最新人教A版必修5高中数学 2.4等比数列教案(精品)

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[精品]新人教A版必修5高中数学2.4等比数列优质课教案

2．4等比数列（一）教学目标1`．知识与技能：理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式；理解这种数列的模型应用．２．过程与方法：通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳出等比数列的定义，通过与等差数列的通项公式的推导类比，探索等比数列的通项公式．３．情态与价值：培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力．（二）教学重、难点重点：等比数列的定义和通项公式难点：等比数列与指数函数的关系（三）学法与教学用具学法：首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型，从而归纳出等比数列的定义；与等差数列通项公式的推导类比，推导等比数列通项公式。

教学用具：投影仪（四）教学设想[创设情景] 分析书上的四个例子，各写出一个数列来表示[探索研究]四个数列分别是①1, 2, 4, 8, …②1,21，41，81，… ③1,20 ,202 ,203 ,…④10000×1.0198,10000×1.01982,10000×1.0198310000×1.01984,10000×1.01985观察四个数列:对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的比都等于2 对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的比都等于21 对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的比都等于20 对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的比都等于1.0198 可知这些数列的共同特点:从第2项起, 每一项与前一项的比都等于同一常数.于是得到等比数列的定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示(q ≠0)因此,以上四个数列均是等比数列,公比分别是2，21,20,1.0198. 与等差中项类似,如果在a 与b 中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等差中项,这时,a,b 一定同号,G 2=ab在归纳等比数列公式时,让学生先回忆等差数列通项公式的归纳,类比这个过程,归纳如下:a 2=a 1qa 3=a 2q=(a 1q)q=a 1q 2 a 4=a 3q=(a 1q 2)q=a 1q 3 … …可得 a n =a 1q n-1 上式可整理为a n =q a 1q n 而y= q a 1q x （q ≠1）是一个不为0的常数qa 1与指数函数q x 的乘积,从图象上看,表示数列 {qa 1q n}中的各项的点是函数 y=qa 1q x的图象上的孤立点 [注意几点]① 不要把a n 错误地写成a n =a 1q n② 对于公比q,要强调它是“从第2项起,每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比的次序颠倒 ③ 公比q 是任意常数,可正可负 ④ 首项和公比均不为0 [例题分析]例1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84％.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)? 评注:要帮助学生发现实际问题中数列的等比关系,抽象出数学模型;通项公式反映了数列的本质特征,因此关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式a n =a 1q n-1例2 根据图2.4-2中的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗?评注:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数n,nn a a 1 是一个常数就行了例3 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.评注:帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系例4 已知{a n }{b n }是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什么结论?证明你的结论. 评注:两个等比数列的积仍然是等比数列 [随堂练习]第1、2、3题 [课堂小结]（1）首项和公比都不为0（2）分别从定义、通项公式、相应图象的角度类比等差数列和等比数列（五）评价设计（1）课后思考：课本 [探究] （2）课后作业：第1、2、6题。

人教A版数学必修五 §2.4《等比数列》教案【精品教案】.doc

..a”+「b”+]一39;
它是一个与n无关的常数，所以｛a”也｝是一个以q心为公比的等比数列拓展探究：
对于例4中的等比数列｛a”｝与｛b”｝,数列｛他｝也一定是等比数列吗？
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探究：设数列｛ a” ｝与lbn｝的公比分别为厲和0 ,令c”二他，则一b”
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法
II•讲授新课
1.等比中项：如果在a与“中间插入一个数
G,使a, G,b
成等比数列,那么称这个数G为a与〃的等比中项.
即G=± Jab
（&,b同号）
如果在a与b中间插入一个数G,使a, G,"成等比数列，则
G
=—=>G2=ab
a G=±\[ab ,
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G
河北武中•宏达教育集团教师课时教案
教学过程及方法
结论：2.等比数列的性质：若m+n=p+k,则aman=apak在等比数列中，m+n=p+q,am,an,ap,ak有什么关系呢？山定义得：勺”=%/"7an=axqn~｛ap=a｛qp~xak= a, •qk~'
am 'an =ai Q，ap'ak =ai Q则aman =aPak
学生分析回答
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.启=/分=(如L)(如1)=鱼,所以，数列｛5l｝也一定是等
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比数列。
课本P59的练习4
已知数列｛a”｝是等比数列，
(1)tzf=(z,a7是否成立？a；=叩9成立吗?为什么？
(2)a：=〉1)是否成立？你据此能得到什么结论？
a；=an_kan+k(n>k>0)是否成立？你又能得到什么结论？

高中数学《5.2.4等比数列(一)》教案新人教A版必修5

5.2.4等比数列（一）
教学重点：理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要数列模型之一，探索并掌握等比数列的通项公式。

