自动控制原理第7章习题解答

c(0) = c(1) = 0
c* (t + 2T ) − 6c* (t + T ) + 8c* (t) = r * (t),
解：（1）将
变为如下形式
r(t) = 1(t), c* (t) = 0(t ≤ 0)
c(k + 2) − 6c(k + 1) + 8c(k) = r(k) 令 k = −1则 c(1) − 6c(0) + 8c(−1) = r(−1) 即 c(1) = 6c(0) = 0
∞
∑ E * (s) = sin(ωnT )e−nsT n=0
E(z) =
z sinωT
z 2 − 2z cosωT + 1
（2） E(s) =
1
(s + a)(s + b)(s + c)
e(t) =
e −at
+
e −bt
+
e −ct
(b − a)(c − a) (a − b)(c − b) (a − c)(b − c)
∑ E* (s)
=
∞ n=0


(b
e −anT − a)(c
−
a)
+
(a
e −bnT − b)(c
−
b)
+
(a
e −cnT − c)(b
−
c)

e
−nsT
E(z)
=
(b
−
a)(c
−
z a)(z
−
e −aT
)
+
(a
−
b)(c
z − b)(z
−
e −bT
)
+
(a
−
c)(b
z − c)(z
−
= −3 − 5z −1 − 7z −2 − 9z −3 − 11z −4 − 13z −5 − L
∞
e*(t) = −∑ (2n + 3)δ (t − nT ) n=0
7-4 试求下列函数的脉冲序列 e* (t) ：
（1） E(z) =
z
(z + 1)(3z 2 + 1)
（2）
E(z)
=
(z
z −1)(z +
1 6
4n
δ
(t
−
nT )
7-9 设开环离散系统如图 7—55 所示，试求开环脉冲传递函数 G(z) 。
R(s)
2
s+2
5
C(s)
s+5
(a)
R(s)
2
s+2
5
C(s)
s+5
(b)
图 7-55 开环离散系统
解：
Z

s
2 +
2
=
z
2z − e−2T
Z

s
5 +
5
=
z
胡寿松自动控制原理习题解答第七章
7—1 试根据定义
∞
∑ E * (s) = e(nT )e−nsT n=0
确定下列函数的 E * (s) 和闭合形式的 E(z) ： (1) e(t) = sinωt
(2) E(s) =
1
(s + a)(s + b)(s + c)
解：（1） e(t) = sin ωt
(z −1)(z − 2) (z − 2) (z −1)
e(nT ) = 10 × (2n −1)
∞
∑ e* (t) = 10(2n −1)δ (t − nT ) n=0 2
胡寿松自动控制原理习题解答第七章
(2)
E(
z)
=
1
−3 − 2z
+
−1
z −1 +z
−2
= z − 3z2 z2 − 2z +1
即： z 2C(z) − 6zC(z) + 8C(z) = z z −1
C(z)
=
z
z −1
z2
1 − 6z
+8
=
(z
− 1)( z
z − 2)(z
−
4)
=
1 3
z
z −1
−
1 2
z
z −
2
+
1 6
z
z −
4
4
胡寿松自动控制原理习题解答第七章
∑ c* (t)
=
∞ n=0
1 3
−
1 2
2n
+
k = 2 时 c(2) − 4c(3) + c(4) = 0 所以 c(4) = 4c(3) − c(2) = 60 − 4 = 56
7-8 试用 z 变换法求解下列差分方程：
c* (t + 2T ) − 6c* (t + T ) + 8c* (t) = r * (t),
(1)
r(t) = 1(t), c* (t) = 0(t ≤ 0) (2) c* (t + 2T ) + 2c* (t + T ) + c* (t) = r * (t),
7-7 已知差分方程为
c(k ) − 4c(k + 1) + c(k + 2) = 0
初始条件： c(0) = 0, c(1) = 1。试用迭代法求输出序列 c(k), k = 1,2,3,4 。
3
胡寿松自动控制原理习题解答第七章
解： 因为 c(k ) − 4c(k + 1) + c(k + 2) = 0 k = 0 时 c(0) − 4c(1) + c(2) = 0 所以 c(2) = 4c(1) − c(0) = 4 − 0 = 4 k = 1 时 c(1) − 4c(2) + c(3) = 0 所以 c(3) = 4c(2) − c(1) = 16 − 1 = 15
z z −1
=
z2
0.53z + 0.1 −1.37z + 0.37
= z − 0.47z z −1 z − 0.37
( ) ∞
c(nT ) = ∑ 1 − 0.47 × 0.37n δ (t − nT ) n=0
7—15 试判断下列系统的稳定性： （1） 已知闭环离散系统的特征方程为
6
胡寿松自动控制原理习题解答第七章
解：（1） D(z) = (z + 1)(z + 0.5)(z + 2) = 0
由特征方程得到： z1 = −1 z2 = −0.5
所以系统不稳定。
z3 = −2
（2） D(z) = z 4 + 0.2z 3 + z 2 + 0.36z + 0.8 = 0
列朱利阵列如下：
0.8 0.36 1 0.2 1 1 0.2 1 0.36 0.8
对差分方程的每一项进行变换，根据实数位移定理：
Z[c(k + 2)] = z 2C(z) − z 2c(0) − zc(1) = z 2C(z)
Z[c(k + 1)] = zC(z) − zc(0) = zC(z)
所以： Z[c(k + 2) − 6c(k + 1) + 8c(k)] = Z[r(k)]
E(z) = anz z −1
（2） e(t) = t e2 −3t
E(z) =
T 2 ze −3T (z − e−3T ) 2
+
2T 2 ze −6T (z − e−3T )3
（3） e(t) = 1 t 3 3!
E(z) = T 3 (z 2 + 4z + 1) 6(z −1)4
（4）
E(s)
=
c(0) = c(T ) = 0, r(nT ) = n, (n = 0,1,2,L) c(k + 3) + 6c(k + 2) + 11c(k + 1) + 6c(k) = 0
(3)
c(0) = c(1) = 1, c(2) = 0
(4)
c(k + 2) + 5c(k + 1) + 6c(k) = cos k 2 π
0.5) 2
解：（1）
E(z)
=
(z
z + 1)(3z2
+ 1)
7-5 试确定下列函数的终值：
（1）
E(z)
=
Tz −1 (1 − z −1 )2
（2） E(z) =
z2
(z − 0.8)(z − 0.1)
解：（1）
lim
n→∞
e(nT
)
=
lim(
z→1
z
−
1)E(
z)
=
lim(
z→1
z
−
1)
(
z
Tz − 1)2
=∞
（2） lim e(nT ) = lim(z − 1)E(z) = lim(z − 1)
z2
=0
n →∞
z→1
z→1
(z − 0.8)(z − 0.1)
7-6 已知 E(z) = Z[e(t)] ，试证明下列关系式成立：
（1）
Z[a ne(t)]
=
E

z a

（2） Z[te(t)] = −Tz dE(z) ，T 为采样周期。 dz
F(z)
=
Tz (z −1)2
−
z
z+ −1