2018年九年级数学上册全册教案
2017-2018学年人教版初中数学九年级数学上册全套电子版教案
2017-2018学年人教版初中数学九年级数学上册全套教学案(这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)九年级数学(上)(配人教地区使用)(这是边文，请据需要手工删加)第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．重点通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．活动1 复习旧知1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1x＋1＝0 (4)x 2＝13．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程．1．教材第2页 问题1. 提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程．2．教材第2页问题2.提出问题：(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？(3)如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．提出问题：本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？活动3归纳概念提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？(3)归纳一元二次方程的概念．1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？(3)2x2－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．活动4例题与练习例1在下列方程中，属于一元二次方程的是________．(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)1x2＋1x＝2；(4)2x2－2x(x＋7)＝0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．例2教材第3页例题．例3以－2为根的一元二次方程是()A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．练习：1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)4x 2＝81；(2)(3x －2)(x ＋1)＝8x －3. 3．教材第4页 练习第2题．4．若－4是关于x 的一元二次方程2x 2＋7x －k ＝0的一个根，则k 的值为________． 答案：1.a ≠1；2.略；3.略；4.k ＝4. 活动5 课堂小结与作业布置 课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？作业布置教材第4页 习题21.1第1～7题.21.2 解一元二次方程21．2.1 配方法(3课时) 第1课时 直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2＋c ＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex ＋f)2＋c ＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想． 难点通过根据平方根的意义解形如x 2＝n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程．一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题． 问题1：填空(1)x 2－8x ＋________＝(x －________)2；(2)9x 2＋12x ＋________＝(3x ＋________)2；(3)x 2＋px ＋________＝(x ＋________)2.解：根据完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)(p 2)2 p2.问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x 2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x ＝±3，如果x 换元为2t ＋1，即(2t ＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t ＋1变为上面的x ，那么2t ＋1＝±3 即2t ＋1＝3，2t ＋1＝－3 方程的两根为t 1＝1，t 2＝－2例1 解方程：(1)x 2＋4x ＋4＝1 (2)x 2＋6x ＋9＝2分析：(1)x 2＋4x ＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x ＋2)2＝1.(2)由已知，得：(x＋3)2＝2直接开平方，得：x＋3＝±2即x＋3＝2，x＋3＝－ 2所以，方程的两根x1＝－3＋2，x2＝－3－ 2解：略．例2市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10(1＋x)2＝14.4(1＋x)2＝1.44直接开平方，得1＋x＝±1.2即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2所以，方程的两根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2＝－2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.第2课时配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤．重点讲清直接降次有困难，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤．难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3x2－1＝5(2)4(x－1)2－9＝0(3)4x2＋16x＋16＝9(4)4x2＋16x＝－7老师点评：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p(p≥0)．如：4x 2＋16x ＋16＝(2x ＋4)2，你能把4x 2＋16x ＝－7化成(2x ＋4)2＝9吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？ (2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？ 问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m ，并且面积为16 m 2，求场地的长和宽各是多少？ (1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有此特征．(2)不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x 2＋6x －16＝0移项→x 2＋6x ＝16两边加(6/2)2使左边配成x 2＋2bx ＋b 2的形式→x 2＋6x ＋32＝16＋9 左边写成平方形式→(x ＋3)2＝25降次→x ＋3＝±5即x ＋3＝5或x ＋3＝－5 解一次方程→x 1＝2，x 2＝－8 可以验证：x 1＝2，x 2＝－8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m ，长为8 m .像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1 用配方法解下列关于x 的方程： (1)x 2－8x ＋1＝0 (2)x 2－2x －12＝0分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上． 解：略． 三、巩固练习教材第9页 练习1，2.(1)(2)．四、课堂小结 本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．五、作业布置教材第17页 复习巩固2，3.(1)(2)．第3课时 配方法的灵活运用了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重点讲清配方法的解题步骤． 难点对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)x2－4x＋7＝0(2)2x2－8x＋1＝0老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：略．(2)与(1)有何关联？二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±q；如果q＜0，方程无实根．例1解下列方程：(1)2x2＋1＝3x(2)3x2－6x＋4＝0(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．解：略．三、巩固练习教材第9页练习2.(3)(4)(5)(6)．四、课堂小结本节课应掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性．在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．五、作业布置教材第17页复习巩固3.(3)(4)．补充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值．(2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总是正数.21.2.2公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．