福建省莆田市数学高三理数第二次联合考试试卷
福建省莆田市重点中学2025届高三教学质量检测试题第二次联考数学试题
福建省莆田市重点中学2025届高三教学质量检测试题第二次联考数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()22cos cos b A a B c +=，3b =，3cos 1A =，则a =（ ） A ．5B ．3C ．10D ．42．若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A ．b a > B ．b a < C ．b a <D ．b a >3．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件4．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．15．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．6．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a bc-=（ ） A ．32B ．12C ．14D ．187．方程()()f x f x '=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么a 满足（ ）A ．1a =B ．01a <<C ．23a <<D ．12a <<8．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取最大值时n 的值为( ) A ．2020B ．20l9C ．2018D ．20179．将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6π=ϕ”是“()f x 是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（ ）A ．514B ．314C ．328D ．52811．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．5C ．6D ．712．若i 为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数2iz的点是（ ）A ．EB ．FC ．GD ．H二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省莆田市2023届高三下学期3月第二次教学质量检测数学试题含答案
莆田市2023届高中毕业班第二次教学质量检测试卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{}2U x =∈≤，{}2,3A =，则UA =ð（）A .{0,1}B.{0,4}C.{1,4}D.{0,1,4}2.设i 为虚数单位，i(1)1z -=，则||z =（）A.1B.C.D.23.某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（）A.0.23B.0.47C.0.53D.0.774.已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，A 为C 上的一点，AF 中点的横坐标为2，则||AF =（）A.3B.4C.5D.65.若23,26,212a b c ===，则（）A.,,a b c 是等差数列B.,,a b c 是等比数列C.111,,a b c 是等差数列 D.111,,a b c是等比数列6.某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为3144πcm ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为31.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（1.5 4.7π≈）A.3045.6gB.1565.1gC.972.9gD.296.1g7.已知函数()sin f x x =，将其图象向左平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象．ABC 的顶点都是()f x 与()g x 图象的公共点，则ABC 面积的最小值为（）A.3B.3π C.23D.23π8.在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是1,A C BD 上的动点，当线段MN 的长最小时，直线MN 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（）A.66B.306 C.33D.63二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知圆22525:(2)24C x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，点(0,1),(4,4)A B ，点M 在x 轴上，则（）A.B 不在圆C 上B.y 轴被圆C 截得的弦长为3C.A ，B ，C 三点共线D.AMB ∠的最大值为π210.“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ（单位：秒）服从正态分布()28,N σ，且(7)0.2P ξ≤=．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在()7,9间的个数记为X ，则（）A.(79)0.8P ξ<<=B.() 1.8E X =C.()(5)E E X ξ> D.(1)0.9P X ≥>11.已知正四面体-P ABC 6，S 是ABC 及其内部的点构成的集合．若2a >，集合{}T Q S PQ a =∈≤，则T 表示的区域可以是（）A.B.C.D.12.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()()223,122f x y f x y fx f y f f x ⎛⎫+-=-=+ ⎪⎝⎭为偶函数，则（）A.(0)0f =B.()f x 为偶函数C.(3)(3)f x f x +=--D.20231()k f k ==∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a ，b 为单位向量，a ，b 的夹角为π3，则2a b -= _______．14.8(1)(2)x x -+的展开式中8x 的系数为_______（用数字作答）15.直线l 经过点3,05⎛⎫⎪⎝⎭，且与曲线2(1)y x x =+相切，写出l 的一个方程_______．16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，B 关于直线AF 的对称点为B '．若过A ，B '，F 三点的圆的半径为a ，则C 的离心率为_______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知正项数列{}n a 满足222124133n na a a ++⋅⋅⋅+=-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n nnb a =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：4n S <．18.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =，D 为AB的中点，且CD =．（1）证明：c =；（2）若π4ACB ∠=，求ABC 的面积．19.如图，直三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 为正方形，22AB BC ==，E ，F 分别为AC ，1CC 的中点，11BF A B ⊥．（1）证明：BF ⊥平面11A B E ；（2）求平面11A B E 与平面11ACC A 夹角的余弦值．20.互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量12m =，样本平均数18x =，样本方差2119S =；乙镇的样本容量18n =，样本平均数36y =，样本方差2270S =．（1）求由两镇样本组成的总样本的平均数z 及其方差2S ；（2）为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为35，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为12．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X ，求()E X ．参考数据：2222212183888,183623328,28.8829.44,1210.81399.68,187.2933.12⨯=⨯==⨯=⨯=．21.如图，正六边形ABCDEF 的边长为2．已知双曲线Γ的焦点为A ，D ，两条渐近线分别为直线,BE CF ．（1）建立适当的平面直角坐标系，求Γ的方程；（2）过A 的直线l 与Γ交于M ，N 两点，(1)AM AN λλ=≠-，若点P 满足MP PN λ=，证明：P 在一条定直线上．22.已知函数2()e 1,x f x ax a =--∈R ．（1）若()f x 的最小值为0，求a ；（2）设函数2()()ln 2ln g x f x x x =--，若()g x 是增函数，求a 的取值范围．莆田市2023届高中毕业班第二次教学质量检测试卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{}2U x =∈≤，{}2,3A =，则UA =ð（）A .{0,1}B.{0,4}C.{1,4}D.{0,1,4}【答案】D 【解析】【分析】根据已知得出全集U ，即可根据集合的补集运算得出答案.2≤解得04x ≤≤，则全集{}{}20,1,2,3,4U x =∈≤=，则{}0,1,4U A =ð，故选：D.2.设i 为虚数单位，i(1)1z -=，则||z =（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用复数的四则运算求得z ，再利用复数的模的计算公式即可得解.【详解】因为i(1)1z -=，所以21i 1i i iz --===-，则1i z =+，所以||z ==故选：B.3.某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（）A.0.23B.0.47C.0.53D.0.77【答案】D 【解析】【分析】根据全概率公式进行分析求解即可.【详解】由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%，20%，10%，记事件123,,A A A 分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，则123A A A Ω= ，且123,,A A A 两两互斥，所以()()()1230.7,0.2,0.1P A P A P A ===，又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%，记事件B 为“选到绑带式口罩”，则()()()123|0.9,|0.5,|0.4P B A P B A P B A ===所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为()0.70.90.20.50.10.40.77P B =⨯+⨯+⨯=.故选：D .4.已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，A 为C 上的一点，AF 中点的横坐标为2，则||AF =（）A.3B.4C.5D.6【答案】B 【解析】【分析】根据AF中点的横坐标求出A 点横坐标，进而由焦半径公式求出答案.【详解】由题意得：()1,0F ，准线方程为=1x -，设(),A m n ，则AF中点的横坐标为12+m ，故122m +=，解得：3m =，由抛物线的焦半径可知：||314AF =+=.故选：B5.若23,26,212a b c ===，则（）A.,,a b c 是等差数列B.,,a b c 是等比数列C.111,,a b c 是等差数列 D.111,,a b c是等比数列【答案】A 【解析】【分析】根据已知指数式，求出,,a b c ，结合对数的运算法则及等差数列与等比数列的定义逐项判断即可得结论.【详解】因为23,26,212a b c ===，所以222222222log 3,log 6log 2log 31log 3,log 12log 4log 32log 3a b c ===+=+==+=+，则1b a c b -=-=，故,,a b c 是等差数列，故A 正确；因为()2222222211log 31log 32log 3111,1log 3log 31log 31log 31log 3b c a b ++++==+===++++，所以b ca b≠，故,,a b c 不是等比数列，故B 不正确；因为()()()222222221111111111,1log 3log 3log 31log 32log 31log 31log 32log 3b a c b -=-=--=-=-+⨯+++++，所以1111b a c b-≠-，故111,,a b c 不是等差数列，故C 不正确；因为()2222222222112log 31log 31log 311log 3111,1111log 31log 31log 32log 32log 32log 3a b b c b c a b+-+-+====-====-++++++，所以1111b c a b≠，故111,,a b c 不是等比数列，故D 不正确.故选：A .6.某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为3144πcm ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为31.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（1.5 4.7π≈）A.3045.6gB.1565.1gC.972.9gD.296.1g【答案】C 【解析】【分析】由题意可知所需要材料的体积即为半球体积与圆台体积之和，先求出圆台的体积，再利用组合体的体积乘以打印所用原料密度可得结果.【详解】设半球的半径为R ，因为332π144πcm 3V R ==半球，所以6R =，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，所以((223113π6π363πcm 33V S S h =+=⋅+⋅+⨯=下上圆台，所以该实心模型的体积为3144π63π207πcm V V V =+=+=半球圆台，所以制作该模型所需原料的质量为207π 1.5207 4.7972.9g ⨯≈⨯=故选：C7.已知函数()sin f x x =，将其图象向左平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象．ABC 的顶点都是()f x 与()g x 图象的公共点，则ABC 面积的最小值为（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质得到()g x 的解析式，从而作出()(),f x g x 的部分图像，联立()(),f x g x的方程求得,,A C B 的坐标，再结合图像即可得到ABC 的高为h =时为2πAB =，从而得解.【详解】因为将()sin f x x =的图象向左平移π3个单位长度，得到函数()g x ，所以()πsin 3g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，故()(),f x g x 的部分图像如下，，不妨记()(),f x g x 的图像在x 轴正半轴的交点依次为,,A C B ，在x 轴负半轴的第一个交点为D ，由三角函数的性质易得//AB CD ，即ABC 的高h 是一个定值，其值为C 到AB 的距离，联立sin πsin 3y xy x =⎧⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，得πsin sin 3x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即ππsin cos cos sin sin 33x x x +=，则13sin cos sin 22x x x +=3sin x x =，故tan 3x =ππ,Z 3x k k =+∈，当π3x =时，π3()sin 32f x ==，即π3,32A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，当4π3x =时，4π3()sin 32f x ==-，即4π3,32C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，当7π3x =时，7ππ3()sin sin 332f x ===，即7π3,32B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以33322h ⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭，因此要使得ABC 面积最小，只需使得ABC 的底边最短即可，显然AB 是()f x 与()g x 图象的公共点中，作为ABC 的底边时，长度最小的边长之一，此时7ππ2π33AB =-=，所以()min112π33π22ABC S AB h =�创=.故选：B.8.在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是1,A C BD 上的动点，当线段MN 的长最小时，直线MN 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（）A.66B.306C.33D.63【答案】A 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，作出辅助线，找到MN 为1,A C BD 的公垂线，即线段MN 的长最小，进而表达出,M N 的坐标，从而利用线面角的夹角公式进行求解.【详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，因为正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，且1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面1A AC ，所以BD ⊥平面1A AC ，因为点M ，N 分别是1,A C BD 上的动点，当点N 为,AC BD 交点时，MN ⊥BD ，过点N 作NM ⊥1AC 于点M ，此时MN 为1,A C BD 的公垂线，即线段MN 的长最小，设正方体边长为2，则()1,1,0N，112,AA AC AC ===，因为1M CN ACA ，所以11CN MC MN CA AC AA ==2MN ==，解得：3MC=，3MN =，过点M 作MO AC ⊥于点O ，故11MO MC OCAA AC AC ==，即32MO ==，解得：23MO =，223OC =，故242,,333M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()11,1,024212,,,,333333MN ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎭=-⎝⎝⎭，平面11BCC B 的法向量为()0,1,0n = ，设MN 与平面11BCC B 所成角大小为θ，则sin cos 6,MN MN MN n n nθ===⋅⋅.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知圆22525:(2)24C x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，点(0,1),(4,4)A B ，点M 在x 轴上，则（）A.B 不在圆C 上B.y 轴被圆C 截得的弦长为3C.A ，B ，C 三点共线D.AMB ∠的最大值为π2【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，代入(4,4)B ，验证其是否在圆上；B 选项，由垂径定理得到弦长；C 选项，根据条件，可知AB 为直径，故A ，B ，C 三点共线；D 选项，结合AB 为直径，且x 轴为()2225224x y 5⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的一条切线，可得AMB ∠的最大值.