第七章 非线性系统的分析方法优秀课件
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非线性系统分析-PPT课件可修改文字
k(x a) y 0
k(x a)
x a | x | a xa
死区特性对系统性能的影响： （1）由于死去的存在，增大了系统的稳态误差，降低了 系统的控制精度； （2）若干扰信号落在死区段，可大大提高系统的抗干扰 能力。 2．饱和特性
y
M
a k
0a
x
M
M
y
kx
M
x a | x | a xa
1
2
平面，相应的分析法称为相平面法；
相平面上的点称为相点；
由某一初始条件出发在相平面上绘出的曲线称 为相平面轨迹，简称相轨迹；
不同初始条件下构成的相轨迹，称为相轨迹族， 由相轨迹族构成的图称为相平面图，简称相图。
2.相轨迹方程和平衡点
考察二阶非线性时不变微分方程:
x f (x, x)
引入相平面的概念，将二阶微分方程改写成二 元一阶微分方程组:
此时两个状态变量对时间的变化率 都为零，系统的状态不再发生变化，即 系统到达了平衡状态，相应的状态点 （相点）称为系统的平衡点。平衡点处 有的斜率
dx 2 dx2 dt 0 dx1 dx1 0
dt
则上式不能唯一确定其斜率，相轨迹上斜 率不确定的点在数学上也称为奇点，故平 衡点即为奇点。
奇点处，由于相轨迹的斜率dx2／dx1为 不定值，可理解为有多条相轨迹在此交汇 或由此出发，即相轨迹可以在奇点处相交。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一 族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原 点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是 一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
无阻尼二阶线性系统的相轨迹
2、欠阻尼运动（01）
系统特征方程的根为一对具有负实部的共 轭复根,系统的零输入解为
第7章非线性系统分析
描述函数的定义是：输入为正弦函数时，输 出的基波分量与输入正弦量的复数比。
其数学表达式为
N
X
R
X
Y1
sin(t X sint
1)
Y1 X
1
A12 B12 arctan A1
A1
1
2
y(t) costdt
0
X
B1
1
B1
2
y(t ) sin tdt
0
7.3 非线性特性的描述函数法
（2）举例说明描述函数
(1) 降低了定位精度，增大了系统的静差。 (2) 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
4.摩擦特性
Mf
M1 •
M2
•
M f 摩擦力矩
转速
M1 静摩擦力矩
M 2 动摩擦力矩
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
摩擦特性的影响
(1)对随动系统而言，摩擦会增加静差，降低精 度。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
2.饱和特性
x1 a ，等效增益 为常值，即线性段 斜率；
而 x1 a ，输出饱
和，等效增益随输 入信号的加大逐渐 减小。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
饱和特性的影响
(1) 饱和特性使系统开环增益下降， 对动态响应的 平稳性有利。
(2) 如果饱和点过低，则在提高系统平稳性的同时， 将使系统的快速性和稳态跟踪精度有所下降。
7.3 非线性特性的描述函数法
KX sint
y(t) Ka
0 t 1 1 t / 2
∵ y(t) 单值奇对称， A0 0 A1 0
B1
4
非线性系统分析方法PPT课件
相轨迹振荡远离原点，为 不稳定焦点
第30页/共52页
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
0
中心点
相轨迹为同心圆，该奇点为 中心点
第31页/共52页
••
•
x 2n x n2 x 0
j s
dx/dt x
s 平面
鞍点
系统特征根一正一负，相轨 迹先趋向于——然后远离原 点，称为鞍点
第32页/共52页
•
x
x 0
相平面
•
x/ 0
x 0
•
(0,10) x
x 0
相平面 (0,-10)
第24页/共52页
4. 相轨迹的奇点
➢定义：二阶系统
••
•
x f (x, x) 0
在相平面上满足
x 0
f
(x,Βιβλιοθήκη x)0➢在奇点上相轨迹的斜率不定，为
