空间直角坐标系

z
P(x,y,z)
关于谁对称谁不变
O
y
x
P1
对称点
3.点P(x , y , z) 关于：
• （1）x轴对称的点P1为__(_x_, __y_,__z_); • （2）y轴对称的点P2为__(__x_,_y_,__z_); • （3）z轴对称的点P3为__(__x_,___y_, z_);
关于谁对称谁不变 z
O
y
(3)在yoz平面射影点为
P1
P3___(_0_,y_,z_)___;
x
;
关于坐标平面对称
2点P(x , y , z) 关于：
（1）xoy平面对称的点P1为_（__x_，__y_，_-_z_）; （2）yoz平面对称的点P2为__（_-_x_，__y，__z_）; （3）xoz平面对称的点P3为_（__x_，__-_y，___z）;
坐标系 O xyz 后，
z
试写出全部钠原子
所在位置的坐标。
y x
z P135 例2
o
y
x
对称点
横坐标相反，
y
纵坐标不变。
P2 (-x0 ,y0) y0
P (x0,y0)
-x0
O
P3 (-x0 , -y0) -y0
横坐标相反， 纵坐标相反。
x0 x P1 (x0 , -y0)
横坐标不变， 纵坐标相反。
空间直角坐标系
z
y O x
教室里某位同学的头所在的位置
z
y O
xБайду номын сангаас
如何确定空中飞行 的飞机的位置？
一、空间直角坐标系
一般地：
在空间取定一点O(原点)
z
从O出发引三条两两垂直的射线
(坐标轴) 1
选定某个长度作为单位长度
O•
1
y
Z
1
右手系
x
Y
X
2、空间直角坐标系的划分
Ⅲ
yz 面
Ⅳ
xy 面
z zx 面
2
2
2
空间点到原点的距离
z
o xA
| BP || z |
P(x•, y, z) | OB | x2 y2
y
C
| OP | x2 y2 z2
B
空间两点间的距离公式
平面：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
类比 猜想
空间：| P1P2 | (x1 x2)2 ( y1 y2)2 (z1 z2)2
P(x,y,z)
O
x
y
空间两点中点坐标公式
设点A（x1，y1，z1），点 B（x2， y2，z2），则线段AB的中点M的坐 标如何？
M(x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )
2
2
2
空间直角坐标系 —Oxyz
z
竖轴
1
纵轴
o
1
1
y
x
横轴
右手直角坐标系
Ⅲ
yoz 面
Ⅳ
xoy 面
Ⅶ
x
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
小结
一、空间直角坐标系（轴、面、卦限）
（注意它与平面直角坐标系的区别）
二、空间两点间的距离公式:
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
例 4 已知 A (－3 , 2 , 1)、B (0 , 2 , 5). △AOB 的周长.
解 由两点间距离公式可得
A B ( 3 0 )2 ( 2 2 )2 ( 1 5 )2 5 ,
由两点间距离公式 可得
A O ( 3 )2 22 12 14,
P1P2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
三、空间两点间的中点坐标公式:
M(x, y, z) ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
称
(5)与点M关于xOy平面对称的点 (x,y,-z)
谁
(6)与点M关于xOz平面对称的点 (x,-y,z)
不 变
(7)与点M关于yOz平面对称的点 (-x,y,z)
空间两点中点坐标公式
设点A（x1，y1，z1），点 B（x2， y2，z2），则线段AB的中点M的坐 标如何？
M(x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )
z
P(x,y,z)
关于谁对称谁不变
O
y
x
P1
对称点
3.点P(x , y , z) 关于：
• （1）x轴对称的点P1为__(_x_, __y_,__z_); • （2）y轴对称的点P2为__(__x_,_y_,__z_); • （3）z轴对称的点P3为__(__x_,___y_, z_);
关于谁对称谁不变 z
空间对称点
z
P3 (1, 1,1)
P(1,1,1)
o
y
x
P1(1, 1, 1)
P2 (1,1, 1)
三、空间中点的射影点与对称点坐标
1.点P(x , y , z) 在下列坐
标平面中的射影点为：
(1）在xoy平面射影点为 P1__(_x_,y_,_0)____;
z P2
P3
P(x,y,z)
(2)在xoz平面射影点为 P2___(_x,_0_,z_)___;
P(x,y,z)
O
x
y
点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一 点，写出满足下列条件的点的坐标
(1)与点M关于x轴对称的点 (x,-y,-z)
关
(2)与点M关于y轴对称的点 (-x,y,-z)
于
(3)与点M关于z轴对称的点 (-x,-y,z)
谁 对
(4)与点M关于原点对称的点 (-x,-y,-z)
O
y
(3)在yoz平面射影点为
P1
P3___(_0_,y_,z_)___;
x
;
关于坐标平面对称
2点P(x , y , z) 关于：
（1）xoy平面对称的点P1为_（__x_，__y_，_-_z_）; （2）yoz平面对称的点P2为__（_-_x_，__y，__z_）; （3）xoz平面对称的点P3为_（__x_，__-_y，___z）;
BO 02 22 52 29.
所以，△AOB 的周长 l AB AO BO 5 14 29 14.
例 5 设 P 在 x轴上，它到 P1(0, 2,3)的距离 为到点 P2(0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为 P 在 x轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
轴上的坐标z就是P点的z坐标。
z
z P1 P
1
x
•o
1
1
x
•
P点坐标为
y y (x,y,z)
•P0
三、空间中点的射影点与对称点坐标
1.点P(x , y , z) 在下列坐
标平面中的射影点为：
(1）在xoy平面射影点为 P1__(_x_,y_,_0)____;
z P2
P3
P(x,y,z)
(2)在xoz平面射影点为 P2___(_x,_0_,z_)___;
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
z D'
A' O
xA
一、坐标平面内的点
C' B'
xoy平面上的点竖坐标为0 yoz平面上的点横坐标为0
xoz平面上的点纵坐标为0
B C y 二、坐标轴上的点
x轴上的点纵坐标竖坐标为0
y轴上的点横坐标竖坐标为0 z轴上的点横坐标纵坐标为0
例2： 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食 盐晶胞示意图（可看成是八个棱长为1/2 的小正方体堆积成的正方体），其中红 色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如 图：建立空间直角
Ⅱ
•O
Ⅰ
y
Ⅶx
Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
点的坐标：
x称为点P的横坐标
z
y称为点P的纵坐标
z Pz
z称为点P的竖坐标
P
反之：（x,y,z)对应唯一的点P
O
Py
yy
x
Px
x
空间的点P11 有序数组 ( x, y, z)
方法二：过P点作xy面的垂线，垂足为P0点。
点P0在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的x坐 标、y坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足P1在z
例 3 求证以 M1(4,3,1)、 M2(7,1,2)、 M3(5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,