【详解】A 选项，因为22525(42)424⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，故(4,4)B 在圆C 上，A 错误；B 选项，22525:(2)24C x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的圆心为52,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为52r =，圆心到y 轴的距离为2，由垂径定理，得y 轴被圆C 截得的弦长为22223r -=，B 正确；C 选项，因为22525:(02)124C ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭，故(0,1)A 在圆上，又5AB ==，即AB 为半径的2倍，因为(4,4)B 在圆C 上，故AB 为直径，过圆心C ，故A ，B ，C 三点共线，C 正确；D 选项，由C 知AB 为直径，由于圆心为52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为52，故x 轴为()2225224x y 5⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的一条切线，故AMB ∠的最大值为π2，D 正确.故选：BCD.10.“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ（单位：秒）服从正态分布()28,N σ，且(7)0.2P ξ≤=．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在()7,9间的个数记为X ，则（）A.(79)0.8P ξ<<=B.() 1.8E X =C.()(5)E E X ξ>D.(1)0.9P X ≥>【答案】BD 【解析】【分析】A 选项，由正态分布的对称性可知(79)P ξ<<，A 正确；B 选项，由()3,0.6X B 得到() 1.8E X =；C 选项，求出()8E ξ=和()()559E X E X ==，得到大小关系；D 选项，由二项分布计算出(0)0.064P X ==，利用对立事件概率公式求出(1)0.9P X ≥>.【详解】A 选项，由正态分布的对称性可知：(7)(9)0.2P P ξξ≤=≥=，故(79)10.220.6P ξ<<=-⨯=，A 错误；B 选项，()3,0.6X B ，故()30.6 1.8E X =⨯=，B 正确；C 选项，()8E ξ=，()()5551.89E X E X ==⨯=，故()(5)E E X ξ<，C 错误；D 选项，因为()3,0.6X B ，所以()()033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯=，故(1)10.0640.9360.9P X ≥=-=>，D 正确.故选：BD11.已知正四面体-P ABC，S 是ABC 及其内部的点构成的集合．若2a >，集合{}T Q S PQ a =∈≤，则T 表示的区域可以是（）A. B.C. D.【答案】ABD 【解析】【分析】先作出辅助线，得到正四面体的高，及侧面三角形的高，分22a <≤，2a <<及a ≥T 表示的区域.【详解】取BC 的中点E ，连接AE ，PE ，过点P 作PO ⊥平面ABC ，则O 在线段AE 上，且2AO OE =，，所以62BE EC ==，33222AE PE AC ===，所以23AO AE ==，22OE =由勾股定理得：2PO ==，因为{}T Q S PQ a =∈≤，几何意义为以P 为球心，以a 为半径的球面及其内部与ABC 及其内部重合的部分，当22a <≤时，此时由于0,2OQ OE ⎛==≤ ⎝⎦，此时T 表示的区域为以O 为圆心，以OQ =为半径的圆，A 正确；当322a <<22⎛= ⎝⎦，比OE 大，比OA 小，T 表示的区域为以O 为圆心，以OQ =B 选项；当a ≥)OA =+∞>，T 表示的为以O 为圆心，以OQ =为半径的圆内且在三角形ABC 内的部分，即为三角形ABC ，D 正确，C 选项不可能.故选：ABD12.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()()223,122f x y f x y fx f y f f x ⎛⎫+-=-=+ ⎪⎝⎭为偶函数，则（）A.(0)0f =B.()f x 为偶函数C.(3)(3)f x f x +=--D.20231()k f k ==∑【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，利用赋值法即可判断；对于B ，利用赋值法与函数奇偶性的定义即可判断；对于C ，利用换元法结合()f x 的奇偶性即可判断；对于D ，先推得()f x 的一个周期为6，再依次求得()()()()()()1,2,3,4,5,6f f f f f f ，从而利用()f x 的周期性即可判断.【详解】对于A ，因为()()()()22f x y f x y f x f y +-=-，令0x y ==，则()()()()220000f f ff =-，故()200f =，则()00f =，故A 正确；对于B ，因为()f x 的定义域为R ，关于原点对称，令0x =，则()()()()220f y f y ff y -=-，又()f y 不恒为0，故()()f y f y -=-，所以()f x 为奇函数，故B 错误；对于C ，因为322f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令322t x -=-+，则322x t =+，故()()3f t f t -=+，令322t x =-+，则322x t =-+，故()()3f t f t =-+，又()f x 为奇函数，故()()f t f t -=-，所以()()33f t f t +=--+，即(3)(3)f x f x +=--，故C 正确；对于D ，由选项C 可知()()()3f t f t f t +=-=-，所以()()()63f t f t f t +=-+=，故()f x 的一个周期为6，因为()1f =，所以()()11f f -=-=对于()()3f t f t =-+，令2t =，得()()21f f ==，则()2f -=，令3t =，得()()300f f ==，则()30f -=，令4t =，得()()41f f =-=，令5t =，得()()52f f =-=令6t =，得()()630f f =-=，所以()()()()()()123456000f f f f f f +++++=-=，又202333761=⨯+，所以由()f x 的周期性可得：20231()(1)(2)(3)(2023)(1)i f k f f f f f ==++++==∑ ，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于利用赋值法与函数奇偶性的定义推得()f x 的奇偶性，再结合题设条件推得()f x 为周期函数，从而得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a ，b 为单位向量，a ，b 的夹角为π3，则2a b -= _______．【解析】【分析】利用向量数量积的运算法则，结合转化法即可求得2a b - .【详解】因为向量a ，b 为单位向量，a ，b的夹角为π3，所以1a = ，1b = ，π1cos 32a b a b ⋅=⋅= ，故()22222244a b a ba ab b -=-=-⋅+ 2214414432a ab b =-⋅+=-⨯+=，所以2a b -=.14.8(1)(2)x x -+的展开式中8x 的系数为_______（用数字作答）【答案】15【解析】【分析】利用二项式定理的展开式，即可解出．【详解】因为888(1)(2)(2)(2)x x x x x -+=+-+，其中8(2)x +展开式的通项为88188C 2C 2r r r rr r r T x x --+=⋅=⋅，0,1,2,,8r = ，所以展开式中8x 的系数为110088C 2C 215-=.故答案为：15.15.直线l 经过点3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与曲线2(1)y x x =+相切，写出l 的一个方程_______．【答案】0y =（答案不唯一）【解析】【分析】先对()f x 求导，再假设直线l 与()f x 的切点为()00,x y ，斜率为k ，从而得到关于00,,x y k 的方程组，解之即可求得直线l 的方程.【详解】因为()232(1)y f x x x x x ==+=+，所以()232f x x x '=+，不妨设直线l 与()f x 的切点为()00,x y ，斜率为k ，则()200000320032035k f x x x y k x y x x ⎧⎪==+⎪-⎪='⎨⎪-⎪⎪=+⎩，解得00000x y k =⎧⎪=⎨⎪=⎩或00125x y k =⎧⎪=⎨⎪=⎩或003518125325x y k ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩，当000,0,0x y k ===时，直线l 为0y =；当001,2,5x y k ===时，直线l 为()251y x -=-，即530x y --=；当003183,,512525x y k =-==-时，直线l 为1833125255y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即1512590x y +-=；综上：直线l 的方程为0y =或530x y --=或1512590x y +-=.故答案为：0y =（答案不唯一）.16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，B 关于直线AF 的对称点为B '．若过A ，B '，F 三点的圆的半径为a ，则C 的离心率为_______．【答案】12##0.5【解析】【分析】由题意得到过A ，B ，F 三点的圆的半径也为a ，求出线段AF 的垂直平分线的方程及线段AB 的垂直平分线，求出交点及圆心坐标，从而利用半径列出方程，求出12c a =，得到离心率.【详解】由题意得：过A ，B ，F 三点的圆的半径也为a ，其中()()0,,,0A b F c ，线段AF的中点坐标为,22c b ⎛⎫⎪⎝⎭，故直线AF 的斜率为b c-，故线段AF 的垂直平分线的斜率为cb ，故线段AF 的垂直平分线的方程为22bc c y x b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又线段AB 的垂直平分线为0y =，联立22b c c y x b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与0y =得：222c bx c=-，故圆心坐标为2,022c b c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故半径为222222c b c b c c c -+=+，故222c b a c=+，其中222b a c =-，解得：12c a =.故答案为：12四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知正项数列{}n a 满足222124133n na a a ++⋅⋅⋅+=-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n nnb a =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：4n S <．【答案】（1）12n n a -=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分类讨论1n =与2n ≥两种情况，利用数列递推式的性质，结合作差法即可求得12n n a -=；（2）结合（1）中结论，利用错位相减法求得n S ，由此得证.【小问1详解】因为222124133n na a a ++⋅⋅⋅+=-，当1n =时，211a =，因为 0n a >，所以11a =，当2n ≥时，12221214133n n a a a--+++=- ，两式相减得，()122114141423333n n n n n a ---⎛⎫=---== ⎪⎝⎭，因为 0n a >，所以1*2,2,n n a n n -=≥∈N ，经检验，上式对于1n =也适合，所以{}n a 的通项公式为12n n a -=.【小问2详解】由（1）得112n n n n b n a -⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，所以211111123222n n S n -⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，211111112(1)22222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得，2111111122222n n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111122(2)12212nn nn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以14(24)2nn S n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于*n ∈N ，显然1(24)02nn ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以4n S <.18.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =，D 为AB的中点，且CD =．（1）证明：c =；（2）若π4ACB ∠=，求ABC 的面积．【答案】（1）证明见解析（2）1+【解析】【分析】（1）在ACD 和BCD △中分别利用余弦定理，然后结合πADC BDC ∠+∠=即可求解；（2）在ABC中，利用余弦定理求出b =+.【小问1详解】如图，在ACD中，由余弦定理可知：22222222244cos 222c c b b AD CD ACADC c AD CD +-+-+-∠===⋅，在BCD △中，由余弦定理可知：22222222244cos 222c c a a BD CD BCBDC c BD CD +-+-+-∠===⋅，因为πADC BDC ∠+∠=，所以cos cos 0ADC BDC ∠+∠=，222222440c c b a +-+-=，整理化简可得：222c b =，所以c =.【小问2详解】由（1）可知：c =，因为π4ACB ∠=，在ABC中，由余弦定理可知：2222242cos 242a b c b b ACB ab b +-+-∠===，整理可得：240b +-=，解得：b =0b >，所以b =则2c ==+11sin 21222ABC S ab ACB =∠=⨯⨯+⨯= 19.如图，直三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 为正方形，22AB BC ==，E ，F 分别为AC ，1CC 的中点，11BF A B ⊥．（1）证明：BF ⊥平面11A B E ；（2）求平面11A B E 与平面11ACC A 夹角的余弦值．【答案】（1）证明过程见解析（2）15【解析】【分析】（1）证明出1,,BA BC BB 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积为0得到11BF A B ⊥ ，1BF A E ⊥，从而证明出线面垂直；（2）求出两平面的法向量，求出平面夹角的余弦值.【小问1详解】因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB AB ⊥，又因为11BF A B ⊥，11//AB A B ，所以BF AB ⊥，因为1BB BF B ⋂=，1,BB BF ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B ，因为1,BC BB ⊂平面11BCC B ，所以1,AB BC AB BB ⊥⊥，因为11BCC B 为正方形，所以AB BC ⊥，故以B 为坐标原点，1,,BA BC BB 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()()11110,0,0,0,2,1,1,0,2,0,0,2,,1,0,0,2,0,0,2,2,1,0,02B F A B E C C A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为()()110,2,11,0,00BF A B ⋅=⋅-= ，()110,2,1,1,22202BF A E ⎛⎫⋅=⋅--=-= ⎪⎝⎭ ，所以11BF A B ⊥ ，1BF A E ⊥ ，因为111,A B A E ⊂平面11A B E ，1111A B A E A = ，所以BF ⊥平面11A B E ，【小问2详解】由（1）可知：平面11A B E 的一个法向量为()0,2,1BF = ，设平面11ACC A 的法向量为(),,m x y z = ，则()()()()1,,1,2,020,,1,2,2220m AC x y z x y m AC x y z x y z ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=-++=⎪⎩ ，解得：0z =，令1y =，则2x =，所以()2,1,0m =，设平面11A B E 与平面11ACC A 夹角为θ，故()()2,1,00,1,21cos cos ,54141m BF m BF m BFθ⋅⋅====+⨯+⋅ ，故平面11A B E 与平面11ACC A 夹角的余弦值为15.20.互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量12m =，样本平均数18x =，样本方差2119S =；乙镇的样本容量18n =，样本平均数36y =，样本方差2270S =．（1）求由两镇样本组成的总样本的平均数z 及其方差2S ；（2）为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为35，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为12．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X ，求()E X ．参考数据：2222212183888,183623328,28.8829.44,1210.81399.68,187.2933.12⨯=⨯==⨯=⨯=．【答案】（1）28.8z =，2127.36S =（2）3625【解析】【分析】（1）利用平均数的计算公式求得z ，再利用方差的计算公式进行转化求解即可得解；（2）先根据题意得到X 的所有可能取值，再利用独立事件的概率公式分别求得X 各个取值的概率，从而利用数学期望的计算公式即可得解.【小问1详解】根据题意，得121821833628.812185x y z +⨯+⨯===+，因为()()()()()121212222111212i i i i i i x x x z x x x x x z x z ===-+-=-+--+-∑∑∑()()()()()12121222221112121212i i i i i i x x x z x x x z x x x z ===⎛⎫=-+--+-=-+- ⎪⎝⎭∑∑∑，同理()()()18182221112i i i i y y y z y y y z ==-+-=-+-∑∑，所以()()121822211130i i i i S x z y z ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()12182211130i i i i x x x z y y y z ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()()()12182222111121230i i i i x x x z y y y z ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑22221211212()1818(30S x z S y z ⎡⎤=+-++-⎣⎦()22112191210.81870187.230=⨯⨯+⨯+⨯+⨯127.36 =，所以总样本的平均数为28.8z =，方差2127.36S =.【小问2详解】依题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，设“第i 场比赛在甲镇举行，甲镇代表队获胜”为事件i A ，“第i 场比赛在乙镇举行，甲镇代表队获胜”为事件, 1,2,3i B i =，则()()31,52i i P A P B ==，所以()21234(0)1525P X P A A ⎛⎫===-= ⎪⎝⎭，()()()1231231231233133316(1)1152555225P X P A B A A A B P A B A P A B ⎛⎫⎛⎫==+=+=⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，15(2)1(0)(1)25P X P X P X ==-=-==，所以461536()01225252525E X =⨯+⨯+⨯=.21.