2014年春季高二精品班补课讲义(八)

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2024年新高二数学提升精品讲义直线的点斜式方程(思维导图+2知识点+4考点+过关检测)(解析版)

2024年新高二数学提升精品讲义直线的点斜式方程（解析版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；3．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题.知识点1直线的点斜式方程1、点斜式方程的推导如图，直线l 经过点()000,P x y ，且斜率为k ．设(),P x y 是直线l 上不同于点0P 的任意一点，因为直线l 的斜率为k ，由斜率公式得0y y k x x -=-，即00()y y k x x -=-．2、直线的点斜式方程方程()00-=-y y k x x 由直线上一个定点()00,x y 及该直线的斜率k 确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．【注意】对直线点斜式方程的理解（1）点斜式的前提条件：①斜率必须存在；②已知直线上一点()00,x y 和直线的斜率k ．（2）当k 任意实数时，方程()00-=-y y k x x 表示恒过定点()00,x y 的无数条直线．3、两种特殊的直线：倾斜角图象特征斜率直线方程0°tan 00= ，即0k =00y y -=，即0y y =90°tan 90 无意义，即k 不存在00x x -=，即0x x =4、求直线点斜式方程的一般步骤：（1）求直线点斜式的步骤为：定点()00,→P x y 定斜率→k 写出方程()00-=-y y k x x （2）点斜式方程()00-=-y y k x x 可表示过点()00,P x y 的所有直线，但0=x x 除外．知识点2直线的斜截式方程1、斜截式方程的推导如图，如果斜率为k 的直线l ()00,P b ，这时0P 是直线l 与y 轴的交点，代入直线的点斜式方程，得()0y b k x -=-，即=+y kx b ．2、直线的斜截式方程我们把直线l 与y 轴的交点为()0,b 的纵坐标叫做直线l 在y 轴上的截距．这样，方程=+y kx b 由直线的斜率k 与它在y 轴上的截距确定，我们把方程=+y kx b 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．【注意】斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时要讨论斜率是否存在．3、斜截式的几种特例0=b =y kx 表示过原点的直线0=k ，0≠b =y b 表示与x 轴平行的直线0=k ，0=b 0=y 表示x 轴考点一：直线的点斜式方程例1．（23-24高二上·江苏苏州·月考）过点()5,2P 且斜率为1-的直线的点斜式方程为（）A ．()52y x -=--B ．()25y x -=--C ．()25y x +=-+D ．()25y x +=--【答案】B【解析】将()5,2P ，斜率为1-带入直线方程点斜式()00y y k x x -=-，得()25y x -=--.故选：B.【变式1-1】（23-24高二下·河南周口·月考）过点()1,2M 且倾斜角为45︒的直线方程为（）A ．1y x =-B ．1y x =+C ．3y x =-+D ．=1y x --【答案】B【解析】过点()1,2M ，且倾斜角为45︒的直线斜率为1，则21y x -=-，即1y x =+．故选：B ．【变式1-2】（23-24高二上·全国·课后作业）方程y ＝k (x －1)(k ∈R)表示()A ．过点(－1,0)的一切直线B ．过点(1,0)的一切直线C ．过点(1,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(1,0)且除x 轴外的一切直线【答案】C【解析】直线的点斜式方程y ＝k (x －1)表示经过点(1,0)且斜率为k 的直线,显然不垂直于x 轴,故选:C .【变式1-3】（23-24高二上·云南昭通·期末）已知在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的三个顶点为()2,4A ，()1,2B -，()2,3C -，求：(1)BC 所在直线的方程；(2)BC 边上的高AD 所在直线的方程.【答案】(1)5310x y ++=；(2)35140x y -+=.【解析】（1）由()1,2B -，()2,3C -，得直线BC 的斜率为()235123BC k --==---，所以BC 所在直线的方程为52(1)3y x +=--，即5310x y ++=.（2）由（1）知，直线BC 的斜率为53BC k =-，而AD BC ⊥，则BC 边上的高AD 所在直线的斜率为35AD k =，所以直线AD 的方程为()3425y x -=-，即35140x y -+=.考点二：直线的斜截式方程例2.（23-24高二上·江苏宿迁·期中）直线61y x =-在y 轴上的截距b 是（）A ．1b =-B ．1b =C ．6b =D ．6b =-【答案】A【解析】由已知61y x =-，令0x =，得1y =-，所以直线在y 轴上的截距为1b =-，故选：A.【变式2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）倾斜角为45︒且在y 轴上的截距是2-的直线方程是（）A ．2y x =+B ．2y x =-C ．2y x =D ．2y x =【答案】B【解析】倾斜角为45︒，∴直线的斜率为1，在y 轴上的截距是2-，∴直线方程2y x =-.故选：B.【变式2-2】（23-24高二上·上海奉贤·月考）过点()2,3-且与直线210x y ++=垂直的直线l 的斜截式方程是.【答案】142y x =+【解析】因为直线l 与直线210x y ++=垂直，所以()21l k ⨯-=-，解得12l k =，所以直线l 的方程为()1322y x -=+，化简可得142y x =+.故答案为：142y x =+【变式2-3】（23-24高二上·陕西宝鸡·月考）根据条件写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率为2，在y 轴上的截距是5；(2)倾斜角为150︒，在y 轴上的截距是2-.【答案】(1)25y x =+；(2)2y x =-.【解析】（1）由直线的斜截式方程知，所求直线方程为25y x =+.（2）因为直线的倾斜角150α=︒，则该直线的斜率tan1503k =︒=.所以该直线的斜截式方程为2y x =-.考点三：直线的图象特征问题例3.（23-24高二上·全国·课后作业）直线35y x =-+不经过的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】画出直线方程得：故直线不过第三象限，故选：C【变式3-1】（23-24高二上·河北高碑店·月考）直线1y ax a=-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由直线1y ax a =-，得：0a ≠，直线的斜率k a =，直线在y 轴上的截距为1a-，当0a >时，10a-<，则直线经过第一象限和第三象限，且与y 轴相交于x 轴下方；当a<0时，10a->，则直线经过第二象限和第四象限，且与y 轴相交于x 轴上方；只有B 选项的图象符合题意，故选：B.【变式3-2】（23-24高二上·甘肃白银·期中）（多选）同一坐标系中，直线1:l y ax b =+与2:l y bx a =-大致位置正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】BC【解析】因为1:l y ax b =+，2:l y bx a =-，对于A ，由图可得直线1l 的斜率a<0，在y 轴上的截距0b <；而2l 的斜率0b >，矛盾，故A 错误；对于B ，由图可得直线1l 的斜率0a >，在y 轴上的截距0b <；而2l 的斜率0b <，在y 轴上的截距0a -<，即0a >，符合题意，故B 正确；对于C ，由图可得直线1l 的斜率a<0，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b >，在y 轴上的截距0a ->，即a<0，符合题意，故C 正确．对于D ，由图可得直线1l 的斜率0a >，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b <，矛盾，故D 错误.故选：BC.【变式3-3】（23-24高二上·重庆·月考）一次函数2:l y kx b =+与1:(,l y kbx k b =为常数，且0)kb ≠，它们在同一坐标系内的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】对于选项A 中，直线1l 的0,kb >直线2l 的0,0,0k b kb ><<∴A 错；对于选项B 中，直线1l 的0,kb >直线2l 的0,0,0k b kb <><，∴B 错；对于选项C 中，直线1l 的0,kb <直线2l 的0,0,0k b kb <><∴C 对；对于选项D 中，直线1l 的0,kb <直线2l 的0,0,0k b kb >>>∴D 错．故选：C ．考点四：点斜式与斜截式的应用例4.（23-24高二上·甘肃兰州·期中）直线l 的方程为35ay ax -=+.