C++函数、递推、递归(课堂PPT)
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C++函数、递推、递归ppt课件
i = 7 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
// S(7) = 2 * (S(8) + 1) // s2 = s1 = S(7)
i = 6 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
// S(6) = 2 * (S(7) + 1) // s2 = s1 = S(6)
看一个简单的例子：
1 4
第九讲——函数、递推、递归
递归
有 5 个人坐在一起，问第 5 个人多少岁？ 他说比第 4 个人 大两岁。问第 4 个人岁数，他说比第 3 个人大两岁。问第 3 个人，又说比第 2 个人大两岁。问第 2 个人，说比第 1 个人 大两岁。最后问第 1 个人，他说是 10 岁。请问第 5 个人多 大？
3
第九讲——函数、递推、递归
解题思路：
假设用 S(i) 表示第 i 天没吃之前的桃子数目；
则
S(1) 即为第 1 天所摘的桃子数； S(2) = S(1) * 1/2 – 1 第 2 天没吃之前的桃子数
S(3) = S(2) * 1/2 - 1 第 3 天没吃之前的桃子数
…
…
S(9) = S(8) * 1/2 - 1 第 9 天没吃之前的桃子数
= age(2) + 2 + 2 + 2 // c = age(2) + 2
= age(1) + 2 + 2 + 2 + 2；// c = 10;
2 2
计算年龄程序
第九讲——函数、递推、递归
2 3
第九讲——函数、递推、递归
递归算例（2）
用递归方法计算 n! 算法思路：
《c语言递归算法》课件
《C语言递归算法》PPT 课件
C语言递归算法是一种强大的编程技巧，通过函数自身调用实现问题的解决。 本课件将介绍递归算法的概念、实现方式、应用场景、优缺点以及与循环的 区别，同时还会通过案例演示帮助理解。
什么是递归算法？
基本概念
递归是指函数直接或间接地调用自身的过程。
递归特点
递归算法需要有基准条件和递推关系，用于结 束递归和推进递归过程。
递归算法的实现方式
递归函数
通过函数自身调用实现递归，需要定义递归函数和 递归终止条件。
递归流程图
通过流程图展示递归算法的执行过程，帮助理解递 归逻辑。
递归算法的应用场景
1 数学计算
递归算法可以用于解决数学问题，如斐波那契数列、阶乘等。
2 数据结构
递归算法在树、图等数据结构的遍历和搜索中有广泛应用。
递归算法的优点和缺点
优点
• 简化问题复杂度 • 代码结构清晰
缺点
• 执行效率较低 • 内存占用较高
递归算法与循环的区别
1
循环
2
迭代操作
3
递归
函数自身调用
区别
递归更直观，但消耗资源较多；循环更 高效，但代码可读性差。
递归算法的注意事项
1 递归终止条件
保证递归过程能够结束，否则可能导致死循 环。
2 堆栈溢出
过深的递归调用可能导致堆栈溢出，需要注 意递归深度。
递归算法的案例演示
斐波那契数列
通过递归实现斐波那契数列的计算。
二叉树遍历
通过递归遍历二叉树的各种方式。
C语言递归算法是一种强大的编程技巧，通过函数自身调用实现问题的解决。 本课件将介绍递归算法的概念、实现方式、应用场景、优缺点以及与循环的 区别，同时还会通过案例演示帮助理解。
什么是递归算法？
基本概念
递归是指函数直接或间接地调用自身的过程。
递归特点
递归算法需要有基准条件和递推关系，用于结 束递归和推进递归过程。
递归算法的实现方式
递归函数
通过函数自身调用实现递归，需要定义递归函数和 递归终止条件。
递归流程图
通过流程图展示递归算法的执行过程，帮助理解递 归逻辑。
递归算法的应用场景
1 数学计算
递归算法可以用于解决数学问题，如斐波那契数列、阶乘等。
2 数据结构
递归算法在树、图等数据结构的遍历和搜索中有广泛应用。
递归算法的优点和缺点
优点
• 简化问题复杂度 • 代码结构清晰
缺点
• 执行效率较低 • 内存占用较高
递归算法与循环的区别
1
循环
2
迭代操作
3
递归
函数自身调用
区别
递归更直观，但消耗资源较多；循环更 高效，但代码可读性差。
递归算法的注意事项
1 递归终止条件
保证递归过程能够结束，否则可能导致死循 环。
2 堆栈溢出
过深的递归调用可能导致堆栈溢出，需要注 意递归深度。
递归算法的案例演示
斐波那契数列
通过递归实现斐波那契数列的计算。
二叉树遍历
通过递归遍历二叉树的各种方式。
C++函数、递推、递归ppt课件
i = 7 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
// S(7) = 2 * (S(8) + 1) // s2 = s1 = S(7)
i = 6 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