如图，正六边形ABCDEF 的边长为2．已知双曲线Γ的焦点为A ，D ，两条渐近线分别为直线,BE CF ．（1）建立适当的平面直角坐标系，求Γ的方程；（2）过A 的直线l 与Γ交于M ，N 两点，(1)AM AN λλ=≠- ，若点P 满足MP PN λ= ，证明：P 在一条定直线上．【答案】（1）2213y x -=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，从而得到b a=24c =，结合222c a b =+即可求得1a =，b =，从而得解；（2）先考虑直线l 为x 轴的情况，求得此时1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再考虑直线l 不为x 轴的情况，联立直线l 与双曲线Γ的方程得到1212,y y y y +⋅，再结合,AM AN MP PN λλ== 求得032y t =，从而得到012x =-，由此得证.【小问1详解】依题意，以直线AD 为x 轴，线段AD 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图，因为在正六边形ABCDEF 中，EOD △为正三角形，60EOD ∠=︒，2OD ED ==，设双曲线Γ的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由已知得Γ的渐近线方程为y =，所以b a=又焦距24c AD ==，所以2c =，又由2c a ==，则1a =，从而b =，所以双曲线Γ的方程为2213y x -=.【小问2详解】依题意，设()()()112200,,,,,M x y N x y P x y ，当直线l 为x 轴时，不失一般性，则()()1,0,1,0M N -，又由（1）知()2,0A -，故(1,0),(3,0)AM AN == ，所以13AM AN = ，从而13λ=，则13MP PN = ，即()()000011,1,3x y x y +=--，解得1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当直线l 不为x 轴时，设l 的方程为323x ty t ⎛⎫=-≠± ⎪ ⎪⎝⎭，由1λ≠-可知0t ≠，联立22213x ty y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x ，得()22311290t y ty --+=，则()22Δ14443190t t =-⨯-⨯>，121222129,3131t y y y y t t +=⋅=--，因为AM AN MP PNλλ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，所以()120120y y y y y y λλ=⎧⎨-=-⎩，消去λ，得()()201120y y y y y y -=-，所以120122183122y y y y y t t===+，从而00312222x ty =-=-=-，又1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭也在直线12x =-上，所以点P 在定直线12x =-上.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知函数2()e 1,x f x ax a =--∈R ．（1）若()f x 的最小值为0，求a ；（2）设函数2()()ln 2ln g x f x x x =--，若()g x 是增函数，求a 的取值范围．【答案】（1）2a =（2）(,4]-∞【解析】【分析】（1）利用函数最值与极值的关系推得0x =为()f x 的一个极值点，从而求得2a =，再代回检验是否满足题意即可得解；（2）先利用同构法得到2ln 41e (2ln )12x x a x x x+-⎡⎤≤-+-⎣⎦，再构造函数，结合（1）中结论证得2ln 1e (2ln )10x x x x x +⎡⎤-+-≥⎣⎦，从而得到402a -≤，由此得解.【小问1详解】因为2()e 1,x f x ax a =--∈R ，所以()00f =，又()f x 的最小值为0，所以0x =为()f x 的一个极值点，又因为2()2e x f x a '=-，所以(0)20f a '=-=，解得2a =，检验：当2a =时，()22()e 21,()2e 1x x f x x f x -='=--，当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，当,()0x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，故min ()(0)0f x f ==，满足题意，综上，2a =.【小问2详解】因为函数()2()()ln 2ln 0g x f x x x x =-->是增函数，所以22ln 2()2e0x x g x a x x -'=--≥，即()222ln 4ln 111e 2e 2ln 1e (2ln )12x x x x a x x x x x x x x x x +-⎡⎤≤---=---=-+-⎣⎦，令()2ln u x x x =+，则1210,(1)20e eu u ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以方程2ln 0x x +=有解，由（1）可知，2e 210x x --≥，当且仅当0x =时，等号成立，所以2ln e (2ln )10x x x x +-+-≥，当且仅当2ln 0x x +=时，等号成立，所以当0x >时，2ln 1e (2ln )10x x x x x+⎡⎤-+-≥⎣⎦，当且仅当2ln 0x x +=时，等号成立，所以402a -≤，解得4a ≤，.所以a的取值范围为(,4]【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
2025届福建省莆田市高中毕业班高考数学二模试卷含解析
2025届福建省莆田市高中毕业班高考数学二模试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（ ）A ．4B ．289C ．329D ．3273．若不相等的非零实数x ，y ，z 成等差数列，且x ，y ，z 成等比数列，则x yz+=（ ） A ．52-B ．2-C ．2D ．724．△ABC 中，AB ＝3，BC 13=AC ＝4，则△ABC 的面积是（ ） A ．33B 33C ．3D ．325．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行 C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直 D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直6．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b 满足(2)1f a b +<，11b a ++则的取值范围是（ ）A ．(11,53)B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞C ．(1,53)D ．(,3)-∞7．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．5⎛ ⎝⎦B ．5⎫⎪⎪⎣⎭ C ．25⎛ ⎝⎦D ．25⎫⎪⎪⎣⎭8．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ） A ．5B ．11C ．20D ．259．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞）B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C ．（1，2）D ．（﹣∞，1）10．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．011．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC 的外心，则2PC =；②ABC 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（ ）． A ．1B ．1C ．3D ．412．二项式22)nx 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180B ．90C ．45D ．360二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年3月莆田市高三数学高考二模质检试卷附答案解析
2024年3月莆田市高三数学高考二模质检试卷试卷满分150分．考试时间120分钟．2024.03一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 为虚数单位，i 1i z =+，则z =（）A ．1B CD ．22．若集合{}{}3,4,5,3,4A A B =⋂=，则集合B 可能为（）A ．{}2,3,4B ．{}2,3,5C ．{}3,5,6D ．{}4,5,63．某校高三年级有男生600人，女生400人．为了获得该校全体高三学生的身高信息，采用按比例分配的分层随机抽样抽取样本，得到男生､女生的平均身高分别为173cm 和163cm ，估计该校高三年级全体学生的平均身高为（）A ．167cmB ．168cmC ．169cmD ．170cm4．柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为4π3，则此正八面体的表面积为（）A ．32B C ．D ．5．若()()()131,,1054P AB P A P B ===，则（）A ．事件A 与B 互斥B ．事件A 与B 相互独立C ．()1320P A B +=D ．1()5P AB =6．已知抛物线24y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上．若点Q 在圆22(3)1x y -+=上，则MF MQ +的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．27．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，把它的终边绕原点逆时针旋转角β后经过点435π,tan ,0,55122ββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则sin α=（）A ．1665B ．3365C ．5665D ．63658．对于函数()y f x =和()y g x =，及区间D ，若存在实数,k b ，使得()()f x kx b g x ≥+≥对任意x D ∈恒成立，则称()y f x =在区间D 上“优于”()y g x =．有以下四个结论：①()cos f x x =在区间R 上“优于”()2112g x x =-；②()tan =f x x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上“优于”()sin g x x =；③()e 1xf x =-在区间()1,-+∞上“优于”()()ln 1g x x =+；④若()()1f x ax x =-在区间()0,∞+上“优于”()ln g x x =，则1a =．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()sin cos f x x x =，则（）A ．π142f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()f x 的最大值为1C ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．将函数()f x 的图象向右平移π个单位长度后与()f x 的图象重合10．在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在平面1ACD 上（M 异于点C ），则（）A ．直线1B D 与CM 垂直．B ．存在点M ，使得CM 1BBC ．三棱锥11A BC M -的体积为定值D ．满足直线1C M 和11A C 所成的角为π3的点M 的轨迹是双曲线11．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+，则（）A ．()y f x =是奇函数B ．若()11f =，则()24f -=C ．若()11f =-，则()3y f x x =+为增函数D ．若()30,0x f x x ∀>+>，则()3y f x x =+为增函数三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．已知(,2a a b =⋅=，则a =r ，b 在a上的投影向量的坐标为．13．已知ABC 的内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，若cos ,3C a ==，则cos A =．14．如图，点O 是边长为1的正六边形ABCDEF 的中心，l 是过点O 的任一直线，将此正六边形沿着l 折叠至同一平面上，则折叠后所成图形的面积的最大值为．四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且248,,a a a 成等比数列，515S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若,,2,,n n n a n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．16．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为直角梯形，,AB AD AB ⊥ ,2CD CD AB =．(1)证明：1B C 平面11BD A ；(2)若1AA ⊥平面1,1,2ABCD AB AA AD ===，求二面角11A BD D --的正弦值．17．某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：顾客投掷3枚质地均匀的股子．若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮乐”；若3枚骰子的点数之和为6的倍数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他情况不获得“刮刮乐”．(1)据往年统计，顾客消费额X （单位：元）服从正态分布()2130,25N ．若某天该商场有20000位顾客，请估计该天消费额X 在[]105,180内的人数；附：若()2,X N μσ ，则()()0.6827,220.9545P X P X μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈．(2)已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品的概率为34，刮出乙奖品的概率为14．①求顾客获得乙奖品的概率；②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率．18．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>E 上的点到右焦点的距离的最大值为2．(1)求椭圆E 的方程；(2)已知O 为坐标原点，对于E 内任一点P ，直线OP 交E 于,A C 两点，点,B D 在E 上，且满足2BP PD =，求四边形ABCD 面积的最大值．19．已知函数()()e ,0,xf x mx x ∞=-∈+．(1)证明：当e m ≤时，()0f x ≥；(2)若函数()()ln 1g x f x x x =--有两个零点12,x x ．①求m 的取值范围；②证明：12ln x x m +<．1．B【分析】根据复数的除法化简运算，在根据模长公式求解即可得答案.【详解】因为i 1i z =+，所以221i i i 1i i iz ++===-，则z ==故选：B.2．A【分析】根据题中条件逐项验证即可.【详解】对于A,若{}2,3,4B =,则{}3,4A B ⋂=，符合题意，故A 正确；对于B ，若{}2,3,5B =,则{}3,5A B = ，不符合题意，故B 错误；对于C ，若{}3,5,6B =,则{}3,5A B = ，不符合题意，故C 错误；对于D ，若{}4,5,6B =,则{}4,5A B ⋂=，不符合题意，故D 错误,故选：A.3．C【分析】根据题意结合平均数的计算公式运算求解.【详解】由题意可得：估计该校高三年级全体学生的平均身高为()0.61730.4163169cm ⨯+⨯=.故选：C.4．D【分析】根据正八面体的几何特点求得该几何体的球心，再由球的体积计算公式求得球半径，结合球半径和棱的关系，以及三角形面积计算公式，即可求得结果.【详解】根据题意，作正八面体如下所示，连接,,AC BD PE ，设AC BD O ⋂=，根据其对称性可知，PE 过点O ，又该八面体为正八面体，则PO ⊥面ABCD ，又AO ⊂面ABCD ，故PO AO ⊥；显然正八面体的外接球球心为O ，设其半径为R ，PA a =，则OA OP R ==，在直角三角形PAO 中，a PA ===；由34π3R =4π3可得1R =，则a =故该八面体的表面积282S a ==⨯=.故选：D.5．B【分析】对于A ，由()0P AB ≠即可判断，对于B ，由对立事件概率公式以及独立乘法公式验证；对于C ，由()()()()P A B P A P B P AB +=+-即可判断；对于D ，由()()()P AB P B P AB =-即可判断.【详解】对于AB ，()32155P A =-=，从而()()()21105410P A P B P AB =⨯==≠，故A 错误B 正确；对于C ，()()()()12111451020P A B P A P B P AB +=+-=+-=，故C 错误；对于D ，()()11()410320P AB P B P AB =-=-=，故D 错误.故选：B.6．C【分析】画出图形结合抛物线定义、三角形三边关系以及圆上点到定值线距离的最值即可求解.【详解】如图所示：由题意抛物线24y x =的准线为=1x -，它与x 轴的交点为()1,0-，焦点为()1,0F ，过点M 向抛物线的准线引垂线，垂足为点N ，设圆22(3)1x y -+=的圆心为()3,0P ，已知圆与x 轴的交点为点E ，11413M NQ NP PQ NP r NP D F MQ MN M P Q =≥≥-=-+=--=-+≥=，且3MF MQ +=成立的条件是,M O 重合且QE 重合，综上所述，MF MQ +的最小值为3.故选：C.7．B【分析】根据同角三角函数关系求得sin ,cos ββ的值，再结合正弦两角差公式即可得sin α的值.【详解】因为5πtan ,0,122ββ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以sin 5tan cos 12βββ==，则5sin cos 12ββ=，又22sin cos 1ββ+=，所以2144cos 169β=，由π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得12cos 13β=，则5sin 13β=，由题意可知角αβ+的终边经过点43,55⎛⎫⎪⎝⎭，则()()43sin ,cos 55αβαβ+=+=，所以sin α=()()()4123533sin sin cos cos sin 51351365αββαββαββ⎡⎤+-=+-+=⨯-⨯=⎣⎦.故选：B.8．B【分析】对于①②：根据题意结合函数图象分析判断；对于③：构建函数()()F x f x x =-，()()G x g x x =-，利用导数判断函数单调性，可证()(),1f x x g x x ≥≥>-；对于④：根据()()110f g ==结合公切线可得1a =，并检验.