ZKYL02-01

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2-1 控制系统的时域数学模型
2 控制系统微分方程的建立
• 由系统原理线路图画出系统方块图； • 列写组成系统各元件的微分方程； • 消去中间变量得到描述系统输出量和 输入量之间关系的微分方程；
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2-1 控制系统的时域数学模型
2 控制系统微分方程的建立
d 2uo (t ) duo (t ) LC RC uo (t ) ui (t ) 2 dt dt
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2-1 控制系统的时域数学模型
3 线性系统的特性 k为常数:kx1输出y=k(kx1)+b=k2x1+b ky1=k(kx1+b)= k2x1+kb yky1不满足齐次方程。 所表示的元件不是线性元件。 又例如：元件的数学模型为：
y(t ) y(t ) x(t ) 线性元件 y(t ) y(t ) x(t ) b 不是线性元件
自动控制原理
第二章
控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
• 什么是控制系统的数学模型？ 控制系统的数学模型是描述系统 内部物理量（或变量）之间关系的数 学表达式。 • 在静态条件下（即变量各阶导数为 零），描述变量之间关系的代数方程 叫做静态数学模型； • 而描述变量各阶导数之间关系的微分 方程叫动态数学模型。
d 2 x(t ) dx(t ) m f Kx(t ) F (t ) 2 dt dt
相似系统
• RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系统的 数学模型均是二阶微分方程，为相似系统。 • 相似系统便于用一个简单系统去研究与其相 似的复杂系统，也便于控制系统的计算机数 字仿真。
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2-1 控制系统的时域数学模型
输入 输出
黑（灰）箱
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第二章 控制系统的数学模型
控制系统数学模型的形式：
• 时域：微分方程、差分方程、 状态方程； • 复数域：传递函数、结构图； • 频域：频率特性等。
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第二章 控制系统的数学模型
微分方程/传递函数/频率特性 三种数学模型之间的关系 线性系统 拉氏 傅氏 传递函数 微分方程 频率特性 变换 变换
1 线性元件的微分方程
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2-1 控制系统的时域数学模型
1 线性元件的微分方程
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2-1 控制系统的时域数学模型
1 线性元件的微分方程
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2-1 控制系统的时域数学模型
1 线性元件的微分方程
F(t)
K m
x(t) f
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2-1 控制系统的时域数学模型
1 线性元件的微分方程
F(t)
K m
x(t) f
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2-1 控制系统的时域数学模型
4 线性定常微分方程的求解
拉氏变换法求解微分方程：
• 考虑初始条件，对微分方程中的每一项 分别进行拉氏变换，将微分方程转换为 变量 s 的代数方程； • 由代数方程求出输出量拉氏变换函数的 表达式； • 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到 输出量的时域表达式，即为求微分方程 的解。
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2-1 控制系统的时域数学模型
4 线性定常微分方程的求解
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2-1 控制系统的时域数学模型
5 非线性微分方程的线性化
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2-1 控制系统的时域数学模型
5 非线性微分方程的线性化
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2-1 控制系统的时域数学模型
5 非线性微分方程的线性化
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2-1 控制系统的时域数学模型
5 非线性微分方程的线性化
ui(t)
i(t) C
uo(t)
2-1 控制系统的时域数学模型
1 线性元件的微分方程 例2.2
+
if La
ia
+
ua
Ra Ea +
m 负 载
SM SM
Jm,fm
-
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2-1 控制系统的时域数学模型
1 线性元件的微分方程
+
if
+
ua
La
ia
Ra Ea +
m 负 载
SM SM
Jm,fm
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2-1 控制系统的时域数学模型
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2-1 控制系统的时域数学模型
5 非线性微分方程的线性化
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2-1 控制系统的时域数学模型
6 运动的模态
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2-1 控制系统的时域数学模型
6 运动的模态
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2-1 控制系统的时域数学模型
6 运动的模态