// S(6) = 2 * (S(7) + 1) // s2 = s1 = S(6)
3 0
第九讲——函数、递推、递归
一般形式： S(i-1) = 2 * (S(i) + 1), i = 2,3,4，…，10
则 S(1) 即为第 1 天所摘的桃子数； S(1) = 2 * （S(2) + 1） S(2) = 2 * （S(3) + 1） … S(8) = 2 * （S(9) + 1） S(10) = 1
i = 9 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
i = 8 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
// S(9) = 2 * (S(10) + 1) // s2 = s1 = S(9)
// S(8) = 2 * (S(9) + 1) // s2 = s1 = S(8)
例： 王小二自称刀工不错，有人放一张大的煎饼在砧板上，问他：
“饼不许离开砧板，切 100 刀最多能分成多少块？”
1 0
分析：
第九讲——函数、递推、递归
切一刀
切二刀
切三刀
切四刀
令 q(n) 表示切 n 刀能分成的块数，由上图可知
q(1) = 1 + 1 = 2 q(2) = 1 + 1 + 2 = 4 q(3) = 1 + 1 + 2 + 3 = 7 q(4) = 1 + 1 + 2 + 3 + 4 = 11
PPT-06函数递推和递归
例：
bool checkprime( int );
15
函数的定义
函数返回值的类型 函数名(类型名 形式参数1，
类型名 形式参数2，. . . )
{
// 函数体
说明部分
语句部分
} 例: bool checkprime( int af )
checkprime 为函数名，要以英文字母开头
bool 是函数值的数据类型，这里是布尔型
18
被调用函数嵌套在 if 语句中，a 是实在参数
if ( checkprime( a ) )主函数 调用
checkprime( af ) 子函数 形式参数
19
实在参数是一个具有确定值的表达式
一个函数在调用子函数时，要将实在参数 赋给形式参数
调用时
17 实在参数 a
17 形式参数 af
实在参数的个数及类型应与形式参数一致。 赋值时前后对应关系不会改变。
两者配合得天衣无缝。
13
在checkprime( int af ) 函数 中，有return 0 和 return 1 两处 不同。
如果先有return 0了，后面 一条return 1 就不起作用了。
不会既执行return 0又执行 return 1。
14
函数的说明
要放在主函数之前，告诉系统 有自定义的子函数可以被调用。
for(i=1; i<=m; i=i+1 )
// 计数循环 i
sum=sum+power( i, l ); // 累加
return sum;
// 返回值sum给函数SOP(n, k)
}
// 自定义函数体结束
31
// 以下函数是被函数SOP(n, k)调用的函数 // 功能：计算p的q次幂
bool checkprime( int );
15
函数的定义
函数返回值的类型 函数名(类型名 形式参数1，
类型名 形式参数2，. . . )
{
// 函数体
说明部分
语句部分
} 例: bool checkprime( int af )
checkprime 为函数名，要以英文字母开头
bool 是函数值的数据类型，这里是布尔型
18
被调用函数嵌套在 if 语句中，a 是实在参数
if ( checkprime( a ) )主函数 调用
checkprime( af ) 子函数 形式参数
19
实在参数是一个具有确定值的表达式
一个函数在调用子函数时，要将实在参数 赋给形式参数
调用时
17 实在参数 a
17 形式参数 af
实在参数的个数及类型应与形式参数一致。 赋值时前后对应关系不会改变。
两者配合得天衣无缝。
13
在checkprime( int af ) 函数 中，有return 0 和 return 1 两处 不同。
如果先有return 0了，后面 一条return 1 就不起作用了。
不会既执行return 0又执行 return 1。
14
函数的说明
要放在主函数之前，告诉系统 有自定义的子函数可以被调用。
for(i=1; i<=m; i=i+1 )
// 计数循环 i
sum=sum+power( i, l ); // 累加
return sum;
// 返回值sum给函数SOP(n, k)
}
// 自定义函数体结束
31
// 以下函数是被函数SOP(n, k)调用的函数 // 功能：计算p的q次幂
c语言--函数的递归调用PPT参考幻灯片
第机作业：num(n)= 2* (num(n+1)+1) (n<10)
❖ 说有一只调皮的小猴子,摘了一堆水果,第一天 吃了水果的一半,又多吃了一个;第二天吃了剩 下水果的一半,又多吃了一个;依次类推….到第 十天,发现只剩下了10个水果,请问这只猴子到 底摘了多少个水果?
