求两个数的最大公约数辗转相除法

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辗转相除法求最大公约数和最小公倍数

(2006-08-28 11:39:55)

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分类：小学奥数专题讲解

辗转相除法是求最大公约数和最小公倍数的另一种方法。

具体做法是：用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。把这些数相乘就是最小公倍数。

例如：求112和77的最大公约数。

把112和77并列，用77去除112，商1余35，如下图：

因为余数不是0，所以继续用35去除77，商2余7，如下图：

因为余数不是0，继续用7去除35，商5余0，如下图：

当最后余数是0时，辗转相除的过程已经完成，最后的除数7就是112和77的最大公约数。

辗转相除法的算理是根据：在a=bq+r，中，除数b和余数r能被同一个数整除，那么被除数a也能被这个数整除。或者说，除数与余数的最大公约数，就是被除数与除数的最大公约数；如果反过来说，被除数与除数的最大公约数，就是除数与余数的最大公约数。

如果用辗转相除法求两个数的最大公约数时，最后的余数是1，那么这两个数就是互质数，或者说，它们只有公约数1

辗转相除求两数的最大公约数算法

辗转相除，又称欧几里德算法，是求两个数的最大公约数的一种有效方法。该算法基于一个简单的事实：对于任何整数a和b（不都为0），它们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公

约数。即gcd(a,b) = gcd(b,c)，其中c=a%b（%表示取模运算）。

接下来，我们通过一个例子来演示辗转相除法的过程：

假设我们要求45和60的最大公约数，那么我们可以先计算45/60，得到0余45，也就是c=45。然后我们再计算60/45，得到1余15，

也就是c=15。接着我们计算45/15，得到3余0，即c=0。此时b=15，因为c=0，所以gcd(45, 60) = 15。

可以发现，在上述计算中，我们不断用b来除以余数c，直到余数为0为止。最后一次计算得到的b就是两数的最大公约数。

辗转相除算法的时间复杂度为O(logn)，其中n为a和b中较大的数。因此，该算法非常高效，适用于大数的最大公约数计算。

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解最大公约数——辗转相除法的运用技巧

最大公约数是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们简化分数、求解方程等

诸多问题。而辗转相除法是一种常用的求解最大公约数的方法，本文将介绍辗转相除法的原理和一些运用技巧。

辗转相除法，也叫欧几里德算法，其基本思想是通过连续取余的方式，将两个

数的较大数不断除以较小数，直到余数为0为止。最后一次不为0的余数即为最大公约数。

首先，我们来看一个简单的例子。假设我们要求解两个数的最大公约数，这两

个数分别为36和48。我们可以按照以下步骤进行计算：

1. 用48除以36，得到商1余12。

2. 用36除以12，得到商3余0。

最后一次不为0的余数是12，所以36和48的最大公约数为12。

辗转相除法的原理非常简单，但在实际运用中，我们可能会遇到一些特殊情况，需要灵活运用技巧。

首先，当两个数中有一个为0时，它们的最大公约数就是另一个数。这是因为

任何数和0的最大公约数都是它本身。

其次，当一个数是另一个数的倍数时，它们的最大公约数就是较小的那个数。

这是因为较小的数可以整除较大的数，所以它们的最大公约数就是较小的数。

接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例子。假设我们要求解两个数的最大公

约数，这两个数分别为72和90。我们可以按照以下步骤进行计算：

1. 用90除以72，得到商1余18。

2. 用72除以18，得到商4余0。

最后一次不为0的余数是18，所以72和90的最大公约数为18。

在这个例子中，我们可以观察到一个规律，即每一步的被除数都是上一步的除数，而余数则是两个数的差。这个规律可以帮助我们更快地计算最大公约数。

辗转相除法求最大公约数和最小公倍数

辗转相除法‎求最大公约‎数和最小公‎倍数

1: /*辗转相除法‎基于如下原‎理：两个整数的‎最大公约数‎等于其中较‎小的数和两‎数的差的最‎大公约数。

2: 例如，252和1‎05的最大‎公约数是2‎1（252 = 21 ×12；105 = 21 ×5）；

3: 因为252‎? 105 = 147，所以147‎和105的‎最大公约数‎也是21。在这个过程‎中，较大的数缩‎

4: 小了，所以继续进‎行同样的计‎算可以不断‎缩小这两个‎数直至其中‎一个变成零‎。这时，所剩下的

5: 还没有变成‎零的数就是‎两数的最大‎公约数。

6: */

7: #inclu‎d e <stdio‎.h>

9: int getGC‎D AndL‎C M(int a,int b){

10: int max=a>b?a:b;//将较大的数‎赋给max‎

11: int min=(max=a)?b:a;//将较小的数‎赋给min‎

12: int temp;//暂时存储变‎量

13: while‎(max!=0){

14: temp=min%max;

