高中数学限时训练试题9
高中数学,函数的单调性限时训练
函数的单调性作业一.填空题1．下列函数①()f x =1x；②()f x =2(1)x -；③()f x =x e ④；()ln(1)f x x =+中，满足 “对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x ”的有 （填序号）．2．函数y =的单调减区间是 ．3．函数)34ln()(2x x x f -+=的单调递减区间是 ．4．若函数()21f x ax x =++在区间[)2,-+∞上为单调增函数，则实数a 的取值范围是 ．5．已知函数()()21,1,log ,1.a a x x f x x x --⎧⎪=⎨>⎪⎩≤若()f x 在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为 ．6．已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是 .7．已知)(x f y =是定义在)2,2(-上的增函数，若)21()1(m f m f -<-，则m 的取 值范围是 ．8．已知⎩⎨⎧≥<+-=)1(log )1(4)13()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是 .9．已知函数()1p f x x x =+-（p 为常数且0p >），若()f x 在区间(1,)+∞的最小值为4，则实数p 的值为 .10．设函数f (x )=x-1x ，对任意[1,),()()0x f mx mf x ∈+∞+<恒成立，则实数m 的取值范围是________.二.解答题11.设函数f （x ）＝bx a x ++（a ＞b ＞0），求f （x ）的单调区间，并证明f （x ）在其单调区间上的单调性．12.（1）求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；（2）已知函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间[2,4]-上是单调函数，求实数a 的取值范围．（3）已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性．13．已知)()(a x ax x x f ≠-=．（1）若2-=a ，试证)(x f 在)2,(--∞内单调递增；（2）若0>a 且)(x f 在),1(+∞内单调递减，求a 的取值范围．14．已知奇函数f (x )的定义域为R ，且)(x f 在),0[+∞上是增函数，是否存在实数m ，使)0()cos 24()32(cos f m m f f >-+-θθ对所有]2,0[πθ∈都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m 的范围，若不存在，说明理由．。
高中数学必修2课后限时训练28 圆的一般方程
高中数学必修2课后限时训练28 圆的一般方程一、选择题1．两圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和x 2＋y 2－6x ＝0的圆心连线方程为( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0答案：C解析：两圆的圆心分别为(2，－3)、(3,0)，直线方程为y ＝0＋33－2(x －3)即3x －y －9＝0，故选C. 2．圆C ：x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0上有两个点P 和Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称，则k ＝( )A ．2B ．－32C ．±32D ．不存在 答案：A解析：由题意得直线kx －y ＝4＝0经过圆心C (－12，3)，所以－k 2－3＋4＝0，解得k ＝2.故选A. 3．当a 取不同的实数时，由方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay －1＝0可以得到不同的圆，则( )A ．这些圆的圆心都在直线y ＝x 上B ．这些圆的圆心都在直线y ＝－x 上C ．这些圆的圆心都在直线y ＝x 或y ＝－x 上D ．这些圆的圆心不在同一条直线上答案：A解析：圆的方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝2a 2＋1，圆心为(－a ，－a )，在直线y ＝x 上．4．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D解析：圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a ，－32b )， 则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，其斜率k ＝－1a >0，在y 轴上的截距为－b a>0，所以直线不经过第四象限，故选D.5．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面只为( )A ．5 2B ．102C ．15 2D ．202答案：B解析：圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心坐标为M (1,3)，半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E 的最长弦AC 为点E 所在的直径，则|AC |＝210.BD 是过点E 的最短弦，则点E 为线段BD 的中点，且AC ⊥BD ，E 为AC 与BD 的交点，则由垂径定理可是|BD |＝2|BM |2－|ME |2＝210－[(1－0)2＋(3－1)2]＝2 5.从而四边形ABCD 的面积为12|AC ||BD |＝12×210×25＝10 2. 6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π答案：B解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝4，所以点P 的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径长的圆，故面积为π×22＝4π.二、填空题7．圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为________．答案：x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0解析：只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程．8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是________． 答案：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0解析：设M (x ，y )，A (2，－1)，则P (2x －2,2y ＋1)，将P 代入圆方程得：(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.9．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.答案：－2解析：由题意可知直线l ：x －y ＋2＝0过圆心，∴－1＋a 2＋2＝0，∴a ＝－2. 三、解答题10．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．解析：解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，因此，当m ＝2时，D 2＋E 2－4F ＝0，它表示一个点，当m ≠2时，D 2＋E 2－4F >0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.解法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点，当m ≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|.[点评] (1)形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D 2＋E 2－4F 是否为正．若D 2＋E 2－F >0，则方程表示圆，否则不表示圆．②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．(2)在书写本题结果时，易出现r ＝5(m －2)的错误结果，导致这种错误的原因是没有理解对一个数开偶次方根的结果为非负数．11．自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．解析：方法1：(直接法)设P (x ，y )，连接OP ，则OP ⊥BC ，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·y x －4＝－1， 即x 2＋y 2－4x ＝0. ①当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．方法2：(定义法)由方法1知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2,0)，|PM |＝12|OA |＝2， 由圆的定义知，P 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内的部分)．12．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)，代入圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0， ①2D ＋6E －F －40＝0. ②设圆在x 轴上的截距为x 1、x 2，它们是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，得x 1＋x 2＝－D .设圆在y 轴上的截距为y 1、y 2，它们是方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两个根，得y 1＋y 2＝－E .由已知，得－D ＋(－E )＝－2，即D ＋E －2＝0. ③由①②③联立解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.。
2019_2020学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式限时规范训练新人教A版必修4
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式【基础练习】1．(2019年河南安阳模拟)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(－4,3)，则sin 2α－cos 2α＝( )A ．－1725B ．－3125C ．－53D ．75【答案】B【解析】由三角函数的定义，可得sin α＝35，cos α＝－45，所以sin 2α＝2sin αcosα＝－2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725，sin 2α－cos 2α＝－3125.故选B ．2．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2【答案】B【解析】因为f (x )＝2sin x cos x ＝sin 2x ，所以f (x )是奇函数，即f (x )的图象关于原点对称．故选B ．3．(2019年安徽马鞍山模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＋2α的值为( ) A ．59 B ．19 C ．±459D ．－59【答案】C【解析】因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝23，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝±53.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＋2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫±53×23＝±459.故选C ． 4．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝( )A ．－13B ．－79C ．79 D ．13【答案】B 【解析】cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2cos 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝29－1＝－79. 5．(2017年福建莆田一模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝14，则cos 2α的值是( )A ．78 B ．－78C ．89D ．－89【答案】B【解析】∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝14，∴cos α＝14，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.故选B ．6．(2019年广东佛山期末)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋7π12＝________. 【答案】－17【解析】由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2，可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2×21－22＝－43，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋7π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋π4＝－43＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×1＝－17.7．已知sin(α－45°)＝－210且0°＜α＜90°，则cos 2α的值为________． 【答案】725【解析】由于sin(α－45°)＝－210且0°＜α＜90°，则－45°＜α－45°＜45°，cos(α－45°)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2102＝7210， ∴cos α＝cos(α－45°＋45°)＝cos(α－45°)cos 45°－sin(α－45°)sin 45°＝7210×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫－210×22＝45，则cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.8．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：3sin 2α＝－4cos 2α.【证明】因为1－tan α2＋tan α＝1，所以tan α＝－12.tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，即sin 2αcos 2α＝－43， 所以3sin 2α＝－4cos 2α.9．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314且0＜β＜α＜π2，求：(1)tan 2α的值； (2)β的大小．【解析】(1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.所以tan α＝sin αcos α＝43，于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－432＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝3314.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝12，所以β＝π3.【能力提升】10．(2018年四川模拟)若1＋sin 2x ＝2cos 2x2，x ∈(0，π)，则tan 2x 的值构成的集合为( )A ．{3}B ．{－3，3}C ．{－3，0，3}D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－33，0，33【答案】C【解析】∵1＋sin 2x ＝2cos 2x2，∴2sin x cos x ＝2cos 2x2－1＝cos x ．∴cos x ＝0或sinx ＝12.又x ∈(0，π)，∴x ＝π2，π6，5π6.∴2x ＝π，π3，5π3.∴tan 2x ＝0或±3，则tan 2x的值构成的集合为{－3，0，3}，故选C ．11．已知cos 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A ．1318 B ．1118 C ．79 D ．－1【答案】B【解析】sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118.12．已知θ∈(0，π)且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝________. 【答案】－247【解析】∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22(sin θ－cos θ)＝210，∴sin θ－cos θ＝15.∴1－2sin θcos θ＝125，2sin θcos θ＝2425＞0.依题意知，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝4925，∴sin θ＋cos θ＝75.∴sin θ＝45，cos θ＝35.∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－725，∴tan 2θ＝sin 2θcos 2θ＝－247.13．已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π4＋2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π4(a ＞0)，且函数的最小正周期为π2.(1)求a 的值；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．【解析】(1)函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π4＋2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫ax －π4(a ＞0)，化简可得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ax －π2＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2ax －π2＋1＝－3cos 2ax ＋sin 2ax ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ax －π3＋1. ∵函数的最小正周期为π2，即T ＝π2，∴T ＝2π2a ＝π2，可得a ＝2.∴a 的值为2.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3＋1. x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，4x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.当4x －π3＝－π3时，函数f (x )取得最小值为1－3；当4x －π3＝π2时，函数f (x )取得最大值为2×1＋1＝3，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为3，最小值为1－ 3.。
2020_2021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质限时规范训练含解析新
第二章 2.4 2.4.2基础练习1．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段的中点坐标是( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(2,3) D ．(3,2) 【答案】D【解析】将y ＝x －1代入y 2＝4x ，整理，得x 2－6x ＋1＝0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝6，x 1＋x 22＝3.∴y 1＋y 22＝x 1＋x 2－22＝6－22＝2.∴所求点的坐标为(3,2)．2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8 【答案】A【解析】由已知可知抛物线的准线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，圆心为(3,0)，半径为4，圆心到准线的距离d ＝3＋p2＝4.解得p ＝2.3.(2020年某某五校联考)直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A.y 2＝－12xB.y 2＝－8xC.y 2＝－6xD.y 2＝－4x 【答案】B【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B.4．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 的值为( )A ．13B ．23C ．23D ．223【答案】D【解析】C 的准线为l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)过定点P (－2,0)．过点A ，B 分别作AM ⊥l 于点M ，BN ⊥l 于点N ，由|FA |＝2|FB |，则|AM |＝2|BN |，点B 为AP 的中点．连接OB ，则|OB |＝12|AF |，∴|OB |＝|BF |.∴点B (1，22)．∴k ＝22－01－－2＝223.故选D ．5．(2019年某某某某期末)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是__________________．【答案】x 2＝2y【解析】由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，－p 2，B ⎝⎛⎭⎪⎫－p ，－p 2，∴S △FAB ＝12·2p ·p ＝1，则p ＝1，即抛物线C 1的方程是x 2＝2y .6.(2020年某某某某质量监测)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝.【答案】43【解析】设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝233.设P (x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF |＝|PA |＝y 0＋1＝43.7．斜率为1的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：如图，由抛物线的标准方程可知焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由题意，直线AB 的方程为y ＝x －1，代入抛物线方程y 2＝4x ，整理得x 2－6x ＋1＝0. (方法一)由x 2－6x ＋1＝0，得x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝1，∴|AB |＝2|x 1－x 2|＝2×x 1＋x 22－4x ·x 2＝2×62－4＝8.(方法二)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝|AA 1|＝x 1＋1，|BF |＝|BB 1|＝x 2＋1，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝6＋2＝8.8．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上有两动点A ，B (AB 不垂直于x 轴)，F 为焦点且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒过定点Q (6,0)，求抛物线C 的方程．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则x 1＋x 2＝8－p .又|QA |＝|QB |，∴(x 1－6)2＋y 21＝(x 2－6)2＋y 22，即(x 1＋x 2－12)(x 1－x 2)＝2p (x 2－x 1)．∵x 1≠x 2，∴x 1＋x 2＝12－2p .∴12－2p ＝8－p .解得p ＝4. ∴所求抛物线C 的方程为y 2＝8x .能力提升9．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有两条C ．有无穷多条D ．不存在 【答案】B【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5＋2＝7.又直线AB 过焦点且垂直于x 轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB |min ＝2p ＝4，∴这样的直线有两条．故选B ．10.(多选题)如图，AB 为过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率存在，则( )A.|AB |＝x 1＋x 2＋pB.x 1x 2＝p 24C.y 1y 2＝－p 2D.以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 【答案】ABCD【解析】由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝x 1＋x 2＋p ，A 正确.设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立抛物线方程，消x 得y 2－2pk y －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝p 24，B ，C 正确.设AB 的中点为M ，M 到准线的距离为d ，则d ＝|AA 1|＋|BB 1|2＝|AF |＋|BF |2＝|AB |2，∴以AB 为直径的圆与准线相切，D 正确.综上，ABCD 全选. 11.(2020年某某永州模拟)已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y ＝－116的距离为d ，若|MN |2＝λ·d 2，则λ的最小值为.【答案】2＋2【解析】抛物线y ＝4x 2的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线为y ＝－116.设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°，得|MN |2＝|MF |2＋|NF |2－2|MF |·|NF |·cos ∠MFN ＝a 2＋b 2＋2ab .由抛物线的定义得M 到准线的距离为|MF |，N 到准线的距离为|NF |，由梯形的中位线定理得d ＝12(|MF |＋|NF |)＝12(a ＋b ).由|MN |2＝λ·d 2，得14λ＝a 2＋b 2＋2ab (a ＋b )2＝1－(2－2)ab (a ＋b )2≥1－(2－2)ab(2ab )2＝1－2－24＝2＋24，得λ≥2＋2，当且仅当a ＝b 时，取得最小值2＋2.12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解：焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p <52p ，不合题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y1y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝52p .解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.。