【详解】对于①：若cos x kx b ≥+在区间R 上恒成立，结合余弦函数的图象可知：0,1k b =≤-，若0,1k b =≤-，此时y b =与()2112g x x =-必有两个交点，由图象可知：2112b x ≥-不恒成立，即不存在实数,k b ，使得()()f x kx b g x ≥+≥对任意x ∈R 恒成立，故①错误；对于②：对于()tan f x x =，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，结合正切函数图象可知，不存在在实数,k b ，使得()f x kx b ≥+对任意ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立，故②错误；对于③：构建()()e 1,1xF x f x x x x =-=-->-，则()e 1,1xF x x =->-'，令()0F x '>，解得0x >；()0F x '<，解得10x -<<；可知()F x 在()1,0-内单调递减，在()0,∞+内单调递增，则()()00F x F ≥=，即(),1f x x x ≥>-；构建()()()ln 1,1G x g x x x x x =-=+->-，则()11,111x G x x x x =-=-+'>-+，令()0G x '>，解得10x -<<；()0G x '<，解得0x >；可知()G x 在()0,∞+内单调递减，在()1,0-内单调递增，则()()00G x G ≤=，即(),1g x x x ≤>-；综上所述：()(),1f x x g x x ≥≥>-，即存在实数1,0k b ==，使得()()f x kx b g x ≥+≥对任意()1,x ∞∈-+恒成立，所以()e 1xf x =-在区间()1,∞-+上“优于”()()ln 1g x x =+，故③正确；对于④：因为()()110f g ==，且()()()121,f x a x g x x''=-=，若()()1f x ax x =-在区间()0,∞+上“优于”()ln g x x =，可知符合条件的直线y kx b =+应为()(),f x g x 在1x =处的公切线，则()()11f g '='，可得1a =，则切线方程为1y x =-，构建()()()2110h x f x x x =-+=-≥在即()0,x ∞∈+内恒成立，可得()1,0f x x x ≥->；由③可知：()ln 1,1x x x +≤>-，可得ln 1,0≤->x x x ;综上所述：()(),0f x x g x x ≥≥>.所以1a =符合题意，故D 正确；故选：B【点睛】关键点点睛：对于③：通过构建函数证明()(),1f x x g x x ≥≥>-；对于④：根据()()110f g ==，结合题意分析可得()()11f g '='，即可得1a =，注意检验.9．AD【分析】由二倍角公式化简函数表达式，可直接判断AB ，举反例判断C ，由函数平移变换法则可判断D.【详解】对于AB ，()11sin cos sin 222f x x x x ==≤，π1π1sin 4222f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 对B 错；当π1π13π13πsin sin 42228244f f ⎛⎫⎛⎫==>== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；将函数()f x 的图象向右平移π个单位长度后的图象所对应的函数表达式为()()11sin 2πsin 222f x x x =-=，故D 正确.故选：AD.10．ACD【分析】根据线面垂直的判定定理以及性质定理，可判断A ；采用反证的方法判断B ；根据三棱锥的体积公式判断C ；结合圆锥曲线的形成判断D.【详解】对于A ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，故1BB AC ⊥，又BD AC ⊥,且11,,BB BD B BB BD ⋂=⊂平面1B BD ，故AC ⊥平面1B BD ，1B D ⊂平面1B BD ，故AC BD ⊥，同理可证1AD BD ⊥,11,,AD AC A AD AC =⊂ 平面1ACD ,故1B D ⊥平面1ACD ,CM ⊂平面1ACD ,故1B D CM ⊥，A 正确；对于B ，由于11BB DD ∥，假设存在点M ，使得CM 1BB ，而CM ⊂平面1ACD ，1BB ⊄平面1ACD ，则1BB ∥平面1ACD ，则1DD ∥平面1ACD 或1DD ⊂平面A 1，而直线1DD 与平面A 1显然相交，故B 错误；对于C ，由于1111D C AB,D C AB ∥=，故四边形11ABC D 为平形四边形，则11BC AD ∥，1AD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ，故1BC ∥平面1ACD ，同理可证11A C ∥平面1ACD ，1111111,,A C BC C A C BC =⊂ 平面11A BC ，故平面11A BC ∥平面1ACD ，即平面11A BC 和平面1ACD 之间的距离为定值，而M ∈平面1ACD ，故M 点到平面11A BC 的距离为定值，由于11A BC V 的面积为定值，故三棱锥11M A BC -的体积为定值，则三棱锥11A BC M -的体积为定值，C 正确；对于D ，直线1C M 和11A C 所成的角为π3，则M 轨迹为以11A C 为轴、以1C M 所在直线上的线段为母线的圆锥被平面1ACD 所截得的曲线，由于11A C ∥平面1ACD ，结合圆锥曲线的形成（淡蓝色部分为双曲线），可知满足直线1C M 和11A C 所成的角为π3的点M 的轨迹是双曲线，D 正确故选：ACD 11．ABD【分析】根据已知条件，利用函数奇偶性的定义，单调性的定义和性质，结合赋值法的使用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：()f x 定义域为R ，关于原点对称；对原式，令0x y ==，可得()()020f f =，解得()00f =；对原式，令y x =-，可得()()()0f f x f x =+-，即()()0f x f x +-=，故()y f x =是奇函数，A 正确；对B ：对原式，令1x y ==，可得()()22132f f =-⨯，又()11f =，则()22164f =⨯-=-；由A 可知，()y f x =为奇函数，故()()224f f -=-=，故B 正确；对C ：由A 知，()00f =，又()11f =-，对()3y f x x =+，当0x =时，()000y f =+=；当1x =时，()110y f =+=；故()3y f x x =+在()11f =-时，不是单调增函数，故C 错误；对D ：在R 上任取12x x >，令()()3h x f x x =+，则()()()()33121122h x h x f x x f x x -=+--()()()()221222121212f x x x f x x x x x x x ⎡⎤=-+-+-++⎣⎦()()()()()()()2212212212221212123f x x f x x x x x x x f x x x x x x x ⎡⎤=-+---+-+-++⎣⎦()()()()221212121212123f x x x x x x x x x x x x =---+-++()()()22121212122f x x x x x x x x =-+-+-()()31212f x x x x =-+-，由题可知()30,0x f x x ∀>+>，又120x x ->，故()()312120f x x x x -+->，即()()120h x h x ->，()()12h x h x >，故()y h x =在R 上单调递增，也即()3y f x x =+在R 上单调递增，故D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是合理的使用赋值法，对已知条件赋值，求得需要的函数值；二是对函数奇偶性和单调性定义的熟练掌握；三是在D 选项处理过程中，对()1f x 合理变形为()122f x x x ⎡⎤-+⎣⎦，进而根据抽象函数满足的条件进行计算，属综合题.12．213,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【分析】根据向量的模长的坐标计算公式，代入数值即可求得a；根据投影向量的计算公式，结合已知条件，即可求得投影向量的坐标.【详解】因为(a = ，故a2=；b在a上的投影向量为2142a b a a a aa ⋅⨯==，又(a = ，则11222a ⎛= ⎝⎭；故b 在a上的投影向量的坐标为12⎛ ⎝⎭.故答案为：2；12⎛ ⎝⎭.13．13-【分析】根据余弦定理可得3c b =，再利用余弦定理即可得cos A 的值.【详解】由余弦定理可得22222222cos 1229c a b ab C b b b b =+-=+-⨯=，所以3c b =，于是有2222222291221cos 22363b c a b b b b A bc b b b +-+--====-⋅.故答案为：13-.14．9【分析】根据正六边形的性质和对称性，可将问题转化为求三角形面积最大值问题，结合基本不等式求出最值即可.【详解】如图，由对称性可知，折叠后的图形与另外一半不完全重合时比完全重合时面积大，此时，折叠后面积为正六边形面积的12与PMN 面积的3倍的和.由正六边形的性质和对称性知，1PM PN MN ++=，120MPN ∠= ，在PMN 中，由余弦定理可得：()2222=1=2cos120MN PM PN PM PN PM PN --+-⋅⋅，得()210PM PN PM PN +-⋅-=，由基本不等式可知PM PN +≥，则01PM PN ≥⋅-，故10PM PN ⋅-≥，因01PM <<，01PN <<，解得(227PM PN ⋅≤=-当且仅当2PM PN ==故(1sin120724PMN S PM PN =⋅⋅- ，又正六边形的面积6S ==17392-⨯+⨯.故答案为：9.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得折叠后所成图形的面积要取得最大值时的状态，从而得解.15．(1)n a n =(2)()224413nn T n =+-【分析】（1）根据题意列式求1,a d ，进而可得结果；（2）根据题意利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解.【详解】（1）由题意可得：532428515S a a a a ==⎧⎨=⎩，即()()()121112337a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩，且0d ≠，解得11a d ==，所以数列{}n a 的通项公式11n a n n =+-=.（2）由（1）可得,2,n n n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，可得()()21221321242n n n n T b b b b b b b b b -=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()()()2424141211321222214n nn n n -+-=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-()24413nn =+-，所以()224413nn T n =+-.16．(1)证明过程见解析【分析】（1）取11C D 中点M ，CD 中点N ，连接11,,,B M CM BN D N ，通过线面平行、面面平行的判定定理首先得平面1//B CM 平面11BD A ，再利用面面平行的性质即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由向量夹角余弦的坐标公式结合三角函数平方关系即可得解.【详解】（1）如图：取11C D 中点M ，CD 中点N ，连接11,,,B M CM BN D N ，一方面：因为//,2AB CD CD AB =，所以//,AB ND AB ND =，即四边形ABND 是平行四边形，所以//,BN AD BN AD =，又1111//,AD A D AD A D =，所以1111//,BN A D BN A D =，即四边形11A BND 是平行四边形，所以11//ND A B ，因为111111//,22MD CN MD C D CD CN ===，所以四边形1MD NC 是平行四边形，所以1//CM ND ，从而1//CM A B ，又因为CM ⊄面11BD A ，1A B ⊂面11BD A ，所以//CM 面11BD A ，另一方面：又因为111111//,A B MD A B MD =，所以四边形111A B MD 是平行四边形，所以111//B M A D ，又因为1B M ⊄面11BD A ，11A D ⊂面11BD A ，所以1//B M 面11BD A ，结合以上两方面，且注意到11,,CM B M M CM B M ⋂=⊂平面1B CM ，所以平面1//B CM 平面11BD A ，又1B C ⊂平面1B CM ，所以1B C 平面11BD A ；（2）若1AA ⊥平面ABCD ，又,AB AD ⊂平面ABCD ，所以11,AA AB AA AD ⊥⊥，又AB AD ⊥，所以以A 为原点，以1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()110,0,1,1,0,0,0,2,0,0,2,1A B D D ，所以()()()()11111,2,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0BD DD A B A D =-==-= ，设()1111,,n x y z =是平面1BDD 的法向量，则11100n BD n DD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即111200x y z -+=⎧⎨=⎩，令11y =，解得112,0x z ==，即可取平面1BDD 的一个法向量为()12,1,0n =u r，设()2222,,n x y z =是平面11BD A 的法向量，则2121100n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即222020x z y -=⎧⎨=⎩，令21z =，解得221,0x y ==，即可取平面11BD A 的一个法向量为()21,0,1n =，设二面角11A BD D --的大小为θ，则121212cos cos ,5n n n n n n θ⋅===⋅，所以sin 5=θ，即二面角11A BD D --的正弦值为5.17．(1)16372(2)①37384；②2137【分析】（1）由题意()()()1051802P X P X P x μσμμμσ≤≤=-≤≤+≤≤+，由此结合题中数据以及对称性即可求解相应的概率，进一步即可求解；（2）由题意有()()()112171,|,|8164P A P B A P B A ===，进一步分3大种情况求得()216P A =，对于①，由全概率公式即可求解；对于②，由条件概率公式即可求解.【详解】（1）由题意()()()105180105130130180P X P X P x ≤≤=≤≤+≤≤()()()120.68270.95450.81862P X P x μσμμμσ=-≤≤+≤≤+≈+≈，若某天该商场有20000位顾客，估计该天消费额X 在[]105,180内的人数为0.81862000016372⨯=；（2）设事件1A =“顾客中龙腾奖”，事件2A =“顾客中旺旺奖”，事件B =“顾客获得乙奖品”，由题意知()()()23112331371,|1,|684164P A P B A P B A ⎛⎫===-== ⎪⎝⎭，事件2A 包括的事件是：“3枚骰子的点数之和为6”，“3枚骰子的点数之和为12”，“3枚骰子的点数之和为18”，则（i ）若“3枚骰子的点数之和为6”，则有“1点，1点，4点”，“1点，2点，3点”，“2点，2点，2点”，三类情况，共有213313C C A 136110++=++=种；（ii ）若“3枚骰子的点数之和为12”，则有“1点，5点，6点”，“2点，5点，5点”，“2点，4点，6点”，“3点，4点，5点”，“3点，3点，6点”，“4点，4点，4点”，六类情况，共有31233213323331A C C A A C C 163663125+++++=+++++=种；（iii ）若“3枚骰子的点数之和为18”，则有“6点，6点，6点”，一类情况，共有1种；所有()23310251361666P A ++===，①由全概率公式可得()()()()()1122171137||81664384P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=，即顾客获得乙奖品的概率为37384；②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是()()()()()()111117|21816|3737384P A B P A P B A P A B P B P B ⨯====，所以顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是2137.18．(1)2214x y +=(2)3【分析】（1）由离心率公式以及焦半径的最值列出方程组，结合222b a c =-算出,a b 即可；（2）分直线AC 是否垂直于x 轴进行讨论即可，当直线AC 不垂直于x 轴时，由弦长公式、点到直线的距离公式表示出四边形ABCD 的面积（含参数,k m ），进一步结合过点B 与直线AC 平行的直线l 与椭圆至少有一个交点，由此22041m k ∆≥⇒≤+，从而即可进一步求解.【详解】（1）由题意可得2c e a c a ==+=+，所以2222,1a c b a c ===-=，所以椭圆E 的方程是2214x y +=；（2）设点B 到直线AC 的距离为d ，因为2BP PD =，所以点B 到直线AC 的距离是点D 到直线AC 的距离的2倍，所以四边形ABCD 的面积为1132224ACB ACD d S S S AC d AC AC d =+=+= ，当直线AC 垂直于x 轴时，2AC =，点B 到直线AC 的距离的最大值为2，此时32234S =⨯⨯=，当直线AC 不垂直于x 轴时，可设直线AC 的方程为y kx =，代入椭圆方程2214x y +=，整理并化简得22414x k =+，即22241k x +=，所以2222244141141k k AC k k k ++=+⋅+设过点B 与直线AC 平行的直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程2214x y +=，整理并化简得()222148440k x kmx m +++-=，由()()222222Δ6441444041k m kmm k =-+-≥⇒≤+，所以22204111m k d k k -+=++所以2222334141344411k k S AC d k k ++=≤=++，等号成立当且仅当0k =且1m =，综上所述，四边形ABCD 面积的最大值为3.【点睛】关键点点睛：第二问的关键是求出四边形面积表达式，还有一个约束条件是过点B 与直线AC 平行的直线l 与椭圆至少有一个交点，由此即可顺利得解.19．(1)证明见解析(2)①()e 1,-+∞；②证明见解析【分析】（1）求导，分类讨论判断()f x 的单调性，结合单调性和最值分析证明；（2）①令()0g x =，整理可得e 1ln 0x m x x x ---=，设()e 1ln ,0x h x m x x x x=--->，求导，利用导数判断单调性，结合单调性分析零点问题；②分析可知原不等式等价于()112111e 12ln x x x x x x <--数证明()112111e 12ln 0x x x x x x <<--.【详解】（1）由题意可得：函数()e xf x m '=-，且0x >，e m ≤，若1m ≤，则()e 10xf x m m '=->-≥在()0,∞+内恒成立，可知()f x 在()0,∞+内单调递增，可得()()010f x f m >=-≥；若1e m <≤，令()0f x '>，解得ln x m >；令()0f x '<，解得0ln x m <<；可知()f x 在()0,ln m 内单调递减，在()ln ,m ∞+内单调递增，可得()()()ln 1ln f x f m m m ≥=-，且1e m <≤，则ln 1m ≤，则()()1ln 0f x m m ≥-≥；综上所述：当e m ≤时，()0f x ≥.（2）①由题意可得：()e ln 1xg x mx x x =---，令()0g x =，整理可得e 1ln 0x m x x x---=，设()e 1ln ,0x h x m x x x x =--->，则()()()()221e 11e 11xx x x h x x x x x---=-+='，且0x >，可知e 10x ->，令()0h x '>，解得1x >；令()0h x '<，解得01x <<；则()h x 在()0,1内单调递减，在()1,∞+内单调递增，由题意可知：()h x 有两个零点，则()1e 10h m =--<，解得e 1m >-，若e 10m >->，令()e0,1mt -=∈，则e 10t ->则()e 1ln ln ln e 0t m h t t m t m m t--=-->--=--=，可知()h x 在(),1t 内有且仅有一个零点；且当x 趋近于+∞，()h x 趋近于+∞，可知()1,∞+内有且仅有一个零点；即e 1m >-，符合题意，综上所述：m 的取值范围为()e 1,∞-+；②由①可知：()11111e 1ln 0x h x m x x x =---=，即1111e 1ln x m x x x =--，若12ln 2x x m +<，等价于112111e 1ln ln 2x x x x x x +<---，等价于()112111e 1ln x x x x x x <--，令()e 12,02x F x x x x x =--->，则()()()21e 1xx x F x x ---='，令()e 1,0x x x x ϕ=-->，则()e 10xx ϕ='->在()0,∞+内恒成立，可知()x ϕ在()0,∞+内单调递增，则()()00x ϕϕ>=，即e 10,0x x x -->>，令()0F x '>，解得1x >；令()0F x '<，解得01x <<；可知()F x 在()0,1内单调递减，在()1,∞+内单调递增，可得()()1e 20F x F ≥=->；令()()1,1G x h x h x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则()()()1221e e 111x x x x x G x h x h x x x ⎛⎫--+- ⎪⎛⎫⎝⎭='''+=⎪⎝⎭，令()1e e 1,1x xn x x x x =-+->，则()111e e e 1xxx n x x x='-++，因为1x >，则()1111111e e e 1e e e 1e 10xxx x x n x x x x x x x=-++≥-++=+>'，可知()n x 在()1,∞+内单调递增，则()()10n x n >=，可得()0G x '>在()1,∞+内恒成立，可知()G x 在()1,∞+内单调递增，则()()10G x G >=，即()1,1h x h x x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，不妨设1201x x <<<，则()()1221h x h x h x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，且2101x <<，()h x 在()0,1内单调递减，可得121x x <，即1201x x <<，可得()12ln 0x x <；即()112111e 12ln 02x x x x x x <<---，所以12ln 2x x m +<.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；h x；（2）构造新的函数()h x的单调性或最值；（3）利用导数研究()（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．21。
