学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数导学案(无答案)新人教A版必修1

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高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数教案新人教A版必修1

指数函数教学目标：知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图象、性质及其简单应用.能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论的思想以及从特殊到一般的数学讨论的方法，增强识图用图的能力.情感目标:通过本节课的学习，使学生获得研究指数函数的规律和方法，使学生领会数学的抽象性和严谨性，提高学生自主学习的能力，养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质；培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神。

教学重点：指数函数的图象和性质教学难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图象与底的关系.教学方法：自主探究，小组合作式教学法.教学手段：采用多媒体辅助教学.教学过程：一、课前准备与思考二、创设情景，引出课题前面我们学习过函数的概念、函数的有关性质及指数的运算，今天我们将在此基础上学习一类新的基本函数.问题1：合同书乙方：____________（一）甲方在一个月内每天给乙方10万元，乙方第一天只需给甲方2分钱，以后每天给甲方的钱是前一天的两倍。

（二）合同有效期从签订之日起到30天后终止本合同既为公司提供了执行依据，同时也为乙方提供了维护自身权益的法律保障，具有法律效益，不得违约。

甲方：乙方：年月日动画演示：用表格的形式作出每天收到钱数和要出的钱数，最后得出出钱数与天数的关系式是：.问题2：《庄子。

天下篇》中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

请写出取x次后，木棰的剩留量与y与x的函数关系式，则与的关系为y=（）x.思考：你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗？共同点：变量与构成函数关系式，是指数的形式，自变量在指数位置，底数是常数；不同点：底数的取值不同.大家能给这样的函数起个名字吗？（想让学生对数学的形式化有一认识）（指数函数）这就是我们今天所要研究的一个新的基本函数——指数函数.（引出课题）三、发现问题探索研究(一)指数函数的概念：函数叫做指数函数.其中是自变量.函数的定义域为.在以前我们学过的函数中，一次函数用形如的形式表示，反比例函数用形如的形式表示，二次函数用的形式表示．这些函数对其一般形式上的系数都有相应的限制．给定一个函数要注意它的实际意义与研究价值.探究1：为什么指数函数对底数有这样的要求呢？若，当时，恒等于0，没有研究价值；当时，无意义；若,例如当时，无意义，没有研究价值；若，则,是一个常量，也没有研究的必要.很好，所以有规定（对指数函数有一初步的认识）.探究2：判断下列函数是否是指数函数（二）指数函数的图象与性质：学习函数的一个很重要的目标就是应用，那么首先要对函数作一研究，研究函数的图象及性质，然后利用其图象和性质去解决数学问题和实际问题.思考1：你能类比前面讨论函数性质的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、图象、单调性、奇偶性.思考2：如何来画指数函数的图象呢?画函数图象通常采用：列表、描点、连线．有时，也可以利用函数的有关性质画图. 思考3：画出指数函数、的图象并观察图象有什么特征？函数的图象位于轴的上方，向左无限接近轴，向上无限延伸, 从左向右看，图象是上升的,与轴交于(0,1)点.函数的图象位于轴的上方，向右无限接近轴，向上无限延伸，从左向右看，图象是下降的，与轴交于(0,1)点.思考4：选取底数的若干个不同的值，在同一平面坐标系内作出相应的指数函数的图象．观察图象，你能发现他们有哪些共同特征？教师演示课件，以不同的底，作出函数的图象，描绘出其几何特征，将函数的图象和性质对应起来．利用几何画板，通过改变的值，让学生观察图象的变化规律．思考6：通过你们画的图象以及老师的演示，你们能发现怎样的规律呢？底数分和两种情况．很好，那么，你们能否归纳总结一下它们的性质吗？引导学生观察函数的图象特征，并总结函数的性质．思考7：从特殊到一般，指数函数有哪些性质？并类比得出的性质．师生共同归纳：指数函数的图象与性质：强调：利用函数图象研究函数性质是一种直观而形象的方法，记忆指数函数性质时可以联想它的图象，记住性质的关键在于要脑中有图．四、例练结合共同提高：通过前面几个环节，学生已基本掌握了本节课指数函数的相关知识，此时我将带领学生体验运用新知识去解决问题的乐趣，进入本节课的下一个环节——例练结合，共同提高。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数学案新人教A版必修1

