河北衡水中学2017年度上学期高三年级五调考试(理数)

河北省衡水中学2017届上学期高三年级五调考试

数学（理科）

本试卷共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1．已知全集U R =，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =≥， 则图中阴影部分表示的集合为

A ．{1}

B ．{0,1}

C ．{1,2}

D ．{0,1,2} 2．已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示 复数

1z

i

+的点是 A ．M B ．N C ．Q D ．P 3．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空 白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为

2

a

的圆弧，某人向 此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能 性都一样，则他击中阴影部分的概率是 A ．14π-

B ．4π

C ．18

π

- D ．与a 的取值有关 4．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t （单位：百万元）

进行了初步统计，得到下列表格中的数据：

经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程 6.517.5t m =+$

，则p 的值为 A ．45 B ．60 C.55 D ．50

5．已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中点是原点O ，离心率等于

5

2

.以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为

A ．

221164

y x -= B ．2214x y -= C. 22

14x y -= D ．2214y x -=

6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．113

3

B．35

C.

104

3

D．

107

4

7．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值

3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n为

（参考数据：3 1.732

≈,sin150.2588

≈

°,sin7.50.1305

≈

°）

A．12 B．4

C. 36 D．24

8．如图，周长为1的圆的圆心C在y轴上，顶点(0,1)

A，一动点

M从A开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直

线AM与x轴交于点(,0)

N t，则函数()

t f x

=的图象大致为

9．三棱锥A BCD

-的外接球为球O，球O的直径是AD，且ABC

?，BCD

?都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A BCD

-的体积是

A．

2

6

B．

2

4

C.

2

12

D．

3

12

10. 在ABC

?中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2

c B a b

=+.若ABC

?的面积13

12

S=，则ab的最小值为

A．

1

3

B．

1

2

C.

1

6

D．3

11．已知直线y mx

=与函数

2

0.51,0,

()1

2(),0

3

x

x x

f x

x

?+>

?

=?

-≤

??

的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是

A．3,4)B．(3,2) C. 2,5)D．(2,)

+∞

12．已知直线y a

=分别与函数1x

y e+

=和1

y x

=-,A B两点，则,A B之间的最短距离是A．

3ln2

2

-

B．

5ln2

2

+

C.

3ln2

2

+

D．

5ln2

2

-

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题（每题

5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．若6

()n x x x

+

的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于________.

14．已知抛物线方程为2

2(0)y px p =>，焦点为F ，O 是坐标原点，A 是抛物线上的一点，FA u u u r

与

x 轴正方向的夹角为60o

，若OAF ?的面积为3，则p 的值为__________.

15．在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至

少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.

16．若不等式组20,5100,80x y x y x y -+≥??

-+≤??+-≤?

，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使0020x ay ++≤成立，则

实数a 的取值范围是___________.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*

1111(,1)n n a a S n N λλ+==+∈≠-，,且12323a a a +、

、为等差数列{}n b 的前三项.

（Ⅰ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和.

18.（本小题满分12分）

某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士—12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数API 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：

（Ⅰ）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记为t ）

的关系为：0,0100,4400,100300,1500,300,t P t t t ≤≤??

=-<≤??>?，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失

(200,600]P ∈元的概率；

（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？

下面临界值表供参考：

参考公式：2

2

()

()()()()

n ad bc k a b c d a c b d -=

++++，其中n a b c d =+++.

19.（本小题满分12分）

已知在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为正方形，延长AB 到D ，使得AB BD =，平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，1112AC =，114

C A

A π

∠=.

（Ⅰ）若,E F 分别为11C B ，AC 的中点，求证：//EF 平面11ABB A ； （Ⅱ）求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆E 22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>，圆22(2)(2)2Q x y -+=的圆心Q 在椭圆E 上，点

2)P 到椭圆E 6. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆E 于 ,A B 两点，直线2l 交圆Q 于,C D 两点，且M 为CD 的中点， 求MAB ?面积的取值范围.

21.（本小题满分12分）

已知函数221

()()(1)(22)2

x f x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，R b a ∈,，且曲线()y f x =与x

轴切于原点O .

（Ⅰ）求实数,a b 的值；

（Ⅱ）若2

()()0f x x mx n +-≥?恒成立，求m n +的值.

请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程

已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，

直线l 的参数方程为123x t

y t

=+???=??（t 为参数）.

（Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换'1'2

x x

y y =??

?=??得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C 上任一点，求

2232x xy y -+的最小值，并求出相应点M 的坐标.

