人教版数学九年级下《第28章锐角三角函数》单元检测题教学反思设计案例学案说课稿.doc

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人教版数学九年级下册教学设计28.1《锐角三角函数》

人教版数学九年级下册教学设计28.1《锐角三角函数》一. 教材分析人教版数学九年级下册第28.1节《锐角三角函数》是初中数学的重要内容，主要介绍了锐角三角函数的概念、定义及应用。

本节内容是学生对三角形知识深入理解的基础上进行学习的，对于培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和数学应用能力具有重要意义。

教材通过丰富的实例，引导学生探究锐角三角函数的定义，并运用函数思想解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本知识，具有较好的逻辑思维能力和空间想象能力。

但是，对于锐角三角函数的概念和应用，部分学生可能会感到抽象和难以理解。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的特点进行针对性的教学。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握锐角三角函数的概念、定义及性质，能够运用锐角三角函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过探究活动，培养学生合作交流、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力和创新意识。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的概念、定义及性质。

2.难点：锐角三角函数在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生认识锐角三角函数，激发学生的学习兴趣。

2.探究教学法：学生进行小组讨论，共同探究锐角三角函数的性质，培养学生的合作意识。

3.案例教学法：通过典型例题，讲解锐角三角函数在实际问题中的应用，提高学生的解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作精美的教学PPT，展示锐角三角函数的相关概念、定义及应用。

2.教学案例：挑选具有代表性的例题，供课堂讲解和练习使用。

3.学习素材：为学生提供相关的学习资料，帮助学生巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如建筑设计、工程测量等，引导学生认识锐角三角函数，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示锐角三角函数的概念、定义及性质，让学生初步了解并掌握相关知识。

人教版九年级数学下册： 28.1 《锐角三角函数》教学设计5

人教版九年级数学下册： 28.1 《锐角三角函数》教学设计5一. 教材分析人教版九年级数学下册第28.1节《锐角三角函数》是初中学段数学教学的重要内容，属于锐角三角函数的初步认识和应用。

本节课通过介绍锐角三角函数的概念、定义以及各锐角三角函数间的关系，让学生掌握锐角三角函数的基本知识。

教材内容主要包括：锐角三角函数的定义，正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念和性质有一定的了解。

但是，对于锐角三角函数这一部分内容，由于涉及到三角函数的初步认识，学生可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重对学生概念的理解和知识的运用，通过具体例子让学生感受锐角三角函数在实际问题中的应用。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，让学生自主探究锐角三角函数的性质，提高学生的问题解决能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的合作精神，使学生感受到数学在实际生活中的应用。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的概念及其关系。

2.难点：正弦、余弦、正切函数的定义及其应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入锐角三角函数的概念，让学生感受数学与生活的紧密联系。

2.自主探究法：引导学生观察、分析、归纳锐角三角函数的性质，培养学生的自主学习能力。

3.合作交流法：学生进行小组讨论，分享学习心得，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.教师准备：熟练掌握锐角三角函数的相关知识，准备教学课件和教学素材。

2.学生准备：预习锐角三角函数的相关内容，了解函数的概念。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例，如测量国旗旗杆的高度，引入锐角三角函数的概念。

引导学生思考：如何利用数学知识解决这个问题？激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师讲解锐角三角函数的定义，引导学生观察正弦、余弦、正切函数的图像，让学生初步认识这三个函数的性质。

人教版数学九年级下册第28章《锐角三角函数》课堂教学设计

人教版数学九年级下册第28章《锐角三角函数》课堂教学设计一. 教材分析人教版数学九年级下册第28章《锐角三角函数》是初中数学的重要内容，主要介绍了锐角三角函数的定义、性质和应用。

本章内容为学生提供了研究角度和三角函数的基本工具，对于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了锐角的概念、三角函数的定义等基础知识，具备了一定的观察、实验、推理的能力。

但部分学生对于抽象的三角函数概念和性质的理解仍有困难，需要通过具体例子和实际应用来加深理解。

三. 教学目标1.理解锐角三角函数的定义和性质；2.学会用锐角三角函数解决实际问题；3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的定义和性质；2.难点：用锐角三角函数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入锐角三角函数的概念和性质，激发学生的学习兴趣；2.引导发现法：引导学生通过观察、实验、推理等方法发现锐角三角函数的性质；3.实践锻炼法：通过解决实际问题，培养学生的应用能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示锐角三角函数的定义、性质和应用；2.实例材料：准备一些实际问题，用于引导学生应用锐角三角函数解决问题；3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的实例，如建筑物的倾斜角度、运动员投篮的抛物线等，引导学生思考这些实例与数学的关系，从而引出锐角三角函数的概念。

2.呈现（15分钟）讲解锐角三角函数的定义和性质，让学生通过观察、实验、推理等方法发现锐角三角函数的性质。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，运用锐角三角函数解决实际问题，如测量建筑物的高度、计算运动员投篮的得分等。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固所学知识。

教师选取部分题目进行讲解，总结解题方法。

人教版九年级数学下册： 28《锐角三角函数》《《锐角三角函数》教案》教案1

人教版九年级数学下册： 28《锐角三角函数》《《锐角三角函数》教案》教案1一. 教材分析人教版九年级数学下册第28课《锐角三角函数》是学生在学习了三角函数概念和特殊角的三角函数值的基础上进行的一节实践性较强的课程。

本节课主要让学生了解锐角三角函数的概念，学会用锐角三角函数解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角函数的基本概念和特殊角的三角函数值，具备一定的数学基础。

但是，对于锐角三角函数的实际应用，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握锐角三角函数的概念，学会用锐角三角函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过自主学习、合作探究的方式，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的概念及应用。

2.难点：如何引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生了解锐角三角函数在实际生活中的应用。

2.自主学习法：鼓励学生自主探究，培养学生的学习能力。

3.合作学习法：学生进行小组讨论，提高学生的团队合作能力。

六. 教学准备1.准备相关的生活实例，用于引导学生了解锐角三角函数在实际生活中的应用。

2.准备多媒体教学课件，帮助学生直观地理解锐角三角函数的概念。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活实例，如测量山的高度、计算建筑物的斜面积等，引导学生了解锐角三角函数在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，介绍锐角三角函数的概念，让学生了解锐角三角函数的定义和性质。