重点求根公式的推导和公式法的应用．难点一元二次方程求根公式的推导．一、复习引入1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程(1)x 2＝4 (2)(x －2)2＝7提问1 这种解法的(理论)依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程．)2．面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式．)(学生活动)用配方法解方程 2x 2＋3＝7x (老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)．(1)先将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为1； (3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x ＋p)2＝q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．二、探索新知 用配方法解方程：(1)ax 2－7x ＋3＝0 (2)ax 2＋bx ＋3＝0如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac2a(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2＋bx ＝－c二次项系数化为1，得x 2＋b a x ＝－ca配方，得：x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b2a )2即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac4a 2∵4a 2>0，当b 2－4ac ≥0时，b 2－4ac4a 2≥0∴(x ＋b 2a )2＝(b 2－4ac 2a)2直接开平方，得：x ＋b2a ＝±b 2－4ac 2a即x ＝－b±b 2－4ac 2a∴x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a由上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac2a就得到方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1 用公式法解下列方程：(1)2x 2－x －1＝0 (2)x 2＋1.5＝－3x (3)x 2－2x ＋12＝0 (4)4x 2－3x ＋2＝0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 补：(5)(x －2)(3x －5)＝0 三、巩固练习教材第12页 练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)． 四、课堂小结 本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程； (2)公式法的概念；(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0；2)找出系数a ，b ，c ，注意各项的系数包括符号；3)计算b 2－4ac ，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果．(4)初步了解一元二次方程根的情况． 五、作业布置教材第17页 习题4，5.21.2.3 因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重点用因式分解法解一元二次方程． 难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)2x 2＋x ＝0(用配方法) (2)3x 2＋6x ＝0(用公式法)老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x 前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2.(2)直接用公式求解．二、探索新知(学生活动)请同学们口答下面各题．(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？ (2)等式左边的各项有没有共同因式？(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解． 因此，上面两个方程都可以写成：(1)x(2x ＋1)＝0 (2)3x(x ＋2)＝0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x ＝0或2x ＋1＝0，所以x 1＝0，x 2＝－12.(2)3x ＝0或x ＋2＝0，所以x 1＝0，x 2＝－2.(以上解法是如何实现降次的？)因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1 解方程：(1)10x －4.9x 2＝0 (2)x(x －2)＋x －2＝0 (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34 (4)(x －1)2＝(3－2x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？解：略 (方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积．) 练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( )A ．(x －3)(x －5)＝10×2，∴x －3＝10，x －5＝2，∴x 1＝13，x 2＝7B ．(2－5x)＋(5x －2)2＝0，∴(5x －2)(5x －3)＝0，∴x 1＝25，x 2＝35C ．(x ＋2)2＋4x ＝0，∴x 1＝2，x 2＝－2D ．x 2＝x ，两边同除以x ，得x ＝1 三、巩固练习教材第14页 练习1，2.四、课堂小结 本节课要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.五、作业布置教材第17页 习题6，8，10，11.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． 2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律．4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．重点根与系数的关系及其推导 难点正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．一、复习引入1．已知方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是6，则求a 及另一个根的值． 2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？3．由求根公式可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a .观察两式右边，分母相同，分子是－b ＋b 2－4ac 与－b －b 2－4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程，并填写表格：方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1·x 2 x 2－2x ＝0 x 2＋3x －4＝0x 2－5x ＋6＝0(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 之间有什么关系？(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1，x 2与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程，并填写表格：方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1·x 2 2x 2－7x －4＝0 3x 2＋2x －5＝0 5x 2－17x ＋6＝0小结：根与系数关系：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 的关系是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．即：对于方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ∵a ≠0，∴x 2＋b a x ＋ca＝0∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca(可以利用求根公式给出证明)例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积： (1)x 2－3x －1＝0 (2)2x 2＋3x －5＝0 (3)13x 2－2x ＝0 (4)2x 2＋6x ＝ 3 (5)x 2－1＝0 (6)x 2－2x ＋1＝0例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？ (1)x 2－22x ＋1＝0 (x 1＝2＋1，x 2＝2－1) (2)2x 2－3x －8＝0 (x 1＝7＋734，x 2＝5－734)例3 已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？)例4 已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值． 变式一：已知方程x 2－2kx －9＝0的两根互为相反数，求k ； 变式二：已知方程2x 2－5x ＋k ＝0的两根互为倒数，求k.