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------如需电子版请直接拉至文末获取------今日更新【备战新高考】数学新题型：分专题多选题特训24套目录：专题01 集合与常用逻辑用语多选题(原卷版).doc专题01 集合与常用逻辑用语多选题(解析版).doc专题02 函数多选题（原卷版）.docx专题02 函数多选题（解析版）.docx专题03 导数多选题（解析版）.docx专题03 导数多选题（原卷版）.docx专题04 导数及其应用【多选题】（原卷版）.docx专题04 导数及其应用【多选题】（解析版）.docx专题05 平面向量多选题(原卷版).doc专题05 平面向量多选题(解析版).doc专题06 不等式多选题1(原卷版).doc专题06 不等式多选题1(解析版).doc专题07 不等式【多选题】（原卷版）.docx专题07 不等式【多选题】（解析版）.docx专题08 三角函数多选题（原卷版）.docx专题08 三角函数多选题（解析版）.docx专题09 平面向量【多选题】（原卷版）.docx专题09 平面向量【多选题】（解析版）.docx专题10 三角函数【多选题】（原卷版）.docx专题10 三角函数【多选题】（解析版）.docx专题11 三角恒等变换与解三角形【多选题】（原卷版）.docx专题11 三角恒等变换与解三角形【多选题】（解析版）.docx专题12 三角形多选题（原卷版）.docx专题12 三角形多选题（解析版）.docx专题13 立体几何初步【多选题】（原卷版）.docx专题13 立体几何初步【多选题】（解析版）.docx专题14 立体几何多选题（原卷版） -.docx专题14 立体几何多选题（解析版）.docx专题15 空间向量与立体几何多选题(原卷板).doc专题15 空间向量与立体几何多选题(解析版).doc专题16 数列1多选题(原卷版).doc专题16 数列1多选题(解析版).doc专题17 数列2【多选题】（原卷版）.docx专题17 数列2【多选题】（解析版）.docx专题18 直线与圆【多选题】（原卷版）.docx专题18 直线与圆【多选题】（解析版）.docx专题19 解析几何多选题1（原卷版）.docx专题19 解析几何多选题1（解析版）.docx专题20 解析几何多选题2(原卷版).doc专题20 解析几何多选题2(解析版).doc专题21 概率统计多选题（原卷版）.docx专题21 概率统计多选题（解析版）.docx专题22 计数原理及随机变量及其分布【多选题】（原卷版）.docx专题22 计数原理及随机变量及其分布【多选题】（解析版）.docx专题23 统计【多选题】（原卷版）.docx专题23 统计【多选题】（解析版）.docx专题24 复数及推理与证明【多选题】（原卷版）.docx专题24 复数及推理与证明【多选题】（解析版）.docx资料会每天更新一次，一直有新的在增加哦！这个只作为基本的介绍以上是目录简介高中数学会员群部分目录必修一新人教版高中数学必修第一册全套导学案+课件+练习（学科版）新人教版高中数学必修第一册全套导学案word版（凤凰新学案版）新人教版高中数学必修第一册全套教学设计（新教材精创）新人教版高中数学必修第一册全套教学设计教案word版（精创版）新人教版高中数学必修第一册全套教学设计课件及课时作业Word版（步步高版）新人教版高中数学必修第一册全套精品教学课件PPT(正确云)新人教版高中数学必修第一册全套精准培优讲义课件（精讲课堂）新人教版高中数学必修第一册全套精准培优讲义课件（精品）新人教版高中数学必修第一册全套课件（精品）新人教版高中数学必修第一册全套课件含章末复习（版本二）新人教版高中数学必修第一册全套课件及配套试题（红对勾版）新人教版高中数学必修第一册全套课件讲义作业复习资料（优化设计）新人教版高中数学必修第一册全套课件与配套word课时作业（世纪金榜）新人教版高中数学必修第一册全套课时作业新人教版高中数学必修第一册全套课时作业跟踪模块试题Word版（三维设计版）新人教版高中数学必修第一册全套课时作业及章末测试卷Word版新人教版高中数学必修第一册全套课时作业微专题培优阶段练习试题纯word版（学习方略）新人教版高中数学必修第一册全套完整课时作业word版必修二新人教版高中数学必修第二册电子教材PDF版（A版）新人教版高中数学必修第二册电子教材及教师用书（扫描版）新人教版高中数学必修第二册教师用书PDF（A版）新人教版高中数学必修第二册解读（视频版）新人教版高中数学必修第二册全套PPT课件(红对勾)新人教版高中数学必修第二册全套PPT课件（精创）新人教版高中数学必修第二册全套PPT课件（三维设计）新人教版高中数学必修第二册全套PPT课件（中学数学教材全解）新人教版高中数学必修第二册全套导学案新人教版高中数学必修第二册全套讲义教案（带核心素养带情景引入）新人教版高中数学必修第二册全套教案含素养（精创版）新人教版高中数学必修第二册全套教学设计(含核心素养)新人教版高中数学必修第二册全套教学设计（三维设计）新人教版高中数学必修第二册全套课件（5年高考3年模拟）新人教版高中数学必修第二册全套课件（一遍过）新人教版高中数学必修第二册全套课件（优化设计）新人教版高中数学必修第二册全套课件（正确云）新人教版高中数学必修第二册全套课件及配套课时作业（步步高）新人教版高中数学必修第二册全套课件及配套课时作业(金版)新人教版高中数学必修第二册全套课件及配套课时作业（全品）新人教版高中数学必修第二册全套课时作业（步步高）新人教版高中数学必修第二册全套课时作业word版（5年高考3年模）新人教版高中数学必修第二册全套课时作业及章节试卷(三维设计)新人教版高中数学必修第二册一遍过电子书PDF选择性必修一新人教版高中数学各书课后习题答案大全(2019人A版)新人教版高中数学选择性必修第一册单元测试AB卷word版新人教版高中数学选择性必修第一册电子教材PDF新人教版高中数学选择性必修第一册教材习题选编（考前回归系列）新人教版高中数学选择性必修第一册培优班精讲精练（学科版）新人教版高中数学选择性必修第一册全套PPT课件及配套WORD讲义（步步高版）新人教版高中数学选择性必修第一册全套PPT课件及配套word试题（金版学案）新人教版高中数学选择性必修第一册全套单元测试卷基础提升满分三层设计新人教版高中数学选择性必修第一册全套分层练习（学科版）新人教版高中数学选择性必修第一册全套教案含情景引入核心素养新人教版高中数学选择性必修第一册全套教学讲义word版（精品）新人教版高中数学选择性必修第一册全套教学讲配套课时作业章末测试word版（步步高）新人教版高中数学选择性必修第一册全套教学设计word版（学科版）新人教版高中数学选择性必修第一册全套精品课件含素养及全套课时作业（创新设计）新人教版高中数学选择性必修第一册全套课件（未知教辅）新人教版高中数学选择性必修第一册全套课件及配套课时作业（新三维设计）新人教版高中数学选择性必修第一册全套课件及配套课时作业章节测试(53版)新人教版高中数学选择性必修第一册全套课时作业word版（世纪金榜）新人教版高中数学选择性必修第一册全套课时作业及章节测试卷word版(三维设计版)新人教版高中数学选择性必修第一册全套培优测试题word版（学科版）新人教版高中数学选择性必修第一册全套同步课件（精品）新苏教版高中数学选择性必修第一册全套导学案WORD版（凤凰新学案）新苏教版选择性必修第一册全套教学讲义word版（步步高）选择性必修二新人教版高中数学选择性必修第二册电子教材（A版）新人教版高中数学选择性必修第二册培优班精讲资料（解析版）新人教版高中数学选择性必修第二册全套讲义含配套课作业章末测试综合模拟试卷(步步高版)新人教版高中数学选择性必修第二册全套课件（步步高版）新人教版高中数学选择性必修第二册全套课件及配套课时作业（53版）新人教版高中数学选择性必修第二册全套课件及配套课时作业(创新设计版)新人教版高中数学选择性必修第二册全套课件全套讲义全套同步作（步步高版）新人教版高中数学选择性必修第二册全套课件整合850页新人教版高中数学选择性第二册全套课件及配套课时作业（世纪金榜）高考复习备战2022年高考数学一轮复习全套课件及配套课时作业试题（优化设计）备战2022年高考数学一轮复习全套课件讲义及配套word试题（衡中学案版）备战2022年高考数学一轮复习全套课件讲义及配套word试题（红对勾讲与练）备战2022年高考数学一轮复习全套课件讲义及配套word试题（未知品牌）备战2022年高考数学一轮复习全套试题（高考必刷题）备战2021高考数学二轮复习冲刺50天系列“高人一筹”特色强化训练备战2021高考数学二轮复习冲刺选、填-中档、压轴题30篇备战2021高考数学二轮复习全套课件及配套试题(优化设计版)备战2021高考数学二轮复习专题冲刺双一流培优26讲精编备战2021高考数学二轮复习专题方法技巧讲义33讲备战2021高考数学二轮复习专题全套课件及配套试题（全品版）备战2021高考数学二轮专题复习巅峰冲刺专项提升备战2021高考数学二轮专题复习讲义及配套限时训练备战2021高考数学二轮专题复习全套课件及配套试题（步步高版）备战2021高考数学二轮专题复习全套课件及配套试题（高考调研版）备战2021高考数学二轮专题复习全套课件及配套试题（金版教程版）备战2021高考数学二轮专题复习全套课件及配套试题（考势版）备战2021高考数学二轮专题复习全套课件及配套试题（绿色通道版）备战2021高考数学二轮专题复习全套课件及配套试题（南方凤凰台）备战2021高考数学二轮专题复习全套课件及配套试题（全品版2）备战2021高考数学二轮专题复习全套课件及配套试题（三维设计版1）备战2021高考数学二轮专题复习全套课件及配套试题（三维设计版2）备战2021高考数学二轮专题复习全套课件及配套试题（题型大通关）备战2021高考数学二轮专题复习全套课件及配套试题（优化设计版）备战2021高考数学二轮专题复习全套培优讲义45讲艺考生艺体生基础生考点培优讲义经典讲义艺体生高考数学专题讲义60讲及真题演练带答案艺体生高考数学基础知识专题训练(24套)艺体生高考数学复习资料艺体生高考数学复习专用讲义无答案艺体生高考数学复习专用讲义374页艺体生高考数学复习专用复习资料艺体生高考数学复习抓分题型复习讲义(含答案)艺体生高考数学复习押题54题考前必做艺体生高考数学复习系统性教案艺体生高考数学复习文化课快速提分秘籍（带答案）艺体生高考数学复习全套复习资料9个专题（带答案）艺体生高考数学复习全课讲义(安老师版)艺体生高考数学复习考前100天及配套课时作业带答案艺体生高考数学复习讲义含基础训练试题无答案艺体生高考数学复习含课时作业及答案艺体生高考数学复习辅导一本通带部分答案285页艺体生高考数学复习Word版带答案（南方凤凰台）。
高三数学：2024届新结构“8+3+3”选填限时训练1_10(解析版)
2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(1)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1对两个具有线性相关关系的变量x 和y 进行统计时，得到一组数据1,0.3 ,2,4.7 ,3,m ,4,8 ，通过这组数据求得回归直线方程为y=2.4x -2，则m 的值为()A.3B.5C.5.2D.6【答案】A【解析】易知x =1+2+3+44=52,y =13+m4，代入y =2.4x -2得13+m 4=2.4×52-2⇒m =3.故选：A2已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A.若m ⎳α,n ⎳α,则m ⎳nB.若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ⎳αD.若m ⎳α，m ⊥n ，则n ⊥α【答案】B【解析】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.故选：B3已知向量a ，b 满足a =3，b =23，且a ⊥a +b，则b 在a 方向上的投影向量为()A.3B.-3C.-3aD.-a【答案】D【解析】a ⊥a +b ，则a ⋅a +b =a 2+a ⋅b =9+a ⋅b =0，故a ⋅b=-9，b 在a 方向上的投影向量a ⋅b a 2⋅a =-99⋅a =-a.故选：D .4若n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式3x +12xn的展开式的常数项是()A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】因为n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，6×60%=3.6，所以n =8，二项式3x +12x8的通项公式为T r +1=C r 8⋅3x 8-r ⋅12x r =C r 8⋅12 r⋅x8-r 3-r，令8-r 3-r =0⇒r =2，所以常数项为C 28×12 2=8×72×14=7，故选：A5折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧DE ，AC 所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC =120°，则该圆台的体积为()A.5023π B.9π C.7π D.1423π【答案】D【解析】设圆台上下底面的半径分别为r 1,r 2，由题意可知13×2π×3=2πr 1，解得r 1=1，13×2π×6=2πr 2，解得：r 2=2，作出圆台的轴截面，如图所示：图中OD =r 1=1,O A =r 2=2，AD =6-3=3，过点D 向AP 作垂线，垂足为T ，则AT =r 2-r 1=1，所以圆台的高h =AD 2-AT 2=32-1=22，则上底面面积S 1=π×12=π，S 2=π×22=4π，由圆台的体积计算公式可得：V =13×(S 1+S 2+S 1⋅S 2)×h =13×7π×22=142π3，故选：D .6已知函数f x =x 2-bx +c (b >0,c >0)的两个零点分别为x 1,x 2，若x 1,x 2,-1三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式x -bx -c≤0的解集为()A.1,52B.1,52C.-∞,1 ∪52,+∞D.-∞,1 ∪52,+∞ 【答案】A【解析】由函数f x =x 2-bx +c (b >0,c >0)的两个零点分别为x 1,x 2，即x 1,x 2是x 2-bx +c =0的两个实数根据，则x 1+x 2=b ,x 1x 2=c 因为b >0,c >0，可得x 1>0,x 2>0，又因为x 1,x 2,-1适当调整可以是等差数列和等比数列，不妨设x 1<x 2，可得x 1x 2=-1 2=1-1+x 2=2x 1 ，解得x 1=12,x 2=2，所以x 1+x 2=52,x 1x 2=1，所以b =52,c =1，则不等式x -b x -c ≤0，即为x -52x -1≤0，解得1<x ≤52，所以不等式的解集为1,52.故选：A .7已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 为双曲线一条渐近线上的两点，A 为双曲线的右顶点，若四边形MF 1NF 2为矩形，且∠MAN =2π3，则双曲线C 的离心率为()A.3B.7C.213D.13【答案】C【解析】如图，因为四边形MF 1NF 2为矩形，所以MN =F 1F 2 =2c (矩形的对角线相等)，所以以MN 为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2.直线MN 为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为y =bax ，由y =b a x ,x 2+y 2=c 2,解得x =a y =b ，或x =-a ,y =-b , 所以N a ,b ，M -a ,-b 或N -a ,-b ，M a ,b .不妨设N a ,b ，M -a , -b ，又A a ,0 ，所以AM =a +a 2+b 2=4a 2+b 2，AN =a -a 2+b 2=b .在△AMN 中，∠MAN =2π3，由余弦定理得MN 2=AM 2+AN 2-2AM AN ⋅cos 2π3，即4c 2=4a 2+b 2+b 2+4a 2+b 2×b ，则2b =4a 2+b 2，所以4b 2=4a 2+b 2，则b 2=43a 2，所以e =1+b 2a2=213.故选:C .8已知a =ln 1.2e ,b =e 0.2,c =1.2e 0.2，则有()A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.c <b <a【答案】C【解析】令f x =e x -ln x +1 -1,x >0，则f x =e x -1x +1.当x >0时，有e x >1,1x +1<1，所以1x +1<1，所以，f (x )>0在0,+∞ 上恒成立，所以，f (x )在0,+∞ 上单调递增，所以，f (x )>f (0)=1-1=0，所以，f (0.2)>0，即e 0.2-ln1.2-1>0，所以a <b令g x =e x -x +1 ,x >0，则g x =e x -1在x >0时恒大于零，故g x 为增函数，所以x +1ex <1,x >0，而a =ln 1.2e =1+ln1.2>1，所以c <a ，所以c <a <b ，故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知函数f x =sin 2x +3π4 +cos 2x +3π4，则()A.函数f x -π4 为偶函数 B.曲线y =f x 对称轴为x =k π,k ∈ZC.f x 在区间π3,π2单调递增D.f x 的最小值为-2【答案】AC【解析】f x =sin 2x +3π4 +cos 2x +3π4=sin2x cos 3π4+sin 3π4cos2x +cos2x cos 3π4-sin2x sin3π4=-22sin2x +22cos2x -22cos2x -22sin2x =-2sin2x ，即f x =-2sin2x ，对于A ，f x -π4 =-2sin 2x -π2=2cos2x ，易知为偶函数，所以A 正确；对于B ，f x =-2sin2x 对称轴为2x =π2+k π,k ∈Z ⇒x =π4+k π2,k ∈Z ，故B 错误；对于C ，x ∈π3,π2 ,2x ∈2π3,π ，y =sin2x 单调递减，则f x =-2sin2x 单调递增，故C 正确；对于D ，f x =-2sin2x ，则sin2x ∈-1,1 ，所以f x ∈-2,2 ，故D 错误；故选：AC10设z 为复数，则下列命题中正确的是()A.z 2=zz B.若z =(1-2i )2，则复平面内z对应的点位于第二象限C.z 2=z 2D.若z =1，则z +i 的最大值为2【答案】ABD【解析】对于A ，设z =a +bi ，故z =a -bi ，则z 2=a 2+b 2，zz =(a +bi )(a -bi )=a 2+b 2，故z 2=zz成立，故A 正确，对于B ，z =(1-2i )2=-4i -3，z =4i -3，显然复平面内z对应的点位于第二象限，故B 正确，对于C ，易知z 2=a 2+b 2，z 2=a 2+b 2+2abi ，当ab ≠0时，z 2≠z 2，故C 错误，对于D ，若z =1，则a 2+b 2=1，而z +i =a 2+(b +1)2=2b +2，易得当b =1时，z +i 最大，此时z +i =2，故D 正确.故选：ABD11已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC =π3．将△DAC 沿着对角线AC 折起至△D AC ，连结BD ．设二面角D -AC -B 的大小为θ，则下列说法正确的是()A.若四面体D ABC 为正四面体，则θ=π3B.四面体D ABC 的体积最大值为1C.四面体D ABC 的表面积最大值为23+2D.当θ=2π3时，四面体D ABC 的外接球的半径为213【答案】BCD【解析】如图，取AC 中点O ，连接OB ,OD ，则OB =OD ，OB ⊥AC ,OD ⊥AC ，∠BOC 为二面角D AC -B 的平面角，即∠BOC =θ．若D ABC 是正四面体，则BD =BC ≠BO ，△OBD 不是正三角形，θ≠π3，A 错；四面体D ABC 的体积最大时，BO ⊥平面ACD ，此时B 到平面ACD 的距离最大为BO =3，而S △ACD=34×22=3，所以V =13×3×3=1，B 正确；S △ABC =S △DAC =3，易得△BAD ≅△BCD ，S △BAD=S △BCD=12×22sin ∠BCD =2sin ∠BCD ，未折叠时BD =BD =23，折叠到B ,D 重合时，BD =0，中间存在一个位置，使得BD =22，则BC 2+D C 2=BD 2，∠BCD =π2，此时S △BAD=S △BCD=2sin ∠BCD 取得最大值2，所以四面体D ABC 的表面积最大值为23+2 ，C 正确；当θ=2π3时，如图，设M ,N 分别是△ACD 和△BAC 的外心，在平面AOD 内作PM ⊥OD ，作PN ⊥OB ，PM ∩PN =P ，则P 是三棱锥外接球的球心，由上面证明过程知平面OBD 与平面ABC 、平面D AC 垂直，即P ,N ,O ,M 四点共面，θ=2π3，则∠PON =π3，ON =13×32×2=33，PN =ON tan π3=33×3=1，PB =PN 2+BN 2=12+233 2=213为球半径，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12设集合M =x log 2x <1 ，N =x 2x -1<0 ，则M ∩N =．【答案】x 0<x <12【解析】因为log 2x <1=log 22，所以0<x <2，即M =x log 2x <1 =x 0<x <2 ，因为2x -1<0，解得x <12，所以N =x 2x -1<0 =x x <12，所以，M ∩N =x 0<x <12 .故答案为：x 0<x <12 13已知正项等比数列a n 的前n 项和为S n ，且S 8-2S 4=6，则a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为.【答案】24【解析】设正项等比数列a n 的公比为q ，则q >0，所以，S 8=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8=a 1+a 2+a 3+a 4+q 4a 1+a 2+a 3+a 4 =S 41+q 4 ，则S 8-2S 4=S 4q 4-1 =6，则q 4>1，可得q >1，则S 4=6q 4-1，所以，a 9+a 10+a 11+a 12=q 8a 1+a 2+a 3+a 4 =S 4q 8=6q 8q 4-1=6q 4-1+1 2q 4-1=6q 4-1 2+1+2q 4-1 q 4+1=6q 4-1 +1q 4-1+2 ≥62q 4-1 ⋅1q 4-1+2 =24，当且仅当q 4-1=1q 4-1q >1 时，即当q =42时，等号成立，故a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为24.故答案为：2414已知F 为拋物线C :y =14x 2的焦点，过点F 的直线l 与拋物线C 交于不同的两点A ，B ，拋物线在点A ,B 处的切线分别为l 1和l 2，若l 1和l 2交于点P ，则|PF |2+25AB的最小值为.【答案】10【解析】C :x 2=4y 的焦点为0,1 ，设直线AB 方程为y =kx +1，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .联立直线与抛物线方程有x 2-4kx -4=0，则AB =y 1+y 2+2=k x 1+x 2 +4=4k 2+4.又y =14x 2求导可得y =12x ，故直线AP 方程为y -y 1=12x 1x -x 1 .又y 1=14x 21，故AP :y =12x 1x -14x 21，同理BP :y =12x 2x -14x 22.联立y =12x 1x -14x 21y =12x 2x -14x 22可得12x 1-x 2 x =14x 21-x 22 ，解得x =x 1+x 22，代入可得P x 1+x 22,x 1x 24 ，代入韦达定理可得P 2k ,-1 ，故PF =4k 2+4.故|PF |2+25AB=4k 2+4+254k 2+4≥24k 2+4 ×254k 2+4=10，当且仅当4k 2+4=254k 2+4，即k =±12时取等号.故答案为：102024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(2)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1抛物线y =12x 2的焦点坐标为()A.18,0B.12,0 C.0,18D.0,12【答案】D 【解析】由y =12x 2可得抛物线标准方程为：x 2=2y ，∴其焦点坐标为0,12 .故选：D .2二项式3x 2-1x 47的展开式中常数项为()A.-7B.-21C.7D.21【答案】A 【解析】二项式3x 2-1x47的通项公式为Tr +1=C r 7⋅3x 27-r⋅-1x4r=Cr 7⋅-1 r⋅x14-14r 3，令14-14r 3=0⇒r =1，所以常数项为C 17⋅-1 =-7，故选：A3已知集合A =x log 2x ≤1 ，B =y y =2x ,x ≤2 ，则()A.A ∪B =BB.A ∪B =AC.A ∩B =BD.A ∪(C R B )=R【答案】A【解析】由log 2x ≤1，则log 2x ≤log 22，所以0<x ≤2，所以A =x log 2x ≤1 =x 0<x ≤2 ，又B =y y =2x ,x ≤2 =y 0<y ≤4 ，所以A ⊆B ，则A ∪B =B ，A ∩B =A .故选：A ．4若古典概型的样本空间Ω=1,2,3,4 ，事件A =1,2 ，甲：事件B =Ω，乙：事件A ,B 相互独立，则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若B =Ω，A ∩B =1,2 ，则P A ∩B =24=12，而P A =24=12，P B =1，所以P A P B =P A ∩B ，所以事件A ,B 相互独立，反过来，当B =1,3 ，A ∩B =1 ，此时P A ∩B =14，P A =P B =12，满足P A P B =P A ∩B ，事件A ,B 相互独立，所以不一定B =Ω，所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A5若函数f x =ln e x -1 -mx 为偶函数，则实数m =()A.1B.-1C.12D.-12【答案】C【解析】由函数f x =ln e x -1 -mx 为偶函数，可得f -1 =f 1 ，即ln e -1-1 +m =ln e -1 -m ，解之得m =12，则f x =ln e x -1 -12x (x ≠0)，f -x =ln e -x -1 +12x =ln e x -1 -x +12x =ln e x -1 -12x =f x故f x =ln e x -1 -12x 为偶函数，符合题意.故选：C6已知函数y =f (x )的图象恰为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)x 轴上方的部分，若f (s -t )，f (s )，f (s +t )成等比数列，则平面上点(s ，t )的轨迹是()A.线段(不包含端点) B.椭圆一部分C.双曲线一部分D.线段(不包含端点)和双曲线一部分【答案】A【解析】因为函数y =f (x )的图象恰为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)x 轴上方的部分，所以y =f (x )=b ⋅1-x 2a2(-a <x <a )，因为f (s -t )，f (s )，f (s +t )成等比数列，所以有f 2(s )=f (s -t )⋅f (s +t )，且有-a <s <a ,-a <s -t <a ,-a <s +t <a 成立，即-a <s <a ,-a <t <a 成立，由f 2(s )=f (s -t )⋅f (s +t )⇒b ⋅1-s 2a 22=b ⋅1-(s -t )2a 2⋅b ⋅1-(s +t )2a 2，化简得：t 4=2a 2t 2+2s 2t 2⇒t 2(t 2-2a 2-2s 2)=0⇒t 2=0，或t 2-2a 2-2s 2=0，当t 2=0时，即t =0，因为-a <s <a ，所以平面上点(s ，t )的轨迹是线段(不包含端点)；当t 2-2a 2-2s 2=0时，即t 2=2a 2+2s 2，因为-a <t <a ，所以t 2<a 2，而2a 2+2s 2>a 2，所以t 2=2a 2+2s 2不成立，故选：A7若tan α+π4=-2，则sin α1-sin2α cos α-sin α=()A.65B.35C.-35D.-65【答案】C【解析】因为tan α+π4 =tan α+tan π41-tan αtan π4=tan α+11-tan α=-2，解得tan α=3，所以，sin α1-sin2αcos α-sin α=sin αsin 2α+cos 2α-2sin αcos α cos α-sin α=sin αcos α-sin α 2cos α-sin α=sin αcos α-sin 2α=sin αcos α-sin 2αcos 2α+sin 2α=tan α-tan 2α1+tan 2α=3-91+9=-35.故选：C .8函数f x =2ln xx,x >0sin ωx +π6,-π≤x ≤0，若2f 2(x )-3f (x )+1=0恰有6个不同实数解，正实数ω的范围为()A.103,4B.103,4 C.2,103D.2,103【答案】D【解析】由题知，2f 2x -3f x +1=0的实数解可转化为f (x )=12或f (x )=1的实数解，即y =f (x )与y =1或y =12的交点，当x >0时，f x =2ln xx ⇒f (x )=21-ln x x 2所以x ∈0,e 时，f (x )>0，f x 单调递增，x ∈e ,+∞ 时，f (x )<0，f x 单调递减，如图所示：所以x =e 时f x 有最大值：12<f (x )max =2e<1所以x >0时，由图可知y =f (x )与y =1无交点，即方程f (x )=1无解，y =f (x )与y =12有两个不同交点，即方程f (x )=12有2解当x <0时，因为ω>0，-π≤x ≤0，所以-ωπ+π6≤ωx +π6≤π6，令t =ωx +π6，则t ∈-ωπ+π6,π6则有y =sin t 且t ∈-ωπ+π6,π6，如图所示：因为x >0时，已有两个交点，所以只需保证y =sin t 与y =12及与y =1有四个交点即可，所以只需-19π6<-ωπ+π6≤-11π6，解得2≤ω<103．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知复数z 1,z 2是关于x 的方程x 2+bx +1=0(-2<b <2,b ∈R )的两根，则下列说法中正确的是()A.z 1=z 2B.z 1z 2∈R C.z 1 =z 2 =1D.若b =1，则z 31=z 32=1【答案】ACD【解析】Δ=b 2-4<0，∴x =-b ±4-b 2i 2，不妨设z 1=-b 2+4-b 22i ，z 2=-b2-4-b 22i ，z 1=z 2，A 正确；z 1 =z 2 =-b 22+4-b 222=1，C 正确；z 1z 2=1，∴z 1z 2=z 21z 1z 2=z 21=b 2-22-b 4-b 22i ，b ≠0时，z 1z 2∉R ，B 错；b =1时，z 1=-12+32i ，z 2=-12-32i ，计算得z 21=-12-32i =z 2=z 1 ，z 22=z 1=z 2 ，z 31=z 1z 2=1，同理z 32=1，D 正确．故选：ACD ．10四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，P A 与底面垂直，P A =2，AB =1，动点M 在线段PC 上，则()A.不存在点M ，使得AC ⊥BMB.MB +MD 的最小值为303C.四棱锥P -ABCD 的外接球表面积为5πD.点M 到直线AB 的距离的最小值为255【答案】BD【解析】对于A ：连接BD ，且AC ∩BD =O ，如图所示，当M 在PC 中点时，因为点O 为AC 的中点，所以OM ⎳P A ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以OM ⊥平面ABCD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，所以OM ⊥AC ，因为ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD .又因为BD ∩OM =O ，且BD ，OM ⊂平面BDM ，所以AC ⊥平面BDM ，因为BM ⊂平面BDM ，所以AC ⊥BM ，所以A 错误；对于B ：将△PBC 和△PCD 所在的平面沿着PC 展开在一个平面上，如图所示，则MB +MD 的最小值为BD ，直角△PBC 斜边PC 上高为1×56，即306，直角△PCD 斜边PC 上高也为1×56，所以MB +MD 的最小值为303，所以B 正确；对于C ：易知四棱锥P -ABCD 的外接球直径为PC ，半径R =12PC =1222+12+12=62，表面积S =4πR 2=6π，所以C 错误；对于D ：点M 到直线AB 距离的最小值即为异面直线PC 与AB 的距离，因为AB ⎳CD ，且AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AB ⎳平面PCD ，所以直线AB 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离，过点A 作AF ⊥PD ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ,又AD ⊥CD ,且P A ∩AD =A ,故CD ⊥平面P AD ，AF ⊂平面P AD ，所以AF ⊥CD ，因为PD ∩CD =D ，且PD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ⊥平面PCD ，所以点A 到平面PCD 的距离，即为AF 的长，如图所示，在Rt △P AD 中，P A =2，AD =1，可得PD =5，所以由等面积得AF =255，即直线AB 到平面PCD 的距离等于255，所以D 正确，故选：BCD .11今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则()A.在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为47B.在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为1314C.甲获得奖品的概率为2449D.