同时，教师可以通过讲解特殊角的三角函数值，帮助学生巩固已学的知识。

精编新人教版九年级下册数学第28章和29章教案教学设计含反思

精编新人教版九年级下册数学第28章和29章教案教学设计含反思目录：第二十八章锐角三角函数全单元教案设计含反思8课时第二十九章投影与视图全单元教案设计含反思6课时28．1锐角三角函数教案设计含反思4课时第1课时正弦函数1．能根据正弦概念正确进行计算；(重点)2．能运用正弦函数解决实际问题．(难点)一、情境导入牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站(点A)与水面(BC)的高度(AB)．斜坡与水面所成的角(∠C)可以用量角器测出来，水管的长度(AC)也能直接量得．二、合作探究探究点一：正弦函数如图，sin A等于()A ．2 B.55 C.12D. 5 解析：根据正弦函数的定义可得sin A ＝12，故选C.方法总结：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sin A .即sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac . 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题探究点二：正弦函数的相关应用【类型一】在网格中求三角函数值如图，在正方形网格中有△ABC ，则sin ∠ABC 的值等于( )A.31010B.1010C.13D ．10解析：∵AB ＝20，BC ＝18，AC ＝2，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴∠ACB ＝90°，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝220＝1010.故选B.方法总结：解决有关网格的问题往往和勾股定理及其逆定理相联系，根据勾股定理求出三边长度，再运用勾股定理的逆定理判断三角形形状．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题【类型二】已知三角函数值，求直角三角形的边长在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( )A.83B ．6C ．12D ．8解析：∵sin A ＝BC AB ＝4AB ＝23，∴AB ＝6.故选B.方法总结：根据正弦定义表示出边的关系，然后将数值代入求解，记住定义是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第6题【类型三】三角函数与等腰三角形的综合已知等腰三角形的一条腰长为25cm ，底边长为30cm ，求底角的正弦值．解析：先作底边上的高AD ，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD ＝12BC ＝15cm ，再由勾股定理求出AD ，然后根据三角函数的定义求解．解：如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D .∵AB ＝AC ＝25cm ，BC ＝30cm ，AD 为底边上的高，∴BD ＝12BC ＝15cm.由勾股定理得AD ＝AB 2－BD 2＝20cm ，∴sin ∠ABC ＝AD AB ＝2025＝45. 方法总结：求三角函数值一定要在直角三角形中求值，当图形中没有直角三角形时，要通过作高，构造直角三角形解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型四】在复杂图形中求三角函数值如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，如果AD ＝9，DC ＝5，E 为AC 的中点，求sin ∠EDC 的值．解析：首先利用勾股定理计算出AC 的长，再根据直角三角形的性质可得DE ＝EC ，根据等腰三角形性质可得∠EDC ＝∠C ，进而得到sin ∠EDC ＝sin ∠C ＝ADAC.解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∵AD ＝9，DC ＝5，∴AC ＝92＋52＝106.∵E 为AC 的中点，∴DE ＝AE ＝EC ＝12AC ，∴∠EDC ＝∠C ，∴sin ∠EDC ＝sin ∠C ＝AD AC ＝9106＝9106106. 方法总结：求三角函数值的关键是找准直角三角形或利用等量代换将角或线段转化进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题【类型五】在圆中求三角函数值如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，求sin ∠ABD 的值．解析：首先根据垂径定理得出∠ABD ＝∠ABC ，然后由直径所对的圆周角是直角，得出∠ACB ＝90°，根据勾股定理算出斜边AB 的长，再根据正弦的定义求出sin ∠ABC 的值，从而得出sin ∠ABD 的值．解：由条件可知AC ︵＝AD ︵，∴∠ABD ＝∠ABC ，∴sin ∠ABD ＝sin ∠ABC .∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝10，∴sin ∠ABD＝sin ∠ABC ＝AC AB ＝45.方法总结：求三角函数值时必须在直角三角形中．在圆中，由直径所对的圆周角是直角可构造出直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计 1．正弦的定义；2．利用正弦解决问题．在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.28．1锐角三角函数第2课时余弦函数和正切函数1．理解余弦、正切的概念；(重点)2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．(重点)一、情境导入教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义？学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知道，如图所示，在Rt△ABC中，∠C ＝90°，当锐角∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定了．现在我们要问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？二、合作探究探究点一：余弦函数和正切函数的定义【类型一】利用余弦的定义求三角函数值在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，则cos A ＝( )A.513B.512C.1213D.125解析：∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，∴cos A ＝AC AB ＝1213.故选C.方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题【类型二】利用正切的定义求三角函数值如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan A ＝( )A.35B.45C.34D.43解析：在直角△ABC 中，∵∠ABC ＝90°，∴tan A ＝BC AB ＝43.故选D. 方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题探究点二：三角函数的增减性【类型一】判断三角形函数的增减性随着锐角α的增大，cos α的值( )A ．增大B ．减小C ．不变D ．不确定解析：当角度在0°～90°之间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，故选B.方法总结：当0°＜α＜90°时，cos α的值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．【类型二】比较三角函数的大小sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是()A．tan70°＜cos70°＜sin70°B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70°D．cos70°＜sin70°＜tan70°解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又∵cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°＝sin20°.故选D.方法总结：当角度在0°≤∠A≤90°之间变化时，0≤sin A≤1，0≤cos A≤1，tan A≥0.探究点三：求三角函数值【类型一】三角函数与圆的综合如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，过点C 的切线交AD 的延长线于点E ，且AE ⊥CE ，连接CD .(1)求证：DC ＝BC ；(2)若AB ＝5，AC ＝4，求tan ∠DCE 的值．解析：(1)连接OC ，求证DC ＝BC 可以先证明∠CAD ＝∠BAC ，进而证明DC ︵＝BC ︵；(2)由AB ＝5，AC ＝4，可根据勾股定理得到BC ＝3，易证△ACE ∽△ABC ，可以求出CE 、DE 的长，在Rt △CDE 中根据三角函数的定义就可以求出tan ∠DCE 的值．(1)证明：连接OC .∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA .∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE ＝90°.∵AE ⊥CE ，∴∠AEC ＝∠OCE ＝90°，∴OC ∥AE ，∴∠OCA ＝∠CAD ，∴∠CAD ＝∠BAC ，∴DC ︵＝BC ︵.∴DC ＝BC ；(2)解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴BC ＝AB 2－AC 2＝52－42＝3.∵∠CAE＝∠BAC ，∠AEC ＝∠ACB ＝90°，∴△ACE ∽△ABC ，∴EC BC ＝AC AB ，即EC 3＝45，EC ＝125.∵DC ＝BC ＝3，∴ED ＝DC 2－CE 2＝32－（125）2＝95，∴tan ∠DCE ＝ED EC ＝95125＝34.方法总结：证明圆的弦相等可以转化为证明弦所对的弧相等．利用圆的有关性质，寻找或构造直角三角形来求三角函数值，遇到比较复杂的问题时，可通过全等或相似将线段进行转化．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第5题【类型二】利用三角形的边角关系求三角函数值如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值．解析：根据tan ∠BAD ＝34，求得BD 的长．在直角△ACD 中由勾股定理可求AC 的长，然后利用正弦的定义求解．解：∵在直角△ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝34，∴BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝12×34＝9，∴CD＝BC －BD ＝14－9＝5，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13，∴sin C ＝AD AC ＝1213.方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计1．余弦函数的定义；2．正切函数的定义；3．锐角三角函数的增减性．在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目．通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解、掌握基本概念和基础知识.28．1锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点)3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点)一、情境导入问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．二、合作探究探究点一：特殊角的三角函数值【类型一】利用特殊的三角函数值进行计算计算：(1)2cos60°·sin30°－6sin45°·sin60°； (2)sin30°－sin45°cos60°＋cos45°. 解析：将特殊角的三角函数值代入求解．解：(1)原式＝2×12×12－6×22×32＝12－32＝－1；(2)原式＝12－2212＋22＝22－3. 方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题【类型二】已知三角函数值求角的取值范围若cos α＝23，则锐角α的大致范围是( )A ．0°＜α＜30°B ．30°＜α＜45°C ．45°＜α＜60°D ．0°＜α＜30°解析：∵cos30°＝32，cos45°＝22，cos60°＝12，且12＜23＜22，∴cos60°＜cos α＜cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性．【类型三】根据三角函数值求角度若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是()A．20°B．30°C．40°D．50°解析：∵3tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝33.∵tan30°＝33，∴α＋10°＝30°，∴α＝20°.故选A.方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题探究点二：特殊角的三角函数值的应用【类型一】利用三角形的边角关系求线段的长如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．解析：由题意可知△BCD 为等腰直角三角形，则BD ＝BC ，在Rt △ABC 中，利用锐角三角函数的定义求出BC 的长即可．解：∵∠B ＝90°，∠BDC ＝45°，∴△BCD 为等腰直角三角形，∴BD ＝BC .在Rt △ABC 中，tan ∠A ＝tan30°＝BC AB ，即BC BC ＋4＝33，解得BC ＝2(3＋1)．方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列出式子，求出三角函数值，进而求出答案．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】判断三角形的形状已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tan A )2＋|sin B －32|＝0，试判断△ABC 的形状．解析：根据非负性的性质求出tan A 及sin B 的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的度数，进而可得出结论．解：∵(1－tan A )2＋|sin B －32|＝0，∴tan A ＝1，sin B ＝32，∴∠A ＝45°，∠B ＝60°，∠C ＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC 是锐角三角形．方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】构造三角函数模型解决问题要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，斜边AB ＝2，直角边AC ＝1，那么BC ＝3，∠ABC ＝30°，∴tan30°＝AC BC ＝13＝33.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD 的长，进而得出tan15°＝CDBC，tan75°＝BCCD求出即可．解：作∠B 的平分线交AC 于点D ，作DE ⊥AB ，垂足为E .∵BD 平分∠ABC ，CD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴CD ＝DE .设CD ＝x ，则AD ＝1－x ，AE ＝2－BE ＝2－BC ＝2－ 3.在Rt △ADE中，DE 2＋AE 2＝AD 2，x 2＋(2－3)2＝(1－x )2，解得x ＝23－3，∴tan15°＝23－33＝2－3，tan75°＝BC CD ＝323－3＝2＋ 3.方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题三、板书设计12.应用特殊角的三角函数值解决问题．课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说前面部分的教学很成功，学生理解的很好.28．1锐角三角函数第4课时用计算器求锐角三角函数值及锐角1．初步掌握用计算器求三角函数值的方法；(重点)2．熟练运用计算器求三角函数值解决实际问题．(难点)一、情境导入教师讲解：通过上面几节课的学习我们知道，当锐角∠A是30°、45°或60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角∠A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值．二、合作探究探究点一：用计算器求锐角三角函数值及锐角【类型一】已知角度，用计算器求函数值用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：(1)sin47°；(2)sin12°30′；(3)cos25°18′；(4)sin18°＋cos55°－tan59°.解析：熟练使用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．解：根据题意用计算器求出：(1)sin47°≈0.7314；(2)sin12°30′≈0.2164；(3)cos25°18′≈0.9041；(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.方法总结：解决此类问题的关键是熟练使用计算器，使用计算器时要注意按键顺序．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】已知三角函数值，用计算器求锐角的度数已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)：(1)sin A＝0.7，sin B＝0.01；(2)cos A＝0.15，cos B＝0.8；(3)tan A＝2.4，tan B＝0.5.解析：由三角函数值求角的度数时，用到sin，cos，tan键的第二功能键，要注意按键的顺序．解：(1)sin A＝0.7，得∠A≈44.4°；sin B＝0.01得∠B≈0.6°；(2)cos A＝0.15，得∠A≈81.4°；cos B＝0.8，得∠B≈36.9°；(3)由tan A＝2.4，得∠A≈67.4°；由tan B＝0.5，得∠B≈26.6°.方法总结：解决此类问题的关键是熟练使用计算器，在使用计算器时要注意按键顺序．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型三】利用计算器验证结论(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：①sin30°________2sin15°cos15°；②sin36°________2sin18°cos18°；③sin45°________2sin22.5°cos22.5°；④sin60°________2sin30°cos30°；⑤sin80°________2sin40°cos40°.猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α________2sinαcosα.(2)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请根据提示，利用面积方法验证结论．解析：(1)利用计算器分别计算①至⑤各式中左边与右边，比较大小；(2)通过计算△ABC 的面积来验证．解：(1)通过计算可知：①sin30°＝2sin15°cos15°；②sin36°＝2sin18°cos18°；③sin45°＝2sin22.5°cos22.5°；④sin60°＝2sin30°cos30°；⑤sin80°＝2sin40°cos40°；sin2α＝2sinαcosα.(2)∵S△ABC＝12AB·sin2α·AC＝12sin2α，S△ABC＝12×2AB sinα·AC cosα＝sinα·cosα，∴sin2α＝2sinαcosα.方法总结：本题主要运用了面积法，通过用不同的方法表示同一个三角形的面积，来得到三角函数的关系，此种方法在后面的学习中会经常用到．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题【类型四】用计算器比较三角函数值的大小用计算器比较大小：20sin87°________tan87°.解析：20sin87°≈20×0.9986＝19.974，tan87°≈19.081，∵19.974>19.081，∴20sin87°>tan87°.方法总结：利用计算器求值时，要注意计算器的按键顺序．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题探究点二：用计算器求三角函数值解决实际问题如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝20km，∠CAB＝25°，∠CBA＝37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．(1)求改直的公路AB的长；(2)公路改直后比原来缩短了多少千米？解析：(1)作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中根据CH＝AC·sin∠CAB求出CH的长，由AH ＝AC·cos∠CAB求出AH的长，同理可求出BH的长，根据AB＝AH＋BH可求得AB的长；(2)在Rt△BCH中，由BC＝CHsin∠CBA可求出BC的长，由AC＋BC－AB即可得出结论．解：(1)作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中，CH＝AC·sin∠CAB＝AC·sin25°≈20×0.42＝8.4km，AH＝AC·cos∠CAB＝AC·cos25°≈20×0.91＝18.2km.在Rt△BCH中，BH＝CHtan∠CBA≈8.4tan37°＝11.1km，∴AB＝AH＋BH＝18.2＋11.1＝29.3km.故改直的公路AB的长为29.3km；(2)在Rt△BCH中，BC＝CHsin∠CBA＝CHsin37°≈8.40.6＝14km，则AC＋BC－AB＝20＋14－29.3＝4.7km.答：公路改直后比原来缩短了4.7km.方法总结：根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此类问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题三、板书设计1．已知角度，用计算器求函数值；2．已知三角函数值，用计算器求锐角的度数；3．用计算器求三角函数值解决实际问题．备课时尽可能站在学生的角度思考问题，设计好教学的每一个细节，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折．舍得把课堂让给学生，尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，真正提高课堂教学效率，提高成绩.第二十八章锐角三角函数28．2解直角三角形教案设计含课后反思4课时28．2．1 解直角三角形1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点)2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点)一、情境导入世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引垂线，垂足为点C .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2m ，AB ＝54.5m ，求∠A 的度数．在上述的Rt △ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？二、合作探究探究点一：解直角三角形【类型一】利用解直角三角形求边或角已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形．(1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长；(2)若a ＝62，b ＝66，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长．解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝a c，即c ＝a cos B ＝3632＝243，∴b ＝sin B ·c ＝12×243＝123； (2)在Rt △ABC 中，∵a ＝62，b ＝66，∴tan A ＝a b ＝33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝12 2.方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题【类型二】构造直角三角形解决长度问题一副直角三角板如图放置，点C 在FD的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝122，试求CD 的长．解析：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，求出BM 与CM 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF ＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AC ＝122，∴BC ＝AC ＝12 2.∵AB ∥CF ，∴BM ＝sin45°BC ＝122×22＝12，CM ＝BM ＝12.在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，∴∠EDF ＝60°，∴MD ＝BM tan60°＝43，∴CD ＝CM －MD ＝12－4 3.方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题【类型三】运用解直角三角形解决面积问题如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝37，D 为边AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6.求△ABC 的面积．解析：首先利用正弦的定义设BC ＝3k ，AB ＝7k ，利用BC ＝CD ＝3k ＝6，求得k 值，从而求得AB 的长，然后利用勾股定理求得AC 的长，再进一步求解．解：∵∠C ＝90°，∴在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ＝37，设BC ＝3k ，则AB ＝7k (k ＞0)，在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝45°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝45°，∴BC ＝CD ＝3k ＝6，∴k ＝2，∴AB ＝14.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2－BC 2＝142－62＝410，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×410×6＝1210.所以△ABC 的面积是1210. 方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列方程解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题探究点二：解直角三角形的综合【类型一】解直角三角形与等腰三角形的综合已知等腰三角形的底边长为2，周长为2＋2，求底角的度数．解析：先求腰长，作底边上的高，利用等腰三角形的性质，求得底角的余弦，即可求得底角的度数．。