16
可以看到: 1)、3)为同一问题,都为n –1个盘子借助于一个 空塔移至另一塔上。
10
计
例11 Hanoi问题
第五章 函数
A
B
C
11
计
12
程序如下：
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
第五章 函数
void move(char getone, char putone) {printf("%c--->%c\n",getone,putone); }
1
第五章 函数
张福祥 主编
辽宁大学出版社
1
计
2
第五章 函数
我们先看这样一个例子:
❖ 说有一只调皮的小猴子,摘了一堆水果,第一天 吃了水果的一半,又多吃了一个;第二天吃了剩 下水果的一半,又多吃了一个;依次类推….到第 十天,发现只剩下了1个水果,请问这只猴子到 底摘了多少个水果?
2
计
3
第五章 函数
第五章 函数
age(int n) { int c;
if(n==1) c=10; else c = age(n-1)+2; return(c) ; }
age(5)
n=5
n=4
n=3
n=2
n=1
C++函数、递推、递归
s2 = s1 ;
s1 = 2 * (s2 + 1) ;
s2 = s1 ;
s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
s1 = 2 * (s2 + 1) ;
s2 = s1 ;
// S(5) = 2 * (S(6) + 1) // s2 = s1 = S(5) // S(4) = 2 * (S(5) + 1) // s2 = s1 = S(4) // S(3) = 2 * (S(4) + 1) // s2 = s1 = S(3)
•fact(1) = 1 （边界条件）
精品PPT
第九讲——函数(hánshù)、递推、递 归
递推算(tuī suàn)例（3）
递推算法程序实现： 有了通项公式和边界条件后，采用循环结构，从边
界条件出 发，利用通项公式通过若干步递推过程就可以求出结果；
例： 王小二自称刀工不错，有人放一张大的煎饼在砧板上，问他： “饼不许离开砧板，切 100 刀最多能分成多少块？”
借助循环结构采用递推方法求解！
精品PPT
第九讲——函数(hánshù)、递推、 递归
一般(yībān) 形式a：ge(n) = 10
age(n) = age(n-1) + 2
(n=1)
(n>2)
精品PPT
第九讲——函数(hánshù)、递推、递 归
分析： 上述求解是从求解目标出发，即将第 n 个人的年龄表示第 (n-1) 个人的年龄，再回溯到第 （n-2）个人的年龄 …… 直 到第 1 个人的年龄；（回溯阶段） 然后，采用递推方法，从第 1 个人的已知年龄推算第 2 个 人的年龄，在推算第 3 个人的年龄，直到推算出第 5 个 人的 年龄；（递推阶段） 这是一个递归问题，对它的求解可以分成 回溯 和 递推 两 个阶段；显而易见，如果不希望递归过程无限制的进行 下去， 必须有一个结束(jiéshù)递归过程的条件；如： age(1) = 10
s1 = 2 * (s2 + 1) ;
s2 = s1 ;
s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
s1 = 2 * (s2 + 1) ;
s2 = s1 ;
// S(5) = 2 * (S(6) + 1) // s2 = s1 = S(5) // S(4) = 2 * (S(5) + 1) // s2 = s1 = S(4) // S(3) = 2 * (S(4) + 1) // s2 = s1 = S(3)
•fact(1) = 1 （边界条件）
精品PPT
第九讲——函数(hánshù)、递推、递 归
递推算(tuī suàn)例（3）
递推算法程序实现： 有了通项公式和边界条件后，采用循环结构，从边
界条件出 发，利用通项公式通过若干步递推过程就可以求出结果；
例： 王小二自称刀工不错，有人放一张大的煎饼在砧板上，问他： “饼不许离开砧板，切 100 刀最多能分成多少块？”
借助循环结构采用递推方法求解！
精品PPT
第九讲——函数(hánshù)、递推、 递归
一般(yībān) 形式a：ge(n) = 10
age(n) = age(n-1) + 2
(n=1)
(n>2)
精品PPT
第九讲——函数(hánshù)、递推、递 归