若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小【答案】ACD【解析】设A 红，A 黄，A 绿，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件，设B 红表示再抽到的小球的颜色是红的事件，在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为：P B 红∣A 黄 =P B 红A 黄 P A 黄=27×4727=47，故A 正确；在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为：P B 红 ∣A 红 =P A 红 B 红 P A 红 =P A 黄B 红 +P A 绿B 红 P A 红 =27×37+27×1247=1328，故B 错误；由题意可知，P A 红 =37,P A 黄 =27,P A 绿 =27,P B 红∣A 红 =37,P B 红∣A 黄 =47，P B 红∣A 绿 =12，由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为：P =P A 红 P B 红∣A 红 +P A 黄 ⋅P B 红∣A 黄 +P A 绿 ⋅P B 红∣A 绿 =37×37+27×47+27×12=2449，故C 正确；因为甲获奖时红球取自哪个箱子的颜色与先抽取小球的颜色相同，则P A 红∣B 红 =P A 红 ⋅P B 红∣A 红 P B 红=37×37×4924=38，P A 黄∣B 红 =P A 黄 ⋅P B 红∣A 黄P B 红=27×47×4924=13，P A 绿∣B 红 =P A 绿 ⋅P B 红∣A 绿 P B 红 =27×12×4924=724，所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球机会最小，故D 正确.故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知△ABC 的边BC 的中点为D ，点E 在△ABC 所在平面内，且CD =3CE -2CA ，若AC =xAB +yBE，则x +y =．【答案】11【解析】因为CD =3CE -2CA ，边BC 的中点为D ，所以12CB=3BE -BC +2AC ，因为12CB =3BE -3BC +2AC ，所以52BC =3BE +2AC ，所以52BC =52AC -AB =3BE +2AC ，所以5AC -5AB =6BE +4AC ，即5AB +6BE =AC ，因为AC =xAB +yBE ，所以x =5，y =6，故x +y =11.故答案为：1113已知圆锥母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时，圆锥的体积最大，最大值为．【答案】①.63②.16327π【解析】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线与底面所成的角为θ,θ∈0,π2 ，易知cos θ=r 2.圆锥的体积为V =13πr 2⋅4-r 2=43πcos 2θ⋅2sin θ=8π3cos 2θ⋅sin θ=8π31-sin 2θ sin θ令x =sin θ,x ∈0,1 ，则y =1-sin 2θ sin θ=-x 3+x ，y =-3x 2+1当y >0时，x ∈0,33，当y<0时，x ∈33,1 ，即函数y =-x 3+x 在0,33 上单调递增，在33,1上单调递减，即V max =8π333-33 3 =163π27，此时cos θ=1-323 =62.故答案为：62；163π2714已知双曲线C ：x 2-y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为E ，过F 2的直线交双曲线C 的右支于A ，B 两点(其中点A 在第一象限内)，设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则当F 1A ⊥AB 时，AF 1=；△ABF 1内切圆的半径为．【答案】①.7+1##1+7②.7-1##-1+7【解析】由双曲线方程知a =1,b =3,c =2，如下图所示：由F 1A ⊥AB ，则AF 1 2+AF 2 2=F 1F 2 2=16，故AF 1 -AF 2 2+2AF 1 AF 2 =16，而AF 1 -AF 2 =2a =2，所以AF 1 AF 2 =6，故AF 2 2+2AF 2 -6=0，解得AF 2 =7-1，所以AF 1 =7+1，若G 为△ABF 1内切圆圆心且F 1A ⊥AB 可知，以直角边切点和G ,A 为顶点的四边形为正方形，结合双曲线定义内切圆半径r =12AF 1 +AB -BF 1 =12AF 1 +AF 2 +BF 2 -BF 1所以r =1227+BF 2 -BF 1 =1227-2 =7-1；故答案为：7+1，7-1；2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(3)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1有一组按从小到大顺序排列数据：3，5，x ，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为()A.7B.7.5C.8D.6.5【答案】B【解析】依题意可得极差为10-3=7，平均数为163+5+x +8+9+10 =1635+x ，所以1635+x =7，解得x =7，所以中位线为7+82=7.5.故选：B .2已知集合A =x x -1 >2 ，B =x log 4x <1 ，则A ∩B =()A.3,4B.-∞,-1 ∪3,4C.1,4D.-∞,4【答案】A【解析】由x -1 >2，得x <-1或x >3，所以A =x x <-1或x >3 ，由log 4x <1，得0<x <4，所以B =x 0<x <4 ，所以A ∩B =x 3<x <4 .故选：A .3已知向量a =(2,0)，b =sin α,32，若向量b 在向量a 上的投影向量c =12,0 ，则|a +b |=()A.3B.7C.3D.7【答案】B【解析】由已知可得，b 在a 上的投影向量为a ⋅b |a |⋅a |a |=2sin α2×2(2,0)=(sin α,0)，又b 在a 上的投影向量c =12,0 ，所以sin α=12，所以b =12,32，所以a +b =52,32 ，所以|a +b |=52 2+322=7.故选：B .4如图是两个底面半径都为1的圆锥底面重合在一起构成的几何体，上面圆锥的侧面积是下面圆锥侧面积的2倍，AP ⊥AQ ，则PQ =()A.74B.262C.52D.3【答案】C【解析】设两圆锥的高OP =x ，OQ =y ，则AP =x 2+1，AQ =y 2+1，由AP ⊥AQ ，有AP 2+AQ 2=PQ 2，可得x 2+1+y 2+1=x +y 2，可得xy =1，又由上下圆锥侧面积之比为2:1，即π×1×P A =2×π×1×QA ，可得P A =2QA ，则有x 2+1=2y 2+1，即x 2=4y 2+3，代入y =1x整理为x 4-3x 2-4=0，解得x =2(负值舍)，可得y =12，OP =x +y =2+12=52．故选：C ．5已知Q 为直线l :x +2y +1=0上的动点，点P 满足QP=1,-3 ，记P 的轨迹为E ，则()A.E 是一个半径为5的圆B.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到l 的距离均为5D.E 是两条平行直线【答案】C【解析】设P x ,y ，由QP=1,-3 ，则Q x -1,y +3 ，由Q 在直线l :x +2y +1=0上，故x -1+2y +3 +1=0，化简得x +2y +6=0，即P 轨迹为E 为直线且与直线l 平行，E 上的点到l 的距离d =6-112+22=5，故A 、B 、D 错误，C 正确.故选：C .6已知x +1 x -1 5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6，则a 1+a 3的值为()A.-1B.1C.4D.-2【答案】C【解析】在x +1 x -1 5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6中，而x +1 x -1 5=x x -1 5+x -1 5，由二项式定理知x -1 5展开式的通项为T r +1=C r 5x 5-r (-1)r ，令5-r =2，解得r =3，令5-r =3，r =2，故a 3=C 35(-1)3+C 25(-1)2=0，同理令5-r =1，解得r =4，令5-r =0，解得r =5，故a 1=C 45(-1)4+C 55(-1)5=4，故a 1+a 3=4.故选：C7已知P 为抛物线x 2=4y 上一点，过P 作圆x 2+(y -3)2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则cos ∠APB 的最小值为()A.12B.23C.34D.78【答案】C【解析】如图所示：因为∠APB =2∠APC ，sin ∠APC =AC PC=1PC，设P t ,t 24，则PC 2=t 2+t 24-3 2=t 416-t 22+9=116t 2-4 2+8，当t 2=4时，PC 取得最小值22，此时∠APB 最大，cos ∠APB 最小，且cos ∠APB min =1-2sin 2∠APC =1-21222=34，故C 正确.故选：C8已知函数f x ,g x 的定义域为R ,g x 为g x 的导函数且f x +g x =3,f x -g 4-x =3，若g x 为偶函数，则下列结论一定成立的是()A.f -1 =f -3B.f 1 +f 3 =65C.g 2 =3D.f 4 =3【答案】D【解析】对于D ，∵g x 为偶函数，则g x =g -x ，两边求导可得g x =-g -x ，则g x 为奇函数，则g 0 =0，令x =4，则f 4 -g 0 =3，f 4 =3，D 对；对于C ，令x =2，可得f 2 +g 2 =3f 2 -g 2 =3 ，则f 2 =3g 2 =0 ，C 错；对于B ，∵f x +g x =3，可得f 2+x +g 2+x =3，f x -g 4-x =3可得f 2-x -g 2+x =3，两式相加可得f 2+x +f 2-x =6，令x =1，即可得f 1 +f 3 =6，B 错；又∵f x +g x =3，则f x -4 +g x -4 =f x -4 -g 4-x =3，f x -g 4-x =3，可得f x =f x -4 ，所以f x 是以4为周期的函数，所以根据以上性质不能推出f -1 =f -3 ，A 不一定成立.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9下列结论正确的是()A.若a <b <0，则a 2>ab >b 2B.若x ∈R ，则x 2+2+1x 2+2的最小值为2C.若a +b =2，则a 2+b 2的最大值为2D.若x ∈(0,2)，则1x +12-x ≥2【答案】AD【解析】因为a 2-ab =a (a -b )>0，所以a 2>ab ，因为ab -b 2=b (a -b )>0，所以ab >b 2，所以a 2>ab >b 2，故A 正确；因为x 2+2+1x 2+2≥2的等号成立条件x 2+2=1x 2+2不成立，所以B 错误；因为a 2+b 22≥a +b 2 2=1，所以a 2+b 2≥2，故C 错误；因为1x +12-x =12(x +2-x )1x +12-x =122+2-x x +x 2-x ≥12(2+2)=2，当且仅当1x =12-x，即x =1时，等号成立，所以D 正确.故选：AD10若函数f x =2sin 2x ⋅log 2sin x +2cos 2x ⋅log 2cos x ，则()A.f x 的最小正周期为πB.f x 的图像关于直线x =π4对称C.f x 的最小值为-1D.f x 的单调递减区间为2k π,π4+2k π ,k ∈Z【答案】BCD【解析】由sin x >0,cos x >0得f x 的定义域为2k π,π2+2k π ,k ∈Z .对于A ：当x ∈0,π2时，x +π∈π,32π 不在定义域内，故f x +π =f x 不成立，易知f x 的最小正周期为2π，故选项A 错误；对于B ：又f π2-x =2cos 2x ⋅log 2cos x +2sin 2x ⋅log 2sin x =f x ，所以f x 的图像关于直线x =π4对称，所以选项B 正确；对于C ：因为f x =sin 2x ⋅log 2sin 2x +cos 2x ⋅log 2cos 2x ，设t =sin 2x ，所以函数转化为g t =t ⋅log 2t +1-t ⋅log 21-t ,t ∈0,1 ,g t =log 2t -log 21-t ，由g t >0得，12<t <1.g t <0得0<t <12.所以g t 在0,12 上单调递减，在12,1 上单调递增，故g (t )min =g 12=-1，即f (x )min =-1，故选项C 正确；对于D ：因为g t 在0,12 上单调递减，在12,1 上单调递增，由t =sin 2x ，令0<sin 2x <12得0<sin x <22，又f x 的定义域为2k π,π2+2k π ,k ∈Z ，解得2k π<x <π4+2k π,k ∈Z ，因为t =sin 2x 在2k π,π4+2k π 上单调递增，所以f x 的单调递减区间为2k π,π4+2k π ,k ∈Z ，同理函数的递增区间为π4+2k π,π2+2k π ,k ∈Z ，所以选项D 正确.故选：BCD .11已知数列a n 的前n 项和为S n ，且2S n S n +1+S n +1=3，a 1=α0<α<1 ，则()A.当0<α<13-14时，a 2>a 1B.a 3>a 2C.数列S 2n -1 单调递增，S 2n 单调递减D.当α=34时，恒有nk =1S k -1 <54【答案】ACD【解析】由题意可得：S n +1=32S n +1，a 1=α，由S n +1=32S n +1可知：S n +1=1⇔S n =1，但S 1=α∈0,1 ，可知对任意的n ∈N *，都有S n ≠1，对于选项A ：若0<α<13-14，则a 2-a 1=S 2-2a 1=32α+1-2α=3-2α-4α22α+1=4α+1+13 13-14-α2α+1>0，即a 2>a 1，故A 正确；对于选项B ：a 3-a 2=S 3-2S 2+S 1=6α+32α+7-62α+1+α=α-1 4α2+32α+39 2α+1 2α+7<0，即a 3<a 2，故B 错误.对于选项C ：因为S n +1-1=-2S n -1 2S n +1，S n +1+32=3S n +32 2S n +1，则S n +1-1S n +1+32=-23⋅S n -1S n +32，且S 1-1S 1+32=α-1α+32<0，可知S n -1S n+32是等比数列，则S n -1S n +32=α-1α+32⋅-23n -1，设A =α-1α+32<0，t =232n -2，可得S 2n =3-3At 3+2At =3253+2At -1 ，S 2n -1=1+32At 1-At =521-At-32，因为At =A 232n -2，可知A 23 2n -2 为递增数列，所以数列S 2n -1 单调递增，S 2n 单调递减，故C 正确；对于选项D ：因为S n +1=32S n +1，S n +1-34=32S n +1-34=33-2S n 42S n +1，由S 1=α=34，可得S 2-34>0，即S 2>34，则S 2≤65，即34<S 2≤65；由34<S 2≤65，可得S 3-34>0，即S 3>34，则S 3<65，即34<S 3<65；以此类推，可得对任意的n ∈N *，都有S n ≥S 1=α=34，又因为S n +1-1S n -1=22S n +1，则S n +1-1 ≤22α+1S n -1 =45S n -1 ，所以∑nk =1S k -1 ≤541-45 n <54，故D 正确.故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12在(1+ax )n (其中n ∈N *,a ≠0)的展开式中，x 的系数为-10，各项系数之和为-1，则n =.【答案】5【解析】由题意得(1+ax )n 的展开式中x 的系数为aC 1n =-10，即an =-10，令x =1，得各项系数之和为(1+a )n =-1，则n 为奇数，且1+a =-1，即得a =-2,n =5，故答案为：513已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别F 1，F 2，椭圆的长轴长为22，短轴长为2，P 为直线x =2b 上的任意一点，则∠F 1PF 2的最大值为.【答案】π6【解析】由题意有a =2，b =1，c =1，设直线x =2与x 轴的交点为Q ，设PQ =t ，有tan ∠PF 1Q =PQ F 1Q=t3，tan ∠PF 2Q =PQ F 2Q=t ，可得tan ∠F 1PF 2=tan ∠PF 2Q -∠PF 1Q =t -t31+t23=2t t 2+3=2t +3t ≤2t 23t =33，当且仅当t =3时取等号，可得∠F 1PF 2的最大值为π6.故答案为：π614已知四棱锥P -ABCD 的底面为矩形，AB =23，BC =4，侧面P AB 为正三角形且垂直于底面ABCD ，M 为四棱锥P -ABCD 内切球表面上一点，则点M 到直线CD 距离的最小值为.【答案】10-1【解析】如图，设四棱锥的内切球的半径为r ，取AB 的中点为H ，CD 的中点为N ，连接PH ，PN ，HN ，球O为四棱锥P-ABCD的内切球，底面ABCD为矩形，侧面P AB为正三角形且垂直于底面ABCD，则平面PHN截四棱锥P-ABCD的内切球O所得的截面为大圆，此圆为△PHN的内切圆，半径为r，与HN，PH分别相切于点E，F，平面P AB⊥平面ABCD，交线为AB，PH⊂平面P AB，△P AB为正三角形，有PH⊥AB，∴PH⊥平面ABCD，HN⊂平面ABCD，∴PH⊥HN，AB=23，BC=4，则有PH=3，HN=4，PN=5，则△PHN中，S△PHN=12×3×4=12r3+4+5，解得r=1.所以，四棱锥P-ABCD内切球半径为1，连接ON.∵PH⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PH，又CD⊥HN，PH,HN⊂平面PHN，PH∩HN=H，∴CD⊥平面PHN，∵ON⊂平面PHN，可得ON⊥CD，所以内切球表面上一点M到直线CD的距离的最小值即为线段ON的长减去球的半径，又ON=OE2+EN2=10.所以四棱锥P-ABCD内切球表面上的一点M到直线CD的距离的最小值为10-1.故答案为：10-12024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(4)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知双曲线的标准方程为x 2k -4+y 2k -5=1，则该双曲线的焦距是()A.1B.3C.2D.4【答案】C【解析】由双曲线方程可知a 2=k -4,b 2=5-k ，所以c 2=k -4+5-k =1，c =1，2c =2．故选：C2在等比数列a n 中，a 1+a x =82，a 3a x -2=81，前x 项和S x =121，则此数列的项数x 等于()A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】由已知条件可得a 1+a x =82a 3a x -2=a 1a x =81，解得a 1=1a x =81 或a 1=81a x =1 .设等比数列a n 的公比为q .①当a 1=1，a x =81时，由S x =a 1-a x q 1-q =1-81q1-q=121，解得q =3，∵a x =a 1q x -1=3x -1=81，解得x =5；②当a 1=81，a x =1时，由S x =a 1-a x q 1-q =81-q 1-q =121，解得q =13，∵a x =a 1q x -1=81×13x -1=35-x =1，解得x =5.综上所述，x =5.故选：B .3对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是()A.“ac 2>bc 2”是“a >b ”的必要条件B.“ac 2=bc 2”是“a =b ”的必要条件C.“ac 2=bc 2”是“a =b ”的充分条件D.“ac 2≥bc 2”是“a ≥b ”的充分条件【答案】B【解析】对于A ，若c =0，则由a >b ⇏ac 2>bc 2，∴“ac 2>bc 2”不是“a >b ”的必要条件，A 错．对于B ，a =b ⇒ac 2=bc 2，∴“ac 2=bc 2”是“a =b ”的必要条件，B 对，对于C ，若c =0，则由ac 2=bc 2，推不出a =b ，“ac 2=bc 2”不是“a =b ”的充分条件对于D ，当c =0时，ac 2=bc 2，即ac 2≥bc 2成立，此时不一定有a ≥b 成立，故“ac 2≥bc 2”不是“a ≥b ”的充分条件，D 错误，故选：B ．4已知m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是()A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB.若α⊥β，β⊥γ，则α∥βC.若m ∥α，m ∥β，则α∥βD.若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n【答案】D【解析】A选项：令平面ABCD为平面α，A1B1为直线m，B1C1为直线n，有：m∥α，n∥α，但m∩n=B1，A错误；B选项：令平面ABCD为平面β，令平面B1BCC1为平面α，令平面A1ABB1为平面γ，有：α⊥β，β⊥γ，而α⊥β，B错误；C选项：令平面ABCD为平面α，令平面A1ABB1为平面β，C1D1为直线m，有：m∥α，m∥β，则α∥β，而α⊥β，C错误；D选项：垂直与同一平面的两直线一定平行，D正确.故选：D5将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有()A.2720B.3160C.3000D.2940【答案】D【解析】共有两种分配方式，一种是4:2:2，一种是3:3:2，故不同的安排方法有C48C24C222!+C38C35C222!A33=2940.故选：D6若抛物线y2=4x与椭圆E:x2a2+y2a2-1=1的交点在x轴上的射影恰好是E的焦点，则E的离心率为()A.2-12 B.3-12 C.2-1 D.3-1【答案】C【解析】不妨设椭圆与抛物线在第一象限的交点为A，椭圆E右焦点为F，则根据题意得AF⊥x轴，c2=a2-a2-1=1，则c=1，则F1,0，当x=1时，y2=4×1，则y A=2，则A1,2，代入椭圆方程得12a2+22a2-1=1，结合a2-1>0，不妨令a>0；解得a=2+1，则其离心率e=ca=12+1=2-1，故选：C.7已知等边△ABC 的边长为3，P 为△ABC 所在平面内的动点，且|P A |=1，则PB ⋅PC 的取值范围是()A.-32,92B.-12,112C.[1,4]D.[1,7]【答案】B【解析】如下图构建平面直角坐标系，且A -32,0 ，B 32,0 ，C 0,32，所以P (x ,y )在以A 为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为x +322+y 2=1，而PB =32-x ,-y ,PC =-x ,32-y ，故PB ⋅PC =x 2-32x +y 2-32y =x -34 2+y -34 2-34，综上，只需求出定点34,34 与圆x +322+y 2=1上点距离平方范围即可，而圆心A 与34,34 的距离d =34+32 2+34 2=32，故定点34,34与圆上点的距离范围为12,52，所以PB ⋅PC ∈-12,112.故选：B 8设a 、b 、c ∈0,1 满足a =sin b ，b =cos c ，c =tan a ，则()A.a +c <2b ，ac <b 2B.a +c <2b ，ac >b 2C.a +c >2b ，ac <b 2D.a +c >2b ，ac >b 2【答案】A【解析】∵a 、b 、c ∈0,1 且a =sin b ，b =cos c ，c =tan a ，则c =tan a =tan sin b ，先比较a +c =sin b +tan sin b 与2b 的大小关系，构造函数f x =sin x +tan sin x -2x ，其中0<x <1，则0<sin x <1，所以，cos1<cos sin x <1，则f x =cos x +cos xcos 2sin x -2=cos x -2 cos 2sin x +cos x cos 2sin x，令g x =cos x -1-12x 2 ，其中x ∈0,1 ，则g x =x -sin x ，令p x =x -sin x ，其中0<x <1，所以，p x =1-cos x >0，所以，函数g x 在0,1 上单调递增，故g x >g 0 =0，所以，函数g x 在0,1 上单调递增，则g x =cos x -1-12x 2 >0，即cos x >1-12x 2，因为x ∈0,1 ，则0<sin x <sin1，所以，cos sin x >1-12sin 2x =1-121-cos 2x =121+cos 2x ，所以，cos 2sin x >141+cos 2x 2，因为cos x -2<0，所以，cos x -2 cos 2sin x +cos x <14cos x -2 1+cos 2x 2+cos x=14cos 5x -2cos 4x +2cos 3x -4cos 2x +5cos x -2 =14cos x -1 3cos 2x +cos x +2 <0，所以，对任意的x ∈0,1 ，f x =cos x -2 cos 2sin x +cos xcos 2sin x <0，故函数f x 在0,1 上单调递减，因为b ∈0,1 ，则f b =sin b +tan sin b -2b <f 0 =0，故a +c <2b ，由基本不等式可得0<2ac ≤a +c <2b (a ≠c ，故取不了等号)，所以，ac <b 2，故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9某大学生做社会实践调查，随机抽取6名市民对生活满意度进行评分，得到一组样本数据如下：88、89、90、90、91、92，则下列关于该样本数据的说法中正确的是()A.均值为90B.中位数为90C.方差为2D.第80百分位数为91【答案】ABD【解析】由题意可知，该组数据的均值为x =88+89+90+90+91+926=90，故A 正确；中位数为90+902=90，故B 正确；方差为s 2=1688-90 2+89-90 2+90-90 2×2+91-90 2+92-90 2 =53，故C 错误；因为6×80%=4.8，第80百分位数为91，故D 正确.故选：ABD .10设M ，N ，P 为函数f x =A sin ωx +φ 图象上三点，其中A >0，ω>0，ϕ <π2，已知M ，N 是函数f x 的图象与x 轴相邻的两个交点，P 是图象在M ，N 之间的最高点，若MP 2+2MN ⋅NP=0，△MNP 的面积是3，M 点的坐标是-12,0 ，则()A.A =2B.ω=π2C.φ=π4D.函数f x 在M ，N 间的图象上存在点Q ，使得QM ⋅QN <0【答案】BCD【解析】MP 2+2MN ⋅NP =MP 2-2NM ⋅NP =MP 2-2NM ⋅12NM =T 4 2+A 2 -T 22=A 2-3T 216=0，而S △MNP =AT 4=3，故A =3，T =4=2πω，ω=π2，A 错误、B 正确；-12⋅π2+φ=k π，φ=k π+π4(k ∈Z )，而ϕ <π2，故φ=π4，C 正确；显然，函数f x 的图象有一部分位于以MN 为直径的圆内，当Q 位于以MN 为直径的圆内时，QM⋅QN<0，D 正确，故选:BCD .11设a 为常数，f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )，则()．A .f (a )=12B .f (x )=12成立C f (x +y )=2f (x )f (y )D .满足条件的f (x )不止一个【答案】ABC 【解析】f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )对A ：对原式令x =y =0，则12=12f a +12f a =f a ，即f a =12，故A 正确；对B ：对原式令y =0，则f x =f x f a +f 0 f a -x =12f x +12f a -x ，故f x =f a -x ，对原式令x =y ，则f 2x =f x f y +f y f x =2f x f y =2f 2x ≥0，故f x 非负；对原式令y =a -x ，则f a =f 2x +f 2a -x =2f 2x =12，解得f x =±12，又f x 非负，故可得f x =12，故B 正确；对C ：由B 分析可得：f x +y =2f x f y ，故C 正确；对D ：由B 分析可得：满足条件的f x 只有一个，故D 错误.故选：ABC .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12在复平面内，复数z =-12+32i 对应的向量为OA ，复数z +1对应的向量为OB ，那么向量AB 对应的复数是．。
2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：y=Asin(ωx φ)的图象(练习 详细解析)大纲人教版