人教版九年级数学下第28章28.1《锐角三角函数》优秀教学案例

4.定期对学生的学习成果进行评价和总结，激发学生的学习动力，提高学生的数学素养。
四、教学评价
1.评价学生的知识掌握程度：通过课堂提问、作业批改等方式，了解学生对锐角三角函数知识的掌握情况；
2.评价学生的实践操作能力：通过实际问题解决，评价学生运用锐角三角函数解决实际问题的能力；
3.评价学生的合作交流能力：通过小组讨论、互动交流等方式，评价学生在团队合作中的表现；
3.讲练结合：在课堂中及时进行练习，巩固所学知识，提高学生的实际操作能力；
4.反馈调整：根据学生的学习情况，及时调整教学方法，以提高教学效果。
五、教学过程
1.创设情境，引入新课：通过生活实例，引导学生思考并引入锐角三角函数的概念；
2.自主探究，小组合作：让学生在小组内讨论交流，共同探究锐角三角函数的定义及应用；
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热爱，激发学生学习数学的内在动力；
2.培养学生合作交流的意识，提高学生团队协作的能力；
3.让学生感受数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识；
4.通过对本节课的学习，使学生树立正确的数学学习观念，相信自己通过努力可以掌握并运用好数学知识。
三、教学重难点
4.评价学生的情感态度与价值观：通过观察学生的学习态度、课堂表现等，评价学生对数学学科的兴趣和热爱。
五、教学拓展
1.利用多媒体技术，展示锐角三角函数在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣；
2.推荐相关的数学读物和网站，让学生课后进行拓展学习，提高学生的数学素养；
3.结合学校或社区的活动，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的实践能力。
六、教学反思
在教学过程中，教师应不断反思自己的教学方法、教学内容等方面，以确保教学的质量和效果。同时，关注学生的学习反馈，根据学生的需求调整教学策略，以提高教学效果。通过不断的反思和调整，使教学更加符合学生的实际情况，提高学生的数学素养。

