西北工业大学考试试题(卷)-空间解析几何

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西北工业大学试题高等数学期末考试题

诚信保证
本人知晓我校考场规则和违纪处分条例的有关规定，保证遵守考场规则，诚实做人。

本人签字：编号：
西北工业大学考试试题（卷）
2006-2007学年第二学期期中
开课学院理学院课程高等数学(下) 学时 90 考试日期 2007年5月16日考试时刻 2 小时考试形式（闭）（A ）卷一、填空题(每小题3分, 共30分) 答案写在答题纸上, 写在题后无效.
1. 220
lim _______x y xy
x y →→=+;
2. =
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=)1,1,1()
,,(d ,),,(1z y x f y x z y x f z
则设________________;
3. ______________)
(22=∂∂-=
x z
f y x f y
z 具有连续导数，则，其中设; 4. 抛物面22y x z +=在点_______________处的切平面平行于平面022=+-z y x ; 5. 曲线处的切线方程为在点)1,2,1(,222--==x m z mx y ___________________; 6. 设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点(1,-1)取得极值,则常数a =__________;
7.
=⎰
⎰-y x
x y d e d 21
3
1
2
____________;
8. 设L 为取顺时针方向的圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分
成绩
西北工业大学命题专用纸
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05西北工业大学结构力学考试试题及答案

图1-1图1-3图1-2本人知晓我校考场规则和违纪处分条例的有关规定，保证遵守考场规则，诚实做人。

本人签字：编号：西北工业大学考试试题（卷）2005 － 2006学年第 1 学期开课学院航空学院课程飞行器结构力学基础学时 50考试日期 2005-12-7 考试时间 2 小时考试形式（闭开）（B A）卷考生班级学号姓名第一题(30分) 本题有10个小题，每小题3分，答案及简要运算写在试题空白处。