的点
•
•
d x f (x, x) 0
dx
•
x
0
由奇点可以引出不止一条相轨迹
C(s)
+-
- -M
( j)(0.01 j 1)(0.005 j 1)
继电参数： M 1.7 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
解：1. 死去继电特性的描述函数
4M N(X)
1 ( )2
X
X
第49页/共52页
2. 绘制描述函数的负倒数特性
1
X
N(X ) 4M 1 ( )2
•
相轨迹的等倾线方程 • f (x, x) x
第16页/共52页
•
• f (x, x)
x
第7章 非线性控制系统分析(《自动控制原理》课件)
•
• • •
••
•
得等倾线方程为: 令 d x/ dx = α , 得等倾线方程为 x = − x /(1 + α ) (15 ) • 若令 α = 1, x = − x / 2 , 则等倾线如下图所示 如 α = − 2 则等倾线如下图所示. • • x 则 x = x 等倾线如图中蓝线 等倾线如图中蓝线. α =1 依此类推, 依此类推 取不同的α 值, 由 x 式(15)画出足够密的一簇等倾 画出足够密的一簇等倾 0 线, 然后按各条等倾线所表示 的相轨迹在该条等倾线上的斜率将各点连 成一条光滑的曲线, 如左上图所示. 成一条光滑的曲线 如左上图所示 α = −2
•
•
设下图为式(1)在初始条件 设下图为式 在初始条件 x = x0 , x = x0 情况下的 x (t ) 与 x (t ) 的关系曲线. 平面上的点随时间的增大, 的关系曲线 当 t ∈ [ 0, ∞ ) 时, 平面上的点随时间的增大 • • 将沿曲线移动 当初始条件确定后 x A( x0 , x0 ) 将沿曲线移动. 当初始条件确定后, 曲线也确定, 曲线也确定 则曲线上任何一点的 • x 坐标也确定 当 x, x 的值确定后 由 的值确定后, 坐标也确定. 0 式(1)可知 x = f ( x , x ) 的值也唯一确 可知 从而系统的整个运动状态也完全确定. 定, 从而系统的整个运动状态也完全确定 整条曲线就清楚地描述了系统在某一初始条件下的运动 性质. 上图中的平面叫相平面, 性质 上图中的平面叫相平面 曲线叫系统在某一初始 条件下的相轨迹. 由于系统的初始条件可有无穷多个, 条件下的相轨迹 由于系统的初始条件可有无穷多个 因此相应的相轨迹也有无穷多条, 因此相应的相轨迹也有无穷多条 这无穷多条相轨迹构 成的相轨迹簇叫相平面图. 成的相轨迹簇叫相平面图 因为
• • •
••
•
得等倾线方程为: 令 d x/ dx = α , 得等倾线方程为 x = − x /(1 + α ) (15 ) • 若令 α = 1, x = − x / 2 , 则等倾线如下图所示 如 α = − 2 则等倾线如下图所示. • • x 则 x = x 等倾线如图中蓝线 等倾线如图中蓝线. α =1 依此类推, 依此类推 取不同的α 值, 由 x 式(15)画出足够密的一簇等倾 画出足够密的一簇等倾 0 线, 然后按各条等倾线所表示 的相轨迹在该条等倾线上的斜率将各点连 成一条光滑的曲线, 如左上图所示. 成一条光滑的曲线 如左上图所示 α = −2
•
•
设下图为式(1)在初始条件 设下图为式 在初始条件 x = x0 , x = x0 情况下的 x (t ) 与 x (t ) 的关系曲线. 平面上的点随时间的增大, 的关系曲线 当 t ∈ [ 0, ∞ ) 时, 平面上的点随时间的增大 • • 将沿曲线移动 当初始条件确定后 x A( x0 , x0 ) 将沿曲线移动. 当初始条件确定后, 曲线也确定, 曲线也确定 则曲线上任何一点的 • x 坐标也确定 当 x, x 的值确定后 由 的值确定后, 坐标也确定. 0 式(1)可知 x = f ( x , x ) 的值也唯一确 可知 从而系统的整个运动状态也完全确定. 定, 从而系统的整个运动状态也完全确定 整条曲线就清楚地描述了系统在某一初始条件下的运动 性质. 上图中的平面叫相平面, 性质 上图中的平面叫相平面 曲线叫系统在某一初始 条件下的相轨迹. 由于系统的初始条件可有无穷多个, 条件下的相轨迹 由于系统的初始条件可有无穷多个 因此相应的相轨迹也有无穷多条, 因此相应的相轨迹也有无穷多条 这无穷多条相轨迹构 成的相轨迹簇叫相平面图. 成的相轨迹簇叫相平面图 因为
自动控制原理第七章非线性系统ppt课件
7.1.3 非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无 法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
