平均自由程和概率分布剖析
气体分子平均自由程
子间的引力，但考虑了分子斥力起作用时两个分子质心间的距离，即考虑了 分子的体积，而不象理想气体，忽略了分子本身的大小。
4
自由程 ： 分子两次相邻碰撞之间自由通过 的路程 .
5
气体分子平均自由程（mean free path） 平均自由程λ 为分子在连续两次碰撞之间所自 由走过的路程的平均值。
dN K exp( Kx)dx N0
18
由分子自由程的概率分布可求平均自由程 dN K exp( Kx)dx N0
1 K exp( Kx) xdx K 0
dN Kdx N
N Kdx Ln N
0 0
x
N N 0 exp( Kx )
17
N N 0 exp( Kx )
表示从 x =0 处射出了刚被碰撞过的N0个分子，它们 行进到 x 处所残存的分子数 N 按指数衰减。 对上式之右式两边微分，得到
既然（-dN ）表示 N0 个分子中自由程为 x 到x + dx 的平均分子数，则（-dN /N0 ）是分子的自由程在 x 到 x + dx范围内的概率。这就是分子自由程的概率分布。 即分子按自由程分布的规律。
Z 2 π d vn
2
v 1 2 z 2π d n
当气体较稀薄时
p nkT
1 T 一定时 p
kT 2π d 2 p
p 一定时
T
11
例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程 10 和碰撞频率。取分子的有效直径 d 3.5 10 m 已知空气的平均相对分子量为29。 解： 标准状态下
分子运动的平均自由程
分子运动的平均自由程分子运动的平均自由程是指分子在气体或液体中运动时，与其他分子相互碰撞前所能平均自由穿越的距离。
它是分子间碰撞频率与分子运动速度之比的倒数。
分子间碰撞频率取决于分子的浓度和分子的直径。
根据动力学理论，分子运动速度与温度有关，分子运动速度在气体中服从玻尔兹曼分布，而在液体中服从麦克斯韦分布。
对于气体分子运动的平均自由程，可以根据分子间碰撞的概率来计算。
考虑一个气体分子在单位时间内与周围分子发生的碰撞次数，可以用分子的体积与单位时间内碰撞次数的乘积来表示。
这个体积称为碰撞体积。
假设分子的直径为d，则两个分子之间的碰撞体积为πd²。
假设单位体积内气体分子的数目为n，那么单位时间内一个分子完成的与其他分子的碰撞次数为nπd²/4V，其中V为气体的体积。
分子运动速度的分布函数称为速度分布函数或速度概率密度函数，用f(v)来表示。
根据玻尔兹曼和麦克斯韦的理论，f(v)与速度v的关系为f(v) = 4πv² (m/2πkT)^(3/2) * exp(-mv²/2kT)，其中m为分子的质量，k为玻尔兹曼常数，T为温度。
平均自由程λ可以通过碰撞体积与速度分布函数的积分来计算。
当速度为v的分子在单位时间内完成的与其他分子的碰撞次数为nπd²v * f(v)dv。
所以，单位时间内分子完成的平均碰撞数为∫(nπd²v * f(v))dv。
根据定义，平均自由程为碰撞体积与平均碰撞数之比的倒数，即λ = (4V/πd²) / (∫(nπd²v * f(v))dv)。
根据上述公式可以看出，平均自由程与分子间碰撞频率及分子运动速度有关。
当浓度增加或分子直径减小时，分子间碰撞频率增加，平均自由程减小。
当温度增加时，分子运动速度增加，平均自由程也会增加。
总之，分子运动的平均自由程是分子在气体或液体中运动时与其他分子相互碰撞前所能平均自由穿越的距离。
平均碰撞频率和自由程
(1)
dS V
V2 d V pdV V2 R R ln 0 V 1 T V V1
20
实际气体的性质
一. 实际气体的等温线
实际气体的等温线 可以分成四个区域
汽态区(能液化) 汽液共存区 液态区 气态区(不能液化)
CO 2 等Байду номын сангаас线
从图中的曲线可知
只有在较高温度或低的 压强时，CO2气体的性 质才和理想气体相近。
u 运动，其它分子都看作静止不动。
3
单位时间内与分子 A · 发生碰撞的分子数为 平均碰撞频率为 ·
n π d 2u
Z n π d 2u
考虑到所有分子实际上都在运动，则有 u ·
2v
Z 2 nπ d 2v
用宏观量 p 、T 表示的平均碰撞频率为
p p 2 8 RT Z 2 nπ d v 2 πd kT πM T
a ( p 2 )(v b ) RT v
任意质量气体的范德瓦尔斯方程为
m2 a m m ( p 2 2 )(V b ) RT M V M M
24
三 范德瓦尔斯等温线
从图中看出范德瓦尔斯 ·
等温线与实际气体等温 线颇为相似。