试分析图1-1所示平面桁架的几何不变性，并计算其静不定次数f 。

解：几何特性为： =f试分析图1-2所示平面桁架的几何不变性，并计算其静不定次数f 。

解：几何特性为： =f试分析图1-3所示平面结构的几何不变性，并计算其静不定次数f 。

解：几何特性为： =f成绩图1-4共5页第1页西北工业大学命题专用纸试分析图1-4所示平面刚架的几何不变性，并计算其静不定次数f 。

解：几何特性为： =f利用对称性，判断图1-5所示结构的最简静不定次数，并给出<P>状态和<i>状态（不必计算相应的内力）。

解：试分析图1-6所示平面薄壁结构的静不定次数f 。

解：=f试分析图1-7所示空间薄壁结构的静不定次数f 。

解：=f图1-7图1-6图1-5M求图1-8所示平面桁架中杆3-8的轴力38N 。

解：棱柱壳体剖面为正方形，壁厚均为t ，受扭矩T M 作用，如图1-9所示。

绘出剖面剪流分布图，标出剪流大小和方向。

解：求图1-10所示二缘条开剖面棱柱壳体的弯心位置CR x ，假设壁不受正应力。

解：图1-8M Taa1 234图1-6 图1-9图1-10第二题(15分) 确定图2所示平面桁架的内力。

图2第三题(20分)刚架的几何尺寸及受载如图3所示。

试用力法确定刚架的弯矩分布并绘制弯矩分布图。

设梁的横剖面抗弯刚度均为EJ，计算中略去轴力和剪力的变形影响。

图3第四题(20分) 单闭室剖面工程梁的载荷及尺寸如图4所示，设壁不承受正应力，求剖面剪流分布并绘制剪流分布图。

西北工业大学附属中学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．三棱锥O ABC -中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示NM ，则NM 等于( )A ．1()2a b c -++ B ．1()2a b c +- C ．1()2a b c -+D ．1()2a b c --+2．如图所示，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，已知PA =BC =2，AB =4，CB ⊥AB ，则异面直线PC ，AD 所成角的余弦值为A ．30-B ．30-C ．305D ．30 3．如图，已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点G 是1B C 的中点，点,H E 分别为1,GD C D 的中点，GD ⊥平面,HE α⊂平面α，平面11AC D 与平面α相交于一条线段，则该线段的长度是（）A ．144B ．114C ．142D ．1124．两直线14127x y z -+==-和623511x y z +--==-的夹角的余弦是（）A ．2227-B ．2227C ．227D ．227-5．ABC 中，90ACB ∠=︒，22AB BC ==，将ABC 绕BC 旋转得PBC ，当直线PC 与平面PAB 所成角正弦值为6时，P 、A 两点间的距离为（）A 2B ．2C ．42D ．46．在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 的中点，记直线1B D 与直线AC 所成角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（） A ．2123,θθθθ<<B ．2123 ,θθθθ><C ．2123 ,θθθθD ．2123 ,θθθθ>>7．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A ．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭8．在正方体1111ABCD A B C D -中，在正方形11DD C C 中有一动点P ，满足1PD PD ⊥，则直线PB 与平面11DD C C 所成角中最大角的正切值为（） A ．1B 2C ．312D ．5129．已知在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且3BM MC =，点N 是棱AD 的中点，若MN x AB y AC z AD =++其中,,x y z 为实数，则x y z ++的值是（）A ．12B ．12-C ．－2D ．210．以下四个命题中正确的是（）A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B ．若{},,a b c 为空间向量的一组基底，则{},,a b b c c a +++构成空间向量的另一组基底 C ．ABC ∆为直角三角形的充要条件是0AB AC ⋅= D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底11．已知ABC ，AB AC =，D 是BC 上的点，将ABD ∆沿AD 翻折到1AB D ∆，设点A 在平面1B CD 上的射影为O ，当点D 在BC 上运动时，点O （）A ．位置保持不变B ．在一条直线上C ．在一个圆上D ．在一个椭圆上12．点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是（） A ．1[1,]4--B ．11[,]24--C ．[1,0]-D ．1[,0]2-13．设向量(),,0u a b =，(),,1c d υ=，其中22221a b c d +=+=，则下列判断错误的是（）A ．向量υ与z 轴正方向的夹角为定值（与c 、d 之值无关）B ．u υ⋅的最大值为2C ．u 与υ夹角的最大值为34π D ．ad bc -的最大值为l二、填空题14．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AD AA =，且1C D 与底面1111D C B A 所成角为60°，则直线1C D 与平面11CB D 所成的角的正弦值为______．15．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC AA ==，则11D C 与平面11A BC 所成角的正弦值为______________．16．已知正三棱锥P ABC -的侧棱长为2020，过其底面中心O 作动平面α交线段PC 于点S ，交,PA PB 的延长线于,M N 两点，则111PS PM PN++的取值范围为__________17．一个结晶体的形状为平行六面体，以同一个顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角均为60︒，则以这个顶点为端点的晶体的对角线长为_________.18．已知空间三点(0,A 2，3)，(2,B 5，2)，(2,C -3，6)，则以,AB AC 为邻边的平行四边形的面积为______．19．设平面α的法向量为(1,2,2)-，平面β的法向量为(2,,4)λ，若α∥β，则λ的值为______20．ABC ∆的三个顶点分别是(1,1,2)A -，(5,6,2)B -，(1,3,1)C -，则AC 边上的高BD 长为__________．21．在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,0,2)A -，(0,1,1)B -，点,C D 分别在x 轴，y 轴上，且AD BC ⊥，那么CD →的最小值是______.22．已知()()1,1,0,1,0,2a b ==-，且ka b +与2a b -的夹角为钝角，则实数k 的取值范围为_____．23．如图，在棱长为2的正方体中，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上，若P 为动点，Q 为动点，则PQ 的最小值为_____.24．已知空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，2OM MA =，点N 在BC 上，3BN NC =，则MN 等于__________．（用a ，b ，c 表示）25．已知(2,1,3),(1,4,2),(3,5,)a b c λ=-=-=-，若,,a b c 三向量共面，则实数λ=_____.26．如图，在正四棱锥V ABCD -中，二面角V BC D --为60°，E 为BC 的中点.已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为60°，则VFVA=_____________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用向量的平行四边形法则、三角形法则可得：1()2NM NA NB =+，1()2AN AO AC =+，1()2BN BO BC =+，AC OC OA =-，BC OC OB =-，代入化简即可得出．【详解】解：1()2NM NA NB =+，1()2AN AO AC =+，1()2BN BO BC =+，AC OC OA =-，BC OC OB =-，∴1111()2222MN AN BN OA OB OC =+=--+111222a b c =--+， ∴111222NM a b c =+-，故选：B ．【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．2．D解析：D 【解析】因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥BC ．过点A 作AE ∥CB ，又CB ⊥AB ，则AP ，AB ，AE 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AE ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，P (0，0，2)，B (4，0，0)，C (4，−2，0)．因为D 为PB 的中点，所以D (2，0，1)．故CP =(−4，2，2)，AD =(2，0，1)．所以cos 〈AD ，CP 〉=AD CP AD CP⋅⋅==−.设异面直线PC ，AD 所成的角为θ，则cos θ=|cos 〈AD ，CP 〉|=.3．C解析：C 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得到E 是两个平面的一个交点，分析另一个交点的位置，可能在11A C 或1A D 上，设其交点坐标用向量计算可得答案. 【详解】如图，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，()0,0,0D ，()12,0,2A ，()()1,2,10,1,1G E ，，()1,2,1DG =，因为HE ⊂平面α，所以E ∈平面α，因为E ∈1C D ，所以E ∈平面11AC D ，所以E 是两个平面的一个交点，如果另一个交点在11A C 上，设为M 且设(),2,2M a a -，02a ≤≤所以(),1,1EM a a =-，因为EM ⊂平面α，DG ⊥平面α，所以0EM DG ⋅=，即2210a a +-+=，解得3a =不合题意，所以另一个交点在1A D 上，不妨设为F ，所以平面11AC D ⋂平面EF α=，即求EF 的长度，且(),0,F b b ，02b ≤≤，因为EF ⊂平面α，DG ⊥平面α，所以0EF DG ⋅=，(),1,1EF b b =--，即210b b -+-=，解得32b =，所以33,0,22F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2231141222EF ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查了用向量解决线面垂直、线线垂直的问题，关键点是建立空间直角坐标系和分析两个平面的交线的位置，考查了学生的空间想象力、推理能力和计算能力.4．B解析：B 【分析】写出直线的方向向量，求出方向向量的夹角的余弦值，其绝对值为两直线夹角余弦．【详解】由题意两直线的方向向量分别为(1,2,7)m =-，(5,1,1)n =-，2cos ,2714492511m n m n m n⋅<>===-++⋅++∵两直线夹角为锐角或直角，∴22．故选：B ．本题考查求空间两直线的夹角，求出两直线的方向向量，由方向向量的夹角与两直线夹角相等或互补求解．5．B解析：B 【分析】取PA 的中点D ，连接CD ，因为CA =CP ，则CD ⊥PA ，连接BD ，过C 作CE ⊥BD ，E 为垂足，由题意得到∠CPE 就是直线PC 与平面PAB 所成角，利用直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为66，PC ＝3，求出CE ，再求出CD ，可得PD ，即可得出结论．【详解】取PA 的中点D ，连接CD ，因为CA =CP ，则CD ⊥PA ，连接BD ，过C 作CE ⊥BD ，E 为垂足，由已知得BC ⊥CA ， BC ⊥CP ， CA CP C =，则BC ⊥平面PAC ，得到BC ⊥PA ，CD BC C ⋂=，可得PA ⊥平面BCD ，又PA ⊂平面PAC ∴平面BCD ⊥平面PBA ，平面BCD 平面PBA =BD ，由两个平面互相垂直的性质可知：CE ⊥平面PBA ， ∴∠CPE 就是直线PC 与平面PAB 所成角， ∵直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为6，PC ＝AC =3， ∴CE ＝62PC =，设CD ＝x ，则BD ＝21x +，21121122x x ∴⋅⋅=⋅+⋅， ∴x ＝1，∵PC ＝3，∴PD ＝2，∴PA ＝2PD ＝22．故选：B ．【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力和分析推理能力以及计算能力，属于中档题．6．A【分析】以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，分别求出直线的方向向量以及平面的法向量，通过向量法即可求得各个角度的余弦值，再结合余弦函数的单调性即可判断. 【详解】由题可知，直三棱柱111ABC A B C -的底面为锐角三角形，D 是棱BC 的中点，设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则1(0,0,2)A ，1(3,1,2)B ，(0,2,0)C ，33,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,0,0)A ， (0,2,0)AC =，131,22B D ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，11(3,1,0)A B =，因为直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，10,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，111||cos ||||25θ⋅∴==⋅B D AC B D AC ，因为直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，20,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，平面111A B C 的法向量()0,0,1n =，121||sin ||5∣θ⋅∴==⋅B D n B D n ，222cos 155θ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，设平面11A B D 的法向量(,,)m a b c =，则11130312022m A B a b m B D a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取a =33,3,2m ⎛⎫=--⎪⎝⎭，因为二面角111C A B D --的平面角为3θ，由图可知，其为锐角，33||2cos ||57m n m n θ⋅∴===⋅∣，231cos cos cos θθθ>>，由于cos y θ=在区间(0,)π上单调递减，故231θθθ<<，则2123,θθθθ<<. 故选：A . 【点睛】本题考查利用向量法研究空间中的线面角以及二面角，属综合基础题.7．C解析：C 【分析】设(,,)Q x y z ，根据点Q 在直线OP 上，求得(,,2)Q λλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB ⋅取得最小值，即可求解. 【详解】设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=，即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+，根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q .故选：C. 【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.8．D解析：D 【分析】根据题意,可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点.由BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角可知当PC 取得最小值时,PB 与平面11DD C C 所成的角最大.而连接圆心E 与C 时,与半圆的交点为P ,此时PC 取得最小值.设出正方体的棱长,即可求得PC ,进而求得tan BPC ∠. 【详解】正方体1111ABCD A B C D -中,正方形11DD C C 内的点P 满足1PD PD ⊥ 可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点,设圆心为E,如下图所示:当直线PB 与平面11DD C C 所成最大角时,点P 位于圆心E 与C 点连线上此时PC 取得最小值.则BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角设正方体的边长为2,则51PC EC EP =-=,2BC = 所以51tan 51BC BPC PC +∠===-故选:D 【点睛】本题考查了空间中动点的轨迹问题,直线与平面夹角的求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.9．B解析：B 【分析】利用向量运算得到131442MN AB AC AD =--+得到答案. 【详解】()3113142442MN MB BA AN AB AC AB AD AB AC AD =++=--+=--+ 故12x y z ++=- 故选：B 【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力.10．B解析：B 【分析】根据空间向量基底的定义：任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，逐一分析A ，B ，D 可判断这三个结论的正误；根据向量垂直的充要条件，及直角三角形的几何特征，可判断C 的真假. 【详解】对A ，空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示，A 中忽略三个基底不共面的限制，故A 错误；对B ，若{},,a b c 为空间向量的一组基底，则,,a b c 三个向量互不共面；则,,a b b c c a +++，也互不共面，故{,,}a b b c c a +++可又构成空间向量的一组基底，故B 正确；对C ，0AB AC ABC ⋅=⇔∆的A ∠为直角ABC ⇒∆为直角三角形，但ABC ∆为直角三角形时，A ∠可能为锐角，此时0AB AC ⋅>，故C 错误；对D ，任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，三个向量不共线时可能共面，故D 错误；故选：B ．【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查空间向量的基底概念、向量垂直的充要条件，考查对概念的理解与应用，属基础题．11．C解析：C 【分析】为计算简便，不妨设ABC 为等腰直角三角形，建立空间直角坐标系，取BC 中点M ，利用AO OC ⊥，AO OM ⊥即可得到轨迹方程. 【详解】为计算简便，不妨设ABC 为等腰直角三角形，令2BC =，且令190B DC ∠=︒，以BC 中点M 为空间原点，MA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设(02)BD a a =<<，12B A BA =(,,)O x y z ，则()010C ，，，(001A ，，），(000M ，，），()0,1,0D a -，所以(AO x =，y ，1z -)，(),1,CO x y z =-，(),,MO x y z =，因为AO OC ⊥，所以()()2110AO CO x y y z z ⋅=+-+-=，同理AO OM ⊥，所以()2210AO MO x y z z ⋅=++-=，两式相减得0y =，代入得()222111()24x z z x z +-=+-=，故选：C ．【点睛】本题考查点的轨迹方程，考查空间向量位置关系等，建立空间直角坐标系是关键，属于中档题．12．D解析：D 【分析】以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以1DD 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点P 的坐标为(,,)x y z ，其中01,01,1x y z ≤≤≤≤=，用坐标运算计算出1PA PC ⋅，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围．【详解】以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以1DD 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则点1(1,0,0),(0,1,1)A C 设点P 的坐标为(,,)x y z ，由题意可得 01,01,1x y z ≤≤≤≤=，1(1,,1),(,1,0)PA x y PC x y ∴=---=--22221111(1)(1)0222PA PC x x y y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫∴⋅=----+=-+-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二次函数的性质可得，当12x y ==时1PA PC ⋅取得最小值为12-；当0x =或1，且0y =或1时，1PA PC ⋅取得最大值为0，则1PA PC ⋅的取值范围是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选D ．【点睛】本题考查空间向量的数量积运算，解题方法量建立空间直角坐标系，引入坐标后，把向量的数量积用坐标表示出来，然后利用函数的性质求得最大值和最小值．13．B解析：B 【分析】在A 中，取z 轴的正方向向量(0,0,t)t =，求出n 与t 的夹角即可判断命题正确；在B 中，计算u v ac bd ⋅=+，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；在C 中，利用数量积求出u 与v 的夹角的最大值，即可判断命题正确；在D 中，利用不等式求出最大值即可判断命题正确．【详解】解：由向量(,,0)u a b =，(,,1)v c d =，其中22221a b c d +=+=，知：在A 中，设z 轴正方向的方向向量(0,0,),0z t t =>，向量v 与z 轴正方向的夹角的余弦值：2cos 452||||z v a z v t c α︒⋅===∴=⋅⋅，∴向量v 与z 轴正方向的夹角为定值45°（与c ，d 之值无关），故A 正确；在B 中，222222221222a cb d a bcd u v ac bd +++++⋅=+≤+==，且仅当a ＝c ，b ＝d 时取等号，因此u v ⋅的最大值为1，故B 错误；在C 中，由B 可得：||1,11u v u v ⋅≤∴-≤⋅≤，2cos ,||||2u v u v u v a ⋅∴<>==≥=-⋅+， ∴u 与v 的夹角的最大值为34π，故C 正确；在D 中，222222221222a dbc a b cd ad bc +++++-≤+==，∴ad −bc 的最大值为1．故D 正确．故选：B ．【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题14．【分析】先得出以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系利用向量法可求出【详解】长方体中平面面即为与底面所成角以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系则则设平面的一个法向量为则即令则即设直线与平面所成的角为则解析：155【分析】先得出1160DC D ∠=，以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法可求出. 【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面面1111D C B A ，11DC D ∴∠即为1C D 与底面1111D C B A 所成角，1160DC D ∴∠=， 111AB C D ==，13DD ∴=，以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则()(()((1110,0,0,3,0,1,0,3,1,3,3D C C B D ，则()((1110,1,3,3,0,3,0,3DC CB CD ===-，设平面11CB D 的一个法向量为(),,n x y z =，则1100n CB n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即33030x z y z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，则3,1y z ==-，即()1,3,1n =--，设直线1C D 与平面11CB D 所成的角为θ，则1112315sin cos ,525DC n DC n DC nθ⋅-=<>===⨯⋅. 15. 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.15．【详解】如图建立空间直角坐标系则所以设平面的一个法向量为由题可得令可得设与平面所成角为则故直线与平面所成角的正弦值为故答案为：解析：13【详解】如图，建立空间直角坐标系Dxyz -，则1(0,0,1)D ，1(0,2,1)C ，1(1,0,1)A ，(1,2,0)B ，所以11(0,2,0)DC =，设平面11A BC 的一个法向量为(,,)n x y z =，由题可得111(,,)(1,2,0)20(,,)(0,2,1)20n AC x y z x y n A B x y z y z ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩，令1y =，可得(2,1,2)n =，设11D C 与平面11A BC 所成角为θ，则11111121sin cos ,233D C n D C n D C nθ⋅====⨯⋅，故直线11D C 与平面11A BC 所成角的正弦值为13．故答案为：13．16．【分析】设则根据空间四点共面的条件又四点共面则即得出答案【详解】设则由为底面中心又因为四点共面所以且所以即即故答案为：【点睛】本题考查空间四点共面的条件的应用属于中档题解析：32020⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】设,,PM x PN y PS z ===,则111333zPAPB PCPO PM PN PS x y =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅,根据空间四点共面的条件，又,,,S M N O 四点共面，则202020202020+1333zx y +=，即得出答案. 【详解】设,,PM x PN y PS z ===. 则PA PA PM x=⋅,PB PB PN y=⋅,PC PC PS z=⋅.由O 为底面ABC 中心, ()2132PO PA AO PA AB AC =+=+⨯+ ()()133PA PB PCPA PB PA PC PA ++⎡⎤=+-+-=⎣⎦ 111333z PA PB PCPM PN PS x y =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ 333zPA PB PC PM PN PS x y=⋅+⋅+⋅ 又因为,,,S M N O 四点共面,所以+1333zPA PB PC xy+=且2020PA PB PC ===.所以202020202020+1333z x y +=，即1113+z 2020x y += 即11132020PS PM PN ++=. 故答案为：32020⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查空间四点共面的条件的应用，属于中档题.17．【分析】设根据平行四边形法则对角线再结合条件利用向量的模即可求出对角线长【详解】解：设因为所以所以对角线故答案为:【点睛】本题考查的知识点是点线面间的距离计算考查空间两点之间的距离运算根据已知条件构解析：66【分析】设AB a =，AD b =，1AA c =，根据平行四边形法则，对角线1AC a b c =++，再结合条件，利用向量的模即可求出对角线长．【详解】解：设AB a =，AD b =，1AA c =，因为11AC AB AD AA a b c =++=++，所以()222221222363636666cos60216AC a b ca b c a b a c b c =++=+++++=+++⨯⨯⨯︒=，所以对角线166AC =．故答案为:66．【点睛】本题考查的知识点是点、线、面间的距离计算，考查空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键．18．【解析】分析：利用终点坐标减去起点坐标求得对应的向量的坐标进而求得向量的模以及向量的夹角的余弦值应用平方关系求得正弦值由此可以求得以为邻边的平行四边形的面积详解：由题意可得所以所以所以以为邻边的平行解析：5【解析】分析：利用终点坐标减去起点坐标，求得对应的向量的坐标，进而求得向量的模以及向量的夹角的余弦值，应用平方关系求得正弦值，由此可以求得以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积.详解：由题意可得(2,3,1),(2,1,3)AB AC =-=-，49114,41914AB AC =++==++=，所以2)31(1)32cos 71414BAC -+⨯+-⨯∠==-⨯，所以35sin BAC ∠=，所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为3514145S ==65 点睛：该题考查的是有关空间向量的坐标以及夹角余弦公式，在解题的过程中，需要对相关公式非常熟悉，再者就是要明确平行四边形的面积公式，以及借助于向量的数量积可以求得对应角的余弦值.19．-4【解析】分析：设平面的法向量平面的法向量由∥可得因此存在实数使得再利用向量共线定理的坐标运算即可求得结果详解：设平面的法向量平面的法向量因为∥所以所以存在实数使得所以有解得故答案为点睛：该题考查解析：-4 【解析】分析：设平面α的法向量m ，平面β的法向量n ，由α∥β，可得m n ∥，因此存在实数k ，使得m kn =，再利用向量共线定理的坐标运算即可求得结果. 详解：设平面α的法向量(1,2,2)m =-，平面β的法向量(2,,4)n λ=，因为α∥β，所以m n ∥，所以存在实数k ，使得m kn =，所以有12224k k k λ=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得4λ=-，故答案为4-.点睛：该题考查的是向量平行的条件，以及向量平行时坐标所满足的关系，在解题的过程中，首先需要利用两个平面平行的条件，得到其法向量共线的结论，之后根据坐标的关系求得结果.20．5【解析】分析：设则的坐标利用求得即可得到即可求解的长度详解：设则所以因为所以解得所以所以点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减或数乘运算(2)解析：5 【解析】分析：设AD AC λ=，则,OD BD 的坐标，利用BD AC ⊥，求得45λ=-，即可得到 912(4,,)55BD =-，即可求解BD 的长度. 详解：设AD λAC =，则()()()OD OA λAC 1,1,2λ0,4,31,14λ,23λ=+=-+-=-+-，所以()BD OD OB 4,54λ,3λ=-=-+-，因为BD AC ⊥，所以()BD AC 0454λ9λ0⋅=+++=，解得4λ5=-，所以912BD 4,,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以(22912BD 5⎫⎛⎫=-=.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.21．【分析】设0则由知所以由此能求出其最小值【详解】设001-即（当时取最小值）故答案为：【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法要根据已知【分析】设(C x ，0，0)，(0D ，y ，0)，则(1,,2)AD y →=-，(,1,1)BC x →=-，由20AD BC x y →→=--=，知2x y =+．所以||CD →【详解】设(C x ，0，0)，(0D ，y ，0)， (1A -，0，2)，(0B ，1，-1)，∴(1,,2)AD y →=-，(,1,1)BC x →=-，AD BC ⊥，∴20AD BC x y →→=--=，即2x y =+． (,,0)CD x y →=-，∴||CD →=2．（当1y =-时取最小值）【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解.22．【分析】利用去掉反向的情形即得【详解】由所以解得若与反向则则所以所以与的夹角为钝角则且综上的范围是故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系根据向量夹角求参数时可由是两个非零解析：()7,22,5⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭【分析】利用()()20a b ka b <+⋅-去掉反向的情形即得．【详解】由()()1,1,0,1,0,2a b ==-，()1,,2ka b k k +=-，()23,22a b -=-，所以()()()231240a a k k b b k -=+⋅⨯-+-<，解得75k < 若ka b +与2a b -反向，则()20a ka b b λλ-<+=，则21k λλ=⎧⎨=-⎩，所以2k =- 所以ka b +与2a b -的夹角为钝角则75k <且2k ≠- 综上k 的范围是()7,22,5⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭．故答案为：()7,22,5⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭【点睛】思路点睛：本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系，根据向量夹角求参数时，可由,a b 是两个非零向量，则,a b 夹角是锐角时，0a b ⋅>，,a b 夹角是钝角时，0a b ⋅<，反之要注意,a b 可能同向也可能反向．属于中档题.23．【分析】建立空间直角坐标系利用三点共线设出点P(λλ2﹣λ)0≤λ≤2以及Q(02μ)0≤μ≤2根据两点间的距离公式以及配方法即可求解【详解】建立如图所示空间直角坐标系设P(λλ2﹣λ)Q(02μ)解析：2【分析】建立空间直角坐标系，利用,,A B P 三点共线设出点P (λ，λ，2﹣λ)，0≤λ≤2，以及Q (0，2，μ)，0≤μ≤2，根据两点间的距离公式，以及配方法，即可求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设P (λ，λ，2﹣λ)，Q (0，2，μ)(0≤λ≤2且0≤μ≤2)，可得PQ =22222(2)(2)2(1)(2)2λλλμλλμ+-+--=-+--+，∵2(λ﹣1)2≥0，(2﹣λ﹣μ)2≥0，∴2(λ﹣1)2+(2﹣λ﹣μ)2+2≥2，当且仅当λ﹣1=2﹣λ﹣μ=0时，等号成立，此时λ=μ=1，∴当且仅当P ､Q 分别为AB ､CD 的中点时，PQ 的最小值为2.故答案为:2.【点睛】本题考查空间向量法求两点间的距离，将动点用坐标表示是解题的关键，考查配方法求最值，属于中档题.24．【分析】利用向量加法和减法的三角形法则以及向量线性运算的运算律即可用表示【详解】因为所以【点睛】主要考查向量的线性运算法则以及运算律属于基础题解析：213344a b c -++ 【分析】利用向量加法和减法的三角形法则，以及向量线性运算的运算律即可用,,a b c 表示MN【详解】因为213344MN a b c =-++ 所以//AC BC【点睛】主要考查向量的线性运算法则以及运算律，属于基础题.25．【分析】由题意结合向量基本定理得到方程组求解方程组即可确定的值【详解】由题意可知存在实数满足：据此可得方程组：求解方程组可得：故答案为【点睛】本题主要考查空间向量基本定理方程的数学思想等知识意在考查解析：1-【分析】由题意结合向量基本定理得到方程组，求解方程组即可确定λ的值.【详解】由题意可知，存在实数,m n 满足：c ma nb =+，据此可得方程组：325432m n m n m n λ-=-⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，求解方程组可得：111m n λ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩. 故答案为1-．【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.26．11【分析】由题意建立空间直角坐标系由二面角的定义得出从而写出的坐标由向量共线的性质设利用向量的加法得出由异面直线与所成角利用向量法得出的值从而得出的值【详解】取的中点G 与的交点为以O 为坐标原点分别解析：11【分析】由题意建立空间直角坐标系，由二面角的定义得出60OEV ∠=︒，从而写出,,,V E B A 的坐标，由向量共线的性质设(1)VF VA λλ=≠，利用向量的加法得出BF ，由异面直线BF 与VE 所成角，利用向量法得出λ的值，从而得出VF VA 的值. 【详解】取AB 的中点G ，AC 与DB 的交点为O ，以O 为坐标原点，分别以,,OG OE OV 为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB =因为二面角V BC D --为60°，所以60OEV ∠=︒则()()()()0,0,3,0,1,0,1,1,0,1,1,0V E B A -()()()1,1,3,1,1,3,0,1,3VA VB VE =--=-=-.设(1)VF VA λλ=≠，则()1,1,33BF VF VB λλλ=-=----+从而22||cos ,cos 60||||24(1)(1)BF VE BF VE BF VE λλ⋅===︒-++ 整理得210110λλ+-=，解得1λ=(舍)，11λ=-故11VF VA=. 故答案为：11【点睛】本题主要考查了已知面面角，线线角求参数，属于中档题.。