4M
sin t
故理想继电器特性的描述函数为
N ( A)
Y1 A
1
4M
A
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
2.饱和特性
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时，
饱和特性的输出波形如图7-10所示。
y
x
N
M
k 0a
x
yy
0 ψ1
π
2π
ωt
0 x
ψ1
π
A sin 1
x(t) Asint
则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级 数：
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt ) n1
若系统满足上述第二个条件，则有A0=0
An
1
2 y(t ) cos ntd t
0
Bn
1
2 y(t ) sin ntd t
0
由于在傅氏级数中n越大,谐波分量的频率越高，An，Bn
7第七章非线性系统的分析
第七章 非线性系统的分析
5、 ( 1)
jω
××
λ1 λ2
x
x
系统的运动是非周期发散运动。相轨迹是由原点出发的发散 型抛物线。原点处的奇点称为不稳定节点。
第七章 非线性系统的分析
6、
, 为一正一负两实根
12
jω
×
λ1
0
×
λ2
x
x
系统的自由运动是发散运动，原点处的奇点称为鞍点。 以上6种奇点，类似的奇点在非线性系统中也常见到。
复平面中，根据二者的相对位置可分析非线性系统的稳定
性。
一、非线性系统稳定
Im
1 不被G(j)包围
N(X)
x a
1 N(X)
0
Re
G( j)
第七章 非线性系统的分析
二、非线性系统不稳定 1 被G( j)包围
N(X)
三、非线性系统产生自持振荡
1 与G(j)相交
N(X)
图示系统在a点产生稳定的自 持振荡。由交点可确定自持 振荡的频率和幅值。
Im
0
Re
x a
G( j) 1
N(X)
Im
1 N(X)
a0
Re
x b a
G( j)
非线性系统即使无外界作用，也可能会发生某一 固定振幅和频率的振荡，称为自持振荡。
３、频率响应畸变 非线性系统在输入为正弦函数时，输出为包含一定数
量的高次谐波的非正弦周期函数。
第七章 非线性系统的分析
线性系统分析可用叠加原理，在典型输入信号下系 统分析的结果也适用于其它情况。
非线性系统不能应用叠加原理，没有一种通用的方 法来处理各种非线性问题。
7章非线性分析PPT课件
10
②线性系统自由运动的形式与系统的初
始偏移无关。
非线性系统则不一样，自由运动的时
间响应曲线可以随着初始偏移不同而有 多种不同的形式。
图7-4 非线性系统在不同初 始偏移下的自由运动
11
③ 线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在
临界情况，而这一周期运动是物理上不可能实现的。
非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有
图7-13 图7-12系统的响应
21
根轨迹分析：
图7-14 根轨迹图
若随动系统的方块图如图7—15所示。
图7-15 非线性系统
22
当系统中不存在饱和特性的限制，系统是振荡发散 的；若系统中存在饱和特性的限制，则系统不再发
散，而是出现稳定的 等幅振荡， 如图7-16中的
曲线2。
图7-16系统的时间响应
16
图7-8 斜坡输入时 的系统输出量
图7-7 包含死区的非线性系统
17
二、饱和
•饱和特性也是系统中最常见的一种
非线性特性。
图7-9 部件的饱和现象
18
理想化后的饱和特性典型数学表达式为：
Ka
x2
Kx1
Ka
x1 a | x1 | a x1 a
• 式中：
• a 是线性范围， K为线性范围内的传递系数 （对于放大元件，也称增益）。
图7-21 摩擦力矩示意图
23
三、间隙
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控 制系统中的一种常见的非线性因素。
图7—17 齿轮传动中的间隙
24
间隙特性的典型形 式如图7-18所示
•数学表达式为
图7—18 间隙非线性特性
x2
Kx1 bsi
②线性系统自由运动的形式与系统的初
始偏移无关。
非线性系统则不一样，自由运动的时
间响应曲线可以随着初始偏移不同而有 多种不同的形式。
图7-4 非线性系统在不同初 始偏移下的自由运动
11
③ 线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在
