一个根是负整数，求m 的值．22．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m ，地面入口宽为1m ，求该门洞的半径．23．已知二次函数2=+43y x x --．(1)求证：EH 是O 的切线，(2)若F 为 AC 中点，O 半径为25．第19届杭州亚运会成功举办，中国女篮在最后时刻取得了令人振奋的胜利，黄思静在最后一秒稳稳地抢下后场篮板，最后由王思雨完成绝杀，(1)篮球出手处距离地面的高度是___________米；(2)运动员投篮时站在三分线内还是三分线外，并说明理由（图平距离是6.75米）．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,2--在抛物线(1)请选择其中的一个作法，证明它是正确的．①如图3，若45AOB ∠=︒，在图1中，连接CD ，交MN 于点Q ．求证：MQ NQ =；②如图4，若45AOB ∠=︒，在图2中，过点C 作CF OA ⊥，交MN 于点Q ．求证：MQ NQ =．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （不在坐标轴上）给出如下定义：以P 为圆心，PO 为半径的P 与y 轴的另一个交点为Q ，若在线段OQ ，P 上分别存在点M ，N ，使得MNP △为等腰直角三角形，其中90PMN ∠=︒，则称点P 是完美点．如图，若点P 的坐标为点()1,3，则在线段OQ ，P 上分别存在点()0,5M ，()2,6N ，使得MNP △为等腰直角三角形，其中90PMN ∠=︒，所以点()1,3P 是完美点．(1)下列点中是完美点的有___________（填序号）；①()3,1A ；②()2,2B (2)已知(),P m n 为抛物线2y x =上一点，若P 为完美点，求m 的取值范围：(3)已知直线l ：2y x =+，点A 为直线l 上一点，若以()00,A x y 为圆心，半径为l 的A 上无完美点，求0x 的取值范围．。

北京市某校2021-2022学年-有答案-九年级上学期数学期中试卷

北京市某校2021-2022学年九年级上学期数学期中试卷一、单选题（共8题；共14分）1. 下列图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2. 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB=70∘，则∠ACB的度数为（）A.35∘B.40∘C.50∘D.70∘3. 当x<0时，函数y=5的图象在（）xA.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限4. 将抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是()A.y=2(x+1)2+3B.y=2(x−1)2−3C.y=2(x+1)2−3D.y=2(x−1)2+35. 如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是（）A.4B.8C.6D.106. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，延长PO交⊙O于点C，若∠APB=60∘，PC=6，则AC的长为（）A.4B.2√2C.2√3D.3√37. 如图，抛物线y1=−x2+4x和直线y2=2x，当y1>y2时，x的取值范围是( )A.0<x<2B.x<0或x>2C.x<0或x>4D.0<x<48. 已知⊙O，如图，⑴作⊙O的直径AB；⑵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；⑶连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE=DE；②BE=3AE；③BC=2CE．其中正确的推断的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题（共8题；共8分）在平面直角坐标系中，点(4, −5)关于原点的对称点的坐标是________．己知在△ABC中，∠C=90∘，AB=6，BC=5，则sin∠A=________．小云家开了一个小文具店，今年一月份的利润是2250元，三月份的利润是1000元，计算这个文具店这两个月利润的平均下降率．设这两个月利润的平均下降率为x，则可列方程得________．如图，在平面直角坐标系xOy中，将线段OA绕点O顺时针旋转90∘得到线段OA′，其中A(−2,3)，则A′的坐标是________．如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，如果∠ABC=30∘，那么AC的长是________．如图，在△AOB中，∠AOB=90∘，∠B=30∘，△A′OB′是由△AOB绕点O顺时针旋转α(α<180∘)角度得到的，若点A′在AB上，则旋转角α=________∘．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得BD=10m，然后又在垂直AB的直线上取点C，并量得BC=30m．如果DE=20m，则河宽AD为________m．如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，有下列4个结论：①abc>0；②b2−4ac>0；③关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=−2，x2=3；④关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是x>−2．其中正确的结论是________．三、解答题（共12题；共84分）解方程：2x2−3x−2=0．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A=30∘，CD=4√3，求⊙O的半径的长．如图，正方形ABCD的边长为2，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．（1）求证：△PAF∼△AED；（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出PA的长________.二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：根据以上列表，回答下列问题：（1）直接写出c，m的值；（2）求此二次函数的解析式．关于x的一元二次方程(k−2)x2−4x+2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果符合条件的最大整数k是一元二次方程k2+mk+1=0的根，求m的值．(x>0)的图象交于点A(1,m)，与x轴交于点B.如图，直线y=x+3与函数y=kx（1）求m，k的值；(x>0)的图象于点C，（2）过动点P(0,n)(n>0)作平行于x轴的直线，交函数y=kx交直线y=x+3于点D.①当n=2时，求线段CD的长；②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，BE=1，求CF的长．某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元．（1）每天的销售量为________瓶，每瓶洗手液的利润是________元；（用含x的代数式表示）（2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为多少元？有这样一个问题：探究函数y=x2−4|x|+3的图象与性质．小丽根据学习函数的经验，对函数y=x2−4|x|+3的图象与性质进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x2−4|x|+3的自变量x的取值范围是________．（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y=x2−4|x|+3的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；（3）对于上面的函数y=x2−4|x|+3，下列四个结论：①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当x>2时，y随x的增大而增大，当x<−2时，y随x的增大而减小；④函数图象与x轴有2个公共点．所有正确结论的序号是________．（4）结合函数图象，解决问题：若关于x的方程x2−4|x|+3=k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是________．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2mx−3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，AB=4．（1）直接写出抛物线的对称轴为直线________，点A的坐标为________．（2）求抛物线的解析式（化为一般式）；（3）若将抛物线y=mx2+2mx−3沿x轴方向平移n(n>0)个单位长度，使得平移后的抛物线与线段AC恰有一个公共点，结合函数图象，回答下列问题：①若向左平移，则n的取值范围是________．②若向右平移，则n的取值范围是________．如图1，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A=90∘，∠E=90∘，△DEF的顶点D 恰好落在△ABC的斜边BC中点，把ADEF绕点D旋转，始终保持线段DE、DF分别与线段AB、AC交于M、N，连接MN．在这个变化过程中，小明通过观察、度量，发现了一些特殊的数量关系．（1）于是他把△DEF旋转到特殊位置，验证自己的猜想．如图2，当MN//BC时，①通过计算∠BMD和∠NMD的度数，得出∠BMD________∠NMD（填>，<或=）；②设BC=2√2，通过计算AM、MN、NC的长度，其中NC=________，进而得出AM、MN、NC之间的数量关系是________．（2）在特殊位置验证猜想还不够，还需要在一般位置进行证明．请你对(1)中猜想的线段AM、MN、NC之间的数量关系进行证明．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O和⊙O外的点P，给出如下的定义：若在⊙O上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为⊙O的近距点．（1）在点P1(1,1)，P2(−12,√32)，P3(0,−12)，P4(2,1)中，⊙O的近距点是________．（2）若直线l:y=x+b上存在⊙O的近距点，求b的取值范围；（3）若点P在直线y=x+1上，且点P是⊙O的近距点，求点P横坐标x P的取值范围．参考答案与试题解析北京市某校2021-2022学年九年级上学期数学期中试卷一、单选题（共8题；共14分）1.【答案】D【考点】中心对称图形生活中的旋转现象轴对称与中心对称图形的识别【解析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故答案为：D．2.【答案】A【考点】圆周角定理【解析】根据圆周角定理求解即可；【解答】解：∠AOB=70∘∴ ∠ACB=12∠AOB=35∘故答案为：A．3.【答案】B【考点】反比例函数的图象【解析】先根据反比例函数的性质判断出函数y=5x的图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点判断出x<0时函数图象所在的象限即可．【解答】解：：反比例函数y=5中k=5>0x：此函数的图象位于一、三象限，∴当x<0时函数的图象在第三象限．故答案为：B．4.【答案】D【考点】二次函数图象的平移规律【解析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为(0, 0)，∴平移后抛物线的顶点为(1, 3)，∴新抛物线解析式为y=2(x−1)2+3.故选D．5.【答案】B【考点】垂径定理勾股定理【解析】连接OA，由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB=2AE，又CE=2，OC=5，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB．【解答】解：连接OA，∵半径OC⊥AB，AB，∴AE=BE=12∵OC=5，CE=2，∴OE=3，在Rt△AOE中，AE=√OA2−OE2=√52−32=4，∴AB=2AE=8，故选B．6.【答案】C【考点】切线的性质【解析】如图，设CP 交⊙O 于点D ，连接OA 、AD ．由切线的性质易证=AOP 是含30度角的直角三角形，所以该三角形的性质求得半径=2；然后在等边△AOD 中得到AD =OA =2；最后通过解直角4ACD 来求AC 的长度．【解答】解：如图，设CP,交⊙O 于点D ，连接OA 、AD ．设⊙O 的半径为r ．：PA 、PB 是⊙O 的切线，∠APB =60∘∵ OA ⊥AP ∠APO =12∠APB =30∘∵ OP =2OA,∠AOP =60∘PC =2OA +OC =3r =6，则r =2易证△AOD 是等边三角形，则AD =OA =2又：CD 是直径，∴ ∠CAD =90∘∴ ∠ACD =30∘AC =AD tan30∘=2√3 故答案为：C ． 7.【答案】A【考点】二次函数与不等式（组）【解析】联立两函数解析式求出交点坐标，再根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x 的取值范围即可．【解答】解：联立{y =−x 2+4x ，y =2x ，解得{x 1=0，y 1=0，{x 2=2，y 2=4，∴ 两函数图象交点坐标为(0, 0)，(2, 4)，由图可知，y 1>y 2时抛物线图象在直线上方，∴ x 的取值范围是0<x <2．故选A ．8.