福建省莆田市2018年5月高三第二次质量数学理科试卷(B)含答案

2018年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷(B 卷)理科数学本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z 满足(2)3i z i -=+,则||z =A.2.已知集合{}{}23,,40x A y y x R B x x ==∈=-≤,则 A.A B R = B.}2|{->=x x B A C.}22|{≤≤-=x x B A D.}20|{≤<=x x B A3.设,x y 满足约束条件4,4,4,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最大值为A.4B.8C.12D.164.已知函数)(x f 是奇函数,且满足⎩⎨⎧>-≤≤-=2),2(20,2)(23x x f x x x x f ,则)5(-f =A.1B.-1C.3D.-35.在ABC ∆中,4,2==AB BC ,1cos 4C =-,则AC 的值为A.2B.3C.4D.56. 中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘,并而开方除之”,用现代数学符号表示是222a b c +=,可见当时就已经知道勾股定理.如果正整数,,a b c 满足222a b c +=,我们就把正整数,,a b c 叫做勾股数,下面依次给出前3组勾股数:3,4,5; 5,12,13;7,24,25. 按照此规律,编写如右图所示的程序框图, 则输出的勾股数是A.11,60,61B.13,84,85C.17,74,75D.21,72,757.如上图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积等于A.55πB.65πC.75πD.77π8.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,且,,βα⊥⊥n m 则“α∥β”是“m ∥n ”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知数列{}n a 满足1111,3n n n n a a a a a ++=-=,则10a = A.28 B.128C.28-D.128-10.已知1x ,2x ,3x 分别为方程12122112log ,()log ,()log 22x x x x x x ===的根,则1x ,2x ,3x 的大小关系为A.132x x x <<B.123x x x <<C.312x x x <<D.321x x x <<11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>,过C 的左焦点1F 作圆222+y 4x a =的切线交C 的右支于点M ,切点为E ,且12OE OM OF =+,则C 的离心率为B.52C.2D.212.若函数()()4c o s 3()2fx x πφφ=+<的图像关于直线1112x π=对称,当125,0,,12x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭12x x ≠时,()()12f x f x =,则()12f x x +=A.4-B.-C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,2x 的系数是 .16.如图,在平行四边形ABCD 中,,AP BD P ⊥为垂足,1AP =,则AP AC ⋅=.三、解答题:共70分。

解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第22,23题为选考题,考生根据要求作答。

（一）必考题:共60分。

17.（12分）已知数列{}n a 为正项递增等比数列, n S 为其前n 项和,7,5331==+S a a . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设(21)n n b n a =-,求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（12分）如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为直角梯形,BC AB BC AD ⊥,//,PA PB ⊥,22PA PB BC AD ====,22=PC ,O 是AB 的中点．(1)求证:CD OP ⊥;(2)求直线OD 与平面CDP 所成角的正弦值．19．（12分）一企业从某生产线上随机抽取100件产品,测量这些产品的一项质量指标值x ,由测量结果得如下频率分布直方图.(1)求这100件产品质量指标值的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间中点值作代表);(2)若质量指标值x x >,则称该件产品为优品（以x 落入各区间的频率作为x 取该区间值的概率）.质检部门对该生产线上的产品进行质量检验.检验方案是:先从这批产品中任取3件作检验,若3件均为优品,则这批产品通过检验;若只有2件为优品,则再从这批产品中任取1件检验,若为优品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品均不能通过检验.每件产品是否为优品相互独立.(i)求这批产品通过检验的概率; (ii)已知每件产品的检验费用是100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为Y （单位:元）,求Y 的分布列及数学期望.20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点,点)3,0(1-B 为C 的一个顶点, 31π=∠OFB .(1)求C 的标准方程;(2)若点()00,M x y 在C 上,则点00,x y N a b ⎛⎫⎪⎝⎭称为点M 的一个“椭点”.直线:l y kx m =+与C 相交于A ,B 两点,且,A B 两点的“椭点”分别为,P Q ,以PQ 为直径的圆经过点O ,求AOB ∆的面积.21.（12分）已知函数x xx p ln )(=,21()(12)2q x x a x =-+. (1)讨论函数()()2()f x q x ax p x =+⋅的单调性; (2)当0=a 时,证明:21()()e 12x xp x q x x x +<+--.（二）选考题:共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题作答。