2.1 指数函数2．1.1 指数与指数幂的运算预习课本P48～53，思考并完成以下问题(1)n次方根是怎样定义的？(2)根式的定义是什么？它有哪些性质？(3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？(4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？(5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？[新知初探]1．n次方根定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*个数n是奇数a＞0 x＞0x仅有一个值，记为naa＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±naa＜0x不存在2．根式(1)定义：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)性质：(n＞1，且n∈N*)①(na)n＝a. ②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a，n为奇数，|a|，n为偶数.[点睛](na)n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而na n中a∈R.3．分数指数幂的意义分数指幂正分数指数幂规定：amn＝na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)负分数指数幂规定：a-mn＝1amn＝1na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义[点睛] 分数指数幂a mn不可以理解为mn个a相乘．4．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)．(2)(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．5．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意实数的奇次方根只有一个．( )(2)正数的偶次方根有两个且互为相反数．( )(3) π－42＝－π.( )(4)分数指数幂a mn可以理解为mn个a相乘．( )(5)0的任何指数幂都等于0.( )答案：(1)√(2)√(3)√(4)×(5)×2.5a－2可化为( )A．a2-5B．a52C．a25D．.－a52答案：A3．化简2532的结果是( ) A ．5 B ．15 C ．25D ．.125答案：D4．计算：π0＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫21412＝________. 答案：118[例1] 化简： (1)nx －πn(x ＜π，n ∈N *)；(2)64a 2－4a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≤12.[解] (1)∵x ＜π，∴x －π＜0. 当n 为偶数时，nx －πn＝|x －π|＝π－x ；当n 为奇数时，nx －πn＝x －π.综上可知，nx －πn＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *.(2)∵a ≤12，∴1－2a ≥0，∴64a 2－4a ＋1＝62a －12＝61－2a2＝31－2a .根式化简应遵循的3个原则(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式． (2)被开方数是带分数的要化成假分数．(3)被开方数中不能含有分母；使用ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．1．若xy ≠0，则使4x 2y 2＝－2xy 成立的条件可能是( ) A ．x ＞0，y ＞0B ．x ＞0，y ＜0根式的化简与求值C ．x ≥0，y ≥0D ．x ＜0，y ＜0解析：选B ∵4x 2y 2＝2|xy |＝－2xy ，∴xy ≤0. 又∵xy ≠0，∴xy ＜0，故选B. 2．若2a －12＝31－2a3，则实数a 的取值范围为________．解析： 2a －12＝|2a －1|，31－2a3＝1－2a .因为|2a －1|＝1－2a ，故2a －1≤0，所以a ≤12.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12[例2] 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)：(1)13a 2；(2)a 3·3a 2；(3)3b－a2. [解] (1)13a2＝12123a ＝a2-3. (2)a 3·3a 2＝a 3·a 23＝a 3＋23＝a113.(3) 3b －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 213＝b 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a 213＝b 13·(－a －2)13＝－b 13a 2-3根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )根式与分数指数幂的互化A ．－x ＝(－x )12(x ＞0)B.6y 2＝y 13(y ＜0)C ．x －34＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)D ．x －13＝－3x (x ≠0)解析：选－x ＝－x 12(x ＞0)； 6y 2＝[(y )2]16＝－y 13(y ＜0)；x －34＝(x －3)14＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)； x1-3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x —13＝31x (x ≠0)．4．将下列根式与分数指数幂进行互化： ①a4-3；② 3a a (a ＞0)；③a 3a ·5a 4(a ＞0)．解：①a4-3＝14a 3.② 3a a ＝a 13·a 16＝a 12. ③原式＝a 3·a1-2·a4-5＝a143--25＝a1710.[例3] 计算下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－0.010.5； (2)0.0641-3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3] 4-3＋16－0.75； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫14 1-2·1312332(4)0.1()ab a b --- (a >0，b >0)．3-2 [解] (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.指数幂的运算(3)原式＝g132244100·a32·a123-2·b3-2·b32＝425a0b0＝425.利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．[活学活用]5．计算：(1)0.02713－⎝⎛⎭⎪⎫61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0；(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；(3)23a÷46a·b·3b3.解：(1)原式＝(0.33) 13－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫52212＋(44)34＋(223)23－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝64715.(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－13a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－13ac－1＝－a3c.(3)原式＝2a13÷(4a16b16)·(3b32)＝12a11-36b1-6·3b32＝32a16b43.[例4] 已知a12＋a1-2＝5，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.[解] (1)将a12＋a1-2＝5两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，∴a2＋a－2＝7.条件求值问题[一题多变]1．[变结论]在本例条件下，则a2－a－2＝________.解析：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±35，即a2－a－2＝±3 5.答案：±3 52．[变条件]若本例变为：已知a，b 分别为x 2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求11221122-a ba b+值．解：11221122-a ba b+＝1122211112222--a ba b a b+（）（）（）＝12+-2-a b aba b（）（）. ①∵a＋b＝12，ab＝9，②∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.∵a＜b，∴a－b＝－6 3. ③将②③代入①，得11221122-a ba b+＝⨯1212-29-63＝－33.条件求值的步骤层级一学业水平达标1( )A．1)13和(－1)26B．0－2和012C．212和414D． 43-2和⎝⎛⎭⎪⎫12－3选项A中，(－1)13和(－1)26均符合分数指数幂的定义，但(－1)13＝3－1－1，(－1)26＝6－12＝1，故A不满足题意；选项B中，0的负分数指数幂没有意义，故B 不满足题意；选项D 中，43-2和⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D 不满足题意；选项C 中，212＝2，414＝422＝212＝2，满足题意．故选C.2．已知：n ∈N ，n ＞1，那么2n－52n等于( ) A ．5 B ．－5 C ．－5或5D ．不能确定解析：选A2n－52n＝2n52n＝5.3．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫8116－14的结果为( )A.23B.32 C ．－23D ．－32解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫8116－14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫324－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝23.4．化简[3－52]34的结果为( )A ．5 B. 5 C ．－ 5D ．.－5解析：选B [3－52]34＝[(－5)23]34＝512＝ 5.5．计算(2a －3b －23)·(－3a －1b )÷(4a －4b －53)得( )A ．－32b 2 B.32b 2 C ．－32b 73D.32b 73解析：选A 原式＝-4-464a b a b-133-5＝－32b 2.6．若x ≠0，则|x |－x 2＋x 2|x |＝________.解析：∵x ≠0，∴原式＝|x |－|x |＋|x ||x |＝1.答案：17．若x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，则(x2 017)y＝________.解析：因为 x 2＋2x ＋1＋ y 2＋6y ＋9＝0，所以x ＋12＋ y ＋32＝|x ＋1|＋|y ＋3|＝0，所以x ＝－1，y ＝－3. ∴(x2 017)y＝[(－1)2 017]－3＝(－1)－3＝－1.答案：－1 8.614－ 3338＋30.125 的值为________．解析：原式＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫522－ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝52－32＋12＝32. 答案：329．计算下列各式(式中字母都是正数)： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 23b 12⎝ ⎛－6a 12b 13)÷⎝⎛⎭⎪⎫－3a 16b 56 ； (2)(m 14n －38)8.解：(1)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a 23＋12－16b 12＋13－56＝4ab 0＝4a . (2)原式＝(m 14)8(n3-8)8＝m 2n －3＝m 2n3.10．已知4a 4＋4b 4＝－a －b ，求4a ＋b4＋3a ＋b3的值．解：因为4a 4＋4b 4＝－a －B. 所以4a 4＝－a ，4b 4＝－b ，所以a ≤0，b ≤0，所以a ＋b ≤0，所以原式＝|a ＋b |＋a ＋b ＝－(a ＋b )＋a ＋b ＝0.层级二应试能力达标1．计算2n ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ＋14n ·8－2(n ∈N *)的结果为( ) A.164 B ．22n ＋5C ．2n 2－2n ＋6 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －7 解析：选D 原式＝22n ＋2·2－2n －122n ·23－2＝2122n －6＝27－2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －7. 2.1⎛⎫ ⎪⎝⎭12 0－(1－0.5－2)÷⎝ ⎛⎪⎫27823的值为()A ．－13 B.13 C.43 D.73解析：选D 原式＝1－(1－22)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1－(－3)×49＝73.故选D.3．设a ＞0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．B ．．D ．.解析：选Ca 2a ·3a 2＝a 2a ·a23＝a 2·a －56＝a 2－56＝a 76.4．设x ，y 是正数，且x y＝y x，y ＝9x ，则x 的值为( ) A.19B.43 C ．1 D.39解析：选B ∵x 9x＝(9x )x，(x 9)x＝(9x )x ，∴x 9＝9x . ∴x 8＝9.∴x ＝89＝43.5．如果a ＝3，b ＝384，那么－3＝________.解析：－3＝－3＝n －3＝3×2n －3. 答案：3×2n －36．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 解析：由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝215.答案：14 7．化简求值：＋0.1－2－23－3π0＋3748；－3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－6×⎝ ⎛⎪⎫8116(3)⎛⎫⎪⎝⎭383－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎪⎫64272-3－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(2)823－(0.5)－3＋⎝⎛⎭⎪⎫13－6×⎝⎛⎭⎪⎫81163-4＝(23)23－(2－1)－3＋(3－12)－6×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫3243-4＝22－23＋33×⎝⎛⎭⎪⎫32－3＝4－8＋27×827＝4.(3)原式＝(－1)－23×⎛⎫⎪⎝⎭383－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫278－23＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.8．已知a＝3，求11+a14＋11-a14＋11+a12＋41＋a的值．解：11+a14＋11-a14＋11+a12＋41＋a＝2(1+)(1-)a a1144＋21+a12＋41＋a＝21-a12＋21+a12＋41＋a＝4(1-)(1+)a a1122＋41＋a＝41－a＋41＋a＝81－a2＝－1.2．1.2 指数函数及其性质第一课时指数函数及其性质预习课本P54～58，思考并完成以下问题(1)指数函数的概念是什么？(2)结合指数函数的图象，可归纳出指数函数具有哪些性质？(3)指数函数的图象过哪个定点？如何求指数型函数的定义域和值域问题？[新知初探]1．指数函数的定义函数y＝a x(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R. [点睛] 指数函数解析式的3个特征(1)底数a为大于0且不等于1的常数．(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.(3)a x的系数是1.2．指数函数的图象和性质a＞10＜a＜1图象a＞10＜a＜1性质定义域R值域(0，＋∞)过定点过点(0,1)即x＝0时，y＝1单调性是R上的增函数是R上的减函数指数函数的图象是“上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图象是“下降”的．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝x2是指数函数． ( )(2)指数函数y＝a x中，a可以为负数． ( )(3)指数函数的图象一定在x 轴的上方． ( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．函数y＝(3－1)x在R 上是( ) A ．增函数B ．奇函数C ．偶函数D ．.减函数答案：D3．函数y ＝2－x的图象是( )答案：B 4．函数f (x )＝2x ＋3的值域为________．答案：(3∞)[例1] (1)下列函数： ①y ＝2·3x；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x；④y ＝x 3.其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)函数y ＝(a －2)2a x是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3D ． a >0且a ≠1[解析] (1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y ＝3x ＋1的指数是x ＋1，不是自变量x ，故②不是指数函数；③中，y ＝3x,3x的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x一项，故③是指数函数； ④中，y ＝x 3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．(2)由指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧a －22＝1，a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.[答案] (1)B (2)C指数函数的概念判断一个函数是指数函数的方法(1)需判断其解析式是否符合y ＝a x(a >0，且a ≠1)这一结构特征．(2)看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．[活学活用]1．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则a ＝________. 解析：由y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a ＞0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a ＞0，且a ≠1，∴a ＝2.答案：2[例2] 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x －4；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |；(3)y ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x. [解] (1)x 应满足x －4≠0，∴x ≠4，∴定义域为{x |x ≠4，x ∈R}．∵1x －4≠0，∴21x －4≠1，∴y ＝21x －4的值域为{y |y ＞0，且y ≠1}． (2)定义域为R.∵|x |≥0，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32|x |≥⎝ ⎛⎭⎪⎫320＝1，∴此函数的值域为[1，＋∞)．(3)由题意知1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，∴x ≥0，∴定义域为{x |x ≥0，x ∈R}．∵x ≥0∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞0，∴0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1.∴0≤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜1，∴0≤y ＜1，∴此函数的值域为[0,1)．指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y ＝a x型还是y ＝a f (x )型，前者的定义域是R ，后者的定义域与f (x )的定义域一致，而求y ＝f a x 型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．2．求下列函数的定义域、值域：指数型函数的定义域和值域(1)y ＝35x －1；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12-2-2-3x x . 解：(1)由5x －1≥0，得x ≥15，所以所求函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥15.由5x －1≥0，得y ≥1，所以所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)定义域为R.∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12-2-2-3x x ＞0， ∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12-2-2-3x x 的值域为(0,16].题点一：指数型函数过定点问题 1．函数y ＝ax －3＋3(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点________．解析：因为指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y ＝a x －3＋3中，令x －3＝0，得x ＝3，此时y ＝1＋3＝4，即函数y ＝ax －3＋3的图象过定点(3,4)．答案：(3,4)题点二：指数型函数图象中数据判断 2．函数f (x )＝a x －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ． 0＜a ＜1，b ＜0解析：选D 从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0＜a ＜1；从曲线位置看，是由函数y ＝a x(0＜a ＜1)的图象向左平移|－b |个单位长度得到，所以－b ＞0，即b ＜0.题点三：作指数型函数的图象3．画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f (x )＝2x的图象经过怎样的变换得到的． (1)y ＝2x＋1；(2)y ＝－2x. 解：如图．指数型函数图象(1)y ＝2x＋1的图象是由y ＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的； (2)y ＝－2x的图象与y ＝2x的图象关于x 轴对称．指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点．(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．层级一学业水平达标1．下列函数中，指数函数的个数为( ) ①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1 2 x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x ；④y ＝⎝⎛⎭⎪⎫ 1 2 2x －1.A ．0个B ．1个C ．3个D ．4个解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确． 2．函数y ＝2x－1的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞)D. (0，＋∞)解析：选C 由2x－1≥0，得2x≥20，∴x ≥0. 3．当a ＞0，且a ≠1时，函数f (x )＝a x ＋1－1的图象一定过点( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－1,0)D. (1,0)解析：选C 当x ＝－1时，显然f (x )＝0，因此图象必过点(－1,0)． 4．函数f (x )＝a x与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )解析：选A 当a ＞1时，函数f (x )＝a x单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a ＞1，此时两函数的图象大致为选项A.5．指数函数y ＝a x与y ＝b x的图象如图，则( )A ．a ＜0，b ＜0B ．a ＜0，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞1D.0＜a ＜1,0＜b ＜1解析：选C 由图象知，函数y ＝a x在R 上单调递减，故0＜a ＜1；函数y ＝b x在R 上单调递增，故b ＞1.6．若函数f (x )＝(a 2－2a ＋2)(a ＋1)x是指数函数，则a ＝______.解析：由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2＝1，a ＋1＞0，a ＋1≠1，解得a ＝1.答案：17．已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为______．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3，所以f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋3＝4＋3＝7.答案：78．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜0，－2－x，x ＞0，则函数f (x )的值域是________．解析：由x ＜0，得0＜2x＜1；由x ＞0，∴－x ＜0,0＜2－x＜1，∴－1＜－2－x＜0.∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．答案：(－1,0)∪(0,1)9．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x－1.(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1 3 x 222－2x 2－2.解：(1)要使y ＝21x－1有意义，需x ≠0，则21x＞0且21x≠1，故21x－1＞－1且21x－1≠0，故函数y ＝21x －1的定义域为{x |x ≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)函数y ＝⎝⎛⎪⎫ 1 3 R ，由于2x 2≥0，则2x 2－2≥－2，故0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1 3 2x 2－2≤9，所以函数y ＝⎝ ⎛⎪⎫ 1 3 (0,9]．10．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，其中a ＞0且a ≠1. (1)求a 的值．(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．解：(1)函数图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，所以a 2－1＝12，则a ＝12.(2)由(1)知函数为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥0)，由x ≥0，得x －1≥－1.于是0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1 2 x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1 2 －1＝2，所以函数的值域为(0,2]．层级二应试能力达标1．函数y ＝16－4x的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4)D ．(0,4)解析：选C 要使函数式有意义，则16－4x≥0.又因为4x＞0，∴0≤16－4x＜16，即函数y ＝ 16－4x的值域为[0,4)．2．函数y ＝1的定义域、值域分别是( )A ．R ，(0，＋∞)B ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1}C ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1，且y ≠1}D ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1，且y ≠0}解析：选C 要使y ＝1有意义，只需x －1x 有意义，即x ≠0.若令u ＝x －1x ＝1－1x，则可知u ≠1，∴y ≠21－1＝1.又∵y ＝1＞0－1＝－1，∴函数y ＝1的定义域为{x |x ≠0}，值域为{y |y ＞－1，且y ≠1}．3．函数f (x )＝πx与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx 的图象关于( )A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．.直线y ＝－x 对称解析：选C 设点(x ，y )为函数f (x )＝πx的图象上任意一点，则点(－x ，y )为g (x )＝π－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx 的图象上的点．因为点(x ，y )与点(－x ，y )关于y 轴对称，所以函数f (x )＝πx与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx的图象关于y 轴对称，选C.4．已知1＞n ＞m ＞0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x的图象为( )解析：选C 由于0＜m ＜n ＜1，所以y ＝m x与y ＝n x都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.5．已知函数f (x )是指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ 3 2 ＝525，则f (x )＝________.解析：设f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ 3 2 ＝525得，a -32＝512－2＝5-32，∴a ＝5，∴f (x )＝5x .答案：5x6．方程|2x－1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是________．解析：作出y ＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，∴a ≥1或a ＝0.答案：[1，＋∞)∪{0}7．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |－1.(1)作出f (x )的简图；(2)若关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解，求m 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1，x ≥0，3x －1，x ＜0，如图所示．(2)作出直线y ＝3m ，当－1＜3m ＜0时，即－13＜m ＜0时，函数y ＝f (x )与y ＝3m 有两个交点，即关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解．8．已知－1≤x ≤2，求函数f (x )＝3＋2×3x ＋1－9x的最大值和最小值．解：设t ＝3x ，∵－1≤x≤2，∴13≤t ≤9，则f (x )＝g (t )＝－(t －3)2＋12，故当t ＝3，即x ＝1时，f (x )取得最大值12；当t ＝9，即x ＝2时，f (x )取得最小值－24.第二课时指数函数及其性质的应用(习题课)[例1] 比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.50.3和0.81.2.[解] (1)∵函数y ＝1.5x 在R 上是增函数，2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2. (2)∵函数y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1.2＞－1.5，∴0.6－1.2＜0.6－1.5.(3)由指数函数的性质知1.50.3＞1.50＝1，而0.81.2＜0.80＝1，∴1.50.3＞0.81.2.比较指数式大小的三种类型及处理方法[活学活用]1．比较下列各题中两个值的大小． (1)0.8－0.1,1.250.2；(2)1.70.3,0.93.1.解：(1)∵0＜0.8＜1，∴y ＝0.8x在R 上是减函数．∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，即0.8－0.1＜1.250.2.(2)∵1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1.[例2] 求解下列不等式：(1)已知3x≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5，求实数x 的取值范围．(2)若a－5x＞ax ＋7(a ＞0且a ≠1)，求x 的取值范围．[解] (1)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5＝30.5，所以由3x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5可得：3x ≥30.5，因为y ＝3x为增函数，故x ≥0.5. 利用指数函数的单调解简单的指数不等式(2)①当0＜a ＜1时，函数y ＝a x 是减函数，则由a －5x＞ax ＋7可得－5x ＜x ＋7，解得x ＞－76.②当a ＞1时，函数y ＝a x是增函数，则由a－5x＞ax ＋7可得－5x ＞x ＋7，解得x ＜－76.综上，当0＜a ＜1时，x ＞－76；当a ＞1时，x ＜－76.指数型不等式的解法(1)指数型不等式af (x )＞ag (x )(a ＞0，且a ≠1)的解法：当a ＞1时，f (x )＞g (x )；当0＜a ＜1时，f (x )＜g (x )．(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a 0(a ＞0，且a ≠1)，a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax (a ＞0，且a ≠1)等．[活学活用]2．解不等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 22－≤2. 解：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 22－＝(2－1)x 22－＝2x 22－，∴原不等式等价于2x 22－≤21.∵y ＝2x是R 上的增函数，∴2－x 2≤1，∴x 2≥1，即x ≥1或x ≤－1.∴原不等式的解集是{x |x ≥1或x ≤－1}.[例3] 判断f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 的单调性，并求其值域．[解] 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u .∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x x 22－在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减． ∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u，u ∈[－1，＋∞)，∴0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．指数型函数的单调性[一题多变]1．[变条件]本例中“x ∈R”变为“x ∈[－1,2]”．判断f (x )的单调性，并求其值域．解：由本例解析知，又x ∈[－1,2]，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x (x ∈[－1,2])在[－1,1]上是增函数，在(1,2]上是减函数．∵u ＝x 2－2x (x ∈[－1,2])的最小值、最大值分别为u min ＝－1，u max ＝3，∴f (x )的最大值、最小值分别为f (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，3. 2．[变设问]在本例条件下，解不等式f (x )＜f (1)．解：∵f (x )＜f (1)，即⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1，∴x 2－2x ＞－1，∴(x －1)2＞0，∴x ≠1，∴不等式的解集为{x |x ≠1}．函数y ＝af (x )(a ＞0，a ≠1)的单调性的处理技巧(1)关于指数型函数y ＝af (x )(a ＞0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a ＞1还是0＜a ＜1；二是f (x )的单调性，它由两个函数y ＝a u，u ＝f (x )复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f (φ(x ))的单调性．[例4] 某林区2016年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x 年后，该林区的木材蓄积量为y 万立方米，求y ＝f (x )的表达式，并写出此函数的定义域．[解] 现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后木材的蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2万立方米； …经过x 年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)x万立方米．故y ＝f (x )＝200×(1＋5%)x，x ∈N *.解决指数函数应用题的流程(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息． (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．指数函数的实际应用(3)解模：运用数学知识解决问题．(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论． 3．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．解析：假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y ＝2x －1，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．答案：19层级一学业水平达标1．下列判断正确的是( ) A ．2.52.5＞2.53B ．0.82＜0.83C ．π2＜π 2D ．0.90.3＞0.90.5解析：选D ∵y ＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3， ∴0.90.3＞0.90.5.2．若函数f (x )＝(1－2a )x在实数集R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 解析：选B 由已知，得0＜1－2a ＜1，解得0＜a ＜12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 3．若⎝ ⎛⎭⎪⎫122a ＋1＜⎝ ⎛⎭⎪⎫123－2a ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，1)D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12解析：选B ∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上为减函数，∴2a ＋1＞3－2a ，∴a ＞12.4．设函数f (x )＝a－|x |(a ＞0，且a ≠1)，若f (2)＝4，则( )A ．f (－2)＞f (－1)B ．f (－1)＞f (－2)C ．f (1)＞f (2)D. f (－2)＞f (2)解析：选A f (2)＝a －2＝4，a ＝12，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|x |＝2|x |，则f (－2)＞f (－1)．5．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x的单调递增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D. (0,1)解析：选A 定义域为R.设u ＝1－x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u，∵u ＝1－x 在R 上为减函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在(－∞，＋∞)上为减函数，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x在(－∞，＋∞)上是增函数，故选A.6．若－1＜x ＜0，a ＝2－x，b ＝2x ，c ＝0.2x，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：因为－1＜x ＜0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x ＜1,2－x ＞1,0.2x＞1，又因为0.5x ＜0.2x，所以b ＜a ＜c .答案：b ＜a ＜c7．满足方程4x ＋2x－2＝0的x 值为________．解析：设t ＝2x (t ＞0)，则原方程化为t 2＋t －2＝0， ∴t ＝1或t ＝－2. ∵t ＞0，∴t ＝－2舍去． ∴t ＝1，即2x＝1，∴x ＝0. 答案：08．函数y ＝的值域为________．解析：设u ＝x 2－2x ，则y ＝3u，u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以y ＝3u ≥3－1＝13，所以函数y ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞9．已知指数函数f (x )的图象过点P (3,8)，且函数g (x )的图象与f (x )的图象关于y 轴对称，又g (2x －1)＜g (3x )，求x 的取值范围．解：设f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)，因为f (3)＝8，所以a 3＝8，即a ＝2，又因为g (x )与f (x )的图象关于y 轴对称，所以g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，因此g (2x －1)＜g (3x )，即⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －1＜⎝ ⎛⎭⎪⎫123x ，所以2x －1＞3x ，解得x ＜－1.10．如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a ＞0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．解：函数y ＝a 2x＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2，x ∈[－1,1]．若a ＞1，则x ＝1时，函数取最大值a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3.若0＜a ＜1，则x ＝－1时，函数取最大值a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13.综上所述，a ＝3或13.层级二应试能力达标1．已知f (x )＝a －x(a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞0 B ．a ＞1 C ．a ＜1D ．0＜a ＜1解析：选D ∵－2＞－3，f (－2)＞f (－3)，又f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －3， ∴1a＞1，∴0＜a ＜1. 2．已知函数f (x )＝a 2－x(a ＞0且a ≠1)，当x ＞2时，f (x )＞1，则f (x )在R 上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．当x ＞2时是增函数，当x ＜2时是减函数D ．.当x ＞2时是减函数，当x ＜2时是增函数解析：选A 令2－x ＝t ，则t ＝2－x 是减函数，因为当x ＞2时，f (x )＞1，所以当t ＜0时，a t＞1.所以0＜a ＜1，所以f (x )在R 上是增函数，故选A.3．函数y ＝a x在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( )A ．6B ．1C ．3 D.32解析：选C 函数y ＝a x在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ＜0，a x，x ≥0(a ＞0，且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 解析：选B 由单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，3a ≥a 0，即13≤a ＜1，故选 B. 5．函数f (x )＝⎝ ⎛⎪⎫12________．解析：由于底数12∈(0,1)，所以函数f (x )＝⎝ ⎛⎪⎫12y ＝1－x 2的单调性相反，f (x )＝⎝ ⎛⎪⎫12y ＝1－x 2的单调递减区间．由y ＝1－x 2的图象(图略)可知：当x ≤0时，y ＝1－x 2是增函数；当x ≥0时，y ＝1－x 2是减函数．所以函数f (x )＝⎝ ⎛⎪⎫12的单调递增区间为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)6．已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x，则x 的取值范围是________．解析：∵a 2＋a ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋74>1，∴y ＝(a 2＋a ＋2)x为R 上的增函数． ∴x >1－x .即x >12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 7．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： (1)写出该城市的人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)． (参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127) 解：(1)1年后该城市人口总数为：y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；3年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)3； …x 年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)x .(2)10年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)．8．设函数f (x )＝12－12x ＋1，(1)证明函数f (x )是奇函数；(2)证明函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数； (3)求函数f (x )在[1,2]上的值域．解：(1)证明：函数的定义域为R ，关于原点对称．f (－x )＝12－112x ＋1＝12－2x2x ＋1＝1－2x22x＋1＝－12＋12x ＋1＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．(2)证明：设x 1，x 2是(－∞，＋∞)内任意两实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝12－12x 1＋1－12＋12x 2＋1＝2x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1.因为x 1＜x 2，所以2x 1－2x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数． (3)因为函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数，所以函数f (x )在[1,2]上也是增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝16，f (x )max ＝f (2)＝310.所以函数f (x )在[1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，310.。