【答案】D【考点】垂径定理等边三角形的性质【解析】①根据作图过程可得AC =AD ，根据垂径定理可判断；②连接OC ，根据作图过程可证得4AOC 为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断；③根据直角三角形中30∘角所对的直角边等于斜边的一半即可判断．【解答】解：①：以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交⊙O 于C ，D 两点，AC →=AD →根据垂径定理可知，AB ⊥CE,CE =DE∴ ①符合题意；②连接OC ，＞BAC =OA =OC∴ ．4AOC 为直角三角形，AB ⊥CEAE =OEBE =BO +OE =3AE∴ ②符合题意；③：AB 为直径，∴ ∠ACB =90∘∵ CAB =60∘∴ ∠ABC =30∘BC =2CE∴ ③符合题意，故答案为：D ．二、填空题（共8题；共8分）【答案】(−4, 5)【考点】关于原点对称的点的坐标【解析】此题暂无解析【解答】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．解：点(4, −5)关于原点的对称点的坐标是(−4, 5)，故答案为：(−4, 5)．【答案】56【考点】锐角三角函数的定义【解析】根据三角函数的定义解决问题即可．【解答】解：如图，∵ C=90∘BC=5,AB=6∵ SinA=BCAB=56故答案为：56【答案】2250(1−x)2=1000【考点】由实际问题抽象出一元二次方程由实际问题抽象出一元一次方程一元二次方程的应用——增长率问题【解析】直接利用一元二次方程中下降率求法得出方程即可．【解答】解：设这两个月利润的平均下降率为x，则可列方程得：2250(1−x)2=1000故答案为：2250(1−x)2=1000【答案】(3,2)【考点】坐标与图形变化-旋转【解析】根据题意画出图形，即可解决问题．【解答】解：如图，观察图象可知，A′(3,2)故答案为(3,2)【答案】2【考点】圆周角定理【解析】根据直径所对的圆周角为90．，再根据30．所对的直角边等于斜边的一半，即可得出答案．【解答】解：：AB为⊙O的直径，∠ACB=90∘∠ABC=30∘AC=12AB=12×4=2故答案为：2【答案】60【考点】旋转的性质【解析】根据旋转的性质得出OA=OA′，得出△OAA是等边三角形．则∠AOA′=60∘，则可得出答案．【解答】解：∵ AOB=90∘∠B=30∘∴ ∠A=60∘∵A′OB′是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，∵ OA=OA∵ OAA′是等边三角形．∴ ∠AOA′=60∘，即旋转角α的大小是60∘故答案为：60∘【答案】20【考点】相似三角形的应用【解析】证出△ADE和△ABC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：∵AB⊥DE，BC⊥AB，∴DE // BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB =DEBC，即ADAD+10=2030，解得：AD=20m．故答案为：20．【答案】②③【考点】二次函数图象与系数的关系【解析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断．【解答】解：：抛物线开口向下，交y轴的正半轴，a<0,c>0∴b2a=12b=−a>0abc<0，所以①不符合题意；：抛物线与轴有2个交点，∵ Δ=b2−4ac>0即b2>4a，所以②符合题意；：抛物线y=a2+bx+d经过点(−2,0)而抛物线的对称轴为直线x=12：点(−2,0)关于直线x=12的对称点(3,0)在抛物线上，：关于x的一元二次方程aλ2+bx+c=0的两根是x1=−2x2=3，所以③符合题意．由图象可知当−2<x<3时，y>0：不等式aλ2+bx+c>0的解集是−2<x<3，所以④不符合题意；故答案为②③．三、解答题（共12题；共84分）【答案】解：∵a=2，b=−3，c=−2，∴b2−4ac=(−3)2−4×2×(−2)=25，∴x=3±√252×2，解得x1=2，x2=−12．解一元二次方程-公式法【解析】利用因式分解法把原方程化为x−2=0或2x+1=0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：∵a=2，b=−3，c=−2，∴b2−4ac=(−3)2−4×2×(−2)=25，∴x=3±√25，2×2．解得x1=2，x2=−12【答案】解：连接OC，则OA=OC.∴∠A=∠ACO=30∘.∴∠COH=60∘.∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∴∠CHO=90∘，CD=2CH∴∠OCH=30∘，∴OC=2OH,∵CD=4√3，∴CH=2√3.∴在Rt△OCH中，OH2+HC2=OC2∴OH=2.∴OC=4.【考点】垂径定理【解析】连接OC根据垂径定理可得∵ ∠CHO=90∘CD=2CH，求出CH的长，根据30∘的直角三角形的特征以及勾股定理求出OC=2OH即可．【解答】此题暂无解答【答案】【考点】正方形的性质相似三角形的判定相似三角形的性质此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】c =4，m =52解：∵ 对称轴是直线x =−1，∴ 顶点为(−1, 92)，设y =a(x +1)2+92，将(0, 4)代入y =a(x +1)2+92得，a +92=4，解得a =−12，∴ 这个二次函数的解析式为y =−12(x +1)2+92．【考点】待定系数法求二次函数解析式【解析】（1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y 轴的交点，即可求得c 的值，根据抛物线的对称性即可求得m 的值；（2）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可．【解答】解：（1）根据图表可知：二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过点(0,4),(−2,4)：对称轴为直线x =−2+02=−1,c =4 (−3,52)的对称点为(1,52)m =52【答案】解：∵ 方程(k −2)x 2−4x +2=0是关于x 的一元二次方程，∴ k −2≠0，解得k ≠2，又∵ 一元二次方程(k −2)x 2−4x +2=0有两个不相等的实数根，∴ 其根的判别式Δ=(−4)2−4×2(k −2)>0，解得k <4，综上，k 的取值范围是k <4且k ≠2；解：由(1)得：k =3，∵ k =3是一元二次方程k 2+mk +1=0的根，∴32+3m+1=0，解得m=−10．3【考点】根的判别式根与系数的关系一元二次方程的解【解析】（1）根据一元二次方程的定义、根的判别式即可得；（2）先根据（1）的结果求出k的值，再根据一元二次方程的根的定义可得一个关于m 的一元一次方程，解方程即可得．【解答】此题暂无解答【答案】解：∵直线y=x+3经过点A(1, m)，∴m=4，的图象经过点A(1, 4)，又∵函数y=kx∴k=4；①CD=3.②0<n≤2或n≥3+√13.【考点】反比例函数与一次函数的综合【解析】，即可求（1）把A(1,m)代入直线y=x+3，可求得m的值；把A(1,m)代入直线y=kx得k的值；（2））①利用C、D的纵坐标都为2得到C点和D点的横坐标，然后求两横坐标之差得到线段CD的长；②先确定B(−3,0)，由于C、D的纵坐标都为n，根据一次函数和反比,n),D(n−3,3)，讨论：当点C在点D的右侧例函数图象上点的坐标特征可表示出C(4n−(n−3)=3，解得n1=2,n2=−2（舍去），再结合图时，先利用CD=OB得到4n象可判断当0<n≤2时，CD≥OB；当点C在点D的左侧时，先利用CD=OB得到n−=3，解得n1=3+√13,n2=3−√13（舍去），再结合图象即可求解．3−4n【解答】（2）解：①当n=2时，点Ρ的坐标为(0,2)∴点C的坐标为(2,2)点D的坐标为(−1,2)CD=2−(−1)=3②解：如图，当y=0时，x+3=0，解得x=−3，则B(−3,0)当y=n时，n=4x ，解得：x=4x∴点C的坐标为（4n,n）当y=n时，x+3=n，解得x=n−3∴点D的坐标为(n−3,n)当点C在点D的右侧时，若CD=OB，即4n−(n−3)=3，解得n1=2,n2=−2（舍去），．当0<n≤2时，CD≥OB当点C在点D的左侧时，若CD=OB，即n−3−4n=3，解得n1=3+√13,n2=3−√13（舍去），∴当n≥3+√13时，CD>OB综上所述，m的取值范围为：0<n≤2或n≥3+√13【答案】(1)证明：如图，连接OD，AD.∵AC是直径，∴AD⊥BC.又∵在△ABC中，AB=AC，∴BD=CD.∵AO=OC，∴OD // AB.又∵DE⊥AB，∴DE⊥OD.∵OD为⊙O半径，∴DE是⊙O的切线.(2)解：∵⊙O的半径为2，AB=AC，∴AC=AB=2+2=4.∵BE=1，∴AE=4−1=3.过O作OH⊥AB于H，则四边形ODEH是矩形，∴EH=OD=2，∴AH=1，AO，∴AH=12∴∠AOH=30∘，∴∠BAC=60∘，∴在Rt△AEF中，AF=2AE=6，∴CF=AF−AC=2．【考点】切线的判定含30度角的直角三角形矩形的判定与性质【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：如图，连接OD，AD.∵AC是直径，∴AD⊥BC.又∵在△ABC中，AB=AC，∴BD=CD.∵AO=OC，∴OD // AB.又∵DE⊥AB，∴DE⊥OD.∵OD为⊙O半径，∴DE是⊙O的切线.(2)解：∵⊙O的半径为2，AB=AC，∴AC=AB=2+2=4.∵BE=1，∴AE=4−1=3.过O作OH⊥AB于H，则四边形ODEH是矩形，∴EH=OD=2，∴AH=1，AO，∴AH=12∴∠AOH=30∘，∴∠BAC=60∘，∴在Rt△AEF中，AF=2AE=6，∴CF=AF−AC=2．【答案】(60−5x),(4+x)销售单价应上涨2元或2元；当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大【考点】一元二次方程的应用二次函数的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】x为任意实数解：由函数y=x2−4|x|+3可知，x>0和x<0时的函数图象关于y轴对称，函数图象如图所示；①③−1<k<3【考点】抛物线与x轴的交点二次函数的性质二次函数的图象【解析】（1）根据函数解析式可以写出x的取值范围；（2）根据函数图象的特点，可以得到该函数关于y轴对称，从而可以画出函数的完整图象；（3）根据函数图象可以判断各个小题中的结论是否成立；（4）根据函数图象，可以写出关于x的方程x2−4|x|+3=k有4个不相等的实数根时，k的取值范围．【解答】解：（1）：函数y=x2−4|x+3∴的取值范围为任意实数，故答案为：任意实数；（3）由图象可得，函数图象关于y轴对称，故①符合题意；函数有最小值，但没有最大值，故②不符合题意；当x>2时，y随x的增大而增大，当x<−2时，y随x的增大而减小，故③符合题意；函数图象与轴有4个公共点，故④不符合题意；故答案为：①③；（4）由图象可得，关于x的方程|2−4||x+3=．有4个不相等的实数根，则k的取值范围是-1<k<3故答案为：−1<k<3【答案】x=−1,(−3,0)解：∵抛物线y=mx2+2mx−3过点B(1, 0)，∴0=m+2m−3，∴m=1，∴抛物线的解析式：y=x2+2x−3，0<n≤4,0<n≤2【考点】待定系数法求二次函数解析式【解析】，可求解；（1）由对称轴为直线x=−b2a（2）将点B坐标代入可可求解；（3）设向左平移后的解析式为：y=(x+1+n)2−4，设向右平移后的解析式为：y= (x+1−n)2−4，利用特殊点代入可求解．【解答】=1,AB=4解：（1）：抛物线y=mx2+2mx+3的对称轴为直线x=−−2m2m∴点A(−3,0)，点B(1,0)故答案为：x=−1(−3,0)；（3）如图，y=λ2+2x−3=(x+1)2−4∴设向左平移后的解析式为：y=(x+1+n)2−4把x=−3,y=0弋入解析式可得：0=(−3+1+n)2−4n=0（舍去），n=4∴向左平移，则n的取值范围是0<n≤4设向右平移后的解析式为：y=(x+1−n)2−4把x=0,y=−3代入解析式可得：−3=(1−n)2−4n=0（舍去），n=2∴向右平移，则n的取值范围是10<m≤2故答案为：0<m≤4;0<n≤2【答案】=,√2,AM+NM=NC解：如图1，在CN 上截取CH =AM ，连接AD ，DH ，∵ △ABC 是等腰直角三角形，点D 是BC 中点，∴ AD =CD ，∠BAD =∠ACD =45∘，AD ⊥BC ，又∵ AM =CH ，∴ △AMD ≅△CHD(SAS)，∴ MD =DH ，∠ADM =∠CDH ，∵ ∠ADM +∠ADN =∠MDN =45∘，∴ ∠ADN +∠CDH =45∘，∴ ∠HDN =45∘=∠MDN ，在△MDN 和△HDN 中{DN =DN∠MDN =∠HDN DM =DH，∴ △MDN ≅△HDN(SAS)，∴ MN =HN ，∴ NC =CH +NH =AM +MN ．【考点】旋转的性质【解析】（1）①由SAS ′可证：：4BMDeeCND ，可得zBMD =∠DNC ，由外角的性质和平行线的性质可证4BMD =∠CMD =∠BDM =∠CMM √；②由等腰三角形的性质可求BM =BD =√2=NC ，再求出AM =2−√2,MN =√2AM =2√2−2，即可得结论；（2）在CN 上截取（CH =AM ，连接AD ，DH ，由“SAS ”可证=AMDe =CHD ，可得NAD =D A ，∠ADM =∠CDH ，再由SAS ′可证4MDN ≅HDN ，可得MN =HN ，可得结论．【解答】解：（1）①：ABC 和4DEF 都是等腰直角三角形，∠A =90∘ ∠E =90∘∠B =∠C =∠EDF =45∘,AB =AC BC =√2AB：MNIBC ，∠AMN =∠B =45∘=∠AMM =∠C ∠DMN =∠BDM．