教学难点：遇到具体问题时，抽象出数列的模型和数列的等比关系，并能用有关知识解决相应问题。

教学过程：
一. 复习准备
1. 等差数列的通项公式。

2. 等差数列的前n 项和公式。

3. 等差数列的性质。

二.讲授新课
引入：1“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”
2细胞分裂模型
3计算机病毒的传播由学生通过类比，归纳，猜想，发现等比数列的特点进而让学生通过用递推公式描述等比数列。

11,n n a a a a q +== 让学生回忆用不完全归纳法得到等差数列的通项公式的过程然后类比等比数列的通项公式 21321431123(1)n a a d
a a d a d a a d a d a a n d =+=+=+=+=+=+-L L L
212
32134311
1n n a a q a a q a q a a q a q a a q -======L L L
注意：1公比q 是任意一个常数，不仅可以是正数也可以是负数。

2当首项等于0时，数列都是0。

当公比为0时，数列也都是0。

所以首项和公比都不可以是0。

3当公比q=1时，数列是怎么样的，当公比q 大于1，公比q 小于1时数列是怎么样的？
4以及等比数列和指数函数的关系
5是后一项比前一项。

列：1，2，（略）小结：等比数列的通项公式
三.巩固练习：
1.教材P59练习1，2，3，题
2.作业：P60习题1，4。

【高中教育】高中数学 2.4 等比数列教案2 新人教A版必修5.doc

2.4等比数列教学目标知识与技能目标：等比中项的概念；掌握＂判断数列是否为等比数列＂常用的方法；进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用．过程与能力目标：明确等比中项的概念；进一步熟练掌握等比数列的通项公式、1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.教学重点；等比数列的通项公式、性质及应用．教学难点：灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题．教学过程一、复习1．等比数列的定义． 2. 等比数列的通项公式:)0,(111≠⋅=-q a q a a n n ，)0,(≠⋅=-q a q a a m m n m n ，)0,(≠=B A AB a n n3．｛an ｝成等比数列⇔)0,( 1≠∈=++q N n q a a n n4．求下面等比数列的通项公式：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；二、新课：思考：类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a, G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G=±ab （a,b 同号），则ab G ab G G ba G ±=⇒=⇒=2，反之，若G 2=ab,则G ba G =，即a,G,b ∴a,G,b 成等比数列⇔G 2=ab （a ·b ≠0）例1．三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数. 解:设m,G,n 为所求的三个数, 有已知得m+n+ G =14,64=⋅⋅G n m , ,2mn G =,4643=⇒=∴G G⎩⎨⎧=⋅=+∴,16,10n m n m ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴.8,2,2,8n m n m 或 ∴这三个数为8,4,2或2,4,8.解法二:设所求三个数分别为,,,aq a q a则,4,643=∴=a a 又,14=++aq a q a 14444=++∴q q 解得,21,2==q q 或 ∴这三个数为8,4,2或2,4,8.生思考第53页练习第4题，猜测并推广，得等比数列的性质：若m+n=p+k ，则kp n m a a a a =证明：由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a11k 11 --⋅==k p p q a a q a a221-+=⋅n m n m q a a a ，221-+=⋅k p k p q a a a则kp n m a a a a =例2. 已知{na }是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求53a a +．解： ∵{na }是等比数列，∴ 2a 4a ＋23a 5a ＋4a 6a ＝(3a ＋5a )2＝25,又na >0, ∴3a ＋5a ＝5;3．判断等比数列的常用方法：定义法，中项法，通项公式法例3．已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列. 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n+1项分别n n nnn n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅.)()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n ==⋅⋅-++它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q1q2为公比的等比数列.思考；（1）｛an ｝是等比数列，C 是不为0的常数，数列{}n ca 是等比数列吗？试证明。

【数学】2.4《等比数列》教案(新人教A版必修5)(2课时)

知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：zxjkw@第 1 页共 5 页课题: §2.4等比数列授课类型：新授课（第1课时）●教学目标知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。

情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

●教学重点等比数列的定义及通项公式●教学难点灵活应用定义式及通项公式解决相关问题●教学过程Ⅰ.课题导入复习：等差数列的定义：n a －1n a =d ，（n ≥2，n ∈N ）等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。

课本P41页的4个例子：①1，2，4，8，16，，②1，12，14，18，116，，③1，20，220，320，420，，④10000 1.0198，210000 1.0198，310000 1.0198，410000 1.0198，510000 1.0198，,,观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。

Ⅱ.讲授新课1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1n na a =q （q ≠0）1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛n a ｝成等比数列n n a a 1=q （Nn ,q ≠0）。