分析： 上述求解是从求解目标出发，即将第 n 个人的年龄表示第 (n-1) 个人的年龄，再回溯到第 （n-2）个人的年龄 …… 直 到第 1 个人的年龄；（回溯阶段） 然后，采用递推方法，从第 1 个人的已知年龄推算第 2 个 人的年龄，在推算第 3 个人的年龄，直到推算出第 5 个 人的 年龄；（递推阶段） 这是一个递归问题，对它的求解可以分成 回溯 和 递推 两 个阶段；显而易见，如果不希望递归过程无限制的进行 下去， 必须有一个结束(jiéshù)递归过程的条件；如： age(1) = 10
C++函数、递推、递归ppt课件
递归调用
在调用一个函数的过程中又出现直接或间接地调用该 函数本身，称为函数的递归（recursive）调用; C++允许函数的递归调用；
例：
int f(int x) {
int y, z;
z = f(y);
return 2 * z;
}
大连理工大学 盘锦校区基础教学部
19
递归调用
第九讲——函数、递推、递归
大连理工大学 盘锦校区基础教学部
23
第九讲——函数、递推、递归
递归算例（2）
用递归方法计算 n! 算法思路：
若 n = 10, 则 n! = 10 * 9! 定义函数 fact(n) 表示计算 n！的函数，则有
fact(n) = n * fact(n-1), n > 1
fact(n) = 1,
n = 0, n = 1;
然后，采用递推方法，从第 1 个人的已知年龄推算第 2 个 人的年龄，在推算第 3 个人的年龄，直到推算出第 5 个人的 年龄；（递推阶段）
这是一个递归问题，对它的求解可以分成 回溯 和 递推 两 个阶段；显而易见，如果不希望递归过程无限制的进行下去， 必须有一个结束递归过程的条件；如：age(1) = 10
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递推算例（3 ） 参考程序：
第九讲——函数、递推、递归
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递归
第九讲——函数、递推、递归
递归算法在可计算理论中占有重要地位，它是算法设计的有 力工具，对于拓展编程思路非常有用。 就递归算法而言不涉及高深数学知识，只不过初学者建立起递 归概念不太容易。
大连理工大学 盘锦校区基础教学部
C语言递归算法PPT演示课件
for (k=1;k<=10;k++)
cin>>a[k];
cin>>x;
search(x,L,R);
system("pause");
} void search(int x,int top,int bot) //二分查找递归过程
{
int mid;
if (top<=bot)
{ mid=(top+bot)/2;
an加入到k个子集中的任一个中去，共有k种加入方式，这样对
于an的每一种加入方式，都可以使集合划分为k个子集，因此
根据乘法原理，划分数共有k * S(n－1，k)个。
•16
综合上述两种情况，应用加法原理，得出n个元素的集合 ｛a1，a2，……，an｝划分为k个子集的划分数为以下递归公 式：S(n，k)＝S(n－1，k－1) + k * S(n－1，k) (n>k，k>0)。
确定n个元素a1 ，a2 ，……，an 放入k个无标号盒子中去
的划分数S(n，k)。
【输入样例】setsub.in
23 7
【输出样例】setsub.out
4382641999117305
•15
【算法分析】
先举个例子，设S＝｛1，2，3，4｝，k＝3，不难得出S有 6种不同的划分方案，即划分数S(4，3)=6，具体方案为：
int s(int n, int k)
//数据还有可能越界，请用高精度计算
{
if ((n < k) || (k == 0)) return 0;
//满足边界条件，退出
if ((k == 1) || (k == n)) return 1;
第6章--函数递推递归(C++版)PPT课件
函数原型和函数定义在返回值类型、函数名和参数个数与类型必 须完全一致，否则，就会发生编译错误。下面对max()函数原型声明 是合法的。
int max（int x, int y）; 也可以：
int max（int , int ）; 可以看到函数原型声明与函数定义时的第一行类似，只多了一个 分号，成为了一个声明语句而已。
• 例6.4 定义一个函数check(n,d)，让它返回一个布尔值。如果数字d 在正整数n的某位中出现则送回true，否则送回false。
• 3．函数的返回值