福建省莆田市数学高三第二次高考理数模拟考试卷
福建省莆田市数学高三第二次高考理数模拟考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设，则（）A . c<b<aB . c<a<bC . a<b<cD . b<c<a2. （2分）设 a 是实数，若复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在直线 x+y=0 上，则 a 的值为（）A . -1B . 0C . 1D . 23. （2分）已知且，则下面结论正确的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高一上·定州期末) 已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为an（n∈N*），且{an}的前n项和为Sn ，则Sn的取值范围是（）A . [1，）B . [1， ]C . [ ，2）D . [ ，2]5. （2分）某工作的三视图如图所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（）（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）A .B .C .D .6. （2分）执行右面的程序框图，若p=0.8，则输出的n=（）A . 2B . 3C . 4D . 57. （2分）函数的一条对称轴方程是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一下·雅安期末) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1B1CD与平面ABCD所成二面角为（）A .B .C .D .9. （2分）(2020·茂名模拟) 已知函数，若函数有四个零点，则的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 学校计划在全国中学生田径比赛期间，安排6位志愿者到4个比赛场地提供服务，要求甲、乙两个比赛场地各安排一个人，剩下两个比赛场地各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（）A . 168种B . 156种C . 172种D . 180种11. （2分）甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，设命中目标的人数为X，则D（X）等于（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二上·哈尔滨月考) 设双曲线的两条渐近线与直线分别交于两点，为该双曲线的右焦点.若，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共8分)13. （5分）如图所示，扇形所含中心角为，弦将扇形分成两部分，这两部分各以为轴旋转一周，求这两部分旋转所得旋转体的体积和之比．14. （1分） (2016高一上·黄冈期末) 若| |=1，| |= ，，且，则向量与的夹角为________15. （1分）(2017·福建模拟) 设不等式，表示的平面区域为M，若直线y=k（x+2）上存在M内的点，则实数k的最大值是________．16. （1分） (2020高三上·潮州期末) 函数在处取得最大值，则 ________三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分） (2016高一上·宝安期中) 设函数f（x）=lg[log （ x﹣1）]的定义域为集合A，集合B={x|x ＜1，或x≥3}．（1）求A∪B，（∁RB）∩A；（2）若2a∈A，且log2（2a﹣1）∈B，求实数a的取值范围．18. （10分） (2018高二上·临汾月考) 已知四棱台的上下底面分别是边长为和的正方形，且底面，点为的中点,在边上，且 .（1）求证：∥平面；（2）求证： .19. （5分） (2016高二上·东莞开学考) 从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）、第二组[160，165）；…第八组[190，195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同．（I）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；（Ⅱ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|x ﹣y|≤5的事件概率．20. （10分） (2018高二上·长安期末) 一张坐标纸上涂着圆E：及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线EP'交于点M ．（1）求的轨迹的方程；（2）直线与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．21. （5分）已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=ax﹣lnx，其中a＜0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）若g（x）在（1，g（1））处的切线l与直线x﹣3y﹣5=0垂直，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在x∈[0，2]上的最小值；（Ⅲ）试探究能否存在区间M，使得f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性？若能存在，说明区间M 的特点，并指出f（x）和g（x）在区间M上的单调性；若不能存在，请说明理由．22. （5分） (2017高三上·东莞期末) 已知曲线C 的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设l1：θ= ，l2：θ= ，若l 1、l2与曲线C 相交于异于原点的两点 A、B，求△AOB的面积．23. （10分） (2019高一上·无锡期中) 设函数 .（1）当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（2）若为常数，且函数在区间上存在零点，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、23-1、23-2、。
福建省莆田市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(自测卷)模拟试卷
福建省莆田市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(自测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题的展开式中的系数是A．56B．84C．112D．168第(2)题“是函数在区间内单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第(3)题设，则的大小关系为（）A．B．C．D．第(4)题设集合，集合，那么等于( )A．B．C．D．第(5)题运行如图的程序框图，则输出的结果是A．B．C．D．第(6)题5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为( )A．240种B．120种C．96种D．480种第(7)题下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是A．B．y=C．D．第(8)题已知，若为奇函数，则实数（）A．0B．C．1D．2二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题若，，分别是定义在上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数是偶函数的是（）A．B．C．D．第(2)题“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数，如果是奇数㩆乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设，各项均为正整数的数列满足，则（）A．当时，B．当时，C．当为奇数时，D．当为偶数时，是递增数列第(3)题已知正方形中，，是平面外一点.设直线与平面所成角为，设三棱锥的体积为，则下列命题正确的是（）A．若，则的最大值是B．若，则的最大值是C．若，则的最大值是D．若，则的最大值是三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题以茎叶图记录了甲、乙两组学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），则甲、乙两组数据的中位数之和为__________．第(2)题已知向量，向量，则=__________第(3)题已知函数存在实数，且有，使得，则的最小值是________.四、解答题（本题包含5小题，共77分。
福建省莆田市2018-2019学年高三下学期第二次质量测试(A卷)(5月) 数学(理) Word
2018-2019学年某某市高中毕业班第二次质量检测试卷(A 卷)理科数学本试卷共7页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1.答题前，考生务必将自己的某某、某某号填写在答题卡上．2.考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
{|ln 0},{|0}A x x B x x =<=<，则A.A B =∅B.{|0}A B x x =<C.R A B =D.{|1}A B x x => R a ∈,则“0≤a ”是“复数ii a z 3-=在复平面内对应的点在第二象限”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件3.执行如图所示的程序框图，则输出k 的值为A.4B.5)N ()2(*3∈-n xx n 展开式的二项式系数和 为32，则其展开式的常数项为A.80B.-80βααβα、,1010)sin(,552sin -=-=均为锐角，则角β等于 A.125π B.3π C.4π D.6π 6.某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为A.πB.2πC.3πD.4π}{n a 的前n 项和为n S ，若0,01413<>S S ,则n S 取最大值时n 的值为A.6B.7)(x f 满足)1()1(x f x f -=+，且)(x f 是),1[+∞上的增函数，则 ),6.0(32f a =),7.0(32f b =)7.0(31f c =的大小关系是 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．c b a >>)0)(2sin(2)(πϕϕ<<+=x x f 的图像向左平移12π个单位后得到函数)(x g y =的图像，若)(x g 的图像关于直线4x π=对称，则)(x g 在,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是 A.1- B.23- C.2- D.3- 10.《九章算术》是我国古代数学名著,，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，若12A A AB ==，当堑堵111ABC A B C -的侧面积最大时，阳马11B A ACC -的体积为A.34B.38C.4 D.334 11. 已知21,F F 分别是双曲线E ：22221x y a b-=)0,0(>>b a 的左、右焦点，若E 上存在一点P 使得bPF PF =+||21，则E 的离心率的取值X 围是A.),25[+∞B.]25,1( C.),5[+∞ D.]5,1( 12.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足2,02,()2,2,x x x x f x x x e⎧-≤<⎪=⎨-≥⎪⎩若函数()()F x f x m =-有六个零点，则实数m 的取值X 围是A.)41,1(3e -B.)41,0()0,1(3 e -C.]0,1(3e -D.)0,1(3e-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省莆田市高三第二次质量检测数学(理)试题(解析版)
福建省莆田市高三第二次质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A. B. C. D.2．设，则“”是“复数在复平面内对应的点在第二象限”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 74．若（）展开式的二项式系数和为32，则其展开式的常数项为（）A. B. C. D.5．已知，，、均为锐角，则角等于（）A. B. C. D.6．某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.7．设等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 138．设函数满足，且是上的增函数，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.9．函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则在上的最小值是（）A. B. C. D.10．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵中，，若，当堑堵的侧面积最大时，阳马的体积为（）A. B. C. D.11．已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，若上存在一点使得，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.12．已知函数是定义在上的偶函数，且满足若函数有六个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题13．已知向量，，若，，，则__________．14．设变量，满足约束条件则的取值范围是__________．15．抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且，则的值为__________．16．在平面四边形中，，，，，则的最大值为__________．三、解答题17．已知正项数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，公比为（），且，，成等差数列．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．18．如图，三棱柱的侧面是菱形，平面平面，直线与平面所成角为，，，为的中点．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．19．某企业有，两个分厂生产某种产品，规定该产品的某项质量指标值不低于130的为优质品．分别从，两厂中各随机抽取100件产品统计其质量指标值，得到如图频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，分别求出分厂的质量指标值的众数和中位数的估计值；（2）填写列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为这两个分厂的产品质量有差异？（3）（i）从分厂所抽取的100件产品中，利用分层抽样的方法抽取10件产品，再从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品的条件下，求抽取的两件产品都是优质品的概率；（ii）将频率视为概率，从分厂中随机抽取10件该产品，记抽到优质品的件数为，求的数学期望．附：20．在平面直角坐标系中，圆：，，，为平面内一动点，若以线段为直径的圆与圆相切．（1）证明为定值，并写出点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，直线过交于，两点，过且与垂直的直线与交于，两点，求四边形面积的取值范围．21．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）是否存在，使得对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．22．在直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线与相交于，两点，求的值．23．已知函数，不等式的解集为．（1）求的值；（2）若，求的取值范围．数学（理）试题答案一、单选题1．已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先利用对数函数的单调性，求得对数不等式的解集，求得集合A，之后利用交集中元素的特征，求得，利用并集中元素的特征，求得，之后对各项进行分析对比，选出正确结果.详解：根据题意可得，又因为，能够发现两个集合没有公共元素，所以可以求得，，故选A.点睛：该题考查的是有关集合的运算问题，在求解的过程中，需要先确定集合A中的元素有哪些，之后再利用集合的交集与并集中元素的特征，求得正确结果.2．设，则“”是“复数在复平面内对应的点在第二象限”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：首先利用复数的运算法则，化简求得，从而利用复数在复平面内得到复数对应的点的坐标，之后根据第二象限内点的坐标的特征，求得所满足的不等关系式，从而求得其范围，最后利用集合的包含关系，确定其充分必要性.详解：，其对应的点的坐标为，若该点在第二象限，可得，即，又是的真子集，故为必要非充分条件，故选B.点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断，在求解过程中，需要首先确定出各条件对应的参数的取值范围，利用集合间的关系，求得结果.3．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】分析：首先需要对框图进行分析，确定其为对哪些量来求积运算，之后需要对其运行，看看到什么时候就会结束，从而求得结果.详解：观察分析题中所给的框图，可以发现，结合条件，可知最后输出的k的值为6，故选C.点睛：该题考查的是有关程序框图读结果的问题，在求解的过程中，需要分析该框图的作用，以及需要分析各项之间的关系，从而判断出满足条件时输出的量，从而求得结果.4．若（）展开式的二项式系数和为32，则其展开式的常数项为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据二项式定理中所涉及的二项式系数和为，结合题中条件，求得，将代入二项式，将其展开式的通项写出，令幂指数为零，求得，再回代，求得结果，得到正确选项.详解：根据二项式系数和的性质，可知，解得，所以的展开式的通项为，令，解得，所以其展开式的常数项为，故选B. 