天津市河西区2009届高三下学期总复习质量调查(一)(数学理)

河西区2008-2009学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）数学试卷（理科）（1） 已知全集,U R =集合22||4|,||20|A x x B x x x =<=->，则()U A B ð等于A (,2)-∞B (0,2)C [0,2)D [0,2]（2） 复数21ii -的共折轭数是 A 1i - B 1i + C 1i -- D 1i -+（3） A 、B 两名同学载5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若A 、B 两人的平均成绩分别是X A ,X B ，则下列结论正确的是A X A <XB ,B 比A 成绩稳定 B X A >X B ,B 比A 成绩稳定C X A <X B ,A 比B 成绩稳定 C X A >X B ,A 比B 成绩稳定 （4）圆3cos 1,(3cos 2x y θθθ=+⎧⎨=-⎩为参数）的圆心到直线4632x t y t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数）的距离是 A 1 B 85C125D 3 （5）若函数(),()f x g x 的定义域和值域都是，R ，则()()()f x g x x R >∈成立的充要条件是A 000,()()x R f x g x ∃∈>B 有无穷多个x R ∈，使得()()f x g x >C ,()()1x R f x g x ∀∈>+ C R 中不存在x 使得()()f x g x ≤（6）一致 D 为ABC ∆的边BC 上的重点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足PA BP CP O ++= ，则||||PD AD等于 A13 B 12C1 D 2（7）为得到函数cos(2)()3y x x R π=+∈的图像，只需将函数，sin 2()y x x R =∈的图像A 向左平行移动6π个单位长度 B 向右平行移动12π个单位长度C 向右平行移动512π个单位长度D 向左平行移动512π个单位长度（8）已知函数()f x 满足2132()()f x f x x-=，则()f x 的最小值是A 2B 22C 3D 4（9）设O 为坐标原点，(1,1)A ，若点B 满足222211212x y x y x y ⎧+--+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则OA OB 的最小值是AB 2 C3D 2+(10)已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≥时，12()22xf x x =-，有a 是函数2()l n (1)g x x x=+-的零点，则(2),(),(1,5)f f a f -的大小关系是A (1.5)()(2)f f a f <<-B (2)(1.5)()f f f a -<<C ()(1.5)(2)f a f f <<-D (0.5)(2)()f f f a <-<第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大提共6小题，每小题4分，共24分，请将答案直接填在题中横线处） （11）以双曲线2244x y -=的中心为顶点，右焦点的抛物线方程是（12）执行右边的程序框图，则输出的结果S （13）已知一个实心铁质的集合体的正视图，侧视图和俯视图都是半径为3的圆，将8个这样的集合体溶成一个实心的球，则该球的表面积为 （14）如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知AD =8AC =,圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC已知8AD AC ==圆O 到AC 的距离为（15）函数()1)1f x a a =≠-在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是 （16）将6名学生分配到3个社区参加社会实践活动，每个社区至少分配1名学生的不同分配方案共有 种（用数字做答）三、简答题（本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （17）（本小题满分12分）已知3sin cos (0,4),sin(),(,)4542a a a πππββ+=∈-=∈ （I ） 求sin 2tan 2a a 和的值 （II ）求cos(2)αβ+的值（18）（本小题满分12分）一个口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5，6的6个球，从中任取3个，用ε表示取出的3个球中的大编号。

（I ） 用ε的分布列 （II ） 求ε的数学期望和方差（19）（本小题满分12分）如图：已知长方体1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是边长为4的正方形，高1AA =P 为1CC 的中点（I ） 求证：1BD A P ⊥（II ） 求二面角1A PD B --的余弦值（20）（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x r C a b a b+=<<的离心率为12，椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点落在直线2x a =上（I ） 求椭圆C 的方程；（II ）设(4,0),,p M N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两点，连接PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率范围并证明直线ME 与x 轴相交顶点。

（21）（本小题满分14分）已知函数3222()1,()14f x x ax a x g x x ax =--+=--，其中实数0a ≠ （I ） 求函数()f x 的单调区间；（II ）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存最在小值时，记()g x 的最小值为()h a ，求()f a 的值域（III ）若()()f x g x 与在区间(,2)a a --+内均为增函数，求a 的取值范围。

（22） （本小题满分14分）若有穷数列12,,...(n a a a n 是正整数），满足1211,,...,n n n a a a a a a -===即1i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤）就称该数列为“对称数列”（I ）已知数列{}n b 是项数为7的对称数列，且1234,,,b b b b 成等差数列，25,37b b ==试写出n b 的每一项；（II ）已知n c 是项数21(1)k k -≥的对称数列，且121,,...k k k c c c --构成首项为70，公差为-4的等差数列，数列{}cn 的前21k -项和为21k S -取到最大值并求此最大值；（III ）对于给定的正整数1m >，试写出所有项数不超过2m 的对称数列，使得1，2，22，……2m-1称谓数列中的连续项；当1200m >，试求其中该数列的前2009项的和2009T参考答案及评分标准填空题（每小题4分，共24分）11 2y = 12 10 13 144π 14 15 (,0)(1,4];-∞ 16 540三、 解答题（共76分，以下各题文累积得分，其他解法请相应给分）17解：(I)由题意得29(sin cos )5a a +=，即91sin 25a +=，4sin 25a ∴=，……3分又2(0,)2a π∈，3cos 25a ∴=，……4分sin 24tan 223a a cos a ∴==……6分 （II ）(,),(0,)4244ππππββ∈-∈ ， 4cos(),45πβ∴-=于是24sin 2()2sin()cos()44425πππβββ-=--=又247sin 2()cos 2,cos 2,2(,),sin 2.425225ππββββπβ-=-∴=-∈∴=又……8分又21cos 24cos ,cos25a a a +==∴=……10分247cos(2)cos cos 2sin sin 2()2525a a a βββ∴+=-=-= ……12分18 解：(I) 最大编号ξ分别为3，4，5，6。