(1)证明：直线l 恒经过第一象限；(2)若直线l 一定经过第二象限，求a 的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)3a <【解析】（1）313555-=+=-⎛⎫ ⎪⎝⎭+a y ax a x ，即直线一定过定点13,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限，于是直线l 一定经过第一象限.（2）由于直线经过第一象限的定点13,55⎛⎫⎪⎝⎭，只要该直线在y 轴上的截距大于0即可，而35a y ax -=+经过y 轴上的点30,5a -⎛⎫⎪⎝⎭，则305a ->，解得3a <【变式4-1】（23-24高二上·广东湛江·月考）当a 为何值时，直线1l ：2y x a =-+与直线2l ：()222y a x =-+.(1)平行；(2)垂直.【答案】(1)1a =-；(2)3a =±【解析】（1）要使12//l l ，则需满足221122a a a ⎧-=-⇒=-⎨≠⎩.故当1a =-时，直线1l 与直线2l 平行.（2）要使12l l ⊥，则需满足()()2211a -⨯-=-，∴3a =.故当3a =±时，直线1l 与直线2l 垂直.【变式4-2】（23-24高二上·福建·期中）已知直线1l 的方程为y ＝－2x ＋3.(1)若直线2l 与1l 平行，且过点(1,3)-，求直线2l 的方程；(2)若直线2l 与1l 垂直，且l 2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线2l 的方程．【答案】(1)21y x =-+；(2)122y x =+或122y x =-【解析】（1）由直线2l 与1l 平行，可设2l 的方程为2y x b =-+，将1,3x y =-=代入，得3(2)(1)b =-⨯-+，即得1b =，所以直线2l 的方程为21y x =-+（2）由直线2l 与1l 垂直，可设2l 的方程为12y x m =+，令0y =，得2x m =-，令0x =，得y m =，故三角形面积1|2|||42S m m =-⋅=，所以24m =，解得2m =±，所以直线2l 的方程是122y x =+或122y x =-【变式4-3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知在平面直角坐标系中的两点()()8,6,2,2A B -．(1)求线段AB 的中垂线的方程；(2)求以向量AB为方向向量且过点()2,3P -的直线l 的方程．【答案】(1)32344y x =-；(2)4133y x =--【解析】（1）易知线段AB 的中点的坐标为()5,2-，其斜率624823AB k --==--，所以线段AB 的中垂线的斜率为34，由直线的点斜式方程可得线段AB 的中垂线的方程为()()3254y x --=-，即32344y x =-.（2）由已知得()6,8AB =- ，则直线l 的斜率为43-，又过点()2,3P -，由直线的点斜式方程得直线l 的方程为()()4323y x --=--，即4133y x =--.一、单选题1．（23-24高二上·河南郑州·期末）过点()2,1P -，且倾斜角为90︒的直线方程为（）A ．1y =-B ．2x =C ．2y =D ．=1x -【答案】B【解析】过点()2,1P -，且倾斜角为90︒的直线垂直于x 轴，其方程为2x =.故选：B2．（23-24高二上·广西梧州·期中）直线43y x =+的倾斜角是（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．135︒【答案】A【解析】直线4y x =+的斜率k =30α=︒.故选：A 3．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）直线l 的方向向量()2,3a =，且过点()1,1，则直线l 的方程为（）A ．2350x y +-=B ．3250x y +-=C ．2310x y -+=D ．3210x y --=【答案】D【解析】由直线l 的方向向量可得直线l 的斜率为32，所以直线l 的方程为31(1)2y x -=-，即3210x y --=．故选：D.4．（23-24高二上·全国·课后作业）过点(1,2)-且与直线2y x =+垂直的直线方程为（）A ．2(1)3y x -=+B ．21)y x -+C ．21)y x -=+D ．21)y x -=+【答案】D【解析】直线23y x =+由垂直关系可得垂线的斜率为，又垂线过点(1,2)-，∴垂线方程为21)y x -=+故选：D5．（23-24高二上·江苏连云港·期初考）直线()()10y k x k =+>可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为0k >，所以A C 错；当=1x -时，0y =，故B 对；故选：B6．（23-24高二上·四川成都·期中）直线l 1：y ＝ax ＋b 与直线l 2：y ＝bx ＋a (ab ≠0，a ≠b )在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】对B ，2l 斜率为正，在y 轴上的截距也为正，故不可能有1l 斜率为负的情况.故B 错.当,0a b >时，1l 和2l 斜率均为正，且截距均为正.仅D 选项满足.故选：D二、多选题7．（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线123:52,:0.21,:51l y x l y x l y x =+=-+=-，则（）A ．1l 2l B ．12l l ⊥C ．13l l ⊥D ．1l 3l 【答案】BD【解析】设123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，结合题意易得：1235,0.2,5k k k ==-=，因为()1250.21,k k ⋅=⨯-=-，所以12,l l ⊥因为135,k k ==且21≠-，所以1l 3l .故选：BD.8．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知直线l ：8y x =-，则下列结论正确的是（）A ．点()2,6在直线l 上B ．直线l 的一个方向向量为()1,1u = C ．直线l 在y 轴上的截距为8D ．直线l 的倾斜角为π4【答案】BD【解析】对于A 选项，把2x =代入到8y x =-得y =-6，所以点()2,6不在直线l 上，A 错误；对于B 选项，因为直线l ：8y x =-，即为：80x y --=，直线的斜率为1，所以()1,1u = 为直线的一个方向向量，B 正确；对于C 选项，当0x =时，8y =-，所以直线l 在y 轴上的截距为8-，C 错误；对于D 选项，因为直线的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4，D 正确.故选：BD 三、填空题9．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知直线l 的斜率为1-，且过点(2,5)-，则直线l 在y 轴上的截距是.【答案】3-【解析】由点斜式方程得()52y x +=--，转化为斜截式方程可得3y x =--，所以该直线在y 轴上的截距为3-.故答案为：3-.10．（23-24高二上·吉林·月考）已知直线1l 的倾斜角比直线2l ：4y =+的倾斜角小20︒，则直线1l 的倾斜角为.【答案】100︒【解析】由题意得直线2l ：4y =+的斜率为直线的倾斜角范围为大于等于0︒小于180︒，故2l 的倾斜角为120︒，所以直线1l 的倾斜角为100︒，故答案为：100︒11．（23-24高二上·重庆开州·月考）直线l 过点()0,1P ，且斜率是倾斜角为π6的直线斜率的二倍，则直线l 的方程为【答案】330y -+=【解析】倾斜角为π6的直线的斜率1πtan 6k ==l 的斜率k =，由点斜式方程可得)10y x -=-，整理可得：330y -+=.故答案为：330y -+=.四、解答题12．（2023高二上·江苏·专题练习）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是3-；(2)直线倾斜角是60︒，在y 轴上的截距是5；(3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为2-.【答案】(1)33y x =-；(2)5y =+；(3)122y x =-【解析】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为33y x =-.（2）因为直线斜率为tan 60k =︒=，由直线的斜截式方程可知所求直线方程为：5y =+.（3）因为直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为2-，所以直线过点()4,0，()0,2-，根据两点可求直线斜率201042k --==-，所以直线的斜截式方程为122y x =-.13．（22-23高二上·湖北武汉·期末）ABC 的三个顶点分别是()30A -,，()2,1B ，()2,3C -.(1)求BC 边的垂直平分线DE 所在直线方程；(2)求ABC 内BC 边上中线AD 方程.【答案】(1)220x y -+=；(2)()236030x y x -+=-<<【解析】（1）由()2,1B ，()2,3C -可得线段BC 的中点为()0,2，()131222BC k -==---，因为DE 是BC 边的垂直平分线，所以2DE k =，则DE 所在直线方程：22y x -=即220x y -+=（2）由（1）可得线段BC 的中点为()0,2，故BC 边上中线AD 方程为132x y +=-即2360x y -+=，所以ABC 内BC 边上中线AD 方程：()236030x y x -+=-<<。