三、课堂小结1．根与系数的关系．2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零． 四、作业布置1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．(1)x 2－5x －3＝0 (2)9x ＋2＝x 2 (3)6x 2－3x ＋2＝0 (4)3x 2＋x ＋1＝02．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值．3．已知方程x 2＋bx ＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b 的值.21.3 实际问题与一元二次方程(2课时)第1课时 解决代数问题1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．2．通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．3．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题． 难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系．一、引入新课1．列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？2．科学家在细胞研究过程中发现：(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(2)一个细胞一次可分裂成x个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3次分裂后共有多少个细胞？二、教学活动活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题．有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有________人患流感．第二轮传染后共有________人患流感．(2)本题中有哪些数量关系？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x＋1)人患了流感，第二轮有x(1＋x)人被传染上了流感．于是可列方程：1＋x＋x(1＋x)＝121解方程得x1＝10，x2＝－12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；二月(或二年)后产量为a(1±x)2；n月(或n年)后产量为a(1±x)n；如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.三、课堂小结与作业布置课堂小结1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．2．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．4．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．作业布置教材第21－22页习题21.3第2－7题．第2课时解决几何问题1．通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．2．通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．3．通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．难点在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．活动1创设情境1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．2．如图所示：(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．活动2自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动3变式练习如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．答案：路的宽度为5米．活动4课堂小结与作业布置课堂小结1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．作业布置教材第22页习题21.3第8，10题．。
九年级数学上册的全册教案4篇
九年级数学上册的全册教案4篇数学九年级上教案篇一本学期是初中学习的关键时期，进入初三，学生成绩差距较大。
教学任务非常艰巨。
因此，要完成教学任务，必须紧扣教学大纲，结合教学内容和学生实际，把握好重点、难点。
努力把今学期的任务圆满完成。
本着为了学生的一切为宗旨，把培养高素质人才作为目标，特制定本计划。
一。
完成九年级下册的内容1.掌握二次函数的概念，五种基本函数关系式，会建立数学模型来解决实际问题。
2.学会用逻辑推理的思想来证明等腰三角形，平行四边形，矩形，菱形，正方形等几何图形的性质定理。
3.加强学生对数学知识的认识方法，培养他们正确的学习方法。
4.通过关於图形和证明的教学，进一步培学生的逻辑思维能力。
与空间观念。
二。
本学期在提高教学质量上采取的措施。
1.改进教学方法，采用启发式教学。
2.注意教科书的系统性，使学生牢固掌握旧知识的基础上，学习新知识，明确新旧知识的联系。
3.注意发展学生探索知识的能力，提高学生分析问题的能力。
4.开放性问题、探究性问题教学，培养学生创新意识、探究能力。
5.鼓励合作学习，加强个别辅导，提高差生成绩。
三。
教学具体安排。
1.第一周。
平行四边形，矩形，菱形，正方形。
2.第二周。
等腰梯形，中位线，反证法，以及复习题3.第三周。
数据分析与决策。
4.4周。
复习数与式5.5周。
复习方程与不等式6.6周。
复习函数7.7周。
复习图形的认识8.8周。
复习图形与变换9.9周。
复习图形与坐标10.10周。
复习概率与统计11.11周。
复习课题学习12.12周。
模拟考试与讲评13.13周。
市检14.14周。
重要知识点的再梳理15.15周。
一些常见题的训练16.16周。
做往年的中考题17.17周。
考试方法和考试心理的辅导。
新人教九年级数学上册教案篇二教学目标：1、进一步理解函数的概念，能从简单的实际事例中，抽象出函数关系，列出函数解析式；2、使学生分清常量与变量，并能确定自变量的取值范围。
3、会求函数值，并体会自变量与函数值间的对应关系。
2018-2019最新人教版九年级数学上册全册教案
教学重点 教学难点 教具准备
主要教学过程 【活动 1】 学生根据所学知识填写课本第 2 页“思考”栏目，教师提问： ⑴所填的结果有什么特点？ ⑵平方根的性质是什么？ 根式吗？ 教 学 过 程
（学生可能碰到的困难：①是否会想到用字母表示数；②是否能概括出 a ≥0 这一 条件.） （备用问题）议一议： 1．-1 有算术平方根吗？ 2．0 的算术平方根是多少？ 3．当 a<0， a 有意义吗？
初中 九 年级（ 上 册）
教
案
科目 数 教师
学
2018 -2019 学年度 上 学期
周别 教学内容（课或章或单元）
二次根式 3 二次根式的乘法 3、加减 2 二次根式的加减 1、第 21 章复习 3 一元二次方程 2、解一元二次方程 3 解一元二次方程 5 实际问题与一元二次方程 5 第 22 章复习与检测 5 图形的旋转 3、中心对称 2 中心对称 1、 图案设计 1、 第 23 章复习与检测 3 圆 3、与圆有关的位置关系 2 与圆有关的位置关系 4 正多边形和圆 2、弧长和扇形面积 3 第 24 章复习与检测 阶段复习与段考 5 随机事件与概率 5 用列举法求概 4、用频率估计概率 1 用频率估计概率 1、课题学习 2,、 第 25 章复习与检测 期末复习 期末复习 期考、评卷、工作总结
1．形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式， “
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 【作业设计一】 一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A．- 7 B． 3 7 C． x D．x 3．B D． 2．D
2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A． 4 B． 16 C． 8
1 x
3．已知一个正方形的面积是 5，那么它的边长是（ ） A．5 B． 5 C．
九年级数学上册全册教案
九年级数学上册全册教案第一章：实数与代数式1.1 有理数教学目标：理解有理数的定义及其分类；掌握有理数的加减乘除运算规则；能够运用有理数解决实际问题。
教学内容：有理数的定义及分类；有理数的加减乘除运算规则；有理数在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 引入有理数的概念，解释有理数的定义及分类；2. 通过示例演示有理数的加减乘除运算规则；3. 练习题：运用有理数解决实际问题。
1.2 代数式教学目标：理解代数式的定义及其表示方法；掌握代数式的运算规则；能够运用代数式解决实际问题。
教学内容：代数式的定义及其表示方法；代数式的运算规则；代数式在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 引入代数式的概念，解释代数式的定义及其表示方法；2. 通过示例演示代数式的运算规则；3. 练习题：运用代数式解决实际问题。
第二章：方程与不等式2.1 方程的定义与解法教学目标：理解方程的定义及其解法；能够求解一元一次方程；能够运用方程解决实际问题。
教学内容：方程的定义及其解法；一元一次方程的解法；方程在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 引入方程的概念，解释方程的定义及其解法；2. 通过示例演示一元一次方程的解法；3. 练习题：运用方程解决实际问题。