人教版九年级数学下册：28《锐角三角函数》《《锐角三角函数》说课稿》说课稿1

人教版九年级数学下册： 28《锐角三角函数》《《锐角三角函数》说课稿》说课稿1一. 教材分析《锐角三角函数》是人教版九年级数学下册的一章内容。

本章主要介绍了锐角三角函数的概念、性质和应用。

通过学习本章，学生能够理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的性质，并能运用锐角三角函数解决实际问题。

在教材中，本章内容通过理论介绍和实例分析相结合的方式进行讲解。

首先，教材介绍了锐角三角函数的定义和概念，让学生了解锐角三角函数的基本含义。

然后，教材逐一向学生介绍锐角三角函数的性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的性质。

最后，教材通过实例分析，让学生学会如何运用锐角三角函数解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于函数的概念和性质有一定的了解。

然而，对于锐角三角函数这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和练习来加深理解。

在学情分析中，我发现学生对于锐角三角函数的理解存在一些困难。

首先，学生可能对于锐角三角函数的定义和概念理解不清晰，容易混淆。

其次，学生可能对于锐角三角函数的性质难以理解和掌握，特别是正弦函数、余弦函数和正切函数的性质。

因此，在教学过程中，需要通过实例和练习来帮助学生理解和掌握锐角三角函数的概念和性质。

三. 说教学目标本节课的教学目标是让学生掌握锐角三角函数的概念和性质，并能运用锐角三角函数解决实际问题。

具体来说，学生需要能够：1.理解锐角三角函数的定义和概念；2.掌握锐角三角函数的性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的性质；3.能够运用锐角三角函数解决实际问题。

四. 说教学重难点本节课的教学重难点是锐角三角函数的概念和性质的理解和掌握。

具体来说，学生可能对于：1.锐角三角函数的定义和概念理解不清晰，容易混淆；2.锐角三角函数的性质难以理解和掌握，特别是正弦函数、余弦函数和正切函数的性质。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用以下教学方法和手段：1.实例分析：通过具体的实例，让学生理解锐角三角函数的概念和性质；2.练习题：通过布置练习题，让学生巩固对锐角三角函数的理解和掌握；3.小组讨论：通过小组讨论，让学生相互交流和学习，提高对锐角三角函数的理解；4.教学课件：使用教学课件，以图文并茂的形式展示锐角三角函数的概念和性质；5.教学反馈：通过学生的提问和回答，及时了解学生的学习情况，进行教学调整。

人教版数学九年级下册特殊角的锐角三角函数(教案与反思)

第二十八章锐角三角函数祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。

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欧阳修28.1锐角三角函第3课时特殊角的锐角三角函数【知识与技能】1.理解并掌握30°，45°，60°的三角函数值，能用它们进行有关计算；2.能依据30°，45°，60°的三角函数值，说出相应锐角的度数.【过程与方法】经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义.【情感态度】在探索特殊角的三角函数值的过程中，增强学生的推理能力和计算能力.【教学重点】熟记30°，45°，60°的三角函数值，并用它们进行计算. 【教学难点】探索30°，45°，60°的三角函数值的指导过程.一、情境导入，初步认识问题在前面我们已经得到sin3o°=12，sin45°=22，你能得到30°，45°角的其它三角函数值吗？不妨试试看.【教学说明】教师可引导学生从所给结论sinA=sin30°=12出发，设BC=1，则AB=2，由勾股定理可得3可得到30°的其它三角函数值，同样在图（2)中，仍可设BC=1，则AC=1，2，也能得出45°的其它三角函数值.这里设BC=1是为了方便计算.二、思考探究，获取新知通过对上述问题的思考，可以得到：sin30°=12，cos30°=32，tan30°=33，sin45°=22，cos45°=22,tan45°=1.【想一想】60°角三角函数值各是多少？你是如何得到的？在学生的相互交流中可得出结论sin60°=错误!未找到引用源。

人教版九年级数学下册： 28.1 《锐角三角函数》说课稿3

人教版九年级数学下册： 28.1 《锐角三角函数》说课稿3一. 教材分析人教版九年级数学下册第28.1节《锐角三角函数》是整个初中数学的重要内容，它为学生提供了研究三角形的基础，同时也是研究其他图形性质的基础。

本节内容主要包括锐角三角函数的定义、正弦、余弦、正切函数的值域等。

通过本节的学习，学生可以更好地理解三角函数的概念，为后续学习打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对三角形有一定的了解。

但是，对于锐角三角函数的定义和值域，学生可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解锐角三角函数的概念，并通过实例让学生感受函数的值域。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切函数的值域。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳，培养学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的定义，正弦、余弦、正切函数的值域。

2.教学难点：锐角三角函数的概念，函数值域的求法。

五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、讨论法、案例分析法等多种教学方法，结合多媒体课件、几何画板等教学手段，以提高学生的学习兴趣和参与度。

六. 说教学过程1.导入：通过复习三角形的相关知识，引导学生进入本节内容。

2.新课讲解：讲解锐角三角函数的定义，通过实例让学生感受函数的值域。

3.课堂讨论：分组讨论，让学生分享各自的解题方法，培养团队协作精神。

4.案例分析：分析典型题目，巩固所学知识。

5.课堂练习：布置适量练习题，让学生及时巩固所学知识。

6.总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。

七. 说板书设计板书设计如下：1.锐角三角函数的定义2.正弦、余弦、正切函数的值域八. 说教学评价本节课的教学评价主要从学生的课堂表现、练习题完成情况、课堂讨论等方面进行。

通过对学生的评价，了解学生的学习情况，为后续教学提供参考。

人教版数学九年级下册28.1《锐角三角函数》教学设计3

人教版数学九年级下册28.1《锐角三角函数》教学设计3一. 教材分析人教版数学九年级下册28.1《锐角三角函数》是本节课的主要内容。

这部分内容是在学生已经掌握了锐角的定义、直角、钝角的概念以及三角函数的定义的基础上进行讲解的。

本节课的主要目的是让学生了解并掌握锐角三角函数的概念、性质和应用，为后续学习更高级的三角函数知识打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对锐角、直角、钝角等概念有一定的了解。

但是，对于锐角三角函数的定义、性质和应用，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念，并通过大量的例子来帮助学生理解和掌握其性质和应用。

三. 教学目标1.了解锐角三角函数的定义、性质和应用。

2.能够运用锐角三角函数解决一些实际问题。

3.培养学生的抽象思维能力和数学应用能力。

四. 教学重难点1.锐角三角函数的定义和性质。

2.锐角三角函数在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念。

2.通过大量的例子，帮助学生理解和掌握锐角三角函数的性质和应用。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中加深对知识的理解。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生抽象出锐角三角函数的概念。

2.准备大量的例子，用于讲解和巩固锐角三角函数的性质和应用。

3.准备小组讨论的问题和任务。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，引导学生从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念。