2024届陕西省西安市西北工业大学高一数学第二学期期末经典试题含解析

2024届陕西省西安市西北工业大学高一数学第二学期期末经典试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．ABC ∆中，下列结论：①若A B >，则sin sin A B >，②sin()sin A B C +=，③cos()cos +=A B C ，④若ABC ∆是锐角三角形，则sin cos A B >，其中正确的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（）A ．43B ．53C ．158D ．23．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为（） A ．8B ．9C ．10D ．74．[]x 表示不超过x 的最大整数，设函数2()ln(1)h x x x =++，则函数()[()][()]f x h x h x =+-的值域为（）A ．{0}B ．{2,0}-C ．{1,0,1}-D ．{1,0}-5．已知等差数列中，，.若公差为某一自然数,则n 的所有可能取值为( ) A ．3,23,69B ．4,24,70C ．4,23,70D ．3,24,706．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知M ，N 分别为棱AB ，1AB 的中点，A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．设复数12z i =+（是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（） A ．()3,4-B ．()5,4C ．()3,2-D ．()3,48．若直线l 过两点(1,2)A ，(3,6)B ，则l 的斜率为（） A ．12B ．12-C ．2D ．2-9．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =（）A ．3πB ．23π C ．34πD ．56π10．已知259a =°，sin15cos15b =+°°，2231cos31c =°°，则实数a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a c b <<a c b <<B ．a b c <<C ．a c b ≥≥D ．a b c ≥≥二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

西北工业大学(已有10试题)

西北工业大学航空学院德语（一外）2007理论力学1997，2000，2002——2004，2007腐蚀防护2007自动控制原理1995——1996，2000——2007（2001——2006有答案）信号与系统2002——2007（注：2006年试卷共4页，缺第1页）材料科学基础2003——2010（2010为回忆版）（2005——2009有答案）飞机总体设计原理2003——2004，2007材料力学2003——2004，2007数字电子技术2003，2007数字电路2004空气动力学2003——2004，2007空中交通管理基础2003——2004，2007结构有限元分析基础2007流体力学2003——2004，2007机械振动基础2007自动化检测技术2007航天学院日语(一外)2007德语（一外）2007自动控制原理1995——1996，2000——2007（2001——2006有答案）航天器与导弹控制原理2007飞行器飞行力学2007气体动力学2007飞行器结构力学2007火箭发动机原理2007数字电子技术2003，2007数字电路2004材料力学2003——2004，2007航海学院水声学原理2003——2004，2007噪声与振动控制2007理论力学1997，2000，2002——2004，2007流体力学2003——2004，2007自动控制原理1995——1996，2000——2007（2001——2006有答案）模拟电子技术2003——2004，2007数字信号处理2002——2004，2007通信原理2001——2004，2007（2002有答案）微弱信号检测技术2007信号检测与估计2003——2004，2007动力装置原理2007微机原理及应用2000——2004，2007（2000——2003有答案）[说明：2003年试卷名称为“微型计算机原理”]信号与系统2002——2007（注：2006年试卷共4页，缺第1页）塑性成形原理2003——2004材料学院材料科学基础2003——2010（2010为回忆版）（2005——2009有答案）陶瓷工艺原理2007材料力学2003——2004，2007塑性成形原理2003——2004机电学院设计理论2007工业设计2007电工技术与电子技术2007工业设计基础2003——2004电子技术基础1996——1997，2004，2007设施规划与设计2007汽车理论基础2007数控机床2007机械设计2003——2004，2007机械原理1996，2001，2003——2004微机原理及应用2000——2004，2007（2000——2003有答案）[说明：2003年试卷名称为“微型计算机原理”]电路1998——1999电路基础2001——2004，2007数字电子技术2003，2007数字电路2004电力电子技术2003——2004，2007机械加工工艺学2003——2004，2007计算机辅助管理2002——2004，2007计算机辅助制造2003——2004，2007C语言2003C语言程序设计2004塑性成形原理2003——2004力学与土木建筑学院建筑历史2007建筑设计原理2007道面工程2007理论力学1997，2000，2002——2004，2007材料力学2003——2004，2007结构力学（土建）2003——2004，2007钢筋混凝土结构2007道面工程2007动力与能源学院德语（一外）2007自动控制原理1995——1996，2000——2007（2001——2006有答案）传热学2003——2004，2007工程流体力学2003——2004，2007工程热力学2002——2004，2007叶轮机械原理2007信号与系统2002——2007（注：2006年试卷共4页，缺第1页）电子技术基础1996——1997，2004，2007电工技术与电子技术2007数字电子技术2003，2007数字电路2004模拟电子技术2003——2004，2007电子信息学院电路1998——1999电路基础2001——2004，2007模拟电子技术2003——2004，2007信号与系统2002——2007（注：2006年试卷共4页，缺第1页）通信原理2001——2004，2007（2002有答案）数字电子技术2003，2007数字电路2004自动控制原理1995——1996，2000——2007（2001——2006有答案）数字信号处理2002——2004，2007电磁场与电磁波2002——2004，2007武器运筹学2007航空火力控制原理2007随机信号分析2003——2004教育学专业基础综合（全国统考试卷）2007——2008自动化学院德语（一外）2007自动控制原理1995——1996，2000——2007（2001——2006有答案）电路1998——1999电路基础2001——2004，2007计算机网络2007概率论2004，2007概率论与数理统计2003系统工程概论2007交通工程导论2007惯性导航原理2007传感器原理2007电机学2007电力电子技术2003——2004，2007电子技术基础1996——1997，2004，2007机电控制元件与系统2007微机原理及应用2000——2004，2007（2000——2003有答案）[说明：2003年试卷名称为“微型计算机原理”]C语言2003C语言程序设计2004医学图像处理2007计算机学院计算机专业基础2004，2007计算机组成与系统结构2001——2003计算方法2003——2004计算机综合技术2004编译原理2000——2002操作系统1999——2002数据结构1998——1999，2002软件综合技术2004离散数学2000——2002理学院高等代数2007数学分析2002，2007数学分析与高等代数2003——2004量子力学2002——2004，2007电动力学2007光学2003——2004，2007有机化学2004，2007数学（理学）2007普通物理2007数字电子技术2003，2007数字电路2004物理化学（凝聚态物理、材料物理与化学、材料学、材料加工工程、应用化学专业）2007物理化学（物理化学、药剂学专业）2007高分子化学2007高分子物理2007环境化学2007管理学院运筹学2003——2007（2005有答案）（注：2005年试卷共6页，缺第6页；2005年答案共6页，缺第6页）管理经济学2003——2004，2007管理学2002——2004，2007计算机辅助管理2002——2004，2007计算机辅助制造2003——2004，2007人文与经法学院俄语(一外)2007日语(一外)2007法语(一外) 2007英语水平测试2002——2004，2007英语写作知识与技能2002英语语言学测试2003英语语言学基础2002英语综合知识测试2004，2007英语(一外)2007德语水平考试（含语法、词汇、阅读、翻译及写作）2007综合知识考试(含德国国情, 语言学与德语文学基础知识)2007 法学综合2007马克思主义发展史2007政治学原理2007，2010（2010为回忆版）中国近现代史2007中国特色社会主义理论与实践2007经济法2007教育学专业基础综合（全国统考试卷）2007——2008现代西方经济学2007艺术史2007艺术专业综合理论2007行政管理学2007，2010（2010为回忆版）软件学院计算机组成与系统结构2001——2003计算方法2003——2004计算机专业基础2004，2007计算机综合技术（含操作系统、计算机组成原理）2004，2007 编译原理2000——2002操作系统1999——2002数据结构1998——1999，2002软件综合技术（含数据结构、C++程序设计）2004，2007离散数学2000——2002生命科学院生物综合2007分子生物学2007生物医学工程综合2007有机化学2004，2007物理化学（凝聚态物理、材料物理与化学、材料学、材料加工工程、应用化学专业）2007物理化学（物理化学、药剂学专业）2007。

西北工业大学高等数学(上)期中学考试试精彩试题及问题详解

编号：2006 －2007 学年第一学期期中考试开课学院理学院课程高等数学（上）学时96考试日期 2006/11/17 时间 2 小时考试形式（闭）（A）卷2. 命题教师和审题教师姓名应在试卷存档时填写。

共 6 页第 1 页西北工业大学命题专用纸二、选择题（2384'=⨯'）1、若1)11(lim 2=---++∞→b ax x x x ，则（） A. 1,1=-=b a ； B. 0,1==b a ；C. 0,1=-=b a ；D. 1,1==b a 。

2、设)1(||)(22--=x x xx x f ，则以下结论中错误的是（）A. 1,0,1==-=x x x 为)(x f 的间断点；B. 1-=x 为无穷间断点；C. 0=x 为可去间断点；D. 1=x 为第一类间断点。

3、设⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0),(0,cos 1)(2x x g x x xxx f ，其中)(x g 是有界函数，则)(x f 在0=x 处（）A. 极限不存在； B. 极限存在，但不连续；C. 连续，但不可导；D. 可导。

4、曲线0=+-y x e e xy 在0=x 处的切线方程为（） A. x y =；B. 1+=x y ；C. 12+=x y ；D. 1-=x y 。

5、设)(x f 在0=x 的某领域内可导，且0)0(='f ，又21)(lim 0='→x x f x ，则（）A. )0(f 一定是)(x f 的极大值；B. )0(f 一定是)(x f 的极小值；C. )0(f 一定不是)(x f 的极值；D. 不能确定)0(f 是否为)(x f 的极值。

6、有一容器如图所示，假定以匀速向容器内注水，)(t h 为容器内水平面高度随时间变化的规律，则能正确反映)(t h '变化状态的曲线是（）A. B. C. D.7、设函数13)(3--=x x x f ，则方程0)(=x f （）A. 在)1,0(内有实根；B. 在)0,1(-内没有实根；C. 在),0(+∞内有两个不同的实根；D. 在)0,(-∞内有两个不同的实根。

西北工业大学高考数学试卷

一、选择题（每题5分，共40分）1. 下列各数中，有理数是（）A. $\sqrt{2}$B. $\pi$C. $-3\sqrt{3}$D. $\frac{2}{3}$2. 已知函数$f(x) = 2x^2 - 3x + 1$，则$f(2)$的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 73. 下列命题中，正确的是（）A. $a^2 = b^2$，则$a = b$B. 若$a > b$，则$a^2 > b^2$C. 若$a > b$，则$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$D. 若$a > b$，则$a + c > b + c$4. 下列不等式中，正确的是（）A. $2x + 3 > 5x - 1$B. $3x - 2 < 2x + 1$C. $x^2 - 4x + 3 > 0$D. $x^2 - 3x + 2 < 0$5. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2^n - 1$，则$a_6 + a_7 + a_8 = $（）A. 127B. 255C. 511D. 10236. 函数$y = \frac{1}{x}$的图象上，与直线$y = 2x - 1$平行的直线方程为（）A. $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$B. $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$C. $y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$D. $y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$7. 已知三角形的三边长分别为$3$，$4$，$5$，则这个三角形的面积是（）A. $6$B. $8$C. $10$D. $12$8. 若复数$z = a + bi$（其中$a$，$b$是实数），且$|z| = 1$，则$z$在复平面上的对应点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限9. 下列各式中，能表示圆的方程是（）A. $x^2 + y^2 = 4$B. $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0$C. $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0$D. $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 4 = 0$10. 若直线$y = kx + 1$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则$k$的值为（）A. $0$B. $1$C. $-1$D. 不存在二、填空题（每题5分，共20分）11. 若$a$，$b$，$c$是等差数列，且$a + b + c = 12$，则$b = $______。