高中数学新人教A版必修5教案 2.4 等比数列1

2.4等比数列教学目标知识与技能目标：1.等比数列的定义；2.等比数列的通项公式．过程与能力目标：1.明确等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道n a ，1a ，q ，n 中的三个，求另一个的问题．情感态度与价值观 1.通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.教学重点：1.等比数列概念的理解与掌握；2.等比数列的通项公式的推导及应用．教学难点：等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．教学过程学生自学：（1）阅读课本P48页-P49页上部分内容。

（2）思考数列1，2，3，4的共同特点是什么？二、新课（抽生回答）共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．1．等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q 表示（q ≠0），即：1-n n a a =q （q ≠0）.思考：（1）等比数列中有为0的项吗？（2）公比为1的数列是什么数列？（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）常数列都是等比数列吗？（抽生回答，相互补充，直至完整）(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q ；｛n a ｝成等比数列⇔n n a a 1+=q （+∈N n ，q ≠0．）(2) 隐含：任一项00≠≠q a n 且(3) q= 1时，{an}为常数数列．（4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．2.等比数列的通项公式1: )0,(111均不为q a q a a n n -⋅=观察法：由等比数列的定义，有：q a a 12=；21123)(q a q q a q a a ===；312134)(q a q q a q a a ===；… … )0(1111≠⋅==--q a q a q a a n n n ，．迭乘法：由等比数列的定义，有：q a a =12；q a a =23；q a a =34；…；q a a n n =-1所以11342312--=⋅⋅n n n q a a a a a a a a Λ，即)0(111≠⋅=-q a q a a n n ，3.等比数列的通项公式2:)0(≠⋅=-q a q a a m m n m n ，三、例题讲解例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.例2．求下列各等比数列的通项公式：例3．已知数列{an}满足12,111+==+n n a a a ，（1）求证数列{an+1}是等比数列；（2）求{an}的通项公式。

高中数学 §2.4等比数列教案新人教A版必修5

河北省武邑中学高中数学 8.等比数列教案新人教A版必修5 备课人授课时间课题§2.4等比数列(2)课标要求灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法教学目标知识目标灵活应用等比数列的定义及通项公式技能目标系统了解判断数列是否成等比数列的方法情感态度价值观充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活.重点等比中项的理解与应用难点灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法Ⅰ.课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：1-nnaa=q（q≠0）2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-qaqaa nn，)0(≠⋅⋅=-qaqaammnmn3．｛na｝成等比数列⇔nnaa1+=q（+∈Nn,q≠0）“na≠0”是数列｛na｝成等比数列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列Ⅱ.讲授新课1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±ababGabGGbaG±=⇒=⇒=2学生回答1河北武中·宏达教育集团教师课时教案教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法反之，若G2=ab,则GbaG=，即a,G,b成等比数列。

∴a,G,b成等比数列⇔G2=ab（a·b≠0）[范例讲解]课本P58例4 证明：设数列{}n a的首项是1a，公比为1q;{}n b的首项为1b，公比为2q，那么数列{}nnba⋅的第n项与第n+1项分别为：nnnnnn qqbaqqbaqbqaqbqa)()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅.)()(2112111211111qqqqbaqqbababannnnnn==⋅⋅-++它是一个与n无关的常数，所以{}nnba⋅是一个以q1q2为公比的等比数列拓展探究：对于例4中的等比数列{na}与{nb}，数列{nnab}也一定是等比数列吗？探究：设数列{na}与{nb}的公比分别为12q q和，令nnnacb=，则111nnnacb+++=1111112()()nn n n nnn n nnac b a b qac a b qb+++++∴===，所以，数列{nnab}也一定是等比数列。

人教A版高中数学必修五 2-4 等比数列教案精品

2.4 等比数列一、教学目标：知识与技能：1.了解现实生活中存在着一类特殊的数列;2.理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式;3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题;4.体会等比数列与指数函数的关系.过程与方法：1.采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动;3.密切联系实际，激发学生学习的积极性.情感、态度与价值观：1.通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.二．重点难点重点：1.等比数列的概念; 2.等比数列的通项公式.难点：1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系;2.等比数列与指数函数的关系.三、教材与学情分析本节内容先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出等比数列的概念，再由教师引导学生与等差数列类比探索等比数列的通项公式，并将等比数列的通项公式与指数函数进行联系，体会等比数列与指数函数的关系，既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程。