在临界等温线以上，二 · 者很接近，并且温度愈 高二者愈趋于一致。但 在临界等温线以下，二 者却有明显的区别。 尽管范德瓦尔斯方程能 · 较好地反映实际气体的
2
4
二. 分子的平均自由程
分子在连续两次碰撞之间自由运动的平均路程，称为分子 的平均自由程。
v 1 λ 2 Z 2πd n
用宏观量 p、T 表示的分子平均自由程为
k T T λ 2 2π d p p
高电压技术知识点总结
•为什么要有高电压：提高输送容量，降低线路损耗，减少工程投资，提高单位走廊输电能力，节省走廊面积，改善电网结构，降低短路电流，加强联网能力。
•电介质：在其中可建立稳定电场而几乎没有电流通过的物质。
•极化：在外电场作用下，电介质内部产生宏观不为零的电偶极矩。
•电介质极化的四种基本类型：电子位移极化，离子位移极化，转向极化，空间电荷极化。
•介电常数：用来衡量绝缘体储存电能的能力，代表电介质的极化程度〔对电荷的束缚能力〕•液体电介质的相对介电常数影响因素(频率)：频率较低时，偶极分子来得及跟随电场交变转向，介电常数较大，接近直流情况下的εd；频率超过临界值，偶极分子转向跟不上电场的变化，介电常数开始减小，介电常数最终接近于仅由电子位移极化引起的介电常数εz。
•电介质的电导与金属的电导有本质上的区别：金属电导是由金属中固有存在的自由电子造成的。
电介质的电导是带电质点在电场作用下移动造成的。
气体：由电离出来的自由电子、正离子和负离子在电场作用下移动而造成的。
液体：分子发生化学分解形成的带点质点沿电场方向移动而造成的。
固体：分子发生热离解形成的带电质点沿电场方向移动而造成的。
•介质损耗：在电场作用下，电介质由于电导引起的损耗和有损极化损耗，总称为介质损耗。
•电介质的等效电路：电容支路：由真空和无损极化所引起的电流为纯容性。
/阻容支路：由有损极化所引起的电流分为有功和容性无功两部分。
/纯阻支路：由漏导引起的电流，为纯阻性的。
•介质损耗因数tgδ的意义：假设tgδ过大会引起严重发热，使材料劣化，甚至可能导致热击穿。
/用于冲击测量的连接电缆，要求tgδ必须小，否则会影响到测量精度/用做绝缘材料的介质，希望tgδ。
在其他场合，可利用tgδ引起的介质发热，如电瓷泥胚的阴干/在绝缘试验中，tgδ的测量是一项基本测量项目•激励：电子从近轨道向远轨道跃迁时，需要一定能量，这个过程叫激励。
•电离：当外界给予的能量很大时，电子可以跳出原子轨道成为自由电子。
热学气体分子平均自由程
气体分子的碰撞截面
碰撞截面
截面对平均自由程的影响
气体分子间的碰撞截面决定了分子间 的相互作用和碰撞概率。
碰撞截面越大，分子间的碰撞概率越 高，平均自由程越短。
截面大小
不同气体分子间的碰撞截面大小不同， 与分子间的距离和相互作用力有关。
气体分子的能量损失
能量损失
01
气体分子在碰撞过程中会损失能量，导致平均自由程的变化。
特性
与气体分子的速度、气体分子的分布、气体分子的碰撞频率等因素有关。
平均自由程与气体分子碰撞频率的关系
碰撞频率
气体分子在单位时间内所发生的碰撞 次数。
关系
平均自由程与气体分子碰撞频率成反 比，碰撞频率越高，平均自由程越小。
平均自由程在热学中的重要性
热传导
平均自由程是影响气体热传导的重要因素之一，通过 改变平均自由程可以调节气体的热传导性能。
总结词
在高温高压条件下，气体分子间的相互 作用力减弱，分子间的碰撞频率降低， 因此平均自由程较大。
VS
详细描述
在高温高压条件下，气体分子间的平均距 离增大，分子间的碰撞频率减少，导致气 体分子的平均自由程增大。这种情况下， 气体分子的运动受到的相互碰撞的限制较 小，运动路径较长。
04 气体分子平均自由程的影 响因素
探索气体分子平均自由程在极端条件下的行为
研究高温、高压、高密度等极端 条件下气体分子平均自由程的变 化规律，揭示其与温度、压力、
密度的关系。
探讨极端条件下气体分子与障碍 物的相互作用，以及气体分子间 的相互作用，以理解其行为特性。
研究极端条件下气体分子输运性 质的变化，为相关领域的应用提
供理论支持。
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平均自由程和概率分布剖析
u
p nkT ,
v
8kT m
4p Z m kT
对于非化学纯气体，设气体由两种成分的气体组成。显然：
1 d d ( d1 d 2 ) 2
碰撞截面为
2
1 ( d1 d 2 ) 2 4
z
2d nv12
由上面的证明可知：
v12 v1 v2
2
2
y
x N,
x dx N dN
残存数
x z 0 0 N0 x t N x+dx t+dt N+dN
dN Ndx
dN Kdx N
dN KNdx