2.2 不等式的定义与解法教学目标：理解不等式的定义及其解法；能够求解一元一次不等式；能够运用不等式解决实际问题。
教学内容：不等式的定义及其解法；一元一次不等式的解法；不等式在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 引入不等式的概念，解释不等式的定义及其解法；2. 通过示例演示一元一次不等式的解法；3. 练习题：运用不等式解决实际问题。
第三章：几何图形的性质3.1 三角形的性质教学目标：理解三角形的定义及其性质；能够运用三角形的性质解决实际问题。
教学内容：三角形的定义及其性质；三角形的分类；三角形在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 引入三角形的概念，解释三角形的定义及其性质；2. 通过示例演示三角形的性质；3. 练习题：运用三角形的性质解决实际问题。
2017-2018学年九年级上册数学全册教案(33份) 人教版2(免费推荐下载)
课题：二次根式的乘除一、教学目标.经历二次根式乘法法则的形成过程，会进行简单的二次根式的乘法运算..会利用积的算术平方根的性质化简二次根式.二、教学重点和难点.重点：二次根式的乘法法则..难点：二次根式的化简.三、教学过程（一）创设情境，导入新课师：前面我们学习了二次根式的概念和性质，从本节课开始我们要学习二次根式的乘除（板书课题：二次根式的乘除），这节课我们先学习二次根式的乘法.（二）尝试指导，讲授新课师：，并指准）这是一个二次根式，这也是一个二次根式，这两个二次根式怎么相乘呢？（稍停）还是让我们先来看几个具体的例子.师：⨯⨯于（边讲边板书：×）⨯）.师：，）.师：（指准等式）⨯⨯（边⨯.师：我们再来看一个例子.师：⨯⨯.（生计算）师：你算出的结果是什么？生：.（多让几名同学回答）师：⨯（边讲边板书：×），等于（边讲边板书：）.师：等于什么？大家算一算.（生计算）师：你算出的结果是什么？生：.（多让几名同学回答）师：）等于（边讲边板书：）.师：（⨯也等于，⨯⨯）.师：⨯⨯，从这两个等式，你能发现什么规律？（让生思考一会儿）师：⨯⨯生：……（多让几名同学回答）师：（⨯⨯也就是等于.师：⨯⨯.）师：等于什么？师：法法则）.师：于等于；因为也是被开方数，所以也必须大于等于（边讲边板书：(≥≥)）.师：下面我们利用二次根式的乘法法则来做几个题目.（师出示例）例计算：⨯；⨯（以下师边讲解边板书，解题过程如课本第页所示）（三）试探练习，回授调节.计算：⨯⨯（四）尝试指导，讲授新课师：简.怎么化简？）.师：×？哪位同学知道？（让生思考一会儿，再叫学生）生：……（让一两名学生发表看法）师：（指准式子），所以反过来，..师：化简的目的是把被开方数中的因数开方后移到根号外，化简时要用到一个等式，这个等式）.师：个等式反过来得到的.师：下面我们来化简几个二次根式.（师出示例）例化简：；（师边讲解板书，()()小题解题过程如课本第页所示，()小题解题过程如下）（()小题教学时，暂时不要说明本章字母都表示正数这个约定，以免使问题复杂化）（五）试探练习，回授调节.化简：（六）归纳小结，布置作业那个题）这就是二次根式乘法法则；运用法则后，如果得到的二次根式还可以化简，就要化简二次根式.化简的目的是把像这样的因数或因式开方后移到根号外.（作业：练习.） 四、板书设计课题：二次根式的乘除（第课时）一、教学目标.会进行二次根式的乘法运算. .培养学生的运算能力. 二、教学重点和难点.重点：二次根式的乘法运算. .难点：正确地进行乘法运算. 三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知 .(≥，≥)⨯⨯.化简：（二）创设情境，导入新课（师出示下面的板书）≥≥)(≥≥)师：上节课我们学习了二次根式的乘法法则和二次根式的化简.（指准板书），利用用这个等式可以化简二次根式.师：（指准板书）会运用乘法法则，会化简二次根式，就会做二次根式乘法了.为什么这么说？（稍停）因为做二次根式的乘法实际上就是做这两件事，一件事是运用乘法法则，一件事是化简二次根式.师：下面我们来做几个二次根式乘法的题目.（三）尝试指导，讲授新课（师出示例题）⨯；()⨯；⨯（()()小题第一步运用法则，第二步化简；()小题第一步化简，第二步运用法则，第三步化简.教学时，师边讲解边板书，()()小题的解题过程如课本第页所示，()小题的解题过程如下）⨯⨯⨯师：（指例题）我们做了三道二次根式的乘法，从这三道题目，哪位同学会归纳做二次根式乘法的步骤？生：……（让一两名好生归纳）师：（指准()小题）做二次根式的乘法，第一步：先看二次根式能不能化简，如果能化简先要化简；第二步：运用二次根式的乘法法则；第三步：再看所得的二次根式能不能化简，如果能化简还要化简.简单地说，就是化简——运用法则——再化简.（四）试探练习，回授调节.计算：⨯()⨯⨯⨯.和，则这个矩形的面积为.（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们做了几道二次根式的乘法，请大家在脑子里想一想，做二次根式乘法的步骤是什么？（让生想一会儿）（作业：习题1.4.5.）四、板书设计课题：二次根式的乘除（第课时）一、教学目标.知道二次根式的除法法则，会运用法则进行简单的二次根式的除法运算..会利用商的算术平方根的性质化简二次根式.二、教学重点和难点.重点：二次根式的除法法则..难点：二次根式的化简.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知.计算：（二）创设情境，导入新课师：前面我们学习了二次根式的乘法，这节课我们要学习二次根式的除法（板书课题：二次根式的乘除）（三）尝试指导，讲授新课师：谁来说说二次根式的乘法法则？（板书：乘法法则）生：……（让一两名学生回答）≥≥)），这就是二次根式的乘法法则.师：二次根式的除法法则也是类似的（板书：除法法则）.等于什么？（让生思考一会儿再师：叫学生）生：……（让几名学生发表看法）.师：（指等式）在这个等式中，必须大于等于，必须大于（边讲边板书：(≥＞)）.师：（指准板书）这是二次根式的乘法法则，这是二次根式的除法法则，两个法则是类似的，大家仔细看一看，对比对比（生观察对比）.师：下面我们就利用除法法则来做几个题目.（师出示例）例计算：（四）试探练习，回授调节.计算：()÷÷（五）尝试指导，讲授新课师：÷）刚才我们做的这个题目的结果是什么？.还可以化简.怎么化简？）.？哪位同学知道？（让生思考一会儿，再叫学生）师：师：（指准式子）我们知道，.）.师：这样的二次根式还可以化简，化简的目的是把被开方数的分母开方后移到根号外，化简时要用到一个等式，这个等式就.师：得到的.师：下面我们利用这个等式来化简二次根式.（师出示例）例化简：；（师边讲解边板书，解题过程如课本第页所示）（六）试探练习，回授调节.化简：（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了二次根式的除法法则，）这个等式就是二次根式的除法法则，把这个等式反过来，（指等式），利用它可以化简二次根式.（作业：习题.）四、板书设计课题：二次根式的乘除（第课时）一、教学目标.会利用第二种方法（分母有理化）进行二次根式的除法运算..培养运算能力，渗透转化思想.二、教学重点和难点.重点：利用第二种方法进行二次根式的除法运算..难点：两种方法的选择.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知.填空：()(≥≥)；(≥＞).()（二）创设情境，导入新课师：≥＞)）这是二次根式的除法法则，上节课我们用这个法则做二次根式的除法.实际上，利用法则只是做二次根式除法的第一种方法（板书：第一种方法），做二次根式的除法还有第二种方法（板书：第二种方法）.师：那么，怎么用第二种方法做二次根式的除法呢？（三）尝试指导，讲授新课师：，分母成了2（边讲边板书：()2），讲边板书：b）.师：（指准板书）第二种方法是怎么做的呢？（稍停）第二种方法是通过分子分母同乘分母中的那个二次根式，来去掉分母中的根号，从而把二次根式的除法转化为二次根式的乘法.（如有必要可再讲一遍）师：下面我们就用第二种方法来做几个题目.（师出示例题）例计算：；.（师边讲解边板书，解题过程如课本第页所示）师：（指例题）做了几道题目，哪位同学能归纳用第二种方法做二次根式除法的步骤？生：……（让一两名好生归纳）师：（指准()小题）用第二种方法做二次根式的除法，一般有这么三步，第一步：个二次根式，去掉分母中的根号；第三步：做二次根式的乘法.师：按这样的步骤，下面请同学们自己来做几个题目.（四）试探练习，回授调节.计算：（五）尝试指导，讲授新课师：（指准板书）做二次根式的除法有这么两种方法，一种是利用法则来做，一种是去掉分母中的根号，把二次根式的除法转化为乘法来做.可能有同学会问：做题的时候，用哪一种方法做会更简单呢？这要看具体的题目.师：这个题目，（指准式子）被开方数除以，商是一个整数，用第一种方法比较简单.师：÷÷（指准式子）被开方数3 2除以118，商等于，商也是一个整数，也是用第一种方法比较简单.师：我们再来看这个例题，法比较简单.同样，（指()()题）这两个小题也是用第二种方法比较简单.师：总之，两个二次根式相除，如果它们的被开方数的商是整数，一般用第一种方法比较简单；如果商不是整数，一般用第二种方法比较简单.÷一种方法比较简单.之所以这样说，只是为了教学上的方便）（以下师出示写有下面式子的卡片，让生判断用哪种方法比较简单）÷（六）归纳小结，布置作业师：好了，最后我们把这节课的内容来小结一下.师：（指准板书）做二次根式的除法有两种方法，一种方法是利用法则来做，一种方法是去掉分母中的根号，把二次根式的除法转化为乘法来做.对任何一个二次根式的除法题，两种方法都可以做，但有的题目用第一种方法比较简单，有的题目用第二种方法比较简单.所以，同学们要学会根据题目的特点来选择合适的方法.（作业：习题）课外补充作业.选择合适的方法计算：÷四、板书设计课题：二次根式的乘除（第课时）一、教学目标.知道什么是最简二次根式，能把所给的二次根式化成最简二次根式..培养运算能力，发展数感.二、教学重点和难点.重点：最简二次根式..难点：最简二次根式的概念.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知.计算：÷（二）尝试指导，讲授新课师：刚才我们做了两道二次根式的除法，有同学是这样做的，大家看一看他做的对不对.