2.呈现（15分钟）讲解锐角三角函数的定义、性质和应用，通过大量的例子来帮助学生理解和掌握。

3.操练（15分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固对锐角三角函数的理解。

4.巩固（10分钟）让学生分小组讨论，共同解决一些有关锐角三角函数的应用问题。

5.拓展（10分钟）引导学生思考锐角三角函数在实际生活中的应用，提出一些拓展问题。

精编新人教版九年级下册数学第二十八章锐角三角函数全单元教案设计含反思8课时

第二十八章锐角三角函数全单元教案设计含反思8课时28．1锐角三角函数教案设计含反思4课时第1课时正弦函数1．能根据正弦概念正确进行计算；(重点)2．能运用正弦函数解决实际问题．(难点)一、情境导入牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站(点A)与水面(BC)的高度(AB)．斜坡与水面所成的角(∠C)可以用量角器测出来，水管的长度(AC)也能直接量得．二、合作探究探究点一：正弦函数如图，sin A等于()A ．2 B.55 C.12D. 5 解析：根据正弦函数的定义可得sin A ＝12，故选C.方法总结：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sin A .即sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac . 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题探究点二：正弦函数的相关应用【类型一】在网格中求三角函数值如图，在正方形网格中有△ABC ，则sin ∠ABC 的值等于( )A.31010B.1010C.13D ．10解析：∵AB ＝20，BC ＝18，AC ＝2，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴∠ACB ＝90°，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝220＝1010.故选B.方法总结：解决有关网格的问题往往和勾股定理及其逆定理相联系，根据勾股定理求出三边长度，再运用勾股定理的逆定理判断三角形形状．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题【类型二】已知三角函数值，求直角三角形的边长在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( )A.83B ．6C ．12D ．8解析：∵sin A ＝BC AB ＝4AB ＝23，∴AB ＝6.故选B.方法总结：根据正弦定义表示出边的关系，然后将数值代入求解，记住定义是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第6题【类型三】三角函数与等腰三角形的综合已知等腰三角形的一条腰长为25cm ，底边长为30cm ，求底角的正弦值．解析：先作底边上的高AD ，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD ＝12BC ＝15cm ，再由勾股定理求出AD ，然后根据三角函数的定义求解．解：如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D .∵AB ＝AC ＝25cm ，BC ＝30cm ，AD 为底边上的高，∴BD ＝12BC ＝15cm.由勾股定理得AD ＝AB 2－BD 2＝20cm ，∴sin ∠ABC ＝AD AB ＝2025＝45. 方法总结：求三角函数值一定要在直角三角形中求值，当图形中没有直角三角形时，要通过作高，构造直角三角形解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型四】在复杂图形中求三角函数值如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，如果AD ＝9，DC ＝5，E 为AC 的中点，求sin ∠EDC 的值．解析：首先利用勾股定理计算出AC 的长，再根据直角三角形的性质可得DE ＝EC ，根据等腰三角形性质可得∠EDC ＝∠C ，进而得到sin ∠EDC ＝sin ∠C ＝ADAC.解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∵AD ＝9，DC ＝5，∴AC ＝92＋52＝106.∵E 为AC 的中点，∴DE ＝AE ＝EC ＝12AC ，∴∠EDC ＝∠C ，∴sin ∠EDC ＝sin ∠C ＝AD AC ＝9106＝9106106. 方法总结：求三角函数值的关键是找准直角三角形或利用等量代换将角或线段转化进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题【类型五】在圆中求三角函数值如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，求sin ∠ABD 的值．解析：首先根据垂径定理得出∠ABD ＝∠ABC ，然后由直径所对的圆周角是直角，得出∠ACB ＝90°，根据勾股定理算出斜边AB 的长，再根据正弦的定义求出sin ∠ABC 的值，从而得出sin ∠ABD 的值．解：由条件可知AC ︵＝AD ︵，∴∠ABD ＝∠ABC ，∴sin ∠ABD ＝sin ∠ABC .∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝10，∴sin ∠ABD＝sin ∠ABC ＝AC AB ＝45.方法总结：求三角函数值时必须在直角三角形中．在圆中，由直径所对的圆周角是直角可构造出直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计 1．正弦的定义；2．利用正弦解决问题．在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.28．1锐角三角函数第2课时余弦函数和正切函数1．理解余弦、正切的概念；(重点)2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．(重点)一、情境导入教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义？学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知道，如图所示，在Rt△ABC中，∠C ＝90°，当锐角∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定了．现在我们要问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？二、合作探究探究点一：余弦函数和正切函数的定义【类型一】利用余弦的定义求三角函数值在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，则cos A ＝( )A.513B.512C.1213D.125解析：∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，∴cos A ＝AC AB ＝1213.故选C.方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题【类型二】利用正切的定义求三角函数值如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan A ＝( )A.35B.45C.34D.43解析：在直角△ABC 中，∵∠ABC ＝90°，∴tan A ＝BC AB ＝43.故选D. 方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题探究点二：三角函数的增减性【类型一】判断三角形函数的增减性随着锐角α的增大，cos α的值( )A ．增大B ．减小C ．不变D ．不确定解析：当角度在0°～90°之间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，故选B.方法总结：当0°＜α＜90°时，cos α的值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．【类型二】比较三角函数的大小sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是()A．tan70°＜cos70°＜sin70°B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70°D．cos70°＜sin70°＜tan70°解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又∵cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°＝sin20°.故选D.方法总结：当角度在0°≤∠A≤90°之间变化时，0≤sin A≤1，0≤cos A≤1，tan A≥0.探究点三：求三角函数值【类型一】三角函数与圆的综合如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，过点C 的切线交AD 的延长线于点E ，且AE ⊥CE ，连接CD .(1)求证：DC ＝BC ；(2)若AB ＝5，AC ＝4，求tan ∠DCE 的值．解析：(1)连接OC ，求证DC ＝BC 可以先证明∠CAD ＝∠BAC ，进而证明DC ︵＝BC ︵；(2)由AB ＝5，AC ＝4，可根据勾股定理得到BC ＝3，易证△ACE ∽△ABC ，可以求出CE 、DE 的长，在Rt △CDE 中根据三角函数的定义就可以求出tan ∠DCE 的值．(1)证明：连接OC .∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA .∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE ＝90°.∵AE ⊥CE ，∴∠AEC ＝∠OCE ＝90°，∴OC ∥AE ，∴∠OCA ＝∠CAD ，∴∠CAD ＝∠BAC ，∴DC ︵＝BC ︵.∴DC ＝BC ；(2)解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴BC ＝AB 2－AC 2＝52－42＝3.∵∠CAE＝∠BAC ，∠AEC ＝∠ACB ＝90°，∴△ACE ∽△ABC ，∴EC BC ＝AC AB ，即EC 3＝45，EC ＝125.∵DC ＝BC ＝3，∴ED ＝DC 2－CE 2＝32－（125）2＝95，∴tan ∠DCE ＝ED EC ＝95125＝34.方法总结：证明圆的弦相等可以转化为证明弦所对的弧相等．利用圆的有关性质，寻找或构造直角三角形来求三角函数值，遇到比较复杂的问题时，可通过全等或相似将线段进行转化．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第5题【类型二】利用三角形的边角关系求三角函数值如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值．解析：根据tan ∠BAD ＝34，求得BD 的长．在直角△ACD 中由勾股定理可求AC 的长，然后利用正弦的定义求解．解：∵在直角△ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝34，∴BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝12×34＝9，∴CD＝BC －BD ＝14－9＝5，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13，∴sin C ＝AD AC ＝1213.方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计1．余弦函数的定义；2．正切函数的定义；3．锐角三角函数的增减性．在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目．通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解、掌握基本概念和基础知识.28．1锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点)3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点)一、情境导入问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．二、合作探究探究点一：特殊角的三角函数值【类型一】利用特殊的三角函数值进行计算计算：(1)2cos60°·sin30°－6sin45°·sin60°； (2)sin30°－sin45°cos60°＋cos45°. 解析：将特殊角的三角函数值代入求解．解：(1)原式＝2×12×12－6×22×32＝12－32＝－1；(2)原式＝12－2212＋22＝22－3. 方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题【类型二】已知三角函数值求角的取值范围若cos α＝23，则锐角α的大致范围是( )A ．0°＜α＜30°B ．30°＜α＜45°C ．45°＜α＜60°D ．0°＜α＜30°解析：∵cos30°＝32，cos45°＝22，cos60°＝12，且12＜23＜22，∴cos60°＜cos α＜cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性．【类型三】根据三角函数值求角度若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是()A．20°B．30°C．40°D．50°解析：∵3tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝33.∵tan30°＝33，∴α＋10°＝30°，∴α＝20°.故选A.方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题探究点二：特殊角的三角函数值的应用【类型一】利用三角形的边角关系求线段的长如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．解析：由题意可知△BCD 为等腰直角三角形，则BD ＝BC ，在Rt △ABC 中，利用锐角三角函数的定义求出BC 的长即可．解：∵∠B ＝90°，∠BDC ＝45°，∴△BCD 为等腰直角三角形，∴BD ＝BC .在Rt △ABC 中，tan ∠A ＝tan30°＝BC AB ，即BC BC ＋4＝33，解得BC ＝2(3＋1)．方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列出式子，求出三角函数值，进而求出答案．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】判断三角形的形状已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tan A )2＋|sin B －32|＝0，试判断△ABC 的形状．解析：根据非负性的性质求出tan A 及sin B 的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的度数，进而可得出结论．解：∵(1－tan A )2＋|sin B －32|＝0，∴tan A ＝1，sin B ＝32，∴∠A ＝45°，∠B ＝60°，∠C ＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC 是锐角三角形．方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】构造三角函数模型解决问题要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，斜边AB ＝2，直角边AC ＝1，那么BC ＝3，∠ABC ＝30°，∴tan30°＝AC BC ＝13＝33.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD 的长，进而得出tan15°＝CDBC，tan75°＝BCCD求出即可．解：作∠B 的平分线交AC 于点D ，作DE ⊥AB ，垂足为E .∵BD 平分∠ABC ，CD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴CD ＝DE .设CD ＝x ，则AD ＝1－x ，AE ＝2－BE ＝2－BC ＝2－ 3.在Rt △ADE中，DE 2＋AE 2＝AD 2，x 2＋(2－3)2＝(1－x )2，解得x ＝23－3，∴tan15°＝23－33＝2－3，tan75°＝BC CD ＝323－3＝2＋ 3.方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题三、板书设计12.应用特殊角的三角函数值解决问题．课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说前面部分的教学很成功，学生理解的很好.28．1锐角三角函数第4课时用计算器求锐角三角函数值及锐角1．初步掌握用计算器求三角函数值的方法；(重点)2．熟练运用计算器求三角函数值解决实际问题．(难点)一、情境导入教师讲解：通过上面几节课的学习我们知道，当锐角∠A是30°、45°或60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角∠A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值．二、合作探究探究点一：用计算器求锐角三角函数值及锐角【类型一】已知角度，用计算器求函数值用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：(1)sin47°；(2)sin12°30′；(3)cos25°18′；(4)sin18°＋cos55°－tan59°.解析：熟练使用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．解：根据题意用计算器求出：(1)sin47°≈0.7314；(2)sin12°30′≈0.2164；(3)cos25°18′≈0.9041；(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.方法总结：解决此类问题的关键是熟练使用计算器，使用计算器时要注意按键顺序．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】已知三角函数值，用计算器求锐角的度数已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)：(1)sin A＝0.7，sin B＝0.01；(2)cos A＝0.15，cos B＝0.8；(3)tan A＝2.4，tan B＝0.5.