2013至2017年全国一卷高考数列
全国卷数列高考题汇总附答案
数列专题高考真题(2014·I) 17. (本小题满分12分) 已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列并说明理由.(2014·II) 17.（本小题满分12分） 已知数列满足=1，.（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）证明： .(2015·I)（17）（本小题满分12分）为数列的前项和.已知，（Ⅰ）求的通项公式：（Ⅱ）设 ,求数列的前项和。
(2015·I I)（4）等比数列满足，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84(2015·I I)（16）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． (2016·I)（3）已知等差数列前9项的和为27，，则（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97(2016·I)（15）设等比数列满足的最大值为__________。
(2016·II)（17）（本题满分12分）S n 为等差数列的前项和，且=1 ，=28 记，其中表示不超过的最大整数，如.（I ）求，，；（II ）求数列的前1 000项和.(2016·III)（12）定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有 （A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个(2016·III)（17）（本小题满分12分）已知数列的前项和，其中（I ）证明是等比数列，并求其通项公式；（II ）若 ，求.(2017·I)4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8(2017·I)12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。
高中高考数学2013-2017年全国卷一命题细目表
4
解几
双曲线的离心率与 渐近线
4 解几 双曲线的离心率
5 解几 椭圆与抛物线
5
解几
椭圆的离心率与几何性 质
6 立几 16 立几 18 立几 5 解几
线面平行
求表面积
22
面面垂直、体侧面
积 双曲线中三角形面
积
8 解几 抛物线
22 10 解几 抛物线
22 16 解几 双曲线
# 15 解几 直线与圆的关系
等差等比通项与求 和
12
11 立几 三视图
15 立几 球 19 立几 垂直与体积
14 推理 推理
5
6
立几
数学文化：九章算 术
7
立几
三视图还原直观图求表 面积
22
8
立几
三视图还原成直观 图
17
11
立几 三视图，表面积
# 11 立几 点、线、面关系
22
19 立几 垂直与体积
18 立几 面面垂直与体面积
18 立几 投影、线面垂直、体积
22 12 解几
椭圆求参范围
22
21
解几
圆与圆、直线与圆 的位置关系
20
解几
轨迹方程、直线与 圆的位置关系
20 解几 直线与圆
20 解几 抛物线
20 解几
抛物线、直线
3 概率 概率计算
13 概率 概率计算
4 概率 概率计算
3 概率 概率计算
4 概率
几何概型
18 统计 平均数、茎叶图
17
18
概率统 频率直方分布图及 计 数字特征
20
导数
切线与单调性、极 值
15 函数 解不等式
专题八：数列2013-2016高考数学全国卷(文)
1、（2016全国I 卷17题）（本题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，，. （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求{}n b 的前n 项和.【答案】（I ）；（II ）考点：等差数列与等比数列 2、（2015全国I 卷7题）已知是公差为1的等差数列，则=4，=（A ） （B ） （C ）10 （D ）12解析：18141110(1)1119,82844(46),,92222n n n S na S a S a a a -=+=+==+==+=，故答案选B.3、（2015全国I 卷13题）在数列{a n }中， a 1=2,a n+1=2a n , S n 为{a n }的前n 项和。
若S n =126，则n=.答案：6 解析：由a 1=2,a n+1=2a n ,可得1172,22126,22,6n n n n n a S n ++==-===4、（2014全国I 卷17题）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。
（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【解析】：（I ）方程2560x x -+=的两根为2,3,由题意得22a =，43a =，设数列{}n a 的公差为 d ,，则422a a d -=，故d=12，从而132a =， 所以{}n a 的通项公式为：112n a n =+ …………6 分 (Ⅱ)设求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为S n ,由(Ⅰ)知1222n nn a n ++=， 则：23413451222222n n n n n S +++=+++++ 34512134512222222n n n n n S ++++=+++++ 两式相减得 341212131112311212422224422n n n n n n n S ++++++⎛⎫⎛⎫=++++-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以1422n n n S ++=-………12分 5、（2013全国I 卷6题）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）（A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-6、（2013全国I 卷17题）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-。
2013年高考真题——数列
2013年高考真题——数列0.（2013·湖南高考文科）.对于E={a 1，a 2,….a 100}的子集X={k i i i a a a ,,21},定义X 的“特征数列”为x 1,x 2…,x 100,其中121===k i i i x x x .其余项均为0，例如子集{a 2，a 3}的 “特征数列”为0，1，1，0，0，…,0（1）子集{a 1,a 3,a 5}的“特征数列”的前3项和等于________________;（2）若E 的子集P 的“特征数列”P 1，P 2，…,P 100 满足11=p ，P i +P i+1=1, 1≤i ≤99;E 的子集Q 的“特征数列” q 1，q 2，q 100 满足q 1=1，q 1+q j+1+q j+2=1，1≤j ≤98，则P∩Q 的元素个数为___________.1. （2013·新课标Ⅰ高考理科）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ,0=m S ,31=+m S ，则=m （ ） A.3 B.4C.5D. 62.（2013·安徽高考文科）设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，837=4,2S a a =-，则a 9=（ ）A.-6B.-4C.-2D.23. （2013·辽宁高考文科）下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：1:p 数列{}n a 是递增数列；2:p 数列{}n na 是递增数列；3:p 数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4:p 数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为（ ）12342314.,.,.,.,A p p B p p C p p D p p4. （2013·重庆高考文科）若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c a -= ． 5．（2013·上海高考文科）在等差数列{}n a 中，若a 1+ a 2+ a 3+ a 4=30，则a 2+ a 3= . 6. （2013·广东高考理科）在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a +=___ 7.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则n S n 的最小值为 .8.（2013·安徽高考理科））如图，互不相同的点A 1,A 2,…,A n ,…和B 1,B 2,…,B n ,…分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等。
2013---2017年全国1卷高考理科数学分类汇编---数列
2013---2017年全国1卷高考理科数学分类汇编---数列（2017全国1.理数.4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A.1B.2C.4D.8【考点】：等差数列，难度较小。
【思路】：将求和公式化简即可得到公差。
【解析】：()16616648162a a S a a +==⇒+=，451824a a a a +=+=，作差86824a a d d -==⇒=故而选C 。
（2017全国1.理数.12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A.440B.330C.220D.110【考点】：行列式（杨辉三角）求和问题，计算量较大。
【思路】：将已知的数列列举成行列式的形式，02第一行，1个数，求和为121-0212 第二行，2个数，求和为221- 021222第三行，3个数，求和为321-02122232第四行，4个数，求和为421-021*******第五行，5个数，求和为521-故而可得，第n 行，n 个数，求和为21n-，因此前n 行，一共有()12n n +个数，求和为122n n +--【解析】：根据上面的分析，我们可以类推得到，前14行，有105个数，求和为15216-，当110N =时，求和为15515216212172n -+-=-≠前20行，有210个数，求和为21222-，当220N =时，求和为211021102222122232n -+-=+-≠前25行，有225个数，求和为26226-，当330N =时，求和为2652652262122272n -+-=+-≠前29行，有435个数，求和为30231-，当440N =时，求和为30530231212-+-=，故而选A 。
2013年全国各省市高考真题——数列(带答案)
2013年全国各省市文科数学—数列1、2013大纲文T7.已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于（A ）()-10-61-3（B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3 2、2013陕西文T13. 观察下列等式: 23(11)21(21)(22)213(31)(32)(33)2135+=⨯++=⨯⨯+++=⨯⨯⨯…照此规律, 第n 个等式可为 .3、2013辽宁文T4.下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p 4、2013安徽文T7.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a = （A ）6- （B ）4- （C ）2- （D ）2 5、2013重庆文T12.若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c a -= ． 6、2013上海文T2.在等差数列{}n a 中，若a 1+ a 2+ a 3+ a 4=30，则a 2+ a 3= . 7、2013新课标文T6.设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）（A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =- 8、2013辽宁理T14.已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和.若1a ，3a 是方程26540x x S -+==的两个根，则 .9、2013北京文T11．若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = 。
2013-2017高考理数分类汇编 数列(理科)