dN Kdx N
N N0e
Kx
N为气体分子行进到x处未被碰撞的分子数（残存数）。
对
N N0e
Kx
1 1 0.37 0.63 e
气体分子平均自由程
一．平均碰撞频率和平均自由程的概念
1. 平均碰撞频率（
z
）
单位时间内一个分子与其它分子碰撞的平均次数。
2. 平均自由程（ ）
一个分子在两次连续碰撞间自由运动的平均路程。
在分子的平均速率一定的情况下，分子间的碰撞越频繁， Z 就越大，而 就越小。
二．平均碰撞频率和平均自由程的计算
10 d 3 . 6 10 (m ) ） （
p 25 3 2.69 10 ( m ) 解： n kT
8 RT v 4.25 10 2 ( m / s ) M z 2d 2 v n 6.85 109 (次/秒) v / z 6.46 10 8 ( m )
2、平均自由程
v z
3.5气体分子平均自由程详解
3. 在一容积不变的封闭容器内理想气体分子的平均速率若提高为原来 的2倍，则 (A) 温度和压强都提高为原来的2倍．
(B) 温度为原来的2倍，压强为原来的4倍．
(C) 温度为原来的4倍，压强为原来的2倍． (D)温度和压强都为原来的4倍． 4.
v 446 m 6.9 108 m 9 Z 6.5 10
与分子直径3.5×10-10m相比，标况下是其d的200倍。
第二章复习小结
一、概率的基本性质及求平均值的方法 1等概率性
2运算法则
3平均值公式 4概率分布函数
二、麦克斯韦速率、速度分布
1两种分布曲线 2三种统计速率 3速度空间、代表点 三、重力场中自由粒子分布、等温大气压强公式
经上述分析，存在一个以分子A的质心 为圆心、d为半径垂直于射线束的圆： 所有射向圆区的分子都有不同程度的散 射，而圆外区域分子轨迹不发生偏折。
定义：分子散射截面: d 2
对两个分子有效直径分别为d1和d2的分子，其碰撞截面：
d1 d 2 1 2 d d 1 2 2 4
2
(A) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线； v p O
v (B) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线； v v (C) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线； v v (D) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线； v v
2
2
p H 2 p H 2 p H 2
2
2、分子间平均碰撞频率
分子间平均碰撞频率▬▬单位时间内一个分子的平均碰撞次数。 转换研究对象，现在假设B分子束相对静止，A分子以相对速度v12 运动，其运动发生碰撞的轨迹如图： A分子每碰到一个视为质点的B分子就 改变一次运动方向。
6-3 气体分子速率分布率和平均自由程
100~200
200~300 300~400
0.081
0.165 0.214
400~500
500~600 600~700
0.206
0.151 0.092
700~800
800~900 900以上
0.048
0.021 0.009
第三节
气体分子速率分布律和能量分布律
N 1 由此数据为依据，以v N v 为横轴，以单位速率间隔 21.4% 内的分子数在总分子数内 所占的百分比为纵轴，作 16.5% 如图所示的锯齿形图。注 8.0% 意在速率间隔∆ν内实际包 200 400 括由v到v+∆ν内的所有速率 的分子。
f (v)
平 均 速 率
O
v
v
第三节
气体分子速率分布律和能量分布律
方均根速率：
气体分子速率平方的平均值的平方根。
v
2
N
0
v dN N
2
0
m e v f (v) 4p 2pkT
3 dN 2 2 mv 2 f (v )dv 2 2 kT RT 3kT 3 RT v N m 1.73
dN f (v )dv N
或
dN f (v ) Ndv
分子速率分布函数
第三节
气体分子速率分布律和能量分布律
速率分布函数
dN f (v ) Ndv
a、物理意义： 速率在v 附近的单位速率区间的 分子数占总分子的百分比。 b、应用: 确定分布在任一有限速率分布范围v1～v2 内的分子数占总分子数的百分比。
mv2 2 kT v 2 e
第三节
气体分子速率分布律和能量分布律
气体的平均自由程
气体的平均自由程1.引言气体是一种物质的状态，其分子间距离较大，分子之间互相碰撞，从而导致气体的压力和体积的变化。
在气体中，分子的运动方式主要是直线运动，分子之间的相互碰撞也起到了调控气体性质的作用。