西北工业大学附属中学必修二第二章《解析几何初步》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A ．323B ．643C ．16D ．322．在坐标平面内，与点()1,2A 距离为1，且与点()3,1B 距离为2的直线共有（） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．已知半径为2的圆经过点()5,12，则其圆心到原点的距离的最小值为（） A ．9 B ．11C ．13D ．154．如果平面直角坐标系内的两点(1,1),(,)A a a B a a -+关于直线l 对称，那么直线l 的方程为（） A ．10x y -+=B ．10x y ++=C ．10x y --=D ．10x y +-=5．圆224x y +=被直线32y x =+截得的劣弧所对的圆心角的大小为（）A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 6．若直线l 过点(1,1)--和(2,5)，且点(1009,)b 在直线l 上，则b 的值为（） A ．2019B ．2018C ．2017D ．20167．在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是梭BC ，CD 的中点，则1A F 与1C E 所成角的余弦值为（） A 5B 25C 5D 258．在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．在“鳖臑”ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==，若该四面体的体积为43，则该四面体外接球的表面积为（）A ．8πB ．12πC ．14πD ．16π9．已知三棱锥A BCD -的各棱长都相等，E 为BC 中点，则异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为（） A ．13 B ．36C ．33 D ．11610．已知球O 的半径为5，球面上有,,A B C 三点，满足214,27AB AC BC ===，则三棱锥O ABC -的体积为（） A ．77B ．142C ．714D ．14711．在三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ，且22AB AC ==，30C ∠=，2SA =，则该三棱锥外接球的表面积为（） A ．20πB ．12πC ．8πD ．4π12．如图，长、宽、高分别为2、1、1的长方体木块上有一只小虫从顶点A 出发沿着长方体的外表面爬到顶点B ，则它爬行的最短路程是（）A 10B 5C ．22D ．3二、填空题13．当点P 在圆221x y +=上运动时，它与定点()30Q -，的连线PQ 的中点的轨迹方程是________________.14．已知圆M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点．过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为______．15．在极坐标系中,过点22,4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线,则切线的极坐标方程是__________.16．数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点(1,0),(0,3),B C AB AC -=，则△ABC 的欧拉线方程为____________________17．已知直线l 斜率的取值范围是()3,1-，则l 的倾斜角的取值范围是______． 18．直线y kx =与函数2143y x x -=-+-的图象有且仅有一个交点，则k 的最小值是______.19．圆锥底面半径为1，母线长为4，轴截面为PAB ，如图，从A 点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A 点，则最短绳长为_________．20．已知直三棱柱111ABC A B C -，14AB BC AA ===，42AC =P 是上底面111 A B C 所在平面内一动点，若三棱锥P ABC -的外接球表面积恰为41π，则此时点P 构成的图形面积为________．21．已知正三棱锥A BCD -的四个顶点在球O 的球面上，2AB =，且π2BAC ∠=，则球O 的表面积为_______．22．在三棱锥-P ABC 中，侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形，若3PA =则侧棱PA 与底面ABC 所成的角的大小是___________．23．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 上的任意一点，有下面三个命题：①//PB 平面11CC D D ；②1BD AC ⊥；③1BD PC ⊥．上述命题中正确命题的序号为__________（写出所有正确命题的序号）．24．棱长为a 的正四面体的外接球的表面积为______．三、解答题25．正四棱台两底面边长分别为3和9，若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45，求棱台的侧面积．26．如图，四棱锥P ABCD -中，2PC PD DC AD ===，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，O ､E 分别是棱CD ､PA 的中点.（1）求证：//OE 平面PBC ；（2）求二面角PAB C 的大小.27．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，底面ABC 是直角三角形，4PA AB BC ===，O 是棱AC 的中点，G 是AOB ∆的重心，D 是PA 的中点.（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求证：DG//平面PBC ；28．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为23.（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是2113244323⨯⨯⨯=，选A. 2．B解析：B 【详解】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0，所以11d ==，22d ==，解之得k ＝0或43k =-，所以所求直线方程为y ＝3或4x ＋3y －5＝0，所以符合题意的直线有两条，选B.3．B解析：B 【分析】设圆心坐标为(),a b ，则圆的圆心轨迹方程()()225124a b -+-=，再利用点与点的距离公式求解【详解】半径为2的圆经过点()5,12，设圆心坐标为(),a b ，则其方程为()()224x a y b -+-= ，由其过点()5,12，则()()225124a b -+-=，即()()225124a b -+-=可得该圆的圆心轨迹是以()5,12为圆心，2为半径的圆，故圆心到原点的距离的最小值为()5,12到原点的距离减半径，213211=-=，故选：B ．【点睛】关键点睛：本题考查轨迹问题和点与圆上的点的距离的最值，解答本题的关键是由题意得到圆心的轨迹方程()()225124a b -+-=，再根据点与圆上的点的距离的最值的求法得出答案，属于中档题.4．A解析：A 【分析】由求得1AB k =-，线段AB 的中点为2121(,)22a a -+，进而得到1l k ，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，两点(1,1),(,)A a a B a a -+，可得111AB a ak a a+-==---，线段AB 的中点为2121(,)22a a -+，因为两点(1,1),(,)A a a B a a -+关于直线l 对称，则1l k ，所以直线方程为212122a a y x +--=-，整理得10x y -+=．故选：A ．【点睛】本题主要考查了中点公式，点关于直线的对称问题，以及直线方程的求解及应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题.5．D解析：D 【分析】根据题意，设直线2y =+与圆224x y +=的的交点为A 、B ，AB 的中点为点M ，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，即可得AOM ∠的大小，进而分析可得答案．【详解】解：根据题意，设直线2y =+与圆224x y +=的的交点为A 、B ，AB 的中点为点M ，圆224x y +=的圆心为(0,0)，半径2r ，圆心到直线2y =+的距离1d ==，又由60AOM ∠=︒，则120AOB ∠=︒；故圆224x y +=被直线2y =+截得的劣弧所对的圆心角的大小为120︒；故选：D ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意利用圆心到直线的距离分析，属于基础题．6．A解析：A 【分析】根据直线l 过点(1,1)--和(2,5)，由直线的两点式方程化简得21y x =+，然后将点(1009,)b 代入方程21y x =+，求解得出b 的值.【详解】解：因为直线l 过点(1,1)--和(2,5)，由直线的两点式方程，得直线l 的方程为(1)(1)5(1)2(1)y x ----=----，化简得：21y x =+，由于点(1009,)b 在直线l 上，将点(1009,)b 代入方程21y x =+，得210091b =⨯+，解得：2019b =. 故选：A. 【点睛】本题考查直线的两点式方程的求法和应用，属于基础题.7．D解析：D 【分析】延长DA 至G ，使AG CE =，可证11//A G C E ，得1GA F ∠是异面直线1A F 与1C E 所成的角（或其补角）．在1AGF △中，由余弦定理可得结论．【详解】延长DA 至G ，使AG CE =，连接1,GE GA ,GF ，11,AC A C ，又//AG CE 所以AGEC 是平行四边形，//,GE AC GE AC =，又正方体中1111//,AC AC AC AC =，所以1111//,AC DE AC DE =，所以11AC EG 是平行四边形，则11//A G C E ，所以1GA F ∠是异面直线1A F 与1C E 所成的角（或其补角）．设正方体棱长为2，在正方体中易得15AG =，10GF =，22222112(21)3A F AA AF =+=++=，1AGF △中，2221111125cos 2253AG A F GF GA F AG A F +-∠===⋅⨯⨯．故选：D ．【点睛】方法点睛：本题考查空间向量法求异面直线所成的角，求异面直线所成角的方法：（1）定义法：根据定义作出异面直线所成的角并证明，然后解三角形得结论；（2）建立空间直角坐标系，由两异面直线的方向向量的夹角得异面直线所成的角．8．B解析：B 【分析】由题意计算2,AB BD CD ===分析该几何体可以扩充为长方体，所以只用求长方体的外接球即可. 【详解】因为AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==， 43A BCD V -=，而114323A BCD V BD CD AB -=⨯⨯⨯=,所以2AB BD CD ===，所以该几何体可以扩充为正方体方体，所以只用求正方体的外接球即可.设外接球的半径为R ，则23R = 所以外接球的表面积为2412S R ππ== 故选：B 【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．9．B解析：B 【分析】取AC 中点F ，连接,EF DF ，证明FED ∠是异面直线AB 与DE 所成角（或其补角），然后在三角形中求得其余弦值即可得．【详解】取AC 中点F ，连接,EF DF ，∵E 是BC 中点，∴//EF AB ，12EF AB =，则FED ∠是异面直线AB 与DE 所成角（或其补角），设1AB =，则12EF =，3DE DF ==，∴在等腰三角形DEF中，113 24cos63EFFEDDE∠===．所以异面直线AB与DE所成角的余弦值为3．故选：B．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．10．A解析：A【分析】利用正弦定理求出ABC的外接圆半径，则可求出三棱锥的高，进而求出三棱锥体积.【详解】设ABC的外接圆的圆心为D，半径为r，在ABC中，72cos4214ABC∠==，14sin4ABC∴∠=，由正弦定理可得28sinACrABC==∠，即4r=，则22543OD-=，11114214273773324O ABC ABCV S OD-∴=⨯⨯=⨯⨯⨯=.故选：A.【点睛】本题考查球内三棱锥的相关计算，解题的关键是利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径，利用勾股关系求出高.11．A解析：A【分析】利用正弦定理求出ABC 的外接圆直径2r ，利用公式()2222R r SA =+可计算得出三棱锥S ABC -的外接球直径，然后利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设圆柱的底面半径为r ，母线长为h ，圆柱的外接球半径为R ，取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点O 到圆柱底面圆上每个点的距离都等于R ，则O 为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得()()22222r h R +=.本题中，SA ⊥平面ABC ，设ABC 的外接圆为圆1O ，可将三棱锥S ABC -内接于圆柱12O O ，如下图所示：设ABC 的外接圆直径为2r ，2SA h ==，由正弦定理可得24sin AB r C==∠，，该三棱锥的外接球直径为2R ，则()222225R r h =+=.因此，三棱锥S ABC -的外接球的表面积为()224220R R πππ=⨯=.故选：A.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 12．C解析：C【分析】小虫有两种爬法，一种是从点A 沿着侧面ACGF 和上底面BHFG 爬行，另一种是从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，将两种情况下的两个面延展为一个面，计算出平面图形的对角线长，比较大小后可得结果.【详解】由于长方体ACDE FGBH -的长、宽、高分别为2、1、1，则小虫从点A 沿着侧面AEHF 和上底面FHBG 爬行，以及小虫从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，这两条线路的最短路程相等.①若小虫从点A 沿着侧面ACGF 和上底面BHFG 爬行，将侧面ACGF 和上底面BHFG 延展为一个平面，如下图所示：则2AC BC ==，最短路程为2222AB AC BC =+=； ②若小虫从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，将面ACGF 和侧面BDCG 延展为一个平面，如下图所示：则3AD AC CD =+=，1BD =，最短路程为2210AB AD BD =+.因为2210<，因此，小虫爬行的最短路程为22故选：C.【点睛】方法点睛：（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；（2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解.二、填空题13．【分析】设动点的中点由中点坐标公式可解出将点点的坐标代入已知圆的方程化简可得到所求中点的轨迹方程【详解】解：设动点的中点由题意可得：解得：又点在圆上运动化简得：即为所求的轨迹方程故答案为：【点睛】方解析：()22+3124y x +=【分析】设动点00(,)P x y ，P ，Q 的中点(,)M x y ，由中点坐标公式可解出0x ，0y ，将点P 点的坐标代入已知圆的方程，化简可得到所求中点的轨迹方程.【详解】解：设动点00(,)P x y ，P ，Q 的中点(,)M x y ，由题意可得：032x x -+=，02y y =，解得：023x x =+，02y y =，又点P 在圆221x y +=上运动， 22(23)(2)1x y ∴++=，化简得：()22+3124y x +=，即为所求的轨迹方程.故答案为：()22+3124y x +=.【点睛】方法点睛：求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设(,)P x y 是轨迹上的任意一点；②寻找动点(,)P x y 所满足的条件；③用坐标(,)x y 表示条件，列出方程0(),f x y =；④化简方程0(),f x y =为最简形式；⑤证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证.14．【分析】根据题意只需转化为圆上的点到直线的距离最小即转化为圆心到直线的距离再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹联立两个圆的方程可得所求的直线的方程【详解】⊙M ：则圆心为半径如图连接四边形的面积为要使最解析：210x y ++=【分析】根据题意，只需转化为圆上的点到直线的距离最小，即转化为圆心到直线的距离，再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹，联立两个圆的方程可得所求的直线的方程.【详解】⊙M ：222220x y x y +---=，则()()22114x y -+-=，圆心为()1,1，半径2r ，如图，连接,,AM BM ，四边形PAMB 的面积为1||||2PM AB ⋅，要使||||PM AB ⋅最小，则需四边形PAMB 的面积最小，即只需PAM △的面积最小，因为2,AM =，所以只需 ||PA 最小，又PA ==，所以只需直线2++20x y =上的动点P 到点M 的距离最小，其最小值是圆心到直线l 的距离d ==，此时,PM l ⊥所以直线PM 的方程为210.x y -+=由220210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩，所以(1,0)P -，所以点,,,P A M B 四点共圆，所以以点PM 为直径的圆的方程为2221()22x y +-=，即2210x y y +--=，联立两个圆的方程2222222010x y x y x y y ⎧+---=⎨+--=⎩得直线AB 的方程为：210x y ++=. 故答案为：210x y ++=.【点睛】在解决直线与圆的位置关系的相关问题时，注意运用圆的几何性质，求解圆的弦长，切线长等问题.15．【解析】试题分析：点的直角坐标为将圆的方程化为直角坐标方程为化为标准式得圆心坐标为半径长为而点在圆上圆心与点之间连线平行于轴故所求的切线方程为其极坐标方程为考点：1极坐标与直角坐标之间的转化；2圆的解析：cos 2ρθ=.【解析】试题分析：点22,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为()2,2，将圆4sin ρθ=的方程化为直角坐标方程为224x y y +=，化为标准式得()2224x y +-=，圆心坐标为()0,2，半径长为2，而点()2,2在圆()2224x y +-=上，圆心与点2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭之间连线平行于x 轴，故所求的切线方程为2x =，其极坐标方程为cos 2ρθ=.考点：1.极坐标与直角坐标之间的转化；2.圆的切线方程16．【分析】因为所以外心重心垂心都位于线段的垂直平分线上由两直线垂直斜率的关系以及两点的斜率公式得出线段的垂直平分线的斜率由中点坐标公式得出的中点坐标最后由点斜式写出方程【详解】因为所以外心重心垂心都位解析：340x y +-=【分析】因为AB AC =，所以ABC ∆外心，重心，垂心都位于线段BC 的垂直平分线上，由两直线垂直斜率的关系以及两点的斜率公式得出线段BC 的垂直平分线的斜率，由中点坐标公式得出BC 的中点坐标，最后由点斜式写出方程.【详解】因为AB AC =，所以ABC ∆外心，重心，垂心都位于线段BC 的垂直平分线上设线段BC 的垂直平分线的斜率为k ，则1BC k k ⨯=- 3030(1)BC k -==--，13k ∴=- 又因为BC 的中点坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 所以△ABC 的欧拉线方程为311()232y x -=-+，即340x y +-= 故答案为：340x y +-= 【点睛】本题主要考查了两直线垂直斜率间的关系，中点坐标公式，点斜式写出直线方程，属于中档题.17．【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解【详解】因为直线斜率的取值范围是所以当斜率时倾斜角当斜率时倾斜角综上倾斜角的取值范围故答案为：【点睛】本题主要考查了直线的斜率直线的倾斜角属于中档题解析：20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】因为直线l 斜率的取值范围是()，所以当斜率01k ≤<时，倾斜角04πα≤<，当斜率0k <<时，倾斜角23παπ<<，综上倾斜角的取值范围20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，故答案为：20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了直线的斜率，直线的倾斜角，属于中档题. 18．【分析】利用函数图象考虑当直线与半圆仅有一个交点时的取值范围同时注意讨论直线与圆相切的情况由此求解出的范围并确定出最小值【详解】如图函数的图象是圆的上半部分结合图象可知当时即时直线与半圆只有一个交点解析：1 3【分析】利用函数图象，考虑当直线与半圆2143y x x-=-+-仅有一个交点时k的取值范围，同时注意讨论直线与圆相切的情况，由此求解出k的范围并确定出最小值.【详解】如图函数2431y x x=-+-+的图象是圆()()22211x y-+-=的上半部分，结合图象可知，当10103010k--≤<--时，即113k≤<时，直线与半圆只有一个交点；当直线与半圆相切时也仅有一个交点，则22111kk-=+，解得43k=或0k=（舍），综上可知：min13k=.故答案为：13.【点睛】本题考查根据直线与圆的交点个数求解参数值，着重考查了数形结合思想的运用，难度一般.解答此题时要注意函数2143y x x-=-+-表示的是半圆，不是一个整圆. 19．【分析】把圆锥侧面展开为一个平面图形利用平面上两点间线段最短可得【详解】由题意所以圆锥侧面展开图中心角为如图则故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥侧面上的最短距离问题空间几何体表面上两点间的最解析：2【分析】把圆锥侧面展开为一个平面图形，利用平面上两点间线段最短可得．【详解】由题意1,4r l==，所以圆锥侧面展开图中心角为2142ππθ⨯==，如图，2APAπ'∠=，则2442AA'==故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥侧面上的最短距离问题，空间几何体表面上两点间的最短距离问题的解决方法常常是把几何体的表面展开摊平为一个平面图形，利用平面上两点间线段最短求解．20．【分析】确定是等腰直角三角形的中点分别是和的外心由直棱柱性质得的外接球的球心在上外接球面与平面的交线是圆是以为圆心为半径的圆求出可得面积【详解】则设分别是的中点则分别是和的外心由直三棱柱的性质得平面解析：4π【分析】确定ABC 是等腰直角三角形，11,AC A C 的中点1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心，由直棱柱性质得P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆，求出1PD 可得面积．【详解】4,2AB BC AC ===90ABC ∠=︒，设1,D D 分别是11,AC A C 的中点，则1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心，由直三棱柱的性质得1DD ⊥平面ABC ，所以P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，如图，24()41OA ππ=，则412OP OA ==，2222413(22)22OD OA AD ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以11135422OD DD OD AA OD =-=-=-=， 222211415222PD OP OD ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， P ABC -的外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆，其面积为224S ππ=⨯=．故答案为：4π．【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解，重点考查了几何体的外接球的有关问题的求解，关键是根据外接球的性质确定球心位置，结合勾股定理得出动点所满足的具体条件，结论：三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上． 21．【分析】经分析正三棱锥是以△BCD 底面的三棱锥可以把看出以AB 为边长的正方体切割下来的可借助于正方体的外接球求解【详解】正三棱锥中所以△BCD 为底面且所以正三棱锥是以AB 为边长的正方体切割下来的所以解析：6π【分析】经分析，正三棱锥A BCD -是以△BCD 底面的三棱锥，可以把看出以AB 为边长的正方体切割下来的，可借助于正方体的外接球求解.【详解】正三棱锥A BCD -中，π2BAC ∠=，所以△BCD 为底面，且π2BAD DAC BAC ∠=∠=∠=, 所以正三棱锥A BCD -是以AB 为边长的正方体切割下来的，所以正三棱锥A BCD -的外接球就是正方体的外接球.设外接球的半径为R ,所以232R =所以外接球的表面积为246S R ππ==．故答案为：6π【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．22．【分析】先画出直观图证明平面平面然后侧棱与底面ABC 所成的角即为根据题目中的数据算出即可【详解】如图作的中点连结因为侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形而为的中点所以又所以平面同时平面所以平解析：o 60.【分析】先画出直观图，证明平面PAD ⊥平面ABC ，然后侧棱PA 与底面ABC 所成的角即为PAD ∠，根据题目中的数据算出即可.【详解】如图，作BC 的中点D ，连结AD 、PD因为侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形而D 为BC 的中点，所以BC PD ⊥，BC AD ⊥，又PD AD D ⋂=，所以BC ⊥平面PAD ，同时BC ⊂平面ABC所以平面PAD ⊥平面ABC ，所以PAD ∠即为侧棱PA 与底面ABC 所成的角由侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形得3AD PD ==3PA =所以PAD ∆为等边三角形，则=PAD ∠o 60即侧棱PA 与底面ABC 所成的角为o 60故答案为：o 60【点睛】本题主要考查空间直线与平面所成角的计算，较简单.23．①②③【分析】①证明线面平行可判断对错；②证明线面垂直可判断对错；③证明线面垂直可判断对错【详解】①如下图所示：因为平面平面平面所以平面故①正确；②连接如下图所示：因为平面所以又因为且所以平面又因为解析：①②③【分析】①证明线面平行可判断对错；②证明线面垂直可判断对错；③证明线面垂直可判断对错.【详解】①如下图所示：因为平面11//ABB A 平面11CC D D ，BP ⊂平面11ABB A ，所以//PB 平面11CC D D ，故①正确；②连接,AC BD ，如下图所示：因为1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，又因为AC BD ⊥且1DD BD D =，所以AC ⊥平面1DBD ，又因为1BD ⊂平面1DBD ，所以1BD AC ⊥，故②正确；③连接11,,,AC PC B C BC ，如下图所示：因为11D C ⊥平面11BCC B ，所以11D C ⊥1B C ，又因为11BC B C ⊥，且1111D C BC C ⋂=，所以1B C ⊥平面11BD C ，又1BD ⊂平面11BD C ，所以11B C BD ⊥，由②的证明可知1BD AC ⊥，且1AC B C C ⋂=，所以1BD ⊥平面1AB C ，又因为PC ⊂平面1AB C ，所以1BD PC ⊥，故③正确，故答案为：①②③.【点睛】本题考查空间线面平行、线线垂直关系的判断，涉及线面平行判定定理、线面垂直判定定理的运用，主要考查学生对空间中位置关系的逻辑推理能力，难度一般.24．【分析】由正四面体性质可知球心在棱锥高线上利用勾股定理可求出半径R 即可求出球的面积【详解】正四面体的棱长为：底面三角形的高：棱锥的高为：设外接球半径为R 解得所以外接球的表面积为：；故答案为：【点睛】解析：232a π 【分析】由正四面体性质可知，球心在棱锥高线上，利用勾股定理可求出半径R ，即可求出球的面积.【详解】正四面体的棱长为：a ，a =，=，设外接球半径为R ，222)()33R a R a =-+，解得4R a =，所以外接球的表面积为：22342a ππ⎫⨯=⎪⎪⎝⎭；故答案为：232a π．【点睛】本题考查球的表面积的求法，解题的关键是根据球心的位置，在正四面体中求出球的半径．三、解答题25．S =侧.【分析】过1C 作1C E AC ⊥于E ，过E 作EF BC ⊥于F ，得到1C F 为正四棱台的斜高，可得答案.【详解】如图，设1O 、O 分别为上、下底面的中心，则1O O ⊥平面ABCD ，过1C 作1C E AC ⊥于E ，所以11//C E O O ，所以1C E ⊥平面ABCD ，1C E BC ⊥，过E 作EF BC ⊥于F ，连接1C F ，且1C EEF E =，所以BC ⊥平面1EFC ，1C F BC ⊥，则1C F 为正四棱台的斜高，由题意知145C CO ∠=， ()11293322CE CO EO CO C O =-=-=⨯-=，又2sin 453232EF CE =⋅=⨯=， ∴高()22231132333C F C E EF =+=+=， ∴()1393347232S =⨯+⨯⨯=侧．【点睛】本题考查了正四棱台侧面积的求法，关键点是作出正四棱台的斜高，考查了学生的空间想象力和计算能力.26．（1）证明见解析；（2）3π．【分析】（1）取PB 中点F ，连接,EF FC ，证明EFCO 是平行四边形，得线线平行后可证得线面平行；（2）取AB 中点G ，连接,,OG PG OP ，可证PGO ∠（或其补角）是二面角PAB C 的平面角．然后在PGO △中求解．【详解】（1）取PB 中点F ，连接,EF FC ，因为E 是PA 中点，∴//EF AB ，且12EF AB =，又ABCD 是矩形，//,AB CD AB CD =，O 是CD 中点，∴//,EF OC EF OC =，∴EFCO 是平行四边形，∴//OE CF ，而OE ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，∴//OE 平面PBC ．（2）取AB 中点G ，连接,,OG PG OP ，ABCD 是矩形，O 是CD 中点，则OG AB ⊥，又PA PC CD ==，∴PO CD ⊥，而平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PO ⊂平面PCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，∵,OG AB ⊂平面ABCD ，∴PO AB ⊥，PO OG ⊥． PO OG O =，,PO OG ⊂平面POG ，∴AB ⊥平面POG ，而PG ⊂平面POG ， ∴AB PG ⊥，∴PGO ∠（或其补角）是二面角PAB C 的平面角．设1AD =，则1OG =，2CD =，3PO =，∴3tan 3PO PGO OG ∠===，[0,]PGO π∠∈，∴3PGO π∠=． ∴二面角P AB C 的大小为3π．【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，考查求二面角．求二面角的方法：（1）定义法：根据定义作出二面角的平面角，然后通过解三角形得解；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，求出二面角的两个面的法向量，由法向量夹角得二面角．27．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由线面垂直推出PA BC ⊥，由直角三角形推出AB BC ⊥，即可证明线面垂直；（2）连结OG 并延长交AB 于点E ，连结DO ，DE ，通过证明//DE 平面PBC 、//DO平面PBC 证明平面DOE //平面PBC ，从而推出线面平行.【详解】（1）证明：PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥，底面ABC 是直角三角形且AB BC =，AB BC ∴⊥，又PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，PA AB A =， ∴BC ⊥平面PAB .(2)证明：连结OG 并延长交AB 于点E ，连结DO ，DE ,G 是AOB ∆的重心，∴ OE 为AB 边上的中线， ∴E 为AB 边上的中点，又有D 为PA 边上的中点， ∴//DE PB ，PB ⊂平面PBC ，//DE ∴平面PBC ，同理可得//DO 平面PBC ，又DE ⊂平面DOE ，DO ⊂平面DOE ，DE DO D ⋂=，∴平面DOE //平面PBC ，又有DG ⊂平面DOE ， DG//∴平面PBC28．（1）3π；（2）98π.【分析】（1）先由圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径，再求圆锥的底面积；（2）圆柱的高1OO h =，OD r =，再由11AO D △AOB 求出,h r 的关系式，进而得出圆柱的侧面积，再结合二次函数的性质以及圆柱的体积公式求解即可.【详解】解：（1）沿母线AB 剪开，侧展图如图所示：设OB R =，在半圆⊙A 中，23AB = 弧长'23BB π=，这是圆锥的底面周长，所以223R ππ=，。