第六章 数列第一节 等差数列与等比数列题型67 等差（等比）数列的公差（公比）1.（2013辽宁4）下面是关于公差>0d 的等差数列{}n a 的四个命题：1:p 数列{}n a 是递增数列； 2:p 数列{}n na 是递增数列； 3:p 数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； 4:p 数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为( ).A. 12p p ，B. 34p p ，C. 23p p ，D. 14p p ， 2.（2013江西理3）等比数列x ，33x +，66x +，⋅⋅⋅的第四项等于（ ）. A ．24- B ．0 C ．12 D ．243. (2013全国新课标卷理3）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =（ ）. A.13 B. 13- C. 19 D. 19- 4. (2013福建理9）已知等比数列{}n a 的公比为q ，记m n m n m n m n a a a b +-+-+-+⋅⋅⋅++=)1(2)1(1)1(，m n m n m n m n a a a b +-+-+-*⋅⋅⋅**=)1(2)1(1)1(，()*,m n ∈N ，则以下结论一定正确的是（ ）A. 数列{}n b 为等差数列，公差为m qB. 数列{}n b 为等比数列，公比为m q 2C. 数列{}n c 为等比数列，公比为2m q D. 数列{}n c 为等比数列，公比为mm q 5.（2014 北京理 5）设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的（ ）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.（2014 福建理 3）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ). A.8 B.10 C.12 D.147.（2014 辽宁理 8）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}12n a a 为递减数列，则（ ）. A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >8.（2014 重庆理 2）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ）. A. 139,,a a a 成等比数列 B. 236,,a a a 成等比数列 C. 248,,a a a 成等比数列 D. 369,,a a a 成等比数列9.（2014 安徽理 12）数列{}n a 是等差数列，若11a +，33a +，55a +构成公比为q 的等比数列，则q = .10.（2015湖南理14）设n S 为等比数列{}n a 的前项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则n a =.10.解析 因为13S ，22S ，3S 成等差数列，所以21343S S S =+， 即12112322()3a a a a a a ⨯+=+++，得323a a =，所以3q =.又因为}{n a 为等比数列，所以1113--==n n n q a a .11.（2015陕西理13）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．11.解析 当项数2n k =时，中位数11101022k k na a a a +++===， 所以121010202020155n a a =⨯-=-=； 当项数21n k =-时，中位数110102nk a a a +===， 所以121010202020155n a a =⨯-=-=. 综上所述，首项为5.12.（2015浙江理3）已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）．A.140,0a d dS >>B.140,0a d dS <<C.140,0a d dS ><D.140,0a d dS <>12.解析 因为348,,a a a 成等比数列，所以2438a a a =⋅，即()()()2111327a d a d a d +=+⋅+，所以21350a d d +=．因为0d ≠，所以135a d =-，所以21503a d d =-<．又414320246233S a d d d d ⨯=+=-+=- ， 所以24203dS d =-<．故选B ．13.（2015重庆理2）在等差数列{}n a 中，若24a =，42a =，则6a =（ ）. A. 1- B. 0 C. 1 D. 6 13.解析 由等差中项知：4262a a a =+，所以64220a a a =-=.故选B.14.（2016全国乙理3）已知等差数列前项的和为，，则（ ）. A. B. C. D. 14.C 解析 设等差数列的公差为，由，得.又，则，得.故.故选C. 15.（2016天津理5）设是首项为正数的等比数列，公比为，则”“是”对任意的正整数，“的（ ）.A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件15. C 解析 由题意得，.由，故是必要不充分条件.故选C.16.（2016江苏8）已知是等差数列，是其前项和．若，，则的值是 ．16. 解析 设公差为，则由题意可得，解得，则．17.（2016北京理12）已知为等差数列，为其前项和，若，，则__________. 17. 解析 设等差数列的公差为d ，由题设得，解得，所以. 18.(2017北京理10)若等差数列和等比数列满足，，则{}n a 92710=8a 100=a 100999897{}n a d 95279S a ==53a =108a =10555d a a =-=1d =100109089098a a d =+=+={}n a q 0q <n 2120n n a a -+<()2221212100n n n na a a q q ---+<⇔+<⇔()()2(1)10,1n q q q -+<⇔∈-∞-()(),1,0-∞-⊆-∞{}n a n S n 2123a a +=-510S =9a 20d ()2111351010a a d a d ⎧++=-⎪⎨+=⎪⎩143a d =-⎧⎨=⎩948320a =-+⨯={}n a n S n 16a =350a a +=6S =6{}n a 1116(2)(4)0aa d a d =⎧⎨+++=⎩162a d =⎧⎨=-⎩6165662S a d ⨯=+={}n a {}n b 11–1a b ==448a b ==_______. 18.解析 由，，则，由，，则，则.故. 19.（2017全国1理4）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）.A ．1B ．2C ．4D ．819.解析 ，，联立，得，即，所以.故选C.20.（2017全国2理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）. A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 20.解析 设顶层灯数为，，，解得．故选B.21.（2017全国3理14）设等比数列满足， ，则 ___________．21.解析 因为为等比数列，设公比为．由题意得，即 显然，，，得，即，代入式可得， 所以．题型68 等差、等比数列求和问题的拓展22．（2013江西理17）正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=． (1) 求数列{}n a 的通项公式n a ； (2) 令221(2)n n n b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ．证明：对于任意的n *∈Ν，都有564n T <． 22a b =11a =-48a =21132a a d =+=-+=11b =-48b =2q =-212b b q ==22212a b ==n S {}n a n 4524a a +=648S ={}n a 45113424a a a d a d +=+++=61656482S a d ⨯=+=112724 61548 a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②3⨯-①②()211524-=d 624d =4d =3811a 2=q ()7171238112-==-a S 13a ={}n a 12–1a a +=13––3a a =4a ={}n a q 121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩112111 3 a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②1q ≠10a ≠式式②①13q -=2q =-①11a =()3341128a a q ==⨯-=-23. （2013江苏19）设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，n S 是其前n 项和.记cn nS b n n +=2，n *∈Ν，其中c 为实数. （1）若0=c ，且421b b b ，，成等比数列，证明：k nk S n S 2=（,k n *∈Ν）；（2）若{}n b 是等差数列，证明：0=c .24.（2017全国1理12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）. A.B.C.D.24.解析 设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推． 设第组的项数为，则组的项数和为，由题意得，.令，得且，即出现在第13组之后，第组的和为，组总共的和为，若要使前项和为2的整数幂，则项的和应与互为相反数，即，，得的最小值为，则.故选A.25.(2017山东理19）已知是各项均为正数的等比数列，且，， （1）求数列的通项公式；（2）如图所示，在平面直角坐标系中，依次联结点，，…，得到折线，求由该折线与直线，，所围成的区域的面积.020212021222100N N >：N 440330220110n n n ()12n n +100N >()11002n n +>14n ≥*n ∈N N n 122112nn -=--n ()12122212n n n n +--=---N ()12n n N +-21k -2n --()*21214k n k n -=+∈N ，≥()2log 3k n =+n 295n k ==，()2912954402N ⨯+=+={}n x 123x x +=322x x -={}n x xOy ()111P x ，()222P x ，()11,1n n P x n +++121n PPP +0y =1x x =1n x x +=n T25.解析 （1）设数列的公比为，由已知.由题意得，所以，因为，所以，因此数列的通项公式为（2）过向轴作垂线，垂足分别为，由（1）得记梯形的面积为. 由题意，所以 ①又②，得 所以26.（2014 大纲理 10）等比数列{}n a 中，4525a a ==，，则数列{}lg n a 的前8项和等于（ ）.A ．6B ．5C ．4D ．3{}n x q 0q >1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩23520q q --=0q >12,1q x =={}n x 12.n n x -=1231,,,,n P P P P +x 1231,,,,n Q Q Q Q +111222.n n n n n x x --+-=-=11n n n n P P Q Q ++n b 12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯123n n T b b b b =++++=10132325272(21)2(21)2n n n n ---⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯012212325272(21)2(21)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯-①②121132(222)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯-(21)21.2n n n T -⨯+=题型69 等差、等比数列的性质及其应用26.（2013广东12）在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a += ． 27. （2013江苏14）在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为 .28. （2013浙江18）在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知101=a ，且3215,22,a a a +成等比数列. （1）求n a d ,；（2）若0<d ，求.||||||||321n a a a a ++++29.（2014 天津理 11）设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________.30.（2014 江苏理 20）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2nn S = ()*n ∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值； （3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得n n na b c =+()*n ∈N 成立．31.（2014 天津理 19）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{}0,1,2,,1M q =-，集合{}112,,1,2,,n n i A x x x x q x q x M i n -+∈===++.（1）当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ； （2）设,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++，112n n t b b q b q -=+++，其中,i i a b M ∈，1,2,i n =.证明：若n n a b <，则s t <.32.（2014 北京理 12）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大.33.（2015安徽理14）已知数列{}n a 是递增的等比数列，14329,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .34.解析 设等比数列的公比为()1q q >，则31123198a a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩①②，解得112a q =⎧⎨=⎩或1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去），所以122112nn n S -==--． 35.（2015北京理6）设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）. A.若120a a +>，则230a a +> B.若130a a +<，则120a a +< C.若120a a <<，则2a >D.若10a <，则()()21230a a a a -->36.解析 依题意，{}n a 是等差数列，若120a a +>，并不能推出230a a +>； 故选项A 不正确.对于B 选项，若130a a +<，并不能推出120a a +<；故选项B 不正确.对于C 选项，若120a a <<，则210d a a =->，()()22213222a a a a a d a d -=--+=()2222220a a d d --=>，因此2a >C 正确.