点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，在解题的过程中，需要首先利用展开式中二项式系数和求得的值，之后借助于二项展开式的通项，接着令幂指数等于题中要求的项对应的指数，求得的值，之后代入求得结果.5．已知，，、均为锐角，则角等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先利用题中条件以及角的范围，利用平方关系，求得，下一步的任务就是将角进行配凑，之后借助于和角公式求得角的正弦值，结合题中所给的角的范围，进一步求得角的大小.详解：因为，结合、均为锐角，可以求得，所以，所以，故选C. 点睛：该题考查的是有关利用和角公式借助于三角函数值求角的大小，在解题的过程中，需要利用整体思维，将当做一个整体，即整体思维的运用，之后借助于和角公式完成，再者借助于三角函数值求角的大小的时候，一定要参考角的范围进行求解.6．某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先利用题中所给的几何体的三视图，将几何体还原，结合对应的边长，可以断定该几何体的顶点都落在棱长为1的正方体的顶点处，从而得到该几何体的外接球即为对应的正方体的外接球，利用正方体的对角线就是其外接球的直径，从而求得结果.详解：观察分析题中所给的三视图，可以确定该四棱锥的底面是边长为1的正方形，,高为1，且顶点在底面上的摄影落在底面顶点处的四棱锥，从而可以断定该四棱锥的五个顶点都在以1为棱长的正方体上，从而求得该正方体的外接球的半径为，所以其面积为，故选C.点睛：该题考查的是有关通过三视图还原几何体的问题，再者就是有关几何体的外接球的问题，在解题的过程中，一是需要利用三视图将几何体还原，二是要明确特殊几何体的外接球的球心的位置，从而求得结果，注意结论的灵活应用.7．设等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 13【答案】B【解析】分析：首先利用求和公式，根据题中条件，，确定出，从而根据对于首项大于零，公差小于零时，其前项和最大时对应的条件就是，从而求得结果.详解：根据，，可以确定，所以可以得到，所以则取最大值时的值为7，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的前项和最大值的问题，在求解的过程中，需要明确其前项和取最大值的条件，之后就是应用题的条件，确定其相关项的符号，从而求得结果.8．设函数满足，且是上的增函数，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先根据题中条件，确定出函数图像的特征：关于直线对称；下一步利用幂函数以及指数函数的单调性，比较得出，下一步应用是上的增函数，得到函数是的减函数，从而利用自变量的大小可出函数值的大小.详解：根据，可得函数的图像关于直线对称，结合是上的增函数，可得函数是的减函数，利用幂函数和指数函数的单调性，可以确定，所以，即，故选A.点睛：该题考查的是有关函数值比较大小的问题，在求解的过程中，需要抓住题中的条件，得到函数的图像的对称性，结合是上的增函数，得到函数是的减函数，而三个自变量的值都是大于零小于1的，所以将函数值的大小转化为自变量的大小上，应用幂函数和指数函数的单调性即可解决.9．函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则在上的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先根据函数图像的平移变换的原则，写出函数的解析式，利用图像的对称性，得到所满足的等量关系式，结合题中所给的的取值范围，求得，之后结合整体角的取值范围求得函数在给定区间上的最小值.详解：根据题意可知，因为其图像关于直线对称，可知，结合的范围，可以求得，从而得到，因为，则有，从而求得，所以有，所以在上的最小值是，故选D.点睛：该题考查的是有关三角函数的图像变换以及函数在给定区间上的最值问题，在求解的过程中，需要明确函数图像的平移变换的原则，结合题中所给的参数的取值范围求得结果，确定函数解析式之后，应用整体角思维，结合函数在相应区间上的取值问题求得相应的结果.10．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵中，，若，当堑堵的侧面积最大时，阳马的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先根据题中的条件，将相应的边长设出，得到其对应的关系式，将其侧面积表示为关于的关系式，之后借助于基本不等式的转化不等式，求得其最值，并且应该明确什么情况下取得最值，之后借助于三棱锥的体积公式求得结果.详解：根据题意，设，则有，堑堵的侧面积，当且仅当时取等号，此时，故选A.点睛：该题考查的是有关几何体的体积的求解，以及应用基本不等式求相关边长的问题，在求解的过程中，首先将三棱柱的侧面积表示为有关变量的关系，之后借助于基本不等式的变形不等式求得其对应的值，之后应用椎体的体积公式求得结果.11．已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，若上存在一点使得，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先利用向量的和的模大于等于向量的模的差的绝对值，借助题的条件，求得椭圆中系数的关系，紧接着借助于双曲线中的关系，得到其离心率所满足的不等式，从而求得结果.详解：根据题意有，所以有，即，整理可得，解得，故选C.点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率范围的求解问题，在解题的过程中，一是需要注意应用题的条件，利用向量和的模大于等于向量模的差的绝对值，结合双曲线的定义，从而建立关于的关系，之后借助于双曲线中的关系，得到离心率所满足的关系，求得结果.12．已知函数是定义在上的偶函数，且满足若函数有六个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，注意分段函数要明确相应的式子，当时，很容易画出抛物线段，当时，利用导数研究函数的单调性，利用函数解析式，确定出函数值的符号，从而画出函数的图像，利用偶函数的图像的对称性，得到函数图像与直线在y轴右侧有三个交点，观察图像可得结果.详解：画出函数的图像，当时，很容易画出抛物线段，利用导数研究函数的图像的走向，从而确定出其在上单调减，在上单调增，但是其一直落在x轴下方，因为是定义在上的偶函数，所以函数有六个零点，等价于有三个正的零点，相当于函数图像与直线在y轴右侧有三个交点，观察图像可知的取值范围是，故选D.点睛：该题考查的是有关函数零点的个数问题，在求解的过程中，将零点的个数问题转化为函数图像与直线的交点个数问题，结合偶函数的图像的对称性，得到在y轴右侧有三个交点，利用导数研究函数的单调性，得到函数图像的走向，从而观察图像求得结果.二、填空题13．已知向量，，若，，，则__________．【答案】【解析】分析：首先利用向量的模的平方和向量的平方是相等的，将两边平方，借助于题中所给的向量的模，求得，之后再借助于向量的模的平方等于向量的平方，得到，从而求得结果.详解：根据，，，可以求得，从而求得，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关向量的模的问题，在求解的过程中，需要明确向量的模的平方等于向量的平方求得结果，对应的解题思想就是见模就平方，需要明确向量数量积的运算法则.14．设变量，满足约束条件则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：手先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，之后分析目标函数的形式，可以发现目标函数表示的是区域内的点与点连线的斜率，结合图形，判断出在哪个点处取得最小值，哪个点处取得最大值，之后联立直线方程构成方程组，求得其点的坐标，代入求得结果即可.详解：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，其为直线、直线和直线所围成的封闭的三角形区域，目标函数表示的是区域内的点与点连线的斜率，结合图形，可以判断目标函数在点取得最小值0，在点取得最大值，从而求得的取值范围是.点睛：该题考查的是有关线性规划类的问题，在解题的过程中，正确画出约束条件对应的可行域是解题的关键，该题的目标函数是分式型的，不是线性的，所以是升级版的，这就需要明确目标函数一共有三类，截距型、距离型和斜率型，结合其意义，求得结果.15．抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且，则的值为__________．【答案】【解析】分析：首先将代入抛物线的方程，求得对应点N的坐标，从而求得，利用抛物线的定义，将用点N到抛物线准线的距离来表示，求得，之后应用题中所给的等量关系式，得到关于p的式子，从而求得结果,详解：将代入抛物线方程，可以求得，利用题中条件，结合抛物线定义，可以求得，解得.点睛：该题考查的是抛物线的有关问题，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，对应直线与曲线的交点的求解方法就是联立方程组，再者利用抛物线上的点到焦点的距离就可以应用其到准线的距离可以简化式子，从而建立关于p所满足的等量关系式，求得结果.16．在平面四边形中，，，，，则的最大值为__________．【答案】【解析】分析：首先根据题中的条件，将对应的四边形画出来，分析图形中的不变量与可变量，设出相应的自变量，分析边与角的关系，在直角三角形中得出，下一步利用向量的模的平方和向量的平方是相等的，借助于向量的数量积来完成，将的平方转化为关于的函数，从而求得最值.详解：根据题意，画出相应的四边形，设，则有，所以其最大值为，所以的最大值为.点睛：该题考查的是有关线段长度的最值问题，在求解的过程中，需要分析得出图形中的不变量与可变量，找到可变量与谁的变化有关，设出对应的自变量，结合向量的有关知识，将线段的长度的平方转化为关于所设自变量的函数关系，利用函数求得最值，从而求得结果.三、解答题17．已知正项数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，公比为（），且，，成等差数列．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】(1)；(2).【解析】分析：第一问首先将代入题中所给的式子，求得，之后类比着写出时对应的式子，两式相减求得，从而确定出数列是首项为3，公差为2的等差数列，进一步求得其通项公式；第二问利用题中条件求得其公比，借助其首项，利用等比数列求得其通项公式，之后观察是由一个等差数列和一个等比数列对应项积所构成的新数列，利用错位相减法求和即可.详解：（1）当时，，即，因为，所以，当时，，即，因为，所以，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以．（2）因为数列首项为1，公比为的等比数列，，，成等差数列，所以，即，所以，又因为，所以，所以，则，，①则，②由①②得，所以．点睛：该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、数列的项与和的关系以及错位相减法求和，在解题的过程中，需要对基础知识牢固掌握，再者就是根据题的条件，对所求出的量进行取舍，最后在求和时，最后对应的那个等比数列一定要明确项数.18．如图，三棱柱的侧面是菱形，平面平面，直线与平面所成角为，，，为的中点．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】分析：第一问首先借助于线段的长度关系，求得，之后借助于面面垂直得到直线与平面所成角的平面角，利用题中条件所给角的大小，得到，从而得到为正三角形进一步得到，借助于面面垂直的有关性质，得到平面，下一步利用线面垂直的性质和判定定理证得结果，第二问就是利用空间向量求解即可.详解：（1）证明：如图所示，连接，，在矩形中，，为的中点，所以，又因为平面平面，所以直线在平面上的射影是直线，所以直线与平面所成角为，因为直线与平面所成角为，即，所以为正三角形，又为的中点，则，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，且，所以平面，又因为平面，所以．（2）解：设为中点，则，所以，，两两互相垂直，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，则即令，得，同理可求得平面的一个法向量为，，由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，一是空间垂直关系的证明，二是求二面角的大小，在求解的过程中，需要对空间平行垂直关系的有关定理的条件和结论要熟记，再者就是用空间向量求解二面角的问题要明确思路，还有就是该题第一问也可以应用空间向量来证明，借用向量数量积等于零来达到证明垂直的目的，还有就是利用法向量求二面角的余弦值的时候一定要结合法向量的方向确定是其补角还是其本身.19．某企业有，两个分厂生产某种产品，规定该产品的某项质量指标值不低于130的为优质品．分别从，两厂中各随机抽取100件产品统计其质量指标值，得到如图频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，分别求出分厂的质量指标值的众数和中位数的估计值；（2）填写列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为这两个分厂的产品质量有差异？（3）（i）从分厂所抽取的100件产品中，利用分层抽样的方法抽取10件产品，再从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品的条件下，求抽取的两件产品都是优质品的概率；（ii）将频率视为概率，从分厂中随机抽取10件该产品，记抽到优质品的件数为，求的数学期望．附：【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)(i);(Ⅱ)答案见解析.【解析】分析：第一问首先利用众数和中位数定义，得到直方图中最高的那条对应的组中值就是众数，利用中位数的两边对应的条的面积是相等的，求得中位数；结合题中的条件，填完列联表，之后应用公式求得的观测值，与表中的值相比较，得到是否有把握认为其有没有关系；第三问利用概率公式求得结果，分析变量的取值以及对应的概率列出分布列，应用离散型随机变量的分布列的期望公式求得结果.详解：（1）分厂的质量指标值的众数的估计值为，设分厂的质量指标值的中位数的估计值为，则，解得．（2）列联表：由列联表可知的观测值为：，所以有的把握认为两个分厂的产品质量有差异．（3）（i）依题意，厂的100个样本产品利用分层抽样的方法抽出10件产品中，优质品有2件，非优质品有8件，设“从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品”为事件，“从这10件产品中随机抽取2件，抽取的两件产品都是优质品”为事件，则，所以已知抽到一件产品是优质品的条件下，抽取的两件产品都是优质品的概率是．（ii）用频率估计概率，从分厂所有产品中任取一件产品是优质品的概率为0.20，所以随机变量服从二项分布，即，则．点睛：该题考查的是有关概率统计的问题，在解题的过程中，需要耐心读题，因为该题的题干太长，再者要求对基础知识掌握非常的牢固，对相关的定义以及公式都比较熟悉，虽然题干比较长，但是题并不难，所以耐心就能做好.20．在平面直角坐标系中，圆：，，，为平面内一动点，若以线段为直径的圆与圆相切．（1）证明为定值，并写出点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，直线过交于，两点，过且与垂直的直线与交于，两点，求四边形面积的取值范围．【答案】(1)证明见解析，轨迹方程为．(2).【解析】分析：第一问结合题中条件画出相应的图形，连接相关线段，利用中位线的长度以及两圆内切时对应两圆心之间的距离与半径的关系，求得，从而得到其为定值，之后借助于其范围，利用椭圆的定义，求得其轨迹方程；第二问分直线的斜率不存在、为零、存在且不为零三种情况来分析对应的四边形的面积，从而求得其范围.详解：（1）设的中点为，连接，，在中，，分别为，的中点，所以，又圆与动圆相切，则，所以，即为定值，，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设椭圆方程为，则，，，所以点的轨迹方程为．。
【数学】福建省莆田市高三第二次质量检测(A卷)(5月) 试卷(理)
福建省莆田市高三第二次质量检测（A 卷）（5月）数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1.设全集{}8U x x *=∈N ≤，集合{}1,3,7A =,{}2,3,8B =, 则()UA B =（ ）A. {}2,3,4,5,6,8B. {}2,8C. {}1,7D. {}32.已知i z a =+(0)a >，且2z =，则z =（ ） A. 1i -B. 1i +C. iD.i3.执行如图所示的程序框图，最后输出结果为（ ）A. 16B. 31C. 32D. 624. 函数()sin e 1xf x =-在[],-ππ上的图像大致为（ ）A B C D5.从4位女生，3位男生中选3人参加科技比赛，则至多有2位女生入选的方法种数为（ ）A. 30B. 31C. 185D. 1866.如图1是某省2019年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收 入统计图，其中同比增长率指和去年同期相比较的增长率.下列对统计图理解错误．．的是（ ）A ．月业务量中，3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件B ．月收入同比增长率中，3月份最高C ．同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．月业务收入同比增长率逐月增长7．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p .某检验员从该生产线上随机抽 检50个零件，设其中优等品零件的个数为X .若()8D X =，(20)P X =(30)P X <=，则p = （ ） A . 0.16B. 0.2C. 0.8D. 0.848.将函数()cos(2)f x x ϕ=+的图像向右平移6π个单位长度后，所得图像关于原点对称，则ϕ 的最小值为 （ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 9.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”（又称“物 不知数题”），后来我国南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解 决.“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问 题.后传入西方，被称为“中国剩余定理”.现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3 除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为 （ ） A.116B. 131C.146D. 16110.已知F 为椭圆22:14x C y +=的右焦点，过点F 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，P 为AB 的中点，O 为原点.若OPF △是以OF 为底边的等腰三角形，则l 的斜率为（ ） A. 12±B. C. 2±D. ±11.在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11,BB DD 的中点，G 为侧面11ABB A 内一点. 若1D G ∥平面1AEC F ，则1D G 与平面11ABB A 所成角正弦值的最大值为（ ）A.B.C.D.12.已知双曲线22221(0,0:)x y a b a bC -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为P ，且122PF PF b -=.设C 的离心率为e ，则2e =（ ）A.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若向量()()2,3,4,AB BC m ==-，且,,A B C 三点共线，则AB BC =________. 14.若,x y 满足约束条件1,1,20,y y x x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则22z x y =+的最小值是________.15.已知,a b ∈R ,且0.a <函数()()22,,2+1,.x x x x a f x a x a x a ⎧-⎪=⎨-+<⎪⎩≥若方程()f x b =至多有两个不等 实数根，则a 的取值范围为________. 16.对于*,m n ∀∈N ,数列{}n a 都有m na a t m n->-（t 为常数）成立，则称数列{}n a 具有性质()R t . 若数列{}n a 的通项公式为2n a n an =+，且具有性质(10)R ，则实数a 的取值范围是________. 