空间解析几何(练习题参考答案)

1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程．39．02=+-z y3．在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离相等．7．)51,1,57(．5．已知：→→-AB prj D C B A CD，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （）A ．4B ．1C ．21D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（）A ．平行于x 轴B ．平行于y 轴C ．平行于z 轴D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线37423zy x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线⎩⎨⎧=-+=+-07201z x y 的距离为（）A ．5B ．61 C ．51 D ．81 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ．3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直．4．设++=2，22+-=，243+-=，则)(b a p r j c += ．4．过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：44222=++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的．3．34-=m ； 4．2919 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线1422=+z y 绕z 轴旋转而成．1．设{}{}{}0,2,1,3,1,1,1,3,2-=-=-=，则=⨯⨯)(（） A ．8 B ．10 C ．{}1,1,0-- D ．{}21,1,23．若==-+=，则14//236（） A ．)4612(-+± B ．)612(+± C ．)412(-± D ．)46(-± 4．若ϕ与，则3121321)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(M M M M M M M （） A ．6π B ．2π C ．3π D ．4π6．求平面062=-+-z y x 与平面052=-++z y x 的夹角（） A ．2π B ．6π C ．3π D ．4π 8．设点⎩⎨⎧=-+-=+-+-04201)2,1,3(z y x z y x l M o ，直线，则M O 到l 的距离为（）A ．223 B ．553 C ．453 D ．229．直线夹角为与平面62241312=++-=-=-z y x z y x （） A ．30o B ．60o C ．90oD ．65arcsin1．D 3．A 4．C 6．C 8．A 9．D7．求与平面4362=+-z y x 平行平面，使点)8,2,3(为这两个平面公垂线中点． 3．确定k 值，使三个平面：328,1423,23=--=++=+-z y x z y x z y kx 通过同一条直线．5．求以向量i k k j j i +++,,为棱的平行六面体的体积．7．与平面0522=+++z y x ，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程_____________________．8．动点到点（0,0,5）的距离等于它到x 轴的距离的曲面方程为________________． 9．曲面方程：259916222=--z y x 则曲面名称为________________．10．曲线⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--=2222)1()1(2y x z yx z 在y z 面上的投影方程______________．1．设32+-=，+=2，++-=，则与+是否平行__________．1．不平行7．33222±=++z y x ； 8．25102-=-z x ；9．双叶双曲面； 10．⎩⎨⎧==+--++02342222x z y z yz y练习题选参考答案1．两非零向量→a 、→b 垂直，则有0=⋅→→b a 或0Pr =→→a j b；平行则有0=⨯→→b a 或→→=b a λ或两向量对应坐标成比例。

全国985重点大学-西北工业大学-高等数学第二学期期终考试试卷答案及评分标准

高等数学2009--2010第二学期期终考试试题答案及评分标准A卷一、1、-8，2、，3、，4、8π，5、，6、。

二、1, 2、，3、，4、，5、3，6、[]2121+-，，缺闭区间扣一分。

三、1、解：设切点…………………2分由已知条件得：，得到.………..4分切平面方程为即……………..6分2、解：……………..3分……………..6分3、解：………………4分………………6分四、1、解：g f fy xx u v∂∂∂=+∂∂∂，g f fx yy u v∂∂∂=-∂∂∂，…………….2分vfvfxvufxyufyx∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222g,vfvfyvufxyufxy∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂2222222222g, ………………..5分222222g gx yx y∂∂+=+∂∂………………6分2．解：设dydppyp=''=',y，………………………2分得到舍去）(,0y==+ppdydp，解得ycp1=，由初始条件yy21,21c1='=，………………………4分100(,)dy f x y dx⎰83π12eπ+1415-{}00000(,,),,2,1P x y z n x y=-224000sind d drππθϕϕ⎰⎰143π0021221x y-==-2230x y z+--=2200002,1, 3.2xx y z y===+=2(2)2(1)(3)0x y z-+---=231131()12yyyydy e dxy y e dy e∂=-=-⎰⎰⎰8232008222336dz d drz dzπθππ==⎰⎰⎰2y1=-22c x y +=, 由初12=c , 其特解为1,12+=+=x y x y 或。