教学中应充分利用信息和多媒体技术，给学生以较多的感受，激发学生学习的积极性和思维的主动性. 四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程(一)创设情境，引入新知师现实生活中，有许多成倍增长的实例.如，将一张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，手中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例子吗？生一粒种子繁殖出第二代120粒种子，用第二代的120粒种子可以繁殖出第三代120×120粒种子，用第三代的120×120粒种子可以繁殖出第四代120×120×120粒种子，… 师非常好的一个例子！现实生活中，我们会遇到许多这类的事例. 教师出示多媒体课件一：某种细胞分裂的模型.师细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成一个数列，你能写出这个数列吗？生通过观察和画草图，发现细胞分裂的规律，并记录每次分裂所得到的细胞数，从而得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列： 1，2，4，8，…①教师出示投影胶片1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”师这是《庄子·天下篇》中的一个论述，能解释这个论述的含义吗？生思考、讨论，用现代语言叙述.师 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？生发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，21，41，81，161，… ② 教师出示投影胶片2：计算机病毒传播问题.一种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢?师 (读题后)这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢？引导学生发现“病毒制造者发送病毒称为第一轮”“每一轮感染20台计算机”中蕴涵的等比关系.生发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，20，202，203，204，…③教师出示多媒体课件二：银行存款利息问题.师介绍“复利”的背景：“复利”是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的.给出计算本利和的公式：本利和=本金×(1+本金)n，这里n为存期.生列出5年内各年末的本利和，并说明计算过程.师生合作讨论得出“时间”“年初本金”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年末本利和(单位：元)组成了下面数列：10 000×1.019 8，10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000×1.019 85.④ 师回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列①②③④，说说它们有什么共同特点？师引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系.引入课题：板书课题 2.4等比数列的概念及通项公式(二)探究新知师从上面的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是：具有等比关系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列，那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢？生回忆等差数列的定义，并进行类比，说出：一般地，如果把一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.［教师精讲］师同学们概括得很好，这就是等比数列( geometric seque n ce)的定义.有些书籍把等比数列的英文缩写记作G.P.(Geometric Progressio n).我们今后也常用G.P.这个缩写表示等比数列.定义中的这个常数叫做等比数列的公比(commo n r a tio)，公比通常用字母q表示(q≠0).请同学们想一想，为什么q≠0呢？生独立思考、合作交流、自主探究.师假设q=0，数列的第二项就应该是0，那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时就出现什么了生分母为0了.师对了，问题就出在这里了，所以，必须q≠0. 师那么，等比数列的首项能不能为0呢？生等比数列的首项不能为0.师是的，等比数列的首项和公比都不能为0，等比数列中的任一项都不会是0. 师类比等差中项的概念，请同学们自己给出等比中项的概念.生如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 、b 的等比中项.师想一想，这时a 、b 的符号有什么特点呢？你能用a 、b 表示G 吗？生一起探究,a 、b 是同号的Gba G ，G=±ab ，G 2=ab . 师观察学生所得到的a 、b 、G 的关系式，并给予肯定.补充练习：与等差数列一样，等比数列也具有一定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍，即a n -k +a n +k =2a n .对于等比数列来说，有什么类似的性质呢？生独立探究，得出：等比数列有类似的性质：a n -k ·a n +k =a n 2.探究1： (1)一个数列a 1,a 2,a 3,…,a n ,…(a 1≠0)是等差数列，同时还能不能是等比数列呢？ (2)写出两个首项为1的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？写出两个公比为2的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？ (3)任一项a n 及公比q 相同，则这两个数列相同吗？ (4)任意两项a m 、a n 相同，这两个数列相同吗？ (5)若两个等比数列相同，需要什么条件？师引导学生探究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学生回答. 生探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流(1)的解答. ［教师精讲］概括总结对上述问题的探究，得出：(1)中，既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每一个非零常数列都是公差为0，公比为1的既是等差数列又是等比数列的数列. 概括学生对(2)(3)(4)的解答.(2)中，首项为1，而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为2，而首项不同的等比数列也是不会相同的.(3)中，是指两个数列中的任一对应项与公比都相同，可得出这两个数列相同； (4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同； (5)中，结论是：若两个数列相同，需要“首项和公比都相同”.(探究的目的是为说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件；为等比数列的通项公式的推导做准备) ［合作探究］师回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？生推导等比数列的通项公式.［方法引导］师让学生与等差数列的推导过程类比，并引导学生采用不完全归纳法得出等比数列的通项公式.具体的，设等比数列{a n }首项为a 1，公比为q ，根据等比数列的定义，我们有： a 2=a 1q,a 3=a 2q=a 1q 2,…,a n =a n -1q=a 1q n -1，即a n =a 1q n -1. 师根据等比数列的定义，我们还可以写出q a a a a a a a a n n =====-1342312..., 进而有a n =a n -1q=a n -2q 2=a n -3q 3=…=a 1q n -1. 亦得 a n =a 1q n -1.师观察一下上式，每一道式子里，项的下标与q 的指数，你能发现有什么共同的特征吗？生把a n 看成a n q 0，那么，每一道式子里，项的下标与q 的指数的和都是n .师非常正确，这里不仅给出了一个由a n 倒推到a n 与a 1，q 的关系，从而得出通项公式的过程，而且其中还蕴含了等比数列的基本性质，在后面我们研究等比数列的基本性质时将会再提到这组关系式.师请同学们围绕根据等比数列的定义写出的式子q a a a a a a a a n n =====-1342312...,再思考. 如果我们把上面的式子改写成q a a q a aq a a q a a n n ====-1342312,...,,,. 那么我们就有了n -1个等式，将这n -1个等式两边分别乘到一起(叠乘)，得到的结果是11-=n nq a a ,于是，得a n =a 1q n -1.师这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗？师在上述方法中，前两种方法采用的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明.第三种方法没有涉及不完全归纳法，是一个完美的推导过程，不再需要证明. 师让学生说出公式中首项a 1和公比q 的限制条件. 生 a 1，q 都不能为0.［知识拓展］师前面实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那里是用什么方法解决问题的呢？教师出示多媒体课件三：前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或习题.某种储蓄按复利计算成本利息，若本金为a 元，每期利率为r ，设存期是x,本利和为y 元.（1）写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式；（2）如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.师前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是用函数的知识和方法解决问题的.生比较两种方法，思考它们的异同.［教师精讲］通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等比数列和指数函数可以联系起来.(1)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为a n =2 n -1的数列的图象和函数y=2x-1的图象，你发现了什么？(2)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为1)21(-=n n a 的数列的图象和函数y=(21)x-1的图象，你又发现了什么？生借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象，然后交流、讨论、归纳出二者之间的关系.师出示多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象.观察它们之间的关系，得出结论：等比数列是特殊的指数函数，等比数列的图象是一些孤立的点.师请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个角度类比等差数列与等比数列，并填充下列表格：课本P50例1、例2、P58例3 解略。

