河南省中原名校2019届高三第一次质量考评理数试卷 Word版含答案

中原名校2018—2019学年上期第一次质量考评
高三数学（理）试题
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I 卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合M = [1，2], N = {0<322|--∈x x Z x }, 则M∩N = A. [1，2] B. (-1，3) C. {1} D. {1，2}
2.复数i i
i
z (3+=为虚数单位）的共轭复数为 A.
i 103101+ B. i 103101- C. i 103109+ D. i 10
3109- 3.已知抛物线2
x y =，则其准线方程为 A. 41-
=y B. 2
1
-=y C. 1-=y D. 2-=y 4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有 一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地”，请问此人第5天走的路程为
A.36 里
B.24 里
C.18
里 D.12
里
5.下列有关命题的说法中错误的是
A.设R b a ∈,则“a>b ”是“a|a| >b|b|的充要条件
B.若q p ∨为真命题，则p 、q 中至少有一个为真命题
C.命题：“若)(x f y =是幂函数，则)(x f y =的图象不经过第四象限”的否命题是假命题
D.命题“*
*
∈∈∀N n f N n )(,且n n f ≤)(”的否定形式是，“**∉∈∃N n f N n )(,00且 00>)(n n f ” 6.己知不等式
0<1a 2++x x 的解集为(一2，-1)，则二项式62)1
(x
ax -展开式的常数项是 A. -15 B. 15 C. -5 D. 5
7.一个几何体三视图如右图所示，则该几何体体积为 A. 12 B. 8 C. 6
D. 4
8.若函数 )2
5sin(
)sin(3)(x x x f ωπ
ωπ++-=,且
||,0)(,2)(βαβα-==f f 的最小值是
2
π
，则)(x f 的单调递增区间是
A. )](32,322[Z k k k ∈+-ππππ
B. )](6
2,652[Z k k k ∈+-ππππ C. )](12,125[Z k k k ∈+-
ππππ D. )](6
,3[Z k k k ∈+-π
πππ 9.甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A 、B 、C 、D 四类课外书（每类课外书均有若干本)，己知每人只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅A 类课外书，则不同的借阅方案种类为 A.48
B.54
C.60
D.72
10.己知点A(4,0), B(0,4),点P(x, y)的坐标x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥≥0124300
y x y x ，
则BP AP ⋅的最小值为 A. 25196-
B.0
C. 4
25
D.-8 11.过双曲线122
22=-b
y a x (a> 0,b > 0)的右焦点F 且平行于其一条渐近线的直线l 与另一条 渐近线交于点
A ，直线l 与双曲线交于点B,且|BF| = 2|AB|，则双曲线的离心率为 A.
3
3
2 B. 2 C.
3 D. 2 12.设函数)(x f 是定义在(-∞,0)上的可导函数，其导函数为)('x f ，且有0>)(')(x f x f +, 则不等式
0>)2(4)2018()2018(2--++f x f x 的解集为
A. (-2020,0)
B. (-∞,-2020)
C. (-2016,0)
D. (-∞,-2016)
第II 卷 非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 0<1)-n(2x l 的解集为
.
14.已知向量b a ,满足4||,6||,5||=+=-=b a b a a ，则向量b 在向量a 上的投影为
.
15.己知n S 是数列{n a }的前n 项和，且1)1(log 3+=+n S n ，则数列{n a }的通项公式为
.
16.己知)(x f 是以2e 为周期的R 上的奇函数，当),0(e x ∈，x x f ln )(=，若在区间[-e ，3e]， 关于x 的方程kx x f =)(恰好有4个不同的解，则k 的取值范围是 . 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分） sinC a + b
己知锐角ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3=a ,
b
a c
b C A B +-=
-sin sin sin . (1)求角A 的大小； (2)求b + c 的取值范围. 18.(本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，己知AP= AC = AB = 2，∠PAD = ∠DAC = 60°. (1)求证：AD 丄PC ；
(2)若平面PAD 丄平面ABCD ，求二面角C-PD-A 的余弦值.
19. (本小题满分12分)
已知椭圆C: 122
22=+b
y a x (a>0,b>0).
(1)若椭圆的离心率为1，且过右焦点垂直于长轴的弦长为3,求椭圆C 的标准方程； 2
(2)若椭圆C 一定，点P(m,0)为椭圆长轴上的一个动点，过点P 作斜率为
a
b
的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试判断|PA|2
+|PB|2
是否为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因。

20.(本小题满分12分）
某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了
α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效，测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；
并对植株吸收制剂的量（单位：mg)进行统计。

规定：植株吸收在6mg (包括6mg)以上为“足量”，否则为“不足量现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂剂吸收量统计得下表。

已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株。

(1)完成以下2×2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株存活”与“制剂吸收足量”有关？
(2)①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记ζ为“植株死亡”的数量，求ζ的分布列和期望ζE ；
②将频率视为概率，现在对己知某块种植了 1000株并感染了α病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量η，求ηD .
参考数据：
21.(本小题满分12分）
已知函数 x x nx mx x f ln )(2
-+= (m > 0),且0)(≥x f . (1)求
m
n
的最小值； (2)当
m
n
取得最小值时，若方程0)()21(1=--+-x af x a e x 无实根，求实数a 的取值范围. 【选考题】
请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22.(本小题满分10分）【选修4一4:坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系.己知直线/的直角坐标方程为01=-+y x ，曲线C 的极坐标方程为θθρsin 2)2cos 1(a =+ (a > 0). (1)设t 为参数，若t x 2
2
1-
=，求直线l 的参数方程及曲线C 的普通方程； (2)已知直线l 与曲线C 交于A ，B,设P(1,0)，且|PA|，|AB|，|PB|依次成等比数列，求实数a 的值. 23.(本小题满分10分）【选修4一5:不等式选讲】 已知函数|2||1|)(--+=x x x f 的最大值为. (1)求t 的值以及此时的x 的取值范围；
(2)若实数b a ,办满足222-=+t b a ，证明：4
1222≥+b a .。