而气体的平均自由程指的是气体分子在连续碰撞之间所行走的平均距离。
2.气体分子的运动在气体状态下，分子以高速无规则运动，具有自由度较大的特点。
气体分子之间存在着各向异性的吸引力和排斥力，这是由分子之间的相互作用力所决定的。
在气体中，分子的运动可以分为两种，即传递运动和总动量守恒运动。
传递运动是指气体分子在各个方向上的直线运动，分子之间不停地互相碰撞。
这种运动是混沌的，难以预测，但总体上表现为均匀分布。
总动量守恒运动是指在两个分子碰撞时总动量守恒不变。
当两个分子相撞时，它们之间会发生弹性碰撞，即动能的转移，但总动量保持不变。
这种运动保证了气体分子的整体运动特性。
3.气体分子的平均自由程定义气体分子之间的碰撞是气体宏观性质（如压力、温度等）的基础。
气体分子的平均自由程是指在连续碰撞之间，气体分子在气体中走过的平均距离。
对于一般气体的分子，它们的平均自由程与气体分子的直径、气体分子的密度以及气体的压力有关。
可以通过下面的公式来计算气体分子的平均自由程（λ）：λ = 1 / (2 * √2 * π * d^2 * N/V)其中，d是分子直径，N是纳瓦特数（即单位体积中分子的数量），V是气体的体积。
需要注意的是，以上公式仅适用于稀薄气体，即气体分子之间的平均距离远大于气体分子的直径的情况。
对于高密度气体（如气体接近液体状态），平均自由程的计算需要考虑分子之间的相互作用力。
4.气体分子的平均自由程与气体性质的关系气体分子的平均自由程是气体性质的重要参数，它与气体的压力、温度以及分子之间的相互作用力密切相关。
在相同温度下，当气体分子的平均自由程较小时，分子之间的碰撞频率较高。
这会导致气体的压力增大，因为分子碰撞对容器壁施加了较大的冲击力。
电子在材料中的非弹性散射平均自由程的理论
温度与掺杂浓度的调控
温度
温度的变化会影响晶格振动的幅度和频率，进而改变电子与声子的相互作用，导致非弹性散射平均自 由程的变化。
掺杂浓度
通过掺杂可以改变材料中的载流子浓度和类型，进而影响电子的非弹性散射过程，实现对平均自由程 的调控。
。
CHAPTER 02
非弹性散射理论基础
费米黄金定则
定义与意义
费米黄金定则是量子力学中描述跃迁概率的基本定理，得名 于意大利物理学家恩里科·费米和美国物理学家戈德堡。它给 出了从一个量子态跃迁到另一个量子态的概率。
在非弹性散射中的应用
在非弹性散射过程中，电子与材料中的粒子（如声子）发生 相互作用，导致电子能量发生变化。费米黄金定则可以用来 计算这种相互作用的概率，从而了解非弹性散射过程的性质 。
CHAPTER 05
平均自由程影响因素与调控
材料晶体结构的影响
1 2 3
晶体结构类型
不同的晶体结构（如立方、六方、四方等）会对 电子的非弹性散射产生不同的影响，进而影响平 均自由程。
晶格常数与原子间距
晶格常数和原子间距的变化会导致电子与晶格相 互作用的强度改变，从而影响非弹性散射平均自 由程。
晶体缺陷与杂质
与弹性散射的区别
与弹性散射不同，非弹性散射中电子与材料之间存在能量交换，而不仅仅是改 变运动方向。
平均自由程概念
平均自由程定义
平均自由程是描述粒子在连要参数。
物理意义
平均自由程反映了材料中散射事件的频繁程度，平均自由程较短意味着粒子在材 料中容易受到散射，输运性质受影响较大。
电子态密度的意义：电子态密度描述了单位能量范围内电子态的 数量，反映了材料中电子的分布情况。它对理解非弹性散射过程 中电子的跃迁和能量传递具有重要意义。
平均自由程和概率分布剖析课件
离散型概率分布
离散型随机变量取各个可能值的概 率分布情况。常见的离散型概率分 布有二项分布、泊松分布等。
连续型概率分布
连续型随机变量在一定区间内取值 的概率分布情况。常见的连续型概 率分布有正态分布、指数分布等。
离散型概率分布举例
二项分布
在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X服从二项分布。记作X~B(n,p)，其中n为试验次数，p为 事件A发生的概率。二项分布的期望和方差分别为np和np(1-p)。
05
数值计算方法及实例展示
蒙特卡罗方法简介
蒙特卡罗方法概述 蒙特卡罗方法是一种以概率统计理论为指导的数值计算方 法，通过随机抽样和统计实验来求解数学问题。
蒙特卡罗方法特点 具有广泛的适用性，可用于解决高维、复杂、非线性等问 题；同时，随着计算机技术的发展，蒙特卡罗方法在各个 领域得到了广泛应用。
平均自由程对概率分布影响机制剖析
碰撞频率
平均自由程的倒数反映了粒子在单位时间内发生碰撞的频率，从而 影响粒子速度、能量等概率分布。
散射角分布
平均自由程与散射角分布密切相关，散射角分布决定了粒子在碰撞 后的运动方向，进而影响空间概率分布。