师：（板书：÷÷他怎么做？利用法则，.师：（板书：）第()）.师：这位同学做的如何，你有什么评论？（让生思考一会儿，再叫学生）生：……（多让几名同学发表看法）师：这位同学利用法则计算，这有没有错？没错.问题出在什么地方？（稍停）问题出在他没有把结果化简..（稍停）），等于讲边板书：.师：（指准不能再化简了，它是最简二次根式（板书：最简二次根式）.），结果等于2.师：（指准2.师：所以它们不是最简二次根式，不能再化简了，所以它们是最简二次根式.从这两个例子，请大家想一想，什么样的二次根式是最简二次根式？（让生思考一会儿，再叫学生）生：……（多让几名同学发表看法）师：（指准被开方数中含有能开得尽方的因数.可见，最简二次根式首先要满足这样一个条件.（师出示下面的板书）()被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；师：（指板书）被开方数不含能开得尽方的因数或因式.师：这是一个条件，下面我们来看第二个条件.师：32中含有分母.可见，最简二次根式要满足的第二个条件是：（师出示下面的板书）()被开方数不含分母.师：（指准板书）被开方数不含分母.师：（指准板书）我们把同时满足这样两个条件的二次根式叫做最简二次根式.师：.师：下面我们来看一道例题.（师出示例题）例下列二次根式中，哪些不是最简二次根式，并把它们化成最简二次根式：（生让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）不是最简二次根式.2a5（三）试探练习，回授调节.下列二次根式中，哪些不是最简二次根式，并把它们化成最简二次根式：.把下列各式化成最简二次根式：()()x（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了最简二次根式，什么是最简二次根式？从字面上讲，最简二次根式就是化得最简的二次根式，换句话说，就是不能再化简的二次根式.这种二次根式有两个特点，（指准板书）第一个特点是，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；第二个特点是，被开方数不含分母.师：知道了什么是最简二次根式，对我们做二次根式的乘法和除法有很大的帮助.有什么帮助？（稍停）它可以帮助我们判断题目有没有做完，如果结果是最简二次根式，说明题目做完了；如果结果不是最简二次根式，说明题目还没有做完，还要继续化简，直到化成最简二次根式为止.（作业：练习习题.）四、板书设计。
2018-2019华东师大版九年级数学上全册教案
22．1. 二次根式（1）教学内容： 二次根式的概念及其运用教学目标：1a ≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键：1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程：一、回顾当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义．二、概括：a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方等于a ．即有： （1）a ≥0（a ≥0）； （2）2)(a =a （a ≥0）．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．注意：在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数．三、例题讲解例题： x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数．解： 被开方数x-1≥0，即x ≥1．所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义．思考：2a 等于什么？我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律：概括: 当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2．这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==．四、练习: x 取什么实数时，下列各式有意义.（1）x 43-； （2）23-x ； （3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+-五、 拓展例：当x 11x +在实数范围内有意义？分析：11x +在实数范围内有意义，0和11x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义．例：(1)已知y=，求xy的值．(答案:2)(2)，求a2004+b 2004的值．(答案:25)六、 归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1a ≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 七、布置作业：教材P4：1、2 八、反思及感想：22.1 二次根式（2）教学内容：1a ≥0）是一个非负数； 2．2=a （a ≥0）．教学目标：1a ≥02=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．2、 a ≥0）是一个非负数，用具体数据2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键：1．重点：a ≥0）是一个非负数；2=a （a ≥0）及其运用．2a ≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出2=a （a ≥0）．教学过程： 一、复习引入（学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0a<0二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：2=_______；2=_______；2=______；2=_______；2=______；2=_______；2=_______．4的算术平方根，根据算术平方根的意义，42=4．同理可得：2=2，2=9，2=3，2=13，2=72，2=0，所以 ：三、例题讲解例1 计算： 1．2 ， 2．（2 ， 3．2 ， 4．）22=a （a ≥0）的结论解题．解：1. 2 =32， 2.（2 =32²2=32²5=45，3.2=56，4.（2）2=22724 ． 四、巩固练习计算下列各式的值：2222（222-五、应用拓展例2 计算1．2（x≥0），2．2，3．2，4．2分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-2²2x²3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的42=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>0,2=x+1（2）∵a2≥02=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2 , 又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 2+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2²2x²3+32=（2x-3）2 , 又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥02=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3六、归纳小结：本节课应掌握：1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．七、布置作业：教材P4：3、4八、反思及感想：22.1 二次根式（3）教学内容a（a≥0）教学目标：1（a≥0）并利用它进行计算和化简．2、（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键：1．重点：a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程： 一、复习引入：（老师口述并板收上两节课的重要内容）1a ≥0）的式子叫做二次根式；2a ≥0）是一个非负数；3．2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知：（学生活动）填空：=_______=______；=________． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：=0.01=1102337．三、例题讲解：例1 化简：（1 （2 （3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，（a ≥0）•去化简．解：（1 （2=4（3 （4=3四、巩固练习：（见小黑板） 五、应用拓展例2 填空：当a ≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a 可以是什么数？ （2，则a 可以是什么数？（3，则a 可以是什么数？（a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a ≤0-a ≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2│a │，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；（3）因为当a≥0，，即使a>a所以a不存在；当a<0，，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2（a≥0）及运用，同时理解当a<0a的应用拓展．七、布置作业:1．