2004年高中数学联赛试题和详细解答

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2004年全国高中数学联赛加试题另解

2004年全国高中数学联赛加试题另解
AK AF = . AM AB A F・ AM 216 = . AB 25
因为 BD ⊥AC ,所以 , AB = BC = 25. 由 DF ⊥AB , CE ⊥AB 知 DF ∥CE ,所以 , 1 1 F 为 A E 中点 , A F = A E = ( 25 - 7) = 9. 2 2 由 D、 G、 F、 E 四点共圆 ,得 ∠A FG = ∠ADE = ∠ABC . 故 GF ∥BC . 又因为 AH ⊥BC ,所以 , A K ⊥GF. 在 Rt △A KF 中 ,有 A K = A Fsin ∠A FG = A Fsin ∠ABC 24 216 =9 × = . 25 25 ( 刘 才 华 山 东 省 宁 阳 第 一 中 学 , 271400) . 解法 3 :由题意得 CE = 24 , BD = 20. 以 AB 所在直线为 x 轴 、 EC 所在直线为 y 轴建立直角坐标系 ,则 B ( 7 ,0) , C ( 0 ,24) . 设 A ( a ,0) ,则直线 AC 的方程为
2 bn 1
n x = bn y -
= 1
n
.
令 y = 0 可得 1
an = bn ・ n
1
n
2
2 bn
b n + 2 bn
= bn ・ = bn ・ =
b n + 2 bn bn + 2 bn + 2 - 2
2
2 bn
( n + 1) 2 + 1 + n + 1 ] n 1 < =1 . n +1 n +1 1 1 1 1 1 + + + + …+ 4 008 2 3 4 5 2 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + 2 3 4 5 6 7 8 1 1 …+ 4 007 + …+ 4 008 2 +1 2 ( n + 1) [

4全国高中数学联赛试题及参考答案

4全国高中数学联赛试题及参考答案

2004年全国高中数学联赛试题【第一试】一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1、设锐角q 使关于x 的方程0cot cos 42=++θθx x 有重根,则q 的弧度数为A .6πB 。

12512ππ或C 。

1256ππ或D 。

12π答:[ ]2、已知M={}32|),(22=+y xy x ,N={}b mx y y x +=|),(,若对于所有的R m ∈,均有,φ≠⋂N M 则b 的取值范围是A .[26,26-] B 。

(26,26-)C 。

(332,332-) D 。

[332,332-] 答:[ ]3、不等式2log 211log 3212++-x x >0的解集是A .[2,3]B 。

(2,3)C 。

[2,4]D 。

(2,4) 答:[ ]4、设O 点在△ABC 内部,且有032=++OC OB OA ,则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为A .2B 。

23C 。

3D 。

35答:[ ]5、设三位数abc n =,若以c b a ,,为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数有A .45个B 。

81个C 。

165个D 。

216个 答:[ ]6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆内的点,O 为底面圆的圆心,AB ⊥OB ,垂足为B ,OH ⊥PB ,垂足为H ,且PA=4,C 是PA 的中点,则当三棱锥O —HPC 的体积最大时,OB 的长是A .35B 。

352C 。

36D 。

362 答:[ ]二、填空题(本题满分54分,每小题9分)7、在平面直角坐标系xoy 中,函数)0(cos sin )(〉+=a ax ax a x f 在一个最小正周期长的区间上的图像与函数1)(2+=a x g 的图像所围成的封闭图形的面积是_____________。

8、设函数,:R R f →满足1)0(=f ,且对任意的R y x ∈,,都有)1(+xy f =2)()()(+--x y f y f x f ,则________________)(=x f 。

2004年全国高中数学联赛(四川省初赛含答案)

2004年全国高中数学联赛(四川省初赛含答案)
-2 在 n-1 元子集中出现 Cn n-1次, -2 n 1 故数字 1 在所有子集中出现的次数为 1+Cn1-1+Cn2-1+……+Cn n-1=2 -1 次.……10'

……5'
对其余数字有完全相同的结论. n(n+1) n-1 - 于是 Sn=(1+2+3+……+n)(2n 1-1)= (2 -1) 2 ∴ lim n(n+1)(2n 1-1) 1 Sn = lim = Bn n→∞ 2n2· 2n 4 n→∞n ·
(a2-R2)(R2-b2) 2 2 a2b2 = =a +b -R2- 2 2 R R ab =(a-b)2-(R- )2≤(a-b)2. R 即|AB|≤a-b,当且仅当 R= ab时取等号. 所以,A、B 两点的距离|AB|的最大值为 a-b. ……20' ……15'
第5页
∵AE、AF 分别是△ABC 的∠A 及其外角平分线, ∴AE⊥AF 又∵HE⊥AE,HF⊥AF ∴四边形 AEHF 为矩形. 因此 AH 与 EF 互相平分,设其交点为 G 1 1 于是:AG= AH= EF=EG 2 2 而 OA=OM,且 OD∥AH ∴∠OAM=∠OMA=∠MAG=∠GEA 故 EG∥OA (1) ……10' ……5'
第1页
H、K 三点的平面交侧棱 VC 于 L,则四边形 AHLK 的面积为_______________. 12.已知 a、b、x 是实数,函数 f(x)=x2-2ax+1 与函数 g(x)=2b(a-x)的图象不相交,记参 数 a、 b 所组成的点(a, b)的集合为 A, 则集合 A 所表示的平形图象的面积为___________. 三、解答题(每小题 20 分,4 个小题共计 80 分) 13.已知数列{an}满足 a1=1,an=2an-1+n-2(n≥2),求通项 an. 14.如图,O、H 分别是锐角△ABC 的外心和垂心,D 是 BC 边的中点, 由 H 向∠A 及其外角平分线作垂线, 垂 足分别是 E 是 F.证明:D、E、F 三点共线. 15.设 A={1,2,……,n},用 Sn 表示 A 的所有非空真