15.2(1)高二数学讲义130份

15.2（1）高二数学讲义130份
班级姓名层次
（一）知识综合应用探究
例1.画水平放置的边长为3cm 和4cm 的矩形的直观图.
例2.画水平放置的边长为2cm 的正六边形的直观图．（如图7）
例3.画正三棱柱''
'
ABC A B C -的直观图，使它的底面是边长为2cm 的正三角形，高度是3cm .
例4.画三棱锥的直观图，使它的底面是腰长为a 的等腰直角三角形，过直角顶点的侧棱长为a ，且垂直于底面.
回家作业
一、作图
1.在水平放置的平面α上，作一个边长为3cm 的正三角形的直观图.
2.作正六棱柱的直观图，使它的底面边长为4cm ，高是3cm .
3.矩形的面积是a ，求用斜二测画法得到的直观图的面积.
二、分层
（B ）4 作正五棱柱的直观图，使它的底面边长为4cm ，高是3cm .
（BA ）5．作正四棱锥的直观图，使它的高为1.5a ，且底面边长为a .
（A ）6
2
，求原正三角形的边长.。

高二数学直线与双曲线(绝对精品,有答案超好的讲义,自己整理原创)

双曲线与直线一、双曲线性质：1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. 11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。

高二寒假讲义

38
Part 3 三角函数与复数的转化
39
第 5 讲复数的几何意义
Part 1 复数及其运算的几何意义
44
Part 2 复平面与轨迹问题
46
Part 3 复数与几何综合问题
48
第 6 讲离散型随机变量与分布列
Part 1 离散型随机变量
54
Part 2 离散型随机变量的均值与方差
57
第
1 讲导数的综合应用 1
A. −3
B. −2
C. −1
D. 以上答案都不对
【例 2】
已知函数 f (x) = (x − 3) ex，若经过点 (0, a) 且与曲线 y = f (x) 相切的直线有三条，则 ( )．
A. −3 < a < − e
B. a > −e
C. a < − 3
D. a < − 3 或 a > −e
此类问题的求解思路是：根据极值点的导数为零，列出方程直接求解参数．注意
验证 f (x) = 0 是否为变号零点
2. 已知不等式恒成立/函数最值，求参数范围
恒成立求参数范围问题，往往需要利用原函数的单调性，或者构造新函数判断单调性；常用解题思路有： ① 直接法；② 分离参数法；③ 分类讨论法
精讲精练
【例 4】
已知函数 f (x) = −px3 + 3x (p > 0)，若 f (x) 存在极大值点 x1，且存在一个不与 x1 重合的 x2 使得 f (x1) = f (x2)，则
1 + 2 的值为
．
x1 x2
4
第1讲
【例 5】已知函数 f (x) = x2 + 2 cos x, g (x) = ex(cos x − sin x + 2x − 2)，其中 e = 2.71828 · · · 是自然对数的底数．令 h (x) = g (x) − a f (x) (a ∈ R)，讨论 h (x) 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

2024年新高二数学提升精品讲义圆的一般方程(思维导图+3知识点+6考点+过关检测)(原卷版)

2024年新高二数学提升精品讲义圆的一般方程（原卷版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解圆的一般方程及其特点；2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化；3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.知识点1圆的一般方程1、圆的一般方程：当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程．其中,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径．2、圆的一般方程的形式特点（1）22,x y 项的系数相同且不等于0（2x 和2y 的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）；（2）不含xy 项；（3）2240D E F +->．3、一般方程与标准方程关系：对方程220x y Dx Ey F ++++=的左边配方，并将常数移项到右边，得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据圆的标准方程可知：（1）当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（2）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（3）当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，知识点2圆的一般方程判断点和圆的位置关系已知点()00,M x y ，和圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）则知识点3轨迹与轨迹方程1、轨迹方程和轨迹的定义已知平面上一动点(,)M x y ，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标(,)x y 满足的关系式。

轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）.2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别：（1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征；（2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围．3、坐标法求轨迹方程的步骤（1）建系：建立适当的平面直角坐标系；（2）设点：用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任意一点的M 的坐标；（3）列式：列出关于.x y 的方程；（4）化简：把方程化为最简形式；（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．考点一：二元二次方程与圆例1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆22:4650O x y x y +-++=，则圆心O 和半径r 分别为（）A ．()2,3,O r -=B ．()2,3,O r -=C ．()2,3,O r -=D ．()2,3,O r -=【变式1-1】（23-24高二上·福建厦门·期中）若32,1,0,,14a ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭，则方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示的圆的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1-2】（23-24高二上·广东江门·期末）方程22210x y x m ++--=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（）A ．(),1-∞-B ．()1,-+∞C ．(),2-∞-D ．()2,-+∞【变式1-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）（多选）已知方程()()2224232141690x y m x m y m +-++-++=表示一个圆，则实数m 可能的取值为（）A ．－1B ．0C ．12D ．1考点二：求圆的一般方程例2.（23-24高二上·内蒙古·期末）已知圆C 经过点()1,1-和点()1,3B ，且圆心在y 轴上，则圆C的方程为（）A ．()2222x y ++=B ．()22210x y -+=C ．()2222x y +-=D ．()22210x y ++=【变式2-1】（23-24高二上·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（）A ．22230x y x y +--=B ．22230x y x y ++-=C ．22230x y x y +-+=D ．22230x y x y +++=【变式2-2】（23-24高二下·重庆铜梁·开学考试）已知(2,0)A ，(4,2)B ，O 为原点，则AOB 的外接圆方程为.【变式2-3】（23-24高二上·安徽·月考）已知在ABC 中，AB 边所在直线的方程为360x y --=，AC 边所在直线的方程为20x y --=，AC 边上的中线所在直线的方程为20x y +-=．(1)求C 点的坐标；(2)求ABC 的外接圆方程．考点三：点与圆的位置关系例3.（22-23高二上·天津和平·月考）已知圆C ：22220x y x y +--=，则点(3,1)P 在（）A ．圆外B ．圆上C ．圆内D ．以上情况均有可能【变式3-1】（23-24高二上·内蒙古·期中）若点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部，则a 的取值范围是（）A ．(4,)-+∞B ．1,2⎛⎫-∞ ⎝C ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1(,4),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【变式3-2】（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆C 的方程为222245330x y mx my m m +-++-+=，若点(1,2)m -在圆外，则m 的取值范围是（）A ．(,1)(4,)-∞+∞B ．(1,)+∞C ．(1,4)D ．(4,)+∞【变式3-3】（23-24高二上·全国·课后作业）若点()1,1a a +-在圆22240x y ay +--=的内部，则a 的取值范围是（）.A ．1a >B ．01a <<C ．115a -<<D ．1a <考点四：与圆有关的轨迹问题例4.（23-24高二上·北京·期末）已知点(2,0)B 和点(2,4)C ，直角ABC 以BC 为斜边，求直角顶点A 的轨迹方程.【变式4-1】（23-24高二上·上海青浦·月考）已知两点(5,0)A -，(5,0)B ，动点P 到点A 的距离是它到点B 的距离的3倍，则点P 的轨迹方程是．【变式4-2】（23-24高二上·山东威海·期末）（多选）已知A ，B 是平面内两个定点，且||6AB =，则满足下列条件的动点P 的轨迹为圆的是（）A ．||||6PA PB +=B ．1PA PB ⋅=-C ．||2||PA PB =D ．22||||18PA PB +=【变式4-3】（22-23高二上·云南昆明·期中）已知点(6,0)A ，O 为坐标原点，若动点(,)P x y 满足2OP PA =．(1)试求动点P 的轨迹方程；(2)过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．考点五：圆过定点问题例5.（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆:²²250C x y ax ay ++--=恒过的定点为（）A ．()()2,1,2,1--B ．()()1,2,2,1--C ．()()1,2,1,2--D ．()()2,1,2,1--【变式5-1】（23-24高二上·全国·专题练习）点(),P x y 是直线250x y +-=上任意一点，O 是坐标原点，则以OP 为直径的圆经过定点（A ．()0,0和()1,1B ．()0,0和()2,2C ．()0,0和()1,2D ．()0,0和()2,1【变式5-2】（23-24高二上·全国·专题练习）对任意实数m ，圆2236920x y mx my m +--+-=恒过定点，则定点坐标为．【变式5-3】（23-24高二上·河南信阳·期中）圆2220x y mx y m ++--=恒过的定点是.考点六：与圆有关的实际问题例6.（23-24高二上·河南洛阳·期中）如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（）A B C ．米D ．【变式6-1】（23-24高二上·广东佛山·期中）如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度20AB =米，拱高4OP =米，建适时每间隔4米需要用一根支柱支撑，则支柱22A P 的高度为米．（精确到0.01米，参考数据：33 5.744≈）【变式6-2】（23-24高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有1400多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为16m ，拱高为4m ，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求这座圆拱桥的拱圆的方程；(2)若该景区游船宽10m ，水面以上高3m ，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.(3 1.732)≈一、单选题1．（23-24高二上·陕西汉中·期末）圆222440x y x y +-+-=的圆心和半径分别为（）A ．()1,2,3B ．()1,2,3-C ．()1,2,2-D ．()1,2,3-2．（23-24高二上·四川成都·月考）过三点()()()4,2,1,1,14A B C --,的圆的一般方程为（）A ．227320x y x y ++-+=B ．227320x y x y ++++=C ．227320x y x y +-++=D ．227320x y x y +--+=3．（2024·河北沧州·二模）若点()2,1A 在圆222250x y mx y +--+=（m 为常数）外，则实数m 的取值范围为（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),2-∞-D ．()2,-+∞4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）“4k >”是“方程22(2)50x y kx k y +++-+=表示圆的方程”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆22224590x y ax ay a +-++-=上所有点都在第二象限，则a 的取值范围（）A ．(),3-∞-B ．(],3-∞-C ．33,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭6．（23-24高二上·四川绵阳·期中）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A ，B ，则所有满足PA PBλ=（0λ>，且1λ≠）的点P 的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点(1,0)P ，(1,0)Q -，动点M 满足MP =，记M 的轨迹为C ，则轨迹C 围成图形的面积是（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π二、多选题7．（23-24高二上·重庆万州·期中）若()2,1，()4,2，()3,4，()1,m 四点共圆，则m 的值为（）A ．2B C ．12+D ．38．（23-24高二上·河北邢台·222:240C ax ay x a y +-+=，下列结论正确的是（）A ．当0a =时，曲线C 是一条直线B ．当0a ≠时，曲线C 是一个圆C ．当曲线C 是圆时，它的面积的最小值为2πD ．当曲线C 是面积为5π的圆时，1=a 三、填空题9．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知圆2264120x y x y +-++=与圆22142140x y x y +--+=，则两圆心之间的距离为.10．（23-24高二上·四川泸州·期末）若圆22:220C x y mx y ++-=被直线210x y ++=平分，则圆C 的半径为．11．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知点()0,5A ，()1,2B -，()3,4C --，()2,D a 四点共圆，则=a .四、解答题12．（23-24高二上·全国·专题练习）已知曲线C ：()()2211480a x a y x ay +++-+=．(1)当a 取何值时，方程表示圆？(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点．13．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线12:20,:0l x y l x y ++=+=，直线l 过点()10,4-且与1l 垂直.(1)求直线l 的方程；(2)设l 分别与12,l l 交于点A ，B ，O 为坐标原点，求过三点A ，B ，O 的圆的方程.。

