递延年金终值与现值的计算(有图解)
递延年金终值与现值的计算(有图解)
0 1 2… m m+1 m+2 … m+n
递延期
递延年金发生的期数
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二、递延年金终值计算
由于递延期m与终值无关 只需考虑递延年金发生的期数n。
0 1 2… m m+1 m+2 … m+n
递延期
递延年金发生的期数
递延年金发生的期数10 递延年金发生的期数
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三、递延年金现值的计算
递延年金的现值与递延期数相关，递延的期数越长， 递延年金的现值与递延期数相关，递延的期数越长， 其现值越低。 其现值越低。 递延年金的现值计算有三种方法： 递延年金的现值计算有三种方法：
求该农庄给企业带来的累计收益， 求该农庄给企业带来的累计收益，实际上就是求递 延年金终值。 延年金终值。
根据 F = A(F / A, i, n ) ＝50000×（F/A，10%，10） ＝50000×15.937 ＝796850（元）
0 1 2… 5 5+1 5+2 … 5+10
递延期5 递延期
主教材： 高等教育出版社 钭志斌《公司理财》
第四节 递延年金终值与现值的计算
钭志斌 丽水职业技术学院
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一、递延年金
递延年金（ 递延年金（Deferred Annuity）是指第一次年 金收付形式发生在第二期或第二期以后的年金。 金收付形式发生在第二期或第二期以后的年金。
按第三种方法计算： 按第三种方法计算：
P＝50000×（F/A，10%，10）×（P/F， 10%，15） ＝50000×15.9370×0.2394 ＝190765.89（元）
延期(递延)年金的计算
例：ABC公司面临两个投资机会可供选择，A 项目是一个高科技项目，该领域市场竞争激烈， 如果经济发展迅速并且项目研制开发搞得好， 则能够取得较大的市场份额，获得较高的利润； 反之，将会获得较少的利润甚至亏损。B项目 是一个成熟的产品，市场发展稳定，销售前景 可以根据市场调研资料进行可靠的预测。经预 测发现未来的市场行情可能有三种情况：繁荣、 一般、衰退，每种情况发生的可能概率以及各 种情况下的预期报酬率资料见表：
i
例
例：某企业要建立一项永久性的奖励基金，计 划每年发放500000元，在年利率为8％的情况 下，该企业现在应该存入银行多少元? P=A÷i＝500000÷8％＝6 250 000(元) 例：某企业在第一年年初向银行借入100万元， 银行规定从第一年到第五年每年年末应等额偿 还25.6万元，试计算利率？ i=A/P=25.6÷100=25.6%
（二）递延期m的确定： （1）首先搞清楚该递延年金的第一次收付发生在第几期末（假设为第W 期末）； （2）然后根据（W-1）的数值即可确定递延期m的数值； 注意：在确定“该递延年金的第一次收付发生在第几期末”时，应该记住 “本期的期初和上期的期末”是同一个时间点。 〔例1〕 某递延年金从第4年开始，每年年末支付A元。 〔解答〕由于第一次发生在第4期末，所以，递延期m＝4-1＝3 〔例2〕 某递延年金从第4年开始，每年年初支付A元。 〔解答〕由于第一次发生在第4期初（即第3期末），所以，递延期m＝31＝2 （三）下面把上述的内容综合在一起，计算一下各自的现值： 〔例1〕 某递延年金从第4年起，每年年末支付A元，直至第8年年末为止。 〔解答〕由于n=5，m=3，所以，该递延年金的现值为： A[（PVAi,8）-（PVAi,3）]或A（PVAi,5）×（PVi,3） 〔例2〕 某递延年金从第4年起，每年年初支付A元，直至第8年年初为止。 〔解答〕由于n=5，m=2，所以，该递延年金的现值为： A[（PVAi,7）-（PVAi,2）]或 A（PVAi,5）×（PVi,2）
现值和终值(PA、PF、FA、FP)计算方法
现值系数有2种：
b.复利现值系数：n
)
/
=)
(.
1(
F
P-
+
i
终值系数也有2种：
b.复利终值系数：n i
(+
/
=.
P
)
F)
1(
其中i表示利率
一般题目中现值、终值系数都会给出,但表示的方式为(P/A,i,n ),(F/A,i,n ),所以你只需记住这些公式符号代表的含义.