临界情况，而这一周期运动是物理上不可能实现的。
非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有
图7-13 图7-12系统的响应
21
根轨迹分析：
图7-14 根轨迹图
若随动系统的方块图如图7—15所示。
图7-15 非线性系统
22
当系统中不存在饱和特性的限制，系统是振荡发散 的；若系统中存在饱和特性的限制，则系统不再发
散，而是出现稳定的 等幅振荡， 如图7-16中的
曲线2。
图7-16系统的时间响应
16
图7-8 斜坡输入时 的系统输出量
图7-7 包含死区的非线性系统
17
二、饱和
•饱和特性也是系统中最常见的一种
非线性特性。
图7-9 部件的饱和现象
18
理想化后的饱和特性典型数学表达式为：
Ka
x2
Kx1
Ka
x1 a | x1 | a x1 a
• 式中：
• a 是线性范围， K为线性范围内的传递系数 （对于放大元件，也称增益）。
图7-21 摩擦力矩示意图
23
三、间隙
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控 制系统中的一种常见的非线性因素。
图7—17 齿轮传动中的间隙
24
间隙特性的典型形 式如图7-18所示
•数学表达式为
图7—18 间隙非线性特性
x2
Kx1 bsi
第7章 非线性系统分析
7-1 一放大装置的非线性特性示于图7-1，求其描述函数。
7-2 图7-2为变放大系数非线性特性，求其描述函数。
图7-1 图7-2 7-3 求图7-3所示非线性环节的描述函数。
7-4 图7-4给出几个非线性特性，分别写出其基准描述函数公式，并在复平面上大致画出其基准描述函数的负倒数特性。
图7-3图7-47-5 判断图7-5所示各系统是否稳定？01R -与)(ωj W K n 的交点是稳定工作点还是不稳定工作点？图7-57-6 图7-6所示为继电器控制系统的结构图，其线性部分的传递函数为)11.0)(15.0)(1(10)(+++=s s s s W 试确定自持振荡的频率和振幅。
7-7 图7-7所示为一非线性系统，用描述函数法分析其稳定性。
图7-6 图7-77-8 求下列方程的奇点，并确定奇点类型。
（1）0)1(2=+--x x x x（2）0)35.0(22=++--x x x x x7-9 利用等斜线法画出下列方程的相平面图（1）0=++x x x（2）0=++x x x7-10 系统示于图7-8，设系统原始条件是静止状态，试绘制相轨迹。
其系统输入为（1）e r e A A t x >= ,)(（2）e r e A Bt A t x >+= ,)(7-11 图7-9为变增益非线性控制系统结构图，其中1 ,2.0 ,10===e k K ，并且参数满足如下关系kKT KT21121<<试绘制输入量为（1）e r e A A t x >= ,)( （2）e r e A Bt A t x >+= ,)(时，以e e- 为坐标的相轨迹。
图7-8图7-9。
《非线性系统分析》PPT课件
0
M
x h2 h2 x h1
x h1
(7 4a)
.
当x 0:
M
y
0
M
x h1 h1 x h2
x h2
(7 4b)
19
图（b）所示继电特性的数学描述由 读者自行导出。
20
4、间隙特性
传动机构的间隙也是控制系统中常见的非线性 特性，齿轮传动是典型的间隙特性，图7-4（a） 表示齿轮传动原理，图7-4（b）表示主动轮位移 与从动轮位移的关系。设主动轮与从动轮间的最 大间隙为2b，那么当主动轮改变方向时，主动轮 最大要运动2b从动轮才能跟随运动。间隙特性类 似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对 控制系统的动态、稳态特性都不利。设齿轮传动 速比为，则图7-4间隙特性的数学描述为：
22相平面法是庞加莱poincare1885年首先提出的本来它是一种求解二元一阶非线性微分方程组的图解法两个变量构成的直角坐标系称为相平面方程组的解在相平面上的图象称为相轨这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶非线性控制系统并形成了一种特定的相平面法它对弄清非线性系统的稳定性稳定域等基本属性解释极限环等特殊现象起到了直观形象的作23因为绘制两维以上的相轨迹是十分困难的所以相平面法对于二阶以上的系统几乎无能为力
一点在 x x平面上绘出的曲线，表征了系统的
运动过程，这个曲线就是相轨迹。我们用一个二 阶线性时不变系统来体验一下相平面和相轨迹。
26
例7-1 考虑二阶系统：
..