在组成函数体的各类语句中，值得注意的是返回语句return。它 的一般形式是：
➢ return（表达式）；
其功能是把程序流程从被调函数转向主调函数并把表达式的值带 回主调函数，实现函数的返回。所以，在圆括号表达式的值实际上就 是该函数的返回值。其返回值的类型即为它所在函数的函数类型。当 一个函数没有返回值时，函数中可以没有return语句（在TC++和VC++ ，函数类型定义为void，可以没有return语句；函数类型定义为int ，必须有返回值），直接利用函数体的右花括号“}”，作为没有返 回值的函数的返回。也可以有return语句，但return后没有表达式。 返回语句的另一种形式是：
在一个程序中可以只有主程序而没有子程序(本章以前都是如此) ，但不能没有主程序，也就是说不能单独执行子程序。
在此之前，我们曾经介绍并使用了C++提供的各种标准函数，如 abs(),sqrt()等等，这些系统提供的函数为我们编写程序提供了很大 的方便。比如：求sin(1)+ sin(2)+．．．+sin(100)的值。但这些函 数只是常用的基本函数，编程时经常需要自定义一些函数。
int max（int x, int y）; 也可以：
int max（int , int ）; 可以看到函数原型声明与函数定义时的第一行类似，只多了一个 分号，成为了一个声明语句而已。
• 例6.4 定义一个函数check(n,d)，让它返回一个布尔值。如果数字d 在正整数n的某位中出现则送回true，否则送回false。
• 3．函数的返回值
在组成函数体的各类语句中，值得注意的是返回语句return。它 的一般形式是：
➢ return（表达式）；
其功能是把程序流程从被调函数转向主调函数并把表达式的值带 回主调函数，实现函数的返回。所以，在圆括号表达式的值实际上就 是该函数的返回值。其返回值的类型即为它所在函数的函数类型。当 一个函数没有返回值时，函数中可以没有return语句（在TC++和VC++ ，函数类型定义为void，可以没有return语句；函数类型定义为int ，必须有返回值），直接利用函数体的右花括号“}”，作为没有返 回值的函数的返回。也可以有return语句，但return后没有表达式。 返回语句的另一种形式是：
在一个程序中可以只有主程序而没有子程序(本章以前都是如此) ，但不能没有主程序，也就是说不能单独执行子程序。
在此之前，我们曾经介绍并使用了C++提供的各种标准函数，如 abs(),sqrt()等等，这些系统提供的函数为我们编写程序提供了很大 的方便。比如：求sin(1)+ sin(2)+．．．+sin(100)的值。但这些函 数只是常用的基本函数，编程时经常需要自定义一些函数。
C语言递推与递归PPT课件
• 使用递归函数编程
• void qsort(int array[], int start, int end) • 把数组下标为start到end的元素进行快速排序第18页/共25页快速排序问题5
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汉诺塔问题
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快速排序问题
• 快速排序思路如下
• 将要排序的数据放在数组array中 • 取a[0]变在变量m中，通过分区处理把m排在适当的位置，使
m左边的数都比m小，m右边的数都比m大 • 按照常上面的思路分别处理m左边和右边的数据 • 如果分区长度是1，停止处理
• 思路提示
• m个球取出来的n个，包含两种情况：n在其中和n不在其中
• 编程实现
• 使用递归思想 • 编写递归函数 int cmn(int m, int n)
第12页/共25页
计算组合数
第13页/共25页
汉诺塔问题
• 据说在古代印度bramah神庙中，有个和尚整天把3根 柱子上的金盘倒来倒去。初始在柱子A上有64个盘子串 在一起，每一个盘子都比它下面的盘子小，可以在ABC 三个柱子之间互相移动，最终要全部移动到柱子C上。 移动规则如下：每次只允许移动一个，且较大的盘子永 远不能放在较小的盘子上。
• void qsort(int array[], int start, int end) • 把数组下标为start到end的元素进行快速排序第18页/共25页快速排序问题5
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汉诺塔问题