先化简再求值：当a=9时，求甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：注意根式有意义的隐含条件）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│八、反思及感想：22．2 二次根式的乘除（1）a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及其运用．教学目标：1（a≥0，b≥0）a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简2a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用逆（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键1a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及它们的运用．2a≥0，b≥0）．a⨯3a<0,b<0）=b教学过程：一、设疑自探——解疑合探自探.（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空：（1=____；（2=_____．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．2．利用计算器计算填空（1（2（3（4（5．（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:合探1. 计算：（1，（2，（3，（4a≥0，b≥0）计算即可．合探2 化简（1，（2，（3，（4（5a≥0，b≥0）直接化简即可．二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展：判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2四、巩固练习（1）计算（生练，师评）①②(2) 化简: ;五、归纳小结（师生共同归纳）本节课掌握：（1（a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及运用．六、作业设计（写在小黑板上）（一）、选择题1，•那么此直角三角形斜边长是（）A．B．C．9cm D．27cm2．化简）．A B C．D．3=）A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（）．A．B．C．D．（二）、填空题：1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．（三）、综合提高题探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：==（2）验证：=同理可得：==通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．七、反思及感想：22．2 二次根式的乘除（2）a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标;1a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．2、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程; 一、设疑自探——解疑合探自探.（学生活动）请同学们完成下列各题：1．填空（1=____；（2；（3=_____；（4．2．利用计算器计算填空:（1，（2，（3，（4=_____．每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评），根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定：一般地，对二次根式的除法规定：下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．合探1．计算：（1（2（3（4a≥0，b>0）便可直接得出答案．分析：上面4合探2．化简：（1（2（3（4a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．二、应用拓展，且x为偶数，求（1+x的值．=a≥0，b>0时才能成立．因此得到9-x≥0且x-6>0，即6<x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．三、归纳小结（师生共同归纳）a≥0，b>0a≥0，b>0）及其运用．四、作业：（写在小黑板上）(一)、选择题:1的结果是（ ）．A ．27； B ．27； C ； D2====数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”）．A ．2B ．6C ．13D(二)、填空题 1．分母有理化:(1)=________;(3)=______.2．已知x=3，y=4，z=5_______．(三)、综合提高题 计算（1²（m>0，n>0）（2）（a>0） 五、反思及感想：22.2 二次根式的乘除(3)教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标：1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重难点关键：1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）计算（1（2，（3AC自探2. 观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．）我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．合探1. 把下面的二次根式化为最简二次根式：(1); (2); (3) 合探2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2.5cm ，BC=6cm ，求AB 的长．132====6.5（cm ） 因此AB 的长为6.5cm ．二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 三、应用拓展观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=-，=从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算+））的值．分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用． 五、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题 1（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）．A（y>0） By>0） Cy>0） D ．以上都不对2．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）．ABC ．D ．3．在下列各式中，化简正确的是（ ）AB±12C2D ．的结果是（）A．；B．；C．；D．4（二）、填空题1．（x≥0）2．_________．（三）、综合提高题1．已知a•请写出正确的解答过程：（a-1²1a2．若x、y为实数，且六、反思及感想：22.3 二次根式的加减(1)教学内容：二次根式的加减教学目标：理解和掌握二次根式加减的方法．重难点关键：1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．教学过程：一、设疑自探——解疑合探自探（学生活动）：计算下列各式．（1）；（2）；（3；（4）因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如吗？可以的．（板书）和所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．合探1．计算：（1 （2分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．合探2．计算（1） （2）+ 二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x 2）的值．分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=12，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式； （2）相同的最简二次根式进行合并． 五、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题1 ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④2．下列各式：①17有（ ）． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 （二）、填空题1、是同类二次根式的有________．2．计算二次根式________． （三）、综合提高题1 2.236-（结果精确到0.01）2．先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27． 六、反思及感想：22.3 二次根式的加减(2)教学内容：利用二次根式化简的数学思想解应用题．教学目标：运用二次根式、化简解应用题．重难点关键：讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．教学过程：一、设疑自探——解疑合探上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固．自探1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•根据三角形面积公式就可以求出x的值．解：设x 后△PBQ 的面积为35平方厘米． 则有PB=x ，BQ=2x依题意，得：12x ²2x=35 x 2=35PBQ 的面积为35平方厘米．