初一下册奥数题

2012．3．4第三次课（初中一年级下册）试卷9题：周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？考点：三角形三边关系．分析：不妨设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c，由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值范围，以此作为解题的突破口．解答：解：设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c．∵a+b+c=30，a+b＞c∴10＜c＜15∵c为整数∴c为11，12，13，14∵①当c为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10，6；14，9，7；②当c为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9，8；③当c为12时，有2个三角形，分别是：12，11，7；12，10，8；④当c为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9；∴各边长互不相等且都是整数的三角形共有12个．试卷10题：现有长为150cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每段的长为不小于1（cm）的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段．考点：主要考学生对三角形三边关系：两边之和大于第三边的理解及运用分析：因n段之和为定值150cm，故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能小，这样依题意可构造一个数列．解答：解：因为n段之和为定值150（cm），故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小．又由于每段的长度不小于1（cm），且任意3段都不能拼成三角形，因此这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，但1+1+2++34+55=143＜150，1+1+2++34+55+89=232＞150，故n的最大值为10．将长为150（cm）的铁丝分为满足条件的10段共有以下7种方式：1，1，2，3，5，8，13，21，34，62；1，1，2，3，5，8，13，21，35，61；1，1，2，3，5，8，13，21，36，60；1，1，2，3，5，8，13，21，37，59；1，1，2，3，5，8，13，22，35，60；1，1，2，3，5，8，13，22，36，59；1，1，2，3，5，8，14，22，36，58．本题考查了三角形三边关系．正确确定什么情况下n 最大，是解决本题的关键；注意各个竖列之和为143，由于150-143=7，故多余的7cm要加到数列的末几项上，而且使得任何三个不构成三角形，¤¤¤试卷12题：在三角形ABC中，角ABC=100°，∠C的平分钱交AB于E，在AC边上取点D，使∠CBD=20°，连DE，求∠CED的度数三角形全等判定公理1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。

2．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。

3．有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。

4．有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)5．直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”)SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。

解上题：延长CB至D'，使BD'=BD ，做EF、EG、HE垂直于AD'、D'C、AC ∠ABD'=80°ABDAB=AB∴△ABD'≌△ABD∴AB平分∠CAD'∵CE平分∠ACD'∴FE=GE=HE∴D'E平分∠AD'C∴ED平分∠ADB∵∠CEH=90°-∠ECD∠HED=90°-∠HDE∴∠CED=∠HDE-∠DCE=∠ADB-∠BCD/2=20°/2=10°综上，∠CED=10°3月10日题9：如图，AB两点在直线MN的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则|PA-PB|《AB。

当P，A，B三点在同一条直线上时，|PA-PB|=AB=5，此时|PA-PB|的最大值等于多少？分析：延长AB交MN于点P′，此时P′A-P′B=AB，由三角形三边关系可知AB＞|PA-PB|，故当点P运动到P′点时|PA-PB|最大，作BE⊥AM，由勾股定理即可求出AB的长．解答：解：延长AB交MN于点P′，∵P′A-P′B=AB，AB＞|PA-PB|，∴当点P运动到P′点时，|PA-PB|最大，∵BD=5，CD=4，AC=8，过点B作BE⊥AC，则BE=CD=4，AE=AC-BD=8-5=3，∴AB===5．∴|PA-PB|=5为最大．故答案为：5．点评：本题考查的是最短线路问题及勾股定理，熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系是解答此类问题的关键．并熟记股沟定理中3平方+4平方=5的平方，6的平方+8的平方=10的平方，5的平方+12的平方=13的平方。