2004年全国高中数学联赛试题及解答

2004年全国高中数学联赛试题及解答

2004年全国高中数学联赛试卷第一试一.选择题(本题满分36分,每小题6分)1.设锐角使关于x的方程x2+4x cos+cos=0有重根,则的弧度数为( )A.B.或C.或D.2.已知M={(x,y)|x2+2y2=3},N={(x,y)|y=mx+b}.若对于所有的m∈R,均有M∩N,则b的取值范围是( )A.[-,] B.(-,) C.(-,] D.[-,]3.不等式+log x3+2>0的解集为A.[2,3) B.(2,3] C.[2,4) D.(2,4]4.设点O在ABC的内部,且有+2+3=,则ABC的面积与AOC的面积的比为( )A.2 B.C.3 D.5.设三位数n=,若以a,b,c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n有( )A.45个B.81个C.165个D.216个6.顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A是底面圆周上的点,B是底面圆内的点,O为底面圆圆心,AB⊥OB,垂足为B,OH⊥PB,垂足为H,且PA=4,C为PA的中点,则当三棱锥O-HPC的体积最大时,OB的长为 ( )A.B.C.D.二.填空题(本题满分54分,每小题9分)7.在平面直角坐标系xOy中,函数f(x)=a sin ax+cos ax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)=的图像所围成的封闭图形的面积是;8.设函数f:R→R,满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(x)=;9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BD1—A1的度数是;10.设p是给定的奇质数,正整数k使得也是一个正整数,则k=;11.已知数列a0,a1,a2,…,a n,…满足关系式(3-a n+1)(6+a n)=18,且a0=3,则的值是;12.在平面直角坐标系xOy中,给定两点M(-1,2)和N(1,4),点P 在x轴上移动,当∠MPN取最大值时,点P的横坐标为;三.解答题(本题满分60分,每小题20分)13.一项“过关游戏”规则规定:在第n关要抛掷一颗骰子n次,如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n,则算过关.问:⑴某人在这项游戏中最多能过几关?⑵他连过前三关的概率是多少?14.在平面直角坐标系xOy中,给定三点A(0,),B(-1,0),C(1,0),点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项.⑴求点P的轨迹方程;⑵若直线L经过ABC的内心(设为D),且与P点轨迹恰好有3个公共点,求L的斜率k的取值范围.15.已知,是方程4x2-4tx-1=0(t∈R)的两个不等实根,函数f(x)=的定义域为[,].⑴求g(t)=max f(x)-min f(x);⑵证明:对于u i∈(0,)(i=1,2,3),若sin u1+sin u2+sin u3=1,则++ <.二试题一.(本题满分50分)在锐角三角形ABC中,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点,FG与AH相交于点K,已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK的长.二.(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中,y轴正半轴上的点列{A n}与曲线y=(x≥0)上的点列{B n}满足|OA n|=|OB n|=,直线A n B n在x轴上的截距为a n,点B n的横坐标为b n,n∈N*.⑴证明a n>a n+1>4,n∈N*;⑵证明有n0∈N*,使得对∀n>n0,都有++…++<n-2004.三.(本题满分50分)对于整数n≥4,求出最小的整数f(n),使得对于任何正整数m,集合{m,m+1,…,m+n-1}的任一个f(n)元子集中,均至少有3个两两互素的元素.2004年全国高中数学联赛试卷第一试一.选择题(本题满分36分,每小题6分)1.设锐角使关于x的方程x2+4x cos+cot=0有重根,则的弧度数为( )A.B.或C.或D.解:由方程有重根,故=4cos2-cot=0,∵ 0<<,2sin2=1,=或.选B.2.已知M={(x,y)|x2+2y2=3},N={(x,y)|y=mx+b}.若对于所有的m∈R,均有M∩N,则b的取值范围是( )A.[-,] B.(-,) C.(-,] D.[-,]解:点(0,b)在椭圆内或椭圆上,2b2≤3,b∈[-,].选A.3.不等式+log x3+2>0的解集为A.[2,3) B.(2,3] C.[2,4) D.(2,4]解:令log2x=t≥1时,>t-2.t∈[1,2),x∈[2,4),选C.4.设点O在ABC的内部,且有+2+3=,则ABC的面积与AOC的面积的比为( )A.2 B.C.3 D.解:如图,设AOC=S,则OC1D=3S,OB1D=OB1C1=3S,AOB=OBD=1.5S.OBC=0.5S,ABC=3选C.5.设三位数n=,若以a,b,c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n有( )A.45个B.81个C.165个D.216个解:⑴等边三角形共9个;⑵等腰但不等边三角形:取两个不同数码(设为a,b),有36种取法,以小数为底时总能构成等腰三角形,而以大数为底时,b<a<2b.a=9或8时,b=4,3,2,1,(8种);a=7,6时,b=3,2,1(6种);a=5,4时,b=2,1(4种);a=3,2时,b=1(2种),共有20种不能取的值.共有236-20=52种方法,而每取一组数,可有3种方法构成三位数,故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数.选C.6.顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A是底面圆周上的点,B是底面圆内的点,O为底面圆圆心,AB⊥OB,垂足为B,OH⊥PB,垂足为H,且PA=4,C为PA的中点,则当三棱锥O-HPC的体积最大时,OB的长为 ( )A.B.C.D.解:AB⊥OB,PB⊥AB,AB⊥面POB,面PAB⊥面POB.OH⊥PB,OH⊥面PAB,OH⊥HC,OH⊥PC,又,PC⊥OC,PC⊥面OCH.PC是三棱锥P-OCH的高.PC=OC=2.而OCH的面积在OH=HC=时取得最大值(斜边=2的直角三角形).当OH=时,由PO=2,知∠OPB=30,OB=PO tan30=.又解:连线如图,由C为PA中点,故V O-PBC=V B-AOP,而V O-PHC∶V O-PBC==(PO2=PH·PB).记PO=OA=2=R,∠AOB=,则V P—AOB=R3sincos=R3sin2,V B-PCO=R3sin2.===.V O-PHC=R3.∴令y=,y==0,得cos2=-,cos=,∴OB=,选D.二.填空题(本题满分54分,每小题9分)7.在平面直角坐标系xOy中,函数f(x)=a sin ax+cos ax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)=的图像所围成的封闭图形的面积是;解:f(x)=sin(ax+),周期=,取长为,宽为2的矩形,由对称性知,面积之半即为所求.故填.又解:∫[1-sin(ax+)]dx=∫(1-sin t)dt=.8.设函数f:R→R,满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(x)=;解:令x=y=0,得,f(1)=1-1-0+2,f(1)=2.令y=1,得f(x+1)=2f(x)-2-x+2,即f(x+1)=2f(x)-x.①又,f(yx+1)=f(y)f(x)-f(x)-y+2,令y=1代入,得f(x+1)=2f(x)-f(x)-1+2,即f(x+1)=f(x)+1.②比较①、②得,f(x)=x+1.9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BD1—A1的度数是;解:设AB=1,作A1M⊥BD1,AN⊥BD1,则BN·BD1=AB2,BN=D1M=NM=.A1M=AN=.∴AA12=A1M2+MN2+NA2-2A1M·NA cos,12=++-2cos,cos=.=60.10.设p是给定的奇质数,正整数k使得也是一个正整数,则k=;解:设=n,则(k-)2-n2=,(2k-p+2n)(2k-p-2n)=p2,k=(p+1)2.11.已知数列a0,a1,a2,…,a n,…满足关系式(3-a n+1)(6+a n)=18,且a0=3,则的值是;解:=+,令b n=+,得b0=,b n=2b n-1,b n=2n.即=,=(2n+2-n-3).12.在平面直角坐标系xOy中,给定两点M(-1,2)和N(1,4),点P在x轴上移动,当∠MPN取最大值时,点P的横坐标为;解:当∠MPN最大时,⊙MNP与x轴相切于点P(否则⊙MNP与x轴交于PQ,则线段PQ上的点P使∠MPN更大).于是,延长NM交x轴于K(-3,0),有KM·KN=KP2,KP=4.P(1,0),(-7,0),但(1,0)处⊙MNP 的半径小,从而点P的横坐标=1.三.解答题(本题满分60分,每小题20分)13.一项“过关游戏”规则规定:在第n关要抛掷一颗骰子n次,如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n,则算过关.问:⑴某人在这项游戏中最多能过几关?⑵他连过前三关的概率是多少?解:⑴设他能过n关,则第n关掷n次,至多得6n点,由6n>2n,知,n≤4.即最多能过4关.⑵要求他第一关时掷1次的点数>2,第二关时掷2次的点数和>4,第三关时掷3次的点数和>8.第一关过关的概率==;第二关过关的基本事件有62种,不能过关的基本事件有为不等式x+y≤4的正整数解的个数,有C个(亦可枚举计数:1+1,1+2,1+3,2+1,2+2,3+1)计6种,过关的概率=1-=;第三关的基本事件有63种,不能过关的基本事件为方程x+y+z≤8的正整数解的总数,可连写8个1,从8个空档中选3个空档的方法为C==56种,不能过关的概率==,能过关的概率=;∴连过三关的概率==.14.在平面直角坐标系xOy中,给定三点A(0,),B(-1,0),C(1,0),点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项.⑴求点P的轨迹方程;⑵若直线L经过ABC的内心(设为D),且与P点轨迹恰好有3个公共点,求L的斜率k的取值范围.解:⑴设点P的坐标为(x,y),AB方程:+=1,4x-3y+4=0,①BC方程:y=0,②AC方程:4x+3y-4=0,③∴ 25|y|2=|(4x-3y+4)(4x+3y-4)|,25y2+16x2-(3y-4)2=0,16x2+16y2+24y-16=0,2x2+2y2+3y-2=0.或25y2-16x2+(3y-4)2=0,16x2-34y2+24y-16=0,8x2-17y2+12y-8=0.∴所求轨迹为圆:2x2+2y2+3y-2=0,④或双曲线:8x2-17y2+12y-8=0.⑤但应去掉点(-1,0)与(1,0).⑵ABC的内心D(0,):经过D的直线为x=0或y=kx+.⑥(a) 直线x=0与圆④有两个交点,与双曲线⑤没有交点;(b) k=0时,直线y=与圆④切于点(0,),与双曲线⑤交于(±,),即k=0满足要求.(c) k=±时,直线⑥与圆只有1个公共点,与双曲线⑤也至多有1个公共点,故舍去.(c) k0时,k时,直线⑥与圆有2个公共点,以⑥代入⑤得:(8-17k2)x2-5kx-=0.当8-17k2=0或(5k)2-25(8-17k2)=0,即得k=±与k=±.∴所求k值的取值范围为{0,±,±}.15.已知,是方程4x2-4tx-1=0(t∈R)的两个不等实根,函数f(x)=的定义域为[,].⑴求g(t)=max f(x)-min f(x);⑵证明:对于u i∈(0,)(i=1,2,3),若sin u1+sin u2+sin u3=1,则++<.解:⑴ +=t,=-.故<0,>0.当x1,x2∈[,]时,∴f (x)==.而当x∈[,]时,x2-xt<0,于是f (x)>0,即f(x)在[,]上单调增.∴g(t)=-====⑵g(tan u)==≥,∴ ++≤[163+9(cos2u1+cos2u2+cos2u3)]= [75-9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)]而(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥()2,即9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥3.∴++≤(75-3)=.由于等号不能同时成立,故得证.二试题一.(本题满分50分)在锐角三角形ABC中,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点,FG与AH相交于点K,已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK的长.解:∵BC=25,BD=20,BE=7,∴CE=24,CD=15.∵AC·BD=CE·AB,AC=AB,①∵BD⊥AC,CE⊥AB,B、E、D、C共圆,AC(AC-15)=AB(AB-7),AB(AB-15)=AB(AB-18),∴AB=25,AC=30.AE=18,AD=15.∴DE=AC=15.延长AH交BC于P,则AP⊥BC.∴AP·BC=AC·BD,AP=24.连DF,则DF⊥AB,∵AE=DE,DF⊥AB.AF=AE=9.∵D、E、F、G共圆,∠AFG=∠ADE=∠ABC,AFG∽ABC,∴=,AK==.二.(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中,y轴正半轴上的点列{A n}与曲线y=(x≥0)上的点列{B n}满足|OA n|=|OB n|=,直线A n B n在x轴上的截距为a n,点B n的横坐标为b n,n∈N*.⑴证明a n>a n+1>4,n∈N*;⑵证明有n0∈N*,使得对∀n>n0,都有++…++<n-2004.解:⑴点A n(0,),B n(b n,)由|OA n|=|OB n|,b n2+2b n=()2,b n=-1(b n>0).∴ 0<b n<.且b n递减,n2b n=n(-n)= =单调增.∴ 0<n<.令t n=>且t n单调减.由截距式方程知,+=1,(1-2n2b n=n2b n2)∴a n====()2+()=t n2+t n=(t n+)2-≥(+)2-=4.且由于t n单调减,知a n单调减,即a n>a n+1>4成立.亦可由=b n+2.=,得 a n=b n+2+,.∴由b n递减知a n递减,且a n>0+2+=4.⑵即证(1-)>2004.1-===k2(()2-()2)≥>>.∴(1-)>>(+)+(+++)+…+>+++….只要n足够大,就有(1-)>2004成立.三.(本题满分50分)对于整数n≥4,求出最小的整数f(n),使得对于任何正整数m,集合{m,m+1,…,m+n-1}的任一个f(n)元子集中,均至少有3个两两互素的元素.解:⑴当n≥4时,对集合M(m,n)={m,m+1,…,m+n-1},当m为奇数时,m,m+1,m+2互质,当m为偶数时,m+1,m+2,m+3互质.即M的子集M中存在3个两两互质的元素,故f(n)存在且f(n)≤n.①取集合T n={t|2|t或3|t,t≤n+1},则T为M(2,n)={2,3,…,n+1}的一个子集,且其中任3个数无不能两两互质.故f(n)≥card(T)+1.但card(T)=[]+[]-[].故f(n)≥[]+[]-[]+1.②由①与②得,f(4)=4,f(5)=5.5≤f(6)≤6,6≤f(7)≤7,7≤f(8)≤8,8≤f(9)≤9.现计算f(6),取M={m,m+1,…,m+5},若取其中任意5个数,当这5个数中有3个奇数时,这3个奇数互质;当这3个数中有3个偶数k,k+2,k+4(k0(mod2))时,其中至多有1个被5整除,必有1个被3整除,故至少有1个不能被3与5整除,此数与另两个奇数两两互质.故f(6)=5.而M(m,n+1)=M(m,n)∪{m+n},故f(n+1)≤f(n)+1.③∴f(7)=6,f(8)=7,f(9)=8.∴对于4≤n≤9,f(n)= []+[]-[]+1成立.④设对于n≤k,④成立,当n=k+1时,由于M(m,k+1)=M(m,k-5)∪{m+k-5,m+k-4,…,m+k}.在{m+k-5,m+k-4,…,m+k}中,能被2或3整除的数恰有4个,即使这4个数全部取出,只要在前面的M(m,k-5)中取出f(n)个数就必有3个两两互质的数.于是当n≥4时,f(n+6)≤f(n)+4=f(n)+f(6)-1.故f(k+1)≤f(k-5)+f(6)-1=[]+[]-[]+1,比较②,知对于n=k+1,命题成立.∴对于任意n∈N*,n≥4,f(n)= []+[]-[]+1成立.又可分段写出结果:f(n)=。