AM =AN∴ BM =CN：点D 是BC 中点，BD =CD在4BMD 和4CND 中 {BM =CN∠B =∠C BD =CD∴ BMD≅CND(SAS)∴ ∠BMD=∠DNC∠MDB=∠C+∠DNC=∠MDN+∠BDM ∠BDM=∠CND∠BMD=∠CND=∠BDM=∠CMN故答案为：=；②BC=2√2,BC=√2ABAB=AC=2∵ BMD=∠CND=∠BDMBD=BM=12BC=√2NC=√2AM=2−√2AM=AN,∠A=90∘MN=√2AM=2√2−2AM+MN=2−√2+2√2−2=√2=NC故答案为：√2;AM+MN=NC【答案】P1解：如图1，平移直线l至图示与半径为2的圆相切的位置，即l和l′的位置，当直线l位于图示l和l′之间的位置时，直线l:y=x+b上存在⊙O的近距点，设直线l与圆切于点A，则△OAB为等腰直角三角形，则OB=√2OA=2√2=b，同理当直线l处于l′的位置时，b=−2√2，故b的取值范围为−2√2≤b≤2√2；解：如图2，作半径为2的同心圆O ，与直线y =x +1交于点B 、C ，设直线y =x +1与半径为1的圆交于点E 、F ，则点P 点在BE 和CF 之间的位置时，符合题意，设点B 的坐标为(x, x +1)，过点B 作BH ⊥y 轴于点H ，连接OB 、OC ，在Rt △OBH 中，OB 2=BH 2+OH 2，即(x +1)2+x 2=22，解得x =−1±√72（舍去负值），故x =−1+√72=√7−12=x B ，同理可得，x C =−√7+12，故0<x P ≤√7−12或−√7+12≤x P <−1．【考点】定义新符号定义新图形勾股定理直线与圆的位置关系【解析】（1）按照新定义，利用勾股定理，逐个验证即可求解；（2）如图1，平移直线屋图示与半径为2的圆相切的位置，即和/的位置，当直线位于图示和/之间的位置时，直线:y =x +b 上存在⊙O 的近距点，进而求解；（3）直线y =x +1与半径为1的圆交于点E 、F,则点P 点在BE 和CF 之间的位置时，符合题意，进而求解．【解答】解：（1）由题意得：OQ =1:P 1(1,1) P 2(−12,√32),P 3(0,−12),P 4(2,1) ∵ OP 1=√12+12=√2 ，则OP 1−OQ <P 1Q 1<OP 1+OQ ，即√2−1<P 1Q <√2+1故存在P 1Q ≤1，故点P 1符合题意；oP 2=√(−12)2+(√32)2=，，故点P 2不符合题意； OP 3=√02+(−12)2=12 ，故点P 3不符合题意；OP 4=√22+12=√5 ，则√5−1<P 4Q <√5+1，故不存在P A Q ≤1，故点P A 不符合题意；故答案为P 1。

北京市西城区2023-2024学年九年级上学期期中模拟数学试题(解析版)

2023-2024学年第一学期初三数学期中模拟试卷一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B. AIC. D.【答案】C【解析】【分析】中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．【详解】解：A ：既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意；B ：既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意；C ：是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；D ：既不是中心对称图形又不是轴对称图形，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的识别．掌握相关定义即可．2. 关于二次函数，下列说法正确的是（）A. 它的图象的顶点坐标为B. 当时，随的增大而减小C. 它的图象关于直线对称D. 图象与轴的交点坐标为【答案】D【解析】【分析】将二次函数解析式化为顶点式，可得顶点坐标，对称轴，增减性，即可判断A 、B 、C ，令，可得，即可得出图象与轴的交点坐标，即可判断D ，从而得到答案．【详解】解：，180︒243y x x =--()27--，2x >y x 2x =-y ()03-，()224327y x x x =--=--0x ==3y -y ()224327y x x x =--=--它的图象的顶点坐标为，故A 选项错误，不符合题意；，二次函数的图象开口向上，当时，随的增大而增大，故B 选项错误，不符合题意；对称轴为直线，它的图象关于直线对称，故C 选项错误，不符合题意；当时，，图象与轴的交点坐标为，故D 选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，把二次函数解析式化为顶点式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．3. 已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值为（）A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D【解析】【分析】将代入得到关于的方程，解方程即可得到答案．【详解】解：是关于的一元二次方程的一个实数根，，解得：，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据题意得到关于的方程是解此题的关键．4. 二次函数的图象如图，将其绕顶点旋转后得到的抛物线的解析式为（）A. B. C.D. ∴()27-，10a => ∴∴2x >y x 2x =∴2x = 0x =3y =∴y ()03-，1x =x ()22110x m x ++-=m 1-12-1x =()22110x m x ++-=m 1x =x ()22110x m x ++-=12110m ∴++-=12m =-m 231y x =-+180︒231y x =--23y x =231y x =+231y x =-【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反，即可得到答案．【详解】解：二次函数解析式为，二次函数的顶点坐标为，二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反，得到的抛物线的解析式为，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，得出二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反是解此题的关键．5. 如图，三点在已知的圆上，在中，是的上一点，分别连接，则的度数为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据在同圆或等圆中，同弧所得的圆周角相等可得，据此即可求解．【详解】解：由题意得：∵∴故选：B【点睛】本题考查在同圆或等圆中，同弧所得的圆周角相等．熟记相关结论是解题关键．6. 如图，⊙的半径为，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦231y x =-+180︒ 231y x =-+∴()01，231y x =-+180︒∴231y x =+231y x =-+180︒,,A B C ABC 70,30,ABC ACB D ∠=︒∠=︒ BAC,DB DC D ∠30︒80︒90︒70︒BAC D ∠=∠18080BAC ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒BAC D∠=∠80D ∠=︒O 3P AB OP 4OP =30P ∠=︒的长为（）．A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先过点O 作OH ⊥AB 于点H ，连接OA ，由在Rt △OHP 中，∠P=30°，OP=4，可求得OH 的长，由在Rt △O4H 中，OA=3，即可求得AH 的长，继而求得答案.【详解】解：如图：过点O 作OH ⊥AB 于点H ，连接OA ，∵在Rt △OHP 中，∠P=30°，OP=4，∴ ∵在Rt △OAH 中，OA=3，∴故选．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理.此题难度不大，但掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用是解答本题的关键.7. 已知二次函数的图象与轴交于和，其中，与轴交于正半轴上一点．下列说法正确的是（）A.B. C. D. 【答案】D AB 2122OH OP ==AH ===2AB AH ∴==C 2y ax bx c =++x ()1,0-()1,0x 112x <<y 0ac >0b <0a b c -+>0.50.250a b c ++<【解析】【分析】由题意可得抛物线的开口向下，对称轴为直线，根据二次函数的图象与性质即可求解．【详解】解：由题意可知：抛物线的开口向下∴∵二次函数图象与y 轴交于正半轴上一点∴∴故A 错误；∵二次函数的图象与轴交于和∴对称轴为直线∵∴∴∴故B 错误；∵二次函数的图象与轴交于∴当时，即故C 错误；∵抛物线的开口向下，与轴交于和，∴当时，即利用不等式的性质可得：故D 正确；故选：D【点睛】本题考查二次函数的图象与性质．熟记相关结论，利用数形结合的思想是解题关1122x b x a -+=-=2y ax bx c =++a<0c >0ac <2y ax bx c =++x ()1,0-()1,0x 1122x b x a -+=-=112x <<111022x -+<<02b a->0b >2y ax bxc =++x ()1,0-=1x -0y =0a b c -+=x ()1,0-()1,0x 112x <<2x =0y <420a b c ++<0.50.250a b c ++<2y ax bx c =++键．8. 如图，A,B 是半径为1的⊙O 上两点，且OA ⊥OB. 点P 从A 出发，在⊙O 上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A 运动结束. 设运动时间为x ，弦BP 的长度为y ，那么下面图象中可能表示y 与x 的函数关系的是A. ①B. ④C. ②或④D. ①或③【答案】D【解析】【分析】分两种情形讨论当点P 顺时针旋转时，图象是③，当点P 逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题．【详解】解：当点P 顺时针旋转时，图象是③，当点P 逆时针旋转时，图象是①．故选D ．二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）9. 若二次函数的图象经过点，则___________．【答案】5【解析】【分析】把点代入，即可求解．【详解】解：∵二次函数的图象经过点，∴，解得：．故答案为：5【点睛】本题主要考查了二次函数的图象上点的特征，熟练掌握二次函数的图象上点的特征是解题的关键．23y x mx m =++-()0,2m =()0,223y x mx m =++-23y x mx m =++-()0,232m -=5m =10. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为___________．【答案】【解析】【分析】通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．【详解】解：由题意得：且解得：故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程的定义．掌握相关结论即可．11. 一个扇形的弧长为，半径为6，则此扇形的圆心角度数为___________，此扇形的面积为___________．【答案】①. 40 ②. 【解析】【分析】根据弧长及扇形面积公式可进行求解．【详解】解：由弧长公式可得：，解得：；∴该扇形的面积为；故答案为，．【点睛】本题主要考查弧长及扇形面积公式，熟练掌握弧长及扇形面积公式是解题的关键．12. 已知的半径为5，点到圆心的距离为8，那么点与的位置关系是___________．【答案】点在外【解析】【分析】根据点在圆上，点在圆外，点在圆内，即可得到答案．【详解】解：的半径为5，点到圆心的距离为8，，点与的位置关系是点在外，故答案为：点在外．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆上，点在圆外，点在圆内是解()1130m m xx +-+-=x m 1-12m +=10m -≠1m =-1-43π︒4π463180n ππ=40n =︒24064360S ππ⨯⨯==404πO P O P O P O d r =d r >d r < O P O 85OP ∴=>∴P O P O P O d r =d r >d r <此题的关键．13. 对于二次函数，与的部分对应值如表所示，在某一范围内，随的增大而减小，写出一个符合条件的的取值范围___________．01211【答案】【解析】【分析】根据表格确定二次函数的对称轴，然后结合与的值确定答案即可．【详解】解：由表格可得：二次函数过点，，二次函数的对称轴为直线，由表格可得：当时，随的增大而减小故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是确定二次函数的对称轴．14. 如图，四边形内接于为直径，，若，则___________．【答案】55【解析】【分析】连接，由题意易得，然后问题可求解．【详解】解：连接，如图所示：()20y ax bx c a =++≠y x x y x x x L3-2-L y L 2-2-7-L 1x >-x y ()20y ax bx c a =++≠()32--，()12-，∴3112x -+==-1x >-y x 1x >-ABCD ,O AB CDBC =110C ∠=︒B ∠=︒BD 90,70,35ADB A CBD CDB ∠=︒∠=︒∠=∠=︒BD∵为的直径，∴，∵四边形内接于，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案为：55．【点睛】本题主要考查圆周角的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关键．15. 