高中数学第二章基本初等函数§2.1.1指数(第1—2课时)教案新人教A版必修1

第二课时
提问： 1．习初中时的整数指数幂，运算性质？
an a a a a, a0 1 (a 0) ,0 0无意义
an
1 an
(a 0)
a m a n a m n ; (a m )n a mn
(an )m a mn, (ab) n a nb n
什么叫实数？
有理数，无理数统称实数 . 2．观察以下式子，并总结出规律：
三．学法与教具 1 ．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法 2．教具：多媒体
四、教学设想：
第一课时
一、复习提问：
什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？
归纳：在初中的时候我们已经知道：若
x2 a ，则 x 叫做 a 的平方根 . 同理，若 x3 a ，则 x 叫做 a
的立方根 .
3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模
型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展
.
4. 教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调
整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担
.
5. 通过运用计算机绘制指数函数的动态图象
思考： a n n ( n a ) n 是否成立，举例说明 .
课堂练习： 1. 求出下列各式的值
(1) 7 ( 2)7
(2) 3 (3a 3)3 ( a 1)
4
(3) (3a
3)4
2．若 a2 2a 1 a 1,求 a的取值范围 .
3．计算 3 ( 8)3 4 (3 2)4 3 (2 3)3
三．归纳小结：
即： a n
1
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新人教A版必修1高中数学学案教案：第二章基本初等函数(Ⅰ)