===PBQ 的面积为35平方厘米，PQ 的距离为 自探2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m ）？解：由勾股定理，得 =所需钢材长度为 ≈3³2.24+7≈13.7（m ）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m 的钢材．）三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展若最简根式3a a 、b 的值．注：（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式|b|式的定义得3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b ．由题意得432632a b a b a b +=-+⎧⎨-=⎩ ∴24632a b a b +=⎧⎨-=⎩ ∴a=1，b=1五、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 六、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．A ．BC ．D ．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．A ．BC ．D ． （二）、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m 2，•鱼塘的宽是_______m ．2•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（三）、综合提高题1n m、n的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=2，5=2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：）2=2-2²12反之，）2∴）2求：（1（2（3（4，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．六、反思及感想：22.3 二次根式的加减(3)教学内容：含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标：1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键：1、重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；2、难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）：请同学们完成下列各题:1．计算：（1）（2x+y）²zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算：（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式³单项式；（2）单项式³多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x 、y 、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．自探2.计算：（1） （2）（ 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．自探3. 计算：（1））（ （2）分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立． 二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 三、应用拓展：已知x b a-=2-x a b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．解：原式=（x+1）=4x+2∵x b a-=2-x a b - ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ） ∴bx-b 2=2ab-ax+a 2 ∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2 ∴（a+b ）x=（a+b ）2 ∵a+b ≠0 ∴x=a+b∴原式=4x+2=4（a+b ）+2四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算． 五、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题1． ）．A ．203B ．23C ．23D ．2032 ）．A ．2 B ．3 C ．4 D ．1 （二）、填空题1．（-122的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（（-（）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若，则x 2+2x+1=________．4．已知a 2b-ab 2=_________．（三）、综合提高题12．当的值．（结果用最简二次根式表示）六、反思及感想：23.1 一元二次方程教学目标：1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02=++c bx ax （a ≠0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
湘教版2018-2019学年九年级上册数学全册教案
湘教版2018年九年级数学上册全册教案目录第一章反比例函数 (1)1．1反比例函数 (1)第二章一元二次方程 (25)2．2 一元二次方程的解法 (25)2．2.1配方法 (25)2．2.2 公式法 (28)2．2.3因式分解法 (33)2.3 一元二次方程根的判别式 (36)2.4 一元二次方程根与系数的关系 (40)2．5一元二次方程的应用 (45)复习与提升 (52)第三章图形的相似 (66)3．1比例线段 (66)3．1.1比例的基本性质 (66)3．1.2成比例线段 (69)3.2 平行线分线段成比例 (73)3.3 相似图形 (79)3.4.1 相似三角形的判定 (84)3．4相似三角形的判定与性质 (109)3．4.1相似三角形的判定 (109)3．4.2 相似三角形的性质 (118)3.5 相似三角形的应用 (123)3.6 位似 (129)第四章锐角三角函数 (141)4.1 正弦和余弦 (141)4.2 正切 (152)4．3解直角三角形 (158)4．4解直角三角形的应用 (181)复习与提升 (188)第五章用样本推断总体 (193)5.1 总体平均数与方差的估计 (193)5.2 统计的简单应用 (198)第一章反比例函数1．1 反比例函数教学目标【知识与技能】理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式．【过程与方法】经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力．【情感态度】培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值．【教学重点】理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数表达式．【教学难点】能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式，体会函数的模型思想．教学过程一、情景导入，初步认知1．复习小学已学过的反比例关系，例如：(1)当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt＝s(s是常数)(2)当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab＝S(S是常数)2．电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR，当U＝220V时，请你用含R的代数式表示I吗？【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础．二、思考探究，获取新知探究1：反比例函数的概念(1)一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时，各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式．(2)利用(1)的关系式完成下表：(3)随着时间的变化，平均速度发生了怎样的变化？(4)平均速度v是所用时间t的函数吗？为什么？(5)观察上述函数表达式，与前面学的一次函数有什么不同？这种函数有什么特点？【归纳结论】一般地，如果两个变量x，y之间可以表示成y＝(k为常数且k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数．其中x是自变量，常数k称为反比例函数的比例系数．【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流．学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式．探究2：反比例函数的自变量的取值范围思考：在上面的问题中，对于反比例函数v＝3000/t，其中自变量t可以取哪些值呢？分析：反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数，但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围．由于t代表的是时间，且时间不能为负数，所有t的取值范围为t>0.【教学说明】教师组织学生讨论，提问学生，师生互动．三、运用新知，深化理解1．见教材P3例题．2．下列函数关系中，哪些是反比例函数？