A是年金P是现值F是终值P/A是已知年金求现值P/F是已知终值求现值
P/A指的是年金现值，如果现金流量有多期，且每期的现金流量相同，此时计算现值时就应该使用年金现值。
P/F指的是复利现值，如果现金流量只有一期，对其进行折现时应该使用复利现值系数。
两者区分的关键是看现金流量是一期还是多期，如果是一期，就用复利现值P/F；
如果是多期，且每期的数值相等，则使用年金现值，即P/A。
其中：P=本金；i=利率；n=持有期限
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年金终值和年金现值的计算
一、年金终值：年金终值是指在一段时间内，定期支付一定金额的现金流，经过一定的利率增长后所积累的总金额。
年金终值计算的目的是评估未来一段时间内现金流的价值。
年金终值的计算可以通过如下的公式进行：FV=P*((1+r)^n-1)/r其中，FV表示年金终值，P表示每期支付的金额，r表示每期支付的利率，n表示支付的期数。
例如，每年支付1000元，利率为5%，持续支付10年，则年金终值的计算为：年金终值的计算方法可以应用于各种不同的现金流情况，如每月、每季度、每半年等的现金支付。
二、年金现值：年金现值是指将未来一段时间内的现金流按照一定的利率折算到现在的价值，将未来的现金流所得到的总金额。
年金现值的计算的目的是评估未来现金流的现值，以便做出更加准确的投资决策。
年金现值的计算可以通过如下的公式进行：PV=P*(1-(1+r)^(-n))/r其中，PV表示年金现值，P表示每期支付的金额，r表示每期支付的利率，n表示支付的期数。
例如，每年支付1000元，利率为5%，持续支付10年，则年金现值的计算为：所以，每年支付1000元，利率为5%，持续支付10年，年金现值为7721.73元。
年金现值的计算方法也可以适用于各种不同的现金流情况。
三、年金终值和年金现值的应用：在投资决策中，投资者可以利用年金终值和年金现值来比较不同投资方案的收益。
通过计算不同方案的年金终值和年金现值，可以判断哪种投资方案更加有利可图，从而做出更加明智的决策。
在退休规划中，个人可以利用年金终值和年金现值来评估自己的退休金需求和储蓄目标。
通过计算所需的年金终值和现值，可以规划合理的退休储蓄计划，确保在退休时有足够的资金支持。
总之，年金终值和年金现值是评估一定时间内或一系列现金流价值的重要工具。
通过运用年金终值和年金现值的计算方法，可以帮助人们做出更加准确的投资决策和退休规划。
终值与现值计算公式
P＝A×（P/A，i，n）×（P/F，i，m）
现值
计算方法二：先计算m＋n期年金现值，再减去m期年金现值。 P＝A×[（P/A，i，m＋n）-（P/A，i，m）]
计算方法三：先求递延年金终值，再折现为现值。
单利 复利 普通年金
预付年金 递延年金 永续年金
终值与现值的计算
终值 现值 终值 现值
终值
F＝P＋P×n×i＝P×（1＋i×n）
P＝F/(1＋i×n）
F=P×(1+i)n＝P×（F/P，i，n） P=F×(1+i)-n=F×（P/F，i，n） F=A×[(1+i)n-1]/i ＝A×（F/A，i，n） 在普通年金终值计算公式中，如果已知年金终值求年金，则求出的年金被称为“偿债基金” 。 年偿债基金A=F*i/[(1+i)n-1]=F*(A/F,i,n)
即：偿债基金＝普通年金终值×偿债基金系数
“偿债基金系数”与“年金终值系数”互为倒数。
现值
P=A×[1-(1+i)-n]/i ＝A×（P/A，i，n）
在普通年金现值计算公式中，如果已知年金现值求年金，则求出的年金被称为“资本回收 额”。
资本回收额A=P*i/[(1-(1+i)-n]=P*(A/P,i,n)
P＝A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m＋n）
终值 无终值
现值 P＝A/i
即：资本回收额＝普通年金现值×资本回收系数
“资本回收系数”与“年金现值系数”互为倒数。
终值
F＝A×（F/A，i，n）×（1＋i） Leabharlann A×[（F/A，i，n＋1）-1]
递延年金终值和现值
财务管理》第二章重难点讲解及例题：递延年金终值和现值递延年金终值和现值（1）递延年金终值（已知从第二期或第二期以后等额收付的普通年金A，求FA）递延年金是指第－次等额收付发生在第二期或第二期以后的普通年金。
图示如下：求递延年金的终值与求普通年金的终值没有差别（要注意期数），递延年金终值与递延期无关。