提能拔高限时训练20 y=Asin(ωx+φ)的图象一、选择题1.把函数y=f(x)的图象沿直线x+y=0的方向向右下方平移22个单位,得到函数y=sin3x 的图象,则( )A.f(x)=sin(3x+6)+2B.f(x)=sin(3x-6)-2C.f(x)=sin(3x+2)+2D.f(x)=sin(3x-2)-2解析:实质上是将y=f(x)向右平移2个单位,向下平移2个单位,得到y=sin3x,逆向思维即得y=f(x)=sin ［3(x+2)］+2=sin(3x+6)+2.故选A. 答案:A2.把函数y=sin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜2π)的图象向左平移3π个单位,所得曲线的一部分如图所示,则ω、φ的值分别为( )A.1,3π B.1,3π- C.2,3πD.2,3π-解析:将y=sin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜2π)的图象向左平移3π个单位,得到])3(sin[ϕπω++=x y .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++.23)3127(,)33(πϕππωπϕππω 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.3,2πϕω故选D.答案:D3.已知函数f(x)=sinωx 在［0,4π］上单调递增且在这个区间上的最大值为23,则实数ω的一个值可以是( ) A.32 B.38 C.34 D.310解析:∵f(x)=sinωx 在［0,4π］上单调递增,∴当4π=x 时,234sin )(max =•=ωπx f .检验,当34=ω时,有233sin =π,符合题意.故选C.答案:C4.已知函数f(x)=sinx,g(x)=cosx,则下列结论中正确的是( ) A.函数y=f(x)·g(x)是偶函数 B.函数y=f(x)·g(x)的最大值为1C.将f(x)的图象向右平移2π个单位长度后得到g(x)的图象 D.将f(x)的图象向左平移2π个单位长度后得到g(x)的图象解析:∵f(x)=sinx 是奇函数,g(x)=cosx 是偶函数,∴y=f(x)·g(x)是奇函数.故A 错; ∵y=f(x)·g(x)=sinx·cosx=21·sin2x, ∴y=f(x)·g(x)的最大值为21.故B 错; ∵)2sin(cos )(π+==x x x g ,∴将f(x)=sinx 的图象向左平移2π个单位长度后得到g(x)的图象.故选D. 答案:D5.函数y=Asin(ωx+φ)图象的一部分如图所示,则此函数的解析式可以写成( )A.)8sin(π+=x y B.)82sin(π+=x yC.)42sin(π+=x y D.)42sin(π-=x y 解析:由图象可知41周期是4π,所以周期是π,再根据原点向左平移了8π,可知)42sin(π+=x y .故选C.答案:C6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的图象如图,则f(x)的解析式及S=f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 006)的值分别为( )A.12sin 21)(+=x x f π,S=2 006 B.12sin 21)(+=x x f π,212007=SC.12sin 21)(+=x x f π,212006=SD.12sin 21)(+=x x f π,S=2 007解析:观察题中图象可知,12sin 21)(+=x x f π, f(0)=1,23)1(=f ,f(2)=1,21)3(=f ,f(4)=1,∴f(x)以4为周期.f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=4,2 006=4×501+2,∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 006)=4×501+f(2 004)+f(2 005)+f(2 006)21200712312004=+++=.故选B. 答案:B7. 为了得到函数)63sin(2π+=x y ,x∈R 的图象,只需把函数y=2sinx,x∈R 的图象上所有的点( )A.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)B.向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)C.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D.向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)解析:2sinx2sin(x+6π) )63sin(2π+x .故选C.答案:C8.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值为4,最小值为0,最小正周期为2π,直线3π=x 是其图象的一条对称轴,则下列各式中符合条件的解析式是( ) A.)44sin(4π+=x y B.2)32sin(2++=πx yC.2)34sin(2++=πx y D.2)64sin(2++=πx y解析:由最大值为4,最小值为0,得A=2,m=2. 由2π=T ,得ω=4. 由3π=x 是一条对称轴得234ππϕπ+=+⨯k .∴65ππϕ-=k .令k=1得6πϕ=, ∴2)64sin(2++=πx y .答案:D9.把函数x x y sin 3cos -=的图象沿向量a =(-m,m)(m ＞0)的方向平移后,所得的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( )A.6π B.3πC.32πD.65π解析:)3cos(2sin 3cos π+=-=x x x y ,y=cosx(x∈R )的图象关于y 轴对称,将y=cosx 的图象向左平移π个单位时,图象仍关于y 轴对称.故选C. 答案:C10.如果f(x)=sin(πx+θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值,那么( ) A.T=2,2πθ=B.T=1,θ=πC.T=2,θ=πD.T=1,2πθ=解析:∵22==ππT ,又∵x=2时,有222ππθπ+=+k ,∴2)1(2ππθ+-=k ,k∈Z .又0＜θ＜2π,则k=1,2πθ=.故选A. 答案:A 二、填空题11.曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1,P 2,P 3,…,则|P 2P 4|=____________. 解析:12sin )4cos()4sin(2+=-+=x x x y ππ, 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==,12sin ,21x y y ∴|P 2P 4|=|x 2-x 4|=π.答案:π12.要得到)42cos(π-=x y 的图象,且使平移的距离最短,则需将y=sin2x 的图象向_______平移____________个单位,即可得到.解析:由y=sin2x 的图象向左平移8π个单位,得到)8(2sin π+=x y 的图象.而)42cos()24cos()]42(2cos[)42sin()8(2sin ππππππ-=-=+-=+=+=x x x x x y .答案:左 8π13.函数)3sin()(x x f -=π的单调递增区间为___________.若将函数的图象向左平移a(a ＞0)个单位,得到的图象关于原点对称,则a 的最小值为______________. 解析:(1)∵)3sin()3sin()(ππ--=-=x x x f , ∴22ππ+k ≤3π-x ≤232ππ+k 时,f(x)单调递增,解得函数增区间为［652ππ+k ,6112ππ+k ］(k∈Z ).(2)向左平移a 个单位,得g(x)=-sin(x+a-3π).因其关于原点对称,∴33ππππ+=⇒=-k a k a ,a 的最小值为3π.答案:［652ππ+k ,6112ππ+k ］(k∈Z ) 3π14.函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈［0,2π］的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是_____________. 解析:⎩⎨⎧∈-∈=].2,[,sin ],,0[,sin 3)(πππx x x x x f作图如下:由图知k∈(1,3). 答案:(1,3) 三、解答题15.已知函数)23sin(2)3cos(2)(x x x f ++-=ππ.(1)用“五点法”画出函数f(x)在［0,35π］上的简图; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,f(A)=1,3=a ,b+c=3(b ＞c),求b,c 的长.解:(1)x x x x f cos 2)3sin sin 3cos(cos 2)(-+=ππx x x x x cos sin 3cos 2cos sin 3-=-+=)6sin(2)cos 21sin 23(2π-=-=x x x . 列表:x 0 6π32π 67π 35π y-12-2描点、连线可得函数f(x)的图象如下:(2)∵f(A)=1,即1)6sin(2=-πA ,∴21)6sin(=-πA . ∵0＜A ＜π,∴-6π＜6π-A ＜65π.∴66ππ=-A .∴3π=A .由bca cb A 221cos 222-+==,即(b+c)2-a 2=3bc,∴bc=2.又b+c=3(b ＞c), ∴⎩⎨⎧==.1.2c b 16.已知函数f(x)=Asin(x+φ)(A ＞0,0＜φ＜π)(x∈R )的最大值是1,其图象经过点M(3π,21). (1)求f(x)的解析式; (2)已知α,β∈(0,2π),且53)(=αf ,1312)=(βf ,求f(α-β)的值.解:(1)∵f(x)=Asin(x+φ)(A＞0,0＜φ＜π)的最大值是1,∴A=1.∵f(x)的图象经过点M(3π,21), ∴21)3sin(=+ϕπ. ∵0＜φ＜π⇒2πϕ=,∴x x x f cos )2sin()(=+=π.(2)∵f(x)=cosx, ∴53cos )(==ααf ,1312cos )(==ββf . 已知α,β∈(0,2π),∴54)53(1sin 2=-=α,135)1312(1sin 2=-=β.故f(α-β)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=655613554131253=⨯+⨯.数学参考例题志鸿优化系列丛书【例1】如图,某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.(1)求这段时间的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.解:(1)由题图,知最大温差为30-10=20(℃).(2)题图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象.∴8614221=-=•ωπ.∴8πω=.由题图所示1021030=-=A,2021030=+=b.这时20)8sin(10++=ϕπxy,将x=6,y=10代入上式,可得43πϕ=.综上,所求解析式为20)438sin(10++=ππxy,x∈［6,14］.【例2】作出函数y=|sinx|+|cosx|,x∈［0,π］的图象,并写出函数的值域.解:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-∈+=].,2[),4sin(2],2,0[),4sin(2πππππxxxxy如下图,函数的值域为［1,2］。
高中数学小题限时训练(适合基础薄弱学生)(20份附答案)
由题可得： ， ，
所以 ，又 ，
所以利润与年号的回归方程为： ，
当 时， ，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了线性回归方程及其应用，考查计算能力，属于基础题．
5．B
【解析】
【分析】
分成甲单独到 县和甲与另一人一同到 县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到 县的分法数.
【详解】
如果甲单独到 县，则方法数有 种.
高二下学期数学小题限时训练1
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 为虚数单位,复数 满足 ,则 的共轭复数为（）
A． B． C． D．
2．曲线 在点 处的切线与 轴、 轴围成的封闭图形的面积为（）
A．1B． C． D．
【解析】
【分析】
将
【详解】
解:因为 ,
所以 ,
所以其共轭复数为
故选:C
【点睛】
本题考查复数的除法运算,共轭复数的概念,是基础题.
2．B
【解析】
【分析】
【详解】
由 ，则直线方程为 ，当 时， ；当 时， ． ，故选B．
3．C
【解析】
随机变量 服从正态分布 ， .
4．C
【解】
【分析】
利用表中数据求出 ， ，即可求得 ，从而求得 ，从而求得利润与年号的线性回归方程为 ，问题得解．
C．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
5．学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。现从该小组中选出3位同学分别到 ， ， 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（）
高中数学必修4课后限时训练30 三角函数的积化和差、和差化积
高中数学必修4课后限时训练30 三角函数的积化和差、和差化积题组1：基础巩固一、选择题1．sin75°－sin15°的值为( )A ．12B ．22C ．32D ．－12 答案：B 解析：sin75°－sin 15＝2cos 75°＋15°2sin 75°－15°2＝2×22×12＝22.故选B. 2．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β的值为( ) A ．－23 B ．－13C ．13D ．23答案：C解析：由已知得cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13， ∴cos 2α(1－sin 2β)－sin 2αsin 2β＝13， 即cos 2α－sin 2β＝13. 3．化简cos α－cos3αsin3α－sin α的结果为( ) A ．tan α B ．tan2αC ．cot αD ．cot2α答案：B解析：原式＝－2sin2αsin (－α)2cos2αsin α＝2sin2αsin α2cos2αsin α＝tan2α.4．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于( )A ．－mB ．mC ．－m 2D ．m 2答案：A解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2αcos 2β－cos 2α＋cos 2αcos 2β＝cos 2β－cos 2α＝－m .5．计算sin105°cos75°的值是( ) A ．12 B ．14C ．－14D ．－12 答案：B解析：sin105°cos75°＝12(sin180°＋sin30°)＝14.6．sin10°＋sin50°sin35°·sin55°＝( ) A ．14B ．12C ．2D ．4答案：B 解析：sin10°＋sin50°sin35°sin55°＝2sin30°cos20°－12(cos90°－cos20°) ＝14cos20°12cos20°＝12. 二、填空题7．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 2A 2，则此三角形是________三角形． 答案：等腰解析：sin B sin C ＝cos 2A 2＝1＋cos A 2， ∴2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ，∴cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1又－π<A <B <π，∴A －B ＝0，∴A ＝B .故△ABC 是等腰三角形．8．cos40°＋cos60°＋cos80°＋cos160°＝________.答案：12解析：原式＝cos40°＋cos80°＋cos60°－cos20°＝2cos60°·cos(－20°)＋cos60°－cos20°＝cos60°＝12. 三、解答题9．求证：sin(α＋β)cos α－12[sin(2α＋β)－sin β]＝sin β. 解析：解法一：左边＝sin(α＋β)cos α－12[sin 〔(α＋β)＋α〕－sin β] ＝sin(α＋β)cos α－12[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＋12sin β＝12[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]＋12sin β ＝12sin[(α＋β)－α]＋12sin β＝sin β＝右边． 解法二：左边＝sin(α＋β)cos α－12⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α＋β＋β2sin 2α＋β－β2 ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]＝sin β＝右边．题组2：能力提升一、选择题1．已知sin(α－β)·cos α－cos(α－β)·sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β等于( )A ．1－m 2B ．－1－m 2C ．1＋m 2D ．－m 2－1答案：B解析：sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin(－β)＝－sin β，∴sin β＝－m .又β为第三象限角，∴cos β＝－1－m 2.2．若sin α＋sin β＝33(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( ) A ．－2π3 B ．－π3C ．π3D ．2π3 答案：D解析：∵α、β∈(0，π)，∴sin α＋sin β>0.∴cos β－cos α>0，∴cos β>cos α，又在(0，π)上，y ＝cos x 是减函数．∴β<α∴0<α－β<π，由原式可知：2sin α＋β2·cos α－β2＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫－2sin α＋β2·sin β－α2， ∴tan α－β2＝3∴α－β2＝π3∴α－β＝2π3. 3．在△ABC 中，若B ＝30°，则cos A sin C 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－12，12] C ．[－14，34] D ．[－34，14] 答案：C解析：cos A sin C ＝12[sin(A ＋C )－sin(A －C )]＝14－12sin(A －C )，∵－1≤sin(A －C )≤1， ∴cos A sin C ∈⎣⎡⎦⎤－14，34. 4．tan70°cos10°(3tan20°－1)等于( )A ．1B ．－1C ．12D ．－12答案：B解析：原式＝cot20°cos10°(3tan20°－1) ＝cot20°cos10°3sin20°－cos20°cos20°＝cot20°cos10°2sin (20°－30°)cos20°＝－2sin10°cos10°cot20°cos20°＝－1. 二、填空题 5．sin 220°＋cos 280°＋3sin20°·cos80°＝________.答案：14 解析：原式＝1－cos40°2＋1＋cos160°2＋32sin100°－32sin60° ＝14－12cos40°－12cos20°＋32sin100° ＝14－12×2cos30°cos10°＋32cos10° ＝14－32cos10°＋32cos10°＝14.6．计算1tan10°－4cos10°＝________. 答案：3解析：1tan10°－4cos10°＝cos10°－2sin20°sin10°＝cos10°＋2sin (30°－10°)sin10°＝2cos30°sin10°sin10＝ 3. 三、解答题7．求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的递增区间． 解析：y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋3sin2x＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 故该函数的最小正周期是π；最小值是－2.递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3，⎣⎡⎦⎤56π，π. 8．在△ABC 中，求证：(1)sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝2sin A sin B cos C ；(2)sin A ＋sin B －sin C ＝4sin A 2sin B 2cos C 2. 解析：(1)左边＝sin 2A ＋1－cos2B 2－1－cos2C 2＝sin 2A ＋12(cos2C －cos2B ) ＝sin 2(B ＋C )＋sin(B ＋C )sin(B －C )＝sin(B ＋C )[sin(B ＋C )＋sin(B －C )]＝sin(B ＋C )2sin B cos C ＝2sin A sin B cos C ＝右边， ∴等式成立．(2)左边＝sin(B ＋C )＋2sin B －C 2cos B ＋C 2＝2sin B ＋C 2cos B ＋C 2＋2sin B －C 2cos B ＋C 2＝2cos B ＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋C 2＋sin B －C 2 ＝4sin A 2sin B 2cos C 2＝右边，∴原等式成立． 9．讨论函数f (x )＝12cos(2x －2α)＋cos 2α－2cos(x －α)·cos x ·cos α的周期、最值、奇偶性及单调区间． 解析：f (x )＝12cos(2x －2α)＋1＋cos2α2－2cos(x －α)cos x ·cos α ＝12＋12[cos(2x －2α)＋cos2α]－[2cos(x －α)·cos α]cos x ＝12＋cos x ·cos(x －2α)－cos x [cos x ＋cos(x －2α)] ＝12－cos 2x ＝12－1＋cos2x 2＝－12cos2x . ∴函数的最小正周期T ＝2π2＝π. f (x )max ＝12，此时cos2x ＝－1，即2x ＝2k π＋π，k ∈Z ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ； f (x )min ＝－12，此时cos2x ＝1， 即2x ＝2k π，k ∈Z ，x ＝k π，k ∈Z .f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．由2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，即k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z . ∴函数f (x )的增区间为[k π，k π＋π2](k ∈Z )． 由2k π＋π≤2x ≤2k π＋2π，k ∈Z ，即k π＋π2≤x ≤k π＋π，k ∈Z . ∴函数f (x )的单调减区间为[k π＋π2，k π＋π]，k ∈Z .。
高中数学 9.4分期付款问题中的有关计算活页训练 湘教版必修4
高中数学 9.4分期付款问题中的有关计算活页训练湘教版必修4双基达标 (限时20分钟)1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)．经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成( )． A ．511个 B ．512个 C ．1 023个 D ．1 024个 解析 由题意，这种细菌原有的个数，经过20分钟，40分钟，60分钟，…分 裂后的个数分别为1，2，22，23，….这是一个等比数列，公比为2.因此经过3 小时，这种细菌的个数为a 10＝1·210－1＝29＝512.答案 B2．有一弹性小球，从100米高处自由落下，着地后又弹跳到原距离的一半的高度，再次落下，这样继续下去，到第10次着地时小球共经过的距离为 ( )．A ．300米B ．2993964米C ．2992564米D ．2991964米 解析 共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964(米)． 答案 B3．夏季高山上气温从山脚起每升高100 m 就会降低0.7 ℃，已知山顶气温为14.1 ℃，山脚气温是26 ℃，那么此山相对于山脚的高度是 ( )．A ．1 500 mB ．1 600 mC ．1 700 mD ．1 800 m解析 由题意知气温值的变化构成了以26 ℃ 为首项，公差为－0.7 ℃ 的等 差数列，记此数列为{a n }，a 1＝26 ℃，d ＝－0.7 ℃，∴14.1＝26＋(n －1)× (－0.7)，解得n ＝18，∴此山相对于山脚的高度为100×(18－1)＝1 700(m)． 答案 C4．随着市场的变化与生产成本的降低，每隔5年计算机的价格降低13，2000年价格为8 100元的计算机到2015年时的价格应为________．解析 a 4＝8 100×⎝⎛⎭⎫233＝2 400(元)．答案 2 400元5．某工厂的月生产总值平均增长率为p ，则年平均生产总值的平均增长率为________． 答案 (1＋p )12－16．从房产公司购买住宅一套，价值22万元．首次付款2万元后，其余按年份分期付款，且每年付款数相同．如果年利率为3%，利息按复利计算，并要求经15年付清购房款的本利和．问每年应付款多少元(精确到1元)？实际付款总额比一次性付款多付多少元？ 解 设每年付款x 元，由题意，得x ＋1.03x ＋1.032x ＋…＋1.0314x ＝200 000×1.0315，1.0315－11.03－1·x ＝200 000×1.0315， ∴x ＝200 000×1.0315×0.031.0315－1， 由计算器得x ≈16 753(元)，实际共付款约为16 753×15＋20 000＝271 295(元)，271 295－220 000＝51 295(元)．所以，每年应付款约为16 753元，实际付款总额比一次性付款多付了51 295、元．综合提高 (限时25分钟)7．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个死去1个……按照此规律，6小时后细胞存活数是( )． A ．33 B ．64 C ．65 D ．127解析 由a n ＝2a n －1－1＝2(2a n －2－1)－1＝…＝2n －12a 0－(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝2n ＋1－2n ＋1，a 6＝27－26＋1＝65.答案 C8．有若干台型号相同的联合收割机收割一片土地上的小麦，若同时投入工作，到收割完毕需用24小时，现每隔相同的时间就有一台收割机投入工作，每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完．如果第一台收割机的收割时间是最后一台的3倍，则用这种方法收割完这些小麦需用的时间为( )． A ．28小时 B ．32小时C ．36小时D ．40小时 解析 依题意得，这些联合收割机投入工作的时间构成一个等差数列，按所规定的方法收割，数列的首项即为第一台收割机所需要的时间．设这n 台收割机的工作时间依次为a 1，a 2，…，a n 小时，则数列{a n }是一个等差数列，且每台收割机的工作效率为124n， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3a n ，a 124n ＋a 224n ＋…＋a n 24n ＝1，①②由②得a 1＋a 2＋…＋a n ＝24n ，即n （a 1＋a n ）2＝24n ， ∴a 1＋a n ＝48. ③ ①③联立解得a 1＝36，故用这种方法收割完这些小麦共需36小时．答案 C9．某地2000年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市的人口平均增长率为1%，为使2010年底该城市人均住房面积增加到至少7 m 2，则平均每年新增住房面积至少为________万m 2(保留到整数)．解析 设该城市平均每年新增住房面积为x 万m 2，依题意得6×500＋10x500（1＋1%）10≥ 7，化简得x ≥350(1＋1%)10－300＝350(1＋C 1100.01＋C 2100.012＋…＋0.0110)－300≈350×1.104 6－300≈86.6.∴该城市平均每年至少新增住房面积87万m 2.答案 8710．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1，2，3，…)，则第 n －2个图形中共有________个顶点．解析 由五个图形观察可知，第n 个图形是由正n ＋2边形的每个边都向外“扩展”一个新的正n ＋2边形而得到的，故第n 个图形的顶点个数为(n ＋2)＋(n＋2)2＝(n ＋2)·(n ＋3)．从而第n －2个图形顶点个数为n (n ＋1)＝n ＋n 2.答案 n ＋n 211．某地区位于沙漠边缘地区，人与自然进行了长期顽强的斗争，到2002年底，全地区的绿化率已达到30%，从2003年开始，预计出现以下变化：原有沙漠面积的16%栽上树，并成为绿洲；同时原有的绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠．(1)设2002年底绿化率为a 1，2003年底绿化率为a 2，……，试将a n ＋1用a n 表示出来，并证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －45是等比数列． (2)至少经过多少年的努力，才能使全区的绿洲面积超过60%?(参考数据0.84＝0.409 6；0.85＝0.327 68；0.86＝0.262 144；0.87＝0.209 715 2)解 (1)设总面积为a (a >0)，则a 1＝3a 10. 由题意得：a ·a n ＋1＝a (1－a n )·16%＋a ·a n (1－4%)．即a n ＋1＝45a n ＋425. 由a n ＋1－45＝45(a n －45)得： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －45是等比数列，公比为45.(2)由(1)得a n －45＝⎝⎛⎭⎫a 1－45·⎝⎛⎭⎫45n －1. 即a n ＝45－12⎝⎛⎭⎫45n －1. 由a n >35时，45－12⎝⎛⎭⎫45n －1>35，⎝⎛⎭⎫45n －1<25. 由给出数据得n －1>4，∴n >5.即至少经过5年的努力，才能使全区的绿洲面积超过60%.12．(创新拓展)有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依此类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低单价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？ 解 设该单位购买影碟机n 台，在甲商场购买每台售价不低于440元时，售价依台数n 成等差数列，设该数列为{a n }，则a n ＝780＋(n －1)(－20)＝800－20n .令800－20n ≥440，解得n ≤18.当购买台数小于18台时，每台售价为(800－20n )元，当购买台数大于等于18台时，每台售价为440元，到乙商场购买每台售价为800×75%＝600(元)，作差(800－20n )n －600n ＝20n ×(10－n )．当n <10时，600n <(800－20n )n ；当n ＝10时，600n ＝(800－20n )n ；当10<n ≤18时，(800－20n )n <600n ；当n >18时，440n <600n .即当购买少于10台时到乙商场购买花费较少，当购买10台时到两家商场购买花费相同，当购买多于10台时，到甲商场购买花费较少。
高考数学复习指导：限时训练,规范答题
高考数学复习指导：限时训练，规范答题高考考前30天高考数学温习指点：限时训练，规范答题首先，要对照考纲，查漏补缺。
为了防止知识点遗漏，建议考生对照«考试说明»，对其中所要求的知识点梳理一遍，发现破绽，及时补偿，这样有利于提高温习的针对性、有效性和系统性。
立刻着手常用重点公式的整理、汇总、牢记、运用。
如今曾经到了记牢众少数学概念、定理、公式、方法与规律的时分了!其主要归结整理，三角、平面几何、解析几何、概率和统计、函数与导数等罕见类型的训练题务必掌握惯例解法。
要扎实主干知识。
另外，考前还是要仔细做题，片面善习各类题型。
注重解题方法和进程训练。
限时训练，规范答题。
考前每天就坚持一定的练习量，适当的练习既能协助考生稳固所温习的知识点，又能进一步提高先生规范答题的才干，更是考前的顺应性练习，但是练习要精选，如历年的高考真题或经典模拟题，并能按高考要求限时训练。
特别注重答题技巧和答题的规范以及书写的规范，以免高考中会做的题拿不了总分值。
选择题的求解以直接法为主，但不能每个标题都用直接法，适时运用直接法，如扫除法、特殊解法、逆推法、验证法等。
左右开弓，小题巧做，追求快而准，为前面的解题提供时间保证。
填空题要提高运算的正确性，留意结果表述的规范、繁复;解答题进程书写要详略妥当，切忌跳步而失分。
对照规范的评分规范，掌握解题进程得分点所在。
此时不要再做难题怪题，而应做回归基础知识的标题。
目的是稳拿高考试题中难度低标题(基础题)的分数，集中力气突击难度中等和中等偏上标题的分数，靠优质的心思去拿难度高标题的分数。
同时，考前看看自己做过的卷子，反思错题，审视自己的思想完善，以根绝屡做屡错，屡错屡做之现象。
答错的标题最有价值，它们往往有特性，很有必要冷静反思，以免高考中重蹈覆辙。
2023年高考数学选填限时训练 巩固小卷12份 带解析(解题达人选填)
y ex e .