解析：由三角函数值求角的度数时，用到sin，cos，tan键的第二功能键，要注意按键的顺序．解：(1)sin A＝0.7，得∠A≈44.4°；sin B＝0.01得∠B≈0.6°；(2)cos A＝0.15，得∠A≈81.4°；cos B＝0.8，得∠B≈36.9°；(3)由tan A＝2.4，得∠A≈67.4°；由tan B＝0.5，得∠B≈26.6°.方法总结：解决此类问题的关键是熟练使用计算器，在使用计算器时要注意按键顺序．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型三】利用计算器验证结论(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：①sin30°________2sin15°cos15°；②sin36°________2sin18°cos18°；③sin45°________2sin22.5°cos22.5°；④sin60°________2sin30°cos30°；⑤sin80°________2sin40°cos40°.猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α________2sinαcosα.(2)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请根据提示，利用面积方法验证结论．解析：(1)利用计算器分别计算①至⑤各式中左边与右边，比较大小；(2)通过计算△ABC 的面积来验证．解：(1)通过计算可知：①sin30°＝2sin15°cos15°；②sin36°＝2sin18°cos18°；③sin45°＝2sin22.5°cos22.5°；④sin60°＝2sin30°cos30°；⑤sin80°＝2sin40°cos40°；sin2α＝2sinαcosα.(2)∵S△ABC＝12AB·sin2α·AC＝12sin2α，S△ABC＝12×2AB sinα·AC cosα＝sinα·cosα，∴sin2α＝2sinαcosα.方法总结：本题主要运用了面积法，通过用不同的方法表示同一个三角形的面积，来得到三角函数的关系，此种方法在后面的学习中会经常用到．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题【类型四】用计算器比较三角函数值的大小用计算器比较大小：20sin87°________tan87°.解析：20sin87°≈20×0.9986＝19.974，tan87°≈19.081，∵19.974>19.081，∴20sin87°>tan87°.方法总结：利用计算器求值时，要注意计算器的按键顺序．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题探究点二：用计算器求三角函数值解决实际问题如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝20km，∠CAB＝25°，∠CBA＝37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．(1)求改直的公路AB的长；(2)公路改直后比原来缩短了多少千米？解析：(1)作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中根据CH＝AC·sin∠CAB求出CH的长，由AH ＝AC·cos∠CAB求出AH的长，同理可求出BH的长，根据AB＝AH＋BH可求得AB的长；(2)在Rt△BCH中，由BC＝CHsin∠CBA可求出BC的长，由AC＋BC－AB即可得出结论．解：(1)作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中，CH＝AC·sin∠CAB＝AC·sin25°≈20×0.42＝8.4km，AH＝AC·cos∠CAB＝AC·cos25°≈20×0.91＝18.2km.在Rt△BCH中，BH＝CHtan∠CBA≈8.4tan37°＝11.1km，∴AB＝AH＋BH＝18.2＋11.1＝29.3km.故改直的公路AB的长为29.3km；(2)在Rt△BCH中，BC＝CHsin∠CBA＝CHsin37°≈8.40.6＝14km，则AC＋BC－AB＝20＋14－29.3＝4.7km.答：公路改直后比原来缩短了4.7km.方法总结：根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此类问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题三、板书设计1．已知角度，用计算器求函数值；2．已知三角函数值，用计算器求锐角的度数；3．用计算器求三角函数值解决实际问题．备课时尽可能站在学生的角度思考问题，设计好教学的每一个细节，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折．舍得把课堂让给学生，尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，真正提高课堂教学效率，提高成绩.第二十八章锐角三角函数28．2解直角三角形教案设计含课后反思4课时28．2．1 解直角三角形1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点)2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点)一、情境导入世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引垂线，垂足为点C .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2m ，AB ＝54.5m ，求∠A 的度数．在上述的Rt △ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？二、合作探究探究点一：解直角三角形【类型一】利用解直角三角形求边或角已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形．(1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长；(2)若a ＝62，b ＝66，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长．解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝a c，即c ＝a cos B ＝3632＝243，∴b ＝sin B ·c ＝12×243＝123；(2)在Rt △ABC 中，∵a ＝62，b ＝66，∴tan A ＝a b ＝33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝12 2.方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题【类型二】构造直角三角形解决长度问题一副直角三角板如图放置，点C 在FD的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝122，试求CD 的长．解析：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，求出BM 与CM 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF ＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AC ＝122，∴BC ＝AC ＝12 2.∵AB ∥CF ，∴BM ＝sin45°BC ＝122×22＝12，CM ＝BM ＝12.在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，∴∠EDF ＝60°，∴MD ＝BMtan60°＝43，∴CD ＝CM －MD ＝12－4 3.方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题【类型三】运用解直角三角形解决面积问题如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝37，D 为边AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6.求△ABC 的面积．解析：首先利用正弦的定义设BC ＝3k ，AB ＝7k ，利用BC ＝CD ＝3k ＝6，求得k 值，从而求得AB 的长，然后利用勾股定理求得AC 的长，再进一步求解．解：∵∠C ＝90°，∴在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ＝37，设BC ＝3k ，则AB ＝7k (k ＞0)，在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝45°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝45°，∴BC ＝CD ＝3k ＝6，∴k ＝2，∴AB ＝14.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2－BC 2＝142－62＝410，∴S △ABC＝12AC ·BC ＝12×410×6＝1210.所以△ABC 的面积是1210. 方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列方程解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题探究点二：解直角三角形的综合【类型一】解直角三角形与等腰三角形的综合已知等腰三角形的底边长为2，周长为2＋2，求底角的度数．解析：先求腰长，作底边上的高，利用等腰三角形的性质，求得底角的余弦，即可求得底角的度数．解：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝2，∵周长为2＋2，∴AB ＝AC ＝1.过A 作AD ⊥BC 于点D ，则BD ＝22，在Rt △ABD 中，cos ∠ABD ＝BD AB ＝22，∴∠ABD ＝45°，即等腰三角形的底角为45°.方法总结：求角的度数时，可考虑利用特殊角的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型二】解直角三角形与圆的综合已知：如图，Rt △AOB 中，∠O ＝90°，以OA 为半径作⊙O ，BC 切⊙O 于点C ，连接AC 交OB 于点P .(1)求证：BP ＝BC ；(2)若sin ∠P AO ＝13，且PC ＝7，求⊙O 的半径．解析：(1)连接OC ，由切线的性质，可得∠OCB ＝90°，由OA ＝OC ，得∠OCA ＝∠OAC ，再由∠AOB ＝90°，可得出所要求证的结论；(2)延长AO 交⊙O 于点E ，连接CE ，在Rt △AOP 和Rt △ACE 中，根据三角函数和勾股定理，列方程解答．解：(1)连接OC ，∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OCB ＝90°，∴∠OCA ＋∠BCA ＝90°.∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∴∠OAC ＋∠BCA ＝90°，∵∠BOA ＝90°，∴∠OAC ＋∠APO ＝90°，∵∠APO ＝∠BPC ，∴∠BPC ＝∠BCA ，∴BC ＝BP ；(2)延长AO 交⊙O 于点E ，连接CE ，在Rt △AOP 中，∵sin ∠P AO ＝13，设OP ＝x ，AP＝3x ，∴AO ＝22x .∵AO ＝OE ，∴OE ＝22x ，∴AE ＝42x .∵sin ∠P AO ＝13，∴在Rt △ACE中CE AE ＝13，∴AC AE ＝223，∴3x ＋742x ＝223，解得x ＝3，∴AO ＝22x ＝62，即⊙O 的半径为6 2.方法总结：本题考查了切线的性质、三角函数、勾股定理等知识，解决问题的关键是根据三角函数的定义结合勾股定理列出方程．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计1．解直角三角形的基本类型及其解法； 2．解直角三角形的综合．本节课的设计，力求体现新课程理念．给学生自主探索的时间和宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神和合作精神，激发学生学习数学的积极性和主动性.28.2.2 应用举例第1课时解直角三角形的简单应用1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用；(重点)2．能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解．(难点)一、情境导入为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具．图①所示的是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm.点A、C、E在同一条直线上，且∠CAB＝75°.你能求出车架档AD的长吗？二、合作探究探究点：解直角三角形的简单应用【类型一】求河的宽度根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A 、B两点，小张为了测量A 、B 之间的河宽，在垂直于新大桥AB 的直线型道路l 上测得如下数据：∠BDA ＝76.1°，∠BCA ＝68.2°，CD ＝82米．求AB 的长(精确到0.1米)．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5.解析：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，根据三角函数得到AB ＝2.5(x ＋82)m ，在Rt △ABD 中，根据三角函数得到AB ＝4x ，依此得到关于x 的方程，进一步即可求解．解：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，tan ∠BCA ＝ABAC ，∴AB ＝AC ·tan ∠BCA ＝2.5(x ＋82)．在Rt △ABD 中，tan ∠BDA ＝ABAD ，∴AB ＝AD ·tan ∠BDA ＝4x ，∴2.5(x ＋82)＝4x ，解得x ＝4103.∴AB ＝4x ＝4×4103≈546.7m.答：AB的长约为546.7m.方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】求不可到达的两点的高度如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE 是多少(结果精确到0.1cm，参考数据：3≈1.732)?解析：首先过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，进而求出FC的长，再求出BG的长，即可得出答案．解：过点B 作BF ⊥CD 于点F ，作BG ⊥AD 于点G ，∴四边形BFDG 是矩形，∴BG ＝FD .在Rt △BCF 中，∠CBF ＝30°，∴CF ＝BC ·sin30°＝20×12＝10cm.在Rt △ABG 中，∵∠BAG ＝60°，∴BG ＝AB ·sin60°＝30×32＝153cm ，∴CE ＝CF ＋FD ＋DE ＝10＋153＋2＝12＋153≈38.0(cm)．答：此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 约是38.0cm.方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题【类型三】方案设计类问题小锋家有一块四边形形状的空地(如图③，四边形ABCD )，其中AD ∥BC ，BC ＝1.6m ，AD ＝5.5m ，CD ＝5.2m ，∠C ＝90°，∠A ＝53°.小锋的爸爸想买一辆长4.9m ，宽1.9m 的汽车停放在这块空地上，让小锋算算是否可行．小锋设计了两种方案，如图①和图②所示．(1)请你通过计算说明小锋的两种设计方案是否合理；(2)请你利用图③再设计一种有别于小锋的可行性方案，并说明理由(参考数据：sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，tan53°＝43)．解析：(1)方案1，如图①所示，在Rt △AGE 中，依据正切函数求得AG 的长，进而求得DG 的长，然后与汽车的宽度比较即可；方案2，如图②所示，在Rt △ALH 中，依据正切函数求得AL 的长，进而求得DL 的长，然后与汽车的长度比较即可；(2)让汽车平行于AB 停放，如图③，在Rt △AMN 中，依据正弦函数求得AM 的长，进而求得DM 的长．在Rt △PDM 中，依据余弦函数求得PM 的长，然后与汽车的长度比较即可．解：(1)如图①，在Rt △AGE 中，∵∠A ＝53°，∴AG ＝EG tan ∠A ＝4.943m ≈3.68m ，∴DG ＝AD －AG ＝5.5－3.68＝1.82m ＜1.9m ，故此方案不合理；如图②，在Rt △ALH 中，∵∠A ＝53°，LH ＝1.9m ，∴AL ＝LH tan53°＝1.943≈1.43m ，∴DL ＝AD －AL ＝5.5－1.43＝4.07m ＜4.9m ，故此方案不合理；(2)如图③，过DA 上一点M 作MN ⊥AB 于点N ，过CD 上一点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，连PM ，在Rt △AMN 中，∵∠A ＝53°，MN ＝1.9m ，∴AM ＝MN sin53°＝1.90.8≈2.4，∴DM ＝5.5－2.4＝3.1m.在Rt △PDM 中，∵∠PMD ＝∠A ＝53°，DM ＝3.1m ，∴PM ＝DM cos53°＝3.10.6≈5.1m ＞4.9m ，故此方案合理．方法总结：本题主要是利用三角函数解决实际问题，关键是把实际问题转化为解直角三角形的问题，利用三角函数解决问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计1．求河宽和物体的高度；2．其他应用类问题．本节课为了充分发挥学生的主观能动性，可引导学生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高学生学习数学的兴趣．能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形模型，并通过解直角三角形解决实际问题.28.2.2 应用举例第2课时利用仰俯角解直角三角形1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点) 2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点)一、情境导入。