如果多做,则按所做第一题计分。

22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中, 曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin ,cos 2y x （α为参数）,以坐标原点O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 的极坐标方程;(2)设A ,B 是C 上的任意两点,且OA OB ⊥,求AB 的取值范围.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数()|||2|f x x a x a =++-. (1)当1a =时,求不等式()2f x <的解集;(2)已知1m n +=,对任意(),0,m n ∈+∞,总存在R a ∈,使得14()f x m n≤+,求x 的最大值.2018年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷(B 卷)理科数学参考答案及评分细则评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分．3．解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分,满分60分． (1)C (2)D （3）C （4）A (5）B （6）B (7)D (8)C （9）B (10)A (11)C (12)C 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分,满分20分．（13）60 （14）53- （15）8 （16）2三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 本小题主要考查等差数列、等比数列及数列求和等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想. 满分12分. 解:(1)设等比数列{}n a 公比为q ,由1335,7a a S +==,得22111115,7a a q a a q a q +=++=,…………2分. 消1a ，解得122q q ==或,…………………………………………4分. 因为数列{}n a 为递增数列,故2q =,所以11a =,…………………5分.所以1112--==n n n q a a .………………………………………………6分. (2)依题意,1(21)2n n b n -=-……………………………………………7分则01221123252(23)2(21)2n n n T n n --=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅ ①………8分 故12312123252(23)2(21)2n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅ ②………9分 由①-②得12112(222)(21)2n n n T n --=+++⋅⋅⋅+--⋅……10分即n n n n T 2)12(12)12(2211⋅----⋅+=--………………………………………11分 则n n n T 2)32(3⋅-+=………………………………………………………12分 18.本小题主要考查直线与平面的位置关系、线面角、空间向量等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．解:(1)因为2,PB BC PC ===所以222PB BC PC +=, 所以90o PBC ∠=,即BP BC ⊥,………………1分 又，平面，平面PAB BP PAB AB B BP AB BC AB ⊂⊂=⊥,, 所以BC PAB ⊥平面,…………………………2分 又OP PAB ⊂平面,所以BC OP ⊥,……………3分 因为,PA PB O =是AB 的中点,所以AB OP ⊥,又因为B BC AB ABCD BC ABCD AB =⊂⊂ ,平面，平面 所以OP ABCD ⊥平面,…………………………4分 又ABCD CD 平面⊂,所以CD OP ⊥.…………5分(2) 设CD 中点为E ,连接,OE 则BC OE //,所以PAB OE 平面⊥, 所以,,OB OP OE 两两互相垂直,………………………………6分以O 为原点,分别以,,OB OP OE为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图.……………………………………………………7分则(0,0,0),(),O D C P(1),OD DC DP ===-…………8分设平面CDP 的一个法向量为(,,)n x y z =,则00n DC z n DP z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ,令1x =,得3z y =-=-,…………9分即(1,3,n =--.……………………………………………………10分 设直线OD 与平面DCP 所成角为θ, 则3323323|,cos |sin =⋅==><=θ, 所以直线OD 与平面CDP.…………………12分 19.本小题主要考查频率分布直方图、统计量、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识,考查分类与整合思想、或然与必然思想等．满分12分． 解:(1)由直方图知4005.07010.06020.05030.04019.03012.02004.010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x 所以这100件产品质量指标值的样本平均数x 为40.………………………3分(2)由直方图知2105.010.020.015.0)(=+++=>x x P ,即一件产品为优品的概率是21,……………………………………………5分（i ）这批产品通过检验的概率为16521)21()21()21(223333=⋅+=C C P .………7分 (ii)Y 可能的取值为300,400,……………………………………………8分并且831)21()21()400(223=⋅==C Y P , ………………………………………9分85)400(1)300(==-==Y P Y P ,……………………………………………10分（或85)21()21)(21()21()300(303213333=++==C C C Y P ）, ……………………10分 所以Y 的分布列为………………………11分Y 的数学期望为5.33726758340085300)(==⨯+⨯=Y E .………………12分20.本小题主要考查曲线与方程、椭圆标准方程及其性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．满分12分. 解:（1）由已知得b =在OF B Rt 1∆中, tan3bcπ==…………1分 所以1c =,…………………………………………………………………2分 又因为222,a b c =+所以 2a =, ………………………………………3分所以椭圆C 的方程为: 22143x y +=.