2004年全国高中数学联赛试题解答

2004年全国高中数学联赛试题解答

A. 5 / 3 B. 2 5 / 3 C. 6 / 3 D. 2 6 / 3
答(D).∵ AB ⊥ OB , AB ⊥ OP ,
∴ AB ⊥ PB ,面 PAB ⊥ 面 POB .
∵ OH ⊥ PB ,∴ OH ⊥ HC , OH ⊥ PA .
∵ C 是 PA 中点,
∴ OC ⊥ PA .
P
PC 是三棱锥 P −
包括:“得 300 分”与“得 400 分”两种情形.
而学生一旦在(I)问中已求得这名同学得 300
分的概率 P1 = 0.228 ,则这名同学至少得 300 分的概率 P2 = P1 + 0.8 × 0.7 × 0.6 = 0.564 .
然而,(II)问若从反面入手,则相对比较繁
琐.因为“至少得 300 分”的反面包括“得 0
比为
A.2 B.3/2 C.3 D.5/3 则 OuuAuv答+(OuCu)Cuv,设= 2DOuu,DuEv ,分OuuBu别v +是OuuCuAvC= ,2BOuuCEuv边,从的而中有点,
·28·
uuuv 2OD
+
uuuv 4OE
uuuv OE
共线,且
=OuuOuDuvuAuv=+22OOuuuuEBuuvv
{(x, y) y = mx + b} .若对于所有 m ∈ R ,均有
M I N ≠ ∅ ,则 b 的取值范围是
A.[− 6 / 2, 6 / 2] B. (− 6 / 2, 6 / 2)
C. (−2 3 / 3, 2 3 / 3] D. [−2 3 / 3, 2 3 / 3] 答 (A). M I N ≠ ∅ 相当点 (0,b) 在椭圆 x2 + 2 y2 = 3 上或它的内部,

2004年全国高中数学联合竞赛试题一试及答案

2004年全国高中数学联合竞赛试题一试及答案

2004年全国高中数学联合竞赛试题第 一 试 时间:10月16日一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1、设锐角θ使关于x 的方程24cos cot 0x x θθ++=有重根,则θ的弧度数为( ) A.6π B.51212orππ C.5612orππ D.12π 2、已知22{(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。

若对所有,m R MN ∈≠∅均有,则b 的取值范围是( )A. ,22⎡-⎢⎣⎦B. 22⎛-⎝⎭C. (33-D. 33⎡-⎢⎣⎦ 3、3121log 202x +>的解集为( ) A. [2,3)B. (2,3]C. [2,4)D. (2,4]4、设O 点在ABC ∆内部,且有230OA OB OC ++=,则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为( ) A. 2B.32C. 3D.535、设三位数n abc =,若以a ,b ,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有( ) A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆内的点,O 为底面圆的圆心,AB OB ⊥,垂足为B ,OH PB ⊥,垂足为H ,且PA=4,C 为PA 的中点,则当三棱锥O -HPC 的体积最大时,OB 的长是( )A.3B.3C.3D.3二、填空题(本题满分54分,每小题9分)7、在平面直角坐标系xoy 中,函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的区间上的图像与函数()g x 的图像所围成的封闭图形的面积是________________。

8、设函数:,(0)1f R R f →=满足,且对任意,,x y R ∈都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+,则()f x =_____________________。

2004年全国及各地联赛试题(共7套)-2

2004年全国及各地联赛试题(共7套)-2

2004年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷(2004.9.12. 8:00 —10:30)题 号 一 二三总分1314 15 16 得 分 评卷人考生注意:1本试卷共三大题(16个小题),全卷满分150分 .2.完卷时间150分钟 ,用钢笔,签字笔或圆珠笔作答.不能使用计算器 .3.解答题书写不要超出装订线。

一、选择题(本题满分24分,每小题4分)本题共有6个小题,每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题后的括号内.每小题选对得4分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否在括号内),一律得0分。

