《面面垂直的性质》精品课件

(1)证明：∵ AB是⊙O的直径， P C是圆周上不同于A，B的任 意一点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC C 又∵平面PAC⊥平面ABC， 平面PAC∩平面ABC＝AC, A BC平面ABC O ∴BC⊥平面PAC (2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
B
例3.垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ. 证法一：
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β
（ ×） (3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此
垂线必垂直于平面β（
√
）
例1、如图:已知平面
, , ,直线a满足 a , a , 判断直线a与平面 的位置关系.
解:在 内作垂直于
与 交线的直线 b ∵ a b ∴ b (平面与平面垂直的性质定理) ∵a
线线垂直
设α ∩ γ =b, β ∩ γ =c,在γ 内任取一点P， 作PM ⊥ b于M，PN ⊥C于N. 因为 α⊥γ，β ⊥γ ， α a 所以 PM ⊥ α， PN ⊥ β. β 因为 α ∩ β= a， M b cN 所以 PM ⊥ a， PN ⊥ a， γ P 所以 a⊥γ.
线面垂直
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ. 证法二：
一个平面的有哪些位 符号表示： 置关系?


b
l
Ⅱ.概括结论
l bl
b 该命题正确吗？ b b 简述为： b
面面垂直 线面垂直
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。
已知平面α⊥平面β,α∩
β＝l下列命题
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β （ ×）
小结
A
α a B β
线线垂直
线面垂直
面面垂直
线线平行
面面平行
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提出问题：
1、平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面互相垂直。
2、平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂 线，则这两个平面垂直。
符号表示：
该命题正确吗？


b
b b
平面与平面垂直的性质定理
Ⅰ. 观察实验 两个平面垂直,则一个平 观察两垂直平面中,一 面内垂直于交线的直线 个平面内的直线与另 与另一个平面垂直.
β c′
c
例4：如图，已知PA⊥平面ABC，
平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥AB
证明：过点A作AE⊥PB，垂足 P 为E， ∵平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC=PB， A ∴AE⊥平面PBC ∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB AB B
∴ a // b
(直线与平面垂直的性质定理)
又∵ a
即直线 a 与平面 平行.
∴ a //
(直线与平面平行的判定定理)
例2：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同 于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC， (1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。 (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
C
平面ABC∴ AB ⊥BC
例5：如图，以正方形ABCD的对角线AC为折痕，
使△ADC和△ABC折成相互垂直的两个面，求BD
与平面ABC所成的角。
D
∠OBD=45o
D
折成
A
O
C A O
┓
C
B
B
思考题：如图，在正三棱柱ABC-A1 B1C1 中，
（正三棱柱指底面是正三角形，侧棱与底面垂 直的三棱柱），E为B B1 的中点，
设α⊥γ于b，β ⊥γ于c. 在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ. 同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ, 所以 b′ ‖c′, 又b′ β, c′ β, 所以 b′ ‖ β. 又 b′ α, α ∩ β=a, 所以 b′ ‖ a, γ 故 a ⊥ γ.
线线平行
线面垂直
α b′ b a
求证：截面A1 EC⊥侧面AC1 。
A
F
B
C
BF⊥侧面AC1
OE∥BF OE⊥侧面AC1
A1
o
E C1
截面A1EC⊥侧面AC1
B1
1、平面与平面垂直的性质定理：两个平面 垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另 一个平面垂直。 2、证明线面垂直的两种方法： 线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直 3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解 决空间图形问题的重要思想方法。