如图，分别是内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若的半径为2，下面四个结论中，①；②的长为；③点为的中点；④平分．其中所有正确结论的序号是___________．【答案】③④##④③【解析】【分析】设圆的圆心是，连接，，，，应用圆内接正多边形的性质、圆周角定理、弧长计算公式、等边三角形的判定与性质，逐项判断即可得到答案．【详解】解：如图，设圆的圆心是，连接，，，，AB O 90ADB =︒ABCD O 110C ∠=︒18070A C ∠=︒-∠=︒20ABD ∠=︒ CDBC =CD BC =()1180352CBD CDB C ∠=∠=⨯︒-∠=︒55ABC ABD CBD ∠=∠+∠=︒AB AC AD ，，O O 1AB = AC 2πB AD AC BAD ∠O OA OB OC OD O OA OB OC OD是圆内接正六边形的一边，的度数为，，，为等边三角形，的半径为2，，故①错误，不符合题意；是圆内接正方形一边，的度数为，，，故②说法错误，不符合题意；是圆内接等边三角形的一边，的度数为，，，，，，点为的中点，故③正确，符合题意；，，，，，的AB AB ∴3600166⨯︒=︒60AOB ∴∠=︒OA OB = AOB ∴ O 2AB OA ∴==AC AC ∴1360904⨯︒=︒90AOC ∴∠=︒ 90π2π180AC ⨯⨯==∴AD »AD ∴13601203⨯︒=︒120AOD ∴∠=︒60AOB ∠=︒ 1206060BOD AOD AOB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒BOD AOB ∴∠=∠ AB BD∴=∴B AD 90AOC ∠=︒ 120AOD ∠=︒1209030COD AOD AOC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒60BOD ∠=︒ 603030BOC BOD COD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，，，平分，故④正确，符合题意；综上所述，正确的有③④，故答案为：③④．【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质、圆周角定理、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．16. 如图，在中，，点是边上一点且绕点逆时针旋转得线段，点始终为的中点，若绕点旋转一周，则线段的最大值为___________此时旋转角___________．【答案】①.②. ##150度【解析】【分析】由含角的直角三角形的性质可得，取边上的中点，连接，，，为的中位线，得到，，由可得当、、在同一直线时，最大，，证明为等边三角形，可得，从而得到，再由平行线的性质可得，从而即可得到的度数．【详解】解：在中，，，如图，取边上的中点，连接，，BOC COD ∴∠=∠ BCCD ∴=BAC CAD ∴∠=∠∴AC BAD ∠Rt ABC △90306ACB BAC BC ∠=︒∠=︒=，，D AC AD =AD A AD 'F BD 'AD A CF DAD '∠=︒6+6+150︒30︒12BC =AB E EF CE 162CE AB ==EF ABD '△12EF AD '==EF AD '∥EF CE CF +≥C E F CF 6CF CE EF =+=+CBE △60CEB ∠=︒180120BEF CEB ∠=︒-∠=︒120D AB BEF '∠=∠=︒DAD '∠ Rt ABC △90306ACB BAC BC ∠=︒∠=︒=，，212AB BC ∴==AB E EF CE，，始终为的中点，为的中位线，，，如图，当、、在同一直线时，最大，，，，，为中点，，为等边三角形，，，，，，162CEAB ∴== F BD 'EF ∴ABD '△12EF AD '∴==EF AD '∥EF CE CF +≥ ∴C E F CF 6CF CE EF =+=+30BAC ∠=︒ 9060ABC BAC ∴∠=︒-∠=︒E AB CE BE ∴=CBE ∴ 60CEB ∴∠=︒180120BEF CEB ∴∠=︒-∠=︒A EF D ' ∥120D AB BEF '∴∠=∠=︒12030150D AD D AB BAC ''∴∠=∠+=︒+︒=︒故答案为：，．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．三、解答题（共12小题，满分68分，17-19，21-23每题5分，20，24-26每题6分，27，28每题7分）17. 解方程：【答案】【解析】【分析】根据公式法解一元二次方程，即可求解．【详解】解：∵，，∴解得：【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．18. 已知关于x 的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为1，求k 的值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）计算，证明即可解题；（2）利用韦达定理，结合解题．【小问1详解】证明：6+150︒2620x x -+=1233x x ==2620x x -+=1,6,2==-=a b c 2436828b ac ∆=-=-=x ==1233x x =+=22320x kx k -+=0k >1k =224b ac k ∆=-=0∆≥212123,2b c x x k x x k a a+=-=⋅==22121212)(4()x x x x x x +=--22320x kx k -+=21,3,2a b k c k ==-=2222498b ac k k k ∆=-=-=该方程总有两个实数根；【小问2详解】又【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．19. 如图，是直径，是弦，于点，若，求圆的半径．【答案】圆的半径为5【解析】【分析】连接，设的半径为，则，由垂径定理可得，由可得，由勾股定理可得，解方程即可得到答案．【详解】解：如图，连接，的20k ≥Q 0∴∆≥∴22320x kx k -+=21212121,3,2b c x x x x k x x k a a -=+=-=⋅==Q 22121212()()4x x x x x x -=+-Q 22981k k ∴-=1k ∴=±0k > 1k ∴=CD O AB AB CD ⊥E 28ED AB ==，OA O r OA OD r ==4AE =2DE =4=-OE r ()22242r r +-=OA，设的半径为，则，是的直径，是弦，于点，，，，，，在中，，即，解得：，圆的半径为5．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．20. 已知抛物线经过点和．…………（1）求抛物线解析式；（2）用五点法列表并画出函数图象；O r OA OD r == CD O AB AB CD ⊥E 8AB =142AE BE AB ∴===90AEO ∠=︒2DE = 2OE r ∴=-Rt AEO △222AE OE OA +=()22242r r +-==5r ∴()21y a x k =++()03-，()10，x y（3）当时，的取值范围是___________．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）将点和代入抛物线得到，求出、的值即可得到答案；（2）先列出表格，再描点、连线，即可得到答案；（3）先求出当时，，再根据图象即可得到答案．【小问1详解】解：抛物线经过点和，，解得：，抛物线解析式为：；【小问2详解】解：列表：…01……00…画出图象如图所示：的22x -<<y ()214y x =+-45y -≤<()03-，()10，()21y a x k =++340a k a k +=-⎧⎨+=⎩a k 2x =5y = ()21y a x k =++()03-，()10，340a k a k +=-⎧∴⎨+=⎩14a k =⎧⎨=-⎩∴()214y x =+-x 3-2-1-y 3-4-3-【小问3详解】解：当时，，由图象可得：当时，的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、画二次函数图象、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．21. 三帆中学计划在一块（单位：）的场地新修操场．如果操场由宽为1米的矩形步行道包围，如图，若内圈矩形周长是160米，设的长为米，则可用表示为___________米；根据实际情况的取值范围是___________；为了充分利用好操场，使操场面积最大，请给出一个合理的修建新操场的方案．【答案】，，当的长为米，的长为米时，操场面积最大．【解析】【分析】利用矩形的周长公式求得的长，再利用的矩形场地，列不等式组求得的取值范围，然后利用矩形面积公式列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：设的长为米，则，由题意得，解得，2x =5y =22x -<<y 45y -≤<45y -≤<4060⨯m ABCD AB x AD x x 80x -2238x ≤≤AB 38AD 44AD 4060⨯x AB x 1602802x AD x -==-24080260x x +≤⎧⎨-+≤⎩2238x ≤≤设操场的面积为y ，则，∵，开口向下，当时，y 随x 的增大而增大，∴当时，y 有最大值，最大值为（平方米）．当的长为米，的长为米时，操场面积最大．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据图形得出矩形的边的长及二次函数的性质．22. 一次函数的图象经过点和．（1）求这个一次函数的表达式；（2）若直线与该一次函数的图象相交，且交点在第三象限，直接写出的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设一次函数的表达式为，然后利用待定系数法求解即可；（2）由题意可联立函数解析式，然后可得交点坐标为，进而问题可求解．【小问1详解】解：设一次函数的表达式为，由题意得：，解得：，∴一次函数的表达式为；【小问2详解】解：由题意可得：，解得：()()()22802401764y x x x =+-+=--+10-<40x <38x =()2384017641760y =--+=AB 38AD 44AD ()1,6()0,4y nx =n 24y x =+02n <<y kx b =+44,22n n n ⎛⎫⎪--⎝⎭y kx b =+64k b b +=⎧⎨=⎩24k b =⎧⎨=⎩24y x =+24y nx y x =⎧⎨=+⎩4242x n ny n ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∴直线与一次函数的图象的交点坐标为，∵该交点在第三象限，∴，解得：．【点睛】本题主要考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．23. 下面是小石设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，是半圆的圆心，点在的延长线上．求作：过点与半圆相切的直线．作法：①以为圆心，为半径作半圆，且半圆与半圆在直线同侧，交的延长线于点；②以为圆心，的长度为半径作弧，与半圆交于点；③作直线．则直线就是所作切线．根据小石设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接，作于点．（①___________）（填推理的依据）．是的中点，是的中点，，且．是半圆的半径．又于，y nx =24y x =+44,22n n n ⎛⎫⎪--⎝⎭402402n n n ⎧<⎪⎪-⎨⎪<⎪-⎩02n <<O MN P OM P MN O OP PA PA MN PN A A MN PA B PB PB AB OC PB ⊥C PC BC ∴=C PB O PA OC AB ∴∥12OC AB OM ==OC ∴MN OC PB ⊥ C是半圆的切线．（②___________）（填推理的依据）．【答案】23. 见解析24. 垂径定理；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】（1）根据题意，画出图形，即可；（2）连接，作于点．根据垂径定理可得，再根据三角形中位线定理，可得，且，从而得到是半圆的半径，即可．【小问1详解】解：根据题意，画出图形，如图所示：【小问2详解】证明：连接，作于点．（垂径定理）．是的中点，是的中点，，且．是半圆的半径．又于，是半圆的切线．（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）故答案为：垂径定理；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握切线的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．24. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m ）与水平距离（单位：m ）近似满足函数关系．PB ∴MN AB OC PB ⊥C PC BC =OC AB ∥12OC AB OM ==OC MN AB OC PB ⊥C PC BC ∴=C PB O PA OC AB ∴∥12OC AB OM ==OC ∴MN OC PB ⊥ C PB ∴MN y x 2()(0)y a x h k a =-+<某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离x /m 02581114竖直高度y /m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d 1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）．