1. 已知,点(x,y)在直线 x+2y=3上移动,当24xy+取最小值时,点(x ,y )与原点的距离是( ) A .354 B .4516 C .324D .982.设双曲线22221x y a b -= 的离心率e 23,23⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则双曲线的两条渐近线夹角α的取值范围是 ( )A. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B .,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C .,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D .2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3. 正四面体的4个面分别写着1,2,3,4,将4个这样均匀的正四面体同时投掷于桌面上,与桌面接触的4个面上的4个数的乘积被4整除的概率是 ( )A .18 B .964C . 116 D. 1316 4.甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行训练.每局两人单打比赛,另一人当裁判.每一局的输方去当下一局的裁判,而由原来的裁判向胜者挑战.半天训练结束时,发现甲共打12局,乙共打21局,而丙共当裁判8局.那么整个比赛的第10局的输方 ( ) A .必是甲 B .必是乙 C .必是丙 D .不能确定5.曲线x 2+y 2-ay=0 与ax 2+bxy+x=0 有且只有3个不同的公共点,那么必有( )A .(a 4+4ab+4)(ab+1)=0B .(a 4-4ab -4)(ab+1)=0C .(a 4+4ab+4)(ab -1)=0D .(a 4-4ab -4)(ab -1)=06.两个周期函数y 1,y 2 的最小正周期分别为a,b,且b = na (n ≥2,n 为整数).如果函数y 3=y 1+y 2的最小正周期为t . 那么五种情形:”t<a ”,”t=a ”,”a<t<b ”,”t=b ”,”t>b ” 中,不可能出现的情形的个数是 ( ) A. 1 B .2 C .3 D .4得 分 评卷人二、填空题(本题满分36分,每小题6分)本题共有6个小题,要求直接将答案写在横线上 . 7.已知 log a x = 24, log b x = 40, log abc x = 12 . 那么 log c x =8 . 设 f (x) = (x 2 – 8x +c 1 ) ( x 2 – 8x+c 2 ) (x 2 – 8x +c 3 ) ( x 2 – 8x+c 4 ) . M ={x ︱f ( x )= 0 }.已知 M ={x 1,.x 2 , x 3, x 4.,x 5, x 6, x 7, x 8}⊆ N . 那么max {c 1,.c 2, c 3, c 4}– min {c 1,.c 2, c 3, c 4}= 9 . 如果实数 x ,y 满足3x + 2y -1≥0 , 那么 u = x 2 + y 2 + 6x -2y 的最小值是 . 10 . 不等式组sinx > cosx > tanx > cotx 在 (0 , 2π)中的解集 (用区间表示)是 . 11 . 四面体ABCD 中, AB = CD = a , BC = AD = b , CA = BD = c . 如果异面直线AB 与CD 所成的角为θ, 那么cos θ= .12. 设a , b , x ∈N * , a ≤b . X 为关于x 的不等式lgb -lga < lgx < lgb +lga 的解集 . 已知 card (X) = 50 . 当a ⋅b 取最大可能值时 ,b a + =三、解答题(本题90分.共4个小题 .第13,14, 15题各20分,第16题30分)13 . 求函数f (x) =︱sinx + cosx +tanx + cotx + secx + cscx ︱ 的最小值 . 其中 secx=x cos 1, cscx=xsin 1.14.椭圆 x 2 + 4y 2 = 8 中, AB 是长为25的动弦 .O 为坐标原点 . 求∆AOB 面积的取值范围 .得 分 评卷人得 分 评卷人 得 分 评卷人15 . 无穷数列{x n }中(n ≥1),对每个奇数n ,x n, x n+1,x n+2 成等比数列,而对每个偶数n, x n, x n+1, x n+2 成等差数列.已知x 1= a , x 2=b .(1) 求数列的通项公式 . 实数a , b 满足怎样的充要条件时, 存在这样的无穷数列? (2) 求2x ,4x ,……,n x 2的调和平均值, 即∑=nk kxn121的值 .16.(1) 给定正整数n ≥5,集合 A n ={}n ,,2,1 .是否存在一一映射 φ: A n →A n 满足条件:对一切k ( 1≤ k ≤n -1 ) , 都有k |φ(1)+φ(2) +……+φ(k) ?(2) N * 为全体正整数的集合,是否存在一一映射 φ: N *→ N * 满足条件: 对一切k ∈N *, 都有k | φ(1)+φ(2) + ……+φ(k) ?证明你的结论 .得 分评卷人得 分 评卷人注: 映射 φ: A →B 称为一一映射,如果对任意 b ∈B,有且只有一个 a ∈A 使得φ(a)=b . 题中“|”为整除符号.二00四年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题参考解答及评分标准说明:1.选择,填空题只按0分与满分两档给分,不设中间档次.2.解答题5分一个档次.如果考生的解法与参考解答不同.可参照本标准酌情给分. 一. 选择题(每小题4分,共24分)1 2 3 4 5 6 ACDABB二. 填空题 (每小题6分,共36分)7 8 9101112 6015-1366 (,43ππ-arcsin 215- ) 222ac b --6 三. 解答题13. 设 u = sin x + cos x , 则 sin x cos x =21( u 2- 1 ) . sin x + cos x + tan x + cot x + sec x + csc x = u + 12-u , ( 5 分 )当 u > 1 时 , f ( x ) = 1 + u -1 + 12-u ≥ 1 + 22 . ( 5 分 )当 u < 1 时 , f ( x ) = -1 + 1-u +u-12≥ 22-1 ( u = 1-2时等号成立 ) . ( 5 分)因此, f ( x ) 的最小值是 22-1 . ( 5 分 ) 14. 令 A, B 的坐标为 ( x 1 , y 1 ) ,( x 2 , y 2 ) , 直线 AB 的方程为 y = kx + b , 代入椭圆方程整理得: (4k 2+1)x 2+ 8kbx + 4(b 2-2) = 0 . 故 x 1 + x 2 =-1482+k kb , x 1x 2 =14)2(422+-k b . ( 5 分 ) 由 425 = AB 2 = (k 2+1)(x 2-x 1)2 = (k 2+1)((x 1+x 2)2-4 x 1x 2) =222)14()1(16++k k (2(4k 2+1)-b 2) 得到 b 2= 2 (4k 2+1)-)1(64)14(25222++k k ( 5 分) 原点O 到 AB 的距离为12+k b, ∆AOB 的面积 S = ⋅4512+k b, 记 u = 11422++k k , 则有 S 2= -1024625(u 2-25128u ) = 4-1024625(u -2564)2( 5 分)u = 4-132+k 的范围为 []4,1 , (u = 4 为竖直弦 ). 故 u =2564时, max S 2 = 4 , 而 u = 1时, min S 2 =10242575, 因此 S 的 取值范围是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,103325. ( 5 分) 15. (1) 观察前几项: a , b , a b 2, a a b b )2(-, aa b 2)2(-, a a b a b )23)(2(--,a ab 2)23(-,… 猜测: x 2 k-1 = aa kb k 2))2()1((---, x 2k = aa k kb a k b k ))1()()2()1((-----,( k ≥ 1 ). ( 5 分 )对k 归纳证明通项公式: k =1 显然成立,设 x 2 k-1, x 2k 如上,则x 2k+1 = 1222)(-k k x x = a a k kb 2))1((--,x 2k+2 = 2x 2k+1-x 2k =aka b k a k kb ))1)(()1((-+--, 因此, 公式成立 . ( 5 分 )存在这样的无穷数列 ⇔ 所有的 x n ≠0 ⇔∉a b ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+N n n n |1. ( 5 分 ) (2) b ≠a 时,kx 21= a b a -(a k kb a k b k )1(1)2()1(1------),故∑=nk kx n 121=))1(11(an nb a a b a n----= nb -(n -1)a .( b = a 时所有的x n = a ,结果也对). ( 5 分 )16. (1) 不存在. ( 5 分)记 S k =∑=ki i 1)(φ.当 n = 2m+1 时 ( m ≥2 ), 由 2m | S 2 m 及S 2 m =2)22)(12(++m m -φ(2m+1) 得 φ(2m+1)≡m+1(mod 2m), 但 φ(2m+1)∈A 2m+1,故φ(2m+1)= m+1.再由 2m -1 | S 2m -1及S 2m -1=2)22)(12(++m m -(m+1)-φ(2m) 得φ(2m) ≡m+1(mod 2m -1),又有φ(2m)= m+1,与φ的一一性矛盾. ( 5 分) 当 n = 2m+2 时 ( m ≥2 ), S 2m+1=2)32)(22(++m m -φ(2m+2) 给出φ(2m+2)=1 或 2m+2,同上又得φ(2m+1)= φ(2m)= m+2 或 m+1 ,矛盾. ( 5 分)(2) 存在. 对n 归纳定义φ(2n -1)及φ(2n) 如下: ( 5 分) 令φ(1)=1, φ(2)=3 .设已定义出不同的正整数值φ(k) (1≤k ≤2n)满足整除条件且包含1,2,…,n ,设 v 是未取到的最小正整数值,由于 2n+1 与 2n+2 互素,根据孙子定理,存在不同于v 及φ(k) (1≤k ≤2n)的正整数u 满足同余式组 u ≡-S 2n (mod 2n+1)≡-S 2n -v (mod 2n+2) . ( 5 分)定义φ(2n+1)=u, φ(2n+2)=v .则正整数φ(k) ( 1≤k ≤2n+2 )也互不相同,满足整除条件,且包含 1,2,…,n+1 .根据数学归纳法原理,已经得到符合要求的一一映射φ:N * → N *. ( 5 分)附:选择、填空题简解:1. 2x +4y≥222x y += 42. x =32, y =34时取最小值, 此时22x y +=354. 2.设渐近线y =b a x 的倾斜角为β, 1 +22b a = e 2∈4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦, tan β=b a ∈1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦,,63ππβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 故 α= min {2β,π-2β},32ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.3. 事件 “4个数均为奇数”的概率p 1=412⎛⎫ ⎪⎝⎭=116,事件“3个为奇数,1个为2”的概率p 2=3141142C ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=18. 故p =1-p 1-p 2 =1316 .4. 共比赛12+21-8 = 25局,甲当裁判25-12 = 13局.由于同一人不会接连当两局裁判, 故甲是第1,3,5,……,21,23,25局的裁判, 从而第10局的输方为甲 .5. 易知a ≠0.曲线ax 2+bxy+x = 0是两条直线x = 0与ax+by+1 = 0. 直线x = 0与圆x 2+y 2ay=0有两个不同的公共点(0,0), (0,a), 依题意有两种可能:(1).ax+by+1 = 0与圆x 2+(y -2a )2 =24a 相切于第三点. 此时22|01|22aa b a a b ⋅+⋅+=+, 即a 4-4ab -4=0; (2).ax+by+1= 0过点(0,a)且不与坐标轴平行, 此时ab+1= 0.6. b 是y 3的一个周期,故t ≤b.若t = a, 则由y 2=y 3-y 1可得b ≤a,矛盾.故”t=a ”和”t>b ”不可能.下面的例子表明另外的三种情形都可能出现:取y 2 = sinx + sin 23x, 则b = 6π. (1).令y 1 = -sin23π, 此时a =3π, y 3= sinx, t =2π, t < a ; (2). 令y 1 = -sinx, 此时a =2π, y 3= sin 23π, t =3π, a < t< b ;(3). 令y 1 = sinx, 此时a = 2π, y 3 = 2sinx+sin 23π, t = 6π, t = b ;7. log x c = log x abc -log x a -log x b =121-241-401=601, log c x = 60 .8. 令x 2-8x+c = 0 的两根为α,β, 则α+β=8. (α,β)的不等非负整数值只有(0,8), (1,7), (2,6), (3,5) 故{c 1,c 2,c 3, c 4}={0,7,12,15}.9. u = (x+3)2+(y -1)2-10 .半平面 3x+2y -1≥0 中的点到定点 (-3,1) 距离的最小值是13129-+-=138, 所以 min u = (138)2-10 = -1366 . 2π10. 在象限图上用区间法求解:各分界线为 ② ③ ①4πk (0≤k ≤7) 与方程 cosx = tanx 的解 arcsin 215-, ③ ① 0π-arcsin215-. ② ① ① ① 由 sinx> cosx 排除区间 ①, 由 tanx> cotx 排除 ②, 由 cosx> tanx 排除 ③, 解集为 (43π,π-arcsin 215-) . , 11. (1) 向量法: 记 DC = a , DA = b , DB = c .由已知条件, | b a -| = |c |, a 2 + b 2-2b a ⋅ = c 2 . 故 b a ⋅ =2222c b a -+,同理 c a ⋅ =2222bc a -+. cos θ=|||||)(|c b a c b a -⋅-⋅=222a c b -. (2) 几何法: 该四面体各棱是一个长方体的面对角线 , 设长方体三边为 x , y , z , 则a 2 = y 2+z 2 ,b 2 = z 2+x 2 ,c 2 = x 2+y 2 . θ 是 y , z 矩形中两对角线的夹角 , 故cos θ=222|)2()2(|222a a y aa ⋅⋅-+=222||a c b - 12. a b < x < ab , a ≥2 , 50 ≥ ab -a b -1 = ab(1-21a)-1 ≥43ab -1 , 故 ab ≤ 68 .等号当且仅当 a =2 ,b =34 时成立 , 此时 b a += 6 .。