对于D 选项，若10a <，则()()221230a a a a d--=-…，并不能推出()()21230a a a a -->.故选C.37.（2015福建理8）若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则=p q +（ ）.A ．6B ．7C ．8D ．9 37.解析 由韦达定理得a b p +=，ab q =，则0a >，0b >，当a ，b ，2-适当排序后 成等比数列时，2-必为等比中项，故4ab q ==，此时4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =． 综上所述，5a b p +==，所以9p q +=．故选D ．38.（2015广东理10）在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a +=．38.解析 因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，345a a a +++6a +7a =5525a =，即55a =，所以285210a a a +==．故应填10． 39.（2015全国Ⅱ理4）等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ）．A.21B. 42C. 63D. 84 39.解析 由题意可设等比数列的公比为q ，则由13521a a a ++=得，2411121a a q a q ++=.又因为13a =，所以4260q q +-=.解得22q =或23q =-（舍去），所以()235713521242a a a a a a q ++=++=⨯=.故选B.40.（2016全国乙理15）设等比数列满足，，则的最大值为 .40. 解析 由，得. 又，得.故.解法一：由，得，得，且.故当或时，取得最大值，即.解法二：.故当或时，{}n a 1310a a +=245a a +=12n a a a ⋅⋅⋅64()241313105a a qa qa q a a q +=+=+==12q =()222131111111102a a a a q a q a ⎡⎤⎛⎫+=+=+=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦18a =()14*11822n n n a n --⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭N 1n a (4)112n -⎛⎫⎪⎝⎭…4n …41a =3n =412n a a a ()321121231234max11164222n a a a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()211720121221211822n n n n n n nn a a a a q--+++++-⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭3n =4取得最大值.41.（2016全国甲理17）为等差数列的前项和，且，．记，其中表示不超过的最大整数，如，． （1）求，，；（2）求数列{}n b 的前1000项和．42.解析 （1）设的公差为，，所以，所以，所以．所以，，．（2）当时，；当时，； 当时，；当时，． 所以． 43.（2017江苏09）等比数列的各项均为实数，其前项的和为，已知，，则 ． 43.解析 解法一：由题意等比数列公比不为，由，因此，得． 又，得，所以． 故填．解法二（由分段和关系）：由题意，所以，即．下同解法一．12n a a a 6264=n S {}n a n 11a =728S =[]lg n n b a =[]x []0.90=[]lg 991=1b 11b 101b {}n a d 74728S a ==44a =4113a a d -==1(1)n a a n d n =+-=[][]11lg lg10b a ===[][]1111lg lg111b a ===[][]101101lg lg1012b a ===0lg 1n a <≤129n =⋅⋅⋅，，，1lg 2n a <≤101199n =⋅⋅⋅，，，2lg 3n a <≤100101999n =⋅⋅⋅，，，lg 3n a =1000n =1000121000=T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg =a a a ++⋅⋅⋅+091902900311893⨯+⨯+⨯+⨯={}n a n n S 374S =6634S =8a =1()()313616171416314a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==⎪-⎩36319S q S =+=2q =3123S a a a =++()2117174a q q a =++==114a =78132a a q ==323363374634S S S q S ⎧=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩38q =2q =44.（2017全国2理15）等差数列的前项和为，，，则． 44.解析 设首项为，公差为．由，，得，，所以，，. 题型70 判断或证明数列是等差、等比数列1.（2014 新课标1理17）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.（1）证明：2n n a a λ+-=；（2）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由.2.（2014 新课标2理17）已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+. （1）证明12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）证明：1211132n a a a ++<…+. 3.（2015湖南理21）已知0a >，函数()[)()e sin 0,ax f x x x =∈+∞. 记n x 为()f x 的从小到大的第n ()*n ∈N 个极值点.证明： （1）数列(){}nf x 是等比数列；（2）若a ，则对一切*n ∈N ，()n n x f x <恒成立.4.解析 证明 (1) '()e sin e cos e (sin cos )ax ax axf x a x x a x x =+=+e sin()ax x ϕ=+，其中a 1tan =ϕ，π02ϕ<<. {}n a n n S 33a =410S =11nk kS ==∑{}n a 1a d 3123a a d =+=414610S a d =+=11a =1d =n a n =()12n n n S +=()()112222122311nk kS n n n n ==++++=⨯⨯-+∑11111112122311n n n n ⎛⎫-+-++-+-= ⎪-+⎝⎭122111n n n ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭令 0)('=x f ，由0x …得 πx m ϕ+=，即*π,x m m ϕ=-∈N .对k ∈N ，若2π(21)πk x k ϕ<+<+，即2π(21)πk x k ϕϕ-<<+-，则0)('>x f ； 若(21)π(22)πk x k ϕ+<+<+，即(21)π(22)πk x k ϕϕ+-<<+-，则0)('<x f . 因此，在区间((1)π,π)m m ϕ--与(π,π)m m ϕ-上，)('x f 的符号总相反，于是，当*π,x m m ϕ=-∈N 时，)(x f 取得极值，所以*π,n x n n ϕ=-∈N . 此时，()1()()esin(π)(1)e a n n a n n f x n πϕπϕϕ-+-=-=-，易知0)(≠n x f ， 且 2[(1)π]π11(π)()(1)e e ()(1)en a n a n n a n n f x f x ϕϕ++-++--==--是常数， 故数列)}({n x f 是首项为(π)1()esin a f x ϕϕ-=，公比为πe a -的等比数列. (2) 由(1)知，sin ϕ=，于是对一切*n ∈N ，|)(|n n x f x <恒成立，即(π)πa n n ϕϕ--<恒成立，(π)e (π)a n a n ϕϕ-<- （*）恒成立（因为>0a ）. 设e ()(0)tg t t t=>，则2e (1)'()t t g t t -=.令()'0g t =得1=t . 当10<<t 时，0)('<t g ，所以)(t g 在)1,0(上单调递减； 当1>t 时，0)('>t g ，所以)(t g 在),1(∞+上单调递增. 从而当1=t 时，函数)(t g 取得最小值(1)e g =.因此，要使（*）式恒成立，只需(1)e g a <=，即只需a >.而当a =时，由1tan a ϕ==>π02ϕ<<知，ππ32ϕ<<.于是2ππ3ϕ-<<2n …时，3ππ2π2n ϕϕ-≥->>， 因此，对一切*n ∈N，1n ax =≠，所以()(1)e n g ax g a >==， 故（*）式也恒成立.综上所述，若a ，则对一切*n ∈N ，|)(|n n x f x <恒成立.5.（2015江苏卷20）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d ()0d ≠的等差数列．（1）证明：31242,2,2,2aaaa依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得351234,,,n n k n k n ka a a a +++依次成等比数列，并说明理由．5.解析（1）由题意11a a =，21a a d =+，312a a d =+，413a a d =+，故121122222a d d a a a +==，3211222222a d d d a a a ++==，31413222222d d a a a a d ++==，而120a ≠且20d≠，从而31242,2,2,2a a a a 时以12a为首项，2d 为公比的等比数列．（2）解法一：假设存在满足条件的1,a d ， 从而11a a =，()2221a a d =+，()33312a a d =+，()44413a a d =+，若满足题意，的须使43213624324a a a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即4321332324a a a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 即()()()()()4311132111223a d a a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+=++⎪⎩①②，化简得3223411122311264030a d a d a d d a d a d d ⎧++-=⎪⎨++=⎪⎩， 因为0d ≠，故32231112211264030a a d a d d a a d d ⎧++-=⎪⎨++=⎪⎩，不妨设1a t d =， 从而转化为32226410310t t t t t ⎧++-=⎪⎨++=⎪⎩③④，由④得231t t =--，代入③得()22316410t t t t --++-=，化简得到210t -=，即12t =， 易见12t =不满足④式，故方程组无解，即不存在满足条件的1,a d ． 解法二：假设存在满足条件的1,a d ，若需满足条件，则必有43213a a a =成立，即为了方便，不妨设1a a d =-，2a a =，3a a d =+， 易知10a a d =->，即a d >，从而()()34a a d a d =-+，即()()422222aa d a ad d =-++4322223422a a d a d a d ad d =++---，整理得334220ad ad d --=，因为0d ≠，故设a t d=，则32210t t --=，构造()3221g t t t =--，则()2'320g t t =->对()1,t ∈+∞恒成立，由()110g =-<，()2110g =>知()1,2t ∈．另外，还需有624324a a a =，即32324a a a =，即()()322a d a a d +=+，整理得2230a d ad d +-=，仿照上面的步骤即210t t +-=，解得()111,22t -=∉或()211,22t -+=∉，因此不满足题意． 综上论证：不存在满足条件的1,a d ．解法三（取对数降为线性）：假设存在满足条件的1,a d ，由1a ，2a ，3a ，4a 均为正数， 因此2341234,,,a a a a 均为正数，所以2341234ln ,ln ,ln ,ln a a a a 构成等差数列，即1234ln ,2ln ,3ln ,4ln a a a a 构成等差数列，不妨设通项为pn q +，1,2,3,4n =， 由于1234,,,a a a a 构成等差数列，且公差为d ()0d ≠， 故设其通项为n a dn a =+，1,2,3,4n =， 从而()ln n dn a pn q +=+，即()ln qdn a p n+=+对1,2,3,4n =均成立， 不妨设()()ln q f x dx a p x =+--，从而()()222'd q dx pdx qaf x dx a x dx a x ++=+=++， 因为0d ≠，0x >，0dx a +>，所以函数()'f x 至多有两个零点，即()f x 在()0,x ∈+∞上至多有三个单调区间， 从而()f x 至多会有三个零点，这与1,2,3,4x =都是()f x 的零点相矛盾， 因此不存在满足条件的1,a d ．