第二章基本初等函数（Ⅰ）一、课标要求：教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题.1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）.4.通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.5.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.6.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.7.知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0,a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义.8.通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数1312,,,y x y x y x y x-====的图象，了解它们的变化情况.二、编写意图与教学建议：1.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设.2.在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展.4.教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担.5.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能 ..6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.三、教学内容与课时安排的建议本章教学时间约为14课时.2.1指数函数： 6课时2.2对数函数： 6课时2.3幂函数： 1课时小结： 1课时§2.1.1 指数（第1—2课时）一．教学目标：1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.二．重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解三．学法与教具1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法2．教具：多媒体四、教学设想：第一课时一、复习提问：什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a =，则x 叫做a 的平方根.同理，若3x a =，则x 叫做a 的立方根.根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2±，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零.二、新课讲解类比平方根、立方根的概念，归纳出n 次方根的概念.n 次方根：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根（throot ），其中n ＞1，且n ∈Ｎ＊,当n 为偶数时，a 的n.n 为奇数时，a 的nn 称为根指数，a 为被开方数.类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？n a n a n a n ⎧⎪⎨±⎪⎩为奇数, 的次方根有一个,为正数:为偶数, 的次方根有两个,为n a n a n a n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根只有一个,为负数:为偶数, 的次方根不存在.零的n0=举例：16的次方根为2±，275-的27-的4次方根不存在.小结：一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数和偶数两种情况.根据n 次方根的意义，可得：n a =n a =a n 的n a =一定成立吗？如果不一定成立，那么让学生注意讨论，n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生分组讨论.通过探究得到：n a =n 为偶数,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩|8|8==-=-=小结：当n 再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误：例题：求下列各式的值（1）(1)(2)(3) (4)分析：当n ||a =，然后再去绝对值.n =是否成立，举例说明.课堂练习：1. 求出下列各式的值1)a ≤21,a a =-求的取值范围.3三．归纳小结：1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n x a x 是的次方根,n 为奇数时,n 为偶数时，x =2．掌握两个公式：(0),||(0)n a a n n a a a ≥⎧==⎨-<⎩为奇数时为偶数时 3．作业：P 59习题2.1 A 组第1题。

【人教A版】高中数学必修一：第2章《基本初等函数(Ⅰ)》导学案设计(含答案) 2.1.2 第2课时

第2课时指数函数及其性质的应用[学习目标] 1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题.知识点一指数型复合函数y＝a f(x)(a>0且a≠1)的单调性(1)复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调递增，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，函数y＝f(g(x))单调递减，简称为同增异减.(2)当a＞1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反.知识点二指数型函数y＝k·a x(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)模型1.指数增长模型设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).2.指数减少模型设原有量为N，每次的减少率为p，经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N).题型一利用指数型函数的单调性比较大小例1比较下列各组中两个值的大小：(1)1.72.5，1.73；(2)0.6－1.2，0.6－1.5；(3)2.3－0.28，0.67－3.1.解(1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数都是1.7，故构造函数y＝1.7x，则函数y＝1.7x在R上是增加的.又2.5<3，所以1.72.5<1.73.(2)(单调性法)由于0.6－1.2与0.6－1.5的底数都是0.6，故构造函数y＝0.6x，则函数y＝0.6x在R 上是减少的.因为－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)(中间量法)由指数型函数的性质，知2.3－0.28<2.30＝1，0.67－3.1>0.670＝1，所以2.3－0.28<0.67－3.1.反思与感悟 1.对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数的单调性来判断.2.对于底数不同、指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数图象的变化规律来判断.3.对于底数不同且指数也不同的幂的大小比较，应通过中间值来比较.4.对于三个(或三个以上)数的大小比较，则应先根据特殊值0,1进行分组，再比较各组数的大小.跟踪训练1 比较下列各题中的两个值的大小： (1)0.8－0.1，0.8－0.2；(2)(13)23-，235-；(3)3－x ，0.5－x (－1<x <0).解 (1)由指数型函数的性质知，y ＝0.8x 是减函数，－0.1>－0.2，所以0.8－0.1<0.8－0.2.(2)由指数函数的性质知(13)23->1,0<235-<1，所以(13)23->235-.(3)∵－1<x <0，∴0<－x <1. 而3>1，因此有3－x >1，又0<0.5<1，∴有0<0.5－x <1， ∴3－x >0.5－x (－1<x <0).题型二利用指数型函数的单调性解不等式例2 (1)解不等式(12)3x －1≤2；(2)已知23+1-x x a<a x ＋6(a >0，a ≠1)，求x 的取值范围.解 (1)∵2＝(12)－1，∴原不等式可以转化为(12)3x －1≤(12)－1.∵y ＝(12)x 在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0. 故原不等式的解集是{x |x ≥0}. (2)分情况讨论：①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上是减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6，∴x 2－4x －5>0，根据相应二次函数的图象可得x <－1或x >5；②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上是增函数， ∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0，根据相应二次函数的图象可得－1<x <5.综上所述，当0<a <1时，x <－1或x >5；当a >1时，－1<x <5.反思与感悟 1.利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.2.解不等式a f (x )>a g (x )(a >0，a ≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即a f (x )>a g (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>g (x )，a >1，f (x )<g (x )，0<a <1.跟踪训练2 (1)不等式4x <42－3x的解集是________.(2)设0<a <1，关于x 的不等式223+7-xx a>222-3+x x a的解集是________.答案 (1){x |x <12} (2){x |x >2}解析 (1)由4x <42－3x，得x <2－3x ，即x <12，所以不等式的解集为{x |x <12}.(2)因为0<a <1，所以y ＝a x 在R 上是减函数. 又223+7-x x a>222-3+x x a，所以2x 2－3x ＋7<2x 2＋2x －3，解得x >2. 所以不等式的解集是{x |x >2}. 题型三指数型函数的单调性例3 判断f (x )＝2213-⎛⎫ ⎪⎝⎭x x的单调性，并求其值域.解令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝⎛⎭⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝⎛⎭⎫13u 在(－∞，＋∞)上递减， ∴y ＝2213-⎛⎫⎪⎝⎭x x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫13u，u ∈[－1，＋∞)， ∴0＜⎝⎛⎭⎫13u ≤⎝⎛⎭⎫13－1＝3， ∴原函数的值域为(0,3].反思与感悟 1.关于指数型函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a ＞1还是0＜a ＜1；二是f (x )的单调性，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成.2.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f [φ(x )]的单调性. 跟踪训练3 求函数y ＝222-+x x的单调区间.解函数y ＝222-+xx的定义域是R .令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝2u .当x ∈(－∞，1]时，函数u ＝－x 2＋2x 为增函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝222-+xx在(－∞，1]上是增函数.当x ∈[1，＋∞)时，函数u ＝－x 2＋2x 为减函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝222-+x x在[1，＋∞)上是减函数.综上，函数y ＝222-+xx的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1].题型四指数型函数的综合应用例4 已知定义在R 上的函数f (x )＝a ＋14x ＋1是奇函数.(1)求a 的值；(2)判断f (x )的单调性(不需要写出理由)；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围. 解 (1)∵f (x )的定义域为R ，且f (x )为奇函数， ∴f (0)＝0，即a ＋12＝0，a ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝－12＋14x ＋1，故f (x )在R 上为减函数. (3)∵f (x )为奇函数，∴f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0可化为f (t 2－2t )<f (k －2t 2)，由(2)知f (x )在R 上单调递减， ∴t 2－2t >k －2t 2，即3t 2－2t －k >0对于一切t ∈R 恒成立， ∴Δ＝4＋12k <0，得k <－13，∴k 的取值范围是(－∞，－13).反思与感悟 1.由f (x )为奇函数求参数值，常用赋值法：若0在定义域内，则利用f (0)＝0；若0不在定义域内，可考虑使用f (1)＋f (－1)＝0.而由f (x )为偶函数求参数值，则常常利用f (1)－f (－1)＝0.2.指数型函数是一种基本的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可. 跟踪训练4 设a ＞0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数.(1)求a 的值；(2)求证f (x )在(0，＋∞)上是增函数.(1)解依题意，对一切x ∈R ，有f (x )＝f (－x )，即e x a ＋a e x ＝1a ex ＋a e x ， ∴⎝⎛⎭⎫a －1a ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立. 由此得到a －1a ＝0，即a 2＝1.又a ＞0，∴a ＝1. (2)证明设0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝e 1x －e 2x ＋1e 1x －1e 2x ＝(e 2x －e 1x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12x +x －1＝(e 2x －e 1x )1－e 12x +xe12x +x .∵0＜x 1＜x 2，∴e 2x ＞e 1x，∴e2x －e 1x＞0.又1－e12x +x ＜0，e 12x +x ＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0， ∴f (x 1)<f (x 2).即f (x )在(0，＋∞)上是增函数.利用图象解决复合函数的单调性例5 已知f (x )＝x 2＋1，g (x )＝|(12)x －1|，求f (g (x ))的单调区间.解由已知，得f (g (x ))＝|(12)x －1|2＋1，则f (g (x ))可以看作u ＝|(12)x －1|与f (u )＝u 2＋1的复合函数.因为u ≥0，所以f (u )是增函数.所以f (g (x ))的单调递增区间就是u ＝|(12)x －1|的单调递增区间，f (g (x ))的单调递减区间就是u＝|(12)x －1|的单调递减区间.作出函数u ＝|(12)x －1|的图象，如图所示，可知u ＝|(12)x －1|的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)，所以f (g (x ))的单调递增区间为[0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0].反思与感悟求复合函数y ＝f (g (x ))的单调区间时，如果内函数y ＝g (x )的图象容易画出，那么就可以通过图象求出这个函数的单调区间，从而简化解题过程. 跟踪训练5 已知函数y ＝(12)|x ＋2|.(1)作出图象；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出，当x 取什么值时，函数有最大值或最小值.解 (1)由解析式可得y ＝(12)|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ＋2(x ≥－2)，2x ＋2(x <－2)，其图象分成两部分：一部分是y ＝(12)x＋2(x ≥－2)的图象，由下列变换可得到，y ＝(12)x ―――――――→向左平移2个单位y ＝(12)x ＋2；另一部分y ＝2x ＋2(x <－2)的图象由下列变换可得到：y ＝2x ―――――――→向左平移2个单位y ＝2x ＋2，如图为函数y ＝(12)|x ＋2|的图象.(2)由图象观察知函数在(－∞，－2]上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数. (3)由图象观察知x ＝－2时，函数y ＝(12)|x ＋2|有最大值，最大值为1，没有最小值.1.已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞a ＞c C.c ＞b ＞a D.c ＞a ＞b答案 D解析先由函数y ＝0.8x 判断前两个数的大小，再用“1”作为中间量比较1.20.8与其他两个数的大小.2.若⎝⎛⎭⎫122a ＋1＜⎝⎛⎭⎫123－2a，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 B解析原式等价于2a ＋1＞3－2a ，解得a ＞12.3.函数y ＝⎝⎛⎭⎫121－x的单调递增区间为( ) A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(0,1) 答案 A解析定义域为R .设u ＝1－x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12u . ∵u ＝1－x 在(－∞，＋∞)上为减函数. 又∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u 在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫121－x 在(－∞，＋∞)上是增函数，∴选A. 4.已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为______. 答案 m <n 解析 ∵0<a ＝5－12<1， ∴f (x )为R 上的减函数， ∴由f (m )>f (n )可知m <n .故填m <n . 5.已知函数f (x )＝a －12x＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝________. 答案 12解析 ∵函数f (x )为奇函数， ∴f (0)＝a －12＝0.∴a ＝12.1.比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数型函数y ＝a x 的单调性.(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m ＜c 且c ＜b n ，则a m ＜b n ；若a m ＞c 且c ＞b n ，则a m ＞b n . 2.指数型函数单调性的应用(1)形如y ＝a f (x )的函数的单调性：令u ＝f (x )，x ∈[m ，n ]，如果两个函数y ＝a u 与u ＝f (x )的单调性相同，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是减函数.(2)形如a x ＞a y 的不等式，当a ＞1时，a x ＞a y ⇔x ＞y ；当0＜a ＜1时，a x ＞a y ⇔x ＜y .一、选择题1.设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5，则( ) A.y 3＞y 1＞y 2 B.y 2＞y 1＞y 3 C.y 1＞y 2＞y 3 D.y 1＞y 3＞y 2答案 D解析 40.9＝21.8,80.48＝21.44，(12)－1.5＝21.5，根据y ＝2x 在R 上是增函数，所以21.8＞21.5＞21.44，即y 1＞y 3＞y 2，故选D.2.若(14)2a ＋1<(14)8－2a ，则实数a 的取值范围是( )A.(74，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，74)答案 A解析函数y ＝(14)x 在R 上为减函数，所以2a ＋1>8－2a ，所以a >74.故选A.3.函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C解析由已知得a 0＋a 1＝3，所以1＋a ＝3，所以a ＝2. 4.设14<(14)b <(14)a <1，那么( )A.a a <a b <b aB.a a <b a <a bC.a b <a a <b aD.a b <b a <a a答案 C解析 ∵14<(14)b <(14)a <1，∴0<a <b <1，∴根据y ＝a x 的单调性可知a a >a b ，根据y ＝x a 的单调性可知a a <b a ， ∴a b <a a <b a .5.设f (x )＝(12)|x |，x ∈R ，那么f (x )是( )A.奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数B.偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数C.奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D.偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数答案 D解析 ∵f (－x )＝(12)|－x |＝(12)|x |＝f (x )，知f (x )为偶函数，又x >0时，f (x )＝(12)x 在(0，＋∞)上单调递减.6.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＞1，(4－a2)x ＋2，x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A.(1，＋∞) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8)答案 D解析由题意可知，f (x )在R 上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－a2＞0，a ＞1，4－a 2＋2≤a ，解得4≤a ＜8，故选D.二、填空题7.函数y ＝2－x 2＋ax 在(－∞，1)内单调递增，则a 的取值范围是________. 答案 [2，＋∞)解析由复合函数的单调性知，－x 2＋ax 的对称轴x ＝a2≥1，即a ≥2.8.若函数f (x )＝⎩⎨⎧1x，x ＜0，(13)x，x ≥0，则不等式f (x )≥13的解集为________.答案 {x |0≤x ≤1}解析 (1)当x ≥0时，由f (x )≥13得(13)x ≥13，∴0≤x ≤1.(2)当x ＜0时，不等式1x ≥13明显不成立，综上可知，不等式f (x )≥13的解集是{x |0≤x ≤1}.9.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次. 答案 4解析设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的14；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的14，也就是原来的⎝⎛⎭⎫142，经过第三次漂洗，存留量为原来的⎝⎛⎭⎫143，……，经过第x 次漂洗，存留量为原来的⎝⎛⎭⎫14x，故解析式为y ＝⎝⎛⎭⎫14x .由题意，⎝⎛⎭⎫14x ≤1100，4x ≥100，2x ≥10，∴x ≥4，即至少漂洗4次.10.设函数y ＝1＋2x ＋a ·4x ，若函数在(－∞，1]上有意义，则实数a 的取值范围是_____. 答案 [－34，＋∞)解析设t ＝2x ，∵x ∈(－∞，1]，∴0<t ≤2.则原函数有意义等价于1＋t ＋at 2≥0在t ∈(0,2]上恒成立， ∴a ≥－t ＋1t 2，设f (t )＝－1＋tt 2，则f (t )＝－1＋t t 2＝－(1t ＋12)2＋14，∵0<t ≤2，所以1t ∈[12，＋∞)，∴f (t )≤f (12)＝－34，∴a ≥－34.三、解答题11.已知函数f (x )＝1＋22x －1.(1)求函数f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )在(－∞，0)上为减函数. (1)解 f (x )＝1＋22x －1，∵2x －1≠0，∴x ≠0.∴ 函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}. (2)证明设任意x 1，x 2∈(－∞，0)且x 1＜x 2.f (x 1)－f (x 2)＝221x －1－222x －1＝2(22x －21x )(21x －1)(22x －1). ∵x 1，x 2∈(－∞，0)且x 1＜x 2，∴22x ＞21x 且21x ＜1,22x ＜1.∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2).∴函数f (x )在(－∞，0)上为减函数.12.已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)如果函数f (x )有最大值3，求实数a 的值.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝24313--+⎛⎫ ⎪⎝⎭x x ，令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7，由于g (x )在(－2，＋∞)上递减，y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数，∴f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，即f (x )的单调增区间是(－2，＋∞).(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1.因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.13.已知函数f (x )＝a x －1a x ＋1(a >0且a ≠1). (1)求f (x )的定义域、值域；(2)判断f (x )的奇偶性；(3)讨论f (x )的单调性；(4)若f (x )<2b ＋1恒成立，求b 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为{x |x ∈R }，由f (x )＝a x －1a x ＋1＝1－2a x ＋1， ∵a x >0，∴a x ＋1>1，∴0<1a x ＋1<1，∴－2<－2a x ＋1<0，∴－1<1－2a x ＋1<1. ∴f (x )的值域为(－1,1).(2)∵f (－x )＝a －x －1a －x ＋1＝1－a x1＋a x＝－f (x )，又x ∈R ，∴f (x )为奇函数.(3)方法一当a >1时，∵y ＝a x ＋1为增函数，且a x ＋1>0，∴y ＝2a x ＋1为减函数，从而f (x )＝1－2a x ＋1＝a x －1a x ＋1为增函数. 同理可得，当0<a <1时，f (x )＝a x －1a x ＋1为减函数. 方法二任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝a 2x －1a 2x ＋1－a 1x －1a 1x ＋1＝2(a 2x －a 1x )(a 2x ＋1)(a 1x ＋1)，当a >1时，∵x 2>x 1，∴a 2x >a 1x ，∴f (x 2)>f (x 1)， ∴当a >1时，f (x )在R 上单调递增，同理，当0<a <1时，f (x )在R 上单调递减.(4)由f (x )<2b ＋1恒成立，得f (x )max <2b ＋1， ∴2b ＋1≥1，∴b ≥0.。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质教学设计新人教A版必修1