人教版初三数学下册《锐角三角函数》复习课反思

复习课《锐角三角函数》教学反思第七师125团中学数学组何丽这次授课内容是人教版九年级下册第28章锐角三角函数的复习课，锐角三角函数在解决实际问题中有着重要的作用，是历届中考必考内容，因此，学好本课内容对学生的学习有极大地帮助。

一、自我评价1、为了帮助学生较好地掌握本章的学习内容，我在课前做了大量的收集工作，收集历届考题，挑出具有代表性的题目，通过幻灯片分层逐级传递给学生，使学生能够在做题中逐步实现自我提高。

2、完成了课堂的教学目标，注重了知识的生成过程，从学生已有的知识入手，帮助学生查漏补缺，改正不足，符合学生的认知规律，大部分学生都能动手动脑，主动完成学习任务。

3、突破了教学的重难点，课堂上有学有练，教学中重在对学生解题方法和解题策略的指导，符合复习课的学习任务。

4、加强了与学生的合作交流，注重突出学生的主体地位,每个问题的提出，都由学生去想办法解决，我只是加以引导和总结.教师处于帮助学生自我提高的作用。

二、反思不足1、在合作探究中留给学生思考的时间过少。

想着时间很紧，题型多，速度比较快，基本上一环节一环节的没有停顿，有些反应慢点的学生可能还没彻底弄懂，我就进入了下一个环节。

2、引导启发学生分析问题的方法还需改进。

课堂上要多多锻炼学生的自我表达能力，数学学习最重要的是要学会分析问题的方法，并且在分享中可以达到自己与他人的共同提高，这节课在方法的引导上稍显粗糙。

3、对学生的情况准备的不充分。

因为是下午的第二节课，学生都比较瞌睡，学习状态不太好，本以为学生素质更高，跟老师的配合应该很好，但没想到学生普遍不太积极，应该多让学生回答问题，激发学生的课堂活力，适当来点幽默会更好。