历年联赛题-2004年全国高中数学联赛

历年联赛题-2004年全国高中数学联赛

闭图形的面积是
.
8. 设函数 f : R →R ,满足 f (0) = 1 ,且对任意 x 、y
∈R ,都有 f ( xy + 1) = f ( x) f ( y) - f ( y) - x + 2. 则
f ( x) =
.
9. 如 图 3 , 正 方 体
ABCD - A1 B1 C1 D1 中 ,二
2 004.
三 、(50 分) 对于整数 n ( n ≥4) ,求出最小的整数
f ( n) ,使得对于任何正整数 m ,集合{ m , m + 1 , …,
m + n - 1}的任一个 f ( n) 元子集中 ,均有至少 3 个
两两互质的元素.
参考答案
一 、1. B.
因题设方程有重根 ,故Δ = 16cos2θ- 4cot θ= 0.
bn + 1 +
1 3
= 2 ( bn +
1 3
)
.
故数列
bn +
1 3
是公比为 2 的等比数列.
bn +
1 3
=2n
b0 +
1 3
=2n
1 a0
+
1 3
=
1 3
×2 n + 1 ,
即 bn =
1 3
20
中等数学
竞赛之窗
2004 年全国高中数学联赛
一 、选择题 (每小题 6 分 ,共 36 分)
1. 设锐角θ使关于 x 的方程 x2 + 4 xcosθ+ cot θ
= 0 有重根. 则θ的弧度数为 ( ) .
(A)
π 6

2004年全国高中数学联赛试题及详细解析

2004年全国高中数学联赛试题及详细解析

2004年全国高中数学联赛试题及详细解析一.选择题(本题满分36分,每小题6分)1.设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos +cos=0有重根,则的弧度数为( )A .6B .12或512C .6或512 D .122.已知M={(x ,y )|x 2+2y 2=3},N={(x ,y )|y=mx+b }.若对于所有的m ∈R ,均有M ∩N,则b 的取值范围是( )A .[-62,62]B .(-62,62)C .(-233,233]D .[-233,233] 3.不等式log 2x -1+12log 12x 3+2>0的解集为A .[2,3)B .(2,3]C .[2,4)D .(2,4] 4.设点O 在ABC 的内部,且有→OA +2→OB +3→OC =→0,则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A .2B .32C .3D .538.设函数f :R →R ,满足f (0)=1,且对任意x ,y ∈R ,都有f (xy +1)=f (x )f (y )-f (y )-x +2,则f (x )= ;9.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,二面角A -BD 1—A 1的度数是 ;10.设p 是给定的奇质数,正整数k 使得k 2-pk 也是一个正整数,则k= ; 11.已知数列a 0,a 1,a 2,…,a n ,…满足关系式(3-a n +1)(6+a n )=18,且a 0=3,则n∑i=01a i的值是 ;12.在平面直角坐标系xOy 中,给定两点M (-1,2)和N (1,4),点P 在x 轴上移动,当∠MPN 取最大值时,点P 的横坐标为 ;二试题一.(本题满分50分)在锐角三角形ABC 中,AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ,以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点,FG 与AH 相交于点K ,已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK 的长.二.(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY 中,y 轴正半轴上的点列{A n }与曲线y=2x (x ≥0)上的点列{B n }满足|OA n |=|OB n |=1n,直线A n B n 在x 轴上的截距为a n ,点B n 的横坐标为b n ,n ∈N*.⑴ 证明a n >a n +1>4,n ∈N*;⑵ 证明有n 0∈N *,使得对∀n >n 0,都有b 2b 1+b 3b 2+…+b n b n -1+b n +1b n<n -2004. 三.(本题满分50分)对于整数n ≥4,求出最小的整数f (n ),使得对于任何正整数m ,集合{m ,m +1,…,m+n -1}的任一个f (n )元子集中,均至少有3个两两互素的元素.EFBCDAGHK2004年全国高中数学联赛试卷第一试一.选择题(本题满分36分,每小题6分)1.设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos +cot =0有重根,则的弧度数为( )A .6B .12或512C .6或512 D .12【答案】B【解析】由方程有重根,故14=4cos 2-cot=0,∵ 0<<2,2sin2=1,=12或512.选B .3.不等式log 2x -1+12log 12x 3+2>0的解集为A .[2,3)B .(2,3]C .[2,4)D .(2,4] 【答案】C【解析】令log 2x=t ≥1时,t -1>32t -2.t ∈[1,2),x ∈[2,4),选C .4.设点O 在ABC 的内部,且有→OA +2→OB +3→OC =→0,则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A .2B .32C .3D .53【答案】C【解析】如图,设AOC=S ,则OC 1D=3S ,OB 1D=OB 1C 1=3S ,AOB=OBD=1.5S .OBC=0.5S ,ABC=3S .选C .5.设三位数n=¯¯¯abc ,若以a ,b ,c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则1这样的三位数n 有( )A .45个B .81个C .165个D .216个6.顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆内的点,O 为底面圆圆心,AB ⊥OB ,垂足为B ,OH ⊥PB ,垂足为H ,且PA=4,C 为PA 的中点,则当三棱锥O -HPC 的体积最大时,OB 的长为 ( )A .53 B .253 C .63 D .263二.填空题(本题满分54分,每小题9分) 7.在平面直角坐标系xOy 中,函数f (x )=a sin ax +cos ax (a >0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g (x )= a 2+1的图像所围成的封闭图形的面积是 ;【答案】2aa 2+1.【解析】f (x )= a 2+1sin(ax +),周期=2a ,取长为2a,宽为2a 2+1的矩形,由对称性知,面积之半即为所求.故填2aa 2+1.又解:∫10a 2+1[1-sin(ax +)]dx=a 2+1a ∫20(1-sin t )dt=2p aa 2+1.8.设函数f :R →R ,满足f (0)=1,且对任意x ,y ∈R ,都有f (xy +1)=f (x )f (y )-f (y )-x +2,则f (x )= ;【答案】x+1【解析】令x=y=0,得,f (1)=1-1-0+2,f (1)=2.令y=1,得f (x +1)=2f (x )-2-x +2,即f (x +1)=2f (x )-x .①又,f (yx +1)=f (y )f (x )-f (x )-y +2,令y=1代入,得f (x +1)=2f (x )-f (x )-1+2,即f (x +1)=f (x )+1.②比较①、②得,f (x )=x +1.10.设p 是给定的奇质数,正整数k 使得k 2-pk 也是一个正整数,则k= ;【答案】14(p +1)2.【解析】设k 2-pk=n ,则(k -p 2)2-n 2=p 24,(2k -p +2n )(2k -p -2n )=p 2,k=14(p +1)2.11.已知数列a 0,a 1,a 2,…,a n ,…满足关系式(3-a n +1)(6+a n )=18,且a 0=3,则n∑i=01a i的值是 ;【答案】13(2n +2-n -3).【解析】1a n +1=2a n +13,令b n =1a n +13,得b 0=23,b n =2b n -1,b n =23 2n .即1a n =2n +1-13,n∑i=01a i =13(2n +2-n -3).12.在平面直角坐标系xOy 中,给定两点M (-1,2)和N (1,4),点P 在x 轴上移动,当∠MPN 取最大值时,点P 的横坐标为 ;【答案】1【解析】当∠MPN 最大时,⊙MNP 与x 轴相切于点P (否则⊙MNP与x 轴交于PQ ,则线段PQ 上的点P 使∠MP N 更大).于是,延长NM 交x 轴于K (-3,0),有KM ·KN=KP 2,KP=4.P (1,0),(-7,0),但(1,0)处⊙MNP 的半径小,从而点P 的横坐标=1.三.解答题(本题满分60分,每小题20分)13.一项“过关游戏”规则规定:在第n 关要抛掷一颗骰子n 次,如果这n 次抛掷所出现的点数的和大于2n,则算过关.问:⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关? ⑵ 他连过前三关的概率是多少?14.在平面直角坐标系xOy 中,给定三点A (0,43),B (-1,0),C (1,0),点P 到直线BC的距离是该点到直线AB 、AC 距离的等比中项.⑴ 求点P 的轨迹方程;⑵ 若直线L 经过ABC 的内心(设为D ),且与P 点轨迹恰好有3个公共点,求L 的斜率k 的取值范围.【解析】⑴ 设点P 的坐标为(x ,y ),(b ) k=0时,直线y=12与圆④切于点(0,12),与双曲线⑤交于(±582,12),即k=0满足要求.(c ) k=±12时,直线⑥与圆只有1个公共点,与双曲线⑤也至多有1个公共点,故舍去.(c ) k 0时,k12时,直线⑥与圆有2个公共点,以⑥代入⑤得:(8-17k 2)x 2-5kx -254=0. 当8-17k 2=0或(5k )2-25(8-17k 2)=0,即得k=±23417与k=±22.∴ 所求k 值的取值范围为{0,±23417,±22}.15.已知,是方程4x 2-4tx -1=0(t ∈R )的两个不等实根,函数f (x )= 2x -t x 2+1的定义域为[,].⑴ 求g (t )=max f (x )-min f (x );⑵ 证明:对于u i ∈(0,2)(i=1,2,3),若sin u 1+sin u 2+sin u 3=1,则1g (tan u 1)+1g (tan u 2)+1g (tan u 3)<364.【解析】⑴+=t ,=-14.故<0,>0.当x 1,x 2∈[,]时,∴ f (x )= 2(x 2+1)-2x (2x -t )(x 2+1)2=-2(x 2-xt )+2(x 2+1)2.而当x ∈[α,β]时,x 2-xt <0,于是 f (x )>0,即f (x )在[,]上单调增.∴g (t )=2-t 2+1-2-t 2+1=(2-t )(2+1)-(2-t )(2+1)(2+1)(2+1)=(-)[t (+)-2+2]22+2+2+1=t 2+1(t 2+52)t 2+2516=8t 2+1(2t 2+5)16t 2+25二试题一.(本题满分50分)在锐角三角形ABC 中,AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ,以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点,FG 与AH 相交于点K ,已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK 的长.二.(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY 中,y 轴正半轴上的点列{A n }与曲线y=2x(x ≥0)上的点列{B n }满足|OA n |=|OB n |=1n,直线A n B n 在x 轴上的截距为a n ,点B n 的横坐标为b n ,n ∈N*.⑴ 证明a n >a n +1>4,n ∈N*;⑵ 证明有n 0∈N*,使得对∀n >n 0,都有b 2b 1+b 3b 2+…+b n b n -1+b n +1b n<n -2004. 【解析】⑴ 点A n (0,1n ),B n (b n ,2b n )由|OA n |=|OB n |,b n 2+2b n =(1n)2,b n =1+(1n)2-1(b n >0).∴ 0<b n <12n2.且b n 递减,n 2b n =n (n 2+1-n )=n n 2+1+n=11+(1n)2+1单调增. ∴ 0<n b n <12.令t n =1n b n>2且t n 单调减.由截距式方程知,b n a n +2b n1n=1,(1-2n 2b n =n 2b n 2)∴ a n =b n 1-n 2b n =b n (1+n 2b n )1-2n 2b n =1+n 2b n n 2b n =(1n b n )2+2(1n b n)=t n 2+2t n =(t n +22)2-12≥(2+22)2-12=4. 且由于t n 单调减,知a n 单调减,即a n >a n+1>4成立.亦可由1n 2b n=b n +2.1n b n=b n +2,得 a n =b n +2+2b n +2,.∴ 由b n 递减知a n 递减,且a n >0+2+2 2=4.三.(本题满分50分)对于整数n ≥4,求出最小的整数f (n ),使得对于任何正整数m ,集合{m ,m +1,…,m+n -1}的任一个f (n )元子集中,均至少有3个两两互素的元素.【解析】⑴ 当n ≥4时,对集合M (m ,n )={m ,m +1,…,m+n -1},当m 为奇数时,m ,m +1,m +2互质,当m 为偶数时,m +1,m +2,m +3互质.即M 的子集M 中存在3个两两互质的元素,故f (n )存在且f (n )≤n . ①取集合T n ={t |2|t 或3|t ,t ≤n +1},则T 为M (2,n )={2,3,…,n +1}的一个子集,且其中任3个数无不能两两互质.故f (n )≥card (T )+1.但card(T )=[n+12]+[n+13]-[n+16].故f (n )≥[n+12]+[n+13]-[n+16]+1. ②由①与②得,f (4)=4,f (5)=5.5≤f (6)≤6,6≤f (7)≤7,7≤f (8)≤8,8≤f (9)≤9. 现计算f (6),取M={m ,m +1,…,m +5},若取其中任意5个数,当这5个数中有3个奇数时,这3个奇数互质;当这3个数中有3个偶数k ,k +2,k +4(k 0(mod 2))时,其中至多有1个被5整除,必有1个被3整除,故至少有1个不能被3与5整除,此数与另两个。