输运系数
平均自由程参与计算粒子的扩散系数、迁移率等输运系数，这些系数 描述了粒子在介质中的宏观运动特性，与概率分布息息相关。
平均自由程和概率分布剖析 课件
目 录
• 引言 • 平均自由程深入解析 • 概率分布基础概念梳理 • 平均自由程与概率分布关系探讨 • 数值计算方法及实例展示 • 总结与展望
contents
01
引言
课程背景与目的
课程背景
介绍平均自由程和概率分布的研 究历史、应用领域及其在现实生 活中的重要性。
分子动理论的初步知识
05
分子动理论的应用实例
气体动力学的分子动理论解释涉及分子平均自由程的概念和气体流动的分子碰撞模型。
总结词
在气体动力学中，分子动理论用于解释气体分子的平均自由程和碰撞频率。通过考虑气体分子的速度和碰撞频率，可以建立气体流动的分子碰撞模型，进而研究气体的宏观流动特性。
详细描述
气体动力学的分子动理论解释
温度对分子平均动能的影响
温度是分子平均动能的量度，也就是说，在相同的条件下，温度越高，分子平均动能越大。
分子平均动能与温度的关系
分子平均自由程的定义
分子平均自由程与气体性质的关系
分子碰撞频率与平均自由程的关系
分子平均自由程与气体性质的关系
分子扩散的定义
由于浓度梯度的存在，物质分子会从高浓度区域向低浓度区域进行的自发转移过程称为分子扩散。
xx年xx月xx日
分子动理论的初步知识
CATALOGUE
目录
分子动理论概述分子动理论的基本原理分子动理论的数学表述分子动理论的重要结论分子动理论的应用实例
01
分子动理论概述
1
分子动理论的基本概念
2
3
分子动理论是研究气体分子运动规律的物理学分支。
它涉及分子的速度分布、碰撞频率和平均自由程等概念。
分子动理论在科学中的应用
分子动理论在物理学、化学、生物学和其他领域都有广泛的应用。
此外，分子动理论还为化学反应动力学提供了基础，有助于理解反应过程中的分子碰撞和能量转换。
它用于解释气体的物性（如压强、温度和粘度）以及传递现象（如扩散和热传导）。
在生物学领域，分子动理论有助于解释生物大分子的运动和相互作用，为生物医学研究提供了重要支持。
详细描述
在固体导热过程中，热量通过晶格振动（即声子）传递。声子是一种传递热量的粒子，其在固体中扩散并带动热流。分子动理论通过考虑声子的产生和传播来解释固体导热现象。
《核反应堆物理分析》知识点整理
第一章—核反应堆的核物理基础直接相互作用：入射中子直接与靶核内的某个核子碰撞，使其从核里发射出来，而中子却留在了靶核内的核反应。
中子的散射：散射是使中于慢化(即使中子的动能减小)的主要核反应过程。
非弹性散射：中子首先被靶核吸收而形成处于激发态的复合核，然后靶核通过放出中子并发射γ射线而返回基态。
弹性散射：分为共振弹性散射和势散射。
111001100[]AA A ZZ Z AA Z Z X n X X n X n X n +*+→→++→+微观截面：一个粒子入射到单位面积内只含一个靶核的靶子上所发生的反应概率，或表示一个入射粒子同单位面积靶上一个靶核发生反应的概率。
宏观截面：表征一个中子与单位体积内原子核发生核反应的平均概率大小的一种度量。
也是一个中子穿行单位距离与核发生相互作用的概率大小的一种度量。
平均自由程：中子在介质中运动时，与原子核连续两次相互作用之间穿行的平均距离叫作平均自由程。
核反应率：每秒每单位体积内的中子与介质原子核发生作用的总次数(统计平均值)。
中子通量密度：某点处中子密度与相应的中子速度的乘积，表示单位体积内所有中子在单位时间内穿行距离的总和。
多普勒效应：由于靶核的热运动随温度的增加而增加，所以这时共振峰的宽度将随着温度的上升而增加，同时峰值也逐渐减小，这种现象称为多普勒效应或多普勒展宽。
瞬发中子和缓发中子：裂变中，99％以上的中子是在裂变的瞬间(约10-14s)发射出来的，把这些中子叫瞬发中子；裂变中子中，还有小于1％的中子是在裂变碎片衰变过程中发射出来的，把这些中子叫缓发中子。
第二章—中子慢化和慢化能谱慢化时间：裂变中子能量由裂变能慢化到热能所需要的平均时间。
扩散时间：无限介质内热中子在自产生至被俘获以前所经过的平均时间。
平均寿命：在反应堆动力学计算中往往需要用到快中子自裂变产生到慢化成为热中子，直至最后被俘获的平均时间，称为中子的平均寿命。
慢化密度：在r 处每秒每单位体积内慢化到能量E 以下的中子数。
常用的概率分布类型及其特征
常用的概率分布类型及其特征概率分布是用来描述随机变量的取值的概率的函数。
不同的概率分布具有不同的特征和应用范围。
以下是常用的概率分布类型及其特征。