15: min=max;

16: max=temp;

17: }

18: print‎f("最大公约数‎为%d\n",min);

19: print‎f("最小公倍数‎为%d\n",a*b/min);

20: }

21:

22: int main(){

23: print‎f("输入两个数‎整数值\n");

24: int a,b;

25: scanf‎("%d",&a);

26: scanf‎("%d",&b);

辗转相除法, 输出两个数的最大公约数python

辗转相除法, 输出两个数的最大公约数

python

辗转相除法是一种求最大公约数的算法，也被称为欧几里得算法，它是一种古老的算法，在中国古代也被广泛应用。本文将介绍如何用Python实现辗转相除法，并输出两个数的最大公约数。

一、辗转相除法原理

辗转相除法是通过不断地用较小的数去除较大的数所得到的余数，再用这个余数去除较小的数，直到余数为0时，较小的数就是这两个数的最大公约数。其数学原理如下：

假设有两个数a和b，记为a>b，那么一定存在一个数c，满足a = b * c + r，其中r是a除以b所得到的余数。

如果r等于0，则说明b就是a和b的最大公约数。

如果r不等于0，则将b设为a，将r设为b，再进行第一步操作，直到r等于0。

举个例子，假设我们要求105和84的最大公约数：

105 = 84 * 1 + 21

84 = 21 * 4 + 0

因此，最大公约数就是21。

二、Python实现辗转相除法

在Python中实现辗转相除法很简单，我们只需要用一个while

循环一直执行辗转相除法，直到余数为0为止。下面是示例代码：```python

def gcd(a, b):

while b != 0:

r = a % b

a = b

b = r

return a

```

这个函数接受两个参数a和b，其中a大于b。在while循环中，我们不断计算a除以b的余数r，并更新a和b的值。当余数r为0时，函数返回a，即为a和b的最大公约数。

三、输出两个数的最大公约数

我们可以写一个简单的程序，让用户输入两个数，然后调用gcd

函数输出它们的最大公约数。下面是示例代码：

求最大公约数的方法辗转相除法证明

全文共四篇示例，供读者参考

第一篇示例：

辗转相除法是求解最大公约数的一种有效方法，也叫做欧几里德

算法。其基本思想是通过反复地用较大数除以较小数，然后用除数去

除余数，一直重复这个过程，直到余数为0为止。最终能够得到这两个数的最大公约数。下面我们来详细地介绍辗转相除法的原理和证明过程。

假设有两个正整数a和b，其中a>b，我们要求它们的最大公约数。首先我们用a除以b，得到商q和余数r，即a = q*b + r。接着我们将b赋值给a，r赋值给b，然后再次用b去除以r，得到商q1和余数r1，即b = q1*r + r1。如此循环下去，直到r1等于0为止。那么此时b就是a和b的最大公约数。

下面我们用数学归纳法来证明辗转相除法的正确性。设a=k*b+r，其中k和r是整数。若d是a和b的一个公约数，则d也是b和r的公约数，反之亦然。因此a和b的公约数集合等于b和r的公约数集合，即gcd(a, b) = gcd(b, r)。

现在我们假设b和r的最大公约数是d。根据辗转相除法的步骤，可以得到以下等式：

b = q1*r + r1

r = q2*r1 + r2

r1 = q3*r2 + r3

...

最终我们会得到r(n-1) = qnrn，其中rn是0。根据这些等式，我们可以得出以下结论：

r(n-2) = r(n-3) - qn-1*r(n-2)

r(n-3) = r(n-4) - qn-2*r(n-3)

...

rn = r1 - q2*r

将这些等式带入最后的等式b = q1*r + r1，可以得出以下结论：

辗转相除法求最大公约数和最小公倍数

最大公约数和最小公倍数是初中数学中的重要概念，它们在数学、物理、化学等领域中都有广泛的应用。本文将介绍一种求最大公约数和最小公倍数的方法——辗转相除法。

一、最大公约数

最大公约数指的是两个或多个整数共有的约数中最大的一个。例如，12和18的最大公约数是6，因为12和18的公约数有1、2、3、6，其中6最大。

求最大公约数最常用的方法是质因数分解法，但这种方法在数比较大时会比较麻烦。辗转相除法是一种简便的方法。

1. 辗转相除法的基本思想

辗转相除法的基本思想是：用较大的数去除较小的数，再用余数去除除数，如此反复，直到余数为0为止。最后的除数就是这两个数的最大公约数。

例如，求12和18的最大公约数，可以按下面的步骤进行：

（1）用18除12，得商1余6；

（2）用12除6，得商2余0。

因为余数为0，所以6就是12和18的最大公约数。

2. 辗转相除法的证明

辗转相除法的正确性可以用数学归纳法来证明。

假设a、b都是正整数，且a>b。

（1）当b=0时，a就是a和b的最大公约数。

（2）当b≠0时，假设r是a÷b的余数，即a=bq+r（q是a÷b 的商，r<b）。

设d是b和r的最大公约数，根据带余除法，可以得到a和b的最大公约数等于b和r的最大公约数，即gcd(a,b)=gcd(b,r)。

根据归纳法的假设可知，gcd(b,r)也可以用辗转相除法求得。因此，gcd(a,b)也可以用辗转相除法求得。

3. 辗转相除法的优点

辗转相除法与质因数分解法相比，具有以下优点：

（1）速度快：辗转相除法只需要进行简单的除法运算，而质因

求最大公约数辗转相除法

最大公约数是数学中一个重要的概念，又称最大公因数。它是两个或多个整数中最大的能被这些整数整除的整数，它也是整除这些数的所有自然数中最大者。最大公约数辗转相除法（Euclidean algorithm）是计算最大公约数最有效的方法之一。本文将详细介绍最大公约数辗转相除法的原理和计算步骤。

一、原理

最大公约数辗转相除法是古希腊数学家厄拉多塞（Euclid）发现的，是一种减法运算的数学方法，以此可以求出两个或多个整数的最大公约数。

该法的基本思想是：给定任意两个正整数a和b（a>b），求它们的最大公约数，先取倍数较大的数a和较小的数b做相减，即a-b，若差值d=a-b不等于零，则把a,b赋值为最初的a,d，再重复上述减法运算，直到减法运算的差值d=0，此时最大公约数即为a和b的最初除数。

二、步骤

最大公约数辗转相除法的计算步骤如下：

（1）确定a和b的值，其中a>b；

（2）求a与b的差d=a-b；

（3）将a,b赋值为a,d；

（4）重复上述第二步和第三步的运算，直到d=0，此时最大公约数即为a和b的最初除数。

例：求最大公约数36和24，如下：

（1）确定a和b的值，其中a>b：a=36，b=24

（2）求a与b的差d=a-b：d=36-24=12

（3）将a,b赋值为a,d：a=36，b=12

（4）重复上述第二步和第三步的运算，直到d=0，此时最大公约数即为a和b的最初除数：

d=36-12=24

a=36，b=24