2024年新高二数学提升精品讲义圆的标准方程(思维导图+4知识点+4考点+过关检测)(原卷版)

2024年新高二数学提升精品讲义圆的标准方程（原卷版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征；2．能根据所给条件求圆的标准方程；3．掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题.知识点1圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．如图，在平面直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(,)a b ，半径为r ，(,)M x y 为圆上任意一点，⊙A 就是集合{}P M MA r ==．定义中，定点指的是圆心，定长指的是圆的半径．知识点2圆的标准方程1、圆的标准方程：我们把()()222-+-=x a y b r 称为圆心为(),A a b ，半径长为r 的圆的标准方程．【注意】（1）所谓标准方程，是指方程的形式．圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径．（2）圆的标准方程的右端20r >，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程．2、圆的标准方程的推导过程（1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为A 是定点，设(),A a b ，半径为r ，且设圆上任意一点M 的坐标为(,)x y ．（2）写点集：根据定义，圆就是集合{}P M MA r ==．（3r =．（4）化简方程：将上式两边平方得222()()x a y b r -+-=．3、几种特殊位置的圆的标准方程知识点3点与圆的位置关系1、几何法：点()00,M x y ，圆心(),A a b ，圆的半径r ，设M 与点A 间的距离MA d =，d r >⇔点M 在圆A 外；d r <⇔点M 在圆A 内；d r =⇔点M 在圆A 上．2、代数法：将点()00,M x y 直接代入圆的标准方程()()222-+-=x a y b r 进行判断，即若点()00,M x y 在圆外，则()()22200->+-x a y b r ；若点()00,M x y 在圆内，则()()22200x a y b r +-<-；若点()00,M x y 在圆上，则()()22200x a y b r +-=-．知识点4圆上的点到定点的最大、最小距离设圆心A 到定点C 的距离为d ，圆的半径为r ，圆上的动点为点P ．（1）若点C 在圆外时，max PC d r =+，min PC d r =-；（2）若点C 在圆上时，max 2PC r =，min 0PC =；（2）若点C 在圆内时，max PC d r =+，min PC r d =-．综上：max PC d r =+，min PC d r =-．考点一：求圆的标准方程例1．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知圆的圆心在(3,4)-，半径为5，则它的方程为（）A ．()()22345x y -+-=B ．()()223425x y +++=C ．22(3)(4)25x y ++-=D ．()()22345x y ++-=【变式1-1】（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆C 的一条直径的两个端点坐标分别为()4,1-，()2,3，则圆C 的方程是.【变式1-2】（22-23高二上·广东东莞·期中）求经过点(2,0),(2,2)--且圆心在直线:0l x y +=上的圆的标准方程为.【变式1-3】（23-24高二下·云南玉溪·期中）过三点()()()120,01,33,1O M M ---､､的圆的标准方程是.考点二：点与圆的位置关系例2.（23-24高二上·安徽亳州·月考）（多选）已知()14,9P ，()26,3P 两点，以线段12PP为直径的圆为圆P ，则（）A ．()6,9M 在圆P 上B ．()3,3N 在圆P 内C ．()5,3Q 在圆P 内D ．()2,7R 在圆P 外【变式2-1】（23-24高二上·江苏·专题练习）已知点(,10)P a ，圆的标准方程为()()221112x y -+-=，则点P （）A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．与a 的取值有关【变式2-2】（23-24高二上·重庆·期中）若点(),3A a 在圆()22:15C x y +-=外，则实数a 的取值范围是（）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()1,1-【变式2-3】（23-24高二上·广西·期末）已知两直线2y x k =+与y x =-的交点在圆228x y +=的内部，则实数k 的取值范围是（）A ．11k -<<B ．2<<2k -C ．33k -<<D ．k <考点三：与圆有关的最值问题例3.（23-24高二上·湖北·期中）已知半径为2的圆经过点()3,4，则其圆心到原点的距离的最大值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【变式3-1】（23-24高二上·浙江湖州·月考）若实数x y ，满足221x y +=，则()()2234x y -+-的最大值是（）A ．5B ．6C ．25D ．36【变式3-2】（23-24高二上·上海·期末）已知P 为圆22(3)(4)4x y -+-=上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点Q 到点P 的距离的最大值为.【变式3-3】（23-24高二上·天津武清·月考）已知圆C :()()22124x y ++-=，点()2,0A -，()2,0B .设P 是圆C 上的动点，令22d PA PB =+，则d 的最小值为．考点四：与圆有关的对称问题例4.（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线()()22124x y -+-=上相异两点P 、Q 关于直线20kx y --=对称，则k 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式4-1】（23-24高二上·云南昆明·月考）已知圆()()22124x y +++=关于直线10ax by ++=（0a >，0b >）对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．9C ．4D ．8【变式4-2】（23-24高二上·河北·期中）已知圆M ：()2211x y ++=与圆N ：()()22231x y -+-=关于直线l 对称，则l 的方程为（）A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．230x y +-=【变式4-3】（23-24高二上·四川成都·期末）圆()()22:112C x y -+-=关于直线:1l y x =-对称后的方程为（）A ．()2222x y -+=B ．()2222x y ++=C ．()2222x y +-=D ．()2212x y ++=一、单选题1．（23-24高二上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，圆心为()1,0，半径为2的圆的方程是（）A ．()2212x y -+=B ．()2212x y ++=C ．()2214x y -+=D ．()2214x y ++=2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆M 经过点()()0,20,4,，且圆心M 在直线210x y --=上，则圆M 的面积为（）A ．2πB 5πC ．4πD ．5π3．（23-24高二上·安徽黄山·期末）圆22:(2)(1)1M x y -+-=与圆N 关于直线0x y -=对称，则圆N 的方程为（）A ．22(1)(2)1x y +++=B ．22(2)(1)1x y -++=C ．22(2)(1)1x y +++=D ．22(1)(2)1x y -+-=4．（23-24高二上·广东惠州·期中）点(,3)P m 与圆()()22212x y -+-=的位置关系为（）A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．与m 的值无关5．（2023高二上·全国·专题练习）点(1,1)--在圆22()()4x a y a ++-=的内部，则a 的取值范围是（）A ．11a -<<B ．01a <<C ．1a <-或1a >D ．1a =±6．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知半径为2的圆经过点()3,4，则其圆心到原点的距离最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题7．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆C 经过点()0,0A 、()2,0B ，ABC 为直角三角形，则圆C 的方程为（）A ．()()22114x y -+-=B ．()()22112x y -++=C ．()()22112x y -+-=D ．()()22125x y -+-=8．（23-24高二上·重庆九龙坡·月考）若有一组圆k C ：()()()224R x k y k k -+-=∈，下列命题正确的是（）A ．所有圆k C 的半径均为2B ．所有的圆kC 的圆心恒在直线y x =上C ．当2k =时，点()3,0在圆k C 上D ．经过点()2,2的圆k C 有且只有一个三、填空题9．（23-24高二上·贵州毕节·期末）与圆222430x y x y +-++=有相同圆心，且过点()4,2-的圆的标准方程是.10．（22-23高二下·四川凉山·月考）若圆221:(1)9C x y -+=和圆222:(3)(2)9C x y +++=关于直线l 对称，则直线l 的方程是11．（23-24高二上·全国·专题练习）已知,x y 满足22(1)(2)16x y -+-=，则22x y +的取值范围是.四、解答题12．（23-24高二上·福建福州·期末）已知A 关于直线y x =对称，点()0,0O ，()4,0N 都在A 上.(1)求线段ON 垂直平分线的方程；(2)求A 的标准方程13．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心为C 的圆经过()0,0O ，(0,A 两点，且圆心C 在直线:l y =上．(1)求圆C 的标准方程；(2)点P 在圆C 上运动，求22PO PA +的取值范围．。