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第二章 控制系统的数学模型
为什么要建立数学模型：
• 我们需要了解系统的具体的性能指标; • 只是定性地了解系统的工作原理和大致 的运动过程是不够的; • 希望能够从理论上对系统的系统的性能 进行定量的分析和计算。要做到这一点， 首先要建立系统的数学模型。它是分析 和设计系统的依据。
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第二章 控制系统的数学模型
• 建立控制系统数学模型的主要方法：
分析法， 实验法。
• 分析法是对系统各部分的运动机理进 行分析，根据它们所依据的物理规律或 化学规律分别列写相应的运动方程。例 如，电学中有基尔霍夫定律，力学中有 牛顿定律，热力学中有热力学定律等。
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第二章 控制系统的数学模型
• 实验法是人为地给系统施加某种测试信 号，记录其输出响应，并用适当的数学 模型去逼近，这种方法称为系统辨识。
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2-1 控制系统的时域数学模型
1 线性元件的微分方程 例2.1
L R
ui(t)
i(t) C
uo(t)
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2-1 控制系统的时域数学模型
1 线性元件的微分方程
L R
ui (t ) = u +u +u (1) L R C u = Ri (t ) R di (t ) u =L L dt 1 uo (t ) = u = i (t )dt (2) C C di (t ) ui (t ) = Ri (t ) + L +uo (t ) (3) dt du (t ) 由 (2) 式求得 i (t ) = C o , 代入 (3) 并整理得 dt d 2uo (t ) duo (t ) LC + RC +uo (t ) = ui (t ) 2 dt dt 12
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2-1 控制系统的时域数学模型
3 线性系统的特性
重要特点：
• 对线性系统可以应用迭加性和齐次性，对研究带 来了极大的方便。 • 迭加性的应用：欲求系统在几个输入信号和干扰 信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用 单独求响应，然后加起来就是总响应。 • 齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时，其 响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用 单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜 坡等）对系统进行分析——简化了问题。
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2-1 控制L=1H R=1Ω
ui(t)=1V
i(t) i(0)=0.1A
C=1F
uo(t) uo(0)=0.1v
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2-1 控制系统的时域数学模型
4 线性定常微分方程的求解
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2-1 控制系统的时域数学模型
4 线性定常微分方程的求解
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2-1 控制系统的时域数学模型
3 线性系统的特性 例如 y=kx 是线性元件 输入 x1y1 输出 x2y2 输入x1 ＋x2 对应输出y1 ＋ y2 满足迭加性 k为常数， kx1ky1 满足齐次性
所表示的元件为 线性元件
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2-1 控制系统的时域数学模型
3 线性系统的特性
线性方程不一定满足迭加性和齐次性。 y=kx+b(b为常数0)线性方程，所表示的元 件不是线性元件. 输入x1y1 输出 y1＝kx1+b x2y2 y2 =kx2+b 输入x1 ＋x2 输出 y=k(x1 ＋x2)+b =k x1 +kx2+b y1 +y2 不满足迭加性
3 线性系统的特性 • 线性元件：具有迭加性和齐次性的元件 称为线性元件。 • 线性系统：若组成系统的各元件均为线 性元件，则系统为线性系统。 • 非线性元件：不具有迭加性和齐次性的 元件称为非线性元件。
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2-1 控制系统的时域数学模型
3 线性系统的特性
如果元件输入为r（t）、r1（t）、r2（t）， 对应的输出为c（t）、c1（t）、c2（t） 如果r（t）=r1（t）+r2（t）时， c（t）=c1（t）+c2（t） 则满足迭加性。 如果r（t）=a·1（t）时， r c（t）=a·1（t） 则满足齐次性 c 满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件。
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第二章 控制系统的数学模型
2-1 控制系统的时域数学模型
2-2 控制系统的复数域数学模型 2-3 控制系统的结构图与信号流图 2-4 数学模型的实验测定法
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2-1 控制系统的时域数学模型
1 线性元件的微分方程
列写元件微分方程的步骤:
• 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作 用,确定其输入量和输出量； • 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规 律,列写相应的微分方程； • 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系 的微分方程,便得到元件时域的数学模型； • 系统微分方程的标准形式：输入在右，输出 在左，方程两端变量的导数项按降幂排列。