１5． 已知直线 Ax＋By＋C＝0(其中 A2＋B2＝C2，C≠0)与圆 x2＋y2＝6 交于 M，N 两点，O 是坐标原点，则|MN|
＝ 25 ；
＝
10 ．(本题第一空 2 分，第二空 3 分)
建议用时：55 分钟
满分：80 分
一、选 择 题 :本题共8 小题，每小题 5 分，共40 分. 在每小题 给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求 的.
1. 设集合 A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|x＞2}，则 A∪B＝（ B）
A. {x|x＞4}
B. {x|x＞2 或 x＜－1}
C. {x|x＞4 或 x＜－1}
m 球的体积之比为 m，圆柱的表面积与球的表面积之比为 n，若 f(x)＝(
x3－
1
)8，则（ACD）
n
x
A. f(x)的展开式中的常数项是 28
B. f(x)的展开式中的各项系数之和为 256
C. f(x)的展开式中的二项式系数最大值是 70
D. f(i)＝0，其中 i 为虚数单位
三 、填 空 题 ：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分. １3． 写出一个与向量 a＝(2，1)共线的向量： (4,2)(答案不唯一） .
且其余两个整数至少有一个比“水仙四妹”小的概率是（ D ）
3
1
A.
B.
20
4
3 C.
10
9 D.
20
8.
x2 双曲线 C：
a2
－y2＝1(a>0)的右焦点为 F，点 P 为 C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则 S△OPF 的最小值为
2019_2020学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式限时规范训练新人教A版
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式x i nihi!* .H>i L-i Hi-刑 z M i i lui i M< 限时规范训练【基础练习】2 .对于函数 f (x ) = 2sin x cos x ,n nA. f (x )在—,2上是递增的 C. f (x )的最小正周期为2 nB. f (x )的图象关于原点对称D. f (x )的最大值为2【答案】 B【解析】 因为 f (x ) = 2sin x cos x = sin 2 x ，所以f (x )是奇函数，即f (x )的图象关于原点对称.故选B .3. (2019 年安徽马鞍山模拟,. n2. 5 n)已知 cos 6 — a = Q ,贝U sin 3 + 2 a6 3 3的值为()【答案】C【解析】n 2 所以 cosn 2n =±扌所以因为 cos "6 —a= 3，a - ~ 6=3， sin a - ~~65 nnnn5± X —3 2 ± ^9^-故选 c. sin 3 + 2 a=sin 2a-§=2si n 必一W cos6a- 7=2X 3 =n1 r2n4 .右 sin ~6— a = 3,则cos 3 + 2 a =()1 . (2019年河南安阳模拟)已知角 a 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过点(一4,3)，贝U sin 2 a - cos 2 17A .-25B.31 255 C - 3D.【答案】B【解析】由三角函数的定义，可得sin4cos a= — 5 '所以 sin 2a =2sin a cosa= -25,24cos 2 2 . 2a = cos a — sin a25'Sin 2 a - cos 2 a31―25-故选B .7- _-B.F 列选项中正确的是 (5+_7-9【答案】B 2 n 【解析】cos — + 2 a =2cos 27t—1 = 2cos 2 n — ~— a 2 6 ・2 n—1 = 2sin — a —61 = 9—1=— 7 9. n 5. （2017年福建莆田一模）已知sin — — a 1 =-，贝y cos 2 a 的值是（ 7-8 8- 9【答案】 【解析】14 ,• cos14, ••• cos22a = 2COS a — 1 =2X71 = __ 1 8.故选B .6. (2019 年广东佛山期末 ）已知tan=2，则7ntan“+在【答案】 【解析】 由tan =2,可得 tan 27n"I = — £ 则 tan 2 a + 127t … 7t tan 2 a +$ + 4 = 4 _一+ 1 3十1 4 1- -3 xi 1 7. 7 .已知 sin( a —45°)=—请且 0 a V 90°，贝U COS 2 a 的值为【答案】7_ 25 【解析】 a — 45° )=— V a V 90°,则一45°V a — 45°V 45 由于 sin( cos( a — 45远2=违 10 = 10 ， • cos a = cos( a — 45°+ 45° ) = cos( a — 45° )cos 45 sin( a — 45° )sin 45 10 22a = 2cos a — 1 = 2X7 1=.25所以 3sin 2 a= — 4cos 2 a .― 1 13n 亠9 .已知 COS a = 7 , COS ( a — 3 )=彳4且B <a V —，求: (1)tan 2 a 的值；⑵3的大小.【能力提升】为()A . { ,3} C. { — .3, 0,3}【答案】C3s in 2 a = — 4cos 2 a ・,,,1 — tana1【证因为c .-1 ，所以tana =—2 + ta na22ta n a4 r sin 2 a 4tan 2 a即1 — tan a 3'cos 2 a3'8.已知 a 1，求证: 10. (2018 2X 年四川模拟)若 1 + sin 2 x = 2cos ；, x € (0 ,n ），贝U tan 2 x 的值构成的集合1 —tan2 + tan 【解析】（1）由cosn0< a <y,得 Sin a = 1 — COS? a = 1- 72=罕所以tan asin a . cosT = 4®是 tan 22tan a 2X 4 :31 — tan2 a = 1— 4 ；3 2 =8 .3 47 .⑵由0< 3n /口 n<2，得 0< a — 3 <2.因为cos （ 13a — 3 ) = 14，所以 sin(所以 cos3 = cos[ a — ( a — 3 )] =cos a cos( a13 ) + sin a sin( a — 3 ) = 2，所以B . { — . 3,3}V 3逅D — h ，0，可2X亠• 2sin x cos x = 2cos -— 1 = cos x .「. cos x = 0 或 sin1 n nx = q.又 x € (0 , n ) , • x =~2, ~6，5 n-.• tan 2x = 0 或土 3，则 tan 2x【答案】COS 220 )=特n正周期为~.(1) 求a 的值；n(2) 求f (x )在0,—上的最大值和最小值.n n2nax — — cos ax — — + 2cos ax —4 (a > 0)，化简可得的值构成的集合为{ — 3, 0, 3}, 故选C.11.已知 cos 2 0冷，则sin 40 + cos 40的值为(11一18-D【解析】T 1 + sin 2 x = 2cos^2,【解析】 sin 44cos 0 = (sin2 2 20 + cos 0 ) — 2sincos 2 0 = 1 — fsin 22 0 = 1 —舟(1 —2 2'12.已知(0, n )且 sin 0 — =点则tan 2【答案】24【解析】 ■ sin—cos 0 )1••• sin 0 — cos 0 =T .5/• 1 — 2sin0 cos25' 2sin0 cos 24= 24> °.依题意知, n—，又(sin 0 + cos0 )2= 1 +sin 2 0 49=方」sin 0 + cos 7 4 0 = 5. •- sin 0 = 5, cos 30 = 5. • cos 2 0 = 2cos 20 — 1=— 25 ,25/• tan 2 sin 2 0= cos 224 7.13.已知函数7tf (x ) = 2 3sin ax —才 cos ax — — + 2cos nax — — ( a > 0),且函数的最小【解析】(1)函数 f (x ) = 2 .3sinf (x) = 3sin 2ax—— + cos 2ax—+ 1=—v - 3cos 2 ax+ sin 2 ax + 1n=2sin 2ax—y + 1.n n•••函数的最小正周期为—，即T=—,2 n n ”，口••• T= =一，可得a= 2.2a 2、■■-a的值为2.n⑵ 由(1)得f (x) = 2sin 4x—亍 + 1.n n n 2 nx€ 0，4 时，4x— 7€ —y，可.n n当4x ——=—-时，函数f (x)取得最小值为1—：3;3 3n n当4x —y =—时，函数f (x)取得最大值为2X 1+ 1 = 3,n J—•••f(x)在0,-上的最大值为3,最小值为1—'3.。
2024高中数学计算限时训练(解析版)
2024高中数学计算限时训练（解析版）计算预备知识1.关于平方112=121122=144132=169142=196152=225162=256172=289182=324 192=361202=4002.关于平方根2≈1.4143≈1.7325≈2.2366≈2.4507≈2.64610≈3.1623.关于立方根32≈1.26033≈1.44234≈1.58735≈1.71036≈1.81737≈1.91339≈2.080310≈2.1544.关于ππ≈3.14π2≈1.57π3≈1.05π4≈0.79π5≈0.63π6≈0.52πe≈22.465.关于ee≈2.718e2≈7.389e3≈20.086e≈1.6491e≈0.3681≈0.135eπ≈23.14e26.关于lnln2≈0.693ln3≈1.099ln5≈1.609ln7≈1.946ln10≈2.3037.关于三角函数sinπ5≈0.588sinπ8≈0.383cosπ5≈0.809cosπ8≈0.924tanπ5≈0.727tanπ8≈0.4148.关于loglg2≈0.301lg3≈0.477lg7≈0.8459.关于阶乘4!=245!=1206!=7207!=504010.关于双重根号3±22=2±14±23=3±17±43=2±38±27=7±1 11.关于三角度数sin15°=cos75°=6-24sin75°=cos15°=6+24tan15°=2-3tan75°=2+3初中内容(简单回顾初中的相关计算)训练1(建议用时:10分钟)1.当x>2时, |x-2|=2.若|m-n|=n-m, 且|m|=4,|n|=3, 则m+n=3.用科学记数法表示248000004.若x,y为有理数, 且|x+2|+(y-2)2=0, 则x+y=5.若|a+2|+(b-3)2=0, 则a b=6.用科学记数法表示0.000000217.若有理数x,y的乘积xy为正, 则|x|x+|y|y+|xy|xy的值为8.已知|x|=3,|y|=5, 且|y-x|=x-y, 则2x+y=9.已知代数式x-3y2的值是5 , 则代数式x-3y22-2x+6y2的值是10.关于x,y的单项式2m3x2y的次数是11.已知代数式a2+2a-2b-a2+3a+mb的值与b无关, 则m的值是12.若a,b互为倒数, m,n互为相反数, 则(m+n)2+2ab=13.-2πx3y5的系数是14.已知a-3b-4=0, 则代数式4+2a-6b的值为15.已知代数式x2+x+1的值是3 , 那么代数式5x2+5x+8的值是16.若a,b互为相反数, m,n互为倒数, 则a+b+2mn-3=17.单项式4πx2y49的系数为 , 次数为训练2(建议用时：10分钟)1.已知3a2x-3b与-12a5b4y+5是同类项,则|x+5y|等于2.多项式-2ab2+4a5b-1的项分别是,次数是3.已知多项式x2-3kxy-y2+6xy-8不含xy项, 则k的值是4.单项式πx2y37的系数是 , 次数是;多项式5x2y-3y2的次数是5.已知(a+1)2+|b-2|=0, 则a b+1的值等于6.当x=时,式子2x+56与x+114+x的值互为相反数.7.已知代数式5x-2的值与110互为倒数, 则x=8.某件商品, 按成本提高40%后标价, 又以8折优惠卖出, 结果仍可获利15元, 则这件商品的成本价为9.当x=时, 32x+1与x-3的值相等10.当代数式1-(3m-5)2有最大值时, 关于x的方程3m-4=3x+2的解为11.若方程4x-1=5与2-a-x3=0的解相同, 则a的值为=b, 则当b=1时方程的解为12.已知13x-213.已知关于x的一元一次方程x+2m=-1的解是x=m, 则m的值是14.已知x=1是方程3x-m=x+2n的一个解, 则整式m+2n+2020的值为15.当x=时,式子3-2x与2+x互为相反数16.若-4a m b3与3a2-m b n-1可以合并成一项,则m n的值是17.已知x=3是方程11-2x=ax-1的解,则a=18.已知一元一次方程(m-4)x+m2=16的解是x=0, 则m=19.要使关于x,y的多项式my3+3nx2y+2y3-x2y+y不含三次项, 则2m+3n的值为训练3(建议用时:10分钟)1.已知a m=3,a n=9, 则a3m-n=2.当a时, (a-2)0=13.已知2x+5y-5=0, 则4x⋅32y的值是4.已知2a=3,2b=5, 则22a+2a+b=5.若3x=10,3y=5, 则32x-y=6.已知3x÷9y=27, 则2020+2y-x的值为7.已知x+4y=1, 则2x⋅16y=8.计算:(-3)2021×13 2020=9.已知2x=3,2y=5, 则22x-y=2020×(1.5)2021=10.-2311.若2x+y=3, 则4x⋅2y=12.若5x=18,5y=3, 则5x-y==0, 则y x=13.若(x-2)2+y+1314.计算:(-1)0+13 -1=15.计算:a2⋅a4+-3a32-10a6=16.已知6m=2,6n=3, 则6m+n2=17.已知2x+3-2x=112, 则x的值为18.已知x-y=5,xy=2, 则x2+y2=19分解因式:-xy2+4x=20.已知m-n=3, 则m2-n2-6n=21.已知25x2+kxy+4y2是一个完全平方式, 则k的值是=22.若m+1m=3, 则m2+1m223.若x2-(m-3)x+4是一个完全平方式, 则m的值是训练4(建议用时:10分钟)1.已知关于x的二次三项式x2+2kx+16是一个完全平方式, 则实数k的值为2.分解因式:4x2-4y2=3.分解因式:3xy3-27x3y=4.分解因式:4(a+b)2-(a-b)2=5.若x2-ax+1(x-1)的展开式是关于x的三次二项式, 则常数a=6.已知x+1x=3, 且0<x<1, 则x-1x=7.若a2+6a+b2-4b+13=0, 则a b=8.若y2+py+q=(y+3)(y-2), 则-pq=9.(-2a)3⋅1-2a+a2=10.已知a+b=2,ab=-2, 则(a-2)(b-2)=11.已知方程组x+2y=k,2x+y=2的解满足x+y=2, 则k的平方根为12.已知2x+5y=3, 用含y的式子表示x, 则x=13.若单项式-3a2m+1b8与4a3m b5m+n是同类项, 则这两个单项式的和为14.若方程组x+y=4,2x-y=-1的解也是2x-ay=14的解, 则a=15.已知二元一次方程组2x+y=7,x+2y=8,则x-y=x+y=16.不等式2x-12-3≤0的非负整数解共有个17.已知不等式12x-3≥2x与不等式3x-a≤0的解集相同, 则a=18.解不等式2+3x≤3-5x, 则x19.不等式组-13x>2,5-x>3的解集为20.不等式组2x-3<1,1-x≤3的解集为训练5(建议用时:10分钟)1.已知直角三角形的两边长分别为3,5 , 且第三边是整数, 则第三边的长度为2.若三角形的三边长分别为a,b,c, 且|a-b|+a2+b2-c2=0, 则△ABC的形状为3.已知直角三角形两直角边a,b满足a+b=17,ab=60, 则此直角三角形斜边上的高为4.在直角坐标系中, 点A(2,-2)与点B(-2,1)之间的距离AB=5.在直角三角形中,其中两边的长度分别为3,4 , 则第三边的长度是6.在直角三角形ABC中, ∠C=90°,BC=12,CA=5,AB=7.若a、b为实数, 且(a+3)2+b-2=0, 则a b的值为8.11的整数部分是小数部分是9.已知实数x,y满足3x+4+y2-6y+9=0, 则-xy的算术平方根的平方根的相反数等于10.计算:|-5|+(2-1)0=11.计算:20+|1-2|=12.3-7的相反数是 , 绝对值等于3的数是13.116的平方根是14.-8的立方根是,16的平方根是15.19-35的整数部分为a, 小数部分为b, 则2a-b=16.若x-4+(y+3)2=0, 则x+y=17.已知a是64的立方根, 2b-3是a的平方根,则114a-4b的算术平方根为训练6(建议用时:10分钟)1.在第三象限内到x轴的距离为2 , 到y轴的距离为3的点的坐标为2.在平面直角坐标系中, 点A(-2,1)关于y轴的对称点A 的坐标是3.点P(-1,1)先向左平移2个单位长度, 再向上平移3个单位长度得点P1, 则点P1的坐标是4.在平面直角坐标系中, 点M(a,b)与点N(5,-3)关于x轴对称, 则ab的值是5.如果点P(m,1-2m)在第四象限,那么m的取值范围是6.点A(3,-2)关于x轴对称的点的坐标为 , 关于y轴对称的点的坐标为7.在平面直角坐标系中, 过点P(6,8)作PA⊥x轴, 垂足为A, 则PA的长为8.点P(-2,6)到x轴的距离是9.若点A(m+2,-3)与点B(-4,n+5)在二、四像限的角平分线上, 则m+n=10.已知点A(m,3)与点B(2,n)关于x轴对称, 则(m+n)2020的值为11.已知点P(2m,m-1), 当m=时, 点P在二、四象限的角平分线上12.点A(-7,9)关于y轴的对称点是13.如果(3a-3b+1)(3a-3b-1)=80, 且a>b, 那么a-b的值为14.已知1<x<5, 化简(x-1)2+|x-5|=15.已知a-1+|b-5|=0,则(a-b)2的值是16.若|x+1|+y-2=0, 则x2+y2的值为17.a,b是自然数,规定a∇b=3×a-b3, 则2∇17的值是训练7(建议用时:15分钟)1.若一组数据1,2,x,4的平均数是2 , 则这组数据的方差为2.有40个数据, 其中最大值为35 , 最小值为14 , 若取组距为4 , 则分成的组数是3.小明抛掷一枚质地均匀的硬币, 抛掷100次硬币,结果有55次正面朝上,那么朝上的频率为4.当m=时, 解分式方程x-5x-3=m3-x会出现增根5.若(x-y-2)2+|xy+3|=0, 则3xx-y+2x y-x÷1y的值是6.分式方程3x2-x +1=xx-1的解为7.若关于x的方程axx-2=4x-2+1无解,则a的值是8.化简:1x-1-1x2-x=9.计算2aa2-16-1a-4的结果是10.若m+n=3,mn=2, 则1m+1n=11.若关于x的分式方程2x-ax-2=12的解为非负数, 则a的取值范围是12.若一次函数y=(a-1)x+a-8的图象经过第一、三、四象限, 且关于y的分式方程y-5 1-y+3=ay-1有整数解, 则满足条件的整数a的值之和为13.若整数a使关于x的不等式组x-12<1+x3,5x-2≥x+a有且只有四个整数解, 且使关于y的方程y+ay-1+2a1-y=2的解为非负数, 则符合条件的所有整数a的和为14.若关于x的分式方程2x-ax-2=13的解为非负数, 则实数a的取值范围是15.已知关于x的分式方程2a+1x+1=a有解,则a的取值范围是16.若分式方程2xx-1-m-1x-1=1有增根,则m的值是训练8(建议用时:15分钟)1.已知5x+1(x-1)(x+2)=Ax-1+Bx+2, 则实数A+B=2.当分式21-3m的值为整数时, 整数m的值为3.解方程:3-2xx-1=-1x-1.4.若x=3-1, 则代数式x2+2x-3的值是5.已知等式|a-2021|+a-2022=a成立, 则a-20212的值为6.若m=20202021-1, 则m3-m2-2022m+2020=7.计算(5-2)2021(5+2)2022的结果是8.已知xy=2,x+y=4, 则x y+yx=9.若M=1ab-a b⋅ab, 其中a=3,b=2, 则M的值为10.如果y=x-2+4-2x-5,那么y的值是11.已知16-n是整数, 则自然数n所有可能的值为12.已知20n是整数,则满足条件的最小正整数n为13.若3+5的小数部分是a,3-5的小数部分是b, 则a+b=14.已知整数x,y满足x+3y=72, 则x+y的值是15.已知x=5-12,y=5+12, 则x2+y2+xy的值是16.已知4a+3b与b+12a-b+6都是最简二次根式且可以合并, 则a+b的值为17.已知m,n是正整数, 若2m+5n是整数, 则满足条件的有序数对(m,n)为18.已知4a+1是最简二次根式, 且它与54是同类二次根式, 则a=训练9(建议用时:15分钟)1.设x1,x2是方程5x2-3x-2=0的两个实数根, 则1x1+1x2的值为2.方程(x-1)(x+5)=3转化为一元二次方程的一般形式是3.已知关于x的方程x2+2kx-1=0有两个不相等的实数根, 则k的取值范围是4.如果α,β(α≠β)是一元二次方程x2+2x-1=0的两个根, 则α2+α-β的值是5.写出一个以-1为一个根的一元二次方程6.已知一元二次方程(a-1)x2+7ax+a2+3a-4=0有一个根为零, 则a的值为7.设m,n是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根, 则m2+4m+n=8.已知一元二次方程x2+3x-4=0的两个根为x1,x2, 则x21+x1x2+x22=9.已知关于x的方程x2-6x+p=0的两个根是α,β, 且2α+3β=20, 则p=10.已知一个正六边形的边心距是3, 则它的面积为11.同一个圆的内接正方形和正三角形的内切圆半径比为12.以半径为1的⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是13.用一个圆心角为120°, 半径为9cm的扇形围成一个圆雉侧面, 则圆雉的高是cm.14.有一组数据:-1,a,-2,3,4,2, 它们的中位数是1 , 则这组数据的平均数是15.已知一组数据3,4,6,8,x的平均数是6 , 则这组数据的中位数是16.五个整数从小到大排列后, 其中位数是4 , 如果这组数据的唯一众数是6 , 那么这组数据可能的最大的和是17.小明用s2=110x1-32+x2-32+⋯+x10-32计算一组数据的方差,那么x1+x2+x3+⋯+x10=训练10(建议用时:15分钟)1.一个不透明的布袋里放有5个红球、3个黄球和2个黑球, 它们除颜色外其余都相同,则任意摸出一个球是黑球的概率是2.二次函数y=-x2-2x+3的图象上有两点A-7,y1,B-8,y2, 则y1y2. (填">"∗"或"=")3.若关于x的函数y=ax2+(a+2)x+(a+1)的图象与x轴只有一个公共点, 则实数a的值为4.把抛物线y=x2+1先向右平移3个单位长度, 再向下平移2个单位长度, 得到的抛物线为5.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10), 则a-b+c=6.若二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1), 则代数式1-a-b的值为7.若把二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-m)2+k的形式, 其中m,k为常数, 则m+k=8.若抛物线y=-(x-m)(x-2-n)+m-2与抛物线y=x2-4x+5关于原点对称, 则m+n =9.已知△ABC∼△DEF, 且相似比为3:4,S△ABC=2cm2, 则S△DEF=cm210.在△ABC中, 点D,E分别在AB,AC上, 且DE⎳BC. 如果ADAB=35,DE=6, 那么BC=11.在△ABC中, 如果∠A,∠B满足|tan A-1|+cos B-122=0, 那么∠C=12.计算:sin230°+cos260°-tan245°=13.已知等腰三角形的两边长分别为5和8 , 则底角的余弦值为14.已知在△ABC中, ∠B=30°,∠C=45°,AB=4, 则BC的长为15.一个不透明的袋中放有4个红球和x个黄球,从中任意摸出一个恰为黄球的概率为34, 则x 的值为高中内容计算专题加强训练训练11对数运算(建议用时:5分钟)1.log312.log232 33.lg1004.lg0.0015.lg1100006.log1101007.ln e8.log31279.log12410.lg0.1211.lg310012.ln1e13.log214 214.log13915.写出高中阶段学过的对数运算公式.训练12指数运算(建议用时:13分钟)1.化简:56a 13b -2⋅-3a -12b -1 ÷4a 23⋅b -3 12(a >0,b >0).2.化简:a 3b 23ab 2a 14b 12 4a -13b 13(a >0,b >0).3.已知x 12+x -12=3, 求x 32+x -32+2x 2+x -2+3的值.4.已知a 2x=2+1, 求a 3x +a -3x a x +a -x 的值.5.x -1x 23+x 13+1+x +1x 13+1-x -x 13x 13-1.6.a 3+a -3 a 3-a -3a 4+a -4+1 a -a -1 +a 21+a -4 -2a -a -1.训练13指对运算(建议用时:5分钟)这个训练考查对数的相关计算, 要记住什么是指对互换、对数恒等变形、换底公式、对数运算公式,还有就是幂的运算.1.823-log 2510 -1+4log 23+4lg 22-4lg2+1.2.20222023 0+80.25⋅42+(32⋅3)6--23 23⋅49 -13-1.3.4(3-π)4+(0.008)-13-(0.25)12×12 -4.4.12lg 3249-43lg 8+lg 245+21+log 23.训练14错位相减(建议用时:20分钟)1.求b n =(2n -1)2n 的前n 项和.2.求b n=n22n-1的前n项和.3.求c n=(2n-1)4n-1的前n项和.4.求b n=(2n-1)13 n-1的前n项和.+2n的前n项和.5.求b n=n+14n训练15求值域(建议用时:20分钟)下列题目涉及了高中阶段不少求值域的方法, 要学会看到什么式子大概清楚使用什么方法或者说哪些方法来求解, 比如看到y=x-3+5-x就知道可以使用平方法来求解.1.y=5x-14x+2,x∈[-3,-1]..2.y=x2+2x2+13.y=2x+1-2x.4.y=x+4+9-x2..5.y=2x2+4x-7x2+2x+36.y=log3x+log x3-1.7.y=(x+3)2+16+(x-5)2+4.8.y=sin x+2cos x-2.9.y=ln x-x.训练16含参一元二次不等式(建议用时:20分钟)1.解不等式ax2>1.2.解不等式2ax2-(a+2)x+1>0(a≠0,a≠2).3.解不等式ax2+(a+2)x+1>0(a≠0).4.解不等式x2+ax+1<0.训练17解三角形周长(建议用时:20分钟)1.若A=π3,a=3, 求△ABC周长的取值范围．建议使用两种方法来解决:法一:余弦定理+不等式+三角形三边关系.法二:正弦定理+辅助角公式.2.若A=π3,a=3, 求锐角△ABC周长的取值范围.3.在△ABC中, B=π3, 若a+c=1, 求b的取值范围.训练18解三角形面积(建议用时:20分钟)1.若A=π3,a=3, 求S△ABC的最大值．建议使用两种方法来解决:法一:余弦定理+不等式.法二:正弦定理+辅助角公式十三角形面积公式.2.若A=π3,a=2, 求锐角△ABC面积的取值范围.3.在平面四边形ABCD中, AD=2,CD=4,△ABC为等边三角形, 求三角形BCD面积的最大值.训练19数列存在性(建议用时:20分钟)在新高考的模式下, 原本的数列压轴题被调整到了解答题的前两题,但是得分率并不乐观, 接下来的几篇训练着重练习数列中的存在性、奇偶项、绝对值、不等式(放缩)等问题.1.已知等差数列a n=2n-1, 求m,k m,k∈N∗的值, 使得a m+a m+1+a m+2+⋯+a m+k=65.2.已知等差数列a n=2n-7, 试求所有的正整数m, 使得a m a m+1a m+2为数列a n中的项.3.已知数列a n=1n(n+1), 问:是否存在正整数m,k, 使1akS k=1a m+19成立?若存在, 求出m,k的值;若不存在, 请说明理由.4.已知数列a n=3n,b n=2n-1, 数列b n的前n项和为T n, 问:是否存在正整数m,n,r, 使得T n=a m+r⋅b n成立?如果存在, 请求出m,n,r的关系式;如果不存在, 请说明理由.训练20数列奇偶项(建议用时:20分钟)常见的奇偶项问题(1)a n+a n+1=f(n)或a n⋅a n+1=f(n)类型;(2)(-1)n类型;(3)a2n,a2n-1类型.1已知数列a n满足a n+1+a n=11-n+(-1)n, 且0<a6<1. 记数列a n的前n项和为S n, 求当S n取最大值时n的值.2.已知数列a n满足a1=1,a n+1=12a n+n-1,n为奇数a n-2n,n为偶数记bn-a2n，求数列a n的通项公式.3.设S n为数列a n的前n项和, S n=(-1)n a n-12n,n∈N∗, 求数列a n的通项公式.4.已知等差数列a n=2n-1, 令b n=(-1)n-14na n a n+1, 求数列b n的前n项和T n.训练21数列绝对值(建议用时:20分钟)求数列绝对值的前n项和T n的一般步骤为：(1)求出数列的通项公式;(2)令a n≥0或a n≤0, 求出n的临界值m;(3)若等差数列的项先负后正, 则:T n=-S n,n≤m, -2S m+S n,n>m(4)若等差数列的项先正后负,则:T n=S n,n≤m, 2S m-S n,n>m.1.已知数列a n=53-3n, 求数列a n的前n项和T n.2.已知数列a n=2n-4n, 求数列a n的前n项和S n.3.已知数列a n=sin nπ6-34, 记数列a n 的前n项和为S n, 求S2021.训练22数列不等式(建议用时:20分钟)在学习裂项时我们遇到了数列不等式, 后来随着难度的加大, 各式各样的不等式出现, 比如:12+13+14+⋯+1n=ni=21i<ln n(n≥2)同时这类不等式还会和放缩联系在一起,即:1 n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1,1n+2<n+2-n类似于这样的还有很多,在此就不一一列举了.1.已知数列a n=12 n-1,数列a n 的前n项和为T n,令b1=a1,b n=T n-1n+ 1+12+13+⋯+1n ⋅a n(n≥2), 求证:数列b n 的前n项和S n满足S n<2+2ln n.2.已知数列a n=2n-1的前n项和为S n, 设b n=1a n S n , 数列b n的前n项和为T n, 求证:T n<323.已知数列a n=3n-1,b n=2n-1, 求证:对任意的n∈N∗且n≥2, 有1a2-b2+1a3-b3+⋯+1a n-b n<32训练23导数单调性(建议用时:20分钟)1.讨论函数f (x )=ln x +ax x +1的单调性.2.已知函数f (x )=(ax +1)e x , 其中a ∈R 且a 为常数, 讨论函数f (x )的单调性.3.函数f (x )=xe x -ax 2-2ax +2a 2-a , 其中a ∈R , 讨论f (x )的单调性.训练24圆锥计算化简求值(建议用时:11分钟)这个训练主要考查学生在圆锥曲线上面的计算能力,一方面考查能否化简到底,另一方面考查能否对最后的式子进行求最值计算.1.