2.1.2 指数函数及其性质整体设计教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学(1)》(人教A版)第二章第一节第二课(2.1.2)《指数函数及其性质》．根据实际情况，将《指数函数及其性质》划分为三节课〔指数函数的图象及其性质，指数函数及其性质的应用(1)，指数函数及其性质的应用(2)〕，这是第一节课“指数函数的图象及其性质”．指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究．学生学习情况分析指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用．教材在之前的学习中给出了两个实际例子(GDP的增长问题和碳14的衰减问题)，已经让学生感受到了指数函数的实际背景，但这两个例子的背景对于学生来说有些陌生．本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望．设计思想1．函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置．如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机地结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望——持久的好奇心．我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的．本节课力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．2．在本节课的教学中我努力实践以下两点：(1)在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式．(2)在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法．3．通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法．教学目标根据学生的实际情况，本节课的教学目标是：理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识．重点难点教学重点：指数函数的概念、图象和性质．教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质.教学过程一、创设情境、提出问题(约3分钟)师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重．师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？学情预设学生可能说出很多或能算出具体数目．师：大家能否估计一下51号同学该准备的米有多重吗？教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨．师：1.2亿吨是一个什么概念？根据2007年9月13日美国农业部发布的最新数据显示，2007～2008年度我国大米产量预计为1.27亿吨．这就是说51号同学所需准备的大米相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！设计意图用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望．在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y表示，每位同学的座号数用x表示，y与x之间的关系分别是什么？学生很容易得出y＝2x(x∈N*)和y＝2x(x∈N*)．学情预设学生可能会漏掉x的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中x的取值范围．二、师生互动、探究新知1．指数函数的定义师：其实，在本章开头的问题中，也有一个与y＝2x类似的关系式y＝1.073x(x∈N*，x≤20)．(1)让学生思考讨论以下问题(问题逐个给出，约3分钟)：①y＝2x(x∈N*)和y＝1.073x(x∈N*，x≤20)这两个解析式有什么共同特征？②它们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？设计意图引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型．学生对比已经学过的一次函数、反比例函数、二次函数，发现y ＝2x ，y ＝1.073x 是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣．引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量．师：如果可以用字母a 代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成y ＝a x 的形式．自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数．(2)让学生讨论并给出指数函数的定义(约6分钟)．对于底数的分类，可将问题分解为：①若a ＜0，会有什么问题？(如a ＝－2，x ＝12，则在实数范围内相应的函数值不存在) ②若a ＝0，会有什么问题？(对于x ≤0，a x 都无意义)③若a ＝1又会怎么样？(1x 无论x 取何值，它总是1，对它没有研究的必要)师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定a ＞0且a ≠1.在这里要注意生生之间、师生之间的对话．①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，为什么要求a ＞0，且a ≠1；a ＝1为什么不行？②若学生只给出y ＝a x ，教师可以引导学生通过类比一次函数(y ＝kx ＋b ，k ≠0)、反比例函数(y ＝k x ，k ≠0)、二次函数(y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ≠0)中的限制条件，思考指数函数中底数的限制条件．学情预设设计意图①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值；②讨论出a ＞0，且a ≠1，也为下面研究性质时对底数的分类做准备．接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如y ＝2×3x ，y ＝32x ，y ＝－2x.学情预设学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其他的．设计意图加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解．2．指数函数的性质(1)提出两个问题(约3分钟)①目前研究函数一般可以包括哪些方面？设计意图让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三要素(对应法则、定义域、值域)和函数的基本性质(单调性、奇偶性)．②研究函数(比如今天的指数函数)可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手(即底数取一些数值)；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考．设计意图①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从图象和解析式(包括列表)两个不同的角度对函数进行研究；②对学生进行数学思想方法(从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论)的有机渗透．(2)分组活动，合作学习(约8分钟)师：下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究．①让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手(不画图)研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数；②每一大组再分为若干合作小组(建议4人一小组)；③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流．学情预设考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导．通过自主探索、合作学习，不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解．设计意图(3)交流、总结(约10～12分钟)师：下面我们开一个成果展示会！教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果．教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析．这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其他性质？师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢？〔〕如过定点(0，1)，y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 的图象关于y 轴对称学情预设①首先选一个从解析式的角度研究的小组上台汇报；②对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报；③问其他小组有没有不同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界，教师可以马上通过电脑操作看函数图象的变化．设计意图①函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以从多个角度入手，从图象角度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的．②让学生上台汇报研究成果，使学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养；③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题，使该难点的突破显得自然．师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性，以及过定点(0,1)，但定义域、值域却不可确定；从解析式(结合列表)可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到．教师通过几何画板中改变参数a的值，追踪y＝a x的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律．师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书．0＜a＜1a＞1(0，＋∞)过定点(0,1)1．例：已知指数函数f(x)＝a x(a＞0，且a≠1)的图象经过点(3，π)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．解：因为f(x)＝a x的图象经过点(3，π)，所以f(3)＝π，即a 3＝π.解得13πa =，于是f (x )＝3πx . 所以f (0)＝1，f (1)＝3π，f (－3)＝1π. 设计意图通过本题加深学生对指数函数的理解．师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即布列一个方程就可以了．设计意图让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想．2．练习：(1)在同一平面直角坐标系中画出y ＝3x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的大致图象，并说出这两个函数的性质；(2)求下列函数的定义域：①y =112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 3．师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？学情预设学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数．设计意图①让学生再一次复习对函数的研究方法(可以从多个角度进行)，让学生体会本节课的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．②总结本节课中所用到的数学思想方法．③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通．4．作业：课本习题2.1A 组 5.教学反思1．本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”．2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本节课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的变化过程，让学生直观地观察底数对指数函数单调性的影响．3．在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉地运用这些数学思想方法去分析、思考问题．指数函数及其性质的应用整体设计三维目标1．知识与技能理解指数函数的图象和性质，会利用性质来解决问题．2．过程与方法能利用指数函数的图象和性质来比较两个值的大小，图象间的平移，去探索利用指数函数的单调性来求未知字母的取值范围．3．情感、态度与价值观在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．重点难点教学重点：指数函数的图象和性质．教学难点：指数函数的性质应用．教学过程第2课时指数函数及其性质的应用(1)作者：王建波导入新课思路1．复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质，下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质．如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题，这就是本堂课要讲的主要内容．教师板书课题．思路2．我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在理论上，我们能否严格的证明(特别是指数函数的单调性)，以便于我们在解题时应用这些性质，本堂课我们要解决这个问题．教师板书课题：指数函数及其性质的应用(1)．应用示例例1 比较下列各题中的两个值的大小：(1)1.72.5与1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2；(3)1.70.3与0.93.1.活动：学生自己思考或讨论，回忆比较数的大小的方法，结合题目实际，选择合理的方法，再写出答案(最好用实物投影仪展示写得正确的答案)．比较数的大小，一是作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大；图1二是作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小；三是计算出每个数的值，再比较大小；四是利用图象；五是利用函数的单调性．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正并评价．解法一：用数形结合的方法，如第(1)小题，用图形计算器或计算机画出y＝1.7x的图象，如图1.在图象上找出横坐标分别为2.5,3的点，显然，图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以1.72.5＜1.73，同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91，所以1.72.5＜1.73.同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.解法三：利用函数单调性，(1)1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数y＝1.7x，当x＝2.5和3时的函数值；因为1.7＞1，所以函数y＝1.7x在R上是增函数，而2.5＜3，所以1.72.5＜1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2的底数是0.8，它们可以看成函数y＝0.8x，当x＝－0.1和－0.2时的函数值；因为0＜0.8＜1，所以函数y＝0.8x在R上是减函数，而－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2；(3)因为1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1，所以1.70.3＞0.93.1.点评：在第(3)小题中，可以用解法一、解法二解决，但解法三不适合．由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小，这里的1是中间值．思考在上面的解法中，你认为哪种方法更实用？活动：学生对上面的三种解法作比较，解题有法但无定法，我们要采取多种解法，在多种解法中选择最优解法，这要通过反复练习强化来实现．例活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤，单调性的定义证明函数的单调性，要按规定的格式书写．证法一：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2－y 1＝21121(1)x x x x a a a a x -=--．因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以21>1x x a-，即21x x a -－1＞0. 又因为1x a ＞0，所以y 2－y 1＞0，即y 1＜y 2.所以当a ＞1时，y ＝a x，x ∈R 是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x 是减函数．证法二：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2与y 1都大于0，则y 2y 1＝2211x x x x a a a -=. 因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以21>1x x a-＞1，即y 2y 1＞1，y 1＜y 2. 所以当a ＞1时，y ＝a x ，x ∈R 是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x是减函数．例1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)?活动：师生共同讨论，将实际问题转化为数学表达式，建立目标函数，常采用特殊到一般的方式，教师引导学生注意题目中自变量的取值范围，可以先考虑一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底人口约为13亿；经过1年人口约为13(1＋1%)亿；经过2年人口约为13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2亿；经过3年人口约为13(1＋1%)2(1＋1%)＝13(1＋1%)3亿；……经过x 年人口约为13(1＋1%)x亿；经过20年人口约为13(1＋1%)20亿．解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿，则 y ＝13(1＋1%)x ，当x ＝20时，y ＝13(1＋1%)20≈16(亿)．答：经过20年后，我国人口数最多为16亿．点评：类似此题，设原值为N ，平均增长率为p ，则对于经过时间x 后总量y ＝N (1＋p )x (x ∈N )，像y ＝N (1＋p )x 等形如y ＝ka x (k ∈R ，且k ≠0；a ＞0，且a ≠1)的函数称为指数型函数．知能训练1．函数y ＝a |x |(a ＞1)的图象是( )图2解析：当x ≥0时，y ＝a |x |＝a x 的图象过(0,1)点，在第一象限，图象下凸，是增函数．答案：B2．下列关系中正确的是( )A ．221333111252⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．122333111225⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．212333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．221333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案：D3．已知函数f (x )的定义域是(0,1)，那么f (2x)的定义域是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞) 解析：由题意得0＜2x ＜1，即0＜2x ＜20，所以x ＜0，即x ∈(－∞，0)．答案：C4．若集合A ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则( ) A ．AB B ．AB C ．A ＝B D ．A ∩B ＝∅解析：A ＝{y |y ＞0}，B ＝{y |y ≥0}，所以A B .答案：A5．对于函数f (x )定义域中的任意的x 1、x 2(x 1≠x 2)，有如下的结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2.当f (x )＝10x时，上述结论中正确的是__________．解析：因为f (x )＝10x，且x 1≠x 2，所以f (x 1＋x 2)＝1212101010x x xx +=⋅＝f (x 1)·f (x 2)，所以①正确；因为f (x 1·x 2)＝1212101010x x xx ⋅≠+＝f (x 1)＋f (x 2)，②不正确；因为f (x )＝10x是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2同号，所以f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，所以③正确．因为函数f (x )＝10x图象如图3所示是上凹下凸的，可解得④正确．图3答案：①③④另解：④.∵10x 1＞0,10x 2＞0，x 1≠x 2，∴1210102xx +>1210102xx +>即121221010102x x x x ++>.∴f (x 1)＋f (x 2)2＞f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.拓展提升在同一坐标系中作出下列函数的图象，讨论它们之间的联系． (1)①y ＝3x，②y ＝3x ＋1，③y ＝3x －1；(2)①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1.活动：学生动手画函数图象，教师点拨，学生没有思路，教师可以提示．学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图象，特别是关键点．解：如图4及图5.观察图4可以看出，y ＝3x，y ＝3x ＋1，y ＝3x －1的图象间有如下关系：y ＝3x ＋1的图象由y ＝3x 的图象左移1个单位得到； y ＝3x －1的图象由y ＝3x 的图象右移1个单位得到； y ＝3x －1的图象由y ＝3x ＋1的图象向右移动2个单位得到．观察图5可以看出，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象间有如下关系：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象左移1个单位得到；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象右移1个单位得到； y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象向右移动2个单位得到．你能推广到一般的情形吗？同学们留作思考．课堂小结思考本节课我们主要学习了哪些知识，你有什么收获？把你的收获写在笔记本上.活动：教师用多媒体显示以下内容，学生互相交流学习心得，看是否与多媒体显示的内容一致．本节课，在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想，加深了对问题的分析能力，形成了一定的能力与方法．作业课本习题2.1 B组1,3,4.设计感想本节课主要是复习巩固指数函数及其性质，涉及的内容较多，要首先组织学生回顾指数函数的性质，为此，必须利用函数图象，数形结合，通过数与形的相互转化，借助形的直观性解决问题，本节课要训练学生能够恰当地构造函数，根据函数的单调性比较大小，有时要分a＞1,0＜a＜1，这是分类讨论的思想，因此加大了习题和练习的量，目的是让学生在较短的时间内，掌握学习的方法，提高分析问题和解决问题的能力，要加快速度，多运用现代化的教学手段．第3课时指数函数及其性质的应用(2)作者：刘玉亭导入新课思路1．我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在上节课的探究中我们知道，函数①y＝3x，②y＝3x＋1，③y＝3x－1的图象之间的关系，由其中的一个可得到另外两个的图象，那么，对y＝a x与y＝a x＋m(a＞0，m∈R)有着怎样的关系呢？在理论上，含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢？这是我们本堂课研究的内容．教师点出课题：指数函数及其性质的应用(2)．思路2．我们在第一章中，已学习了函数的性质，特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点，我们刚刚学习的指数函数，严格地证明了指数函数的单调性，便于我们在解题时应用这些性质，在实际生活中，往往遇到的不单单是指数函数，还有其他形式的函数，有的是指数函数的复合函数，我们需要研究它的单调性和奇偶性，这是我们面临的问题，也是我们本节课要解决的问题——指数函数及其性质的应用(2)．推进新课新知探究提出问题(1)指数函数有哪些性质？(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些？(3)对复合函数，如何证明函数的单调性？(4)如何判断函数的奇偶性，有哪些方法？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容．讨论结果：(1)指数函数的图象和性质一般地，指数函数y＝a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：图象分布在一、二象限，与轴相交，落在x轴的上方都过点(0,1)第一象限的点的纵坐标都大于1第二象限的点的纵坐标都大于第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1；第二象限的点①取值．即设x1，x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.②作差变形．即求f(x2)－f(x1)，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号．根据给定的区间和x2－x1的符号确定f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论．④判断．根据单调性定义作出结论．(3)对于复合函数y＝f(g(x))可以总结为：当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f(g(x))是增函数；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f(g(x))是减函数；又简称为口诀“同增异减”．(4)判断函数的奇偶性：一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考查式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性；二是作出函数图象或从已知图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．应用示例例 1 在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y＝2x的图象的关系．(1)y＝2x＋1与y＝2x＋2；(2)y＝2x－1与y＝2x－2.活动：教师适当时候点拨，学生回想作图的方法和步骤，特别是指数函数图象的作法，学生回答并到黑板上作图，教师指点学生，列出对应值表，抓住关键点，特别是(0,1)点，或用计算机作图．解：(1)列出函数数据表作出图象如图6.图6比较可知函数y＝2x＋1、y＝2x＋2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x＋1的图象；将指数函数y＝2x的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x＋2的图象．(2)列出函数数据表作出图象如图7.图7比较可知函数y ＝2x －1、y ＝2x －2与y ＝2x的图象的关系为：将指数函数y ＝2x的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y ＝2x －1的图象；将指数函数y ＝2x的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y ＝2x －2的图象．点评：类似地，我们得到y ＝a x与y ＝ax ＋m(a ＞0，a ≠1，m ∈R )之间的关系：y ＝a x ＋m (a ＞0，m ∈R )的图象可以由y ＝a x 的图象变化而来．当m ＞0时，y ＝a x的图象向左移动m 个单位得到y ＝ax ＋m的图象；当m ＜0时，y ＝a x 的图象向右移动|m |个单位得到y ＝a x ＋m的图象．上述规律也简称为“左加右减”．例2 已知定义域为R 的函数f (x )＝2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．活动：学生审题，考虑解题思路．求值一般是构建方程，求取值范围一般要转化为不等式，如果有困难，教师可以提示，(1)从条件出发，充分利用奇函数的性质，由于定义域为R ，所以f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，(2)在(1)的基础上求出f (x )，转化为关于k 的不等式，利用恒成立问题再转化．(1)解：因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1.所以f (x )＝1－2xa ＋2x ＋1；。