作业：一个n边形的内角和等于它外角和的5倍，求边数n．考点：多边形内角与外角．分析：本题可利用等量关系式以及多边形内角和公式解答．根据题意列出方程即可．解答：解：由题可知（n-2）•180=360×5，180n-360=1800或n-2=10，180n=2160，n=12．答：边数n=12．点评：本题难度属一般，关键是利用方程解答．作业一个凸N边形的内角和小于2009度，那么N的最大值是？？多边形的内角和180×（N-2）根据题意180×(N-2)<2009N-2<11+29/180N<13+29/180所以N的最大值就是133月17日第2题长方形台球桌ABCD上，一球从AB边上某处P击出，分别撞击球桌的边BC、DA各1次后，又回到出发点P处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（例如图∠α=∠β）若AB=3，BC=4，则此球所走路线的总长度（不计球的大小）为（）A、不确定B、12C、11D、10考点：勾股定理；直角三角形斜边上的中线．分析：要求球走过的总长度，就要求PQ+QR，根据计算得PQ+QR=BD=AC．根据此关系式可以解题．解答：解：令PQ∥AC，则QR∥BD，∵撞击前后的路线与桌边所成的角相等∴图中所有三角形均相似；∴=，=，∴+==1，即PQ+QR=AC=BD，同理PS+SR=AC=BD，∴PQ+QR+RS+SP=AC+BD=2AC．∵AC==5，∴PQ+QR+RS+SP=AC+BD=2AC=10，故选 D．点评：本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中令PQ∥AC是解题的关键．第3题如右图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC-EF=ED-AB=AF-CD＞0，试判断该六边形的各角是否相等？若相等，请说明理由．考点：平移的性质；平行线的性质；平行四边形的判定与性质．专题：推理填空题．分析：过D，F，B作EF，AB，CD的平行线，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到三个平行四边形．再结合平行四边形的性质以及已知条件中的线段的差相等得到等边三角形．得到等边三角形的三个角都是60°，再根据平行线的性质得到六边形的内角的度数即可．解答：解：六边形的各角相等．过D，F，B作EF，AB，CD的平行线，∵BC-EF=DE-AB=AF-CD，∴△MPN为正三角形．∴∠NPM=∠PMN=∠MNP=60°．∴∠BMD=∠BNF=∠FPD=120°．又∵AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，∴分割构成3个平行四边形．∴六个内角都相等．点评：此题的关键是利用平移构造平行四边形和正三角形，根据等边三角形的三个内角都是60度，运用平行线的性质即可求解．题4：如图所示，六边形ABCDEF中，AB//DE，BC//EF，CD//AF，其各对边之差相等，即，求证：六边形ABCDEF的各角相过D，F，B作EF，AB，CD的平行线，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到三个平行四边形．再结合平行四边形的性质以及已知条件中的线段的差相等得到等边三角形．得到等边三角形的三个角都是60°，再根据平行线的性质得到六边形的内角的度数即可．解答：解：六边形的各角相等．过D，F，B作EF，AB，CD的平行线，∵BC-EF=DE-AB=AF-CD，∴△MPN为正三角形．∴∠NPM=∠PMN=∠MNP=60°．∴∠BMD=∠BNF=∠FPD=120°．又∵AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，∴分割构成3个平行四边形．∴六个内角都相等．点评：此题的关键是利用平移构造平行四边形和正三角形，根据等边三角形的三个内角都是60度，运用平行线的性质即可求解．3月25日第16题已知a，b，c为三个非负实数，且满足3a+2b+c=5,2a+b-3c=1设s=3a+b-7c，求s的最大值与最小值。

先找出关于S=3a+b-7c的一元表达式，解方程组3a+2b+c=5 (1)2a+b-3c=1 (2)得a-7c=-3 (3)b+11c=7 (4)由（1）-（4）得：3a+b-10c=-2，即3a+b-7c=3c-2所以：m=3a+b-7c=3c-2 (5)第二步：求出c的取值范围因a,b,c均为非负数，故由（3）得：a=7c-3≥0c≥3/7由（4）得：b=7-11c≥0c≤7/11所以3/7≤c≤7/11第三步：讨论①当c=7/11时，代入（5）s值最大，为-1/11②当c=3/7时，代入（5）s值最小，为-5/7与第19题大同小异1988(x-y)+1989(y-z)+1990(z-x)=01998x1998(x-y)+1989x1989(y-z)+1990x1990(z-x)=1989求z-y的值由1998(x-y)+1989(y-z)+1990(z-x)=0,得8x-9y+z=0 (1)由1998^2(x-y)+1989^2(y-z)+1990^2(z-x)=1989,得8*3988x-9*3987y+3979z=1989 (2)(2)-(1)*3988,得9y-9z=1989,y-z=221.4月21日题6：已知不等式组X-a>0、 X-a<1的解中任意一个X的值均不在2≤X≤5的范围内,求a 的取值范围解；因为X-A>0所以X>A因为X-A<1所以X<A＋1所以A<X<A+1因为任意一个X的值均不在2≤X≤5的范围内所以A＋1≤2（令x<2）或A≥5(令x>5)a的取值范围为：A≤1或A≥5题4已知关于X的不等式组X-a≥0, 3-2X＞-1的整数解共有五个，则a的取值范围解：由X-a≥0，得x≥a；由3-2X＞-1，得x<2。