高中数学课题第2.4 等比数列 (第一课时)教案新课标人教A版必修5.doc

课题第2.4 等比数列（第一课时）教学目标1、知识与技能：1、掌握等比数列的定义；2、理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；3、运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。

2、过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念，通过对等比数列定义和通项公式的探求，引导学生运用观察、类比、分析、归纳的推理方法，提高学生的逻辑思维能力，培养学生良好的思维品质。

3、情感、态度与价值观：1、培养学生的发现意识；2、提高学生的创新意识；3、提高学生的逻辑推理能力；4、增强学生的应用意识。

教学重点和难点：本节重点是等比数列定义、通项公式的探求及运用。

本节难点是等比数列通项公式的探求。

教学方法:比较式教学法与问题引导式教学法相结合。

教学过程：一、复习回顾回顾等差数列的定义，等差中项的定义，通项公式及通项公式的探求方法。

二、新课1、引入：观察下列数列，找出规律填空，并找出它们的共同特点：（1）1，2，4，（），16，…；（2）3，9，（），81，…；（3）1， 1/2，1/4， 1/8，（），…；特点：q a a 12=，q a a 23=，…，q a a n n 1-=q a a =12，q a a =23，…q a a n n =-1，（类比等差数列定义让学生给出等比数列定义）2、等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，常用字母q 表示(0≠q ) 符号语言：q a a n n =+1 ，)1(1>=-n q a a n n 1342312a a a a a a a a q n=====Λ注意：任一项00≠≠q a n 且引导学生对定义进行认识和理解。

练习1:判断下列数列是否等比数列，不是等比数列说明理由，是等比数列的求出公比。

（1）1，-1/3，1/9，-1/27，…（2）1，2，4，8，12，16，20，…（3）数列﹛a n ﹜的通项公式为a n =132n • （4）1，1，1，…，1（5）0，0，0，…引导学生对等比数列定义再认识和进一步理解。

人教A版高中数学必修5-2.4《等比数列》教案

《等比数列》一、三维目标1.知识与技能目标：理解并掌握等比数列的定义和通项公式，并加以初步应用。

2.过程与方法目标：通过概念、公式的教学，渗透类比思想、函数思想以及从特殊到—般等数学思想，着重培养学生观察、比较、概括、归纳、演绎等方面的思维能力，并进—步培养运算能力，分析问题和解决问题的能力，增强应用意识。

3.情感态度与价值观目标：在传授知识培养能力的同时，培养学生勇于探求，敢于创新的精神，同时帮助学生树立克服困难的信心，培养学生良好的学习习惯意志品质。

二、教学重点等比数列的定义及通项公式三、教学难点灵活应用定义式及通项公式解决相关问题四、教学过程1.创设情境，导入新知教师提出问题：什么是等差数列以及等差数列的通项公式。