（3）解法一（取对数降为线性）：假设存在满足条件的1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n k n k n k a a a a +++依次成等比数列，因为231234,,,n n k n k n ka a a a +++都是整数， 所以231234ln ,ln ,ln ,ln n n k n k n ka a a a +++构成等差数列，即()()()1234ln ,ln ,2ln ,3ln n a n k a n a n k a +++构成等差数列， 设其通项为sm t +，1,2,3,4m =，不妨设数列1234,,,a a a a 的通项为m a dm a =+，1,2,3,4m =，0d ≠， 所以()()1ln n m k dm a sm t +-+=+⎡⎤⎣⎦，即()ln sm tdm a km n k++=+-对1,2,3,4m =恒成立，不妨设n k c -=，令()()ln sx tg x dx a kx c+=+-+，则()()()()2's kx c k sx t dg x dx a kx c +-+=-++()2d sc kt dx a kx c -=-++ ()()()()()22d kx c kt sc dx a dx a kx c ++-+=++()()()()22222dk x dkc ktd scd x c d kt sc adx a kx c ++-++-=++，因为0d ≠，0x >，0dx a +>，0kx c +≠，所以函数()'g x 至多有两个零点，即()g x 在()0,x ∈+∞上至多有三个单调区间， 从而()g x 至多会有三个零点，这与1,2,3,4x =都是()g x 的零点相矛盾，因此不存在满足条件的1,a d ，使得231234,,,n n k n k n ka a a a +++依次成等比数列．解法二（多次求导，省考试院提供）：假设存在满足条件的1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n k n k n ka a a a +++依次成等比数列，则()()()()()()()22111322111232n k n k n n k n k n k a a d a d a d a d a d +++++⎧+=+⎪⎨++=+⎪⎩，分别在上述两个等式的两边同时除以()21n k a +及()221n k a +，并令1d t a =1,03t t ⎛⎫>-≠ ⎪⎝⎭，则()()()()()()()2232212111312n k n k n k n k n k t t t t t +++++⎧+=+⎪⎨++=+⎪⎩， 将上述两个等式两边取对数，得()()()()()()()()()()2ln 122ln 1ln 13ln 1322ln 12n k t n k t n k t n k t n k t ++=++⎧⎪⎨+++++=++⎪⎩化简得()()()()()()()()2ln 12ln 12ln 1ln 123ln 13ln 13ln 1ln 13k t t n t t k t t n t t ⎧+-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎪⎣⎦⎣⎦⎨+-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎪⎣⎦⎣⎦⎩，上述两式相除得()()()()()()()()ln 12ln 12ln 1ln 12ln 13ln 12ln 1ln 12t t t t t t t t +-++-+=+-++-+， 化简得()()()()()()ln 13ln 123ln 12ln 14ln 13ln 1t t t t t t +++++=++（*）， 令()()()()()()()4ln 13ln 1ln 13ln 123ln 12ln 1g t t t t t t t =++-++-++，则()()()()()()()()()()222213ln 13312ln 1231ln 1'11213t t t t t t g t t t t ⎡⎤++-+++++⎣⎦=+++， 令()()()()()()()22213ln 13312ln 1231ln 1ht t t t t t t =++-+++++，则()()()()()()()'613ln 13212ln 121ln 1h t t t t t t t =++-+++++⎡⎤⎣⎦.令()()()()()()()()'613ln 13212ln 121ln 1mt h t t t t t t t ==++-+++++⎡⎤⎣⎦， 则()()()()'63ln 134ln 12ln 1m t t t t =+-+++⎡⎤⎣⎦，令()()()()()'63ln 134ln 12ln 1nt m t t t t ==+-+++⎡⎤⎣⎦，则()()()()12'011213n t t t t =>+++，由()()()()00000g h m n ====，()'0n t >，知()n t ，()m t ，()h t ，()g t 在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上均单调，故()g t 只有唯一的零点0t =，即方程（*）只有唯一解0t =，故假设不成立．所以不存在满足条件的1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n k n k n ka a a a +++依次成等比数列．评注 第（1）问可以探究并证明2n an b =是等比数列．证明：因为112222n n nn a a a d a ++-==，因此2na nb =以112a b =为首项，2d 为公比的等比数列． 第（2）问解法一其实就是通过两元关系找到方程组的解，解高次方程最好的办法就是不断降幂迭代，衔接教材中有一道题就是降幂迭代思维，例：设12x -=，求4221x x x ++-的值．解析因为264x -=32-=，故()223321x x ==-+，即210x x +-=.即12x =是方程210x x +-=的一个根， 故4221xx x ++-()22121x x x =-++-22x =()21x =-22x =-)21=-3=-【1】或者也可以对方程组()()()()()4311132111223a d a a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+=++⎪⎩①②， 将②代入①得()()()4211113a d a a d a d +=++，化简即()()321113a d a a d +=+，进而探求1a 与d 的关系，由②可直接得到1a 与的关系，验证关系不一致即可证明不存在，如同解法二类似． 【2】为了简化运算，参考标准可以选为2a 与d ，如同解法二类似．但解法二也可以利用迭代，例如解法二涉及32221010t t t t ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩，转换后即()21210t t t ---=，即2210t --=，方程无解．【3】降幂迭代的方向可以不同（部分迭代和全部迭代），仅是步骤复杂程度变化，但结论不变，如处理解法一得到的式子还可以是32226410310t t t t t ⎧++-=⎪⎨++=⎪⎩③④，由④得231t t =--，代入③得()()231631410t t t t --+--+-=，即261670t t ++=，再次迭代，即()6311670t t --++=，解得12t =，同理推翻． 【4】如果直接由624324a a a =可以推证2310t t ++=，其中1a t d=．解得t =1a =或1a =，当1302a d --=>时，易知0d <，此时413302a a d -=+=<，不满足题意；当1302a -+=>时，易知0d <，此时413302a a d +=+=<，不满足题意． 可以直接推翻结论．【5】构造的时候也可以构造成1dt a =，如省考试院公布的标准答案． 解法二是通过论证判定方程组解的范围不一致（一个求解范围，一个是确定值）进行否定，具有一定的风险，因为对解的限制要求较高，若两解差的精度较小，则难以通过此法判定． 因此，往后此类试题也可以考查两方程均无法解出确定则，则我们可以通过降幂迭代或者判定解得范围解决．解法三是从构造方程研究函数零点角度解决．但数学翻译语言：“函数()'f x 至多有两个零点，则()f x 至多有三个单调区间”是不成立的，因为()f x 在无定义的地方可能会间断，将某一单调区间拆成两个，但此题有限制，因此成立．数学翻译语言：“()f x 至多有三个单调区间，则()f x 至多会有三个零点”是正确的． 【6】也有老师从函数的凹凸性给予解释．（2）假设存在参数可以是其成等比数列，那么我们可以构造出下面的对应等式关系：1a bq =，222a bq =，333a bq =，444a bq =，,0q b >，1b ≠，所以1nn a qb =()1,2,3,4n =关于n 的函数是一致凹或凸的，所以()11,a 与()44,a 的连线必不与()22,a ，()33,a 的连线重合． 这是与等差数列对应点在直线上是矛盾的，故不存在1,a d 满足要求． （3）依据题意构造等式关系如下：1n n a bq =，2'n k n k a b q ++=，233'n k n k a b q ++=，354'n kn k a b q ++=，'k b bq =， 所以11'n a qb =，12'n ka qb +=，133'n ka qb +=，154'n ka qb +=，假设存在，那么坐标上三点()2,n k a +，()33,n k a +，()45,n k a +共线， 依据函数图像凹凸性，知其不成立，因此不存在．6.（2016浙江理6）如图所示，点列分别在某锐角的两边上，且{}{},n n A B 1n n A A +=，，，，，（表示点与点不重合）.若，为的面积，则（ ）.A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列6.A 解析 设点到对面直线的距离为，则. 由题目中条件可知的长度为定值，则.那么我们需要知道的关系式，过点作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了直角梯形，那，其中为两条线的夹角，那么.由题目中条件知，则.所以，其中为定值，所以为等差数列.故选A. 7.（2016全国丙17）已知数列的前项和，.其中. （1）证明是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求. 7.解析 （1）由题意得，故，，. 由，，得，即.由，，得，所以.因此是首项为，公比为的等比数列.于是.12n n A A ++2n n A A +≠n ∈*N 112n n n n B B B B +++=2n n B B +≠n ∈*N P Q ≠P Q nn n d A B =n S 1n n n A B B +△{}n S 2{}nS {}n d 2{}n d n A n h 112n n n n+S h B B =1n n B B +1212n n S h B B =n h 1A 1h 1,n A A 11tan n n h h A A θ=+⋅θ11121(tan )2n n S h A A B B θ=+⋅112n n n n A A A A +++=()1121n A A n A A =-()1121211tan 2n S h n A A B B θ=⎡+-⋅⎤⎣⎦θn S {}n a n 1n S a =+1n n S a λ=+0λ≠{}n a 53132S =λ1111a S a λ==+1λ≠111a λ=-10a ≠1n n S a λ=+111n n S a λ++=+11n n n a a a λλ++=-()11n n a a λλ+-=10a ≠0λ≠0n a ≠11n n a a λλ+=-{}n a 11λ-1λλ-()1*111n n a n λλλ-⎛⎫=∈ ⎪--⎝⎭N •••（2）由（1）得.由，得，即，解得.8.（2017江苏19）对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．（1）证明：等差数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列． 8.解析 （1）因为是等差数列，设其公差为，则，从而当时， ，，所以，因此等差数列是“数列”． （2）由数列既是“数列”，又是“数列”，因此，当时， ① 当时， ② 由①知， ③④将③④代入②，得，其中， 所以是等差数列，设其公差为．在①中，取，则，所以， 在①中，取，则，所以， 从而数列是等差数列．评注 这是数列新定义的问题，其实类似的问题此前我们也研究过，给出仅供参考．11n n S λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭53132S =5311132λλ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭51132λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭1λ=-k {}n a 1111+n k n k n n n k a a a a a --+-++-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+2n k n a ka +=n ()n k >{}n a ()P k {}n a ()3P {}n a ()2P ()3P {}n a {}n a d ()11n a a n d =+-4n …()()1111=n k n k a a a n k d a n k d -++=+--+++-()12212n a n d a +-=1,2,3k =321123+++6n n n n n n n a a a a a a a ---+++++={}n a ()3P {}n a ()2P ()3P 3n …21124n n n n n a a a a a --+++++=4n …3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=()()321144n n n n n a a a a a n ---++=-+≥()()231142n n n n n a a a a a n +++-+=-+≥112n n n a a a -++=4n …345,,,a a a ⋅⋅⋅d '4n =235644a a a a a +++=23a a d '=-3n =124534a a a a a +++=312a a d '=-{}n a（2015南通基地密卷7第20题）设数列的各项均为正数，若对任意的，存在，使得成立，则称数列为“型”数列．（1）若数列是“型”数列，且，，求；（2）若数列既是“型”数列，又是“型”数列，证明数列是等比数列． 解析 （1）由题意得，成等比数列，且公比，所以．（2）由是“型”数列得成等比数列，设公比为， 由是“型”数列得成等比数列，设公比为；成等比数列，设公比为； 成等比数列，设公比为； 则，，， 所以，不妨令，则． 所以，，所以，综上，从而是等比数列．9.(2017北京理20)设和是两个等差数列，记，其中表示这个数中最大的数．（1）若，，求的值，并证明是等差数列； （2）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．