已知1212-k 2k +22k 2+2k +4+1+12-k 2+2k +4-4-1 =0, 求k 的值.2.求24k 1+2k 2+-16k -44k 2-61+2k 224k 1+2k 2+-48k +124k 2-61+2k 2.3.求1+k 2⋅-12k 21+3k 2 2-4×12k 2-61+3k 2.4.已知12⋅21+k 21+k 2 64k 21+2k 22-241+2k 2 =225, 求k 的值.训练25联立后的韦达与判别式(建议用时:15分钟)1.写出Δ以及韦达式子:y2=8x,y=kx+b.2.写出Δ以及韦达式子:y=kx+2, x28+y22=1.3.写出Δ以及韦达式子:y=kx+m, x26+y2=1.4.写出Δ以及韦达式子:y=k(x-1)+2, x23+y2=1.(建议用时:20分钟)1.已知y=32(x-1),x24+y23=1,求y1-y2的值.2.已知x24+y2=1,x=my+3,m≠0, 两交点分别为M,N, 原点到直线的距离为d, 求当|MN|⋅d取得最大值时直线的方程.3.已知x=my-1,x24+y23=1,若y1-y2=1227, 求m的值.4.已知y=x+b,y2=4x,若y1x1+2+y2x2+2=0, 则求其直线方程.(建议用时:20分钟)1.化简(x+1)2+(y+4)2(x-a)2+(y-2a+2)2=λ(λ>0,λ≠1)之后为(x-2)2+(y-2)2=10, 求a,λ.2.已知直线x=ky+m与圆x2+y2=1联立得1+k2y2+2kmy+m2-1=0, 且k2+m=0, 若x1x2+y1y2=0, 求m,k.3.已知R=t2+16-2, 求y=t+R3-t-R31+t+R3⋅t-R3的最大值.4.已知直线y=kx+1与圆(x-2)2+(y-3)2=1相交, 若x1x2+y1y2=12, 求k.(建议用时:20分钟)1.当λ≠1时, 把(x+1)2+y2(x-1)2+y2=λ化简成圆的标准方程的形式.2.当k>0,k≠1时, 把x2+y2(x-a)2+y2=k化简成圆的标准方程的形式.3.已知0<m2<13, 求41-3m21+m2⋅6m2+11-3m2的取值范围.4.使用两种方式求S△ABC=121+k23+4k24+3k2的最小值.(建议用时:20分钟)1.已知x22+y2=1,x=my+1,且t≠1, 若要使y1x1-ty2x2-t是定值, 求t的值.2.已知x24-y25=1,x=my+3,若k1=y1x1+2,k2=y2x2-2, 求k1k2的值.3.已知x=ty+p2,y2=2px,求k1+k2=y1-px1+p2+y2-px2+p2的值.4.已知y=kx+m,x2+2y2=2,若x1x2+y1-1y2-1=0, 求m的值.1.已知圆(x +1)2+(y -2)2=20与过点B (-2,0)的动直线l 相交于M ,N 两点, 当|MN |=219时,求直线l 的方程.2.已知圆C :x 2+y 2-8y +12=0, 直线l :ax +y +2a =0, 当直线l 与圆C 相交于A ,B 两点,且|AB |=22时,求直线l 的方程.3.已知圆C :x 2+(y +1)2=4, 过点P (0,2)的直线l 与圆相交于不同的两点A ,B .(1)若OA ⋅OB =1, 求直线l 的方程.(2)判断PA ⋅PB 是否为定值. 若是, 求出这个定值;若不是, 请说明理由.4.已知圆C :(x +3)2+(y -3)2=4, 一动直线l 过点P (-4,0)且与圆C 相交于A ,B 两点, Q 是AB 的中点, 直线l 与直线m :x +3y +6=0相交于点E .(1)当|AB |=23时,求直线l 的方程.(2)判断PQ ⋅PE 的值是否与直线l 的倾斜角有关. 若无关, 请求出其值;若有关, 请说明理由.1.已知两点A (0,3),B (-4,0), 若P 是圆x 2+y 2-2y =0上的动点,求△ABP 面积的最大值.2.已知P (m ,n )是函数y =-x 2-2x 图象上的动点,求|4m +3n -21|的最小值.3.已知圆C :(x -1)2+(y -2)2=2, 点P (2,-1), 过P 点作圆C 的切线PA ,PB ,A ,B 为切点.求:(1)PA ,PB 所在直线的方程;(2)切线长|PA |.4.已知圆C 经过坐标原点, 且与直线x -y +2=0相切, 切点为A (2,4).(1)求圆C 的方程;(2)若斜率为-1的直线l 与圆C 相交于不同的两点M ,N , 求AM ⋅AN 的取值范围.1.已知直线l:x+3y-4=0, 圆C的圆心在x轴的负半轴上,半径为3, 且圆心C到直线l的距离为310 5.(1)求圆C的方程;(2)由直线l上一点Q作圆C的两条切线, 切点分别为M,N, 若∠MQN=120°, 求点Q的坐标.2.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4, 直线l1过定点A(1,0).(1)若l1与圆相切, 求l1的方程;(2)若l1与圆相交于P,Q两点, 线段PQ的中点为M,l1与l2:x+2y+2=0的交点为N, 求证：|AM|⋅|AN|为定值.3.已知圆C的圆心在x轴上, 且与直线4x-3y-2=0相切于点-25,-65.(1)求圆C的方程;(2)经过点P(1,0)作斜率不为0的直线l与圆C相交于A,B两点, 若直线OA,OB的斜率之和等于8 , 求直线l的方程.4.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点, PA,PB是圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线, A,B是切点.(1)求四边形PACB面积的最小值.(2)直线上是否存在点P, 使∠BPA=60°?若存在, 求出点P的坐标;若不存在, 说明理由.训练33解析解答(4)(建议用时:25分钟)1.已知直线l:y=2x+m和椭圆C:x24+y2=1,m为何值时, 直线l被椭圆C所截的弦长为20172.已知椭圆x23+y22=1(a>b>0), 过左焦点F1的斜率为1的直线与椭圆分别交于A,B两点,求|AB|.3.已知点A(0,-1)在椭圆C:x23+y2=1上, 设直线l:y=k(x-1)(其中k≠1 与椭圆C交于E,F两点, 直线AE,AF分别交直线x=3于点M,N. 当△AMN的面积为33时, 求k 的值.4.已知F是抛物线x2=4y的焦点,过点F的直线与曲线C交于A,B两点, Q(-2,-1), 记直线QA,QB的斜率分别为k1,k2, 求证:1k1+1k2为定值.训练34解析解答(建议用时:25分钟)1.已知椭圆C:x24+y2=1, 直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点, P为椭圆的上顶点, 且|PA|=|PB|, 求m的值.2.已知椭圆E:x24+y22=1, 设直线y=kx-2被椭圆C截得的弦长为83, 求k的值.3.已知F 为椭圆x 22+y 2=1的左焦点, 设直线l 同时与椭圆和抛物线y 2=4x 各恰有一个公共交点,求直线l 的方程.4.已知抛物线x 2=4y 的焦点为F , 过点F 的直线l 交抛物线于P ,Q 两点, 交直线y =-1于点R , 求RP ⋅RQ 的最小值.训练35解析解答(6)(建议用时:25分钟)1.已知椭圆C :x 24+y 22=1, 点A (0,1), 若点B 在椭圆C 上, 求线段AB 长度的最大值.2.已知椭圆C :x 26+y 23=1, 直线y =x +1与椭圆交于A ,B 两点, 求AB 中点的坐标和AB 的长度.3.已知椭圆M :x 23+y 2=1, 直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B , 设直线l 的方程为y =x +m , 先用m 表示|AB |, 再求其最大值.4.已知抛物线y2=6x的弦AB经过点P(4,2), 且OA⊥OB(O为坐标原点), 求弦AB的长.训练36复合求导(1)(建议用时:3分钟)本训练考查复合函数求导, 这在一些导数压轴题中可能会出现..1.求x-1e x.2.求-34ln x+1+x23.求y=ln2x+1-1的导数.4.求y=cos(-2x)+32x+1的导数.训练37复合求导(2)(建议用时:6分钟)求下列函数的导数.1.y=ln x+1+x22.y=e x+1e x-13.y=2x sin(2x+5)4.y=3x e x-2x+e5.y=ln xx2+16.y=x2(2x+1)37.y=e-x sin2x训练38二面角求解(建议用时:10分钟)1.两平面的法向量为n1=(0,1,-2),n2=(-1,1,-2), 设二面角的平面角为α, 且为锐角, 则求二面角的大小.2.两平面的法向量为n1=(1,0,1),n2=(1,1,1), 求两平面所成锐二面角α的余弦值.3.一个平面的法向量n1=(x,y,z)满足方程组2x+y-z=0,x+2y-z=0,另一个平面的法向量n2=(0,2,0), 求两平面所成锐二面角α的余弦值.4.一个平面的法向量n1=x1,y1,z1满足方程组-x1+12z1=0,-y1+12z1=0,另一个平面的法向量n2=x2,y2,z2满足方程组2x2+2y2-2z2=0,2y2-2z2=0,求两平面所成锐二面角α的大小.训练39卡方计算(1)(建议用时:6分钟)本训练主要考查独立性检验的计算,附表: (1)独立性检验统计量K2值的计算公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d(2)独立性检验临界值表:PK2≥k00.150.100.050.0250.010.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 1.列联表如下,计算K2:成绩优良人数成绩非优良人数总计男生92130女生11920总计203050数学成绩优秀数学成绩不优秀合计物理成绩优秀527物理成绩不优秀11213合计614204.列联表如下,计算K2:[0,150](150,475] [0,75]6416(75,115]1010训练40卡方计算(2)(建议用时:10分钟)1.列联表如下, 计算K2:甲有机肥料乙有机肥料合计质量优等603090质量非优等4070110合计100100200选择物理不选择物理合计男451560女202040合计65351003.列联表如下, 计算K2:视力正常视力不正常总计男生6040100女生401050总计100501504.列联表如下, 计算K2:女性男性合计直播电商用户8040120非直播电商用户404080合计12080200满意不满意合计工薪族403070非工薪族401050合计8040120训练41线性回归计算(1)(建议用时13分钟)本训练考查的是线性回归方程的相关计算, 参考公式:b=ni=1x i-xy i-yni=1x i-x2=ni=1x i y i-nx yni=1x2i-nx 2,a=y -bx ,y=bx+ar=ni=1x i-xy i-yni=1x i-x2ni=1y i-y2=ni=1x i y i-xxyni=1x2i-nx 2ni=1y2i-ny 21,某餐厅查阅了最近5次食品交易会参会人数x(万人)与餐厅所用原材料数量y(袋), 得到如下统计表:第一次第二次第三次第四次第五次参会人数x/万人13981012原材料y/袋3223182428根据所给5组数据,求出y关于x的线性回归方程.2.某连锁经营公司旗下的5个零售店某月的销售额和利润额如下表:商店名称A B C D E销售额x/千35679万元利润额y/百23345万元用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的线性回归方程.3.某企业坚持以市场需求为导向, 合理配置生产资源, 不断改革、探索销售模式. 下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x(件)与相应的生产总成本y(万元)的五组对照数据:产量x/件12345生产总成本y3781012 /万元试求y与x的相关系数r, 并利用相关系数r说明y与x是否具有较强的线性相关关系(若|r|>0.75, 则线性相关程度很高, 可用线性回归模型拟合).训练42线性回归计算(2)(建议用时13分钟)1某专营店统计了近五年来该店的创收利润y(单位:万元)与时间t i(单位:年)的相关数据,列表如下:t i12345y i 2.4 2.7 4.1 6.47.9依据表中给出的数据, 是否可用线性回归模型拟合y与t的关系?请计算相关系数r并加以说明(计算结果精确到0.01, 若|r|>0. 8 , 则认为y与t高度相关, 可用线性回归模型拟合y 与t的关系).2某部门统计了某网红景点在2022年3月至7月的旅游收人y(单位:万元), 得到以下数据:月份x34567旅游收人y1012111220根据表中所给数据, 用相关系数r加以判断, 是否可用线性回归模型拟合y与x的关系?若可以,求出y关于x的线性回归方程;若不可以,请说明理由.3某汽车4S店关于某品牌汽车的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(千元)有如下的统计资料:x23456y 2.0 3.5 6.0 6.57.0试求y关于x的线性回归方程.训练43期望求解(1)(建议用时:12分钟) 1.求期望值.P(X=0)=C02C23C25=P(X=1)=C12C13C25=P(X=2)=C22C03C25=2.求期望值.P(X=0)=C36C310=P(X=1)=C26C14C310=P(X=2)=C16C24C310=P(X=3)=C34C310=3.求分布列Y的期望值, 已知Y=5X,X的可能取值为0,1,2,3,4, 且X∼B4,34.(1)P(X=0)=C0434 014 4=(2)P(X=1)=C1434 114 3=(3)P(X=2)=C2434 214 2=(4)P(X=3)=C3434 314 1=(5)P(X=4)=C4434 414 0=训练44期望求解(2)(建议用时:12分钟)1随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.P (ξ=0)=1-34 21-232=P (ξ=1)=C 1234 1-34 1-23 2+C 1223 1-23 1-34 2=P (ξ=2)=34 21-23 2+1-34 223 2+C 12231-23 C 1234 1-34 =P (ξ=3)=34 2C 1223 1-23 +C 1234 1-34 23 2=P (ξ=4)=34223 2=求随机变量ξ的期望值.2随机变量X 的可能取值为2,3,4,5.P (X =2)=C 12C 22+C 22C 12C 310=P (X =3)=C 12C 24+C 22C 14C 310=P (X =4)=C 12C 26+C 22C 16C 310=P (X =5)=C 12C 28+C 22C 18C 310=求随机变量X 的期望值.(建议用时:20分钟)1.C r 12⋅212-r ≥C r -112⋅213-r ,C r 12⋅212-r ≥C r +112⋅211-r ,为整数, 则r =2.(-2)r C r 8≥(-2)r +2C r +28,(-2)r C r 8≥(-2)-2C r -28,为偶数, 则r =3.设m ,n ∈N ∗,m ≤n , 求证:C m +1n +1=n +1m +1C mn.4.用二项式定理证明:3n >2n 2+1n ≥3,n ∈N ∗ .(建议用时:20分钟)1.求r的取值范围:C r7⋅2r≥C r-17⋅2r-1,C r7⋅2r≥C r+17⋅2r+1 .2.求r的取值范围:C r8⋅2r≥C r+18⋅2r+1, C r8⋅2r≥C r-18⋅2r-1.3.求k的取值范围:C k1012 k≥C k-11012 k-1, C k1012 k≥C k+11012 k+1.4.展开:x-12x6=。
河南省伊川高中下学期限时训练高二数学(理科)试题2(牛海轩)
河南省伊川高中2010—2011学年下学期期末限时训练高二数学（理科）试题1. i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫⎪-⎝⎭= （ ）A.- iB.-1C. iD.1 2. 设,a b 是向量，命题“若a b ≠-，则∣a ∣= ∣b ∣”的逆命题是 （ ）（A ）若a b ≠-，则∣a ∣≠∣b ∣ （B ）若a =—b ，则∣a ∣≠∣b ∣ （C ）若∣a ∣≠∣b ∣，则a ≠—b （D ）若∣a ∣=∣b ∣，则a = -b3. 在ABC ∆中，2sin sin cos 2C A B ⋅=，则ABC ∆的形状一定是 ( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 4、从5男4女中选4位代表，要求至少有2位男代表且至少有1位女代表，这4位代表被分配到4个单位调查，则选配方法有 ( ) A . 100种B . 400种C . 480种D . 2400种5．54)1()1(-⋅+x x 展开式中x 4的系数为 （ ）A.－40B.10C.40D.456．已知随机变量ξ服从正态分布()22N ，a ，且Ｐ（ξ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜ξ＜2）＝ （ ）Ａ.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.27、如图，底面ABCD 为平行四边形的四棱柱1111ABCD A BC D -，M 是AC 与BD 的交点，若AB a = ，11A D b = ，1A A c = ，则下列向量中与1B M相等的向量是 （ ）A ．1122a b c -++B ．1122a b c ++C ．1122a b c -+D ．1122a b c --+8.由直线,,033x x y ππ=-==与cos y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A. 12A B C DA 1B 1C 1D 19.设m ＞1，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数Z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为 （ ）A.（1，1+ B.（1++∞） C.（1,3 ） D.（3，+∞）10．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且x BF ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ，若||2||PB AP =，则椭圆的离心率是（ ）A ．23 B ．22 C ．31D ．21 11、已知双曲线12222=-by x （b>0）的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =,点P ),3(0y 在双曲线上。
专题10 换底公式(提升篇)-2020-2021学年高中数学必修一限时训练(北师大版)
专题10 换底公式（提升篇）姓名：___________班级：___________总分：___________一、单选题1．计算25log 25log ⋅=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 2．已知，，则（ ）A ．B ．C ．D ． 3．已知x •log 32＝1，则4x ＝（ ）A ．4B ．6C ．4D ．9 4．已知log 43＝p ，log 325＝q ，则lg 5＝（ ）A ．B ．C ．D ． 5．若、、均为正数，且4714a b c ==，则（ ）A ．B ．C ．D ． 6．若236a b c ==，则（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 7．已知且，则k 的值为( )A ．15B ．C ．D ．68．若ab ＞0，给出下列四个等式：①lg(ab )＝lg a ＋lg b ；①；①；①1lg()log 10abab =.其中一定成立的等式的序号是（ ）A ．①①①①B ．①①C ．①①D ．①二、填空题9．已知log 2log 3a b x x ==，，则 __________. 10．已知，若，则________.三、解答题11．（1）计算：.（2）已知，，试用，表示.12．已知5322510a b c ==，求证：.参考答案1．A【解析】【分析】先化简，再结合换底公式即可求解【详解】3222525253log 25log log 5log 22log 5log 232⋅=⋅=⨯⨯⨯= 故选：A【点睛】本题考查对数的化简求值，属于基础题2．B【解析】【分析】根据换底公式可直接得到答案.【详解】,故选：B【点睛】本题考查的是换底公式的应用，较简单.3．D【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．【详解】①x •log 32＝1，①x ＝log 23，①4x 243944log log ===9，故选：D ．【点睛】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则及换底公式的合理运用，属于容易题．4．D【解析】【分析】计算,利用对数换底公式、对数运算性质变形，化为的式子后可得.【详解】 解：（换底公式）43325255325432215lg lg lg lg pq log log lg lg lg lg =⋅=⋅==-，①， 故选：D ．【点睛】本题考查对数的换底公式，对数运算法则，属于基础题．5．D【解析】令4714a b c t ===，根据对数式和指数式的互化公式，结合换底公式进行求解即可.【详解】令4714a b c t ===，则4714log ,log ,log a t b t c t ===， 所以1112log 2,log 7,log 14t t t a b c===， 所以．故选：D【点睛】本题考查对数式与指数式的互化公式和换底公式，考查了数学运算能力．6．A【解析】【分析】根据题意令236a b c k ===，导出，3lg log lg3k b k ==，6lg log lg 6k c k ==，代入即可求解. 【详解】由题意，令236a b c k === 则有，3lg log lg3k b k ==，6lg log lg 6k c k == 则故选：本题考查对数换底公式及运算，属于基础题.7．C【解析】【分析】由3m =2n =k ，将指数式转化为对数式得m =log 3k ，n =log 2k ，再代入，利用换底公式求解.【详解】①3m =2n =k ，①m =log 3k ，n =log 2k ， ①32111132k k log log m n log k log k+=+=+=log k 6=2，①k 2=6， 又 ①，故选：C.【点睛】本题主要考查了指数与对数互化，换底公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8．D【解析】【分析】根据对数的运算法则和换底公式的使用条件，即可判断各等式是否成立．【详解】因为ab ＞0，所以a ＞0，b ＞0或a ＜0，b ＜0，所以①①中的等式不一定成立；因为ab ＞0，所以，，所以①中等式成立；当ab ＝1时，lg(ab )＝0，但log ab 10无意义，所以①中等式不成立．故选：D.本题主要考查对数的运算法则和换底公式的使用条件的理解和应用，属于基础题．9．【解析】【分析】根据log a x＝2， log b x＝3，则可求出，，从而得出，通分取倒数即可得出答案．【详解】由题意log a x＝2，log b x＝3，①，，①115236xlog ab=+=；①．故答案为．【点睛】考查对数的运算性质，对数的换底公式，熟记对数恒等式及运算法则是关键．10．【解析】【分析】可结合换元法，令，原式可化为，求出，得到，进而求解【详解】设，由得，则原式化为，解得，所以，得.故答案为：1【点睛】本题考查对数的换底公式的理解，换元法解方程，属于基础题11．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）使用换底公式直接计算即可.（2）利用换底公式可得，lg5lg3n =，然后将用换底公式进行化简，可得结果.【详解】（1）原式（2）①8222lg3log 9log 333lg 2m ===⋅，①， 又，①lg5lg3n =.则.【点睛】本题主要考查换底公式的应用，掌握公式，灵活应用，属基础题.12．证明见解析；【解析】【分析】先令5322510a b c k ===，根据指数式与对数式的互化，以及换底公式，即可证明结论成立.【详解】令5322510a b c k ===， 则215log log 2k a k ==，513log log 5k b k ==，1012log log 10k c k ==，所以.【点睛】本题主要考查换底公式的应用，熟记公式即可，属于常考题型.。
高中数学章节限时训练基础题全套(含答案)
高中数学限时训练全套（基础含答案）1.1 集合的含义与基本关系时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|－5<x<5}，则M∩N等于()A．{x|－5<x<5} B．{x|－3<x<5}C．{x|－5<x≤5} D．{x|－3<x≤5}2．已知集合M＝{0,1}，则满足M∪N＝{0,1,2}的集合N的个数是()A．2 B．3 C．4 D．83．如图J1-1-1，U是全集，M，N，S是U的子集，则图中阴影部分所示的集合是()图J1-1-1A．(∁U M∩∁U N)∩S B．(∁U(M∩N))∩SC．(∁U N∩∁U S)∪M D．(∁U M∩∁U S)∪N4．下列集合表示同一集合的是()A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}C．M＝{4,5}，N＝{5,4}D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}5．集合M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，集合N＝{x|y＝9－x2，x∈R}，则M∩N等于() A．{t|0≤t≤3} B．{t|－1≤t≤3}C．{(－2，1)，(2，1)} D．∅6．下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(每小题5分，共15分)7．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁U B＝________.8．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝________.9．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.三、解答题(共15分)10．集合A＝{x|x2＋5x－6≤0}，B＝{x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B.1.2命题、量词与简单的逻辑联结词 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分) 1．下列语句中是命题的是( )①3>2；②π是有理数吗？③sin30°＝12；④x 2－1＝0有一个根为x ＝－1；⑤x >2.A ．①②③B ．①③④C ．③D ．②⑤ 2．下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x >03．命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋1<0”的否定是( )A ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0B ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1>0C ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0D ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1<0 4．与命题“若a ∈M ，则b M ”等价的命题是( ) A ．若a M ，则b M B ．若b M ，则a ∈M C ．若a M ，则b ∈M D ．若b ∈M ，则a M5．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，如果命题綈p 是真命题，那么实数a 的取值范围是( ) A ．a <13 B ．a ≤13 C ．0<a ≤13 D ．a ≥136．若“x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题是( ) A ．若x ≤y ，则x 2≤y 2 B ．若x >y ，则x 2<y 2 C ．若x 2≤y 2，则x ≤y D ．若x <y ，则x 2<y 2 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．下列四个命题中：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0；②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0； ③∃x ∈N ，使x 2<x ；④∃x ∈N ，使x 为29的约数． 其中正确的为________．8．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________________．9．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________． 三、解答题(共15分)10．已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求m 的取值范围．1.3充分条件与必要条件 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分) 1．“a >0”是“|a |>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．“x >0”是“x ≠0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．“x ，y 均为奇数”是“x ＋y 为偶数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．若条件p ：(x －1)(y －2)＝0，条件q ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 二、填空题(每小题5分，共15分)7．“x 1>0且x 2>0”是“x 1＋x 2>0且x 1x 2>0”的________条件．8．已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x ＜1，则p 是綈q 成立的____________条件．9．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的__________________条件． 三、解答题(共15分)10．已知条件p ：|x －4|≤6，条件q ：x 2－mx －4－n 2≤0(n ＞0)．若p 是q 的充要条件，求m ，n 的值．2.1函数与映射的概念 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分) 1．函数f (x )＝4－xx －1的定义域为( ) A ．(－∞，4) B ．[4，＋∞) C ．(－∞，4] D ．(－∞，1)∪(1,4] 2．