2004年全国高中数学联合竞赛试题及解答.

2004年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
◆答案:C ★解析:⑴等边三角形共 9 个; ⑵ 等腰但不等边三角形:取两个不同数码(设为 a, b ),有 36 种取法,以小数为底时总能构成
2004 年全国高中数学联合竞赛试题 第 1 页 共 11 页
等腰三角形,而以大数为底时, b a 2b . a 9 或 8 时, b 4,3,2,1 ,有 4 2 8 种;
0 0
2 时取得最大值.此时, OH HC 2 , PO 2 2 , 2 6 3 1 VB AOP , 2
又解:连线如图,由 C 为 PA 中点,故 VO PBC 而 VO PHC : VO PBC
PH PO 2 2 ( PO PH PB ). 2 PB PB 1 3 1 R sin cos R 3 sin 2 , 6 12
◆答案:B ★解析:由方程有重根,故 0 ,∵ 0
5 1 ,得 sin 2 ,得 或 . 2 2 12 12
2004*2、已知 M ( x, y ) | x 2 y 3 , M ( x, y ) | y mx b ,若对所有的 m R ,均有
2 a
a2 1
2004*8、设函数 f : R R ,满足 f (0) 1 ,且对任意 x, y R , 都有 f ( xy 1) f ( x ) f ( y ) f ( y ) x 2 ,则 f ( x ) ◆答案: f ( x ) x 1 ★解析:令 x y 0 ,得 f (1) 2 ;令 y 1 得 f ( x 1) 2 f ( x ) x ① 交换 x, y 位置后,令 y 1 ,得 f ( x 1) f ( x ) 1 ② 比较①、②得, f ( x ) x 1 . 2004*9、如图,正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中,二面角 A BD1 A1 的度数是 ◆答案: 60 ★解析: 解:不妨设 AB 1 ,作 A1M BD1 , AN BD1 ,则 BN BD1 AB ,可 得 BN D1M NM

2004年全国高中数学联赛试题及答案

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2004年全国高中数学联合竞赛试题第 一 试 时间:10月16日一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1、设锐角θ使关于x 的方程24cos cot 0x x θθ++=有重根,则θ的弧度数为( )A.6πB.51212orππ C.5612orππ D.12π 2、已知22{(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。

若对所有,m R M N ∈≠∅均有,则b 的取值范围是( )A. ⎡⎢⎣⎦B. ⎛ ⎝⎭C. (]33-D. ⎡⎢⎣⎦3、3121log 202x +>的解集为( ) A. [2,3)B. (2,3]C. [2,4)D. (2,4]4、设O 点在ABC ∆内部,且有230OA OB OC ++=,则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为( )A. 2B.32C. 3D.535、设三位数n abc =,若以a ,b ,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有( )A. 45个B. 81个C. 165个D. 216个6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆内的点,O 为底面圆的圆心,AB OB ⊥,垂足为B ,OH PB ⊥,垂足为H ,且PA=4,C 为PA 的中点,则当三棱锥O -HPC 的体积最大时,OB 的长是( )A.3B.3C.3D.3二、填空题(本题满分54分,每小题9分)7、在平面直角坐标系xoy 中,函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的区间上的图像与函数()g x 的图像所围成的封闭图形的面积是________________。

8、设函数:,(0)1f R R f →=满足,且对任意,,x y R ∈都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+,则()f x =_____________________。

2004年全国高中数学联赛吉林赛区初赛

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分析 :为了证明结论中的不等式 , 可以先 由已知条件 , 运用均值不等式证明以下的 3 个不等式 α 1 ≥ a α α α, 1+2a a + b + c