三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题60分.ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .已知cos sin b a C c A =+.（1）求A ；（2）若AC 边上的中线BD 的长为2，求ABC △面积的最大值．18.（12分）如图，以111,,,,,A B C A B C 为顶点的五面体中，111AA BB CC ∥∥,1CC ⊥平面ABC ,AB BC =，11122AA BB CC AC ====，F 是AC 的中点.（1）求证：1AC ⊥平面1BA F ； （2）求二面角11B A F B --的余弦值.某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x （单位：亿元）对年销售额y （单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①2y x αβ=+，②e x t y λ+=，其中,,,t αβλ均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金投入量i x 和年销售额i y 的数据，1,2,,12i =，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值． 令2,i i u x =ln i i v y =(1,2,,12)i =，经计算得如下数据：（1）设{}i u 和{}i y 的相关系数为1r ，{}i x 和{}i v 的相关系数为2r ，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）（i ）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）； （ii ）若下一年销售额y 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x 是多少亿元？附：①相关系数()()nii xx y y r --=∑，回归直线ˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niii nii x x yy b x x ==--=-∑∑，a y bx =-；② 参考数据：308477=⨯9.4868≈， 4.4998e 90≈．20. （12分）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，若点P 在C 上，点E 在l 上，且PEF △是周长为12的正三角形． （1）求C 的方程；（2）过点F 的直线与抛物线相交于,A B 两点，抛物线在点A 处的切线与l 交于点N ，求ABN △面积的最小值.21．（12分）已知函数()12e ln xf x a x x bx -=++的导函数为()f x '，且()()121f f '=.（1）求a 的值；（2）若()f x 有唯一极值点，且极值为0，求b 的值.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()4ρθπ-=(1)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知函数()2f x x a a =-+.(1)若不等式()6f x ≤的解集为{}|13x x -≤≤，求a 的值； (2)设函数()21g x x =-.若()()3f x g x -≤，求a 的取值范围.【参考答案】一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分60分. 1．B 2.D 3.B 4.A 5.B 6.D 7．C 8.A 9.C 10.A 11.D 12.B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分20分. 13．26- 14.1215.()1,0- 16.()7,+∞.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：(1)因为cos sin b a C c A =+,所以由正弦定理得，sin sin cos sin sin B A C C A =+, .................................................... 1分 因为B A C =π--,代入得sin()sin cos sin sin A C A C A C π--=+,所以sin()sin cos sin sin A C A C A C +=+, ......................................................................... 2分 即sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C A C A C +=+,........................................................... 3分 所以cos sin sin sin A C A C =. ................................................................................................ 4分 因为sin 0C ≠,所以cos sin A A =, ........................................................................................................... 5分 又因为A 为三角形内角， 所以4A π=........................................................................................................................... 6分 （2）因为BD 为边AC 上的中线,所以2ABCABD SS =△△,......................................................................................................... 7分 设ABD α∠=,则34ADB α∠=π-.由正弦定理得， sin sin 4BDAD α=⋅π=α，3sin()4AB α=π-,..................................................... 8分 则1sin 24ABDS AD AB ∆π=⋅⋅⋅............................................................................................ 9分3sin sin()4αα=⋅π- 22sin +2sin cos ααα=()1+sin 2cos2αα=-)4απ=-, .......................................................................................................... 10分因为30,4α⎛⎫∈π ⎪⎝⎭,所以当38α=π时，ABD △面积的最大值为1+.................................................... 11分 所以ABC △面积的最大值为2+12分 18.解：（1）因为1CC ⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，所以1CC BF ⊥.因为AB BC ==，F 是AC 的中点，所以BF AC ⊥. ...................................................................................................................... 1分 又1CCAC C =，所以11BF AAC C ⊥平面，从而1BF AC ⊥. .......................................................................... 2分因为1CC ⊥平面ABC ，且1111,AA CC AA CC ≠∥，所以四边形11AA C C 为直角梯形.又F 是AC 的中点，1122AA CC AC ===，所以1A AF △与1ACC △均为等腰直角三角形，所以1145A FA C AC ∠=∠=︒. ................................................................................................ 3分设11A FAC D =，则90ADF ∠=︒，所以11A F AC ⊥. .................................................................................................................... 4分又1BFA F F =，1,BF A F ⊂平面1BA F ，所以1AC ⊥平面1BA F . ......................................................................................................... 5分（2）由（1）知11BF ACC A ⊥平面.设11A C 的中点为E ，连接EF ，则EF ∥1CC ，从而EF AC ⊥.以F 为原点，,,FA FE FB 分别为x 轴，y 轴，z 轴 正方向建立如图所示空间直角坐标系. 由题意得，()()()()()1110,0,0,1,1,0,0,2,2,1,0,0,1,2,0,F A B A C - 6分则111(0,2,2),(1,1,0),(2,2,0),FB FA AC ===- .................................................................... 7分设平面11A B F 的法向量为m (,,)x y z =， 由110,0,FB FA ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m 得220,0,y z x y +=⎧⎨+=⎩ ............................................................................................ 8分令1y =-，得1,1x z ==，所以m (1,1,1)=-为平面11A B F 的一个法向量. .................................................................. 9分因为1AC ⊥平面1BA F ，所以1(2,2,0)AC =-为平面1BA F 的一个法向量. ............................................................. 10分因为1111cos ,AC AC AC ⨯===m m m ............................................. 11分且由图可知二面角111B AC C --为锐角，所以二面角111B AC C -- ....................................................................... 12分 19.解：（1）121()()ii uu y y r --=∑21500430.862500050===， ... 2分122()()ii xx v v r --=∑14100.91770.211===≈⨯， .............................. 4分 则12r r <，因此从相关系数的角度，模型e x t y λ+=的拟合程度更好． ........................ 5分（2）（i ）先建立v 关于x 的线性回归方程.由e x t y λ+=，得ln y t x λ=+，即=v t x λ+． ..................................................................... 6分 由于1211221()()140.018770()iii ii x x v v x x λ==--==≈-∑∑， ........................................................................ 8分4.200.01820 3.84,t v x λ=-=-⨯= .................................................................................... 9分 所以v 关于x 的线性回归方程为0.02 3.84v x =+，所以ˆln 0.02 3.84y x =+，则0.02 3.84ˆe .x y += ......................................................................... 10分 （ii ）下一年销售额y 需达到90亿元，即90y =， 代入0.02 3.84ˆe x y +=得，0.02 3.8490e x +=，又 4.4998e 90≈，所以4.49980.02 3.84x ≈+， ................................................................... 11分 所以4.4998 3.8432.990.02x -≈=， 所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元........................................................ 12分 20.解：（1）由PEF △是周长为12的等边三角形，得=4PE PF EF ==，又由抛物线的定义可得PE l ⊥. .......................................................................................... 1分 设准线l 与y 轴交于D ，则PE DF ∥，从而60PEF EFD ︒∠=∠=． ............................ 2分 在EDF Rt △中，1cos 422DF EF EFD =⋅∠=⨯=，即2p =. ...................................... 3分 所以抛物线C 的方程为24x y =. ......................................................................................... 4分 （2）依题意可知，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为：1y kx =+， 联立24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y 可得，2440x kx --=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4x x k x x +==-. .............................................................. 5分所以12AB x -==()241k =+. ........................................................................................................................ 6分由24x y =，得2x y '=， 所以过A 点的切线方程为()1112x y y x x -=-， .............................................................. 7分又2114x y =， 所以切线方程可化为21124x x y x =⋅-. .................................................................................. 8分令1y =-，可得21111114222x y x kx x --==⋅=,所以点(2,1)N k -, ................................................................................................................. 9分. 所以点N 到直线l的距离d ==，..................................................... 10分所以142ABNS AB d =⋅=△，当0k =时，等号成立. .................................. 11分 所以ABN △面积的最小值为4. ...................................................................................... 12分 21.解：（1）因为()12e ln x f x a x x bx -=++，所以()1e ln 12x f x a x bx -'=+++， ................................................................................. 1分所以()1f a b =+，()112f a b '=++. ................................................................................. 2分又因为()()121f f '=， 所以1222a b a b ++=+，.................................................................................................... 3分 解得1a =.所以a 的值为1. .................................................................................................................. 4分 （2）由（1）可得，()12e ln x f x x x bx -=++，()1e ln 12x f x x bx -'=+++.设()f x 唯一极值点为0x ，则()()001200001000e ln 0e ln 120x x f x x x bx f x x bx --⎧=++=⎪⎨'=+++=⎪⎩，①，② .......................... 5分 由②0x ⨯-①2⨯得，()0100002e ln 0x x x x x ---+=. ()* ................................................ 6分令()()12e ln x F x x x x x -=--+，则()()11e ln x F x x x -'=--，所以()11ex F x x x-''=-.又()F x ''在()0,+∞上单调递增，且()10F ''=， ............................................................... 7分所以当()0,1x ∈时，()0F x ''<，从而()F x '单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0F x ''>，从而()F x '单调递增， 故()()10F x F ''=≥，从而()F x 在()0,+∞上单调递增， ................................................ 8分 又因为()10F =，所以01x =. ........................................................................................................................ 9分代入①可得，1b =-. ....................................................................................................... 10分 当1b =-时，()12e ln x f x x x x -=+-，()1e ln 12x f x x x -'=++-，因为1x =是()*的唯一零点，且()10f =，()10f '=， ................................................ 