【答案】（1）23.20 m ；（2）【解析】【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h 、k 的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a 的值，得出函数解析式；（2）着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t 表示出和，然后进行比较即可．【小问1详解】解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，∴，，即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m ，根据表格中的数据可知，当时，，代入得：，解得：，x y ()2(0)y a x h k a =-+<20.04(9)23.24.y x =--+2d 1d 2d ()20.05823.20y x =--+＜t 1d 2d ()8,23.208h =23.20k =0x =20.00y =()2823.20y a x =-+()220.000823.20a =-+0.05a =-∴函数关系关系式为：．【小问2详解】设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，，解得：或，∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离，第二次训练时，，解得：，∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离，∵，，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为，用t 表示出和是解题的关键．25. 如图，是的直径，是的中点，的切线交的延长线于点，是的中点，的延长线交切线于点，交于点，连接．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】()20.05823.20y x =--+t ()20.05823.20t x =--+8x =+8x =18d =+()20.04923.24t x =--+9x =9x =29d =()()2023.202523.24t t --＜12d d ＜＜t 1d 2d AB O C AB O BD AC D E OB CE BD F AF O H BH AC CD =2OB =BH BH =【分析】（1）连接，若要证明C 为的中点，只需证，已知C 是的中点，可知，又是切线，可知，问题得证（2）由（1）及E 为中点可知，从而可知，由勾股定理可得的长，由面积法即可求出的长【详解】证明：（1）连接，∵C 是的中点，是的直径∴，∵是切线∴，∴，∴，∵，∴．（2）∵E 是的中点∴，在和中∴∴，的OC AD OC BD ∥ AB OC AB ⊥BD BD AB ⊥OB COE FBE △≌△2BF CO BO ===AF BH OC AB AB O OC AB ⊥BD O BD AB ⊥OC BD ∥AO ACOB CD=AO BO =AC CD =OB OE BE =COE FBE CEO FEB OE BE COE FBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AAS COE FBE ≌BF CO =∵，∴∴∵是直径，∴，∴．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，切线的性质，勾股定理的应用，熟练的利用以上知识解题是关键．26. 在平面直角坐标系中，为抛物线（是常数）上的两点．（1）求抛物线顶点坐标（用表示）；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将一般式化为顶点式即可求解；（2）由可得，据此即可求解．【小问1详解】解：∴抛物线的顶点坐标为【小问2详解】解：由（1）可得：抛物线的开口向上，对称轴为直线∵∴即的2OB =2BF =AF ==AB BH AF ⊥AB BF BH AF ⋅===xOy ()()1221,,2,A m y B y -2222y x mx m =-+-m m 12y y >m (),2m -32m >12y y >212m m m -->-()222222y x mx m x m =-+-=--(),2m -x m =12y y >212m m m -->-12m m->-解得：【点睛】本题考查了将抛物线的一般式化为顶点式以及二次函数的增减性．熟记相关的结论，注意计算的准确性即可．27. 如图，在中，，点是边上一动点，连接．将绕点逆时针旋转，得到，满足，并连接．（1）如图1，求证：；（2）连接为中点，为中点，连接交于．①猜想的度数，并证明当时（如图2）你猜想的结论；②连接，若长的最小值．【答案】（1）见解析（2）①【解析】【分析】（1）证即可；（2）①延长至点，使得，可证，故；根据全等三角形和等腰三角形的性质求出即可；②将逆时针旋转得到线段，连接，取的中点，的中点，连接，当点在边上运动时，可知点的运动轨迹为线段，点的运动轨迹为线段；可推出当点与点重合时，有最小值，通过解直角三角形即可求解．【小问1详解】证明：∵∴32m >ABC ,120AB AC BAC =∠=︒D BC AD AD A AE DAE BAC ∠=∠CE BD CE =,BE F CD G BE FG AB H BHF ∠30CAD ∠=︒AG AB AC ==AG 120︒ABD ACE ≌△△BC R CR BD =GF ER ∥BFG R ∠=∠R ∠AC 120︒A I ,CI BI BC J BI K KJ D BC E CI G JK D J AG DAE BAC∠=∠BAD CAE∴∠=∠,AB AC AD AE== ABD ACE∴ ≌BD CE=【小问2详解】解：①，理由如下：延长至点，使得，如图所示：∵为中点，∴为中点∵为中点∴∵∵∴当时，证明过程不变②将逆时针旋转得到线段，连接，取的中点，的中点，连接，如图所示：120BHF ∠=︒BC R CR BD =F CD CR BD =F BR G BE GF ER∥,120AB AC BAC =∠=︒30ABC ACB ∴∠=∠=︒ABD ACE≌△△30,ACE ABD BD CE CR∠=∠=︒==60DCE R CER ACB ACE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒R CER ∠=∠Q 30R ∴∠=︒30BFG R ∴∠=∠=︒180120BHF ABC BFG ∴∠=︒-∠-∠=︒30CAD ∠=︒AC 120︒A I ,CI BI BC J BI K KJ当点在边上运动时，可知点的运动轨迹为线段，点的运动轨迹为线段可知∵分别为的中点∴当点与点重合时，有，平分此时的值最小∵即：【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、中位线定理等知识点．解决第三问的关键是确定动点的运动轨迹．28. 在平面内，将图形关于点作中心对称变换得到图形的过程简记为：．若图形D BC E CI G JK BAC CAIV V ≌30ACB ACI ∴∠=∠=︒60BCI ∴∠=︒,K J ,BI BC KJ CI∥60BJK BCI ∴∠=∠=︒D J AD BC ⊥AD BAC∠90,60ADB BAD ∴∠=︒∠=︒30KDA ADB BJK ∴∠=∠-∠=︒90AGD ∴∠=︒AG 30AB ABD =∠=︒sin 30AD AB ∴=⨯︒=30AD ADG =∠=︒Q sin 30AG AD ∴=⨯︒=AG G M 1G 1MG G −−−→1G再关于点作中心对称变换得到图形，即：，则由图形变换到的过程称为图形作对称得到图形，记作：．容易知道：若，则；若，则．已知在平面直角坐标系中，点．（1）如图1，已知点．点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是___________（写序号）：①对称；②对称；③对称；④对称．（2）点在直线上，线段，当线段与坐标轴有公共点时，求点的横坐标的取值范围；（3）点是平面内一点，．若线段上存在点，使点作对称后的对应点在轴上，直接写出点的横坐标的取值范围．【答案】（1）①②（2）点的横坐标的取值范围为或（3或【解析】【分析】（1）根据题意，分别求出点作变换后的点的坐标，再判断是否在的内部或边上，即可得到答案；（2）设点，则线段后点的坐标为，，分两种情况：当线段与轴有公共点时，当线段与轴有公共点时，分别求出的取值范围即可得到答案；N 2G 12M NG G G −−−→−−→G 2G G M N ，2G 2M NG G −−−→，1M G G −−−→1M G G −−−→2M N G G −−−→，2N MG G −−−→，xOy ()()1110A B ，，，11101,0222S T R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，A AOB O S ，S T ，R ，R O ，P 1y x =+O PAB CD →，CD P Px Q 1OQ =AB H H O Q ，K x K K x P P x 312P x -≤≤-12P x =-13K x +≤≤11K x -≤≤A AOB ()1P P P x x +，O PAB CD →，C ()2123P P x x ++，()2122P P D x x ++，CD x CD y P x（3）设点的坐标为，点，则，由可得，点作对称后的对应点，由点在轴上，可得，从而得出的取值范围，再根据求出的取值范围，由此即可得到答案．【小问1详解】解：根据题意可得：点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意；点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意；点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意；点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意；故点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是①②，故答案为：①②；【小问2详解】解：点在直线上，设点，点，线段后点的坐标为，，线段与坐标轴有公共点，当线段与轴有公共点时，，，解得：，当线段与轴有公共点时，，解得：，综上所述，点的横坐标的取值范围为或；【小问3详解】解：线段上存在点，，设点的坐标为，点，则，H ()1y ，()Q m n ，01y ≤≤1OQ =221+=m n H O Q，()212K m n y ++，K x 20n y +=n 221+=m n m A O S ，()10，AOB A S T ，()00，AOB A R ，()33，AOB A R O ，()01，AOB A AOB P 1y x =+∴()1P P P x x +， ()()1110AB ，，，∴O PAB CD →，C ()2123P P x x ++，()2122P P D x x ++， CD ∴CD x 230P x +≥220P x +≤312P x -≤≤-CD y 210P x +=12P x =-P P x 312P x -≤≤-12P x =- AB H ()()1110A B ，，，H ()1y ，()Q m n ，01y ≤≤，，即，点作对称后的对应为点，，点在轴上，，，，，，，，，，或或，点的横坐标或．【点睛】本题主要考查了坐标与图形、中心对称的性质、解不等式组、点的坐标的性质，熟练掌握以上知识点，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键．1OQ =1=221+=m n H O Q ，K ()212K m n y ∴++， K x 20n y ∴+=2y n ∴=-01y ≤≤021n ∴≤-≤102n ∴-≤≤2104n ∴≤≤221m n += 21014m ∴≤-≤2314m ∴≤≤1m ≤≤1m -≤≤1213m +≤+≤1211m -≤+≤+∴K K x 13K x ≤≤11K x -≤≤。

2022-2023学年北京市朝阳区九年级(上)期中数学试题及答案解析