x ax 0 , a 0, x(t0 ) x0 ,
将它写成微分方程组：
dx
.
x
dt.
d x ax
dt
两式相除得到：
.
dx dx
第7章-非线性系统PPT课件
线性问题。非线性系统的运动规律也与线性系统有许多不同
之处。例如
(1)线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，而与输
入信号的大小及系统的初始条件无关。但非线性系统的稳定
性，除了和系统的结构和参数有关外，还与输入信号的大小
及系统的初始条件有关。因此，在非线性系统中必须针对具
体的某一运动来讨论系统的稳定性问题。有些系统可能在小
这种特性。
2021/3/12
4
xoBox
4．继电特性 一般的继电特性的输入 输出关系如图7－4所示。它相当于上述三 种特性的综合：输出存在死区，当输入达 某值时，输出立即跃变为定值，相当于饱 和，而在输出饱和区中又存在回环。电器。
中的继电器的工作特性就是典型的例子，由于吸合、释放电 压的不同而形成这种特性。继电特性一般是人为的，可以用 来改善系统性能，但也可能带来不利的作用。
2．饱和特性 饱和特性的输入输出关系如
图7－2，有时为简化，可把它近似为理想饱
和特性，即由两条直线来表示。也就是说，
当2021输/3/12入低于某值时，输出与输入成正比，而
3
xoBox
当输入超过此值后，输出就保持定值而不再变化。例如电机的 磁化特性曲线，线性放大器设置限幅时都具有这种饱和特性。
饱和特性使系统在大信号时增益降低，稳态误差增大，还可能
往往是具体情况要具体处理。本章介绍的描述函数法和相平面
法，用于分析非线性系统是相当烦琐和困难的，因此，只是提
供一些基本的概念和方法，对非线性系统的分析主要使用
xoBox分析软件的非线性仿真功能。
系统的非线性一般会对系统的工作产生不利的影响，但在某
些情况下，人为地使系统非线性也可以使控制系统结构简化而
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l自持振荡问题— 非线性系统特有的运动形式
典型非线性环节
饱和 死区(不灵敏区) 间隙
M
M
继电特性
R(s) +-
e +MM k
f(e)
C(s)
Gc(s)
M -M
G0(s)
2.典型的非线性特性 Ø继电特性
M, e 0 f (e)
M, e 0
f (e) +M
e 0
-M
继电特性
f (e) +M
1
x 1 x 等倾线斜率 ∞ 1 1/2 -1 -1/2 -1/3
0
x1
2
x
•
x
-1 -5/4
-3/2
-5/3
=
-2
-3/7
-3
-5 - x
3
1 1/3
0 -3/4 -1/2 -1/3
3.相轨迹的运动特性 Ø相轨迹的运动方向
上半平面的相轨迹
右行；
右行
下半平面的相轨迹 左行；
过实轴相轨迹斜率 为。
•
dx dx
f
(x, x)
•
x
0 0
由奇点可以引出不止一条相轨迹
5. 奇点邻域的运动性质
趋于奇点 远离奇点 包围奇点
例：二阶线性定常系统
••
•
x 2n xn2 x 0
试分析其奇点运动性质。
dx/dt x
稳定节点
j s 平 面 s
••
•
x 2n xn2 x 0
s1 s2 0 >1
dx/dt x
x (0 .5 3 x2)x xx20
解：由
x 0
减幅、增速 增幅、恒速 减幅、减速
•
f (x, x)
•
x
•
x
增幅、增速
增幅、恒速
增幅、减速
0 垂直穿越 x
左行
Ø相轨迹的对称性
• x 轴对称
若
•
•
f (x, x) f (x, x)
则相轨迹对称于x 轴
•
•
x
轴对称
•
•
若 f (x, x) f (x, x)
则相轨迹对称于
•
x
轴
•
x
x 0
•
x
x 0
• 原点对称
若
•
•
f (x, x) f (x, x)