……………………..6分3.、解：由xQ y p ∂∂=∂∂，得x e x f x f x f =-'-'')()()（，………………2分 x x x e y e c e c Y 21,221-=+=*-, 由初始条件61,3221-==c c , x x x e e e x f 216132)(2--=- ……….4分 (1,1)(0,0)()2()()x f x f x e ydx f x dy ''⎡⎤+++⎣⎦⎰ =⎰-+=-+--101212216134216134e e e dy e e e ）. ……………….6分五、解：1151lim lim (1)55n n n n n na n a n ++→∞→∞⋅==+⋅, ∴收敛半径为5R =…………………..2分当5x =-时, 15n n ∞=∑发散; 当5x =时,11(1)5n n n -∞=-⋅∑收敛 ∴收敛区间为(5,5]-…………………………………………………4分设和函数1111111100110(1)()(1)55 [(1)][(1)()]5551 ln(1), (5,5]5515n n n n n n n n n x x n n n n n n x x S x x x n n t x t x dt dt n x x dt x x t -∞∞+-==∞∞---==-==-⋅⋅'=-=-⋅==+∈-+∑∑∑∑⎰⎰⎰………..…7分 …………………….8分六、解：设旋转曲面S 的方程为 12222=++z y x ，--------------------1分给定的方向 )0,21,21(0-=l方向导数函数 )(2c o s c o s c o s y x zf y f x f l f -=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα --------2分设)12()(2222-+++-=z y x y x L λ， ---------------3分令 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++==∂∂=+-=∂∂=+=∂∂1202022042222z y x z zL y y L x x L λλλ ------------------4分解之得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=02242z y x λλ 23±=λ ------------------6分 23=λ，得S 上的点为)0,36,66(-，此时3-=∂∂l f 23-=λ，得S 上的点为)0,36,66(-，此时3=∂∂lf 所以，所求的S 上的点为)0,36,66(- ------------------7分七、解：……………………3分………………………6分………………………7分(2009)(1)2010ae f =000()()(x)lim ()(1)()lim lim x x x x x f x x f x f x f x e f x e x x ∆→∆∆→∆→+∆-'=∆-∆=+∆∆(x)()(0),(),(0)0,0..x x x f f x f e y ax c e f c y axe ''=+=+=∴== 111100(x)(1)(1)(1)!!x x x x n n n n f axe aexe ae x e aee x x ae ae n n ---+∞∞=====-+--=+∑∑n=100(1)(1)=ae (1)!!(1)(1),.!n nn nn x x ae n n n x ae x R n ∞∞=∞=--+-+-=∈∑∑∑。

空间解析几何及多元微分学练习题参考答案

空间解析几何和多元微分学练习题参考答案1．若®®®®++=k j i a 863，2=®b ，则与®a ，x 轴均垂直的向量=®b þýüîíì-±56,58,0。

2．以点A )0,0,2(，B )0,3,0(，C )6,0,0(，D )8,3,2(为顶点的四面体的体积V=14。

3．曲线ïîïíì=+-=-+4)2(4)2(2222y x z x 在yoz 面上的投影曲线方程为：ïîïíì=+-±=+±044422x y z ，投影柱面方程为：44422+-±=+±y z 。

4．xoz 面上的曲线19422=-z x 分别绕x 轴和z 轴旋转所成旋转曲面方程为：1994222=--z y x ，1944222=-+z y x 。

5．求两平面0622:1=+-+z y x p ，884:2=-+-z y x p 所成二面角的角平分面方程。

解：法一，设),,(z y x P 为所求平面上任意一点，则由题意有：2222228)1(4884)2(21622+-+-+-=-+++-+z y x z y x消去绝对值得 )884()6222(3-+-±=+-+z y x z y 即026147010257=-+-=+++z y x z y x 和法二，所求平面过两平面1p 与2p 的交线，故可设其方程为：0)622(884=+-++-+-z y x z y x l在该平面上任取一点，如令4430--===l lz y x 可得，然后由点)443,0,0(--l l 到两平面的距离相等可解得3±=l ，从而得到所求平面方程。

西工大试题资料

西北工业大学考试试题（A卷）2004 —2005学年第一学期一、填空题：（每题3分，共计30分）1. __________________________________________________________________ 塑性是指：____________________________________________________________________________2. 金属的超塑性可分为________ 超塑性和________ 超塑性两大类。

3. 金属单晶体变形的两种主要方式有：____________ 和________ 。

4. 影响金属塑性的主要因素有：__________ ，_______ ，_______ ，_______ ，_______ 。

5. 等效应力表达 _____________________________________________________________ 。

6. 常用的摩擦条件及其数学表达式：_____________________________________________ ，。

7. n 平面是指：____________________________________________________________________8. 一点的代数值最大的________________ 的指向称为第一主方向，由第一主方7T向顺时针转N所得滑移线即为__________ 线。

9. 平面变形问题中与变形平面垂直方向的应力（Tz= ____________________10. 在有限元法中：应力矩阵[S]= ____________________________ ，单元内部各点位移{U}=[ ]{ }二、简答题（共计30分）1. 提高金属塑性的主要途径有哪些？（8分）2. 纯剪切应力状态有何特点？（6分）3. 塑性变形时应力应变关系的特点？（8分）4. Levy-Mises 理论的基本假设是什么？（8分）三、计算题（共计40分）_0 172 C _172 0 01、已知金属变形体内一点的应力张量为L °°“°」Mpa ,求：（18 分）（1）计算方向余弦为1=1/2 ，m=1/2 ，n='的斜截面上的正应力大小。

大学解析几何考试题及答案

大学解析几何考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是解析几何的研究对象？A. 平面曲线B. 空间曲线C. 空间曲面D. 质点运动答案：D2. 在平面直角坐标系中，点P(x, y)关于原点的对称点的坐标是：A. (-x, -y)B. (x, -y)C. (-x, y)D. (y, x)答案：A3. 如果直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，那么它的斜率k等于：A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/2答案：B4. 椭圆的标准方程是：A. (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1B. (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1C. (x/a)^2 + (y/b)^2 = 0D. (x/a)^2 - (y/b)^2 = 0答案：A5. 一个圆的圆心在原点，半径为1，那么它的方程是：A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 0C. x^2 + y^2 = 2D. x^2 + y^2 = -1答案：A6. 如果两条直线的方程分别为y = mx + b1和y = mx + b2，那么这两条直线：A. 相交B. 平行C. 重合D. 垂直答案：B7. 抛物线y^2 = 4ax的准线方程是：A. x = -aB. x = aC. y = -aD. y = a答案：A8. 双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的渐近线方程是：A. y = ±(b/a)xB. y = ±(a/b)xC. y = ±(a/b)xD. y = ±(b/a)x答案：D9. 点A(3, 4)关于直线y = x的对称点B的坐标是：A. (4, 3)B. (2, 3)C. (3, 2)D. (4, 5)答案：A10. 直线x = 2y + 3与圆x^2 + y^2 = 25相交于两点，这两点的距离是：A. 2√5B. 4√5C. 5√2D. 10答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 在平面直角坐标系中，点P(2, -1)到原点的距离是_________。

空间解析几何习题答案解析(可编辑修改word版)

(- 2 y - 5z )2+ (z + 2x )2+ (5x - y )2x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 12 + 52 + (- 2)2 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 3010 5 ⎪一、计算题与证明题1．已知| a |= 1, | b |= 4 ,| c |= 5 , 并且 a + b + c = 0 ．计算 a ⨯ b + b ⨯ c + c ⨯ a ．解：因为| a |= 1, | b |= 4 , | c |= 5 , 并且 a + b + c = 0 所以 a 与b 同向，且 a + b 与c反向因此 a ⨯ b = 0 ， b ⨯ c = 0 ， c ⨯ a = 0 所以 a ⨯ b + b ⨯ c + c ⨯ a = 02．已知| a ⋅ b |= 3 , | a ⨯ b |= 4 , 求| a | ⋅ | b |．解： | a ⋅ b |= a ⋅ b cos= 3（1）| a ⨯ b |= a ⋅ b sin = 4(1)2 + (2)2 得(a ⋅ b )2= 25（2）所以a ⋅b = 54．已知向量 x 与 a (,1,5,-2) 共线, 且满足a ⋅ x= 3 , 求向量 x 的坐标．解：设 x 的坐标为(x , y , z )，又 a = (1,5,-2) 则 a ⋅ x = x + 5 y - 2z = 3 又 x 与 a 共线，则 x ⨯ a = 0即（1）i j kx yz = y 1 5 - 2 5 z i - x - 2 1 y j + x y k- 2 1 5= (- 2 y - 5z )i + (z + 2x ) j + (5x - y )k = 0所以 = 0即29x 2 + 5 y 2 + 26z 2 + 20 yz + 4xz - 10xy = 0 又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为0 或（2）cos 0 = 1 =x ⋅ a=3整理得x 2 + y 2 + z 2 = 310（3）联立(1)、(2)、(3) 解出向量 x 的坐标为⎛ 1 ⎝ , 1, 2 - 1 ⎫ ⎭a ⋅b a ⋅ b x 2 + y 2 + z 2 12 + 12 + 02 ⎩- ⎪ ⎪⎪6．已知点 A (3,8,7) , B (-1,2,-3) 求线段 AB 的中垂面的方程．解：因为 A (3,8,7) , B (-1,2,-3)AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M (x , y , z ) ，则由 MA ==MB 得化简得2x + 3y + 5z - 27 = 0这就是线段 AB 的中垂面的方程。

2019年西北工业大学考试试题

诚信保证本人知晓我校考场规则和违纪处分条例的有关规定，保证遵守考场规则，诚实做人。

本人签字：编号：西北工业大学考试试题（卷）20－20学年第学期开课学院课程学时开）（A）卷考试日期考试时间小时考试形式（闭B 题号一二三四五六七总分得分考生班级学号姓名一、（本题 15 分，每小题 3 分）2x y z101. 已知三个平面x 2 y z0x y 6z 10 0两两相交成的三条直线互相平行，则2.已知向量i 2 j k ，( 1,0,3) ，则以此两向量为边的三角形的面积为3.已知 A 为三阶方阵，且 A 12A*，则 (2 A) 1 3A*4.已知二次曲面 2 y24xz 2 x 4 y 6z 1 0 是一个锥面，则该锥面的顶点坐标为5. 已知三阶实对称矩阵 A 的特征根分别为-1，1，2，并且矩阵B3A32A4 A E ，则行列式 B=。

4 0 0二、（ 10 分）已知 A 0 6 1 ，且 XAA 2X ，求矩阵X 。

0 3 3三、（ 10 分）若直线 L 过点 P (3,2,1)，且与直线 L 1 : x 1 yz 3垂直相交，求直4 13线 L 的标准方程，以及直线L 与 L 1 所决定的平面的一般方程。

注： 1. 命题纸上一般不留答题位置，试题请用小四、宋体打印且不出框。

2. 命题教师和审题教师姓名应在试卷存档时填写。

共页第页西北工业大学命题专用纸四、（ 10 分）设一平面过直线 L:x y b0，且与曲面： z x 2y2相切于x ay z30点 (1, 2,5) ，试求a, b的值。