11分 又()1111e 1111e2ee2e e e 2e e 20f ------⎛⎫⎛⎫'=-=-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()34e ln 4180f '=++->，所以1x =是()f x 唯一极值点，且极值为0，满足题意.所以1b =-. ..................................................................................................................... 12分22.解：（1）由曲线1C的参数方程cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）消去参数得，2222cos sin 13y x αα+=+=，即1C 的普通方程为：2213y x +=. ..................................................................................... 2分 曲线2C的极坐标方程为sin()4ρθπ-=可化为：)ρθθ= ...................................................................................... .3分 由cos ,sin x y ρθρθ==,可得2C 的直角坐标方程为直线40x y -+=. .......................... .5分 （2）设()cos P αα, .............................................................................................. 6分则点P 到直线2C的距离为d ............................................... 7分= ..................................................................................................... 8分 当cos()13απ+=-时,PQ..................................................................... 9分此时可取23απ=,故13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． ................................................................................ 10分 23.解：（1）因为()2f x x a a =-+,()6f x ≤,所以|2|6x a a -+≤, ........................................................................................................ 1分 即|2|6x a a --≤,所以()626a x a a ----≤≤,............................................................................................... 2分 解得33a x -≤≤, ............................................................................................................. 3分 因为不等式()6f x ≤的解集为{}|13x x -≤≤,所以31a -=-,即2a =. ....................................................................................... 5分（2）因为()21g x x =-,所以()()|2||21||1|f x g x x a x a a a -=---+-+≤,. ......................................................... 6分 当且仅当(2)(21)0x a x --≥时等号成立. .................................................................... 7分 因为()()3f x g x -≤恒成立,所以13a a -+≤,即13a a --≤ ① .............................................................................................. 8分 当1a ≤时,①等价于13a a --≤，成立. 当1a >时,①等价于13a a --≤，解得12a <≤. .......................................................... 9分 综上所述a 的取值范围是](,2-∞． ........................................................................ 10分。
福建省莆田市高三下学期第二次质量测试(B卷)(5月)数学(理)Word版含答案
2018年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷(B 卷)理科数学本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.2.则3.A.4B.8C.12D.164.已知函数是奇函数,且满足A.1B.-1C.3D.-35.的值为A.2B.3C.4D.56.中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘,并而开方除之”,用现代数学符号表示是可见当时就已经知道勾股定理.如果正整叫做勾股数,下面依次给出前3组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25. 按照此规律,编写如右图所示的程序框图, 则输出的勾股数是A.11,60,61B.13,84,85C.17,74,75D.21,72,757.如上图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积等于8.,A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.10.,11.12.若函数)的图像关于直线对称,当二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.的系数是 .14.16.如图,垂足三、解答题:共70分。
解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22,23题为选考题,考生根据要求作答。
（一）必考题:共60分。
福建省莆田市2019届高三第二次质量检测(A卷)(5月)数学试卷(理)(含答案)
福建省莆田市2019届高三第二次质量检测（A 卷）（5月）数学试卷（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1.设全集{}8U x x *=∈N ≤，集合{}1,3,7A =,{}2,3,8B =, 则()U A B =I ð（ ） A. {}2,3,4,5,6,8B. {}2,8C. {}1,7D. {}32.已知i z a =+(0)a >，且2z =，则z =（ ） A. 1i -B. 1i +C. 3i --D.3i -3.执行如图所示的程序框图，最后输出结果为（ ）A. 16B. 31C. 32D. 624. 函数()sin e 1xf x =-在[],-ππ上的图像大致为（ ）A B C D5.从4位女生，3位男生中选3人参加科技比赛，则至多有2位女生入选的方法种数为（ ） A. 30 B. 31 C. 185 D. 1866.如图1是某省2019年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，其中同比增长率指和去年同期相比较的增长率.下列对统计图理解错误．．的是（ ）A ．月业务量中，3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件B ．月收入同比增长率中，3月份最高C ．同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．月业务收入同比增长率逐月增长7．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p .某检验员从该生产线上随机抽 检50个零件，设其中优等品零件的个数为X .若()8D X =，(20)P X =(30)P X <=，则p = （ ） A . 0.16B. 0.2C. 0.8D. 0.848.将函数()cos(2)f x x ϕ=+的图像向右平移6π个单位长度后，所得图像关于原点对称，则ϕ 的最小值为 （ ） A.6πB.3π C.23π D.56π 9.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”（又称“物 不知数题”），后来我国南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解 决.“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问 题.后传入西方，被称为“中国剩余定理”.现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3 除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为 （ ） A.116B. 131C.146D. 16110.已知F 为椭圆22:14x C y +=的右焦点，过点F 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，P 为AB 的中点，O 为原点.若OPF △是以OF 为底边的等腰三角形，则l 的斜率为（ ） A. 12±B. 3C. 2±D. 23±11.在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11,BB DD 的中点，G 为侧面11ABB A 内一点. 若1D G ∥平面1AEC F ，则1D G 与平面11ABB A 所成角正弦值的最大值为（ ） A.5 B.25C.6 D.30 12.已知双曲线22221(0,0:)x y a b a bC -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为P ，且122PF PF b -=.设C 的离心率为e ，则2e =（ ） A.13+ B.15+ C.3 D.5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若向量()()2,3,4,AB BC m ==-u u u r u u u r ，且,,A B C 三点共线，则AB BC =u u u r u u u rg ________.14.若,x y 满足约束条件1,1,20,y y x x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则22z x y =+的最小值是________.15.已知,a b ∈R ,且0.a <函数()()22,,2+1,.x x x x a f x a x a x a ⎧-⎪=⎨-+<⎪⎩≥若方程()f x b =至多有两个不等 实数根，则a 的取值范围为________. 16.对于*,m n ∀∈N ,数列{}n a 都有m na a t m n->-（t 为常数）成立，则称数列{}n a 具有性质()R t . 若数列{}n a 的通项公式为2n a n an =+，且具有性质(10)R ，则实数a 的取值范围是________. 三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题60分. 17.（12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .已知cos sin b a C c A =+.（1）求A ；（2）若AC 边上的中线BD 的长为2，求ABC △面积的最大值．18.（12分）如图，以111,,,,,A B C A B C 为顶点的五面体中，111AA BB CC ∥∥,1CC ⊥平面ABC , 5AB BC ==，11122AA BB CC AC ====，F 是AC 的中点.（1）求证：1AC ⊥平面1BA F ； （2）求二面角11B A F B --的余弦值.19. （12分）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x （单位：亿元）对年销售额y （单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①2y x αβ=+，②e x t y λ+=，其中,,,t αβλ均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金投入量i x 和年销售额i y 的数据，1,2,,12i =L ，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值． 令2,i i u x =ln i i v y =(1,2,,12)i =L ，经计算得如下数据：（1）设{}i u 和{}i y 的相关系数为1r ，{}i x 和{}i v 的相关系数为2r ，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）（i ）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）； （ii ）若下一年销售额y 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x 是多少亿元？附：①相关系数2211()()()()nii nniii i xx y y r xx yy ==--=--∑∑∑，回归直线ˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 121()()()niii nii x x yy b x x ==--=-∑∑，a y bx =-；② 参考数据：308477=⨯909.4868≈， 4.4998e 90≈．xy1221()ii xx =-∑1221()ii yy =-∑uv2066770 2004604.201221()ii uu =-∑121()()ii i uu y y =--∑1221()ii vv =-∑121()()ii i xx v v =--∑3125000 21500 0.308 1420. （12分）已知抛物线错误!未找到引用源。
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福建省莆田市数学高三理数第二次联合考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）若集合，则=（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）若复数满足(为虚数单位)，则的共轭复数为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）若 =（x，2）， =（）， = +2 ， =2 ﹣，且∥ ，则﹣2 等于（）
A . （﹣，﹣5）
B . （，5）
C . （1，2）
D . （﹣1，﹣2）
4. （2分） (2019高一下·上海期中) 已知数列是等差数列，数列分别满足下列各式，其中数列
必为等差数列的是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）设x,y满足则z=x+y（）
A . 有最小值2，最大值3
B . 有最小值2，无最大值
C . 有最大值3，无最小值
D . 既无最小值，也无最大值
7. （2分）已知公比为的等比数列的前项和为，则下列结论中：
（1）成等比数列；
（2）；
（3）
正确的结论为（）
A . （1）（2）．
B . （1）（3）．
C . （2）（3）．
D . （1）（2）（3）．
8. （2分）(2017·广州模拟) 执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）
A . 4
B . 5
C . 6
D . 7
9. （2分）(2018·遵义模拟) 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）(2019·延安模拟) 已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）设x，y，z∈（0，+∞），a=x+， b=y+,c=z+则a，b，c三个数（）
A . 至少有一个不小于2
B . 都小于2
C . 至少有一个不大于2
D . 都大于2
12. （2分） (2019高二下·杭州期末) 长方体中，是对角线上一点，是底面上一点，若，，则的最小值为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）(2013·新课标Ⅱ卷理) 等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为________．
14. （1分）一排长椅上共有10个座位，现有4人就坐，恰有5个连续空位的坐法有________种？
15. （1分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a=________ ．
16. （1分） (2016高二上·六合期中) 已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为________．
三、解答题 (共7题；共70分)
17. （10分）(2019·湖南模拟) 在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，且a=8,b=7,cosA=- 。
（1）求角B的大小；
（2）求△ABC的面积。
18. （10分）(2020·枣庄模拟) “未来肯定是非接触的，无感支付的方式将成为主流，这有助于降低交互门槛”.云从科技联合创始人姚志强告诉南方日报记者.相对于主流支付方式二维码支付，刷脸支付更加便利，以前出门一部手机解决所有，而现在连手机都不需要了，毕竟，手机支付还需要携带手机，打开二维码也需要时间和手机信号.刷脸支付将会替代手机，成为新的支付方式.某地从大型超市门口随机抽取50名顾客进行了调查，得到了如下列联表：
男性女性总计
刷脸支付1825
非刷脸支付13
总计50
（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为使用刷脸支付与性别有关？
（2）从参加调查且使用刷脸支付的顾客中随机抽取2人参加抽奖活动，抽奖活动规则如下：
“一等奖”中奖概率为0.25，奖品为10元购物券张（，且），“二等奖”中奖概率0.25，奖品为10元购物券两张，“三等奖”中奖概率0.5，奖品为10元购物券一张，每位顾客是否中奖相互独立，记参与抽奖的两位顾客中奖购物券金额总和为元，若要使的均值不低于50元，求的最小值.
附：，其中 .
0.100.050.0100.005
2.706
3.841 6.6357.869
19. （10分）如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O所在平面外一点，PA垂直于⊙O所在平面，且PA=AB=10，设点C为⊙O上异于A、B的任意一点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若AC=6，求三棱锥C﹣PAB的体积．
20. （10分）已知椭圆C与椭圆E：共焦点，并且经过点，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）在椭圆C上任取两点P、Q，设PQ所在直线与x轴交于点M（m，0），点P1为点P关于轴x的对称点，QP1所在直线与x轴交于点N（n，0），探求mn是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
21. （10分）已知函数 .
（1）求曲线在点（0,f(0)）处的切线方程；
（2）求函数在区间[0， ]上的最大值和最小值.
22. （10分）已知圆锥曲线（θ是参数）和定点A（0，），F1 ， F2是圆锥曲线的左、右焦点．
（1）求经过点F2且垂直于直线AF1的直线l的参数方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF1的极坐标方程．
23. （10分）选修4-5：不等式选讲
设函数 .
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、19-2、20-1、
20-2、
21-1、
21-2、
22-1、
22-2、23-1、23-2、。