则相轨迹对称于原点
相平面
•
x/ 0
x 0
•
x
x 0
•
(0,10) x
x 0 相平面 (0,-10)
4. 相轨迹的奇点
Ø定义：二阶系统
••
•
x f (x, x) 0
在相平面上满足
x 0
f
(x,
x)
0
Ø在奇点上相轨迹的斜率不定，为
的点
•
§7.2 相平面分析法
1.相平面与相平面图(相轨迹)
••
•
二阶微分方程 x f (x, x) 0
系统变量 x x
相轨迹
系统变量及其导数随时间变化 在相平面上描绘出来的轨迹。
•
x
x
0
相平面
例：一阶线性系统
•
x ax 0, 画出其相平面图。 解：
•
x
x 0b
a<0
x0 b
•
x
bx 0
a>0
2.相轨迹作图
e 0
开关特性
Ø饱和特性
M ,
f
(e)
ke
,
M ,
e e0 e0 e e0
e e0
f(e)
+M k -e0
e
0 +e0
-M
R(s) +-
e +M k f(e)
C(s)
Gc(s)
Go(s)
-M
死区（不灵敏区）
R(s) +-
e +M k f(e)
C(s)
Gc(s)
G0(s)
-M
Ø死区特性
思路：以切线代替曲线
相轨迹的斜率方程
•
•
d x f (x, x)
dx
•
x
则
•
•
x f (x, x) 0
•
相轨迹的等倾线方程 • f (x, x) x
•
• f (x, x)
x
A
如何画出所有相轨迹？
•
• f (x, x)
x
给定一个斜率值，由等倾线方程，便可以
在相平面上画一条线，在这条线上的所有的
非线性特性
继电特性
等效K*
对系统的 影响
举例
振荡性↓，s↓ 限制跟踪速度
晶体管特性
滤除小幅值干扰
稳态误差ess ↑
电动机，仪表
抑制系统发散 容易导致自振
开关特性
非线性控制系统的分析方法
1）小扰动线性化 2）非线性系统研究方法
相平面法
描述函数法—研究自持振荡 反馈线性化法
微分几何方法
3）仿真方法
全数字仿真 半实物仿真
第七章 非线性系统 的分析方法12
第七章 非线性系统分析
目的
掌握非线性控制系统的初步分析方法
内容
作相平面图 相平面分析法
§7.1非线性控制系统概述
1.本质非线性特性的基本特征
l不满足叠加定理 l不能采用线性化方法处理问题 l稳定性问题 — 不仅与自身结构参数，且与输 入，
初条件有关，平衡点可能不唯一
dx/dt x
1 0
不稳定焦点
相轨迹振荡远离原点，为 不稳定焦点
••
•
x 2n xn2 x பைடு நூலகம்0
s1
s2
dx/dt
x
=0
0
中心点
相轨迹为同心圆，该奇点为 中心点
••
x
2n
•
x
n
2
x
0
j s
dx/dt x
s 平面
鞍点
系统特征根一正一负，相轨 迹先趋向于——然后远离原 点，称为鞍点
例：试确定二阶非线性系统的奇点并分析奇 点的运动性质
Ø间隙特性
f(e) k +M
-e
+e0 e
-e0 0 +e
-M
f (e)
+M -e 0
+e e -M
f (e)
e 0
饱和间隙
继电间隙 齿轮间隙
当输入量的变化方向改变时，输出量保持不变，一直到输入 量得变化超出间隙值
典型非线性环节
饱和 死区(不灵敏区) 间隙
M
M
继电特性
非线性特性的定性分析
饱和
死区
点的切线的斜率是相同的，均为 ，因此该
线称为等倾线。改变的值，便可以作出若
干条等倾线充满整个相平面。
例7-1：二阶线性定常系统
•• •
x x x 0
试用等倾线法作该系统的相平面图。
解：
f (x, x) x x
f
(x, x
x)
x
x
x
等倾线方程为 •
1
x1 x
α
-1 -2 -3 0 1 2
•
f (e)
-e k e 0 +e
f (e)
+M
-e
e
0 +e -M
f (e) +M +e0
-e k e
0 +e
-e0
-M
线性+死区 继电+死区 饱和+死区