2022-2023学年北京市朝阳区九年级（上）期中数学试卷1. 随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B.C. D.2. 已知关于x的一元二次方程x2+mx+m−1=0有两个不相等的实数根，下列结论正确的是( )A. m≠2B. m>2C. m≥2D. m<23. 将二次函数图象y=2x2向下平移1个单位长度，所得二次函数的解析式是( )A. y=2x2+1B. y=2x2−1C. y=2(x−1)2D. y=2(x+1)24. 在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象上存在点P(m,n)(m>0,n>0)的是( )B. y=−x−1C. y=−x2−1D. y=−3xA. y=2x5. 用配方法解方程3x2−6x+2=0，将方程变为(x−m)2=1的形式，则m的值为( )3A. 9B. −9C. 1D. −16. 南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x步，根据题意可以列方程为( )A. x2−60x−864=0B. x(x+60)=864C. x2−60x+864=0D. x(x+30)=8647. 已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x…−1013…y…0−1.5−20…根据表格中的信息，得到了如下的结论：①二次函数y=ax2+bx+c可改写为y=a(x−1)2−2的形式②二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1.5的两个根为0或2④若y>0，则x>3其中所有正确的结论为( )A. ①④B. ②③C. ②④D. ①③8. 老北京的老行当中有一行叫做“抓彩卖糖”：商贩将高丽纸裁成许多小条，用矾水在上面写上糖的块数，最少一块，多的是三块或五块，再将枝条混合在一起．游戏时叫儿童随意抽取一张，然后放入水罐中浸湿，即出现白道儿，按照上面的白道儿数给糖．一个商贩准备了10张质地均匀的纸条，其中能得到一块糖的纸条有5张，能得到三块塘的纸条有3张，能得到五块糖的纸条有2张．从中随机抽取一张纸条，恰好是能得到三块塘的纸条的概率是( )A. 110B. 310C. 15D. 129. 已知关于x的一元二次方程x2+(2a−1)x+a2=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．10. 对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=(a+b)2−(a−b)2.若(m+2)◎(m−3)= 24，则m=．11. 如图，A，B两点的坐标分别为A(3,0)，B(0,√3)，将线段BA绕点B顺时针旋转得到线段BC.若点C恰好落在x轴的负半轴上，则旋转角为______°.12. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点)，连接CC′，则∠CC′B′的度数是______．13. 已知电路AB由如图所示的开关控制，闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个，则使电路形成通路的概率是______．14. 一个函数满足过点(0,1)，且当x>0时，y随x的增大而减小，该函数可以为．15. 已知抛物线y=x2−(m+1)x与x轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是．16. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x−6)2+ℎ.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m.若球能越过球网，又不出边界，则ℎ的取值范围为______．17. 用适当的方法解下列方程：(1)2x2−18=0．(2)(m−1)2−1+m=0．18. 已知关于x的一元二次方程x2−2kx+k2−1=0．(1)不解方程，判断此方程根的情况；(2)若x=2是该方程的一个根，求代数式−2k2+8k+5的值．19. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点(点D与A，B不重合)，连结CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)当∠BDE=25°时，求∠BEF的度数．20. 已知二次函数y=x2−4x+3．(1)用配方法将y=x2−4x+3化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；(3)当0≤x≤3时，y的取值范围是______．21. 12月4日是全国法制宜传日.下面是某校九年级四个班的学生(各班人数相同)在一次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表：成绩x人数班级70≤x<7575≤x<8080≤x<8585≤x<9090≤x<9595≤x≤100一班203780二班015770三班014771四班m03752(1)频数分布表中，m=______ ；(2)从70≤x<75中，随机抽取2名学生，那么所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的概率是多少？22. 某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：(1)研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式；(2)当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工厂试销该工艺品每天获得的利润为8000元？23. 某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为ℎ米．下面的表中记录了d与ℎ的五组数据：根据上述信息，解决以下问题：(1)在下面网格(图1)中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示ℎ与d函数关系的图象；(2)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m=______；(3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度(喷水头忽略不计)至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由(结果保留一位小数)．24. 在平面直角坐标系xOy中，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=−x2+(2a−2)x−a2+ 2a上，其中x1<x2．(1)求抛物线的对称轴(用含a的式子表示)；(2)①当x=a时，求y的值；②若y1=y2=0，求x1的值(用含a的式子表示)．(3)若对于x1+x2<−4，都有y1<y2，求a的取值范围．25. 已知∠MAN=30°，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点(不与点A，B重合)，点P关于直线AN的对称点为点Q，连接AQ，BQ，点A关于直线BQ的对称点为点C，连接PQ，CP．(1)如图1，若点P为线段AB的中点；①直接写出∠AQB的度数；②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；(2)如图2，若线段CP与BQ交于点D．①设∠BQP=α，求∠CPQ的大小(用含α的式子表示)；②用等式表示线段DC，DQ，DP之间的数量关系，并证明．26. 对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．(1)已知点A(6,8)，在点Q1(0,8)，Q2(−4,2)，Q3(8,4)中，______ 是点A的“直角点”；(2)已知点B(−3,4)，C(4,4)，若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；(3)在(2)的条件下，已知点D(t,0)，E(t+1,0)，以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG.若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形绕对称中心旋转180°后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不符合题意；C.既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意；D.不是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．故选C．2.【答案】A【解析】解：根据题意得△=m2−4×1×(m−1)=(m−2)2>0，解得m≠2，故选：A．根据判别式的意义得到△=m2−4×1×(m−1)=(m−2)2>0，即可求得m≠2．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．3.【答案】B【解析】解：∵抛物线y=2x2的顶点坐标为(0,0)，向下平移1个单位长度的顶点坐标为(0,−1)，∴所得二次函数的解析式是y=2x2−1．故选：B．原抛物线顶点坐标为(0,0)，平移后抛物线顶点坐标为(0,−1)，据此写出平移后抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．4.【答案】A【解析】解：由题意，图象经过第一象限的函数是满足条件的， A 、函数y =2x的图象在一、三象限，满足条件；B 、函数y =−x −1的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限，不满足条件；C 、函数y =−x 2−1的图象经过三、四象限，不经过第一象限，不满足条件；D 、函数y =−3x 的图象经过二、四象限，不经过第一象限，不满足条件；故选：A ．由题意，图象经过第一象限的函数都是满足条件的，由此判断即可．本题考查了反比函数的图象，一次函数的图象，二次函数的图象．熟练掌握函数的性质与图象是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：方程3x 2−6x +2=0，变形得：x 2−2x =−23，配方得：x 2−2x +1=13，即(x −1)2=13，则：m =1．故选：C ．方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可求出m 的值．此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵矩形田地的长为x 步，矩形田地的长与宽的和是60步， ∴矩形田地的宽为(60−x)步．依题意得：x(60−x)=864，整理得：x 2−60x +864=0．故选：C．由矩形田地的长与宽的和是60步，可得出矩形田地的宽为(60−x)步，根据矩形田地的面积是864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：∵x=−1和x=3时的函数值相同，都是1，∴抛物线的对称轴为直线x=−1+3=1，2当x=1时，y=−2∴抛物线的顶点为(1,−2)，∴二次函数y=ax2+bx+c可改写为y=a(x−1)2−2的形式，所以①正确；∵由表格可知x=1时函数的值最小，∴抛物线的开口向上，故②错误；∵x=0与x=2关于对称轴对称，∴x=0时，y=−1.5，x=2时，y=−1.5，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1.5的两个根为0或2，故③正确；∵抛物线的开口向上，x=−1和x=3时，y=0，∴若y>0，则x>3或x<−1，故④错误；综上所述：其中正确的结论有①③．故选：D．根据表格数据求出顶点坐标，即可判断①②；根据二次函数的图象与一元二次方程的关系可判断③；根据函数的图象和性质可以判断④．本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．8.【答案】B【解析】解：∵共有10张质地均匀的纸条，能得到三块塘的纸条有3张，∴从中随机抽取一张纸条，恰好是能得到三块塘的纸条的概率是310；故选B．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn ．9.【答案】a<14【解析】解：根据题意得Δ=(2a−1)2−4a2>0，解得a<14，所以a的取值范围是a<14．故答案为：a<14．根据根的判别式的意义得到(2a−1)2−4a2>0，然后解不等式即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．10.【答案】−3或4【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．利用新定义得到[(m+2)+(m−3)]2−[(m+2)−(m−3)]2=24，整理得到(2m−1)2−49=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：根据题意得[(m+2)+(m−3)]2−[(m+2)−(m−3)]2=24，(2m−1)2−49=0，(2m−1+7)(2m−1−7)=0，2m−1+7=0或2m−1−7=0，所以m1=−3，m2=4．故答案为−3或4．11.【答案】120【解析】解：∵A(3,0)，B(0,√3)，∴OA=3，OB=√3，∴tan∠OAB=OBOA =√33，∴∠OAB=30°，由旋转可知，BC=BA，∴∠BCO=∠OAB=30°，∴∠ABC=180°−∠OAB−∠BCO=180°−30°−30°=120°．故答案为:120由A(3,0)，B(0,√3)，得出OA=3，OB=√3，利用tan∠OAB求出∠OAB=30°，得出∠BCO=30°，最后利用三角形内角和求出答案．本题考查了特殊直角三角形的性质，熟练运用特殊三角函数值是解题的关键．12.【答案】15°【解析】解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，∴∠ACB=90°−60°=30°，∵△AB′C由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到，∴AC′=AC，∠C′AB′=∠CAB=90°，∠AC′B′=30°，∴△ACC′为等腰直角三角形，∴∠AC′C=45°，∴∠CC′B′=∠AC′C−∠AC′B′=45°−30°=15°．故答案为15°．先根据三角形内角和计算出∠ACB=90°−60°=30°，由于△AB′C由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到，根据旋转的性质得到AC′=AC，∠C′AB′=∠CAB=90°，∠AC′B′=30°，则△ACC′为等腰直角三角形，得到∠AC′C=45°，然后利用∠CC′B′=∠AC′C−∠AC′B′计算即可．本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了等腰直角三角形的性质．13.【答案】35【解析】解：列表得：∴一共有20种等可能的结果，使电路形成通路的有12种情况，∴使电路形成通路的概率是：1220=35．故答案为：35．首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与使电路形成通路的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.【答案】y=−x+1，(不唯一)【解析】解：∵当x>0时，y随x的增大而减小，∴k<0，可设k=−1，∵过点(0,1)，∴设函数解析式为y=kx+b(k≠0)，将k=−1，(0,1)代入得b=1，∴y=−x+1，故答案为y=−x+1(答案不唯一，需满足k<0即可)．