五、（ 10 分）求二次曲面x2 y25z26xy 2zx 2 yz 12 0上平行于向量的直母线方程（先判断它存在）。

六、（ 10 分）求以直线x1y2z为中心轴，并且过点(0,0, 2)的圆柱面的一般102方程。

教务处印制共页第页七、（ 10 分）求单叶双曲面x2y2z21上过点A(2,0,0) 和点B(2,3,4) 的直母线4916的一般方程。

西北工业大学附属中学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平四边形，设OA a =，OB b =，OC c =，则BD 可表示为（）A ．a c b +-B ．a +2b c -C ．c b a +-D ．a c +-2b 2．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论:①AN GC ⊥，②CF 与EN 所成的角为60︒,③BD //MN ，④二面角E BC N --的大小为45︒,其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．43．在空间四边形OABC 中，OA OB OC ==，3AOB AOC π∠=∠=，则cos ,OA BC 的值为（）A ．0B ．22C ．12-D ．124．已知A,B,C 三点不共线,对于平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A,B,C 一定共面的是( )A ．OM OA OB OC =++ B ．2OM OA OB OC =-- C ．1123OM OA OB OC =++D ．111236OM OA OB OC =++ 5．如图，在空间四边形OABC 中，点E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA =, 则EF 等于（）A ．121+232OA OB OC - B ．211+322OA OB OC -+ C ．111222OA OB OC +- D ．211322OA OB OC --6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，2,22,2AB AD PA ===，则异面直线BC 与AE 所成的角的大小为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π27．已知两平面的法向量分别为m =(0，1，0)，n =(0，1，1)，则两平面所成的二面角为（）A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90°8．如图所示，五面体ABCDE 中，正ABC ∆的边长为1，AE ⊥平面,ABC CD AE ∥，且12CD AE =.设CE 与平面ABE 所成的角为,(0)AE k k α=>，若ππ[,]64α∈，则当k 取最大值时，平面BDE 与平面ABC 所成角的正切值为（）A ．22B ．1C 2D 39．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（）A ．3λB ．22C ．23λD ．5510．如图所示，平行六面体1111ABCD A BC D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒.求1BD 与AC 夹角的余弦值是（）A ．33B ．66C ．217D ．21311．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA ==，点,E O 分别是线段1,C C BC 的中点，1113A F A A =，分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（）A ．γβα>>B ．αβγ>>C ．αγβ>>D ．γαβ>> 12．在长方体1111ABCD A BC D -中，若13AC =，则111()AB AC AD AC ++⋅=（） A ．0 B ．3 C ．3D ．6 二、填空题13．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为，则的最大14．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为4，点,M N 分别是棱11,BC C D 的中点，点P 在平面1111D C B A 内，点Q 在线段1A N 上，若25PM =，则PQ 的最小值为______． 15．在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标是______．16．已知(1,2,1),(2,2,2)A B -，点P 在z 轴上，且PA PB =，则点P 的坐标为____________.17．已知向量=211a -（，，），(,1,1)b λ=-，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是______.18．已知向量,,a b c 是空间的一个单位正交基底，向量,,a b a b c +-是空间的另一个基底．若向量m 在基底,,a b c 下的坐标为()1,2,3，则m 在基底,,a b a b c +-下的坐标为 _________19．已知(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，若ka b +和3a b -相互垂直，则k =________． 20．正三棱锥底面边长为1，侧面与底面所成二面角为45°，则它的全面积为________三、解答题21．如图，Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，2BA BC ==，分别过A ，C 作平面ABC 的垂线1A A 和1C C ，12AA =，1CC h =，连结1AC 和1AC 交于点P .（Ⅰ）设点M 为BC 中点，若2h =，求证：直线PM 与平面1A AB 平行；（Ⅱ）设O 为AC 中点，二面角11A AC B --等于45°，求直线OP 与平面1A BP 所成角的22．在三棱台ABC DEF -中，2,60AB BC DE DAB EBA ∠∠====，平面ABED ⊥平面,.ABC BC BE ⊥（1）求证：平面ABED ⊥平面BCFE ；（2）求直线DF 与平面ABF 所成角的正弦值.23．如图，在四棱锥P ABCD -中，90BAD ∠=，//AD BC ， PA AD ⊥，PA AB ⊥，122PA AB BC AD ====.（Ⅰ）求证：//BC 平面PAD ；（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.24．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，M 为1AA 的中点.（1）求证：1//A B 平面1MCD；（2）求平面1MCD 与平面11C CD 夹角的余弦值.25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1AB BC CA AA ===，D 为AB 的中点．（1）求证：1//BC 平面1DAC ；（2）求平面1DAC 与平面11AAC C 所成的锐二面角．．．．的余弦值． 26．如图所示，在多面体ABCDE 中，//DE AB ，AC BC ⊥，平面DAC ⊥平面,ABC 24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点.（1）证明：EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角的正弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】作出图形，根据条件得出BD BA BC =+，再得到BA a b =-，BC c b =-，即可求解，得到答案.【详解】如图所示，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，则BD BA BC =+，在OAB ∆中，BA OA OB a b =-=-，在OBC ∆中，BC OC OB c b =-=-，故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的加法的几何意义，其中解答中熟记向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2．C解析：C【分析】根据题意画出正方体直观图，建立空间直角坐标系，计算0AN GC ⋅=，由此判断①正确.根据线线角的知识，判断②正确.根据线线的位置关系，判断③错误.根据二面角的知识，判断④正确.【详解】画出正方体的直观图，如下图所示，设正方体边长为2，以,,DA DC DG 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则()()()()2,0,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0A N G C ，所以()()2,2,20,2,20AN GC ⋅=-⋅-=，所以AN GC ⊥，故①正确.由于//EN AC ，所以CF 与EN 所成的角为FCA ∠，而在FAC ∆中，AF FC CA ==，也即FAC ∆是等边三角形，故60FCA ∠=，所以②正确.由于//EN AC ，而AC 与BD 相交，故,BD MN 不平行，③错误.由于,EB BC FB BC ⊥⊥，所以EBF ∠即是二面角E BC N --的平面角.EBF ∆是等腰直角三角形，所以45EBF ∠=，故④正确.综上所述，正确的命题个数为3个.故选：C.【点睛】本小题主要考查空间线线、面面的位置关系有关命题的真假性判断，属于中档题. 3．A解析：A【分析】利用OB OC =，以及两个向量的数量积的定义可得cos ,OA BC <>的值，即可求解．【详解】由题意，可知OB OC =，则()OA BC OA OC OB OA OC OA OB ⋅=⋅-=⋅-⋅ cos cos 33OA OC OA OB ππ=⋅-⋅1()02OA OC OB =⋅-=，所以OA BC ⊥，所以∴cos ,0OA BC <>=.故选A ．【点睛】本题主要考查了两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．D解析：D【分析】根据点M 与点,,A B C 共面，可得1x y z ++=，验证选项，即可得到答案. 【详解】设OM xOA yOB zOC =++，若点M 与点,,A B C 共面,,则1x y z ++=，只有选项D 满足，.故选D.【点睛】本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点M 与点,,A B C 共面时，且OM xOA yOB zOC =++,则1x y z ++=是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.5．D解析：D【解析】分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从O 出发的三个向量表示的，所以将待求向量用从O 出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中线向量的特征，求得结果.详解：由题意可得21()32EF OF OE OA OB OC =-=-+211322OA OB OC =--，故选D. 点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题. 6．B解析：B【解析】分析：以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得(0,22,0),(1,2,1)BC AE ==，利用向量的夹角公式，即可求解.详解：以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,22,0),(0,0,2),(0,0,0),(1,2,1)B C P A E ，则(0,22,0),(1,2,1)BC AE ==，设异面直线BC 和AE 所成的角为θ，则42cos ,2224BC AEBC AE BC AE ⋅===⋅⋅，所以异面直线BC 和AE 所成的角为4π，故选B.点睛：本题考查了异面直线所成的角的求解，其中把异面直线所成的角转化为向量所成的角，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，对于对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 7．C解析：C【分析】先求出两个向量的夹角为,=45︒<>m n ，再转化为二面角的大小.【详解】12cos ,212⋅<>===⨯⋅m nm n m n ，即,=45︒<>m n ，所以两平面所成二面角为45°或180°-45°=135°.答案：C【点睛】本题考查了空间向量的夹角和二面角的求法，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.8．C解析：C【详解】分析：建立空间直角坐标系，利用直线CE 与平面ABE 所成的角，求解k 的最大值，进而求解平面BDE 和平面ABC 的一个法向量，利用向量所成的角，求解二面角的余弦值，进而求得正切值，得到结果.详解：如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz - ，则31(0,1,0),(0,0,),(0,1,),(,0)22k A D E k B ，取AB 的中点M ，则33(,0)4M ，则平面ABE 的一个法向量为33(,0)44CM =，由题意23sin 21CE CMCE CM k α⋅==⋅+又由ππ[,]64α∈，所以2132sin 2221k α≤=≤+22k ≤≤，所以k 2当2k =BDE 的法向量为(,,)n x y z =，则2023120222n DE y z n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=++=⎪⎩，取(3,12)n =--，由平面ABC 的法向量为(0,0,1)m =，设平面BDE 和平面ABC 所成的角为θ，则3cos 3n m n m θ⋅==⋅，所以sin 63θ=，所以tan 2θ=，故选C. 点睛：本题考查了空间向量在立体几何中的应用，解答的关键在于建立适当的空间直角坐标系，求解直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生的推理与运算能力，以及转化的思想方法的应用. 9．D解析：D【分析】由几何体为正方体，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面D 1EF 的法向量n ，结合向量的点到平面距离公式求得点M 到平面D 1EF 的距离，结合N 为EM 中点即可求解【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1），1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1），设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d ＝||225||55EM n n ⋅==，N 为EM 中点，所以N 到该面的距离为55 故选：D ．【点睛】本题考查利用向量法求解点到平面距离，建系法与数形结合是解题关键，属于中档题 10．B解析：B【分析】以1,,AB AD AA 为空间向量的基底，表示出1BD 和AC ，由空间向量的数量积求出向量的夹角的余弦值即得．【详解】由题意11111cos 602AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=．以1,,AB AD AA 为空间向量的基底，AC AB AD =+，111BD AD AB AD AA AB =-=+-，221111()()AC BD AB AD AD AA AB AB AD AB AA AB AD AD AA AB AD ⋅=+⋅+-=⋅+⋅-++⋅-⋅1=， 222()23AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+= 222211111()2222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AA AB=+-=+++⋅-⋅-⋅=，∴111cos ,3AC BD AC BD AC BD ⋅<>===⋅．∴1BD 与AC 故选：B ．【点睛】本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，解题时选取空间基底，把其他向量用基底表示，然后由数量积的定义求得向量的夹角，即得异面直线所成的角．11．D解析：D【分析】过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【详解】解：因为1AB AC ==，1BC AA ==222AB AC BC +=，即AB AC ⊥ 过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1F ，0，1(2O ，12，0)，(0E ，0，1(1B ，1，111(,22OB =，11(,22OE =--，11(,22OF =-，1EB =，EF =，设平面1OB E 的法向量(),,m x y z =，则111·2022112·0222m OB x y z m OE x y z ⎧=++=⎪⎪⎨⎪=--+=⎪⎩，取1x =，得()1,1,0m →=-，同理可求平面1OB F 的法向量(52,2,3)n =--，平面OEF 的法向量272(,,3)22p =-，平面1EFB 的法向量2(,2,3)2q =--． ∴461cos 61||||m n m n α==，434cos 34||||m p m p β==，46cos 46||||m q m q γ==． γαβ∴>>．故选：D ．【点睛】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．12．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解.【详解】如图建立空间直角坐标系A xyz -，设1,,AB a AD b AA c ===，则111(,0,),(,,0),(0,,),(,,)AB a c AC a b AD b c AC a b c ====.则111(2,2,2)2AB AC AD a b c AC ++==，所以21111()2()6AB AC AD AC AC ++⋅==.故选：D【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的模的概念，属于容易题.二、填空题13．【详解】建立坐标系如图所示设则设则由于异面直线所成角的范围为所以令则当时取等号所以当时取得最大值考点：1空间两直线所成的角；2不等式解析：25 【详解】建立坐标系如图所示.设1AB =，则11(1,,0),(,0,0)22AF E =.设(0,,1)(01)M y y ≤≤，则1(,,1)2EM y =-，由于异面直线所成角的范围为(0,]2π，所以22112(1)22cos 115451144y y y y θ-+-==⋅++⋅++.2222(1)81[]14545y y y y -+=-++，令81,19y t t +=≤≤，则281161814552y y t t+=≥++-，当1t =时取等号. 所以22112(1)12222cos 511555451144y y y y θ-+-==≤⨯=⋅++⋅++，当0y =时，取得最大值.考点：1、空间两直线所成的角；2、不等式.14．【分析】取B1C1中点O 则MO ⊥面A1B1C1D1即MO ⊥OP 可得点P 在以O 为圆心2以半径的位于平面A1B1C1D1内的半圆上即O 到A1N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值作OH ⊥A1N 于N 可得OH 解析：6525- 【分析】取B 1C 1中点O ，则MO ⊥面A 1B 1C 1D 1，即MO ⊥OP ，可得点P 在以O 为圆心，2以半径的位于平面A 1B 1C 1D 1内的半圆上．即O 到A 1N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值，作OH ⊥A 1N 于N ，可得OH=655，PQ 长度的最小值为6525-．【详解】如图，取B 1C 1中点O ，则MO ⊥面A 1B 1C 1D 1，即MO ⊥OP ， ∵25PM =OP=2，∴点P 在以O 为圆心，2以半径的位于平面A 1B 1C 1D 1内的半圆上．可得O 到A 1N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值，作OH ⊥A 1N 于N ，△A 1ON 的面积为4×1114242224222-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=6， ∴1162A N OH ⨯⨯=，可得OH=655，∴PQ 长度的最小值为525-． 652- 【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．15．【分析】根据对称关系确定点的坐标【详解】∵在空间直角坐标系中点关于轴对称的点的坐标为∴点关于轴对称的点的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系点对称关系考查基本分析求解能力属基础题解析：()2,1,4---【分析】根据对称关系确定点的坐标.【详解】∵在空间直角坐标系中，点(),,x y z 关于x 轴对称的点的坐标为(),,x y z --， ∴点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4---．【点睛】本题考查空间直角坐标系点对称关系，考查基本分析求解能力，属基础题.16．【解析】设P(00z)由|PA|=|PB|得1+4+(z−1)2=4+4+(z−2)2解得z=3故点P 的坐标为(003)解析：()003，，【解析】设P(0,0,z),由|PA|=|PB|,得1+4+(z−1)2=4+4+(z−2)2，解得z=3，故点P 的坐标为(0,0,3). 17．【解析】即解析：12λλ<≠-且【解析】0a b a b ⋅<且与不共线，即212110,1λλ---<≠⇒ 12λλ<≠-且 18．【解析】由题意可知：即在基底下的坐标为解析：31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意可知：()()3123322m a b c a b a b c =++=+--+ ，即m 在基底,,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭. 19．【解析】试题分析：所以考点：空间向量解析：165【解析】试题分析：，所以考点：空间向量20．【解析】分析：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2aPO 为三棱锥的高做PD 垂直于AB 连OD 则PD 为侧面的高OD 为底面的高的三分之一在三角形POD 中构造勾股定理列出方程得到斜高即可详解：设正三棱锥P-AB【解析】分析：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2a,PO 为三棱锥的高，做PD 垂直于AB ，连OD ，则PD 为侧面的高，OD 为底面的高的三分之一，在三角形POD 中构造勾股定理，列出方程，得到斜高即可．详解：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2a,PO 为三棱锥的高，做PD 垂直于AB ，连OD ，则PD 为侧面的高，OD 为底面的高的三分之一，在三角形POD中6OD ==⇒=故全面积为：1111122⨯⨯⨯⨯点睛：这个题目考查了正三棱锥的表面积的求法，其中涉及到体高，斜高和底面的高的三分之一构成的常见的模型；正三棱锥还有一特殊性即对棱垂直，这一性质在处理相关小题时经常用到.三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）60︒.【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判断定理可证明//PM 面1A AB .（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面11AAC 的法向量和平面11AC B 的法向量后利用已知二面角可得2h 的值，再求出OP 和平面1A BP 的法向量后可得线面角的正弦值，从而可求角的大小.【详解】解：（Ⅰ）若2h =，因为1A A ⊥平面ABC ，1C C ⊥平面ABC ，故11//A A C C ，因为112AA CC ==，故P 为1AC 的中点，由中位线知：1//PM A B ，而PM ⊄面1A AB ，1A B ⊂面1AAB ， //PM ∴面1A AB（Ⅱ）以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则)B，()10,2A，()12C h，()C ，()1BA =-，()12BC h =-. 设平面11AC A 的法向量为1n ，易得()11,0,0n =，设平面11AC B 的法向量为()2,,n x y z =，由12120,0,BA n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得220,0,z h z -=-=取1z =，得2n ⎫=⎪⎭，12122cos 4516n n n n ⋅∴︒===21h =. 12A P PC ∴=，122210,3333OP OA OC ⎛⎫⎛⎫∴=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设平面1APB 的法向量，即平面1A BC 的法向量为()3111,,n x y z =，又()BC =-. 由13130,0,BA n BC n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111120,0,z +-==取11x =得(3n =.设直线OP 与平面1A BP 所成的角为α，02πα<<. 则33sin 2OP n OP n α⋅===，则60α=︒. 所以直线OP 与平面1A BP 所成的角为60︒.【点睛】方法点睛：.线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.22．（1）证明见解析；（2）4214. 【分析】（1）过E 作EH AB ⊥于H ，由面面垂直得EH ⊥平面ABC ，从而有EH BC ⊥，再结合已知,BC BE ⊥可得线面垂直后得线线垂直；（2）将三棱台ABC DEF -补体成三棱锥P ABC -，以B 为原点建立空间直角坐标系(如图)，设2AB =，得出各点坐标，求出平面ABF 的法向量，由空间向量法求得线面角的正弦值．【详解】解：（1）过E 作EH AB ⊥于H ，因为面ABED ⊥面ABC ，面ABED ⋂面ABC BC =，所以EH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，所以EH BC ⊥，又,BC BE ⊥BE EH E =，,BE EH ⊂平面ABED ，所以BC ⊥面ABED ，又BC ⊂平面BCFE所以平面ABED ⊥平面;BCFE（2）将三棱台ABC DEF -补体成三棱锥P ABC -，则,,D E F 分别是,,PA PB PC 的中点，PAB △是正三角形，设2AB =，以B 为原点建立空间直角坐标系(如图)，()()()13330,1,3,0,2,0,2,0,0,1,,,0,,2222P A C F D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()131,1,0,0,2,0,1,,22DF BA BF ⎛⎫∴=-== ⎪ ⎪⎝⎭设平面ABF 的法向量为,,,n x y z由00n AB n FB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，有013022y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，令2z =得()3,0,2n =-. 42sin 14||||n DF n DF θ⋅∴==⋅∣．【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，求直线与平面所成的角．求线面角的常用方法（1）定义法，作出直线在平面内的射影（主要过直线上一点作平面的垂线），由直线与射影的夹角得出直线与平面所成的角（注意证明），然后解三角形得结论；（2）空间向量法，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由直线的方向向量与平面的法向量夹角余弦值的绝对值得线面角的正弦值．23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）66. 【分析】 (Ⅰ)解法1.利用线面平行的判定定理证明; 解法2.以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量证明直线BC 与平面PAD 的法向量垂直，从而证明结论.（Ⅱ）建立空间直角坐标系后，后利用空间向量的坐标运算求得两平面的法向量的坐标，进而计算.【详解】(Ⅰ)证明：解法1. 因为//BC ADBC ⊄平面PADAD ⊂平面PAD所以//BC 平面PAD解法2.因为PA AD ⊥，PA AB ⊥，AD AB ⊥，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(2,2,0)A B D P C ，平面PAD 的法向量为(1,0,0)t ， (0,2,0)BC = ，因为 0120000t BC ⋅=⨯+⨯+⨯= ，BC ⊄平面PAD ，所以//BC 平面PAD ；（Ⅱ）解：因为PA AD ⊥，PA AB ⊥AD AB ⊥，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(2,2,0)A B D P C所以平面PAB 的法向量为(0,1,0)n = ，设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =(2,2,2)PC =-，(0,4,2)PD =- ，所以2220042020x y z x y m PC m PC y z z y m PD m PD ⎧⎧+-==⎧⎧⊥⋅=⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨-==⊥⋅=⎩⎩⎩⎩，令1(1,1,2)y m ==得， 16cos ,616n mn m n m ⋅<>===⨯ 设平面PAB 与平面PCD 所成角为θθ，为锐角，所以6cos 6θ=. 【点睛】本题考查利用空间向量证明线面垂直和求二面角问题，关键是平面的法向量的求解和夹角余弦值的计算，注意所求为两平面所成的锐二面角的余弦值，因此对两平面的法向量所成角的余弦值与两平面所成锐角的余弦值要注意区分与联系.24．（1）证明见解析；（2）13. 【分析】（1）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得1//A B 平面1MCD；（2）利用空间向量法可求得平面1MCD 与平面11C CD 夹角的余弦值.【详解】（1）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.因为正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，M 是1AA 的中点，所以()0,0,0A 、()2,2,0C 、()0,2,0D 、()0,0,1M 、()10,2,2D 、()10,0,2A 、()2,0,0B ，()10,2,1MD =，()2,2,1MC =-.设平面1MCD 的法向量为(),,m x y z =，由120220m MD y z m MC x y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+-=⎩，令1y =，则2z =-，2x =-，所以()2,1,2m =--.因为()12,0,2A B =-，所以()()21220120A B m ⋅=⨯-+⨯+-=，因为1A B ⊄平面1MCD ，所以1//A B 平面1MCD；（2）由（1）知，平面1MCD 的法向量()2,1,2m =--.又平面11C CD 的法向量为()0,2,0AD =.设平面1MCD 与平面11C CD 的夹角为θ，则21cos cos ,323m ADm AD m AD θ⋅=<>===⨯⋅，所以平面1MCD 与平面11C CD 夹角的余弦值为13. 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.25．（1）证明见解析；（2）155. 【分析】（1）以BC 的中点O 为原点建系，根据要用的点的坐标，写出对应的向量的坐标，设出一个平面的法向量，求出法向量．根据法向量与已知直线的方向向量的数量积等于0，得到结论；（2）以BC 的中点O 为原点建系，算出平面11AAC C 的法向量，结合平面1DAC 的法向量可算出答案.【详解】（1）证明：如图以BC 的中点O 为原点建系，设12AB BC CA AA ====．设(,,)n x y z =是平面1DCA 的一个法向量，则1·0·0n CD n CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩．又3(2CD =，1(1CA =，∴020z x y +=++=⎪⎩．令1,1x z y ===，∴(1,1,n =- 1(2,2,0)BC =-，∴1·2200n BC =-++=．又1BC ⊂/平面1DCA ，1//BC ∴平面1DCA ．（2）解：设111(,,)m x y z =是平面11AAC C 的一个法向量，则11·0·0m CC m CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩．又1(0,2,0)CC =，1(1CA =，∴11100y x =⎧⎪⎨=⎪⎩．令111,z x ==∴(3,0,1)m =-．∴23cos ,525m n-==-． ∴所求锐二面角的余弦值为5．【点睛】关键点睛：解答本类题目的关键是根据图形建立合适的空间直角坐标系和学生的计算能力. 26．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）取AC 的中点O ，连接DO ，OF ，由题中条件，推导出DO ⊥平面ABC ，//EF DO ，由此能证明EF ⊥平面ABC ；（2）以O 为原点，OA 为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DCE 与平面ADC 所成的角（锐角）的余弦值，即可得出正弦值.【详解】（1）证明：取AC 的中点O ，连接DO ，OF ，∵在DAC △中，DA DC =，∴DO AC ⊥，∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，得DO ⊥平面ABC ，∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴//OF AB ，且2AB OF =，又//DE AB ，2AB DE =，所以OF DE =，∴四边形DEFO 为平行四边形，∴//EF DO ，∴EF ⊥平面ABC ；（2）∵DO ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，平面DAC ⊥平面ABC ，所以BC ⊥平面ADC ；∴以O 为原点，OA 为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点，则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()1,4,0B -，∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成角为60EBF ∠=︒， ∴tan6023DO EF BF ==︒=，∴(0,0,23D ，(1,2,23E -，取平面ADC 的一个法向量()0,1,0m =，设平面DCE 的一个法向量(),,n x y z =，因为(1,0,23CD =，(0,2,23CE =，则020n CD x n CE y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1z =，得()23,n =-， ∴(()234n =-+-+=，1m =，3m n ⋅=-∴3cos ,14m nm n m n ⋅-<>===⨯⋅ 即因此平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角为θ，则3cos cos ,4m n θ==，所以sin 4θ== ∴平面DCE 与平面ADC 【点睛】方法点睛：立体几何体中空间角的求法：（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.。