d=36-24=12

a=36，b=12

d=36-12=24

求最大公约数的方法辗转相除法证明

辗转相除法，又称为欧几里得算法，是一种用于求两个整数的最大公约数（GCD）的经典算法。这个算法基于一个简单但重要的原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。

证明辗转相除法的原理，我们可以按照以下步骤进行：

第一步，假设我们有两个正整数a和b，其中a > b。根据整数的性质，我们知道a可以表示为b的倍数加上余数，即a = bq + r，其中0 ≤ r < b。

第二步，我们考虑a和b的最大公约数。由于a = bq + r，a的任何公约数都必须是b 和r的公约数。因此，a和b的公约数集合是b和r的公约数集合的子集。

第三步，反过来，考虑b和r的最大公约数。由于r = a - bq，r的任何公约数也必须是a和b的公约数。因此，b和r的公约数集合是a和b的公约数集合的子集。

第四步，结合第二步和第三步，我们可以得出a和b的公约数集合与b和r的公约数集合是相同的。因此，a和b的最大公约数等于b和r的最大公约数。

第五步，根据第四步的结论，我们可以反复应用辗转相除法的原理，直到余数为0。此时，非零的除数就是a和b的最大公约数。

因此，我们证明了辗转相除法可以正确地求出两个整数的最大公约数。这个算法不仅简单有效，而且在实际应用中具有广泛的用途，包括密码学、计算机科学等领域。

了解最大公约数使用辗转相除法求最大公约数

了解最大公约数使用辗转相除法求最大公约

数

最大公约数是数学中一个重要的概念，表示两个或多个数可以整除的最大数。求最大公约数的一种常用方法是辗转相除法。本文将详细介绍最大公约数以及辗转相除法的原理和步骤。

最大公约数简介

最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）指的是两个或多个数公有的最大因数。最大公约数是数学中非常基础的概念，它在很多数学问题以及计算机算法中都有重要的应用。

辗转相除法求最大公约数

辗转相除法，也叫欧几里德算法，是一种求解最大公约数的有效方法。该方法基于以下原理：两个整数a和b（a > b）的最大公约数等于b和a%b（a除以b的余数）的最大公约数。通过重复这个过程直到余数为0，最后b即为最大公约数。

下面是辗转相除法求最大公约数的具体步骤：

1. 输入需要求最大公约数的两个整数a和b，其中a > b。

2. 用a除以b，得到除法结果q和余数r（a = b * q + r）。

3. 如果余数r等于0，则b即为最大公约数。

4. 如果余数r不等于0，则将b赋值给a，将r赋值给b，返回步骤2。

通过不断重复步骤2和步骤3，直到余数r等于0，可以找到最大公约数。下面通过一个具体的例子来演示辗转相除法的运算过程。

例：求238和154的最大公约数

1. 输入a = 238，b = 154。

2. 238除以154，得到商1和余数84（238 = 154 * 1 + 84）。

3. 因为余数不为0，所以将b = 154赋值给a，将r = 84赋值给b。

4. 84除以154，得到商0和余数84（154 = 84 * 1 + 70）。

求两个数的最大公约数（列举法与辗转相除法）

求两个数的最⼤公约数（列举法与辗转相除法）

最⼤公约数定义：把能够整除某⼀个数的数，叫做这个数的约数。⼏个数所公有的约数叫这⼏个数的公约数。公约数中最⼤的⼀个叫做这⼏个数的最⼤公约数。例如：27和15,，27 的约数有1,27，3,9；15的约数为：1,15，3,5。⽽27 和15 的公约数为1,3.则最⼤公约数为3。

在了解了最⼤公约数后我们便可以从同时要被两个数整除，且还是最⼤值可以想到⼀个⽐较⿇烦的⽅法。

⽅法⼀：列举法

⽤循环进⾏列举依次排查，从1开始到它本⾝（这⾥的循环结束的表⽰可以在两个数之间随意选择，只要可以取到它本⾝就可以），因为我们是从⼩到⼤依次排列过来的所以每次只要将可以整除的数字赋值给⼀个变量就可以，保证变量每次都会更新为最⼤值。

1 #include<stdio.h>

2int main()

3 {

4int a, b;

5int j = 0;

6 printf("请输⼊两个整数：\n");

7 printf("a=");

8 scanf("%d", &a);

9 printf("b=");

10 scanf("%d", &b);

11//这⾥从1开始依次排查，直到取到它本⾝为⽌

12//循环可以保证每次取到的公约数依次增⼤

13for (int i = 1;i <= b;i++)

14 {

15if (a % i == 0 && b % i == 0)

16 {

17 j = i;//将公约数赋值给变量

18 }

19 }

20 printf("最⼤公约数为：%d", j);

22return0;

辗转相除法求最大公因数

辗转相除法是古希腊求两个正整数的最大公约数的，也叫欧几里德算法，其方法是用较大的数除以较小的数，上面较小的除数和得出的余数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到出现能够整除的两个数，其中较小的数（即除数）就是最大公约数。以求288和123的最大公约数为例，操作如下：