2024年高二暑假985培优讲义：第08讲串联电路和并联电路(含解析)

2024年高二暑假985培优讲义：第08讲串联电路和并联电路（含解析）第08讲串联电路和并联电路|学号目标彳1 •理解串联电路、并联电路的特点并能化简电路进行有关计算2.掌握电表的改装原理及其应用［函基础知厂---------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII -----------------------一、串联电路、并联电路的特点项目串联电路并联电路电流各处电流相等，即I=Il=l2= (I)总电流等于各支路电流之和，即1=11+I2+. • -+In电压总电压等于各部分电压之和，即U=Ul+U 2+...+U n各支路两端电压相等，即U=Ul=U2=...=Un 总电阻总电阻等于各部分电阻之和，即R=R1+R2+.. .+Rn 总电阻倒数等于各支路电阻倒数之和，即111 1—=—+—+...+—R Ri R? Rn二、电表的改装原理小量程的表头G 改装成电压表小量程的表头G 改装成电流表内部电路<------------------U ----------------------->■*— Ug—*1*— U r —*o ~~:——®-匚5R 的作用分压分流I Q考点剖析------------------liiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiniiiii -----------------------考点一：串并联电路的计算改装时需要串联或并联的电阻值r _U r _U~U&4 i gR =虹工电表总内阻、=Rg + R = ~j~1 g7?a =-^- = %a R/R I【例1】如图所示，R 】=2Q, &=10Q,氏=10。

，A 、3两端接在电压恒定的电源上, 则（）A. S 断开时，通过R ］与&的电流之比为1:5B. S 闭合时，通过&与氏的电流之比为2:5C. S 断开与闭合两情况下，电阻&两端的电压之比为2:1D. S 断开与闭合两情况下，电路中的总电阻之比为12:7考点二：电表的改装【例2】（2022-湖南师大附中高二期中）如图所示为两个量程的电压表原理图，定值电阻Ri=2.95xiog, #2=1.2x105。

高二数学春季班精编学生版讲义

A、充分非必要条件
B、必要非充分条件
C、充要条件
D、既非充分又非必要条件
4、若点 P（2,4）在直线上的射影是 Q（1,5），则直线方程为
。
5、直线 x y 1的横截距 a =
；纵截距 b =
。
34
6、已知△ABC 的顶点 A（1,1），B（5,3），C（4,5），直线 l 平分△ABC 的面积，且 l ∥直线
变式 2、（1）求过点 A(2,5) ，且平行于直线 l1 : 4x 3y 9 0 的直线方程；（2）求过点 B(3,4) ，且垂直于直线 l2 : 3x 7 y 6 0 的直线方程。
点评：本题的关键是利用直线的法向量和方向向量的关系互相转化。
练习：1、直线过点
A(
x0
,
y0
),
B(x,
y)
是直线
l
上任意一点，
n

(a, b)
是非零向量，
则

AB
∥
n
是
x x0

y
y0
的-----------------（
）
a
b
A、充分非必要条件
B、必要非充分条件
C、充要条件
D、既非充分又非必要条件
2、过点（-1，0）且与直线 x 1 y 1 有相同方向向量的直线方程为-----（） 5 3
上，求
（1）顶点 C 的坐标；
（2）直线 MN 的方程；
（3）AB 边上的高 CH 所在的直线方程。
点评：关键是寻找确定直线的两个独立条件（位置和方向）。
变式 1、正方形 ABCD 的顶点 A 的坐标为 (4,0) ，它的中心 M 的坐标为 (0,3) ，求正方形的两

(整理)益智学校春季教师讲义高二

益智学校高二春季班讲义第二讲高考复习策略(2) 首次提出要重视对考生科学素养的考查新课程教学理念已渗透到教学和高考中新课程教学目标：知识和技能；过程和方法态度、情感和价值观四省市新课程高考：1.保持全国高考要求一致和稳定2.增加摸块选作题，提供选择性3.强调了过程和方法，注重探究和评价经过8年的理科综合考试实践，考试模式已经较为成熟，积累了丰富的命题经验，可以相信今后处于相对稳定状态，但随课改进行，依然会稳中有变。