人教版2020高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数及其性质(1)导学案新人教A版必修1

2.1.2指数函数及其性质（1）【导学目标】1.使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与其他学科的联系；2.理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象，并理解指数函数的性质；3.在学习的过程中体会研究指数函数及其性质的过程和方法.【自主学习】新知梳理：一般地，函数xa y =（ __ ___ ）叫做指数函数，其中函数的定义域是 _ __ . 对点练习：1. 函数x y 53⋅=是指数函数吗？对点练习：2. 函数1)31()(-=x x f 的定义域是 2.指数函数的图象与性质（以2x y =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为例）（1）列表、描点、作图象（2）两个图象的关系函数x y 2=与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象都经过定点，它们的图象关于对称.通过图象的上升和下降可以看出，函数是定义域上的增函数；函数是定义域上的减函数. 对点练习：3. .函数x y -=2的图像是( )AB C D对点练习：4.函数x a x f )1()(-=在R 上为增函数，则a 的取值范围是【合作探究】典例精析例题1：函数x a a a x f )33()(2+-=是指数函数，则有（）A.1=a 或2=aB. 1=aC.2=aD.0>a 且1≠a变式训练1：下列函数中，指数函数的个数是（）①x y 32⋅= ②13+=x y③ x y 3= ④3x y =A.0B.1C.2D.3例2：比较下列各题中两个值的大小：（1）5.27.1，37.1；（2）1.08.0-，2.08.0-；（3）3.07.1，1.39.0.变式练习2：已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b例3.求下列指数函数的定义域和值域：（1）142x y -=；（2）y =变式练习3：(1)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为() A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，x ∈[－1,2]的值域为________．【课堂小结】。