4、由于课前准备的材料过多，导致课堂容量太大。

三、课堂重建1、我将尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节，上课前多揣摩。

让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折。

2、时间的安排可以更宽松些，多给学生提供自我思考和发展的空间。

人教版九年级数学下册：28锐角三角函数《锐角三角函数优秀教学案例》教案

1.了解锐角三角函数的概念、定义及性质，掌握锐角三角函数的计算方法。
2.能够运用锐角三角函数解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.学会使用三角板和直尺等工具进行角度测量，培养学生的动手操作能力。
4.能够运用信息技术辅助学习，提高学生的信息素养。
（二）过程与方法
1.通过观察、实验、探究等方法，引导学生主动发现锐角三角函数的规律。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活实例引入：教师通过展示一些实际生活中的图片，如建筑物的设计图、物理实验场景等，让学生观察并思考其中涉及到的角度问题。
2.提问引导：教师向学生提出问题，如“这些图片中的角度是如何计算的？”“你能想到一些与角度相关的实际问题吗？”等，激发学生的思考兴趣。
3.学生回答：鼓励学生积极回答问题，分享自己的观点和思考。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：通过设置一些与生活密切相关的实例，如建筑设计、物理实验等，让学生了解锐角三角函数在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.问题情境：设计一些具有挑战性的问题，让学生在解决问题的过程中自然地引入锐角三角函数的知识，引导学生主动探究。
3.互动情境：创设轻松、愉快的课堂氛围，鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生主动表达自己观点的能力。
2.作业反馈：教师及时批改学生的作业，给予反馈和评价，指出学生的错误和不足，帮助学生提高。
3.学生自我检查：学生对自己的作业进行自我检查，总结自己在作业中的优点和不足，不断提高自己的学习效果。
五、案例亮点
1.生活情境的引入：通过展示与学生生活密切相关的实例，如建筑设计、物理实验等，让学生了解锐角三角函数在实际生活中的应用，使学生感受到数学的实用性，激发学生的学习兴趣。这种生活情境的引入，不仅能够引起学生的兴趣，还能够增强学生对知识的理解和记忆。

人教版九年级数学下册： 28.1 《锐角三角函数》说课稿13

人教版九年级数学下册： 28.1 《锐角三角函数》说课稿13一. 教材分析《锐角三角函数》是人民教育出版社九年级数学下册第28章第1节的内容。

本节主要介绍锐角三角函数的定义及应用。

通过本节的学习，使学生理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数的计算方法，培养学生运用锐角三角函数解决实际问题的能力。

教材通过例题和练习题，使学生巩固所学知识，提高解题技巧。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数的基本概念和计算方法，具备一定的数学思维能力。

但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识。

因此，在教学过程中，教师要关注学生的学习需求，引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数的计算方法，能运用锐角三角函数解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习锐角三角函数的兴趣，培养学生的探究精神，使学生体会数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的概念、计算方法及应用。

2.教学难点：如何引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、案例教学、小组合作、讨论交流等教学方法，引导学生主动探究，提高学生解决问题的能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，结合数学软件、网络资源等现代教育技术手段，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习旧知识，引导学生回忆锐角三角函数的基本概念，为新课的学习做好铺垫。

2.讲解新课：介绍锐角三角函数的定义、计算方法，通过例题讲解，使学生掌握锐角三角函数的运用。

3.课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高解题技巧。

4.小组讨论：引导学生运用锐角三角函数解决实际问题，开展小组讨论，分享解题心得。

人教版数学九年级下册28.1《锐角三角函数》教案3

人教版数学九年级下册28.1《锐角三角函数》教案3一. 教材分析人教版数学九年级下册28.1《锐角三角函数》是本册的一个重要内容。

在此之前，学生已经学习了锐角三角形的性质，本节课将引导学生进一步探究锐角三角形的边长与角度之间的关系，为后续学习三角函数的图像和性质打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对锐角三角形有了一定的了解。

但是，对于锐角三角形的边长与角度之间的具体关系，可能还存在着一定的模糊认识。

因此，在教学过程中，需要通过具体实例，引导学生直观地感受和理解锐角三角形的边长与角度之间的关系。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义和性质；2.过程与方法：通过实际问题，培养学生运用锐角三角函数解决问题的能力；3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的概念和性质；2.难点：正弦、余弦、正切函数的图像和性质。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、合作学习法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作探讨，掌握锐角三角函数的知识。

六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、课件、教学工具等；2.学生准备：课本、笔记本、文具等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如测量一个未知角度的三角形的边长，引发学生对锐角三角函数的思考，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（15分钟）讲解锐角三角函数的概念，引导学生通过直观的图示和实例，理解正弦、余弦、正切函数的定义和性质。

3.操练（15分钟）让学生通过自主学习和合作探讨，完成课本上的练习题，巩固所学的锐角三角函数知识。

4.巩固（10分钟）通过一些实际问题，让学生运用所学的锐角三角函数知识解决问题，加深对知识的理解和运用。

5.拓展（10分钟）引导学生思考锐角三角函数在实际生活中的应用，如建筑设计、工程测量等，培养学生的应用意识。

人教版九年级数学下第28章锐角三角函数(小结)优秀教学案例

5.个性化的教学策略
在教学过程中，我根据学生的实际情况，适时调整教学策略，以满足不同学生的学习需求。这种个性化的教学策略，使每个学生都能在课堂上得到有效的指导和帮助，提高了他们的学习效果。
（三）学生小组讨论
1.引导学生分组，每组选择一个实际问题进行讨论，如测量教室的长度、宽度等。
2.学生运用所学知识，讨论如何运用锐角三角函数解决这些问题。
3.各组分享讨论成果，教师给予评价和指导。
为了实现这一目标，我会引导学生分组，并鼓励他们选择一个实际问题进行讨论。在讨论过程中，我会引导学生运用所学知识，讨论如何运用锐角三角函数解决这些问题。最后，各组会分享讨论成果，我会给予评价和指导。
（四）总结归纳
1.引导学生总结本节课所学内容，巩固知识结构。
2.强调锐角三角函数在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
3.布置课后作业，巩固所学知识。
为了实现这一目标，我会引导学生总结本节课所学内容，巩固知识结构。然后，我会强调锐角三角函数在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。最后，我会布置课后作业，巩固所学知识。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，培养他们的团队合作精神。
2.设计具有挑战性和实践性的小组项目，让学生在合作中解决问题，提高解决问题的能力。
3.教师在小组合作过程中给予适当的指导和支持，促进学生能力的提升。
为了实现这一目标，我会组织学生进行小组讨论，培养他们的团队合作精神。然后，我会设计一些具有挑战性和实践性的小组项目，让学生在合作中解决问题，提高解决问题的能力。在小组合作的过程中，我会给予适当的指导和支持，促进学生能力的提升。
人教版九年级数学下第28章锐角三角函数（小结）优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版九年级数学下第28章“锐角三角函数（小结）”，是对锐角三角函数知识的梳理和巩固。通过本节课的学习，学生需要掌握锐角三角函数的定义、性质和应用，并能运用锐角三角函数解决实际问题。

28.1锐角三角函数(正弦) 初中九年级初三数学教案教学设计教学反思人教版

A
C
A的对边 BC
BC
2 2
斜边
AB
2 BC
2
2
2
结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值
2
从上面这两个问题的结论中可知，在一个 Rt△ABC 中，∠C=90°，当
1
∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠
2
2
A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．这就引发
多长的水管？；如果使出水口的高度为 a m，那么需要准备多长的水管？
B
A
C
B
A
C
解： RtABC , A 30
A的对边 BC 1
斜边
AB 2
AB 2 BC
(1)AB 2 35 70(m )
(2)AB 2 50 100(m )
Rt ABC ( A 30 )
A 的对边斜边
是一个比值
(4)sinA 没有单位
例如：
sinA＝ A的对边 a A的斜边 c
斜边c
当∠A=30°时，我们有 sinA=sin30°
=1；
A
b
2
B
对边a C
2
当∠A=45°时，我们有 sinA=sin45°= ．
2
3
当∠A=60°时，我们有 sinA=sin60°=
2
三、巩固练习
1.判断对错:如图
课本第 85 页习题 28．1 复习巩固第 1 题、第 2 题．（只做与正弦函数有关的部分）
28.1 锐角三角函数（正弦）
在 Rt△BC 中，∠C=90，∠A 的对边记作 a，∠B 的对边记作 b，∠C 的对边