以此引出在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。

引出课题：等比数列。

2.师生交流，探索新知活动一：初步感知等比数列通过以下四个例子：细胞分裂模型、一次之锤、储蓄中复利的计算、计算机病毒的传播。

让同学们写出相应数列。

请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列的共同特征（从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数），结合等差数列的定义，自主推导出等比数列的定义。

接着师生共同总结得出等比中项的概念即如果在a、b中间插入一个数G，使a、G、b成等比数列，那么G就叫a、b的等比中项，老师提问：这时a、b的符号有什么特点？你能用a和b表示G吗？学生给与回答。

老师再次提出问题：既是等差又是等比数列的数列存在吗？同学们探究得出既是等差又是等比数列的数列是非零常数列活动二：合作交流，深入探究在此环节老师引导大家一起看探究题。

提出问题1：如果一个等比数列的首项为a1，公比为q，请写出这个数列的前4项，且归纳出其通项公式。

学生类比等差数列通项公式推导方法，推出等比数列的通项公式是此为不完全归纳法，为探讨公式是不是适合所有的等比数列，老师引导大家围绕等比数列的基本概念，从等比数列的定义出发，运用各式相乘；验证公式。

高中数学 2.4等比数列教案(3) 新人教A版必修5

等比数列（一）教学设计教材分析：等比数列是一种特殊的数列，它有着非常广泛的实际应用：如存款利息、购房贷款、资产折旧等一些计算问题．教材将等比数列安排在等差数列之后，有承前启后的作用．一方面与等差数列有密切联系，另一方面为进一步学习数列求和等有关内容做好准备．设计理念：长期以来的课堂教学太过于重视结论，轻视过程．为了应付考试，为了使公式定理应用达到所谓“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化．在概念公式的教学中往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用公式的解题机器，这样的学生面对新问题就束手无策．数学是思维的体操，是培养学生分析问题，解决问题的能力及创造能力的载体，新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生有追求过程的体验．基于以上原因，在设计本节课时，我考虑的不是简单地告诉学生等比数列的定义及其通项公式，而是将内容按照“问题情境——学生活动——数学建构——数学运用——回顾反思”的顺序展开，通过列举生活中的大量实例，给出等比数列的实际背景，让学生自己去发现，去探索其意义，公式．从发现等比数列定义及通项公式的过程中让学生体会到：有些看似陌生的知识并不都是高不可攀的事情，通过我们的努力，也可以做一些看似数学家才能完成的事．在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大地激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题，解决问题的能力，培养了他们的创新能力，这正是新课程所倡导的教学理念．教学目标：A．知识目标：理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式．B．能力目标：（1）通过公式的探索，发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力．（2）通过通项公式的探求过程，培养学生用不完全归纳法去发现并解决问题的能力．C．情感目标：（1）公式的发现反映了普遍性寓于特征性之中，从而使学生受到辨证唯物主义思想的熏陶．（2）通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯以及实事求是的科学态度．（3）培养学生勇于探索、善于猜想的学习态度，调动学生主动参与课堂教学的积极性，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感．教学重点、难点：等比数列的定义、通项公式的推导；通项公式的初步应用．教学方法：发现式教学法，类比分析法．教学多媒体选择：电脑．教学过程：一、问题情境首先请同学们看以下几个事例：（电脑显示）情境1：国王奖赏国际象棋发明者的事例，发明者要求：在第1个方格放1颗麦粒，在第2个方格上放2颗麦粒，在第3个方格上放4颗麦粒，在第4个方格上放8颗麦粒，依此类推，直到第64个方格子．国王能否满足他的要求呢?情境2：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”情境3：某轿车的售价约36万元，年折旧率约为10%（就是说这辆车每年减少它的价值的10%），那么该车从购买当年算起，逐年的价格依次为多少？问题1：上述例子可以转化为什么样的数学问题？问题2：上述例子有何共同特点？二、学生活动通过观察、联想，发现：1、上述例子可以与数列联系起来．（有了等差数列的学习作基础）2、得到以下3个数列：① 1，2， 22，…，263② 1，12，14， (12)⎛⎫ ⎪⎝⎭，… ③ 36，36×0.9，36×092，…，36×09n ，…通过讨论，得到这些情境的共同特点是从第二项起，每一项与它前面一项的比都相等（等于同一个常数）．三、数学建构1、问题：①②③这样的数列和等差数列一样是一类重要的数列，谁能试着给这样的数列取个名字？（学生通过联想、尝试得出最恰当的命名）等比数列2、归纳总结，形成等比数列的概念．一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．（引导学生经过类比等差数列的定义得出）3、对等比数列概念深化理解问题1：上述三例的公比分别为多少？问题2：你能举一个公比小于0的等比数列吗？问题3：等比数列与等差数列在定义上有许多密切关系，那么有没有这样的数列，它既是等差数列又是等比数列呢？问题4：形如a ，a ，a ，…（R a ∈）的数列既是等差数列，又是等比数列对吗？（对问题4，学生作短暂的讨论）（1）形如a ，a ，a ，…的数列一定是等差数列，但未必是等比数列．