23. （本小题满分10分）选修4-4：不等式选讲

已知实数0,0a b >>，函数()||||f x x a x b =--+的最大值为3. （Ⅰ）求a b +的值；

（Ⅱ）设函数2

()g x x ax b =---，若对于x a ?≥均有()()g x f x <，求实数a 的取值范围.

数学（理科）参考答案

一、选择题

（1）B （2）C （3）A （4）B （5）D （6）C （7）D （8）A （9）C （10）A （11）D （12）B

二、填空题

13.5 14. 2 15.84 16.]1,-∞-（

三、解答题（本大题共8题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）

17.解：（Ⅰ）()

*11n n a S n N λ+=+∈Q ， ()112n n a S n λ-∴=+≥，

1n n n a a a λ+∴-=，即()()112,10n n a a n λλ+=+≥+≠，

又1211,11a a S λλ==+=+，

∴数列{}n a 是以1为首项，以1λ+为公比的等比数列，…………2分

()2

31a λ∴=+，

()()2

41113λλ∴+=+++，整理得2210λλ-+=，得1λ=，…………4分

∴数列{}n b 是以1为首项，以3为公差的等差数列.

)12,13132n n n a b n n -∴==+-=-）（*N ∈n ()12,1132n n

n a b n n -∴==+-=-）（*N ∈n ………………6分 （Ⅱ）()1322n n n a b n -=-?，设{}n n b a 的前n 项和为n T ， ()121114272322n n T n -∴=?+?+?++-?………………①

()()12312124272352322n n n T n n -∴=?+?+?++-?+-?……………②…………8分

① —②得()12111323232322n n n T n --=?+?+?++?--?…

()()12121332212

n n n -?-=+?

--?-…………10分

整理得：()3525n n T n =-?+………………12分

18.（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失(]200,600P ∈元”为事件A . 由2004400600t <-≤，得150250t <≤，频数为()39

39,100

P A ∴=…………4分 （Ⅱ）22?联表：

…………8分

2

K 的观测值k ()2

2

100638227 4.575 3.84185153070

K

?-?=≈>???.

所以有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关.…………12分 19.（本题满分12分）解：（Ⅰ）取11A C 的中点G ， 连接,FG EG ，在111A B C ?中，EG 为中位线，

11//B A GE ∴.?GE Θ平面11ABB A ，//GE ∴平面11ABB A ，

同理可得//GF 平面11ABB A ，…………2分 又GF GE G =I ，所以平面//GEF 平面11ABB A ，

EF ?Q 平面GEF ，//EF ∴平面11ABB A .…………4分

（Ⅱ）连接1AC ，在11C AA ?中，

11111,4

C A A AC π

∠=

=

， 所以由余弦定理得2222

111111*********cos ,,AC AA AC AA AC AAC AA AA AC A AC =+-?∠=∴=?是等腰直角

三角形，且11AC AA ⊥，

又因为平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，平面11AAC C I 平面1111,ABB A AA AC =∴⊥平面11ABB A ，AB ?Q 平面11ABB A ，1AC AB ∴⊥，…………7分

又因为侧面11ABB A ，为正方形，1AA AB ∴⊥，以A 为坐标原点，分别以11,,AA AB AC 所在直线作为x

轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

Axyz

设1

AB=，则()()()()()()

111

0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0

A A

B

C C D

-，

),0,1,0(

),1,0,1

(

),1

,2,1(

),1

,1,2(

1

1

1

1

1

=

-

=

-

=

-

=

∴B

A

C

A

CD

CB………………8分

设平面

111

A B C的一个法向量为=

m()

111

,,

m x y z

=

u r

，则m

11

0,0

m A C m A B

?=?=

u r u u u u r u r u u u u r

，

?

m

11

0,0

m A C A B

?=?=

u r u r u r u r

，即11

1

x z

y

-+=

?

?

=

?

，令

1

1

x=，则1

,0

1

1

=

=z

y，

)1,0,1(

=

∴m为平面

1

1

1

C

B

A的一个法向量. ………………9分

设平面D

CB

1

的一个法向量为)

(

2

2

2

z

y

x

n=，

则

?

?

?

=

-

+

=

-

+

=

?

=

?

,0

2

,0

2

,0

,0

2

2

2

2

2

2

1z

y

x

z

y

x

n

CB

n即

令3

,1

,1

2

2

2

=

=

=z

y

x则，

n

∴()

1,1,3

=

r

为平面

1

CB D的一个法向量，………………10分

所以

n

m

m

m

n

m

?