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分别为
( m + 1) x + y - 2 = 0
和 4 m 2 x + ( m + 1) y - 4 = 0 .
). 则 m 的值为 (
二、 填空题 ( 每小题 9 分 , 共 54 分) 7 . 设{ a n } 是递增的正整数数列 1 , 7 , 8 , 49 , 50 , 56 , 57 , …, 它们或者是 7 的幂 , 或者是 若干 个 7 的 不 同 的 幂 之 和 . 则 a1 000 =
2
+
2 y′ 2 a - b b 2 2・ a + b 2
2
= 1.
与 Γ 有何关系 ?
( 20 分) 设 a i ∈R + , i = 1 , 2 , …, 5 . 求 四、 a1 a2 + 3 a3 + 5 a4 + 7 a5 a2 a3 + 3 a4 + 5 a5 + 7 a1
因此 , F 的轨迹为椭圆 , 且与 Γ 相似 . 四、 设原式为 A . 由柯西不等式 , 有
2
1 3 2 ( n + 4) ( n + 3 ) ( n + 2 ) ( n + 1 ) n = n ・ 5 2 11 ( n + 1) 2 n ( n + 1) ( 2 n + 1) - 3 n ( n + 1) 6 1 ( n 5 + 10 n4 + 35 n 3 + 50 n 2 + 24 n ) = 5 3 11 ( 2 n3 + 3 n2 + n) ( n4 + 2 n3 + n2 ) 2 6

2004年全国高中数学联赛试题及参考答案

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2004年全国高中数学联赛试题及参考答案2004年全国高中数学联赛试题【第一试】一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1、设锐角q 使关于x 的方程0cot cos 42=++θθx x 有重根,则q 的弧度数为A .6πB 。

12512ππ或C 。

1256ππ或D 。

12π答:[ ]2、已知M={}32|),(22=+y xy x ,N={}b mx y y x +=|),(,若对于所有的R m ∈,均有,φ≠⋂N M 则b 的取值范围是A .[26,26-] B 。

(26,26-)C 。

(332,332-) D 。

[332,332-] 答:[ ]3、不等式2log 211log 3212++-x x >0的解集是A .[2,3]B 。

(2,3)C 。

[2,4]D 。

(2,4) 答:[ ]4、设O 点在△ABC 内部,且有032=++OC OB OA ,则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为A .2B 。

23C 。

3D 。

35答:[ ]5、设三位数abc n =,若以c b a ,,为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数有A .45个B 。

81个C 。

165个D 。

216个 答:[ ]6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆内的点,O 为底面圆的圆心,AB ⊥OB ,垂足为B ,OH ⊥PB ,垂足为H ,且PA=4,C 是PA 的中点,则当三棱锥O —HPC 的体积最大时,OB 的长是A .35B 。

352C 。

36D 。

362 答:[ ]二、填空题(本题满分54分,每小题9分)7、在平面直角坐标系xoy 中,函数)0(cos sin )(〉+=a ax ax a x f 在一个最小正周期长的区间上的图像与函数1)(2+=a x g 的图像所围成的封闭图形的面积是_____________。

8、设函数,:R R f →满足1)0(=f ,且对任意的R y x ∈,,都有)1(+xy f =2)()()(+--x y f y f x f ,则________________)(=x f 。