当a =0时，数列的每一项均为0，不能作比，因此不是等比数列；当a ≠0时，此数列为等比数列．（2）等比数列的各项均不为0，且公比也不为0．4、问题：刚才我们得到了等比数列的概念，是用文字语言来表达的，但是在使用时往往需要符号化，下面试将等比数列定义的内容用数学表达式写出．（提示可类比等差数列，由学生活动得出）（1）对于数列{}n a ，若1n na q a +=（*∈N n ，q 为常数），则称这个数列为等比数列，常数q 叫做等比数列的公比．（2）{}n a 是等比数列⇔1n na q a +=（*∈N n ，q 为常数），此式可来证明一个数列是否为等比数列．5、探索问题：在学习等差数列时，我们可以用公差d ，项数n 以及首项1a 表示数列的任一项，也就是可以表示它的通项公式n a ，那么在等比数列{}n a 中，要表示该数列，需先确定几个条件？怎样用这些条件来表示这个等比数列的每一项？（启发引导，类比等差数列，让学生大胆尝试，讨论回答）（1）知道等比数列的首项和公比就可以求出这个等比数列的任何一项．（2）学生1：∵21a a q =， ()23211a a q a q q a q ===，()234311a a q a q q a q ===，……∴11n n a a q -=．（3）学生2：∵ 1n n a q a +=，∴1n n a q a -=，12n n a q a --=，…，32a q a =，21a q a =．将各式相乘便有11n n a q a -=，∴11n n a a q -=（*∈N n ，2≥n ），当1n =时，11n n a a q -=两边均为1a 即等式也成立，说明上式当*n N ∈时都成立．教师点评：（1）寻找通项即寻找项的一般规律，常可先看特殊项，写出几项，再归纳出一般结论，这是探索数列问题常用的一种方法，叫不完全归纳法，但这种方法得出的通项公式还不够严谨，须对其进行证明．（2）方法2就是对方法1得到的结论的一种证明，叫做叠乘法．与推导等差数列通项公式用到的叠加法类似，都必须注意对第一项是否成立进行补充说明．6、问题延伸：对于这个通项公式，我们可以从哪几个方面去认识它呢？（这不是第一次遇到这类公式，在讲等差数列时已讨论过，学生应该知道从什么角度去认识公式）学生类比等差数列得：（1）可以从函数观点去认识，把通项看成n 的解析式．（2）还可以从方程观点去认识，把通项看成一个方程．师生共同小结：（1）当1q =时， 1a a n =，点(),n n a 在直线y=1a 上．当1q ≠时，函数图象类似于指数函数图象，但它的图象是由一些孤立的点组成．（2）从方程的观点去考虑，方程中有四个量，在n a ，1a ，q 和n 中只要知道其中三个便可求第四个，请学生举例编题（应能编出四类问题）．四、数学运用1、例题例1 判断下列数列是否是等比数列?（电脑显示） ①11111,,,,24816--； ②1，2，4，8，16，20；③1，1，1，1，1；④－1，－2，－4，－8，－16；⑤数列{}n a 的通项公式为.)31(21--=n n a解据数列的定义可知：数列①③④⑤都是等比数列，②不是等比数列．讨论：1、对于等比数列{}n a ，若q >1，则{}n a 一定是递增数列；若0<q <1，则{}n a 一定是递减数列，对吗?（学生例举反例④⑤，判断此结论不正确）2、你能知道等比数列何时为递增数列，何时为递减数列吗?引导学生从函数的角度去讨论通项公式，结合复合函数的单调性研究，得到：当q >1， 1a >0或0<q <1， 1a <0时， {}n a 是递增数列；当q >1， 1a <0或0<q <1， 1a >0时， {}n a 是递减数列；当q ＝1时， {}n a 是常数列；当q <0时，{}n a 是摆动数列．例2 在等比数列{}n a 中，已知3a =20，1206=a ，求n a ．解设等比数列的公比为q ，则⎩⎨⎧==160205121q a q a ，解得 ⎩⎨⎧==251q a ．故11125--⨯==n n n q a a ．反思这种类型的题目主要是方程思想的应用，应用过程主要是三个步骤：设、列、求．2、练习：教科书第50页第1（1）、（3），2，3题．五、回顾小结1、本节课研究了等比数列的概念，得到了其通项公式；2、在研究内容与方法上要与等差数列相类比，把握它们的区别和联系；3、用函数与方程的思想认识通项公式，并加以应用；4、在发现等比数列的定义及其通项公式过程中用了观察，归纳，猜想等数学方法，体现了由特殊到一般的数学思想；在判断数列是否是等比数列及将等比数列与函数图象联系时体现了数学中的分类讨论思想．（小结可先由学生叙述，教师进行补充和整理，小结的目的一方面让学生再次回顾本节课的活动过程、重点、难点所在；另一方面，更是对探索过程的再认识，对数学思想方法的升华，对思维的反思，可为学生以后解决问题提供经验和教训．）为突出与等差数列的对比，可让学生自己填写下表．六、课外作业教科书第48页练习第1题、第3题，第52页习题2．3第1题、第2题（1）、第3题．课后思考：对照等差数列，试猜想等比数列的一些相应性质．七、板书设计八、教学反思对本节课的教学实践与效果进行总结和反思，我认为有以下几点值得探索与反思．1、等比数列是在等差数列之后介绍的，学生对等差数列的研究内容和研究方法已有了一定的了解．因此在教学方法上突出了类比思想的使用，为学生创造好使用的条件，引导学生自己研究等比数列相关内容如定义、表示方法、通项公式．这样从学生的最近发展区出发，不仅符合学生的认知规律，而且充分发挥了学生的主体作用．2、在教学过程中，尽可能“指着走”（在教师的启发与点拨下，学生自主展开），而不是“抱着走”．如：对于等比数列的通项公式应从哪几方面去认识？我只是指出这一研究方向，点拨一下方法（类比等差数列），让学生去联想，去探究，去归纳，去总结；在从方程的观点去认识通项公式时，我让学生自己编题，这样既达到了考查的目的，又发挥了其主观能动性．不过，“教师怎样才能真正成为学生的组织者、引导者、合作者？”，“怎样才能真正做到关注学生的需要，让学生自己也能成为教学的生长点？”这些问题还需值得继续深入思考和探索．3、在进行教学总结时，我指导学生进行规律性知识（等比数列的定义、通项公式）与方法论知识（不完全归纳法、类比法）的归纳总结，通过“多面互动”，让学生自主建构，在动态中生成，从而达到培养学生概括能力的目的．。