1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利分布是最简单的概率分布之一，它描述了只有两个可能结果的离散随机变量的概率分布。
例如，抛一枚硬币的结果可以是正面或反面。
伯努利分布的特征是它的均值和方差分别等于成功的概率（p）和失败的概率（1-p）。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布是一种描述离散随机变量成功次数的概率分布。
它描述了在n次独立试验中成功的次数。
例如，投掷一枚硬币n次，成功的次数即为正面出现的次数。
二项分布的特征是它的均值等于试验次数乘以成功概率，方差等于试验次数乘以成功概率乘以失败概率。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布适用于描述单位时间内独立事件发生的次数的概率分布。
例如，在一小时内到达一些公共汽车站的乘客数。
泊松分布的特征是它的均值和方差相等，并且与单位时间内事件发生的频率（λ）相关。
4. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的概率分布之一，它以钟形曲线表示。
正态分布适用于连续变量，例如身高、体重等。
正态分布的特征是它的均值和方差决定了曲线的位置和形状。
均值决定了曲线的中心，而方差决定了曲线的宽窄。
5. 卡方分布（Chi-Square Distribution）：卡方分布适用于描述随机变量和它的平方之和的概率分布。
它在统计推断中经常用于检验统计模型的拟合优度。
卡方分布的特征是它的自由度决定了分布的形状。
6. t分布（Student's t-Distribution）：t分布适用于样本容量较小，总体标准差未知的情况。
t分布的特征是它的形状比正态分布更扁平，更厚尾。
7. F分布（F-Distribution）：F分布适用于进行方差分析等统计推断问题。
气体分子速率分布与平均自由程.
m
) e v 3 2
mv2 2 kT
2
2 kT
dN 4 (
m
)3
2
e
mv2 2 kT
v2dv
N
2 kT
反映理想气体在热动 平衡条件下，各速率区间
f (v) dN Ndv
f (v)
分子数占总分子数的百分
比的规律 .
青岛科技大学
o
v
大学物理讲义
五 三种统计速率
1）最概然速率(most
大学物理讲义
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 v p 的概念
下面哪种表述正确？
v （A） p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. v （B） p 是速率最大的速度值. v （C） p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比
率最大.
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大学物理讲义
例 计算在 27 C 时，氢气和氧气分子的方均
vp
2kT m
2RT M
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大学物理讲义
vp
2kT m
v 8kT
m
v2 3kT m
f (v)
T1 300K T2 1200K
o vp1 vp2
v
N2 分子在不同温度 下的速率分布
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f (v)
O2 H2
o vp0 vpH
v
同一温度下不同气 体的速率分布
理想气体的内能 ：分子动能和分子内原子间的
势能之和 . 1 mol 理想气体的内能
E
NA
i 2
RT
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平均自由程
结果表明，碰撞后二粒子的 ' O O ' 回旋中心位置 1 、 2 , r r 回旋半径 1 、2 无论怎么发生变化，但是 r1 r2 r1 r2 AA 是不变的！ 这意味着碰撞前后回旋中心连线的中点 M是固定 不动的，因此不引起横越磁场扩散。由此可见， 横越磁场扩散只能是由不同类粒子碰撞引起的。
方程组中消去 u y ，得 u x；则
x
1
T n x n x u x 1 (c )2 m x
D n r 即 式中 D 为垂直磁场方向的扩散系数
D D T 1 2 1 (c ) m 2 1 (c )2 1
（3）粒子磁约束时间与横向扩散系数间的关系 n u D n 已知扩散定律 代入连续性方程
n n u 0 t