{}n a *n ∈N *k ∈N 22n k n n k a a a ++={}n a k J {}n a 2J 28a =81a =2n a {}n a 3J 4J {}n a 2468,,,,a a a a ⋅⋅⋅138212a q a ⎛⎫== ⎪⎝⎭412212n n n a a q --⎛⎫== ⎪⎝⎭{}n a 4J 159131721,,,,,,a a a a a a ⋅⋅⋅t {}n a 3J 1471013,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅1α2581114,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅2α3691215,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅3α431311a t a α==431725a t a α==432139a t a α==123ααα==123αααα===43t α=()32113211k k k a a a α----==()2311223315111k k k k k aa a t a a ααα------====131323339111k k k k kaa a t a a ααα----====11n n a a -={}n a {}n a {}n b 1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅12,,,s x x x ⋅⋅⋅s n a n =21n b n =-123,,c c c {}n c M m n m ≥nc M n>m 12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅9.解析 （1），，. 当时，， 所以关于单调递减. 从而，将代入，满足此式，所以对任意，，于是， 得是等差数列.（2）设数列和的公差分别为，则. 所以. ①当时，取正整数，则当时，，因此. 此时，是等差数列.②当时，对任意， .此时，是等差数列.③当时，当时，有，所以 .对任意正数，取正整数，111110c b a =-=-={}{}21122max 2,2max 121,3221c b a b a =--=-⨯-⨯=-{}{}3112233max 3,3,3max 131,332,5332c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-3n …()()()()111120k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<k k b na -*k ∈N {}112211max ,,,1n n n c b a n b a n b a n b a n n =---=-=-1,2,3n =1n …1n c n =-11n n c c +-=-{}n c {}n a {}n b 12,d d ()[]()()121111211(1)1k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--()()11212111211,,n b a n n d nd d nd c b a n d nd ⎧-+-->⎪=⎨-⎪⎩当时当时…10d >21d m d >n m …12nd d >11n c b a n =-12,,,m m m c c c ++10d =1n …(){}(){}()11211211max ,01max ,0n c b a n n d b a n d a =-+-=-+--123,,,,,n c c c c 10d <21d n d >12nd d <()()()11211211121n b a n n d nd c b d n d d a d n n n-+---==-+-++…()111212||n d d a d b d -+-+--M 12112211||max ,M b d a d d d m d d ⎧⎫+-+-->⎨⎬-⎩⎭OB 3A 3B 2A 2B 1A 1故当时，. 题型71 等差数列与等比数列的交汇问题——暂无 第二节 数列的通项公式与求和 题型72 数列通项公式的求解1. (2013安徽理14） 如图，互不相同的点12n A A A ，，，，和12n B B B ，，，，分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等. 设n n OA a =.若1212a a ==，，则数列{}n a 的通项公式是 . 2．（2013湖北理18）已知等比数列{}n a 满足： 23||10a a -=，123125a a a =． (1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 是否存在正整数m ，使得12111....1ma a a ++…？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．3．（2013广东19）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，*n ∈N(1) 求2a 的值；(2) 求数列{}n a 的通项公式；(3) 证明:对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<. 4．(2013天津理19） 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列，其前n 项和为()n S n *∈Ν，且33S a +，55S a +，44S a +成等差数列．(1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 设1()n n nT S S n *-∈=Ν， 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值． 5.（2014 江苏理 7）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 ．6.（2014 广东理 19）（14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2*1234,n n S na n n n +=--∈N ，且315S =.（1）求123,,a a a 的值;n m …nc M n>（2）求数列{}n a 的通项公式.7.（2014 湖南理 20）已知数列{}n a 满足11a =，1nn n a a p +-=，*N n ∈.（1）若{}n a 为递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值； （2）若12p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式. 8.（2015安徽理17）设*n ∈N ，n x 是曲线221n y x +=+在点()1,2处的切线与x 轴交点的横坐标．（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）记2221321n n T x x x -=，求证：14n T n…. 8.解析 （1）()()2221122n n y xn x ++''=+=+，所以曲线221n y x +=+在点()1,2处的切线斜率为22n +，从而切线方程为()()2221y n x -=+-．令0y =，解得切线与x 轴的交点的横坐标1111n nx n n =-=++． （2）证法一：证明：由题设和（1）中的计算结果知：22222213211321242n n n T x x x n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．当1n =时，114T =； 当2n …时，因为()()()()222221222121121222n n n n xn n n -----⎛⎫==>= ⎪⎝⎭2212n n n n --=， 所以2112112234n n T n n-⎛⎫>⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭． 综上可得对任意的*n ∈N ，均有14n T n…． 证法二：分析 证明数列不等式时，对于不等式两端含n 且一端是积的形式()()1n i i a f n =⎛⎫<> ⎪⎝⎭∏，可采用对称的思想，使其化为两个数列积的形式，再通过比较通项 的大小，最后根据不等式“同向同正可乘”的基本性质，叠乘得以证明． 证明：设14n G n =是数列{}n b 的前n 项积，则当1n =时，114b =； 当2n …时，()141n G n =-，所以11n n n G n b G n--==．由（1）可得，当1n =时，22111124x b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；当2n …时，22212112n n n n x b n n ---⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭()()223221411044n n n n n n---=>， 所以此时221n n x b ->，所以可得222352123n n x x x b b b ->，综上可得22221352112314n n x x x x b b b b n -=…，即14n T n…． 9.（2015北京理20）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a …，且()12,18,1,2,236,18n n n nn a a a n a a +⎧==⎨->⎩…，记集合{}*n M a n =∈N .（1）若16a =，写出集合M 的所有元素；（2）若集合M 存在一个元素时3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （3）求集合M 的元素个数的最大值. 9.解析（1）6，12，24.（2）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数.由12,18236,18n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩…，可归纳证明对任意n k …，n a 是3的倍数.如果1k =，则M 的所有元素都是3的倍数；如果1k >，因为12k k a a -=或1236k k a a -=-，所以12k a -是3的倍数，或1236k a --是3的倍数，于是1k a -是3的倍数.类似可得，2k a -，…，1a 都是3的倍数.从而对任意1n …，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数. 综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则M 的所有元素都是3的倍数.（3）由136a …，*1a ∈N ，11112,18236,18n n n n n a a a a a ----⎧=⎨->⎩…，可归纳证明()362,3,n a n =….因为1a 是正整数，112112,18236,18a a a a a ⎧=⎨->⎩…，所以2a 是2的倍数.从而当3n …时，n a 是4的倍数.如果1a 是3的倍数，由（2）知对所有正整数n ，n a 是3的倍数，因此当3n …时，{}12,24,36n a ∈，这时，M 中的元素的个数不超过5.如果1a 不是3的倍数，由（2）知，对所有的正整数n ，n a 不是3的倍数，因此当3n …时，{}4,8,16,20,28,32n a ∈，这时M 的元素的个数不超过8.当11a =时，{}1,2,4,8,16,20,28,32M =有8个元素. 综上可知，集合M 的元素个数的最大值为8.10.（2016浙江理13）设数列的前项和为.若，，，则， .10. ； 解析 由，，解得.由，两式相减得，即.又，所以，，所以. 题型73 数列的求和1. (2013全国新课标卷理16）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1015025S S ==，，则n nS 的最小值为 .2.（2013辽宁14）已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和.若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根，则6S = .3.(2013重庆理12）已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若125,,a a a 成等比数列，则8S = .4．(2013湖南理15）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2n n n n S a n *=--∈Ν则 （1）3a =_____；（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.5．（2013四川理16）在等差数列{}n a 中，138a a +=，且4a 为2a 和9a 的等比中项，求数{}n a n n S 24S =121n n a S +=+*n ∈N 1a =5S =11212124S a a =+=2121a a =+1213a a ==，1121,21(2)n n n n a S a S n +-=+=+…12n n n a a a +-=13(2)n n a a a +=…213a a =13(1)n n a a n +=…13n n a -=551312113S -==-。
2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)