与函数y ＝x ＋1相等的函数是( )A ．y ＝x 2－1x －1B ．y ＝t ＋1C ．y ＝x 2＋2x ＋1D ．y ＝(x ＋1)23．设集合A 和B 都是平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 把集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在映射f 下，象(2,1)的原象是( )A ．(3,1) B.⎝⎛⎭⎫32，12 C.⎝⎛⎭⎫32，－12 D ．(1,3) 4．已知函数f (x )的定义域为[－1,2)，则f (x －1)的定义域为( ) A ．[－1,2) B ．[0，－2) C ．[0,3) D ．[－2,1) 5．下列各图形中，是函数图象的是( )A B C D6．下列函数中，与函数y ＝1x有相同定义域的是( ) A ．f (x )＝ln x B ．f (x )＝1x C ．f (x )＝|x | D ．f (x )＝e x二、填空题(每小题5分，共15分) 7．函数y ＝16－x －x 2的定义域是________．8．函数y ＝lg (4－x )x －3的定义域是______________．9．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是________．三、解答题(共15分)10．若函数f (x )＝1x ＋1，求函数y ＝f [f (x )]的定义域．2.2函数的表示法 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分) 1．已知f (x )＝π(x ∈R )，则f (π2)等于( ) A ．π2 B ．π C.π D ．不确定 2．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝⎛⎭⎫12＝( )A ．1B ．－1 C.35 D ．－353．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝1xC ．y ＝1x D ．y ＝x 2＋14．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )A B C D5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45C ．2D ．9 6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2 (x ≥2)，－2 (x ＜2)，则f (lg20－lg2)＝( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．设函数f (x )＝41－x，若f (a )＝2，则实数a ＝________. 8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1(x ≥0)，x 2(x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2(x ≤1)，2(x >1)，则f (g (3))＝________，g ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12＝________. 9．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，10x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________.三、解答题(共15分)10．(1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，求f (x )的表达式； (2)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )的表达式．一、选择题(每小题5分，共30分) 1．下列函数中，其中是偶函数的是( )A ．f (x )＝x ＋1xB ．f (x )＝x 3－2xC ．f (x )＝1x2 D ．f (x )＝x 4＋x 32．函数f (x )是偶函数，最小正周期为4，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x ，则f (11)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．4 D ．8 3．若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34D ．1 4．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．3 5．函数y ＝x －1x的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称6．设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A ．f (x )f (－x )是奇函数 B ．f (x )|f (－x )|是奇函数 C ．f (x )－f (－x )是偶函数 D ．f (x )＋f (－x )是偶函数 二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知f (x )是奇函数，当x ＜0时f (x )＝x 2＋3x ，则f (2)＝________.8．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b ＝________. 9．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，则a ＝________.三、解答题(共15分)10．奇函数f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1＋a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围．一、选择题(每小题5分，共30分) 1．函数f (x )＝x 2－4x ＋3的减区间是( ) A ．(－∞，－2)B ．(－∞，4)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)2．下列函数在(0,1)上是增函数的是( )A ．y ＝1－2xB ．y ＝x －1C ．y ＝－x 2＋2xD ．y ＝5 3．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1是减函数的区间为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－∞，0) D ．(0,2) 4．函数f (x )＝1－1x在[3,4)上( )A ．有最小值无最大值B ．有最大值无最小值C ．既有最大值又有最小值D ．最大值和最小值皆不存在5．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |6．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增 二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数y ＝1－x 2的值域是____________．8．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax －3在区间(2,4)单调，则a 的取值范围是____________． 9．函数y ＝x ＋1的单调递增区间为________． 三、解答题(共15分)10．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．一、选择题(每小题5分，共30分) 1．下列运算中，正确的是( )A ．a 2·a 3＝a 6B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －1)0＝0D ．(－a 2)3＝－a 6 2．当1<x <3时，化简(x －3)2＋(1－x )2的结果是( ) A ．4－2x B ．2 C ．2x －4 D ．4 3．计算212＋12－1－(1－5)0的结果是( ) A ．1 B ．2 2 C. 2 D ．2－124．化简－x 3x的结果是( )A ．－－x B.x C ．－x D.－x 5．下列各式错误的是( )A ．30.8>30.7B ．0.50.4>0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1 D ．(3)1.6>(3)1.46．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为 ． 8．函数xx f )31()(=，x ∈[－1,2]的值域为________．9．指数函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为a2，则a ＝________.三、解答题(共15分)10．若函数f (x )＝a x －1(a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．一、选择题(每小题5分，共25分) 1．log 22的值为( )A ．－ 2 B. 2 C ．－12 D.122．下列四个命题中真命题的个数是( ) ①若log x 3＝3，则x ＝9；②若log 4x ＝12，则x ＝2；③若＝0，则x ＝3；④若log 15x ＝－3，则x ＝125.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．对数式log a －2(5－a )＝b 中，实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，5) B ．(2,5) C ．(2，＋∞) D ．(2,3)∪(3,5) 4．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞) 5．函数y ＝2－log 2x 的定义域是( )A ．(4，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．(0,4]D ．(0,4) 二、填空题(每小题5分，共20分)6．比较大小：log 0.2π________log 0.23.14(填“<”“>”或“＝”)． 7．函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫2x －12(a ＞0，a ≠1)的定义域是______． 8．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，则g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝________. 9．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2.则m ＝________.三、解答题(共15分)10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性并予以证明．一、选择题(每小题5分，共25分)1．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图J2-7-1，则下列结论正确的是( )图J2-7-1A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0D ．a ＋b ＋c ＞03．若一次函数y ＝kx ＋b 的函数值y 随x 的增大而减小，且图象与y 轴的负半轴相交，那么对k 和b 的符号判断正确的是( )A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜0 4．f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上恒满足f (x )＜0，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤0 B ．a ＜－4 C ．－4＜a ＜0 D ．－4＜a ≤05．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )的最小值为－2，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 二、填空题(每小题5分，共20分)6．若二次函数的图象经过点(0,1)，对称轴是x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为_______． 7．二次函数y ＝f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )(x ∈R )且f (x )＝0有两个实根x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________. 8．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的范围是________． 9．函数f (x )＝(k 2－3k ＋2)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是__________． 10．幂函数f (x )＝23mmx 的图象关于y 轴对称，且在()0，＋∞递减，则整数m ＝______.三、解答题(共15分)11．f (x )＝－x 2＋ax ＋12－a4在区间[0,1]上的最大值为2，求a 的值．2.8幂函数时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分) 1．下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x－1C ．y ＝(x ＋1)2D ．y ＝32x2．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3 3．下列幂函数中，定义域为R 的是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x 12C ．y ＝x 13D ．y ＝x12-4．如图J2-8-1中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－125．已知点⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．是非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 6．已知幂函数y ＝x n 的图象如图J2-8-2，则n 可能取的值是( )图J2-8-2A ．－2B ．2C ．－12 D.12二、填空题(每小题5分，共15分) 7．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)21mm x --的图象不过原点，则m 的取值是________．8．已知幂函数f (x )的图象过点(4,2)，则f ⎝⎛⎭⎫18＝________. 9．幂函数f (x )＝23mmx -的图象关于y 轴对称，且在()0，＋∞递减，则整数m ＝______.三、解答题(共15分) 10．已知f (x )＝(m 2＋2m )21m m x +-，m 为何值时，f (x )是(1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)幂函数．2.9函数的图象一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1(x ∈[－1，0))，x 2＋1(x ∈[0，1])，则下列函数图象正确的是( )2．要得到y ＝2·4－x 的图象，只需将函数y ＝23－2x的图象( )A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位 3．函数f (x )＝4x ＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称 4．下列图象中能表示函数y ＝f (x )的是( )5．一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在同一坐标系中的图象大致是()A B C D 6．函数y ＝ln|x －1|的图象大致是( )二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图象关于直线y ＝x 对称的图象的解析式为________．8．把f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是___． 9．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图J2-9-1，则不等式f (x )＜0的解集是________． 三、解答题(共15分)10．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，求a 的取值范围．2.10函数与方程一、选择题(每小题5分，共30分)1．如图J2-10-1所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )① ② ③ ④A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④2．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算得f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为( )A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0.1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.25)D ．(0,0.5)，f (0.125) 3．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2) 4．方程2x ＝2－x 的解的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．函数f (x )＝log 2x ＋2x －1的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫14，12C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1,2) 6．根据上图表格中的数据，可以判定函数f (x )＝e x －x －2的一个零点所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈Z )，则k 的值为( )A.－1 B ．0 C ．1 D ．2 二、填空题(每小题5分，共15分)7．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是________．8．若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，则b 的取值范围为________．9．函数f (x )＝3ax －2a ＋1在(－1,1)上存在x 0使f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是_________． 三、解答题(共15分)10．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m 的取值范围．x －1 0 1 2 3 e x 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x ＋2123452.11抽象函数时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图象是( )2．如果开口向上的二次函数f (t )对任意的t 有f (2＋t )＝f (2－t )，那么( ) A ．f (1)<f (2)<f (4) B ．f (2)<f (1)<f (4) C ．f (2)<f (4)<f (1) D ．f (4)<f (2)<f (1) 3．已知f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )，且f (x )≠0，则f (x )是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．不确定4．f (x )满足f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，若f (4)＝256，f (k )＝0.0625，则k 的值为( ) A ．－4 B ．－2 C.116 D.125．已知函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a >0)上的奇函数，F (x )＝f (x )＋1，则F (x )的最大值与最小值之和为( )A ．0B ．1C ．2D ．不能确定6．定义在R 上的函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0成中心对称，对任意的实数x 都有f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (－1)＝1，f (0)＝－2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1 二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知函数y ＝f (x ＋1)的图象过点(3,2)，则函数f (x )的图象关于x 轴的对称图形一定过点________． 8．已知函数f (x )的定义域是[－1,2]，函数f [log 12(3－x )]的定义域为________________．9．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝______.三、解答题(共15分)10．已知函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R 均有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)判断并证明f (x )在R 上的单调性； (2)求f (x )在[－3,3]上的最值．2.12函数模型及其应用 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A 地前往B 地，到达B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x (单位：千米)表示为时间t (单位：小时)的函数，则下列正确的是( )A ．x ＝60t ＋50t (0≤t ≤6.5)B ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150，2.5＜t ≤3.5150－50t ，3.5＜t ≤6.5C ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤x ≤2.5150－50t ，t ＞3.5 D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150，2.5＜t ≤3.5150－50(t －3.5)，3.5＜t ≤6.52．某厂日产手套总成本y (单位：元)与手套日产量x (单位：副)的函数解析式为y ＝5x ＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副3．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (单位：年)的函数关系图象正确的是( )A B C D4．按复利计算利率的储蓄，在银行整存一年，年息8%，零存每月利息2%，现把2万元存入银行3年半，取出后本利和应为人民币( )A ．[2(1＋8%)3.5]万元B ．[2(1＋8%)3(1＋2%)6]万元C ．[2(1＋8%)3＋2×2%×5]万元D ．[2(1＋8%)3＋2(1＋8%)3(1＋2%)6]万元5．下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是( ) A ．y ＝1100e x B ．y ＝100ln x C ．y ＝x 100 D ．y ＝100·2x6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606B ．45.6C ．45.56D ．45.51 二、填空题(每小题5分，共15分)7．用一根长为12 m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应分别为__________________．8．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8100元的计算机15年后的价格应降为________元．9．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．三、解答题(共15分)10．为了尽快改善职工住房困难，鼓励个人购房和积累建房基金，决定购房的职工必须按基本工资的高低缴纳住房公积金，办法如下：2.13导数的概念及运算一、选择题(每小题5分，共30分) 1．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( )A.36 B ．0 C.12 xD.32 2．设y ＝x 2·e x ，则y ′等于( )A ．x 2e x ＋2xB ．2x e xC ．(2x ＋x 2)e xD ．(x ＋x 2)·e x3．已知函数f (x )＝ax 2＋3x －2在点(2，f (2))处的切线斜率为7，则实数a 的值为( )A ．－1B ．1C ．±1D ．－24．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2C.⎝⎛⎭⎫－12，－2D.⎝⎛⎭⎫12，－2 5．已知函数f (x )＝3x 3－5x ＋1，则f ′(x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 6．曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15 二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数f (x )＝ln x －x 2的导数为____________．8．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于____________________． 9．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________．三、解答题(共15分)10．求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．2.14导数的应用-单调性、极值、最值一、选择题(每小题5分，共25分) 1．函数y ＝x 2(x －3)的递减区间是( )A ．(－∞，0)B ．(2，＋∞)C ．(0,2)D ．(－2,2) 2．函数y ＝x 3－x 2－x ＋1在闭区间[－1,1]上的最大值是( )A.3227B.2627 C ．0 D ．－32273．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．54．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 5．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题(每小题5分，共20分)6．函数y ＝f (x )在其定义域⎝⎛⎭⎫－32，3内可导，其图象如图J2-14-1，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．图J2-14-17．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 8．函数f (x )＝x ln x 的单调递增区间是________．9．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________． 三、解答题(共15分)10．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .(1)若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，求实数a 的值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．2.15导数在生活中的应用一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数y ＝1＋3x －x 3有( )A ．极小值－1，极大值1B ．极小值－2，极大值3C ．极小值－2，极大值2D ．极小值－1，极大值32．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( ) A ．8 B.203C ．－1D ．－83．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－14．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D.12e 2 5．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )A ．4B ．6C ．4.5D ．8 二、填空题(每小题5分，共20分)6．若f (x )＝x 3，f ′(x )＝3，则x 0的值为________．7．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)，在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________． 8．有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 9．如图已知函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________. 三、解答题(共15分)10．在边长为60 cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？3.1任意角、弧度制和任意角的三角函数值一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知角α终边上一点的坐标是(3，－4)，则sinα＝()A.35B．－35 C.45D．－452．圆内一条弦长等于半径，这条弦所对的圆心角为()A.π6弧度 B.π3弧度 C.12弧度D．以上都不对3．若sinθ>0且sinθcosθ<0，则角θ的终边所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．