得
n D n r , t t
当 D 近似地与r无关时，上式化为
n D 2 n t
2. 输运方程研究粒子扩散
假设流体元无整体平均运动，无外电场，只存在粒 子数密度空间不均匀，则会引起粒子流。动量输运 方程 du
m n dt p n q u B R
再假定温度为常量，则由理想气体状态方程
p T n
对于静态、没有宏观快速流动，粒子流仅由碰撞引 起的缓慢的扩散流，则摩擦阻力可近似地取为 更精确 R 0.51m n u
离子和电子的扩散系数之比（设 Ti Te ）为
De mi i mi Di me e me
2
1
2T D m
2 2
i e me e i mi
1
De me i De De ci i me Di Di ce e Di mi e mi
气动物理学
麦克斯韦速度分布函数F(v)（*自学）
dN N
F(v)dvxdvydvz
(
m 2kT
)3/
2
mv2
e 2kT
dvxdv
ydvz
上面我们没有考虑外力场对气体分子的作用,气 体按位置的分布是均匀的，概率因子：
f e Ek / kT
Ek
1 2
m v2
考虑分子受到外力作用而具有势能,将Ek
的数密度，n比较大时，气体的行为与理想气体状态方
程就有较大的差异。这是因为，在这种情况下，气体分 子本身的体积不能不考虑，而且，分子间的相互作用力 也不能忽略。1873年，荷兰物理学家J．范德瓦耳斯考虑
了上述两个因素，对理想气体状态方程作了修正。
考虑到分子本身的体积，且分子之间斥力导致 可压缩空间的减少，气体占有的体积比容器的 体积要小，则1 mol气体的状态方程可修改为
v
2
2kT
麦克斯韦速率分布曲线的特点：
f(v) f(v)
f(v)
麦克斯韦速率分布曲线的特点：
a:最概然速率vp
dN
N
分布在速率vp--vp+dvp速率间隔的
分子数占总分子数的概率最大。
b:不同温度下的速率分布曲线
O vpvp+dvp
v
c:不同的气体质量下的速率分布曲线
73K
273K
1273K
m1
m1 m2
——分布在速率v1—v2
速率间隔的分子数
o v1 v2
v
二、麦克斯韦速率分布律
问题:速率的分布函数f(v)的具体形式是怎样的?
1859年麦克斯韦从理论上得到速率分布定律：
f (v) 4 (
§3.6 气体分子平均自由程
E 的质心不 在圆柱体内,
不被碰撞
C 的质心在圆柱体 内被碰撞
Z n d 2 v12
其中 n 是气体分子数密度，式中最后一个因子是 A
分子相对于其他分子运动的平均速率,称为相对运动平
均速率。 对于同种分子 v12 2 v
平均碰撞频率为 Z 2nv
其中 π d 2
p nkT, v 8kT , πm
v 6.9 10 8 m
Z •空气分子有效直径 d = 3.5 10-10 m 。
•可见标准状况下 200 d
讨论理想气体基本假定时的一个问题
§3.6 气体分子平均自由程
• 气体的输运过程来自分子的热运动。
• 气体分子运动过程经历十分频繁的碰撞。 • 碰撞使分子不断改变运动方向与速率大小，使分子行
进的轨迹十分曲折。 碰撞使分子间不断交换能量与动量。 • 系统的平衡也需借助频繁的碰撞才能达到。 本节将介绍一些描述气体分子间碰撞特征的物理量：
碰撞截面、平均碰撞频率及平均自由程。
§3.6.1 碰撞（散射）截面
第二章曾经对分子碰撞过程利用下图作较为直观而又 十分简单的定性分析， 在分析中假定两分子做对心碰撞。 实际上两分子做对心碰撞的概率非常小, 大量发生的是非对心碰撞。 下面讨论非对心碰撞。
引入碰撞截面概念:
下图表示视作质点的 B 分子束平行射向静止的 A 分
表示对于同种气体，平均自由程与n成反比，而与平均
速率无关。
kT 2p
表示同种气体在温度一定时，平均自由程与压强成 反比。
平均自由程公式应用于日光灯,显像管
•[例3.1] 试求标准状况下空气分子的平均自由程。 •[解] 标准状况下空气分子的平均速率为446 m.s-1，平 均碰撞频率为,
平均自由程名词解释
平均自由程名词解释
平均自由程 (average free path) 是物理学中的一个概念，表示粒子 (如电子、光子、声子等) 在介质中传播时，每次遇到障碍物 (如分子、原子、晶格等) 而被反弹的次数。
每次反弹的时间间隔称为平均自由程。
平均自由程是描述粒子在介质中传播时路径弯曲程度的指标，可以用来计算粒子在介质中的传播速度、扩散系数等。
在量子力学中，平均自由程还被用来描述粒子在介质中的散射现象。
平均自由程的计算公式为:
λ = 2πn/β
其中，n 是介质的折射率，β是粒子在介质中的波矢。
如果粒子是电磁波，则β=2π/λ，其中λ是波长。