2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )2013 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 6 页．考试时间120 分钟．满分150 分．答题前，考生务必用0.5 毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ 卷答题卡和第Ⅱ 卷答题纸规定的位置．参考公式：样本数据x1 , x2 ,x n的标准差( x1x) 2(x2x) 2( x n x)2s n其中 x 为样本平均数球的面积公式S 4 R2第Ⅰ卷（选择题共 60 分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数12i（i是虚数单位）的虚部是1 iA ．31C．3 D ．1 B．222. 已知R是实数集，M x 21 , N y y x 1 1 ，则N C R M xA．(1,2)B．0,2 C.D．1,23.现有 10 个数，其平均数是 4 ，且这 10 个数的平方和是 200 ，那么这个数组的标准差是A．1B．2C．3D．44.设 S n为等比数列 { a n } 的前 n 项和， 8a2a50，则S4 S2A．5B．8C．8D． 155.已知函数 f ( x)sin(2x) ，若存在a(0,) ，使得 f (x a) f (x a) 恒成立，则 a6的值是A ．B ．3C ．4 D ．626. 已知 m 、 n 表示直线， , , 表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（ 1） m,n , nm, 则（ 2） , m,n,则 nm（ 3） m , m , 则 ∥（ 4） m, n, mn,则A ．（ 1）、（2）B ．（3）、（ 4）C ．（2）、（ 3）D ．（2）、（ 4）7. 已知平面上不共线的四点O, A, B, C ，若 OA 3OB2OC,则| AB |等于|BC |A ． 1B ． 2C ． 3D ． 48. 已知三角形ABC 的三边长成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为3，则这个三2角形的周长是A ． 18B ． 21C ． 24D ． 159. 函数 f ( x)lg x1的零点所在的区间是xA ． 0,1B ． 1,10C ． 10,100D ． (100, )10. 过直线 yx 上一点 P 引圆 x 2y 26x 7 0 的切线，则切线长的最小值为23210 D ． 2A ．B ．2C ．2211. 已知函数 f ( x)x 2 ax 2b . 若 a,b 都是区间 0,4 内的数，则使 f (1)0 成立的概率是3B ．13 5A ．4C ．D ．48812. 已知双曲线的标准方程为x 2 y 2 1 ，F 为其右焦点， A 1 , A 2 是实轴的两端点， 设 P 为9 16双曲线上不同于A 1 , A 2 的任意一点， 直线 A 1 P, A 2 P 与直线 xa 分别交于两点 M , N , 若FM FN0 , 则 a 的值为16B ．925 16A ．5C ．D ．995第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．请用 0.5 毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ 卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2．不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．3．第Ⅱ 卷共包括填空题和解答题两道大题．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．开始13. 如图所示的程序框图输出的结果为__________.a2, i 1 否14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________.i 10是1a1输出 aa111第14 题图i i1结束第13题图15. 地震的震级 R 与地震释放的能量 E 的关系为R 2(lg E 11.4)．2011 年 3 月 11日，日3本东海岸发生了9.0 级特大地震， 2008 年中国汶川的地震级别为8.0 级，那么 2011年地震的能量是 2008年地震能量的倍．16.给出下列命题：①已知都是正数，且a1a，则a b；1bb②已知 f ( x) 是 f ( x) 的导函数，若x R , f (x) 0 ，则 f (1) f (2)一定成立；③命题“x R ，使得x2 2 x 1 0 ”的否定是真命题；④“ x1, 且 y 1 ”是“ x y 2 ”的充要条件.其中正确命题的序号是.(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题：本大题共６小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 12 分）已知向量 a(1, cos x ) 与 b ( 3 sin x cos x, y) 共线，且有函数 yf ( x) ．2 2 2（Ⅰ）若 f ( x) 1，求 cos(22x) 的值；3（Ⅱ）在ABC 中，角 A, B, C ,的对边分别是 a, b, c ，且满足 2a cosC c 2b ，求函数f ( B) 的取值范围 .18．（本小题满分 12 分）已知等差数列a n的前 n 项和为n ，公差d 0,且3 5 1413 成等比数列．SS S50, a , a , a（Ⅰ）求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）设b n 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列b n 的前 n 项和 T n .a n19.（本小题满分 12 分）已知四棱锥A BCDE ，其中AB BC AC，2，CD面ABC ，BE 1CD BE∥CD，F 为 AD的中点.D（Ⅰ）求证：EF ∥面 ABC ；（Ⅱ）求证：面ADE面ACD ；F（ III）求四棱锥 A BCDE 的体积.EC AB20. （本小题满分 12 分）在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x之间对应的一组数据：时间 x （秒）51015203040深度 y （微米）61010131617现确定的研究方案是：先从这 6 组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好不相邻的概率；（Ⅱ）若选取的是第 2 组和第 5 组数据，根据其它 4 组数据，求得y 关于x的线性回归方程 y?4 x 139，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误1326差均不超过 2 微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．21.（本小题满分 12 分）已知函数ax b1, f ( 1)) 的切线方程为x y 3 0 .f (x)2在点 (x1（Ⅰ）求函数 f ( x) 的解析式；（Ⅱ）设 g ( x) ln x ，求证： g (x) f ( x) 在 x [1, ) 上恒成立.22. （本小题满分14 分）实轴长为 4 3 的椭圆的中心在原点，其焦点F1,, F2在x轴上.抛物线的顶点在原点O ，对称轴为 y 轴，两曲线在第一象限内相交于点 A ,且AF1AF2，△ AF1 F2的面积为3.（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点 A 作直线 l 分别与抛物线和椭圆交于B,C ,若 AC 2 AB ,求直线l的斜率k.yAF1 B o F2xC参考答案及评分标准一．选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．）BDBADBBDBC CB二．填空题（本大题共4 小题，每小题 4 分，共 16 分．）313． 214.1915. 10216. ①③3三．解答题17．（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）∵ a 与 b 共线1cos x∴xy 23 sin x cos2 2y3 sin x cosxcos 2x3sin x1(1 cos x) sin( x) 1 ⋯⋯⋯⋯ 3 分22 2226 2∴ f ( x)sin( x ) 1 1 ，即 sin(x) 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分62 2 cos(26 12x) cos2( x) 2cos 2 ( x) 1 2sin 2 ( x ) 1 33 3 62⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分（Ⅱ）已知2a cosC c2b由正弦定理得：2sin A cosC sin C2sin B 2 sin( A C )2sin A cosC sin C2sin A cosC2 cos Asin C∴ cosA1 ，∴在ABC 中 ∠ A231f (B)sin(B)26 25 ∵∠ A∴ 0 B ,B3 3 666∴1sin(B) 1, 1 f ( B) 32623∴函数f (B) 的取值范围为 (1, ]⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分10 分12 分2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )18．（本小题满分12 分）解：（Ⅰ）依题意得3a132d5a1455022d⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分( a13d ) 2a1 ( a112d )解得 a13，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分d2a n a1，即2n 1． 6 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯( Ⅱ) bn3n1， bn a n3n1(2n 1) 3n 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分a nT n353732(2n 1) 3n 13T n 3 3 5327 33(2n 1) 3n 1(2n 1) 3n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分2T n 3 2 3 2 32 2 3n 1(2n1)3n32 3(13n 1 )( 2n 1)3n132n 3n∴ T n n 3n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分19．（本小题满分12 分）解：（Ⅰ）取AC 中点 G,连结 FG、 BG，∵F,G分别是 AD,AC的中点D1∴FG∥ CD,且 FG= DC=1 ．2∵ BE∥ CD ∴ FG 与 BE 平行且相等F∴ EF∥ BG．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分EEF 面 ABC, BG面 ABC GC ∴ EF ∥面 ABC A⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ）∵△ ABC 为等边三角形∴ BG⊥ AC B 又∵ DC⊥面 ABC,BG面 ABC∴ DC⊥ BG2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )∴ BG 垂直于面 ADC 的两条相交直线AC,DC，∴ BG⊥面 ADC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∵EF∥ BG∴EF⊥面 ADC∵ EF面 ADE，∴面 ADE⊥面 ADC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分（Ⅲ）连结 EC,该四棱锥分为两个三棱锥E－ABC和 E－ ADC ．V A BCDE V E ABC V E ACD131113333．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分34321264另法：取 BC 的中点为 O ，连结AO ，则 AO BC ，又 CD平面ABC ,∴CD AO, BC CD C , ∴AO平面，∴AO为V A BCDE的高，BCDEAO 3, S BCDE(12)1 3 ,V A BCDE1333．222322420．（本小题满分12 分）解：（Ⅰ）设 6 组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A，从 6组数据中选取 2 组数据共有15 种情况：（ 1,2 ）（ 1,3 ）（1,4 ）（ 1,5 ）（ 1,6 ）（ 2,3 ）（ 2,4 ）（ 2,5 ）（ 2,6 ）（ 3,4 ）（ 3,5 ）（ 3,6 ）（ 4,5）（ 4,6）（ 5,6），其中事件A包含的基本事件有10种．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分所以P( A)102．所以选取的 2 组数据恰好不相邻的概率是2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分1533( Ⅱ )当 x10时， ?413921921910 |2;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分26261326当x30时， ?413937937916 |2;2626132612 分所以，该研究所得到的回归方程是可靠的．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21．（本小题满分12 分）解：（Ⅰ）将 x 1 代入切线方程得y2∴ f ( 1)b a2 ，化简得 b a 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分11f ( x)a( x21)(ax b) 2 x(1x 2 ) 22013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )f ( 1)2a2(b a)2b b1 ．442解得： a2, b2∴ f ( x)2x2x 2．12x2（Ⅱ）由已知得ln x在 [1,) 上恒成立x21化简得 ( x21) ln x2x2即 x2 ln x ln x 2 x20在 [1,) 上恒成立．设 h(x)x 2 ln x ln x 2x 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分6分8分h (x)2xln x x 12x1∵ x 1∴ 2x ln x0,2，即 h ( x) 0 ．10 分x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x∴ h(x) 在 [1,) 上单调递增， h( x)h(1) 0∴ g(x) f (x) 在 x[1,) 上恒成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分22．（本小题满分 14分）解（ 1）设椭圆方程为x2y21 (a b 0) ， AF1 m, AF2 n a2b2m 2n24c2由题意知m n 4 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分mn 6解得 c 29 ，∴ b 212 9 3 ．∴椭圆的方程为x 2y2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分1213∵ y A c3，∴ y A1,代入椭圆的方程得x A 2 2 ，将点 A 坐标代入得抛物线方程为x 28 y ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（ 2）设直线l的方程为y 1 k ( x 2 2 ) ， B(x1, y1 ), C (x2 , y2 )---2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )由 AC 2AB得 x22 22( x 2 2)，1化简得 2x1x222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分联立直线与抛物线的方程y1k( x 2 2)，x 28 y得 x28kx162k80∴ x1 2 28k ①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分联立直线与椭圆的方程y1k( x2 2 )x 24y 212得2)2(8 1622)32216 28 0k x k x k kk∴ x2 2 2162k 28k②⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分14k2∴ 2x1x22(8k2 2 )162k 28k2 2 2 214k 2整理得： (16k42)(112k)0 4k 2∴ k2，所以直线 l的斜率为2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分44-11-/11。