如上图中，递延年金的终值为：FA＝AX（F／A，i，n），其中，“n，，表示的是A的个数，与递延期无关。
（2）递延年金现值（已知从第二期或第二期以后等额收付的普通年金A，求PA）方法－：把递延期以后的年金套用普通年金公式求现值，这时求出的现值是第－次等额收付前－期的数值，再往前推递延期期数就得出递延年金的现值。
图示如下：PA＝AX（P／A，i，n）×（P／F，i，m）方法二：把递延期每期期末都当作有等额的收付，把递延期和以后各期看成是－个普通年金，计算这个普通年金的现值，再把递延期多算的年金现值减去即可。
图示如下：PA＝AX（P／A，i，m＋n）－A×（P／A，i，m）【提示】方法－、方法二求递延年金现值的思路是把递延年金的现值问题转换为普通年金的现值问题，再求递延年金现值。
方法三：先求递延年金的终值，再将终值换算成现值，图示如下：PA＝A×（F／A，i，n）×（P／F，i，m＋n）【提示】递延年金现值计算公式中的“n”指的是等额收付的次数，即A的个数；递延期“m”的含义是，把普通年金（第－次等额收付发生在第1期期末）递延m期之后，就变成了递延年金（第－次等额收付发生在第W期期末，W>1）。
因此，可以按照下面的简便方法确定递延期m的数值：（1）确定该递延年金的第－次收付发生在第几期末（假设为第W期末）（此时应该注意“下－期的期初相当于上－期的期末”）；（2）根据（W－1）的数值确定递延期m的数值。
【例题7.单选题】下列关于递延年金的说法中，错误的是（）。
A.递延年金是指隔若干期以后才开始发生的系列等额收付款项B.递延年金没有终值C.递延年金现值的大小与递延期有关，递延期越长，现值越小D.递延年金终值与递延期无关【答案】B【解析】递延年金是指隔若干期以后才开始发生的系列等额收付款项；递延年金存在终值，其终值的计算与普通年金是相同的；终值的大小与递延期无关；但是递延年金的现值与递延期是有关的，递延期越长，递延年金的现值越小，所以选项B的说法是错误的。
终值与现值计算公式
终值F ＝P ＋P ×n ×i ＝P ×（1＋i ×n ）现值P ＝F/(1＋i ×n ）终值F=P ×(1+i)n ＝P ×（F/P ，i ，n ）现值P=F ×(1+i)-n =F ×（P/F ，i ，n ）F=A ×[(1+i)n -1]/i ＝A ×（F/A ，i ，n ）在普通年金终值计算公式中，如果已知年金终值求年金，则求出的年金被称为“偿债基金”。
年偿债基金A=F*i/[(1+i)n -1]=F*(A/F,i,n)即：偿债基金＝普通年金终值×偿债基金系数“偿债基金系数”与“年金终值系数”互为倒数。
P=A ×[1-(1+i)-n ]/i ＝A ×（P/A ，i ，n ）在普通年金现值计算公式中，如果已知年金现值求年金，则求出的年金被称为“资本回收额”。
资本回收额A=P*i/[(1-(1+i)-n ]=P*(A/P,i,n)即：资本回收额＝普通年金现值×资本回收系数“资本回收系数”与“年金现值系数”互为倒数。
F ＝A ×（F/A ，i ，n ）×（1＋i ）＝A ×[（F/A ，i ，n ＋1）-1]P ＝A ×（P/A ，i ，n ）×（1＋i ）＝A ×[（P/A ，i ，n －1）＋1]终值F ＝A ×（F/A ，i ，n ），其中n 是指A 的个数，与递延期无关。
计算方法一：先将递延年金视为n 期普通年金，求出在m 期末普通年金现值，然后再将此年金现值按求复利现值的方法折算到第一期期初。
P ＝A ×（P/A ，i ，n ）×（P/F ，i ，m ）计算方法二：先计算m ＋n 期年金现值，再减去m 期年金现值。
P ＝A ×[（P/A ，i ，m ＋n ）-（P/A ，i ，m ）］计算方法三：先求递延年金终值，再折现为现值。
3、延期(递延)年金的计算知识讲解
2、计算期望报酬或率（期望值），也称均值
期望报酬率是一个概率分布中的所有可能结果，以
各自相应的概率为权数计算的加权平均数，是加权
平均的中心值。反映随机变量取值的平均化，是随
机变量的集中趋势，其计算公式如下：
n
期望报酬
EXi
p某种期望 该 报种 酬报酬发生 i
i1
例
例：甲方案收益额有三种可能结果，每种结果出现 的机会比例（概率）如下：
（1）递延年金的终值 递延年金的终值计算与递延期无关，其计算方法
与普通年金终值相同。
例题
例： 假设图中所示，第一次支付在第三 年末，并连续支付3年，年利率为10％， 每年等额支付1000元，递延年金的终值 是多少元?