f
(e)
0, ke,
e e
e f(ee)
M
0,
M
, ,
M ,
eefe(e)eeek0Me,, ,
e e0 e e
e e e0 e e0
Ø解析法作图（适用方程不显含 x ）
••
x f (x) 0
相轨迹方程
••
x d x f (x)dx
例：二阶系统如下，试绘制其相平面图
••
x 02 x 0
解：
f (x) 02x
••
x d x 02 x dx
得椭圆方程
x2 02x2 c2
相平面
x
x 0
Ø等倾线法作图
••
•
xf(x,x)0
1
稳定节点
相轨迹趋于原点，该奇点称为 稳定节点
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
1
不稳定节点
相轨迹远离原点，该奇点为 不稳定节点
••
•
s1
x 2n xn2 x 0
s2 0< <1
dx/dt x
0 1
稳定焦点
相轨迹振荡趋于原点，该奇点为 稳定焦点
s1
s2 <0
••
•
x 2n xn2 x 0
典型非线性环节
饱和 死区(不灵敏区) 间隙
M
M
继电特性
R(s) +-
e +MM k
f(e)
C(s)
Gc(s)
M -M
G0(s)
2.典型的非线性特性 Ø继电特性
M, e 0 f (e)
M, e 0
f (e) +M
e 0
-M
继电特性
f (e) +M
1
x 1 x 等倾线斜率 ∞ 1 1/2 -1 -1/2 -1/3
0
x1
2
x
•
x
-1 -5/4
-3/2
-5/3
=
-2
-3/7
-3
-5 - x
3
1 1/3
0 -3/4 -1/2 -1/3
3.相轨迹的运动特性 Ø相轨迹的运动方向
上半平面的相轨迹
右行；
右行
下半平面的相轨迹 左行；
过实轴相轨迹斜率 为。
•
dx dx
f
(x, x)
•
x
0 0
由奇点可以引出不止一条相轨迹
5. 奇点邻域的运动性质
趋于奇点 远离奇点 包围奇点
例：二阶线性定常系统
••
•
x 2n xn2 x 0
试分析其奇点运动性质。
dx/dt x
稳定节点
j s 平 面 s
••
•
x 2n xn2 x 0
s1 s2 0 >1
dx/dt x
x (0 .5 3 x2)x xx20
解：由
x 0
减幅、增速 增幅、恒速 减幅、减速
•
f (x, x)
•
x
•
x
增幅、增速
增幅、恒速
增幅、减速
0 垂直穿越 x
左行
Ø相轨迹的对称性
• x 轴对称
若
•
•
f (x, x) f (x, x)
则相轨迹对称于x 轴
•
•
x
轴对称
•
•
若 f (x, x) f (x, x)
则相轨迹对称于
•
x
轴
•
x
x 0
•
x
x 0
• 原点对称
若
•
•
f (x, x) f (x, x)
则相轨迹对称于原点
相平面
•
x/ 0
x 0
•
x
x 0
•
(0,10) x
x 0 相平面 (0,-10)
4. 相轨迹的奇点
Ø定义：二阶系统
••
•
x f (x, x) 0
在相平面上满足
x 0
f
(x,
x)
0
Ø在奇点上相轨迹的斜率不定，为
的点
•
§7.2 相平面分析法
1.相平面与相平面图(相轨迹)
••
•
二阶微分方程 x f (x, x) 0
系统变量 x x
相轨迹
系统变量及其导数随时间变化 在相平面上描绘出来的轨迹。
•
x
x
0
相平面
例：一阶线性系统
•
x ax 0, 画出其相平面图。 解：
•
x
x 0b
a<0
x0 b
•
x
bx 0
a>0
2.相轨迹作图
e 0
开关特性
Ø饱和特性
M ,
f
(e)
ke
,
M ,
e e0 e0 e e0
e e0
f(e)
+M k -e0
e
0 +e0
-M
R(s) +-
e +M k f(e)
C(s)
Gc(s)
Go(s)
-M
死区（不灵敏区）