2013-2017年全国1卷高考理科数学分类汇编-不等式
2013---2017年全国1卷高考理科数学分类汇编---不等式（2017全国 1.理数.14）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为_____________ .【考点】：简单的线性规划。
【思路】：根据约束条件，画出可行域即可。
【解析】：如图所示，可行域为阴影部分，令03320:2z x y l y x =-=⇒=为初始直线，当0l 向上平移时，32z x y =-逐渐变小，故而在点()1,1F -处取到最小值-5。
（2016全国1.理数.16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 【答案】216000作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.考点：线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.（2015全国1.理数.15）若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 .【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.考点：线性规划解法（2014全国1.理数.9）不等式组124x y x y +⎧⎨-⎩……的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(),x y D ∀∈，22x y +-…；2p ：(),x y D ∃∈，22x y +…； 3p ：(),x y D ∀∈，23x y +…； 4p ：(),x y D ∃∈，21x y +-…. 其中真命题是（ ）A. 2p ，3pB. 1p ，2pC. 1p ，4pD. 1p ，3p解析 不等式组1,24x y x y +⎧⎨-⎩……表示的平面区域D 如图阴影区域所示.设2z x y =+，作出基本直线0l ：20x y +=，经平移可知直线l ：2z x y =+经过点()2,1A-时z 取得最小值0，无最大值.对于命题1p ：由于z 的最小值为0，所以(),x y D ∀∈，20x y +…恒成立，故22x y +-…恒成立，因此命题1p 为真命题；由于(),20x y Dx y ∀∈+…，故(),x y D ∃∈，22x y +…，因此命题2p 为真命题；由于2z x y =+的最小值为0，无最大值，故命题3p 和4p 错误，故选B.2y =0x-2y=4。
2013年文科全国各省市高考真题——数列(解答题带答案)
2013年全国各省市文科数学—数列1、2013大纲文T17．（本小题满分10分） 等差数列{}n a 中，71994,2,a a a == （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和2、2013新课标1文T17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-。
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和。
3、2013新课标Ⅱ文T17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列。
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+；4、2013山东文(20)(本小题满分12分)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,122+=n n a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式(Ⅱ)设数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈ ，求{}n b 的前n 项和n T5、2013北京文T20．（本小题共13分）给定数列1a ，2a ， ，n a 。
对1,2,3,,1i n =- ，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i -项1i a +，2i a +， ，n a 的最小值记为i B ，i i i d A B =-。
（1）设数列{}n a 为3，4，7，1，写出1d ，2d ，3d 的值。
（2）设1a ，2a ， ，n a （4n ≥）是公比大于1的等比数列，且10a >，证明1d ，2d ， ，1n d -是等比数列。
（3）设1d ，2d ， ，1n d -是公差大于0的等差数列，且10d >，证明1a ，2a ，，1n a -是等差数列。
6、2013重庆文T16.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）设数列{}n a 满足：11a =，13n n a a +=，n N +∈． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（Ⅱ）已知{}n b 是等差数列，n T 为前n 项和，且12b a =，3123b a a a =++，求20T ．7、2013四川文T16.(本小题满分12分)在等比数列{}n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和。
2013-2017近五年全国高考(1、2卷)真题整理(文科数学)
解析：把问题切换成离散集运算， A 1,3,5,7 ， 2,3, 4,5 B ，所以 A
B 3,5 ．故选 B．
)D
3.【2015，1】已知集合 A={x|x=3n+2, n∈N}，B={6,8,10,12,14}，则集合 A∩B 中的元素个数为( A．5 B．4 C．3 D．2 解： A∩B={8,14}，故选 D． 4.【2014，1】已知集合 M {x | 1 x 3} ， N {x | 2 x 1} ，则 M A． (2,1) B． (1,1) C． (1,3)
近五年高考真题梳理（文科数学）
一、集合与简易逻辑、推理与证明
全国 1 卷
1.【2017，1】已知集合 A x x 2 ， B x 3 2 x 0 ，则（ A． A
） D． A
3 B {x | x } 2
B． A
B
C． A
3 B {x | x } 2
BR
(1,3)
B. (1,0)
C. (0,2)
D. (2,3)
答案：A 解析：因为 A={x|-1<x<2}，B={x|0<x<3}，所以 A∪B={x|-1<x<3}，故选 A. 4.（2014· 1）已知集合 A={-2, 0, 2}，B={x|x2-x-2=0}，则 A B=（ ） A．Φ B．{2} C．{0} D． {-2} 答案：B 解析：把 M={0, 1, 2}中的数，代入等式，经检验 x = 2 满足. 所以选 B. 5.（2013· 1）已知集合 M {x | 3 x 1} ， N {3, 2, 1,0,1} ，则 M I N （ A．{-2, -2, 0, 1} B．{-3, -2, -1, 0} C．{-2, -1, 0} D．{-3, -2, -1} 答案：C 解析：因为 M {x 3 x 1} ， N {3, 2, 1,0,1} ，所以 M ）
全国卷新课标1卷数学2013-2017双向细目表
4小1大
2小
2小1大 2小1大 2小1大 1小1大
标准差
线性规划
利用函数 单调性奇 偶性特殊 点判断图 复合函数
单调性
几何概型 双曲线 线面平行
诱导公式 、和差公 式、正弦
椭圆
向量垂直
切线方程
三角恒等 变换
等比数列 与等差数
球内接三 棱锥，球
表面积
立体几何 的面面垂 直和侧面
直线与抛 物线、直 线平行、 直线垂直
抽象 概括 能力
推理 论证 能力
运算 求解 能力
数据 处理 能力
应用 意识
创新 意识
难度 要求
考
1小
2小1大
集合与一
元一次不
复数的运 算
√ √ √ √
√
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易
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易
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易
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√易
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易
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易
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中
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中
程序框图 的应用
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√
√
√中
√
内
题 型题 分
项目 容
序
值
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
6
2013年全国各地高考试题分类汇编(数列)
11ma ++≥2．（本小题满分16分）(2013江苏卷)设}{n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，n S 是其前n 项和．记cn nS b nn +=2， *N n ∈，其中c 为实数．（1）若0=c ，且421b b b ，，成等比数列，证明：k nk S n S 2=（*,N n k ∈）； （2）若}{n b 是等差数列，证明：0=c ． 证：（1）若0=c ，则d n a a n )1(-+=，2]2)1[(a d n n S n +-=，22)1(ad n b n +-=．当421b b b ，，成等比数列，4122b b b =，即：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2322d a a d a ，得：ad d 22=，又0≠d ，故a d 2=．由此：a n S n 2=，a k n a nk S nk 222)(==，a k n S n k 222=． 故：k nk S n S 2=（*,N n k ∈）．（2）cn a d n n c n nS b n n ++-=+=22222)1(， c n a d n ca d n c a d n n ++--+-++-=2222)1(22)1(22)1( cn a d n ca d n ++--+-=222)1(22)1(． (※) 若}{n b 是等差数列，则Bn An b n +=型． 观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，故有：022)1(2=++-cn ad n c，即022)1(=+-a d n c ，而(1)202n d a -+≠， 故0=c ．经检验，当0=c 时}{n b 是等差数列．3.(本题满分14分)(2013浙江.理)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1=10，且a 1，2a 2+2，5a 3成等比数列.（Ⅰ）求d ，a n ；（Ⅱ) 若d<0，求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n | .解.本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。
2013-2017年浙江高考理科数学历年真题之数列大题 教师版
2013-2017年浙江高考理科数学历年真题之数列大题（教师版）1、（2013年）在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知112310,,22,5a a a a =+且成等比数列.(Ⅰ)求d ，n a ； ⅠⅠ()120,|||||.n da a a <+++ 若求|(Ⅰ) 解;：由题意得223125(22)34014a a a d d d d ⋅=+⇒--=⇒=-=或所以 11,*46,*.n n a n n N a n n N =-∈=+∈或ⅠⅠ()设数列{}n a 的前n 项和为n S ，因为0,d <由(Ⅰ)得1,11,n da n =-=-则当11n ≤时，212121||||||.22n n a a a S n n +++==-+ 当12n ≥时，21211121||||||2110.22n n a a a S S n n +++=-+=-+ 综上即得212212111,22||||||12111012.22n n n n a a a n n n ⎧-+≤⎪⎪+++=⎨⎪-+≥⎪⎩2、（2014年）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221 .若{}na 为等比数列，且.6,2231b b a +==(Ⅰ)求n a 与n b ； ⅠⅠ()设()*∈-=N n b a c nn n11。