2019高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数及其性质(1)导学案新人教A版必修1

精品试卷2.1.2指数函数及其性质（1）【导学目标】1.使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与其他学科的联系；2.理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象，并理解指数函数的性质；3.在学习的过程中体会研究指数函数及其性质的过程和方法.【自主学习】新知梳理：一般地，函数xa y =（ __ ___ ）叫做指数函数，其中函数的定义域是 _ __ . 对点练习：1. 函数x y 53⋅=是指数函数吗？对点练习：2. 函数1)31()(-=x x f 的定义域是 2.指数函数的图象与性质（以2x y =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为例）（1）列表、描点、作图象（2）两个图象的关系函数x y 2=与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象都经过定点，它们的图象关于对称.通过图象的上升和下降可以看出，函数是定义域上的增函数；函数是定义域上的减函数. 对点练习：3. .函数x y -=2的图像是( )对点练习：4.函数x a xf )1()(-=在R 上为增函数，则a 的取值范围是A B C D【合作探究】典例精析例题1：函数x a a a x f )33()(2+-=是指数函数，则有（）A.1=a 或2=aB. 1=aC.2=aD.0>a 且1≠a变式训练1：下列函数中，指数函数的个数是（）①x y 32⋅= ②13+=x y③ x y 3= ④3x y =A.0B.1C.2D.3例2：比较下列各题中两个值的大小：（1）5.27.1，37.1；（2）1.08.0-，2.08.0-；（3）3.07.1，1.39.0.变式练习2：已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b例3.求下列指数函数的定义域和值域：（1）142x y -=；（2）y =变式练习3：(1)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为() A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，x ∈[－1,2]的值域为________．【课堂小结】。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数及其性质课堂导学案新人教A版必修1

2.1.2 指数函数及其性质课堂导学三点剖析一、指数函数的概念图象及性质【例1】下列函数是指数函数吗?分别求函数的定义域、值域.(1)y=56x+1; (2)y=(21)3x ; (3)y=x 17.0; (4)y=π-x ;(5)y=(2a-1)x (a>21,且a ≠1); (6)y=x --21. 思路分析:一个函数是否为指数函数要根据定义进行判断,不是指数函数的函数,求其定义域、值域时,先求定义域,再按复合函数结构特征去求值域.解:(1)y=56x+1=5·(56)x 不是指数函数,其定义域为R,设t=6x+1,则t ∈R,y=5t ∈(0,+∞). (2)y=(21)3x =［(21)3］x =(81)x 是指数函数,定义域为R,值域为(0,+∞). (3)y=x 17.0不是指数函数,要使解析式有意义,必须x ≠0,定义域为{x|x ≠0}.设t=x1,则t ∈(-∞,0)∪(0,+∞),y=0.7t ∈(0,1)∪(1,+∞). (4)y=π-x =(π1)x 是指数函数,其定义域为R,值域为(0,+∞). (5)y=(2a-1)x (a>21且a ≠1)是指数函数,其定义域为R,值域为(0,+∞). (6)y=x --21不是指数函数,要使函数有意义,必须1-2-x ≥0,即1-(21)x ≥0,也就是(21)x ≤1=(21)0,得x ≥0,定义域为{x|x ≥0}. 令t=1-(21)x ,当x ≥0时,0<(21)x ≤1,0≤1-(21)x <1,因此t ∈［0,1］,y=t ∈［0,1］. 【例2】比较下列各组数的大小: (1)5335.0--3235.0-; (2)π0.3,0.923.5.思路分析:利用指数函数单调性可直接比较a α与a β的大小.当底数不同时,往往需要插入中间值如1进行大小比较.解:(1)由于y=0.35x 在(-∞,+∞)上是减函数,又-53>-32, 因此,5335.0-<3235.0-.(2)由于π>1,因此π0.3>π0=1,0<0.92<1,则0.923.5<0.920=1,从而有π0.3>0.923.5.温馨提示因为a 0=b 0=1,当a α、b β比较大小时(a 、b>0,且a 、b ≠1),往往插入中间值1,使a α、b β能够通过与1的比较进而区别大小.二、指数函数性质的应用【例3】根据所给条件,确定x 的取值范围. (1)(21)-3x+5<2; (2)(2a-1)x-5>(2a-1)2x-1(a>21且a ≠1). 思路分析:此类题目解决的依据是指单调性.解:(1)(21)-3x+5<2⇔(2-1)-3x+5<2⇔23x-5<2. 由单调性可知3x-5<1,即x<2.(2)当0<2a-1<1,即21<a<1. (2a-1)x-5>(2a-1)2x-1⇔x-5<2x-1,得x>-4;当2a-1>1,即a>1.(2a-1)x-5>(2a-1)2x-1⇔x-5>2x-1,得x<-4.温馨提示求解指数中含有未知数的不等式时，必须注意底数是大于1还是大于零且小于1，然后再利用相应指数函数单调性进行解答，可归纳为：当a ＞1时，)(x f a＞)(x g a ⇔f （x ）＞g （x ）；当0＜a<1时，)(x f a＞)(x g a ⇔f （x ）＜g （x ）.三、指数函数的单调性【例4】试判断函数f （x ）=2xx a a --的单调性. 错解：设x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f （x 1）-f （x 2）=211x x a a ---222x x a a -=2)()(1221x x x x a a a a ---+-. ∵x 1＜x 2，∴-x 1＞-x 2.∴a x 1＜a x 2，a -x 1＞a -x 2.∴a x 1-a x 2＜0，a -x 2-a -x 1＜0.∴f （x 1）-f （x 2）＜0.∴f （x 1）＜f （x 2），即f （x ）=2xx a a --是增函数. 错因分析：上述解法错误的原因是忽略了指数函数的单调性，应在a ＞1与0＜a ＜1中分别讨论.正解：设x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f （x 2）-f （x 1）=222x x a a ---211x x a a --=2)()(2112x x x x a a a a ---+-. ∵x 1＜x 2，∴-x 1＞-x 2.当a ＞1时，a x 1＜a x 2，a -x 1＞a -x 2，∴a x 2-a x 1＞0，a -x 1-a -x 2＞0，∴f （x 2）-f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1），此时f （x ）是增函数.当0＜a ＜1时，a x 1＞a x 2，a -x 1＜a -x 2，∴a x 2-a x 1＜0，a -x 1-a -x 2＜0，∴f （x 2）-f （x 1）＜0，即f （x 2）＜f （x 1）此时f （x ）是减函数.故当a ＞1时，f （x ）是增函数，当0＜a ＜1时，f （x ）是减函数.温馨提示指数函数y=a x 单调性与底数a 有关，当a ＞1时，单调递增；当0＜a ＜1时，单调递减.初学者，在解题时最容易忽视这一点，如x x -2)21(＞（21）x ⇔x 2-x ＞x ，再如，若x 2-x ＞x 得x x a -2＞a x .应熟练掌握如下等价式：当a ＞1时，)(x f a＞)(x f a ＝⇔f （x ）g （x ）当0＜a ＜1时，)(x f a ＞)(x g a ⇔f （x ）＜g （x ）.各个击破类题演练1(1)指出下列函数哪些是指数函数：（1）y=x 4; （2）y=-4x ;（3）y=（-4）x ; （4）y=x x ;（5）y=2x 2; （6）y=πx .答案：（6）是指数函数.(2)求下列函数的定义域和值域: (1)y=13+-x ; (2)y=93-x ;(3)y=0.2-x +25x +1; (4)y=212x --.解析：（1）∵-x+1≥0，∴x≤1.∴定义域为{x|x≤1}，值域［1，+∞］.（2）∵3x -9≥0，∴x≥2，∴定义域为{x|x≥2},值域为［0，+∞］.（3）y=（5x ）2+5x +1,定义域为R ，值域为（1，+∞）.。

高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.1.1指数函数导学案无答案新人教A版必修(1)

A.一定是零 4. 3 2 x
3 4
中 x 的取值范围是_____________.
【层次三】 5. 若 x x
1
2 ，则 x 2 x 2 _____________.
1 1 3 x, x 1 2 6.已知函数 f ( x) 3 , 则 f (3 ) f (5 3 4 ) _________. x 52 3, x 1
a
1 2. 计算： 0.25 2
【层次二】 3.设 n N ,
*
1 2 4 2 0 =_____________. 16
1 n 1 1 n 2 1 的值为（ 8
B.一定是偶数

） C.是整数，但不一定是偶数 D.不一定是整数
n 为偶数时，正数的 n 次方根 __________________ ，用 ________ 表示，负数
______________, 用________表示； ③ ④ 0 的任何次方根_______________.
a
n
n
_______________ .
n
2.1.1 指数函数
1．了解指数函数模型背景及实用性必要性，了解根式的概念及表示方法．理解根式的学习目标概念； 2．正确理解分数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算. 学习疑问学习建议
【相关知识点回顾】 1. 提问：正方形面积公式？正方体的体积公式？ 2. 回顾初中根式的概念? 【预学能掌握的内容】 1. 根式 ⑴ n 次方根： ____________________________________________________. ⑵ 根式: ____________________________________________________. 相关结论：当 n 为奇数时，正数的 n 次方根_______________，负数的 n 次方根___________，均用___________表示. ② 当

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)212 指数函数及其性质导学案(无答案)新人教A版必修1 学案