>=

<

∴,

cos

222

222

cos,

2113

m n

m n

m n

<>===

??++

u r r

u r r W

u r r，

平面

111

A B C与平面

1

CB D

222

………………12分

20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）因为椭圆E的右焦点(),0,6,2

F c PF c

==，………1分

(2

Q在椭圆E上，

22

42

1

a b

∴+=，…………2分

由224

a b

-=得22

8,4

a b

==，所以椭圆E的方程为

22

1

84

x y

+=.…………4分

（Ⅱ）由题意可得

1

l的斜率不为零，当

1

l垂直x轴时，MAB

?的面积为

1

424

2

??=，…5分

当

1

l不垂直x轴时，设直线

1

l的方程为：2

y kx

=

2

l的方程为：

()()

1122

1

,,,

y x A x y B x y

k

=-

，由

22

1

84

x y

y kx

?

+=

?

?

?=+

?

消去y得(

)22

1240

k x

++-=，

所以

12122

4

12

x x x x

k

-

+==

+

，…………7分

则

12

AB x

=-=

，………………8分

设圆心(Q到2l的距离为则

,

1

d

1

d=<得21

k>，…………9分

又,

MP AB QM CD

⊥⊥，所以M点到AB的距离等于Q点到AB的距离，设为

2

d

，则2

d==………………10分

所以MAB

?面积

2

1

2

s AB d

===…………11分

令()

2

213,

t k

=+

∈+∞

，则

11

0,,

3

S

t

?

??

∈==?

??

????

，

综上，MAB

?面积的取值范围为4

?

?

??

.…………12分

21.解：（Ⅰ）()()()()

22

1

22122

2

x

f x ax bx a b ax b e x x x x

??

=++-++-++-+

??

Q

()()

22

1

232

2

x

ax a b x a e x x

??

=+++-+

??，…………1分

()00

f a

∴==，又()010,1

f a b b

=-+=∴=.………………4分

（Ⅱ）不等式()()()2

1

0111

2

x

f x x e x x x

??

>?-?>-++

?

??

，

整理得()2

1

110

2

x

x e x x

??

??

--++>

?

??

??

??

，

即

2

10

1

10

2

x

x

e x x

->

?

?

???

-++>

?

???

?

或

2

10

1

10

2

x

x

e x x

-<

?

?

???

-++<

?

???

?

，…………6分

令()()()()()

2

1

1,1,1

2

x x x

g x e x x h x g x e x h x e

??

=-++==-+=-

?

??

.

当0x >时，()10x h x e =->；当0x <时，()10x h x e =-<，

()h x ∴在(),0-∞单调递减，在区间()0+∞，内单调递增，()()00h x h ∴≥=，

即()0g x ≥，所以()g x 在R 内单调递增，而()00g =； ∴221

1100;10022

x x e x x x e x x x ????-++>?>-++

??

.

∴当0x <或1x >时，()0f x >；

当01x ≤≤时，()0f x ≤.

∴由()()

20f x x mx n ?+-≥恒成立，可得当0x <或1x >时，20x mx n +-≥，

当01x ≤≤时，20x mx n +-≤，故0和1是方程20x mx n +-=的两根， 从而1,0,1m n m n =-=∴+=-.…………12分

22.解:（Ⅰ）由1x t =-，得1t x =-

，代入2y =+，

20y --=. 由2p =，得24,4

p x y =∴+= 422=+∴y x C 的直角坐标方程为曲线.…………5分

（Ⅱ）,12

x x

C y y

??

??=?∴?=??Q 的直角坐标方程为2214x y +=.

设()2cos ,sin M θθ，则2cos ,sin x y θθ==

.

222224cos cos 2sin 2cos 233x y πθθθθθ?

?∴+=-+=++ ??

?

∴当cos 213πθ?

?

+=- ???

，即1x y =???=??

或1

x y =-???=?

?1.

即当M ? ??

或1,M ?- ??

时，22

2x y +的最小值为1.…………10分 23.解：（Ⅰ）()()()f x x a x b x a x b a b =--+≤--+=+，…………2分 所以()f x 的最大值为a b +，

3a b ∴+=.………………4分

（Ⅱ）当x a ≥时，()()3f x x a x b x a x b a b =--+=--+=-+=-，…………6分 对于x a ?≥，均有()()g x f x <等价于x a ?≥，()max 3g x <-成立，

()g x Q 的对称轴为2a

x a =-<，

()g x ∴在[),x a ∈+∞为减函数，

()g x ∴的最大值为()22223g a a a b a a =---=-+-，…………8分

2233a a ∴-+-<-，即220a a ->，解得0a <或12

a >

， 又因为0,0,3a b a b >>+=，所以

1

32

a <<. ∴实数a 的取值范围是??

?

??3,21………………10分