二、复习建议1．合理制定教学目标重视基础、理顺思路2.处理好新题型与传统题型的关系* 重视传统题型对基本能力的培养* 注意新题型对观察问题、发现问题和解决问题的能力的培养3.处理好主干知识与非主干知识的关系(1) 通过典型例题，加深对主干、核心规律的理解领悟复习不是简单重复，把知识结构化、系统化的目的是抓住核心，居高临下，融会贯通。

站在力和运动关系高度理解力、理解各种运动形式：(98)如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B；在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E.一质量为m，电量为-q的粒子从坐标原点O沿着x轴正方向射出，射出之后，第三次到达x轴时，它与原点O的距离为L. 求此粒子射出时的速度v0和运动的总路程s (重力不计).(06理2) 25．（16分）如图所示，在x<0与x>0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且B1>B2。

一个带负电荷的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？(04理Ⅲ) 24．(18分) 如图所示，在y>0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y<0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面(纸面)向外。

一电量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上x=h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后，经过x 轴上x =2h 处的P 2点进入磁场，并经过轴上y =-2h 处的P 3点。

2014 高

拓展训练(时间：25 分钟，满分：43 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 15 分) 1． (2012· 天津)设 m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0 与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1 相切，则 m＋n 的取值范
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第7 讲
（一）热点透析
考查目标
直线与圆、圆与圆的位置关系
1.考查直线与圆的相交、相切问题，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2.计算弦长、面积，考查与
圆有关的最值；根据条件求圆的方程．达成目标 1.会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系；2.掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆
d＝|r1－r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解
1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合， “代数法”与“几何法”是从不同的方面和思
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D．(－∞，－
3． (2011· 大纲全国)设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于 ( A．4 B．4 2 C．8 )
D．8 2
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 4．若过点 A(a，a)可作圆 x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0 的两条切线，则实数 a 的取值范围为______________． 5．若过定点 M(－1,0)且斜率为 k 的直线与圆 C： x2＋4x＋y2－5＝0 在第一象限内的部分有交点，则 k 的取值范围是__________． 1 2 2 6．过点 M 2，1的直线 l 与圆 C：(x－1) ＋y ＝4 交于 A、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线 l 的方程为______________．

高二物理(人教版)精品讲义—简谐运动

高二物理（人教版）精品讲义—简谐运动课程标准课标解读1.通过对弹簧振子的研究，体会理想模型的建立方法。

2.通过利用数码相机、频闪仪和计算机等现代化工具，探究弹簧振子的位移随时间的变化规律。

3.通过对简谐运动图像的绘制，体会并总结简谐运动的规律。

1.知道什么是弹簧振子，理解弹簧振子是一种理想化的物理模型.2.借助弹簧振子理解一次全振动、平衡位置及简谐运动的位移等概念.3.知道什么是简谐运动，知道简谐运动的振动图像为正弦曲线(或余弦曲线)，知道描述简谐运动的常用物理量及意义.知识点01弹簧振子模型1.如图所示，如果小球与杆之间的摩擦可以不计，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子．2.弹簧振子的位移—时间图像以纵坐标表示振子的位移，横坐标表示时间，描绘出简谐运动的振子的位移随时间变化的图像，称为简谐运动的图像，简谐运动的图像是一条正弦(或余弦)曲线．【即学即练1】(多选)下列运动属于机械振动的是()A ．说话时声带的运动B ．弹簧振子在竖直方向的上下运动C ．体育课上同学进行25米折返跑D ．竖直向上抛出的物体的运动【答案】AB【解析】机械振动的特点是物体在平衡位置附近做往复运动．知识点02简谐运动1.定义：如果做机械振动的质点，其位移与时间的关系遵从正弦(或余弦)函数规律，这样的振动叫做简谐运动．2.特点：简谐运动是最简单、最基本的振动．弹簧振子的运动就是简谐运动．【即学即练2】关于简谐运动，下列说法正确的是()A．简谐运动一定是水平方向的运动B．所有的振动都可以看作是简谐运动C．物体做简谐运动时的轨迹线一定是正弦曲线D．只要振动图象是正弦曲线，物体一定做简谐运动【答案】D【解析】物体的简谐运动并不一定只在水平方向发生，各个方向都有可能发生，A错；简谐运动是最简单的振动，B错；物体做简谐运动时的轨迹线并不一定是正弦曲线，C错；若物体振动的图象是正弦曲线，则其一定做简谐运动，D对．考法01简谐运动的图像1．弹簧振子(1)组成：如图所示，它是由弹簧和小球(振子)组成的，是一个理想模型．(2)理想化要求：小球在杆上能够自由滑动，球与杆间的摩擦可以不计，弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略．(3)平衡位置：小球原来静止时的位置．(4)机械振动：小球在平衡位置附近所做的周期性的往复运动，简称振动．(5)全振动：振动物体往返一次(以后完全重复原来的运动)的运动叫做一次全振动．如图4所示，对于水平方向运动的弹簧振子：A→O→B→O→A，即为一次全振动．(6)位移—时间图像①坐标系的建立：为了研究振子的运动规律，以小球的平衡位置为坐标原点，用横坐标表示振子振动的时间，用纵坐标表示振子相对平衡位置的位移，建立坐标系，如图所示，这就是弹簧振子运动时的位移—时间图像．②物理意义：振动图像表示振子相对平衡位置的位移随振动时间的变化规律．③振动图像：理论和实验表明，弹簧振子振动时，其位移—时间图像是正弦曲线(或余弦曲线)．2．简谐运动如果质点的位移与时间的关系遵从正弦(或余弦)函数的规律，即它的振动图像(x －t图像)是一条正弦(或余弦)曲线，这样的振动叫做简谐运动．简谐运动是最简单、最基本的振动．弹簧振子的振动就是简谐运动．【典例1】(多选)如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时开始计时，其振动的x－t图象如图乙所示．则下列说法中正确的是()A．t2时刻振子在A点B．t2时刻振子在B点C．在t1～t2时间内，振子的位移在增大D．在t3～t4时间内，振子的位移在减小【答案】AC【解析】振子在A点和B点时的位移最大，由于取向右为正方向，所以振子运动到A点有正向最大位移，在B点有负向最大位移，则t2时刻，振子在A点，t4时刻，振子在B点，故选项A正确，B错误；振子的位移是以平衡位置为参考点的，所以在t1～t2和t3～t4时间内振子的位移都在增大，故选项C正确，D错误．【典例2】(多选)如图所示是表示某弹簧振子运动的x－t图象，下列说法正确的是()A．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动B．t2时刻振子的位移最大C．t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动D．该图象是从振子在平衡位置时开始计时画出的【答案】BC【解析】从题图可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图象，D选项错误；t1时刻以后振子的位移为负，因此t1时刻振子正通过平衡位置向负方向运动，A选项错误；t2时刻振子在负的最大位移处，因此可以说是振子的位移最大，B选项正确；t3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻振子正通过平衡位置向正方向运动，C选项正确．题组A基础过关练一、单选题1．在弹簧振子做简谐运动的过程中，当振子从最大位移处向平衡位置运动时，下列说法中正确的是（）A．加速度逐渐减小，速度也逐渐减小B．是匀加速运动C．加速度与速度的方向都与位移的方向相反D．回复力逐渐增加，速度也逐渐增加【答案】C【解析】做简谐运动的物体，在由最大位移处向平衡位置运动过程中，位移减小，回复力F=-kx也减小（负号表示方向与位移方向相反），故加速度kxam=-也减小（负号表示方向与位移方向相反），速度增大．振子做加速度减小的加速运动．故C正确，ABD错误.2．下列振动中可以看作一个简谐运动的是（）.A．讲话时声带的振动B．音叉的振动C．心脏的跳动D．秋风中树叶的振动【答案】B【解析】当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置，它是一种由自身系统性质决定的周期性运动。