288÷123=2余42

123÷42=2余39

42÷39=1余3

39÷3=13

所以3就是288和123的最大公约数

最大公约数的辗转相除法

辗转相除法，也称为欧几里得算法，是一种用于计算两个整数的最大公约数（GCD）的经典算法。

这个算法基于一个简单的事实：两个整数的最大公约数与其中较小的数和两数的差的最大公约数相同。

以下是辗转相除法的步骤：

将两个数中较大的数除以较小的数，得到余数。

将较小的数和这个余数作为新的两个数，重复步骤1，直到余数为0。

当余数为0时，停止算法，较小的数就是两个数的最大公约数。

例如，计算252和105的最大公约数：

252 ÷105 = 2 余42

105 ÷42 = 2 余21

42 ÷21 = 2 余0

因此，252和105的最大公约数是21。

辗转相除法例题

辗转相除法，也称为欧几里德算法，是求两个正整数的最大公约数的一种常用方法。它的基本原理是通过反复用较小数除较大数，并用余数替换较大数，直到余数为0为止。最后的除数即为两个数的最大公约数。

下面给出一个辗转相除法的例题：

例题：求出60和48的最大公约数。

解析：按照辗转相除法的步骤，我们先用60除以48，并得到商1余12。然后用48除以12，得到商4余0。余数为0，说明此时的除数12即为60和48的最大公约数。

拓展：

辗转相除法除了可以求两个正整数的最大公约数，还可以用于求解一些其他问题。例如，我们可以利用辗转相除法来判断两个正整数是否互质。

如果两个正整数的最大公约数为1，那么我们称这两个数为互质数。互质数的特点是除了1以外没有其他公约数。我们可以通过辗转相除

法来判断两个数是否互质。

例如，我们要判断12和35是否互质，首先用35除以12，得到商2余11。然后用12除以11，得到商1余1。最后用11除以1，得到商11余0。由于最后余数为0，所以12和35的最大公约数为1，即它们是互质数。

辗转相除法的应用还可以扩展到更复杂的问题，比如求解线性同余方程、计算模逆元等。它在数论和密码学中有着广泛的应用。

总之，辗转相除法是求解最大公约数的一种简单有效的方法。它的应用范围广泛，不仅仅局限于求两个正整数的最大公约数，而且可以应用于更复杂的数学问题中。

辗转相除法

辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：

先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；

再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；

又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；

这样逐次用后一个数去除前一个余数，直到余数是0为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质数）。

例如求1515和600的最大公约数，

第一次：用600除1515，商2余315；

第二次：用315除600，商1余285；

第三次：用285除315，商1余30；

第四次：用30除285，商9余15；

第五次：用15除30，商2余0。

1515和600的最大公约数是15。

辗转相除法是求两个数的最大公约数的方法。如果求几个数的最大公约数，可以先求两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数。这样依次下去，直到最后一个数为止。最后所得的一个最大公约数，就是所求的几个数的最大公约数。

最大公约数辗转相除法

最大公约数辗转相除法是一种利用整数之间的关系来求解两个数的最

大公约数的方法。由于其简单易行，被广泛应用于教学和实际中，并

被当做教材和数学竞赛题中的重要内容，是典型的数论算法。

最大公约数辗转相除法的基本原理是：设a、b两数的最大公约数是d，若d不能同时为a和b的整数倍，则d必定是a或b的约数；a除以d

余c，b除以d余e，则有d=gcd(a,b)=gcd(a-c*d,b-e*d)；将d代入

右边，继续对a-c*d、b-e*d进行此计算步骤，直到最终a-c*d=e*d(其中e>1),根据定理，此时则有d=gcd(a,b)=d，可求出d=gcd(a,b)。

该方法实施起来非常简单，使用起来也非常方便，常用于大学生们的

课堂教学和数学竞赛题，而且该方法也可用于解决多个数的最大公约

数的求解问题。

首先，输入a、b两个整数，若a≥b，r=a/b；若a ＜ b，则r=b/a；

将r作为新的a，将余数作为新的b，继续重复上述步骤，直到余数为

0时得以最大公约数。

其次，该方法也可以求出三个或三个以上数的最大公约数。例如，要

求得12、18、24三个数的最大公约数，可以先求12、18的最大公约数，然后将得到的最大公约数与24相除，得到的余数即为最终的最大

公约数。

总之，最大公约数辗转相除法是一种非常有用的数学计算方法，其优

点在于易于推导和简单易行，可以用于求解两个数的最大公约数以及

多个数的最大公约数。