2.1.2指数函数及其性质学习目标1．了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质； 2．熟练掌握指数函数概念、图象、性质；掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性.学习疑问学习建议【相关知识点回顾】1．拫式、零指数、负指数、分数指数幂的意义是怎样的？ 2．有理指数幂的运算法则可归纳为几条？【预学能掌握的内容】1. 指数函数的定义：．2. 一般地，函数(0,1)xy a a a =>≠且的图像和性质：a >1 0<a <1图象性[来源:] 质(1)定义域： (2)值域：(3)过定点，即x = 时，y =(4)在上是增函数在上是减函数(5)当0>x 时，当0<x 时，当0>x 时，当0<x 时，【探究点一】下列函数中是指数函数的是（）A.31x y = B. ()xy 3-= C. xy 3-= D. ()xy 3-=π〖课堂检测〗函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为．【探究点二】求下列函数的定义域：函数9322-=-x y 的定义域为．〖课堂检测〗求下列函数的定义域及值域⑴ 442x y -=； ⑵23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【探究点三】比较下列各题中的个值的大小⑴ 2.51.7与31.7； ⑵-0.10.8与0.20.8-； ⑶0.31.7与 3.10.9〖课堂检测〗比较下列各组数的大小：⑴ 122()5- 320.4-（）； ⑵0.7633（） 0.753-（）.〖概括总结〗【层次一】1．若集合{}{}R x x y y B R x y y A x∈==∈==,,,22，则（）A.B A ⊆B. B ⫋AC. B A =D. =⋂B A Φ 【层次二】 2. 函数0(32>-=+a ay x ；且)1≠a 的图象过定点______．3. 比较下列各组数的大小：⑴132220.45与（）--⎛⎫ ⎪⎝⎭； ⑵()0.760.75333与-⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．【层次三】4. 如图，曲线4321,,,C C C C 分别是指数函数xxxxd y c y b y a y ====,,,的图像，则d c b a ,,,与1的大小关系是（）A. d c b a <<<<1B. c d b a <<<<1C. d c a b <<<<1D. d c a b <<<<1 5. 求21221x xy 的最小值以及达到最小值时的x 的值．。

人教A版高中数学必修1第二章基本初等函数(1)2.1 指数函数导学案(2)

数知识：作为实数变量x的函数，有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如的指数函数欧拉数e 的指数函数。

指数函数的一般形式为(a>0且≠1) (x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a>0且a≠1如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

在函数中可以看到（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过指数函数线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。

（7）函数总是通过（0，1）这点,(若,则函数定过点(0,1+b))（8）指数函数无界。

（9）指数函数是非奇非偶函数（10）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。

2公式推导e的定义：()'指数函数======特殊地，当a=e时，()'=(ln x)'=1/x。

方法二：设，两边取对数ln y=xln a两边对x求导：y'/y=ln a，y'=yln a=a^xln a特殊地，当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。

eº=13函数图像指数函数（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。

（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。

（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y 轴左边“底大图低”。

（如右图）。

(4)与的图像关于y轴对称。

4幂的比较比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。

比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。

【人教A版】高中数学必修一：第2章《基本初等函数(Ⅰ)》导学案设计(含答案)

知识点一指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象与性质一般地，指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象与性质如下表所示：R注意(1)对于a>1与0<a<1，函数值的变化是不同的，因而利用性质时，一定要注意底数的范围，通常要用到分类讨论思想.(2)a>1时，a值越大，图象向上越靠近y轴，递增速度越快；0<a<1时，a值越小，图象向上越靠近y轴，递减速度越快.(3)在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图.知识点二对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象与性质定义域是(0，＋∞)知识点三对数函数与指数函数的关系对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与指数函数y＝a x(a>0且a≠1)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称.(如图)知识点四幂函数y＝xα的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上为增函数；(3)如果α<0，则幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 从原点趋向于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴；(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数.题型一有关指数、对数的运算问题指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容.指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等.换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用.例1 (1)化简：4133223384-+a a b b a÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3ab ； (2)计算：2log 32－log 3329＋log 38－5log 325. 解 (1)原式＝1111333311111122333333(8)(2)2()2-⨯⨯++-a a b aa b b a b a a b＝11113333(8)8-⨯⨯=-a a b a a b a b(2)原式＝log 34－log 3329＋log 38－52log 35＝log 3(4×932×8)－52log 35＝log 39－9＝2－9＝－7.跟踪训练1 (1681)34-＋log 354＋log 345＝________.答案278解析 (1681)34-＋log 354＋log 345＝(23)－3＋log 31＝278＋0＝278.题型二函数的图象函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及.考查形式有知式选图、知图造式、图象变换以及用图象解题.函数图象形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果.例2 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )答案 A解析函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象如图所示，关于y ＝x 对称的图象大致为A 选项对应图象.跟踪训练2 函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )答案 D解析当x >0时，y ＝xa x |x |＝a x .又0<a <1，可排除A 、C ；当x <0时，y ＝xa x|x |＝－a x .又0<a <1，可排除B. 题型三比较大小比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，其基本方法是：将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值，其主要方法可分以下三种：(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，－1等； (3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决. 例3 设a ＝log 213，b ＝⎝⎛⎭⎫130.2，c ＝231，则( )A.a ＜b ＜cB.c ＜b ＜aC.c ＜a ＜bD.b ＜a ＜c答案 A解析 a ＝log 213＜0,0＜b ＝⎝⎛⎭⎫130.2＜1，c ＝231＞1，故有a ＜b ＜c . 跟踪训练3 设a ＝log 2π，b ＝log 21π，c ＝π－2，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >b >a 答案 C解析因为π>2，所以a ＝log 2π>1，所以b ＝log 21π<0.因为π>1，所以0<π－2<1，即0<c <1.所以a >c >b .题型四换元法的应用换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题.本章中，常设u ＝log a x 或u ＝a x ，转化为一元二次方程、二次函数等问题.要注意换元后u 的取值范围. 例4 求函数y ＝f (x )＝－(12)2x －4(12)x ＋5的值域.解函数的定义域是R .设u ＝(12)x ，由于x ∈R ，则u ∈(0，＋∞).则有y ＝－u 2－4u ＋5＝－(u ＋2)2＋9. ∵u ∈(0，＋∞)，∴y ∈(－∞，5)，故函数y ＝f (x )的值域是(－∞，5).跟踪训练4 已知实数x 满足－3≤log 21x ≤－12，求函数y ＝(log 2x 2)·(log 2x4)的值域.解 y ＝(log 2x 2)·(log 2x4)＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2.∵－3≤log 21x ≤－12，∴12≤log 2x ≤3.令t ＝log 2x ，则t ∈[12，3]，y ＝t 2－3t ＋2＝(t －32)2－14，∴t ＝32时，y min ＝－14；t ＝3时，y max ＝2.故函数的值域为[－14，2].分类讨论思想应用指数函数y ＝a x 和对数函数y ＝log a x 的图象和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a ＞1和0＜a ＜1两种情况的讨论.例5 函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上有最大值14，求a 的值. 解 y ＝(a x )2＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2.令a x ＝t ，则y ＝(t ＋1)2－2，对称轴方程为t ＝－1. ①当a >1时，因为－1≤x ≤1，所以1a ≤a x ≤a ，即1a ≤t ≤a ，函数图象在对称轴右侧，是单调递增的，所以当t ＝a 时有最大值，所以(a ＋1)2－2＝14，所以a ＝3.②当0<a <1时，因为－1≤x ≤1，所以a ≤a x ≤1a ，即a ≤t ≤1a ，函数图象在对称轴右侧，是单调递增的，所以当t ＝1a 时有最大值，所以(1a ＋1)2－2＝14，所以a ＝13.所以a 的值为3或13.跟踪训练5 已知偶函数f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫12＝0，求不等式f (log a x )＞0(a ＞0，且a ≠1)的解集.解 ∵f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，又f ⎝⎛⎭⎫12＝0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，f ⎝⎛⎭⎫－12＝0. 故若f (log a x )＞0，则有log a x ＞12或log a x ＜－12.①当a ＞1时，由log a x ＞12或log a x ＜－12，得x ＞a 或0＜x ＜a a. ②当0＜a ＜1时，由log a x ＞12或log a x ＜－12，得0＜x ＜a 或x ＞a a. 综上可知，当a ＞1时，f (log a x )＞0的解集为⎝⎛⎭⎫0，a a ∪(a ，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (log a x )＞0的解集为(0，a )∪⎝⎛⎭⎫a a ，＋∞.。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数及其性质教学设计新人教A版必修1(202

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2。

1。

2指数函数的图像与性质一、教学目标：知识与技能：理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力.过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。

领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力.情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度.二、教学重点、难点：教学重点：指数函数的概念、图象和性质.指数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,它是重要的基本初等函数之一.教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。

指数函数是学生完全陌生的一类函数，对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的难题.三、学情分析：学生已经学习了函数的知识，,指数函数是函数知识中重要的一部分内容,学生通过对高中数学中函数的学习，对解决一些数学问题有一定的能力。

通过教师启发式引导，学生自主探究完成本节课的学习。

高一学生的认知水平从形象向抽象、从特殊向一般过渡，思维能力的提高是一个转折期，但是，学生的自主意识强，有主动学习的愿望与能力。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数及其性质(2)导学案新人教A版必修1

2.1.2指数函数及其性质（2）【导学目标】1．探究与指数函数有关的一些函数的定义域、值域、图象和性质；2．向学生渗透解决指数函数有关问题时所用到的数学思想、数学方法.【自主学习】知识回顾：对于函数)1≠,0>(=a a a y x，图象恒过定点 . 当 _时，为定义域上的增函数；当时，为定义域上的减函数. 新知梳理：1. 指数函数性质的应用利用指数函数性质常常解决以下问题：比较大小；解不等式；解指数方程；过定点问题.当1>a 时，⇔>)()(x g x f a a __________ .当1<<0a 时，⇔>)()(x g x f a a _______ . 对点练习：1.函数),10(12R b a a a y b x ∈≠>+=+且，恒过定点（1,2）则b = .对点练习：2. 43235.02--<x x 的x 的取值范围 . 2. 指数函数的图象(1)上下平移函数)1,0(≠>+=a a m a y x 的图象是由函数)1,0(≠>=a a a y x的图象经过向 _____ )0(>m 或向 )0(<m 平移得到.（2）左右平移函数)1,0(≠>=+a a a y k x 的图象是由函数)1,0(≠>=a a a y x 的图象经过向 _ )0(>k 或向 _____ )0(<k 平移而得到.（3）对称变换函数)1,0(≠>=a a a y x 与函数x a y -=)1,0(≠>a a 关于对称，函数)1,0(≠>=a a a y x 与函数,0(>-=a a y x 且)1≠a 关于对称. 对点练习：3.函数2x y -=的图象是（）画图思考：将x y 2=，x y )21(=，x y 3=，x y )31(=画在同一平面直角坐标系中，你能发现什么？结论：（1）底数互为倒数的两个指数函数，其图像____ _______________（2）1a >时，底数越大，其图像____________01a <<时，底数越小，其图像____________【合作探究】典例精析例题1：已知0.70.8a =，0.90.8b =，0.81.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）（A ）a b c >> （B ）b a c >>（C ）c b a >> （D ）c a b >>变式训练1：解不等式：323722x x -->例题2：利用函数x x f )21()(=的图象，作出下列各函数的图象：（1）(1)f x + （2）()2f x - （3）)(x f - （4）)(x f -变式训练2：函数)1,0(≠>+=a a b a y x 且的图像经过第二、三、四象限，则a ，b 的取值范围分别为例3 已知函数f (x )＝3x －13x ＋1.(1)证明f (x )为奇函数．(2)判断f (x )的单调性，并用定义加以证明．(3)求f (x )的值域．变式训练3 设a＞0，f(x)＝e xa＋ae x是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)求证f(x)在(0，＋∞)上是增函数．【课堂小结】。

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