若函数为一次函数时，当x>0，y随x增大而减小，说明k<0，只要满足k<0的值即可，把(0,1)代入解析式可得函数解析式．本题考查函数解析式，解本题的关键是掌握一次函数的性质．15.【答案】0<m<1【解析】解：令y=x2−(m+1)x=0，解得：x=0，x′=m+1，∴抛物线与x轴的两个交点为(0,0)和(m+1,0)，∵其中一个交点的横坐标大于1且小于2，∴1<m+1<2，即0<m<1，故答案为：0<m<1．根据函数解析式求出二次函数与x轴两个交点的坐标，根据坐标大于1且小于2确定m的取值范围即可．本题主要考查二次函数与x轴的坐标问题，熟练掌握抛物线与x轴的交点知识是解题的关键．16.【答案】ℎ≥83【解析】解：点A(0,2)，将点A的坐标代入抛物线表达式得：2=a(0−6)2+ℎ，解得：a=2−ℎ36，∴抛物线的表达式为y=2−ℎ36(x−6)2+ℎ，由题意得：当x=9时，y=2−ℎ36(x−6)2+ℎ=2−ℎ36(9−6)2+ℎ>2.43，解得：ℎ>19375；当x=18时，y=2−ℎ36(x−6)2+ℎ=2−ℎ36(18−6)2+ℎ≤0，解得：ℎ≥83，故ℎ的取值范围是ℎ≥83．故答案为：ℎ≥8．3(x−6)2+ℎ，由题意得：当x=9时，y>2.43，当x=把点A坐标代入y=a(x−6)2+ℎ得y=2−ℎ3618时，y≤0，即可求解．此题主要考查了二次函数的应用题，根据题意求出两个不等式是解题关键．17.【答案】解：(1)移项，得2x2=18，所以x2=9，所以x=±3．所以x1=3，x2=−3．(2)(m−1)2+(m−1)=0，(m−1)(m−1+1)=0．∴m(m−1)=0．∴m=0或m−1=0．∴m1=0，m2=1．【解析】(1)利用直接开平方法求解比较简便；(2)利用因式分解法求解比较简便．本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法、因式分解法是解决本题的关键．18.【答案】解：(1)∵Δ=b2−4ac=(−2k)2−4(k2−1)=4k2−4k2+4=4>0，∴此一元二次方程有两个不相等的实数根．(2)将x=2代入一元二次方程x2−2kx+k2−1=0，得4−4k+k2−1=0，整理得k2−4k=−3，∴−2k2+8k+5=−2(k2−4k)+5=−2×(−3)+5=11．【解析】(1)利用根的判别式Δ=b2−4ac判断即可．(2)将x=2代入一元二次方程x2−2kx+k2−1=0，整理得k2−4k=−3，再将−2k2+8k+5变形为−2(k2−4k)+5，代入求值即可．本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，牢记：当Δ=b2−4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2−4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ= b2−4ac<0时，一元二次方程无实数根．19.【答案】(1)证明：∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，∴CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，∴∠ACD=∠BCE，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=45°，在△ACD和△BCE中，{AC=BC∠ACD=∠BCE CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，(2)解：∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠CAD=45°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，∵∠BDE=25°，∴∠BEF=65°．【解析】(1)由旋转的性质可得CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE=AD，∠CBE=∠CAD=45°，可得结论；(2)由等腰三角形的性质可求解．本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．20.【答案】(1)y=x2−4x+3=(x−2)2−1；(2)这个二次函数的图象如图：(3)−1≤y≤3【解析】解：(1)见答案；(2)见答案；(3)当0≤x≤3时，−1≤y≤3．故答案为−1≤y≤3．【分析】(1)运用配方法把一般式化为顶点式；(2)根据函数图象的画法画出二次函数图象即可；(3)运用数形结合思想解答即可．本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．21.【答案】(1)3；(2)一班有2人，分别记为A、B；四班有3人，分别记为C、D、E；画树状图如图：共有20种等可能的结果，所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的结果有14种，∴所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的概率为1420=710．【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法以及频数分布表；正确画出树状图是解题的关键．(1)先求出九年级一班(或二班或三班)的学生为20人，各班人数相同，即可得出答案；(2)画树状图，再由概率公式求解即可．【解答】解：(1)∵九年级一班的学生为：2+0+3+7+8+0=20(人)，各班人数相同，∴m =20−(0+3+7+5+2)=3，故答案为：3；(2)见答案．22.【答案】解：(1)设y =kx +b ，根据题意可得{30k +b =50040k +b =400，解得：{k =−10b =800，则y =−10x +800；(2)根据题意，得：(x −20)(−10x +800)=8000，整理，得：x 2−100x +2400=0，解得：x 1=40，x 2=60，∵销售单价最高不能超过45元/件，∴x =40，答：销售单价定为40元/件时，工厂试销该工艺品每天获得的利润为8000元．【解析】本题主要考查用待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目中的等量关系．(1)利用待定系数法求解可得；(2)根据“总利润=单件利润×销售量”可得关于x 的一元二次方程，解之即可得．23.【答案】解：(1)以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示：(2)根据题意可知，该抛物线的对称轴为x=2，此时最高，即m=1.5，故答案为：1.5．(3)根据图象可设二次函数的解析式为：ℎ=a(d−2)2+1.5，将(0,0.5)代入ℎ=a(d−2)2+1.5，得a=−14，∴抛物线的解析式为：ℎ=−14d2+d+0.5，设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：ℎ=−14d2+d+0.5+m，由题意可知，当横坐标为2+32=72时，纵坐标的值大于2+0.5=2.5，∴−14×(72)2+72+0.5+m≥2.5，解得m≥1.5625，∴水管高度至少向上调节1.5625米，∴0.5+1.5625=2.0625≈2.1(米)，∴公园应将水管露出湖面的高度(喷水头忽略不计)至少调节到2.1米才能符合要求．【解析】(1)建立坐标系，描点，用平滑的曲线连接即可；(2)观察图象即可得出结论；(3)根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．本题属于二次函数的应用，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．24.【答案】解：(1)抛物线的对称轴为直线x=−2(a−1)=a−1；−2(2)①当x=a时，y=−a2+(2a−2)a−a2+2a=−a2+2a2−2a−a2+2a=0；②当y1=y2=0时，−x2+(2a−2)x−a2+2a=0，∴x2−(2a−2)x+a2−2a=0，∴(x−a+2)(x−a)=0，∵x1<x2，∴x1=a−2；(3)①当a≥−1时，∵x1<x2，x1+x2<−4，∴x1<−2，只需讨论x1<a−1的情况．若x1<x2<a−1，∵x<a−1时，y随着x的增大而增大，∴y1<y2，符合题意；若x1<a−1<x2，∵a−1≥−2，∴2(a−1)≥−4，∵x1+x2<−4，∴x1+x2<2(a−1)．∴x1<2(a−1)−x2．∵x=2(a−1)−x2时，y1=y2，x<a−1时，y随着x的增大而增大，∴y1<y2，符合题意．②当a<−1时，令x1=a−1，x2=−2，此时x1+x2<−4，但y1>y2，不符合题意；综上所述，a的取值范围是a≥−1．，计算即可；【解析】(1)抛物线的对称轴x=−b2a(2)①将x=a代入y=−x2+(2a−2)x−a2+2a，计算即可；②若y1=y2=0，则−x2+(2a−2)x−a2+2a=0，解方程并根据x1<x2，即可得出x1的值．(3)由题意得出x1<−2，则只需讨论x1<a−1的情况，分两种情况：①当a≥−1时，又有两种情况：x1<x2<a−1，x1<a−1<x2，分别结合二次函数的性质及x1+x2<−4计算即可；②当a<−1时，令x1=a−1，x2=−2，此时x1+x2<−4，但y1>y2，不符合题意．本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数与一元二次方程的关系及一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．25.【答案】解：(1)①∵P，Q关于AN对称，∴AP=AQ，∠PAN=∠QAN=30°，∴△APQ是等边三角形，∴PQ=PA，∵点P为线段AB的中点，∴PB=PA，∴PQ=PA=PB，∴∠AQB=90°．②图形如图所示：结论：PC=√3PA．理由：∵∠AQB=90°，A，C关于BQ对称，∴AQ=QC，∴PQ=QC=AQ，∴∠CPA=60°，∴PC=tan60°，PA∴PC=√3PA．(2)①如图2中，连接BC，CQ．∵A，C关于BQ对称，∴BC=BA，CQ=AQ，∵BQ=BQ，∴△BQC≌BQA(SSS)，∴∠BCQ=∠BAQ=60°，∠BQC=∠BQA，∵∠APQ=60°，∴∠BPQ=120°，∴∠BPQ+∠BCQ=180°，∴B，P，Q，C四点共圆，∴∠CPB=∠CQB=∠AQB，∵∠APC+∠CPB=180°，∴∠PAQ+∠PDQ=180°，∴∠PDQ=120°，∴∠DQP+∠DPQ=60°，∴∠CPQ=60°−α．②如图2−1中，结论：CD=DP+DQ．理由：连接AD，在AD上取一点T，使得DT=DP．∵∠PAQ+∠PDQ=180°，∴A，P，D，Q四点共圆，∴∠PDT=∠PQA=60°，∵DT=DP，∴△PDT是等边三角形，∴PD=PT，∠DPT=∠QPA=60°，∴∠DPQ=∠TPA，∵PD=PT，PQ=PA，∴△DPQ≌△TPA(SAS)，∴DQ=TA，∴AD=DT+AT=PD+DQ，∵A，C关于BQ对称，∴DC=AD，∴CD=DP+DQ．【解析】(1)①证明PQ=PA=PB，可得结论．②图形如图所示：结论：PC=√3PA.证明∠APC=90°，可得结论．(2)①如图2中，连接BC，CQ.证明B，P，Q，C四点共圆，推出∠CPB=∠CQB=∠AQB，由∠APC+∠CPB=180°，推出∠PAQ+∠PDQ=180°，推出∠PDQ=120°，推出∠DQP+∠DPQ=60°，可得结论．②如图2−1中，结论：CD=DP+DQ.连接AD，在AD上取一点T，使得DT=DP.利用全等三角形的性质解决问题即可．本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．26.【答案】解：(1)Q1和Q3(2)如图1所示，连接OB，OC，取BO的中点M，OC的中点N，分别以M，N为圆心，OB，OC为直径作圆，由图可知，Q1，Q2为两个临界点，则x Q2=x M−Q2M=−32−52=−4，同理，x Q1=2+2√2，∴−4≤n≤2+2√2；(3)−3≤t≤1−或≤t≤3.【解析】解：(1)∵点Q1(0,8)，Q2(−4,2)，Q3(8,4)，点A(6,8)，∴OQ1=√02+82=8，OQ2=√(−4)2+22=√20，OQ3=√82+42=√64+16=√80，OA=√62+82=10，AQ1=√62+(8−8)2=6，AQ2=√(6+4)2+(8−2)2=√100+36=√136，AQ3=√(8−6)2+(8−4)2=√4+16=√20，∴OQ12+AQ12=OA2，OQ32+AQ32=OA2，OQ22+AQ22≠OA2，∴∠OQ1A=90°，∠OQ3A=90°，∴Q1和Q3是点A的直角点；故答案为：Q1和Q3；(2)见答案；(3)如图2，分别以OB，OC为直径作圆，当t+1<0，即t<−1时，正方形DEFG位于正方形①位置时，可得t=−3，正方形DEFG位于正方形②位置时，∵F2(t+1,1)，OF2 2+CF2 2=OC2，∴(t+1)2+12+(t−3)2+(1−4)2=42+42，解得：t=1−或t=1+(舍去)，∴−3≤t≤1−．当t>0时，正方形DEFG位于正方形③位置时，∵G3(t,1)，OG32+BG32=OB2，∴t2+12+(t+3)2+(1−4)2=32+42，解得：t=或t=(舍去)，正方形DEFG位于正方形④位置时，∵E4(t+1,0)，∴t+1=4，解得：t=3，∴≤t≤3，综上所述，−3≤t≤1−或≤t≤3．(1)根据勾股定理和勾股定理的逆定理证明OQ12+AQ12=OA2，OQ32+AQ32=OA2，可得∠OQ1A= 90°，∠OQ3A=90°，再根据“直角点”的定义可得结论；(2)连接OB，OC，取BO的中点M，OC的中点N，分别以M，N为圆心，OB，OC为直径作圆，由图可知，Q1，Q2为两个临界点，即可求得答案；(3)如图2，分情况讨论分析。

北京市九年级上学期期中数学试卷