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快速排序问题
• 快速排序思路如下
• 将要排序的数据放在数组array中 • 取a[0]变在变量m中，通过分区处理把m排在适当的位置，使
m左边的数都比m小，m右边的数都比m大 • 按照常上面的思路分别处理m左边和右边的数据 • 如果分区长度是1，停止处理
• 思路提示
• m个球取出来的n个，包含两种情况：n在其中和n不在其中
• 编程实现
• 使用递归思想 • 编写递归函数 int cmn(int m, int n)
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计算组合数
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汉诺塔问题
• 据说在古代印度bramah神庙中，有个和尚整天把3根 柱子上的金盘倒来倒去。初始在柱子A上有64个盘子串 在一起，每一个盘子都比它下面的盘子小，可以在ABC 三个柱子之间互相移动，最终要全部移动到柱子C上。 移动规则如下：每次只允许移动一个，且较大的盘子永 远不能放在较小的盘子上。
C语言递归算法ppt课件
因此，我们可以得出划分数S(n，k)的递归关系式为：
S(n，k)＝S(n－1，k－1) + k * S(n－1，k) (n>k，k>0)
S(n，k)＝0
(n<k)或(k＝0)
S(n，k)＝1
(k=1)或(k＝n)
ppt课件完整
18
【参考程序】
#include<iostream>
using namespace std;
}
int fac(int n)
{
if (n==1) return 1;
return(fac(n-1)+n);
/p/p调t课用件完下整一层递归
3
}
运行程序，当T=5时，输出结果：S=15，其递归调用执行过程是： （设T=3）
递归调用过程，实质上是不断调用过程或函数的过程，由于递归调 用一次，所有子程序的变量（局部变量、变参等）、地址在计算机内部 都有用特殊的管理方法——栈（先进后出）来管理，一旦递归调用结束， 计算机便开始根据栈中存储的地址返回各子程序变量的值，并进行相应 操作。
mov过程中出现了自己调用自己的情况，在Pascal中称为递归调用，这 是Pascal语言的一个特色。对于没有递归调用功能的程序设计语言，则需 要将递归过程重新设计为非递归过程的程序。
ppt课件完整
13
【例4】用递归的方法求斐波那契数列中的第N个数
【参考程序】 #include<iostream> using namespace std; int a[11]; int fib(int); int main() { int m; cin>>m; cout<<"fib("<<m<<")="<<fib(m); }
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例： 王小二自称刀工不错，有人放一张大的煎饼在砧板上，问他： “饼不许离开砧板，切 100 刀最多能分成多少块？”
1 0
分析：
第九讲——函数、递推、递归
切一刀
切二刀
切三刀
切四刀
令 q(n) 表示切 n 刀能分成的块数，由上图可知
q(1) = 1 + 1 = 2 q(2) = 1 + 1 + 2 = 4 q(3) = 1 + 1 + 2 + 3 = 7 q(4) = 1 + 1 + 2 + 3 + 4 = 11
S(10) = S(9) * 1/2 – 1 第 10 天没吃之前的桃子数
4
第九讲——函数、递推、递归
一般形式： S(i) = S(i-1) * 1/2 – 1,
i = 2, 3, …, 10;
这个公式可用于知第 1 天没吃之前的桃子 数推算第 2 天 没吃之前的，再推算第 3 天没吃之前的，…….。现在要求的是 第 1 天没吃之前的。能否倒过来，先知 第 10 天没吃之前的 的再反推第 9天没吃之 的，……，直到第 1 天没吃之前的。为 此将上式改写为：
《C++语言程序设计》
第九讲 函数、递推、递 归
1
递推
第九讲——函数、递推、递归
递推是计算机数值计算中的一个重要算法。
思路：通过数学推导，将复杂的运算化解为若干重复 的简单运算，以充分发挥计算机长于重复运算的特点；
递推法特点：从一个已知的事实出发，按一定规律推 出下一个事实，再从这个新的已知事实出发，再向下 推出一个新的事实。
1！，2！，3！，…,(n-1)!, n!