sin2cos3tan4的值()A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在5．在下列各组角中，终边不相同的是()A．60°与－300°B．230°与950°C．1050°与－300°D．－1000°与800°6．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为()A．40π cm2B．80π cm2 C．40 cm2D．80 cm2二、填空题(每小题5分，共15分)7．写出－720°到720°之间与－1068°终边相同的角的集合________________．8．已知α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，点P(－4m,3m)(m＞0)是α终边上一点，则2sinα＋cosα＝________.9．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在第________象限．三、解答题(共15分)10．设90°＜a＜180°.角α的终边上一点为P(x，5)，且cosα＝24x，求sinα与tanα的值．3.2同角三角函数及诱导公式一、选择题(每小题5分，共30分) 1．cos300°＝( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32 2．已知sin α＝35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值为( )A ．±45B ．－45 C.45 D ．－353．α是第四象限角，tan α＝－34，则sin α＝( )A.35 B ．－35 C.45 D ．－454．sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．25．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( )A ．－15B ．－35 C.15 D.35 6．若sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，则tan α＝( )A ．1B ．－1 C.34 D ．－43 二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知tan α＝3，则sin α＋cos αsin α－2cos α＝______.8.cos (－585°)sin495°＋sin (－570°)的值是______．9．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________. 三、解答题(共15分)10．求证：cos (θ＋π)·sin 2(θ＋3π)tan (π＋θ)·cos 3(－π－θ)＝tan θ.3.3三角函数的图象与性质 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分) 1．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 是( )A ．最小正周期为2π的奇函 数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数 2．使cos x ＝1－m 有意义的m 值为( )A ．m ≥0B ．m ≤0C ．0≤m ≤2D ．－2≤m ≤0 3．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( )A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线x ＝π2对称4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是( ) A ．x ＝－π6 B ．x ＝－π12 C ．x ＝π6 D ．x ＝π125．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( ) A ．y max ＝3，x ＝π2 B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )6．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°＜cos10°＜sin168°B ．sin168°＜sin11°＜cos10°C ．sin11°＜sin168°＜cos10°D ．sin168°＜cos10°＜sin11° 二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________．8．设M 和m 分别是函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m ＝________.9．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________． 三、解答题(共15分)10．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．3.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的一个对称中心是( ) A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫π3，0 C.⎝⎛⎭⎫－π3，0 D ．(3,0) 2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，可以把函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位 B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位3．函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( ) A ．0 B.π4 C.π2D ．π4．下列函数中，图象的一部分如图J3-4-1的是( )图J3-4-1A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象的两条相邻对称轴之间的距离是( ) A.π3 B.2π3 C ．π D.4π36．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( ) A ．ω＝12，φ＝π6 B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π3二、填空题(每小题5分，共15分)7．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向右平移π6个单位，再向上平移2个单位所得图象对应的函数解析式是________．8．函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(A >0，ω>0)在一个周期内，当x ＝π12时，函数f (x )取得最大值2，当x ＝7π12时，函数f (x )取得最小值－2，则函数解析式为________．9．对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，有下列四个结论： ①f (x )的图象关于直线x ＝π3对称；②f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称；③把f (x )的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象；④f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数． 其中正确命题的序号是________． 三、解答题(共15分)10．已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. (1)用“五点法”画出函数的草图；(2)函数图象可由y ＝sin x 的图象怎样变换得到？3.5两角和与差及二倍角的三角函数公式时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A ．－3B ．－13C ．3 D.132．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°cos15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215° D ．sin 215°＋cos 215° 3．已知sin α＝35⎝⎛⎭⎫0<α<π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.7 210 B.210 C ．－7 210 D ．－210 4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α＝( ) A.35 B.15 C ．－35 D ．－155．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的最小正周期是( ) A.π2B ．ΠC ．2πD ．4π 6．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan2x 等于( ) A.724 B ．－724 C.247 D ．－247 二、填空题(每小题5分，共15分)7．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于________8．已知sin(π＋α)＝－13，且α是第二象限角，那么sin2α＝________.9．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是________． 三、解答题(共15分)10．已知tan(π＋α)＝－13，求sin2⎝⎛⎭⎫π2－α＋4cos 2α10cos 2α－sin2α的值．3.6简单的三角恒等变换 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知sin α＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α的值为( ) A ．±1225 B ．－725 C.725 D.12252．已知α是第二象限角，且cos α＝－35，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值是( ) A.210 B ．－210 C.7 210 D ．－7 2103．sin α＋cos α＝35，则sin2α＝( )A.1625 B ．－1625 C ．－825 D ．±825 4.1－3tan75°3＋tan75°的值等于( )A ．2＋ 3B ．2－3C ．1D ．－1 5.2－sin 22＋cos4＝( )A ．sin2B ．－cos2 C.3cos2 D ．－3cos2 6．若cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则sin α＋cos α的值为( )A ．－72 B ．－12 C.12 D.72二、填空题(每小题5分，共15分)7．若cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝________. 8．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝______. 9．若sin θ2－2cos θ2＝0，则tan θ＝________.三、解答题(共15分)10．已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1的值．3.7正弦定理和余弦定理 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A ＝( ) A ．135° B ．90° C ．45° D ．30°2．已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°3．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 4．在△ABC 中，若b ＝2a sin B ，则A 等于( ) A ．30°或60° B ．45°或60° C ．120°或60° D ．30°或150° 5．有下列判断：①△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解； ②△ABC 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解； ③△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解； ④△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解． 不正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．在△ABC 中，已知sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 二、填空题(每小题5分，共15分)7．若在△ABC 中，A ＝60°，b ＝2，△ABC 的面积为2 3，则a ＝________. 8．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.9．在△ABC 中，若a ＝14，b ＝7 6，B ＝60°，则C ＝________. 三、解答题(共15分)10．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，求△ABC 的面积．3.8解三角形应用举例 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( ) A ．α＞β B ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°2．两灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km)，灯塔A 在C 北偏东30°，B 在C 南偏东60°，则A ，B 之间距离为( )A.2a kmB.3a km C ．a km D ．2a km3．如图J3-8-1，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.25 22m4．渡轮以15 km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h ，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)( )A ．14.5 km/hB ．15.6 km/hC ．13.5 km/hD ．11.3 km/h5．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是( )A ．20 3 m ，40 33 mB ．10 3 m,20 3 mC ．10(3－2) m,20 3 m D.15 32 m ，20 33m 6．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为( )A ．20 kmB ．30 kmC ．20 2 kmD ．30 2 km 二、填空题(每小题5分，共15分)7．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地距离为________km.8．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m. 9．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.三、解答题(共15分)10．隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C ，D 两点，同时，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离．4.1平面向量及其线性运算 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．如图J4-1-1，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( ) A.AB →＝DC → B .AD →＋AB →＝AC → C.AB →－A D →＝BD → D .AD →＋CB →＝0 2．△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，则AB →等于( ) A ．a ＋b B ．－(a ＋b ) C ．a －b D ．b －a 3．化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( ) A.AB → B.DA → C.BC →D ．04．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝0 5．如图J4-1-2，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA → C.BC →－12BA → D.BC →＋12BA →6．若|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，则非零向量OA →，OB →的关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．不确定 二、填空题(每小题5分，共15分)7．将4(3a ＋2b )－2(b －2a )化简成最简式为______________．8．在▱ABCD 中，M 是BC 的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，则MN →＝______________. 9．若AB →＝3a ，CD →＝－5a ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是______________． 三、解答题(共15分)10．如图J4-1-3，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →.图J4-1-34.2平面向量基本定理及坐标表示 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝( ) A ．(7,3) B ．(7,7) C ．(1,7) D ．(1,3)2．已知向量a ＝(x ，y )，b ＝(－1,2)，且a ＋b ＝(1,3)，则|a |等于( ) A. 2 B.3 C. 5 D.103．已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则x ＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫2，72 B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3) 5．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，k ＝( ) A.14 B ．－14 C ．－13 D.136．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5) D ．(2,4) 二、填空题(每小题5分，共15分)7．若A (0,1)，B (1,2)，C (3,4)，则AB →－2BC →＝________.8．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．9．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________. 三、解答题(共15分)10．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a －4b 平行？时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．122．已知向量a ，b ，满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π23．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( ) A ．4 B.10 C.13 D ．134．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π45．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝3 5，则b 等于( ) A ．(－3,6) B ．(3，－6) C ．(6，－3) D ．(－6,3)6．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直 二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝______. 8．若|a |＝3，|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，则|a －b |＝______.9．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________． 三、解答题(共15分)10．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝7. (1)求a ，b 夹角的大小；(2)求|3a ＋b |的值．时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为( ) A ．v 1－v 2 B ．v 1＋v 2 C ．|v 1|－|v 2| D.⎪⎪⎪⎪v 1v 22．若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A.10 B ．2 5 C. 5 D.153．一艘船以5 km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2 km/h ，则船的实际航行速度范围是( ) A ．(3,7) B ．(3,7] C ．[3,7] D ．(2,7)4．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，则AC →·BD →等于( ) A.52 B.32 C ．1 D.125．已知P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．△ABC 的内部 B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上 D ．BC 边所在直线上 6．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 二、填空题(每小题5分，共15分)7．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________． 8．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC →·CB →＝________.9．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小为________．三、解答题(共15分)10．已知向量a ＝(sin θ， 3)，b ＝(1，cos θ)，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)若a ⊥b ，求θ的值； (2)求|a ＋b |的最大值．。
高中数学定积分在几何中的应用双基限时训练
【名师一号】2014-2015学年高中数学 1-7-1 定积分在几何中的应用双基限时训练 新人教版选修2-21．由曲线y ＝f (x )(f (x )≤0)，x ∈[a ，b ]，x ＝a ，x ＝b 和x 轴围成的曲边梯形的面积S 等于( )A.⎠⎛a b f(x)d x ，B ．－⎠⎛ab f(x)d xC .⎠⎛ab [f (x )－a ]d xD.⎠⎛ab [f(x)－b]d x答案 B2．如图，阴影部分的面积为( )A .⎠⎛a b f (x )d xB.⎠⎛a b g(x)d xC .⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xD.⎠⎛ab [f(x)＋g(x)]d x解析 阴影部分的面积 S ＝⎠⎛a b f(x)d x ＋|⎠⎛ab g(x)d x|＝⎠⎛a b f(x)d x －⎠⎛ab g(x)d x＝⎠⎛ab [f(x)－g(x)]d x. 答案 C3．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成图形的面积等于( )A .⎠⎛1－1(x －x 3)d xB.⎠⎛1－1(x 3－x)d xC ．2⎠⎛01(x －x 3)d xD ．2⎠⎛0－1(x －x 3)d x解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3，y ＝x ，得交点A(－1，－1)，B(0,0)，C(1,1)，如下图所示．∴阴影部分的面积为S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x.答案 C4．曲线y ＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴所围成的面积为( )A ．2B ．3C .52D ．4解析 利用函数y ＝cos x 在0≤x≤3π2的图知，所求面积为S ＝3∫π20cos x d x ＝3(sin x)⎪⎪⎪π2＝3.答案 B5．如图阴影部分面积为( )A . 2 3B . 9－2 3C .323D .353解析 S ＝⎠⎛1－3(3－x 2－2x)d x＝(3x －13x 3－x 2)⎪⎪⎪ 1－3 ＝53＋9＝323. 答案 C 6．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 －1≤x<0，cos x 0≤x≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A .32B . 1C . 2D .12解析 根据定积分的几何意义结合图形可得所求封闭图形的面积为 S ＝12×1×1＋∫π20cos x d x ＝12＋sin x⎪⎪⎪ π20＝32. 答案 A7．曲线y ＝1x 与直线y ＝x ，x ＝2所围成图形的面积为________．解析 示意图如图所示，所求面积为S ＝⎠⎛12(x －1x )d x ＝(12x 2－ln x)⎪⎪⎪ 21＝32－ln 2.答案 32－ln 28．设函数f(x)＝3x 2＋c ，若⎠⎛01f(x)d x ＝5，则实数c 的值为________．解析 ∵⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01(3x 2＋c)d x＝(x 3＋cx)⎪⎪⎪ 10＝1＋c ＝5，∴c＝4. 答案 49．设a>0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 解析 依题意得，由y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积S ＝⎠⎛0a x d x ＝23x32| a 0＝23a 32＝a 2，∴a＝49.答案 4910．求正弦曲线y ＝ sin x ，x∈[0，3π2]和直线x ＝3π2及x 轴所围成的平面图形的面积．解 如图，当x∈[0，π]时，曲线y ＝ sin x 位于x 轴上方，而当x∈[π，3π2]时，曲线位于x 轴下方，因此所求面积应为两部分面积之和．∴S＝⎠⎛0π sin x d x ＋|∫3π2π sin x d x |＝⎠⎛0π sin x d x －∫3π2π sin x d x＝－cos x⎪⎪⎪ π0＋cos x⎪⎪⎪ 32ππ ＝2＋1＝3.11．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，抛物线与x 轴所围成的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33⎪⎪⎪1＝16. 抛物线y ＝x －x 2与直线y ＝kx 两交点的横坐标为0和1－k ，∴12S ＝∫1－k 0(x －x 2－kx)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33－k 2x 2⎪⎪⎪1－k＝16(1－k)3＝112. ∴(1－k)3＝12，k ＝1－312＝1－342.12．求曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t∈(0,1)所围成图形(如图阴影部分)的面积的最小值．解 由定积分与微积分基本定理得S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x ＝(t 2x －13x 3)⎪⎪⎪t＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－t 2x ⎪⎪⎪1t＝t 3－13t 3＋13－t 2－13t 3＋t 3＝43t 3－t 2＋13，t∈(0,1)．S′＝4t 2－2t ＝2t(2t －1)．当0<t<12时，S′<0；当12<t<2时S′>0，∴当t ＝12时，S 有最小值S min ＝14.。
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第9练 班级 姓名
1.等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则30a = .
2.等比数列{}n a 中，1030S =，2050S =，则30S = .
3.无论m 取何实数时，直线(m -1)x -(m +3)y -(m -11)=0恒过定点，则定点的坐标为 .
4.给出如下四个命题：①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧
面为三角形，且所有侧面都有一个共同的公共点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点，其中正确的命题是 .
5.圆心在直线x y =上且与x 轴相切于点（1,0）的圆的方程为 .
6.不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0
625y x y x y x 的点中，目标函数y x k 86+=的最大值为 .
7.两圆相交于两点)3,1(和)1,(-m ，且两圆的圆心都在直线0=+-c y x 上，则c m +的值为 .
8.已知圆222410220(,)x y x y ax by a b R ++-+=-+=∈关于直线
,ab 对称则的取值范围 .
9.已知圆()()161222=++-y x 的一条直径通过直线032=--y x 被圆所截弦的中点，求该直径所在的直线的方程.
10.过点P（1，4），作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程.。