递延年金终值F＝A×(F／A，i，n-s) ＝1000×(F／A，10％，3) =1000×3.31
i
例
例：某企业要建立一项永久性的奖励基金，计 划每年发放500000元，在年利率为8％的情况 下，该企业现在应该存入银行多少元?
P=A÷i＝500000÷8％＝6 250 000(元) 例：某企业在第一年年初向银行借入100万元，
银行规定从第一年到第五年每年年末应等额偿 还25.6万元，试计算利率？ i=A/P=25.6÷100=25.6%
因为C、D两项目期望值不同，所以不能直接根据 标准差比较风险大小，D项目虽然标准差大，但风险 不一定比C项目大。需要计算两项目标准离差率进行 比较。
C项目标准离差率=180÷200=0.9
D项目标准离差率=200÷250=0.8
比较两项目标准离差率，C项目离散程度大，所以 C项目比D项目风险大。
二、风险与报酬的关系
风险报酬也叫风险收益或风险价值，是指投 资者由于冒风险进行投资而获得的超过货币时 间价值的额外收益。
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递延期5
递延年金发生的期数10
求该农庄给企业带来的累计收益，实际上
就是求递延年金终值。 根据 F AF / A,i, n
＝50000×（F/A，10%，10）
计算结果表明，该农庄的累计投资限额为 190759.11元。
采用上述三种方法计算得出的结果存在微小的 差异，这主要是尾数差异造成的。
【同步训练2-6】不同折现率对决 策的影响
若江南公司的近年来资产报酬率为15%， 则对该农庄的投资额估计应高于还是低于 190759.11元？
若资产报酬率为8%？为什么？
递延年金发生的期数
二、递延年金终值计算
由于递延期m与终值无关
只需考虑递延年金发生的期数n。
0
1
2…
m
m+1 m+2 … m+n
递延期
递延年金发生的期数
计F算 公AF式/如A,下i, n：
【例2-11】农庄的累计净收益为多 少？
假设江南公司拟一次性投资开发某农庄， 预计该农庄能存续15年，但是前5年不会产 生净收益，从第6年开始，每年的年末产生 净收益5万元。
m+2 … m+n
假设递延期内每期都有A收付
即P ： AP / A,i, m n P / A,i, m
方法3：
先求递延年金终值，再折现为现值
0
1
2…
m m+1
m+2 … m+n
即
P
AF
/
A,i, nP
/
F , i,
m
n
【例2-12】农庄的累计投资限额为 多少？
主教材： 高等教育出版社
钭志斌《公司理财》
第四节 递延年金终值与现值的计算
钭志斌 丽水职业技术学院
一、递延年金
递延年金（Deferred Annuity）是指第一 次年金收付形式发生在第二期或第二期以 后的年金。
0 递延1年金的2 …支付形m式如m图+21-8m所+示2 …。 m+n
递延期
0
1
2…
m
m+1 m+2 … m+n
递延期
递延年金发生的期数
即P： AP / A,i, nP / F,i, m
方法2：
把递延期每期期末都当作有等额的年金收付A， 把递延期和以后各期看成是一个普通年金，计 算出这个普通年金的现值
再把递延期虚增的年金现值减掉即可。
0
1
2…
m m+1
接例2-11，
假设江南公司决定投资开发该农庄，根据其收
益情况，该农庄的累计投资限额为多少？
0
1
2…
5
5+1 5+2 … 5+10
递延期5
递延年金发生的期数10
实质上，求现值
按第一种方法计算：
P＝50000×（P/A，10%，10）×（P/F， 10%，5）
＝50000×6.1446×0.6209 ＝190759.11（元）
若江北公司是一位潜在投资者，该公司的 投资报酬率也是10%，它现在最高愿意花 多少价格购卖该农庄？
按第二种方法计算：
P＝50000×（P/A，10%，15）－ 50000×（P/A，10%，5）
＝50000×7.6061－50000×3.7908 ＝190765.00（元）
按第三种方法计算：
P＝50000×（F/A，10%，10）×（P/F， 10%，15）
＝50000×15.9370×0.2394 ＝190765.89（元）
＝50000×15.937
0＝7916850（2 …元） 5
5+1 5+2 … 5+10
递延期5
递延年金发生的期数10
三、递延年金现值的计算
递延年金的现值与递延期数相关，递延的期数 越长，其现值越低。
递延年金的现值计算有三种方法：
方法1：
把递延期以后的年金套用普通年金公式求现值， 然后再向前折现。