2004年全国高中数学联赛山东赛区预赛试卷及解析

2004年全国高中数学联赛山东赛区预赛试卷及解析

2004年全国高中数学联赛山东赛区预赛试卷注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷(选择题)一、选择题1.已知2z−2i−1.则f(i3)=().A. 2i−1B. −2i−1C. i−1D. −1i−12.若a≠0,b>0,分别在同一坐标系内给出函数y=ax+b和函数y=b ax的图像(如图),不可能的是().A. ①②B. ③①C. ①③D. ②①3.向量集合M={a|a=(−1,1)+x(1,2),x∈R},N={a|a=(1,−2)+x(2,3),x∈R}.则M∩N=().A. {(1,−2)}B. {(−13,−23)}C. {(−1,1)}D. {(−23,−13)}4.如果直线l沿x轴负方向平移5个单位,再沿y轴正方向平移1个单位后,又回到原来的位置,那么,直线l的斜率是().A. −15B. −5C. 15D. 55.若a,b满足0<a<b<1,则下列不等式中,正确的是().A. a a<b bB. b a<b bC. a a<b aD. b b<a a6.设双曲线的右准线与两渐近线交于A,B两点,以AB为直径的圆过右焦点F.则双曲线的离心率为().A. √2B. 2√2C. √3D. 2√37.已知函数f(x)的定义域为(a,b),且b−a<2.则F(x)=f(3x−1)−f(3x+1)的定义域为().A. (a−13,b+13)B. (a+13,b−13)C. (a−13,b−13)D. (a+13,b+13)8.已知函数f(x)=e x+1e x−1.若g(x)=f−1(−x),则g(x)在区间().A. (−1,+∞)上是增函数B. (−1,+∞)上是减函数C. (−∞,−1)上是增函数D. (−∞,−1)上是减函数9.已知关于x的方程sin2x−(2a+1)cosx−a2=0有实数解.则实数a的取值集合是().A. [−54,1−√2]B. [−54,1+√2]C. [1−√2,1+√2]D. [−32,1−√2]10.如图,在三棱锥P−ABC中,PA⊥底面ABC,∠ACB=90∘,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.若PA=PB=2,∠BPC=θ,则当ΔAEF的面积最大时,tanθ的值为().A. 2B. 12C. √2D. √22第II卷(非选择题)二、填空题合理的投资方案应该是______.12.已知sinα−cosα=2.则sinα−cos3α的值是______.13.将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里,每个盒子里放且只放1个小球,则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是______.14.设A1,A2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上的两个顶点,P1P2是垂直于长轴的弦,直线A1P1与A2P2的交点为P.则点P的轨迹的方程是______.三、解答题15.已知b>a>0,且a+b=1.给出下面的四个式子b,a+b2,2ab,a 4−b4a−b由大到小的排列,并给出相应的证明.16.在平面四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,且a⋅b=b⋅c= m,c⋅d=d⋅a=n.(1)当m=n时,四边形ABCD是什么四边形?证明你的结论.(2)当m≠n时,四边形ABCD是什么四边形?证明你的结论.17.在数列{a n}中,a1=1,其前n项和S n满足关系式3S n−(2t+3)S n−1=3t(t> 0,n=2,3,⋅⋅⋅).(1)求证:数列{a n}是等比数列;(2)设数列{a n}的公比为f(t),作数列{b n},使b1=1,b n=f(1bn−1)(n=2,3,⋅⋅⋅),求b n.(3)求b1b2−b2b3+b3b4−b4b5+⋅⋅⋅+b2n−1b2n−b2n b2n−1的值.18.如图,正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,M,N,P分别是棱CC1,CB,CD的中点.(1)求证:A1P⊥平面DMN;(2)求四面体A1DMN的体积.19.如图,圆盘上有一指针,开始时指向圆盘的正上方.指针每次顺时针方向绕圆盘中心转动一角α,且3.6∘<α<180∘,经2004次旋转,第一次回到了其初始位置,即又指向了圆盘的正上方.试问:α有多少个可能的不同值?参考答案1.B【解析】1.令z̅−i=i3=−i,所以,z̅=0,z=0.故f(i3)=−2i−1.选B.2.D【解析】2.观察图像①,可得出a>0,b>1,函数y=ax+b和y=b ax的图像均满足要求,排除(A)、(C).观察图像②,由y=ax+b得出a>0,0<b<1;由y=b ax得出a>0,b>1或a<0,0<b<1,矛盾,排除(B).选D.3.B【解析】3.若a=(a1,a2)∈M∩N,则有a1=−1+x1=1+2x2,a2=1+2x1=−2+ 3x2.整理,得{x1−2x2=2,2x1−3x2=−3解得x1=−12,x2=−7.于是,有M∩N={(−1−12,1−24)}={(−13,−23)}.选B.4.A【解析】4.设直线l的方程为y=kx+b,根据题意平移得:y=k(x+5)+b+1,即y=kx+5k+b+1,则kx+b=kx+5k+b+1,解得:k=−1 5.故选A.5.C【解析】5.根据幂函数及指数函数的单调性,按题意应有b a>a a,b a>b b.而a a,b b大小关系不确定.选C.6.A【解析】6.设双曲线方程为x 22−y 2b2=1.则右准线方程为x =a 2c,渐近线方程为y=±bax .由此可得,点A,B 的坐标分别为(a 2c ,abc ),(a 2c ,−ab c). 从而知|AB |=2abc.设右准线与x 轴的交点为K . 则有|KF |=c −a 2c=b2c. 又|KF |=12|AB |,所以,b 2c =ab c.故a =b ,即知e =√2.选A.7.B【解析】7. 由题意得{a <3x −1<b,a <3x +1<b.分别解两个不等式得{a+13<x <b+13,a−13<x <b−13.因为b−a >2,则b−13−a+13=(b−a )−23>0,即a+13<b−13. 所以,不等式组的解为a+13<x <b−13.因此,F (x )的定义域为(a+13,b−13).选B. 8.C【解析】8. 设y=e x +1e x −1.解得x =lny+1y−1.所以,f−1(x )=lnx+1x−1. 故g (x )=f −1(x )=ln−x+1−x−1=lnx−11+x.由x−11+x >0,得x<−1或x >1.所以,g (x )的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞). 选项(A )、(B )均不正确. 由g (x )=lnx−1x+1=ln (1−2x+1)在(−∞,−1)上,2x+1随x 的增大而减小,则1−2x+1随x 的增大而增大.因为lnx 是增函数,所以,g (x )随x 的增大而增大,即g (x )在区间(−∞,−1)上是增函数.选C. 9.B【解析】9.将方程变形为cos 2x +(2a +1)cosx +a 2−1=0.令t=cosx ,则方程变形为t 2+(2a +1)t +a 2−1=0.设f (t )=t 2+(2a +1)t +a 2−1,t ∈[−1,1].由题意知实数a 应满足{(2a +1)2−4(a 2−1)≥0,f (1)≥0,f (−1)≥0,−1≤−2a+12≤1, 或f (1)f (−1)≤0.解得−54≤a ≤1+√2.所以,实数a 的取值集合是[−54,1+√2].选B. 10.D【解析】10. 因为PA ⊥面ABC ,则PA ⊥BC .又BC⊥AC ,故BC ⊥面PAC .所以,面PBC ⊥面PAC .因为AF ⊥PC ,则AF ⊥面PBC ,有AF ⊥EF .又PA=AB =2,AE ⊥PB ,所以,AE =√2.在RtΔAEF 中,因为AF 2+EF 2=AE 2=(√2)2=2,所以,AF ⋅EF ≤AF 2+EF 22=1.因此,S ΔAEF =12AF ⋅EF ≤12×1=12. 当且仅当AF =EF 时,上式中的等号成立,即S ΔAEF 取得最大值12. 这时,AE ⋅EF =EF 2=1⇒EF =1.又AF⊥面PBC,AE ⊥PB ,由三垂线定理的逆定理,得PE ⊥PB .在RtΔPEF 中,由PE =√2,EF =1,知tanθ=√2=√22.选D.11.投资房地产【解析】11.购买股票盈利的期望值为0.3×10+0.5×3+0.2×(−5)=3.5(万元). 投资房地产盈利的期望值为0.3×8+0.5×4+0.2×(−4)=3.6(万元).所以,合理的投资方案应该是投资房地产. 12.1116【解析】12.sin3α−cos3α=(sinα−cosα)(sin2α+sinα⋅cosα+cos2α) =(sinα−cosα)(1+sinα⋅cosα).已知sinα−cosα=12,且(sinα−cosα)2=sin2α−2sinα⋅cosα+cos2α=14,故sinα⋅cosα=38.从而,有sin3α−cos3α=1116.13.0.65【解析】13.设红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率为P,再设红球在红盒内的概率为P1,黄球在黄盒内的概率为P2,红球在红盒内且黄球在黄盒内的概率为P3,则P=1−(P1+P2−P3)P:红球不在红盒且黄球不在黄盒由古典概型概率公式可得,P1=P2=4!5!,P3=3!5!,则P=1−(P1+P2−P3)=1−(2×4!5!−3!5!)=1320,即P=0.65,故答案为0.65.14.x 2a2−y2b2=1【解析】14.设点P1的坐标为(x0,y0),则有P2(x0,−y0),A1(−a,0),A2(a,0).A1P1所在直线的方程为y=y0x0+a(x+a).A2P2所在直线的方程为y=−y0x0−a(x−a).两式相乘,并利用x 02a 2+y 02b2=1,消去x 0,y 0有y 2=−y 02a 2−x 02(a 2−x 2)=−b 2a 2(a 2−x 02)a 2−x 02(a 2−x 2)=−b 2a2(a 2−x 2).整理得x 2a 2−y 2b 2=1. 15.b >a 4−b 4a−b>a+b 2>2ab【解析】15.四个式子由大到小的排序是b >a 4−b 4a−b>a+b 2>2ab .因为b>a >0,且a +b =1,所以a 4−b4a−b=(a +b )(a 2+b 2)=a 2+b 2,(a+b )22=12=a+b2. 由b −(a 2+b 2)=b −a 2−b 2=b (1−b )−a 2=a (b −a )>0,有b>a 2+b 2,即b >a 4−b 4a−b.由a 2+b 2>2ab ,得2(a 2+b 2)>(a +b )2, 则a 2+b2>(a+b )22,即a 4−b 4a−b >a+b 2. 由a+b >2√ab,12>√ab,14>ab,12>2ab ,有a+b 2>2ab .所以,b>a 4−b 4a−b>a+b 2>2ab .16.(1)见解析;(2)见解析【解析】16. (1)当m =n 时,即a ⋅b =b ⋅c =c ⋅d =d ⋅a .由a+b +c +d =0,得b +d =−(a +c ).因为a ⋅b +d ⋅a =b ⋅c +c ⋅d ,所以a ⋅(b +d )=c ⋅(b +d ). 则a⋅(a +c )=c ⋅(a +c ),a 2+a ⋅c =a ⋅c +c 2.因此,a 2=c 2,即|a |2=|c |2,|a |=|c |.同理可得|b |=|d |.故四边形ABCD 是平行四边形. 又cos (180∘−∠B )=a⋅b |a |⋅|b|=b⋅c |b |⋅|c|=cos (180∘−∠C ), 所以,∠B =∠C .又由AB∥CD 得∠B +∠C =180∘,所以,∠B =∠C =90∘.因此,四边形ABCD 是矩形. (2)当m≠n 时,四边形ABCD 是等腰梯形. 由(1)得|a |=|c |,∠B =∠C . 同理可得∠A=∠D ,因此,∠A +∠B=∠C +∠D =180∘.故AD ∥BC .下而用反证法证明AD ≠BC .假设AD =BC ,则四边形ABCD 是平行四边形.由此得a=−c,b =−d ,则a ⋅b =m,c ⋅d =n ,则m =n ,这与m ≠n 矛盾. 所以,AD≠BC .又|a |=|c |,则AB=CD .所以,四边形ABCD 是等腰梯形. 17.(1)见解析;(2)b n =23n +13;(3)−89n 2−43n【解析】17. (1)由已知3tS 2−(2t +3)S 1=3t ,即3t (a 1+a 2)−(2t +3)S 1=3t ,即3t (a 1+a 2)−(2t +3)a 1=3t .由a 1=1,解得a 2=2t+33t. 所以,a2a 1=2t+33t .当n≥2时,有3tS n+1−(2t +3)S n =3t ,① 3tS n −(2t +3)S n−1=3t .②①-②得3ta n+1−(2t +3)a n =0.则a n+1a n=2t+33t.综上所述,知a n+1a n=2t+33t(n ≥1).因此,{a n }是等比数列. (2)由(1)知f (t )=2t+33t,则b 1=1,b n =2⋅1b n−1+33⋅1b n−1=23+b n−1. 所以,b n −b n−1=23(n =2,3,⋅⋅⋅). 因此,{b n }是等差数列,且b 1=1,d =b n −b n−1=23. 故b n=b 1+(n −1)d =23n +13. (3)b 1b 2−b 2b 3+b 3b 4−b 4b 5+⋅⋅⋅+b 2n−1b 2n −b 2n b 2n−1=b2(b1−b3)+b4(b3−b5)+⋅⋅⋅+b2n(b2n−1−b2n+1)=−43(b2+b4+⋅⋅⋅+b2n)=−43⋅n(b2+b2n)2=−43⋅n(53+4n+13)2=−89n2−43n.18.(1)见解析;(2)43【解析】18.(1)如图,联结AP,则RtΔADP≅RtΔDCN.有∠DAP=∠CDN,∠DAP+∠ADN=∠CDN+∠ADN=90∘.故AP⊥DN.又A1A⊥平面ABCD,AP是A1P在平面ABCD内的射影,所以,A1P⊥DN.同理,A1P⊥DM.因为DM与DN相交于点D,所以A1P⊥平面DMN.注:也可以建立坐标系利用向量证明.(2)如图5,联结A1D,B1C,B1C与MN相交于点E,联结DE交A1P于点H,则AH为四面体A1DMN的面DMN上的高.因正方体的棱长为2,则B1C=2√2,CE=14B1C=√22.在RtΔCDE中,有DE=√DC2+CE2=3√22.因为RtΔDHP∽RtΔDCE,所以,HP CE=DP DE.从而,HP=CE⋅DPDE=13.又A1P=√DA12+DP2=3,所以,A1H=83.在ΔDMN中,由DM=DN,MN=√CM2+CN2=√2,且E是MN的中点,有DE⊥MN.则SΔDMN=12MN⋅DE=32.故V四面体A1DMN =13×32×83=43.19.325【解析】19.显然有3.6∘<α=n×360∘2004<180∘.①这里n是当指针第一次回到其初始位置时已经转过的圈数.因n是正整数,式①整理后可得21≤n≤1001.同时n必与2004互质,即(n,2004)=1.设d=(n,2004).若有d>1,则令n1=n d,n2=2004d.此时有α=n1×360∘n2.这意味着指针转动n2次,每次转动角α,指针则旋转n1圈之后,回到其初始位置,与题设矛盾.由上述讨论可知,对任一满足21≤n≤1001,且(n,2004)=1的n,对应一个可能的α.反之亦然.故问题成为求满足上述两个条件的所有n的个数.因为2004=22×3×167,所以,(n,2004)=1⇔2∤n,3n,167n.在不大于1001的正整数中,不能被2或3整除的正整数共有1001−([10012]+[10013]−[10012×3])=1001−(500+333−166)=334(个).(符号[a]表示不超过a的最大整数.)其中只有1×167及5×167能被167整除,所以,不大于1001且满足条件的n共有334−2=332个.再去掉1,5,7,11,13,17,19这7个不大于20的数,知同时满足两个条件的n共有332−7=325个.因此,α共有325个可能的不同值.。

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