记数列{}n c 的前n 项和为n S . （i ）求n S ；（ii ）求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有n k S S ≥． 解析：（I ）由题意，()()*∈=N n a a a nb n 221 ，326b b-=，知3238b b a -==，又由12a =，得公比2q =（2q =-舍去），所以数列{}n a 的通项公式为2()n n a n N *=∈，所以()()1121232n n n n n a a a a ++==，故数列{}n b 的通项公式为，()1()n b n n n N *=+∈；（II ）（i ）由（I ）知，11111()21n n n n c n N a b n n *⎛⎫=-=--∈ ⎪+⎝⎭，所以11()12n nS n N n *=-∈+； （ii ）因为12340,0,0,0c c c c =>>>；当5n ≥时，()()11112n n n n c n n +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦，而()()()()()11112120222n n n n n n n n n ++++++--=>，得()()51551122n n n ++≤<，所以当5n ≥时，0n c <，综上对任意n N *∈恒有4n S S ≥，故4k =．3、（2015年）已知数列{a n }满足a 1=21, 且1n a +=n a -2n a (n ∈N*) (I)证明：1≤1+n na a ≤2 (n ∈N*) (II)设数列{2n a }的前n 项和为S n , 证明)2(21+n ≤nSn ≤)1(21+n (n ∈N*)解: (I)∵a n -a n +1=2n a ≥0 ∴a n +1≤a n ∴a n ≤a 1=21由a n =11)1(---n n a a 得a n =0)1()1)(1(1121>-----a a a a n n , 故0< a n ≤21 从而n n n n n n a a a a a a -=-=+11)1(1∈[1, 2] 即1≤1+n n a a ≤2 法二: 在0< a n ≤21基础上证a n ≤2a n +1可用分析法 要使a n ≤2a n +1, 只要a n ≤2(a n -2n a )⇔22n a ≤a n ⇔0< a n ≤21, 故a n ≤2a n +1成立 (II)∵2n a =a n -a n +1 ∴S n =a 1-a 2+a 2-a 3+…+a n -a n +1=a 1-a n +1=21-a n +1 由a n +1=a n (1-a n ) ∴n n n a a a -+=+11111∴n n n a a a -=-+11111∈[1, 2], 0<a n ≤21 故1≤n n a a 111-+≤2, n ∈N*, 累加得n ≤1111a a n -+≤2n 即n +2≤11+n a ≤2n +2即221+n ≤a n +1≤21+n ,从而)2(2+n n ≤S n =21-a n +1≤)1(2+n n因此,)2(21+n ≤nSn ≤)1(21+n (n ∈N*) (n n n a a a -=-+11111=1+n n a a , (I)(II)关联在此)法二: (用数学归纳法)∵2n a =a n -a n +1 ∴S n =a 1-a 2+a 2-a 3+…+a n -a n +1=a 1-a n +1=21-a n +1 要使)2(21+n ≤nS n ≤)1(21+n 成立, 只须且必须221+n ≤a n +1≤21+n (n ∈N*)当n =1时, a 2=41, 可得41≤a 2≤31, 结论成立假设当n =k 时, 结论成立, 即221+k ≤a k +1≤21+k , k ∈N*,则当n =k +1时, 注意到x -x 2在[0,21]上是增函数,∴a k +2=a k +1-21+k a ≤22)2(1)2(121++=+-+k k k k ≤313412+=+++k k k k且a k +2=a k +1-21+k a ≥22)1(412)22(1221++=+-+k k k k ≥421+k (事实上, ∵(2k +1)(2k +4)-4(k +1)2=2k ≥0 ∴2)1(412++k k ≥421+k ) 也就是说, 当n =k +1时, 结论也成立 因此, 原命题得证4、（2016年）设数列{}n a 满足112n n a a +-…，n *∈N ． （1）求证：()1122n n a a--…，n *∈N ；（2）若32n n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭…，n *∈N ，证明：2n a …，n *∈N ．解析：5、 (2017年) 已知数列{x n }满足x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n ∈N *）．证明：当n ∈N *时， （1）0＜x n +1＜x n ； （2）2x n +1− x n ≤x n x n +12；（3）12n-1≤x n ≤12n-2．解析：。
2011——2017高考全国卷(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ)各年分类汇编(数列)
2011………2017高考全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ）各年分类汇编（数列） （2017、Ⅰ卷）4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A ．1B ．2C ．4D ．812．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。
为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推。
求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂。
那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110（2017、Ⅱ卷）3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A 、1盏B 、3盏C 、5盏D 、9盏 15．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33=a ，104=S ，则=∑=nk kS 11. （2017、Ⅲ卷）9.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ）A . -24 B . -3 C . 3 D . 814. 设等比数列{}n a 满足12131,3a a a a +=--=-，则4_______.a = （2016、Ⅰ卷）3、已知等差数列{}n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 15、 设等比数列{}n a 满足1031=+a a ，542=+a a ，则n a a a ⋯21的最大值为． （2016、Ⅱ卷）17（本小题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a=，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；n S {}n a n 4524a a +=648S ={}n a（Ⅱ）求数列{}n b的前1000项和．（2016、Ⅲ卷）12、定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有（ ） A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个17、已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若53132S = ，求λ． （2015、Ⅰ卷）17）（本小题满分12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知20,243n n n n a a a S >+=+，（Ⅰ）求{}n a 的通项公式： （Ⅱ）设11n n n b a a += ,求数列{}n b 的前n 项和。
2013---2017近五年全国1卷高考理科数学分类汇编---集合专题
一、集合（2017全国1.理数.1）1.已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则A.{|0}A B x x =<B.A B =RC.{|1}A B x x => D.A B =∅ 【考点】：集合的简单运算，指数函数【思路】：利用指数函数的性质可以将集合B 求解出来，之后利用集合的计算求解即可。
【解析】：由310x x <⇒<，解得{}0B x x =<，故而{}{}0,1A B B x x A B A x x ⋂==<⋃==<，选A.（2016全国1.理数.1）设集合{}2430A x x x =-+<，{}230x x ->,则A B = （A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.（2014全国1.理数.1）已知集合{}2230A x x x =--…，{}22B x x =-<…，则A B = （ ） A.[]2,1-- B.[)1,2- C.[]1,1- D. [)1,2【解析】：∵A={x |2230x x --≥}={}13x x x ≤-≥或，B={}22x x -≤<， ∴A B ⋂={}21x x -≤≤，选A（2013全国1.理数. 1）已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<，则A.A ∩B=∅B.A ∪B=RC.B ⊆AD.A ⊆B【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题.【解析】A=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B.。
2013年理科全国各省市高考真题——数列(解答题带答案)
2013年全国各省市理科数学—数列1、2013大纲理T17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知232=S a ，且124,,S S S 成等比数列，求{}n a 的通项式。
求数列｛c n ｝的前n 项和R n .3、2013四川理T16.(本小题满分12分)在等差数列{}n a 中，138a a +=，且4a 为2a 和9a 的等比中项，求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和。
4、2013天津理T19. (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.5、2013浙江理T18.在公差为d 的等差数列}{n a 中，已知101=a ，且3215,22,a a a +成等比数列。
（1）求n a d ,；（2）若0<d ，求.||||||||321n a a a a ++++6、2013广东理T19．（本小题满分14分） 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< .7、2013安徽理T20.（本小题满分13分）设函数22222()1(,)23n nn x x x f x x x R n N n=-+++++∈∈ ，证明：（Ⅰ）对每个nn N ∈，存在唯一的2[,1]3n x ∈，满足()0n n f x =； （Ⅱ）对任意np N ∈，由（Ⅰ）中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<。
2013---2017年全国1卷高考理科数学分类汇编---统计
2013---2017年全国1卷高考理科数学分类汇编---统计（2015全国1.理数.19）(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i w =8118i i w w ==∑(Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋y关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(Ⅲ)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题： （ⅰ）年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(u 1 v 1)，(u 2 v 2)…….. (u n v n )，其回归线v ＝αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()(),()niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．……2分（Ⅱ）令w=先建立y关于w的线性回归方程．由于()()()81821108.8681.6i iiiiw w y ydw w==--===-∑∑，56368 6.8100.6c y dw=-=-⨯=，所以y关于w的线性回归方程为100.668y w=+，因此y关于w的线性回归方程为100.6y=+6分（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当49x=时，年销售量y的预报值100.6576.6y=+=，年利润z的预报值0.2576.64966.32z=⨯-=．……9分（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值(0.2100.620.12z x x=⨯+-=-+．13.66.82==，即46.24x=时，z取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．……12分（2013全国1.理数.3）为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题.【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.。