……………………………………4分 （2）设()()1122,,,A x y B x y ,则12,22x x P Q ⎛⎛ ⎝⎝,………………5分又因为以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ,得0OP OQ ⋅=, 即1212043x x y y +=,①……………………………………………………6分 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消y 整理得, ()()222348430k x mkx m +++-=, 由()()222264163430k m k m ∆=-+->,得22340k m +->,而()2121222438,3434m mkx x x x k k-+=-=++,② ……………………………7分 ()()()()12122222121223434y y kx m kx m m k k x x mk x x m k =++-=+++=+所以 ③ …………………8分 联立①②③得,()()()()2222243340434334m m k k k --+=++, 即22243m k -=, …………………………………………………………9分 又因为AB ==,………10分原点O 到直线:l y kx m =+的距离d =,所以12AOBS AB d ∆==,………………11分把22243m k -=代入上式得AOB S ∆即AOB S ∆………12分 21.本小题主要考查函数的性质及导数的应用等基础知识,考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想等．满分12分．解: (1)由已知得函数x a x a x x p ax x q x f ln 2)21(21)(2)()(2++-=⋅+=，)(x f 的定义域为),0(+∞， ……………………………………………1分则xa x x x a a x x f )2)(1(2)21()('--=++-=.……………………………2分 ①当0a ≤时,0x >,02>-a x ,因为10<<x 时,()0f x '<,1>x 时,()0f x '>,所以()f x 在)1,0(上单调递减,在),1(+∞上单调递增.…………………3分②当102a <<时,120<<a ,因为a x 20<<或1>x 时,()0f x '>,12<<x a 时,()0f x '<, 所以()f x 在)2,0(a 上单调递增,在)1,2(a 上单调递减，在),1(+∞上单调递增,…………………………4分③当12a =时,0)1()(2'≥-=x x x f ,故()f x 在(0,)+∞上单调递增.………5分 ④当12a >时,12>a ,因为10<<x 或a x 2>时,()0f x '>,a x 21<<时,()0f x '<, 所以,()f x 在)1,0(上单调递增,在)2,1(a 上单调递减,在),2(+∞a 上单调递增.…………………………………………………6分(2)证明:当0=a 时,要证121)()(2--+<+x x e x q x xp x即证12121ln 22--+<-+⋅x x e x x x x x x 只需证明:ln 10x e x -->,……………………………………………7分 设()ln 1x g x e x =--,令1()x g x e x'=-, 21()0xg x e x ''=+>, ……………………………8分所以1()x g x e x'=-为(0,)+∞上的增函数,且1()20,(1)102g g e ''=<=->, ………………………………9分 所以存在唯一01(,1)2x ∈使得()0o g x '=,即001xe x =,………………10分且)(x g 在0(0,)x 上递减,在0(,)x +∞上递增, 所以0112111ln )()(0000min 0>=-≥-+=--==x x x e x g x g x , 所以ln 10x e x -->，即原不等式得证.………………………………12分22. 本小题主要考查参数方程与普通方程、普通方程与极坐标方程的互化,极径、极角的几何意义等基础知识,考查运算求解能力,考查转化与化归思想．满分10分.解:（１）因为2cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩所以cos ,2sin ,x y αα⎧=⎪⎨⎪=⎩ …………………………1分 所以2222()sin 12x y cos αα+=+= ……………………………………2分 又22(cos )cos ,sin ,(sin )14x y ρθρθρθρθ==+=因为所以, …………3分 即曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+= ……………………4分 化简得θρ22sin 314+=…………………………………………………5分 （２）不妨设点,A B 的极坐标分别为),2,(),,(21πθρθρ+B A 则1OA ρ=,2OB ρ=,222221222AB 4413sin 13sin ()2OA OB ρρπθθ=+=+=++++所 以 ……………………………6分 22222442020913sin 13cos 9sin cos 4sin 244θθθθθ=+==++++ …………8分 又因为20sin 21θ≤≤,……………………………………………………9分 所以AB的取值范围为5AB ≤≤………………………………10分 23．本小题主要考查含绝对值的不等式解法、绝对值不等式的性质、均值不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查转化化归思想、分类与整合思想等．满分10分.解:（１）当1a =时,不等式()2f x <,即|1||21|2x x ++-<,…………１分可得1,1212,x x x ≤-⎧⎨---+<⎩ 或⎪⎩⎪⎨⎧<+-+<<-,2121,211x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<-++≥.2121,21x x x 解得203x <<．…………………………………………４分 所以不等式的解集为203x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.……………………５分 (2)()223f x x a x a x a x a x =+-≥++-=+(当且仅当0)2)((≥-+a x a x 时等号成立),…………………６分 因为(),0,m n ∈+∞,1m n +=,所以14144()()559n m m n m n m n m n +=++=++≥+=, (当且仅当32,31==n m 时等号成立) ……………………………７分 又因为对任意(),0,m n ∈+∞,总存在a R ∈,使得不等式14()f x m n≤+成立, 所以()f x 的最小值不大于14m n+的最小值,即|3|9x ≤,............８分 解得33x -≤≤,............................................................９分 所以x 的最大值为3. 0。