另fact(n) 为 n 阶乘，依据后项与前项的关系可以写出递推公
式：
fact(n) = n * fact(n-1) (通项公式)
fact(1) = 1 （边界条件）
9
第九讲——函数、递推、递归
递推算例（3）
递推算法程序实现： 有了通项公式和边界条件后，采用循环结构， 从边界条件出 发，利用通项公式通过若干步递推过程就可以求 出结果；
2
第九讲——函数、递推、递归
递推举例（1）
例: (猴子吃桃问题)
猴子第1天摘下若干桃子，当即吃了一半，还不过瘾， 又多吃了一个。第2天早上又将剩下的桃子吃掉一半， 又多吃了一个。以后每天早上都吃了前一天剩下的一 半另加一个。到第10天早上想再吃时，就只剩下一个 桃子了。问第1天猴子共摘了多少桃子？
个人， 岁。
大？age(3) = age(2) + 2;
i = 4 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
i = 3 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
i = 2 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
i = 1 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
// S(5) = 2 * (S(6) + 1) // s2 = s1 = S(5) // S(4) = 2 * (S(5) + 1) // s2 = s1 = S(4) // S(3) = 2 * (S(4) + 1) // s2 = s1 = S(3)
s2 = s1 ;
// s2 = s1 = S(7)
i = 6 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
// S(6) = 2 * (S(7) + 1) // s2 = s1 = S(6)
7
第九讲——函数、递推、递归
i = 5 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
1 1
分析：
第九讲——函数、递推、递归
切一刀
切二刀
切三刀
切四刀
在切法上是让每两条线都有交点。用归纳法可得出
q(n) = q(n-1) + n q(0) = 1 (边界条件)
1 2
递推算例（3） 参考程序：
第九讲——函数、递推、递归
1 3
递归
第九讲——函数、递推、递归
递归算法在可计算理论中占有重要地位，它是算法设计的有 力工具，对于拓展编程思路非常有用。 就递归算法而言不涉及高深数学知识，只不过初学者建立起递 归概念不太容易。
3
第九讲——函数、递推、递归
解题思路：
假设用 S(i) 表示第 i 天没吃之前的桃子数目；
则
S(1) 即为第 1
天所摘的桃子数；
S(2) = S(1) * 1/2 – 1 第 2 天没吃之前的桃子数
S(3) = S(2) * 1/2 - 1 第 3 天没吃之前的桃子数
…
…
S(9) = S(8) * 1/2 - 1 第 9 天没吃之前的桃子数
// S(2) = 2 * (S(3) + 1) // s2 = s1 = S(2)
// S(1) = 2 * (S(2) + 1) // s2 = s1 = S(1)
8
第九讲——函数、递推、递归
递推举例（2）
递推数列 一个数列从某一项起，它的任何一项都可以用它前
面的若干项 来确定，这样的数列称为递推数列，表示某项与其 前面的若干 项的关系就称为递推公式。例如自然数 1,2，…,n 的 阶乘就可 以形成如下数列：
看一个简单的例子：
1 4
第九讲——函数、递推、递归
递归
有 5 个人坐在一起，问第 5 个人多少岁？ 他说比第 4 个人
大两岁。问第
4个
人岁数，他说比第 3 个人大两岁。问第 3
个人，又说比第 2
个人
大两岁。问第 2
个人，
说比第 1
个人
大两岁。最后问第 1 他说ag是e(51)0= age(4) + 2; 请问ag第e(45) 个= 人ag多e(3) + 2;
i = 8 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
// S(9) = 2 * (S(10) + 1) // s2 = s1 = S(9)
// S(8) = 2 * (S(9) + 1) // s2 = s1 = S(8)
i = 7 s1 = 2 * (s2 + 1) ; // S(7) = 2 * (S(8) + 1)
5
程序：
大连理工大学 盘锦校区基础教学部
第九讲——函数、递推、递归
6
6
第九讲——函数、递推、递归
分析：
一般形式：S(i-1) = 2 * (S(i) + 1), i = 10, 9, 8,…, 2;
初始：s2 = 1 ; // S(10) = 1
i = 9 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
1 0
分析：
第九讲——函数、递推、递归
切一刀
切二刀
切三刀
切四刀
令 q(n) 表示切 n 刀能分成的块数，由上图可知
q(1) = 1 + 1 = 2 q(2) = 1 + 1 + 2 = 4 q(3) = 1 + 1 + 2 + 3 = 7 q(4) = 1 + 1 + 2 + 3 + 4 = 11
S(10) = S(9) * 1/2 – 1 第 10 天没吃之前的桃子数
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第九讲——函数、递推、递归
一般形式： S(i) = S(i-1) * 1/2 – 1,
i = 2, 3, …, 10;
这个公式可用于知第 1 天没吃之前的桃子 数推算第 2 天 没吃之前的，再推算第 3 天没吃之前的，…….。现在要求的是 第 1 天没吃之前的。能否倒过来，先知 第 10 天没吃之前的 的再反推第 9天没吃之 的，……，直到第 1 天没吃之前的。为 此将上式改写为：
《C++语言程序设计》
第九讲 函数、递推、递 归
1
递推
第九讲——函数、递推、递归
递推是计算机数值计算中的一个重要算法。
思路：通过数学推导，将复杂的运算化解为若干重复 的简单运算，以充分发挥计算机长于重复运算的特点；
递推法特点：从一个已知的事实出发，按一定规律推 出下一个事实，再从这个新的已知事实出发，再向下 推出一个新的事实。
1！，2！，3！，…,(n-1)!, n!