2022-2023学年陕西省西安市西北工业大学数学高三上期末考试试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（）A ．-4B ．-2C ．0D ．43．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．324．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b +=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（）A ．22143x y -= B ．22143y x -=C ．22123x y -=D ．22132y x -=5．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（）A ．32π B ．56π C ．76π D ．43π-6．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（）． A ．15±B ．15-C ．15D ．75-7．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（） A ．方差B ．中位数C ．众数D ．平均数8．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（） A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③9．已知数列{}n a 中，121,2a a ==，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+．则此数列的前20项的和为（）A ．1133902-+B ．11331002-+C ．1233902-+D ．12331002-+10．已知复数41iz i=+，则z 对应的点在复平面内位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限11．已知复数31iz i-=-，则z 的虚部为（） A ．i -B ．iC ．1-D ．112．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（） A ．8B ．16C ．62D ．122二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高等数学作业册自测题（西工大）参考附标准答案

高等数学作业册自测题（西工大）参考附标准答案高等数学（Ⅱ）期末自测题参考答案（选自西北工业大学2005级高数考题）一、填空题（每小题3分，共36分）1.=???? ??+∞→∞→x y x xy 11lim ==+=+∞→∞→∞→∞→?∞→∞→01lim111lim 11lim e xy xy yxyy x yxy y x y x 1 .2.函数),(y x z z =由方程0sin =+x y e xz 确定，则=-=-=??xz z y xe x y x F F y z cos 1xz ex x y 2cos - . 3.设函数222lnz y x u ++=，则它在点)1,1,1(0-M 处的方向导数的最大值为33. 4.设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a 5-.5.空间曲线x z x y -==1,222在点)22,1,21(处的切线方程为212211121--=-=-z y x .6.改变积分次序：==-dy y x f dx I x x 2202),(dx y x f dy y y ?-+--2211111),( .7.设平面曲线L 为下半圆周21x y --=，则=?= =+??π2221211)(LLds ds y x π . 8.设∑为曲面22y x z +=在10≤≤z 的部分，则??∑=xdS 0 .9.设,0,10,)(?<≤<≤-=-ππx x e x f x 则其以π2为周期的傅里叶级数在π=x 处收敛于)1(21πe + . 10.设321,,y y y 是微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个不同的解，且≠--3221y y y y 常数，则微分方程的通解为 1322211)()(y y y C y y C +-+- .11.函数x x f -=21)(展开为x 的幂级数的形式为)2,2(2101-∈∑∞=+x xn n n .12.微分方程x xe y xy =-'1的通解为 x xe Cx + . 二、计算下列各题（每小题6分，共18分）1.设),(xye xy f z =，)(x y ?=，其中?,f 均为一阶可微函数，求dxdz . 解：)(221y x y e f x y x y f dx dz xy'+?'+-'?'= ))()(()()(221x x x e f xx x x f xy'+?'+-'?'= 2.求曲面)(21422y x z +-=与平面2=z 所围立体的体积.解：所围立体在xoy 面的投影域4:22≤+y x D ，所围立体的体积dxdy y x dxdy dxdy y x V D DD +-=???-+-=)(2122)](214[2222πππθππ4482122202202=-=-?=??rdr r d3.在曲面6632222=++z y x 上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面1=++z y x 平行.解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为),,(z y x M ，令=),,(z y x F 6632222-++z y x ，则切平面的法向量)6,4,2(),,(z y x F F F n M z y x ==,已知平面1=++z y x 的法向量)1,1,1(1=n依题意1//n n，即令t z y x ===161412 代入曲面方程中解的2,3,6===z y x ，即切点坐标为)2,3,6(M . 三、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设Ω是由锥面22y x z +=与半球面221y x z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，求曲面积分∑++zdxdy ydzdx xdydz .解：已知x z y x P =),,(，y z y x Q =),,(，z z y x R =),,(，由高斯公式有dv zR y Q x P zdxdy ydzdx xdydz Ω∑+??+??=++)(dr r d d dv ??θππsin 33122040==Ωππ)22(31)221(23-=?-= 2.写出级数++++43227252321的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和. 解：该数项级数的通项为nn n u 212-=；级数为正项级数，由于 21121221lim lim1=-+?=∞→+∞→n n u u n nn n ，由比值审敛法知该级数收敛.令)1,1()()(22)12()(211111-∈-=-=-=∑∑∑∞=∞=-∞=x x s x xs x xn x x n x s n n n n nn ，则xxx dt ntdt t s n xn n n x-===∑?∑?∞=∞=-1)(1111，于是2011)1(1)()(x dt t s dx d x s x -= =?，又xxx x s n n -==∑∞=1)(12，所以)1,1()1(1)1(2)(222-∈-+=---=x x x x x x x x x s ，于是3)1(21)12()21(21221=-+=-==∞=∑x n n x x x n s .3.求微分方程xe y y y 223=+'-''的通解.解：微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程0232=+-r r 的特征根为2,121==r r ，x e x f 2)(=的1=λ为特征方程的单根，则原方程的特解为x Axe y =*，代入原方程中得2-=A ,齐次线性微分方程的通解为xxe C e C Y 221+=,所以原方程的通解为=+=*y Y y x x x xe e C e C 2221-+.四、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值.解：由于x y x f x 24),(-=，y y x f y 24),(--=，令,0),(0),(??==y x f y x f yx 得驻点,22-==y x又 2),(-==y x f A xx ，0),(==y x f B xy ，2),(-==y x f C yy ，及4)()2,2(2-=--AC B ，则点)2,2(-位极大值点，极大值为8)2(2)]2(2[4)2,2(22=-----=-f .2.求幂级数∑∞=-12)1(n nnn x 的收敛半径及收敛域. 解：令 1-=x t ，则 nn nn n n t n n x ∑∑∞=∞==-11212)1(，由于212)1(2lim lim 11=+=+∞→+∞→n n n nn n n n a a ，则收敛半径2=R .又当2-=t 时，级数∑∞=-1)1(n n n 收敛，当2=t 时，级数∑∞=11n n发散，所以)2,2[-∈t ，即级数的收敛域为)3,1[-.3.设),()sin(yxx xy z ?+=，其中),(v u ?具有二阶偏导数，求y x z 2. 解：),(1),()cos(21yxx y y x x xy y x z ??'+'+=??，)(),(1),(1)(),()sin()cos(222222122yxy x x y y x x y y x y x x xy xy xy y x z -?''+'--?''+-=五、（本题5分）求函数2),(22+-=y x y x f 在椭圆域}14|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.解：由于x y x f x 2),(=，y y x f y 2),(-=，令,0),(0),(==y x f y x f yx 在D 内求得驻点)0,0(.在D 的边界上，设)14(2),,(2222-+++-=y x y x y x F λλ，得=-+==+-==+=)3(014),,()2(0212),,()1(022),,(22y x y x F y y y x F x x y x F yx λλλλλλ 当0≠x ，由（1）得1-=λ，代入（2）得0=y ，在代入（3）得??=±=01y x ；同理当0≠y 得?±==20y x ；由于2)0,0(=f ，3)0,1(=±f ， 2)2,0(-=±f ，所以最大值为3，最小值为2-.六、（本题5分）设在上半平面}0|),{(>=y y x D 内，函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f tty tx f -=，证明对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=-?dy y x xf dx y x yf L.解：由格林公式，对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，----±=-1)],(),(),(),([),(),(D y xLdxdyy x yfy x f y x xf y x f dyy x xf dx y x yf .dxdy y x yf y x xf y x f y D x )],(),(),(2[1---±=?? （*）由于函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f tty tx f -=，则该式两端对t 求导有),(2),(),(321y x f t ty tx f y ty tx f x --='+'特取1=t 得0),(2),(),(=++y x f y x yf y x xf y x由（*）式既有0),(),(=-?dy y x xf dx y x yf L。