高二春季班数学讲义之二项式的综合及应用(学生版)

学科培优数学“二项式的综合及应用”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位二项式定理在高考中每年基本都会出现，题型为以下几种：求展开式某一项或某一项的系数；求所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和；二项式某一项为字母，求这个字母的值；求近似值的问题.试题难度不大，与教材习题相当.因此，二项式定理一节内容的学习或复习要重视基础，对二项式定理的展开式、通项公式、二项式系数的性质等弄清原理，熟练掌握。

知识梳理二项式系数之和为2n ，即0122nnn n n n C C C C ++++= 其中，二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C1．对于二项式定理的构成，展开式中含n r r a b -的项的系数可理解为从n 个相同的a+b 中先取出r 个b ，有rn C 种不同取法，再从剩下的n-r 个括号中取出n-r 个a ，有n rn r C --种方法，据分步计数原理，共有rn rrn n r n C C C --⋅=种不同方法数，该方法数就对应着展开式中含n r r a b -的项的系数.2．二项展开式的各项均含有不同的组合数，若赋予a ，b 不同的取值，则二项式展开式演变成一个组合恒等式.因此，揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的“母函数”，它是解决组合多项式问题的原始依据.二项式及其二项展开式求各系数和或部分系数和，可用赋值法，即令x 取特殊值来解决。

对于二项展开式中各奇数项系数的和或各偶数项系数的和或其它有关多项式中系数的和，一般可根据问题的具体情况，对未知数x 赋予适当的数值，运用特取法求出和式的值。

一、求多项式展开的系数对于多项式的展开式的问题可以利用赋值法或者转化成二项式的形式处理。

多项展开式中某一项系数的主要求法（1）等价转化：配方转化；求和转化；分解转化；化整为零。

（2）局部展开；（3）两次利用二项式定理或两次利用二项展开式的通项公式；（4）借助求解组合应用题的思想【试题来源】【题目】如果52))(1(a x x x -++（a 为实常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含4x 项的系数为【难度系数】4【试题来源】【题目】已知当12x <时，有21124(2)12n x x x x=-+-+-++，根据以上信息，若对任意12x <,都有20123,(1)(12)n n x a a x a x a x x x =+++++-+则10a =【难度系数】4【试题来源】【题目】(1＋x ＋x 2) 1x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭6的展开式中的常数项为________ 【难度系数】3【试题来源】【题目】210(1)x x -+展开式中3x 项的系数为（） A.210- B.210 C.30 D.30- 【难度系数】3【试题来源】【题目】设6260126(23)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-++-，则4a =___ ____【难度系数】3【试题来源】【题目】试求下列二项展开式中指定项的系数.（1）522)44(-+x x 的展开式中4x 项的系数；（2）65)21()1(x x --的展开式中3x 项的系数；（3）2032)1()1()1()1(x x x x ++++++++ 的展开式中4x 项的系数；（4）52)23(++x x的展开式中x 项的系数；（5）62)321(x x -+的展开式中5x 项的系数；【难度系数】3【试题来源】【题目】(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中，x 2的系数为____。

2014届高二段二复习讲义-圆锥曲线1(教师版)

- 1 - 2014届高二段二复习讲义————圆锥曲线一．填空题1．已知点F 1（－5，0），F 2（5，0），动点P 到F 1与F 2的距离之差是6，则点P 的轨迹是，其轨迹方程是．2．设B （0，－5），C （0，5），△ABC 的周长为36，则△ABC 的顶点A 的轨迹方程是．3．椭圆方程为3x 2＋2y 2＝1，则焦点坐标为，准线方程为．4．双曲线方程为y 2－x 24＝1，则焦点坐标为，准线方程为，渐进线方程为． 5．抛物线y ＝－18x 2的准线方程是，焦点坐标是． 6．椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ，它到左准线的距离是52，则点P 到右焦点的距离是．7．已知点A （3，2），F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 在抛物线上移动，则使P A ＋PF 最小时，点P 的坐标是______________．8．点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上一点，F 1 ，F 2为椭圆的焦点，如果∠PF 1F 2＝75°，∠PF 2F 1＝15°，则椭圆的离心率为_____．9．已知双曲线x 24－y 2＝1的两焦点F 1、F 2，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为__________．10．过点（3，－2）且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同焦点的椭圆方程是．11．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3且它的一条准线与曲线y 2＝4x 的准线重合，则此双曲线的方程是．12．椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k ＝__________．13．若椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝_______________．14．已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为2x －y ＝0，则双曲线的离心率为．15．直线y ＝22x 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的两个交点在x 轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为．16- 2 - 二．解答题17．已知A ，B 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的右顶点、上顶点，F 1是它的左焦点，过F 1作PF 1⊥x 轴，与椭圆在x 轴上方的交点为P ，PO ∥AB ．（1）求该椭圆的离心率；（2）若AB ＝3，求该椭圆的方程．18．如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，A ，B 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为12．点C 在x 轴上，BC ⊥BF ， B ，C ，F 三点确定的圆M 恰好与直线l 1：x ＋3y ＋3＝0相切．（1）求椭圆的方程；（2）过点A 的直线l 2与圆M 交于P ，Q 两点，且−→MP ·−→MQ ＝－2，求直线l 2的方程．。