R(s) +-
e +M k f(e)
C(s)
Gc(s)
G0(s)
-M
Ø死区特性
思路：以切线代替曲线
相轨迹的斜率方程
•
•
d x f (x, x)
dx
•
x
则
•
•
x f (x, x) 0
•
相轨迹的等倾线方程 • f (x, x) x
•
• f (x, x)
x
A
如何画出所有相轨迹？
•
• f (x, x)
x
给定一个斜率值，由等倾线方程，便可以
在相平面上画一条线，在这条线上的所有的
非线性特性
继电特性
等效K*
对系统的 影响
举例
振荡性↓，s↓ 限制跟踪速度
晶体管特性
滤除小幅值干扰
稳态误差ess ↑
电动机，仪表
抑制系统发散 容易导致自振
开关特性
非线性控制系统的分析方法
1）小扰动线性化 2）非线性系统研究方法
相平面法
描述函数法—研究自持振荡 反馈线性化法
微分几何方法
3）仿真方法
全数字仿真 半实物仿真
第七章 非线性系统 的分析方法12
第七章 非线性系统分析
目的
掌握非线性控制系统的初步分析方法
内容
作相平面图 相平面分析法
§7.1非线性控制系统概述
1.本质非线性特性的基本特征
l不满足叠加定理 l不能采用线性化方法处理问题 l稳定性问题 — 不仅与自身结构参数，且与输 入，
初条件有关，平衡点可能不唯一
dx/dt x
1 0
不稳定焦点
相轨迹振荡远离原点，为 不稳定焦点
••
•
x 2n xn2 x பைடு நூலகம்0
s1
s2
dx/dt
x
=0
0
中心点
相轨迹为同心圆，该奇点为 中心点
••
x
2n
•
x
n
2
x
0
j s
dx/dt x
s 平面
鞍点
系统特征根一正一负，相轨 迹先趋向于——然后远离原 点，称为鞍点
例：试确定二阶非线性系统的奇点并分析奇 点的运动性质
Ø间隙特性
f(e) k +M
-e
+e0 e
-e0 0 +e
-M
f (e)
+M -e 0
+e e -M
f (e)
e 0
饱和间隙
继电间隙 齿轮间隙
当输入量的变化方向改变时，输出量保持不变，一直到输入 量得变化超出间隙值
典型非线性环节
饱和 死区(不灵敏区) 间隙
M
M
继电特性
非线性特性的定性分析
饱和
死区
点的切线的斜率是相同的，均为 ，因此该
线称为等倾线。改变的值，便可以作出若
干条等倾线充满整个相平面。
例7-1：二阶线性定常系统
•• •
x x x 0
试用等倾线法作该系统的相平面图。
解：
f (x, x) x x
f
(x, x
x)
x
x
x
等倾线方程为 •
1
x1 x
α
-1 -2 -3 0 1 2
•
f (e)
-e k e 0 +e
f (e)
+M
-e
e
0 +e -M
f (e) +M +e0
-e k e
0 +e
-e0
-M
线性+死区 继电+死区 饱和+死区
f
(e)
0, ke,
e e
e f(ee)
M
0,
M
, ,
M ,
eefe(e)eeek0Me,, ,
e e0 e e
e e e0 e e0
Ø解析法作图（适用方程不显含 x ）
••
x f (x) 0
相轨迹方程
••
x d x f (x)dx
例：二阶系统如下，试绘制其相平面图
••
x 02 x 0
解：
f (x) 02x
••
x d x 02 x dx
得椭圆方程
x2 02x2 c2
相平面
x
x 0
Ø等倾线法作图
••
•
xf(x,x)0
1
稳定节点
相轨迹趋于原点，该奇点称为 稳定节点
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
1
不稳定节点
相轨迹远离原点，该奇点为 不稳定节点
••
•
s1
x 2n xn2 x 0
s2 0< <1
dx/dt x
0 1
稳定焦点
相轨迹振荡趋于原点，该奇点为 稳定焦点
s1
s2 <0
••
•
x 2n xn2 x 0