33361(3)20C P C ξ===，……2分2131363(4)20C C P C ξ=== ……4分 21413663(5)2010C C P C ξ====，……6分 215136101(6)202C C P C ξ====……8分，即分（II ）ξ的数字期望133121345620201024E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=……10分 ξ的方差……12分19 解：(I)证明：连结111111,,AC AC ABCD A B C D - 是长方体， 1A A ∴⊥面ABCD又BD ⊂面ABCD ，1BD A A ∴⊥，又ABCD 是正方形，1,BD AC AC A A A ∴⊥=BD ∴⊥面1A AC ，即BD ⊥11面A ACC ……3分又111A P A ACC ⊂面，1BD A P ∴⊥……6分 （II ）如图，以D 为原点建系，由题意的(0,0,0)D(4,4,0),A B P ……6分于是(4,4,0),(0, 4.BD PD =--=--1(4,0,AD =-- ，设1n ⊥面BDP 222221121321321163(3)(4)(5)(6)4204204104280D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=不妨设1(,,2),n x y =由4470)40x x y y ⎧--=⎧=⎪⎪⎨⎨--=⎪=⎪⎩⎩得1n =……8分设2n ⊥ 面1A DP，不妨设240(,,2),40x x n x y y y ⎧⎧--==-⎪⎪=⎨⎨--==⎪⎪⎩⎩ 由得2(2,2)n ∴=……9分 若1n 与2n 的夹角θ，则1212cos 14||||n n n n θ===……11分 据分析二面角1A PD B --是锐角，∴二面角1A PD B --……12分20 解：(I)由题意知12c e a ==故2a c =……1分 又222c a b =+设椭圆中心O 关于直线250x y --=的对称点为'O ， 于是'OO 方程为1,2y x =-……2分 由12250y x x y ⎧=-⎪⎨⎪--=⎩得线段'OO 的中点为（2，-1），从而'O 的横坐标为4 故2224,1,3,a c b =∴==∴椭圆的方程为2243x y +=1……4分 （II ）由题意知直线PN 存在斜率，设直线PN 的方程为22(4)143x y y k x =-+=代入并整理得2222(34)3264120k x k x k +-+-= ①……6分由222(-32)4(3412)0k k ∆=-+->，得2410k -<又0k =不合题意110022k k ∴-<<<<或……8分 设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -由①知221222326412,1,23434k k x x x x k k -+==++……9分直线ME 方程为221221()y y y y x x x x -=--……10分令0y =得221221()y x x x x y y -=-+，将2211(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理得 12121224()8x x x x x x x -+=+-，再将21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+代入计算得1x =∴直线 ME x 与轴相交于顶点（1，0），……12分 21解：(I)22'()32f x x ax a =-- ……2分 3()()3ax a x =-+① 若0a >,则当3a x <-或x a >时'()0,3af x x a >-<<当时，内是增函数，在 (-,)3aa 内是减函数 ，……4分 ② 若0,-'()0,-'()033a aa x a x f x a x f x <<>><<<则或时，当时，()(,)(-,)3a f x a ∴-∞+∞在和内是增函数，在(,-)3aa 内是减函数……6分（II ）由题意知3222114x ax a x x ax --+=--得2(24)0x x a -+=……7分22[(4)]0x x a --=恰有一根（含重根 ）240.-22,0.[2,0)(0,2]a a a a ∴-≤≤≤≠∴∈- 即又……8分又2244()()1,()1,[2,0)g x a x h a a aa a=-+++∴=+∈-又 ()h a ∴的值域为(,]3a -∞-和(,+)a ∞内是增函数，()g x 在2(,)a-∞-内是增函数，由题意的02322a a a a a ⎧⎪>⎪⎪-+≤-⎨⎪⎪-+≤-⎪⎩解得2a ≥12分'()0(),-)(,)3f x af x a <∴∞+∞在(-和当0,()(-,)(-,)3a a f x a <∞+∞时在和内是增函数，()g x 在2(,)a-+∞内是增函数 由题意得032a a a a a ⎧⎪<⎪⎪-≥-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩解得a ≤综上知实数a的取值范围为(,[2)-∞ ……14分22 解（I ）设1234,,,b b b b 公差为d ，由115,27b d b d +=+= 得13,2b d ==……1分∴数列{}n b 为3，5，7，9，7，5，3，……2分（II ）21121121121......2(...)k k k k k k k k k S c c c c c c c c c c --+-+-=+++++=+++-……3分 又121...k k k c c c +-+++=2(1)70(4)2722k k k k k -+-=-+……4分 22214144704(18)1226k S k k k -∴=-+-=--+（III ）所有可能的“对称数列”是①1，2，222122...2,2,2,...2,2,1;m m m --- ②221121,2,2,...2,2,2,2,...2,1m m m m ----③122212,2,...2,2,1,2,2,...2m m m ---④1222212,2,...2,2,1,1,2,2,...2,2m m m m ----……9分当221222010200912201012002008,122...222 (222)21...11m m m m m m m m S ------<≤=++++++++=+--时分对于②当2200820092009122...221m ≥=++++=-2009时S 当221122009220092200922200912002008,S 12+2+...+2222+...+2212222112m m m m m m m m m m m ------+-<≤=++++=-+-=--时。