如果粒子是电子，则β=h/(mc),其中 h 是普朗克常数，m 是电子质量，c 是光速。
平均自由程的概念在物理学、化学、材料科学等领域都有广泛的应用。
核反应堆物理分析
23592U + 01n → [23692U]* → 23692U +γ
a
16
1.2 中子截面和核反应率
1.2.1 微观截面
ΔI=-σINΔx 式中σ为比例常数，称为微观截面，它与靶核的性质和 中子的能量有关，
I I/I
INx Nx
ΔI/I为中子束中与靶核发生作用的中子所占的比例； NΔx是对应单位面积上的靶核数。
核
第一个激发态/MeV
第二个激发态/MeV
12C 16O 23Na 27Al 56Fe 238U
4.43 6.06 0.45 0.84 0.84 0.045
a
7.65 6.14 2.0 1.01 2.1 0.145
12
弹性散射：弹性散射在中子的所有能量范围内都能发生。 它可分为共振弹性散射和势散射。前者经过 复合核的形成过程，后者不经过复合核的形 成过程。
按引起裂变反应的中子能量不同：热中子反应堆和快中子 反应堆。
a
4
1.1 中子与原子核的相互作用
1.1.1 中子 中子是组成原子核的核子之一,中子不带电,它与原子
核不存在库仑相互作用,它亦不能产生初级电离。自由中 子的不稳定，可通过β衰变转变成质子,半衰期为10.3分 钟。在热中子反应堆中瞬发中子的寿命约为10-3 ～10-4 秒,比自由中子的半衰期短很多,因此在反应堆分析中可 以不考虑自由中子的寿命。
x Nixi
i
对于化合物，分子量为M, 密度为ρ，每个化合物分子中含
第i种元素的原子数目为υi则化合物中第i种元素的核子 密度为：
Ni
i
N0
M
a
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气体分子碰撞的概率分布
一、气体分子的自由程分布
分子间碰撞的平均频率及平均自由程,虽然它们均能表示 分子间碰撞的主要特征，但不能反映分子间碰撞的随机性质。
分子在两次碰撞之间所走过的路程有长有短。为了描述 这种随机性质，必须找到它x到x+dx范围内受到碰撞的概率, 即分子的自由程处于x到x+dx范围内的概率。
p nkT,
v 8kT
m
Z 4p mkT
对于非化学纯气体，设气体由两种成分的气体组成。显然：
d
d
1 2
(d1
d2
)
碰撞截面为
1 4
(d1
d2)2
z 2d 2nv12
2、平均自由程
由上面的证明可知：
v12
v2 1
v2 2
v 1
z
2d 2n
v 1 z 2d 2n
由 p nkT 得
例：求自由程大于和小于平均自由程的分子概率
解：
N(x )
1
e
x
d
x
1
0.37
N0
e
N(x )
1
e
x
dx
1
1
1
0.37
0.63
N0
e
气体分子平均自由程
一．平均碰撞频率和平均自由程的概念
1. 平均碰撞频率（ z ）
单位时间内一个分子与其它分子碰撞的平均次数。
2. 平均自由程（ ）
一个分子在两次连续碰撞间自由运动的平均路程。
在分子的平均速率一定的情况下，分子间的碰撞越频繁， Z就 越大，而 就越小。
二．平均碰撞频率和平均自由程的计算
y
x N, x dx N dN
残存数
z0 0 N0
x x+dx t t+dt N N+dN
x
dN Ndx
dN KNdx
dN Kdx N
dN Kdx N
N N 0e Kx
N为气体分子行进到x处未被碰撞的分子数（残存数）。
对 N N 0e Kx 求微分
dN KeKx p(x) N0dx
u
1、平均碰撞频率 z
对于化学纯气体，分子A与其他分子发生碰撞时，可假
定其他分子不动，而分子A以平均相对速率 u 运动。
假定分子的有效直径为d，即两分子的中心距小于或等于 d时发生碰撞。
z d 2ut n d 2nu
t
可以证明：
u 2v
u
z 2d 2nv 2nv
其中 d 2 称为分子碰撞截面。
分子自由程分布概率密度
dN KeKx dx N0
分子按自由程分布规律
平均自由程
f (x)xdx
KeKx dx 1
0
0
K
P(x) 1/λ
1 x
N N0e
N
x
e
N0
0
x x+dx
x
分子按自程分布规律
dN
1
x
e dx
N0
气体分子行进到x处未被碰撞的分子数占总 分子数的比率——概率
kT 2d 2 p
z 2d 2nv 4p mkT
平均自由程 和碰撞频率 的Z大小是由气体的性质和状态决
定的。
例: 计算标态下 O2 系统分子的平均碰撞次数和平均自由程。
（ d 3 .6 10 10 ( m ) ）
解： n p 2.69 1025 (m3 ) kT
v 8RT 4.25102 (m / s)