另fact(n) 为 n 阶乘，依据后项与前项的关系可以写出递推公
式：
fact(n) = n * fact(n-1) (通项公式)
fact(1) = 1 （边界条件）
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第九讲——函数、递推、递归
递推算例（3）
递推算法程序实现： 有了通项公式和边界条件后，采用循环结构， 从边界条件出 发，利用通项公式通过若干步递推过程就可以求 出结果；
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第九讲——函数、递推、递归
递推举例（1）
例: (猴子吃桃问题)
猴子第1天摘下若干桃子，当即吃了一半，还不过瘾， 又多吃了一个。第2天早上又将剩下的桃子吃掉一半， 又多吃了一个。以后每天早上都吃了前一天剩下的一 半另加一个。到第10天早上想再吃时，就只剩下一个 桃子了。问第1天猴子共摘了多少桃子？
个人， 岁。
大？age(3) = age(2) + 2;
i = 4 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
i = 3 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
i = 2 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
i = 1 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
// S(5) = 2 * (S(6) + 1) // s2 = s1 = S(5) // S(4) = 2 * (S(5) + 1) // s2 = s1 = S(4) // S(3) = 2 * (S(4) + 1) // s2 = s1 = S(3)
s2 = s1 ;
// s2 = s1 = S(7)
i = 6 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
// S(6) = 2 * (S(7) + 1) // s2 = s1 = S(6)
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第九讲——函数、递推、递归
i = 5 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
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分析：
第九讲——函数、递推、递归
切一刀
切二刀
切三刀
切四刀
在切法上是让每两条线都有交点。用归纳法可得出
q(n) = q(n-1) + n q(0) = 1 (边界条件)
1 2
递推算例（3） 参考程序：
第九讲——函数、递推、递归
1 3
递归
第九讲——函数、递推、递归
递归算法在可计算理论中占有重要地位，它是算法设计的有 力工具，对于拓展编程思路非常有用。 就递归算法而言不涉及高深数学知识，只不过初学者建立起递 归概念不太容易。
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第九讲——函数、递推、递归
解题思路：
假设用 S(i) 表示第 i 天没吃之前的桃子数目；
则
S(1) 即为第 1
天所摘的桃子数；
S(2) = S(1) * 1/2 – 1 第 2 天没吃之前的桃子数
S(3) = S(2) * 1/2 - 1 第 3 天没吃之前的桃子数
…
…
S(9) = S(8) * 1/2 - 1 第 9 天没吃之前的桃子数
// S(2) = 2 * (S(3) + 1) // s2 = s1 = S(2)
// S(1) = 2 * (S(2) + 1) // s2 = s1 = S(1)
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第九讲——函数、递推、递归
递推举例（2）
递推数列 一个数列从某一项起，它的任何一项都可以用它前
面的若干项 来确定，这样的数列称为递推数列，表示某项与其 前面的若干 项的关系就称为递推公式。例如自然数 1,2，…,n 的 阶乘就可 以形成如下数列：
看一个简单的例子：
1 4
第九讲——函数、递推、递归
递归
有 5 个人坐在一起，问第 5 个人多少岁？ 他说比第 4 个人
大两岁。问第
4个
人岁数，他说比第 3 个人大两岁。问第 3
个人，又说比第 2
个人
大两岁。问第 2
个人，
说比第 1
个人
大两岁。最后问第 1 他说ag是e(51)0= age(4) + 2; 请问ag第e(45) 个= 人ag多e(3) + 2;
i = 8 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;
// S(9) = 2 * (S(10) + 1) // s2 = s1 = S(9)
// S(8) = 2 * (S(9) + 1) // s2 = s1 = S(8)
i = 7 s1 = 2 * (s2 + 1) ; // S(7) = 2 * (S(8) + 1)
5
程序：
大连理工大学 盘锦校区基础教学部
第九讲——函数、递推、递归
6
6
第九讲——函数、递推、递归
分析：
一般形式：S(i-1) = 2 * (S(i) + 1), i = 10, 9, 8,…, 2;
初始：s2 = 1 ; // S(10) = 1
i = 9 s1 = 2 * (s2 + 1) ; s2 = s1 ;