人教A版高中数学必修5第二章数列2.4 等比数列教案

研究性学习：“雪花曲线的初步探究”教学设计一、目的要求1.能力目标:培养学生搜集资料,分析资料,提出问题,解决问题,得出科学结论的数学研究能力、创新能力以及人际交往能力和协作能力.2.知识目标:使学生进一步巩固数列的基础知识;培养学生应用数列知识解决实际问题的能力;使学生初步了解分形(Ｆｒａｃｔａｌ)这门新型学科.3.情感目标:培养学生对待知识的科学态度和辩证唯物主义观点.二、内容分析1．“研究性课题”是本套教科书的一个专题性栏目，也是本套教科书的特色之一。

在“研究性课题”里讨论的问题，一般具有专题性，应用性和探究性。

它既是所学知识的实际应用，又对学生探究问题和解决问题具有较好的训练价值。

它与教科书中的“实习作业”有一定的共同点，但“实习作业”更偏重于实践性，而“研究性课题”则显得探究性更强。

2．数学研究性学习以培养学生的数学创新意识和实践能力为目的,主要通过与数学学科内容相关的课题,在教师的指导下,学生作为主体参与、体验问题提出和解决的全过程,使学生不但发展思维能力,而且逐渐领悟到数学科学研究的基本过程和方法, 提高学生的科学精神和人格素质。

3．“数学研究性学习”的突出特点主要体现在以下几个方面：⑴较高的抽象性。

数学是“一种研究思想事物的科学”，决定了数学研究性学习的较高的抽象性。

这种抽象性表现在它的特殊抽象内容、特殊抽象方法、特殊抽象程度。

如果说其他学科研究可以采用实验的手段，那么数学研究经常借助的是“思想实验”。

⑵广阔的开放性是研究性学习的基本特点。

数学科学体系本身是开放的，学生的思维活动也是开放性的，数学为学生个体施展才华提供了广阔的知识空间。

数学研究需要思维自由想象基础上的选择与构造，决定了数学研究性学习有着广阔的开放性。

数学研究性学习与传统的数学教学活动相比,在学习的内容、方式、时间和地点以及研究过程、方法和结果等方面具有明显的开放性。

⑶较深刻的探究性数学是培养创造性思维的优良载体，决定了数学研究性学习有着较深刻的探究性。

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