北京市九年级上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）若α、β是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，那么α2+2α-β的值是（）A . －2B . 4C . 0.25D . －0.52. （2分） (2016·随州) 随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A .B .C .D .3. （2分）将抛物线y=2x2沿x轴方向向左平移1个单位后再沿y轴方向向上平移2个单位所得抛物线为（）A . y=2(x－1)2+2B . y=2(x+1)2+2C . y=2(x－1)2－2D . y=2(x＋1)2－24. （2分）如图，小慧用如图的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，下列给出的四个图形中，符合胶滚滚出的图案是（）A .B .C .D .5. （2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（）A . abc＞0B . b＞a+cC . 2a-b=0D . b2-4ac＜06. （2分）⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A . 4B . 6C . 7D . 87. （2分）根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x 轴（）A . 只有一个交点B . 有两个交点，且它们分别在y轴两侧C . 有两个交点，且它们均在y轴同侧D . 无交点8. （2分）(2019·莲湖模拟) 如图，⊙O是△ABC外接圆，∠A=40°，则∠OBC=（）A . 30°B . 40°C . 50°D . 60°9. （2分） (2017七下·蓟州期中) 下列命题中真命题的个数有（）①小朋友荡秋千可以看做是平移运动；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④不是对顶角的角不相等．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个10. （2分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=1，则下列结论中正确的是（）．A . ac>0B . b<0C . b2-4ac<0D . 2a+b=0二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2016九上·平凉期中) 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表x﹣1013y﹣1353下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的结论是________．12. （1分） (2017九上·婺源期末) 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为直线x＝－1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④若点B（，y1），C（，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2 ．其中正确结论是________．13. （1分）(2017·天津模拟) 如图，在△ABC中，AB=2，AC=4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB、CA′相交于点D，则线段BD的长为________．15. （1分）“五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为________米.16. （1分） (2017八上·陕西期末) 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于，则的值为________.三、三.解答题 (共9题；共105分)17. （15分） (2019九上·萧山开学考) 已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB,AC的长分别为关于x 的一元二次方程的两个实数根。

北京2022年九年级上学期数学期中考试免费试卷

北京2022年九年级上学期数学期中考试免费试卷选择题若3x=2y（xy≠0），则下列比例式成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．A．由得：3x=2y，故本选项比例式成立；B．由得：xy=6，故本选项比例式不成立；C．由得：2x=3y，故本选项比例式不成立；D．由得：2x=3y，故本选项比例式不成立．故选A．选择题如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（）A. 4：9B. 2：3C.D. 16：81【答案】B【解析】直接根据相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方进行解答即可.∵两个相似多边形的面积比是4:9，∴它们的相似比为2：3，∴它们的周长比为2:3，故选B.选择题已知函数y=是二次函数，则m的值为（）A. ﹣3B. ±3C. 3D. ±【答案】A【解析】根据二次函数的定义结合二次项系数非零，即可得出关于m的一元二次方程及一元一次不等式，解之即可得出m的值．∵函数y=（m﹣3）是二次函数，∴，解得：m=﹣3．故选A．选择题如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，AD=1，BD=2，那么的值为（）A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 2：3【答案】B【解析】由DE∥BC判定△ADE∽△ABC，得出比例式，进一步求得答案即可．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=．∵AD=1，DB=2，∴=，∴=．故选B．选择题已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设解析式为：，则有k=IR ，由图可知当R=2时，I=3，所以k=6，所以解析式为：，故选D.选择题反比例函数的图象经过点（，），（2，），则下列关系正确的是（）A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】试题分析：：∵反比例函数y＝的图象经过点（－1，y1），（2，y2），∴y1＝－3，y2＝，∵－3＜，∴y1＜y2．故选A．选择题已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法中正确的是（）A. a+b+c＞0B. ab＞0C. b+2a=0D. 当y＞0，﹣1＜x＜3【答案】C【解析】试题A．把x=1代入得：，由函数图象可以看出当x=1时，二次函数的值为负，即；故此选项错误；B．由二次函数的图象开口向上可得a＞0，对称轴，∴，∴，故此选项错误；C．∵抛物线与x轴两个交点的横坐标为－1，3，∴对称轴，∴，∴，故此选项正确；D．由图象可知：当时，或，故此选项错误．故选C．选择题跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为A. B. C. D.【答案】B【解析】根据抛物线的对称性即可判断出对称轴的范围.设对称轴为，由（，）和（，）可知，，由（，）和（，）可知，，∴，故选B．填空题请写出一个开口向上，且与y轴交于（0，﹣1）的二次函数的解析式______．【答案】y=x2-1,答案不唯一.【解析】试题开口向上，只要二次项系数为正数即可，经过点（0，-1），说明常数项c=-1．依题意，满足题意的抛物线解析式为y=x2-1等，答案不唯一．故本题答案为：y=x2-1等．填空题已知，则=____；【答案】【解析】∵，∴可设，∴.故答案为：.填空题把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线为_____．【答案】y=（x﹣3）2－1【解析】利用二次函数的性质得抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1），利用点平移的规律得到，点（0，1）平移后对应点的坐标为（3，－1），然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式．抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1），把（0，1）向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（3，－1），所以平移后的抛物线为y=（x﹣3）2－1．故答案为：y=（x﹣3）2－1．填空题若x=1是方程2ax2+bx=3的根，当x=2时，函数y=ax2+bx的函数值为_____．【答案】6【解析】由x=1是方程2ax2+bx=3的根，得到2a+b=3，由x=2时，得到函数y=ax2+bx=4a+2b=2（2a+b），代入即可．∵x=1是方程2ax2+bx=3的根，∴2a+b=3，∴当x=2时，函数y=ax2+bx=4a+2b=2（2a+b）=6，故答案为6．填空题为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是_____．【答案】100米【解析】先可证明△ADB∽△EDC，然后依据相似三角形的性质求解即可．∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠B=∠C=90°．又∵∠ADB=∠EDC，∴△ADB∽△EDC，∴，即．解得：AB=100米．故答案为：100米．填空题如图，C1是反比例函数y＝在第一象限内的图象，且过点A（2，1），C2与C1关于x轴对称，那么图象C2对应的函数的表达式为_____（x＞0）．【答案】y=-（x>0）【解析】把已知点的坐标代入y=可求出k值，即得到反比例函数l1的解析式，再根据l2与l1关于x轴对称，可得l2．y=过点A（2，1），得它的解析式为y=，由反比例函数及轴对称的知识，l2的解析式应为y=-．故答案为：y=-．填空题如图,林林在A时测得某树的影长为2 m,B时又测得该树的影长为8 m,若两次日照的光线互相垂直,则该树的高度为________ .【答案】4【解析】树高为AB，且∠CAD=90°，CB=2，DB=8；易得：Rt△BAC∽Rt△BDA，有；即AB2=CB•BD，代入数据可得AB2=16，AB=4；填空题如图，在直角坐标系中，有两个点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（点C与点A不重合），当点C坐标为_________时，使得由B、O、C三点组成的三角形和△AOB相似．【答案】（﹣1，0）或（1，0）或（﹣4，0）【解析】本题可从两个三角形相似入手，根据C点在x轴上得知C点纵坐标为0，讨论OC与OA对应以及OC与OB对应的情况，分别讨论即可．∵点C在x轴上，∴∠BOC=90°．两个三角形相似时，应该与∠BOA=90°对应，若OC与OA对应，则OC=OA=4，C（﹣4，0）；若OC与OB对应，则OC=1，C（﹣1，0）或（1，0）．故答案为：（﹣1，0）或（1，0）或（﹣4，0）．解答题已知二次函数．（）将化成的形式．（）与轴的交点坐标是__________，与轴的交点坐标是__________．（）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．（）不等式的解集是__________．【答案】（）（）．；．，（）见解析（）或．【解析】试题分析：（1）利用配方法将一次项和二次项组合，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）将已知方程转化为两点式方程即可得到该抛物线与x轴的交点坐标；令x=0即可得到该抛物线与y轴交点的纵坐标；（3）将抛物线上的点的坐标列出，然后在平面直角坐标系中找出这些点，连接起来即可；（4）结合图象可以直接得到答案．试题解析：（）(2)令x=0,则y=−3,即该抛物线与y轴的交点坐标是(0,−3)，又所以该抛物线与x轴的交点坐标是(3,0)(−1,0).故答案是：(0,−3);(3,0)(−1,0)；（）(4)如图所示,不等式的解集是x3.故答案是：x3.解答题若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，1）和（1，-2）两点，求此二次函数的表达式.【答案】二次函数的表达式为y=x2-4x+1.【解析】试题分析：把点（0，1）和（1，-2）分别代入二次函数的解析式，利用待定系数法进行求解即可得.试题解析：∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过（0，1）和（1，-2）两点，∴解得∴二次函数的表达式为y=x2-4x+1.解答题如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象与一次函数y=﹣x+1的图象的一个交点为A（﹣1，m）．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果一次函数y=﹣x+1的图象与x轴交于点B（n，0），请确定当x＜n时，对应的反比例函数y=的值的范围．【答案】（1）y=﹣；（2）当x＜1时，y＞0或y＜﹣2．【解析】（1）由点A在一次函数图象上利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可找出反比例函数表达式；（2）令一次函数表达式中y=0求出x值，进而可得出点B的坐标，根据点B的横坐标结合图形即可得出结论．（1）∵点A在一次函数y=﹣x+1的图象上，∴m=﹣（﹣1）+1=2，∴点A的坐标为（﹣1，2）．∵点A在反比例函数的图象上，∴k=﹣1×2=﹣2，∴反比例函数的表达式为y=﹣．（2）令y=﹣x+1=0，解得：x=1，∴点B的坐标为（1，0），∴当x=1时，=﹣2．由图象可知，当x＜1时，y＞0或y＜﹣2．解答题如图，在□ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。