(1)已知平行四边形的面积是12cm 2，它的一边是a cm ，这边上的高是h cm ，则a 与h 的函数关系； (2)压强p 一定时，压力F 与受力面积S 的关系；(3)功是常数W 时，力F 与物体在力的方向上通过的距离s 的函数关系．(4)某乡粮食总产量为m 吨，那么该乡每人平均拥有粮食y (吨)与该乡人口数x 的函数关系式． 分析：确定函数是否为反比例函数，就是看它们的表达式经过整理后是否符合y ＝(k 是常数，k ≠0)．所以此题必须先写出函数表达式，后解答．解：(1)a ＝12h，是反比例函数；(2)F ＝pS ，是正比例函数； (3)F ＝W s ，是反比例函数； (4)y ＝m x，是反比例函数． 3．当m 为何值时，函数y ＝4x2m －2是反比例函数，并求出其函数表达式．分析：由反比例函数的定义易求出m 的值．解：由反比例函数的定义可知：2m －2＝1，m ＝32.所以反比例函数的表达式为y ＝4x.4．当质量一定时，二氧化碳的体积V 与密度ρ成反比例．且V ＝5m 3时，ρ＝1.98kg/m 3(1)求p 与V 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．(2)求V ＝9m 3时，二氧化碳的密度． 解：略5．已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 2成反比例，且x ＝2与x ＝3时，y 的值都等于19.求y 与x 间的函数关系式．分析：y 1与x 成正比例，则y 1＝k 1x ，y 2与x 2成反比例，则y 2＝k 2x 2，又由y ＝y 1＋y 2，可知，y ＝k 1x ＋k 2x2，只要求出k 1和k 2即可求出y 与x 间的函数关系式．解：因为y 1与x 成正比例，所以y 1＝k 1x ；因为y 2与x 2成反比例，所以y 2＝k 2x2，而y ＝y 1＋y 2，所以y ＝k 1x ＋k 2x2， 当x ＝2与x ＝3时，y 的值都等于19.所以⎩⎪⎨⎪⎧19＝2k 1＋k2419＝3k 1＋k29.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝5k 2＝36所以y ＝5x ＋36x2.【教学说明】加深对反比例函数概念的理解，及掌握如何求反比例函数的表达式．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业布置作业：教材“习题1.1”中第1、3、5题．教学反思学生对于反比例函数的概念理解的都很好，但在求函数表达式时，解题不够灵活，如解答第5题时，不知如何设未知数．在这方面应多加练习．第2章一元二次方程图2－1－3【知识网络】突出2.2 一元二次方程的解法2．2.1 配方法第1课时直接开平方法【知识网络】突出【教学反思】第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程【知识网络】突出第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程【知识网络】突出2．2.2 公式法【知识网络】突出第二章一元二次方程2．2一元二次方程的解法2．2.1 配方法教学目标【知识与技能】1．知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程．2．学会用直接开平方法解形如(ax＋b)2－k＝0(k≥0)的方程．3．理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法．【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法．【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣．【教学重点】运用配方法解一元二次方程．【教学难点】把一元二次方程转化为形如(x＋n)2＝d(d≥0)的过程．教学过程一、情景导入，初步认知1．根据完全平方公式填空：(1)x2＋6x＋9＝( )2(2)x2－8x＋16＝( )2(3)x2＋10x＋( )2＝( )2(4)x2－3x＋( )2＝( )22．前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)．由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？3．你会解方程x2＋6x－16＝0吗？你会将它变成(x＋m)2＝n(n为非负数)的形式吗？试试看．如果是方程2x2＋1＝3x呢？【教学说明】学会利用完全平方知识填空，初步配方为后面学习打下基础．二、思考探究，获取新知1．解方程：x2－2500＝0.问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程？把方程写成x2＝2500这表明x是2500的平方根，根据平方根的意义，得x＝2500或x＝－2500因此，原方程的解为x1＝50，x2＝－50【归纳结论】一元二次方程的解也是一元二次方程的根．2．解方程(2x＋1)2＝2解：根据平方根的意义，得2x＋1＝2或2x＋1＝－ 2因此，原方程的根为x 1＝2－12，x2＝－2＋123．通过上面的两个例题，你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方程呢？【归纳结论】对于形如(x ＋n)2＝d(d≥0)的方程，可直接用开平方法解．直接开平方法的步骤是：把方程变形成(x ＋n)2＝d(d≥0)，然后直接开平方得x ＋n ＝和x ＋n ＝－，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解．4．解方程x 2＋4x ＝12我们已知，如果把方程x 2＋4x ＝12写成(x ＋n)2＝d 的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解．那么，如何将左边写成(x ＋n)2的形式呢？我们学过完全平方式，你能否将左边x 2＋4x 添上一项使它成为一个完全平方式．请相互交流． 写出解题过程．【归纳结论】一般地，像上面这样，在方程x 2＋4x ＝12的左边加上一次项系数的一半的平方，在减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方．配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了．这种解一元二次方程的方法叫作配方法．5．如何用配方法解方程25x 2＋50x －11＝0呢？如果二次项系数为1，那就好办了！那么怎样将二次项的系数化为1呢？同伴之间可以相互交流． 试着写出解题过程．6．通过上面配方法解一元二次方程的过程，你能总结用配方法解一元二次方程的步骤吗？ 【归纳结论】用配方法解一元二次方程的步骤：(1)把方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a ； (4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．【教学说明】通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能用配方法转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将一元二次方程转化为(x ＋n)2＝d(d≥0)的形式．三、运用新知，深化理解1．见教材P 33例3、P 34例4.2．列方程(注：学生练习，教师巡视，适当辅导．)(1)x 2－10x ＋24＝0； (2)(2x －1)(x ＋3)＝5；(3)3x 2－6x ＋4＝0.解：(1)移项，得x 2－10x ＝－24配方，得x 2－10x ＋25＝－24＋25，由此可得(x －5)2＝1， x －5＝±1， ∴x 1＝6，x 2＝4.(2)整理，得2x 2＋5x －8＝0.移项，得2x 2＋5x ＝8二次项系数化为1得x 2＋52x ＝4，配方，得x 2＋52x ＋(54)2＝4＋(54)2(x ＋54)2＝8916，由此可得x ＋54＝±894，x 1＝－5＋894，x 2＝－5－894.(3)移项，得3x 2－6x ＝－4二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－43，配方，得x 2－2x ＋12＝－43＋12，(x －1)2＝－13因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，(x －1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．3．解方程x 2－8x ＋1＝0分析：显然这个方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式．解：x 2－8x ＋1＝0移项得：x 2－8x ＝－1配方得：x 2－8x ＋16＝－1＋16即(x －4)2＝15两边开平方得：x －4＝±15 ∴x 1＝4＋15，x 2＝4－15.4．用配方法将下列各式化为a(x ＋h)2＋k 的形式． (1)－3x 2－6x ＋1；(2)23y 2＋13y ＋2；(3)0.4x 2－0.8x －1.解：(1)－3x 2－6x ＋1 ＝－3(x 2＋2x －13)＝－3(x 2＋2x ＋12－12－13)＝－3[(x ＋1)2－43]＝－3(x ＋1)2＋4 (2)23y 2＋13y －2 ＝23(y 2＋12y －3) ＝23[y 2＋12y ＋(14)2－(14)2－3] ＝23[(y ＋14)2－4916] ＝23(y ＋14)2－4924.(3)0.4x2－0.8x－1＝0.4(x2－2x－2.5)＝0.4[(x2－2x＋12)－12－2.5]＝0.4(x－1)2－1.4【教学说明】通过练习，使学生能灵活运用“配方法”，并强化学生对一元二次方程解的认识．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业布置作业：教材“习题2.2”中第1、2、3题．教学反思在教学过程中，坚持由简单到复杂，由特殊到一般的原则，采用了观察对比，合作探究等不同的学习方式，充分发挥学生的主体作用，让学生主动探究发现结论，教师做学生学习的引导者，合作者，促进者，要适时鼓励学生，实现师生互动．同时，我认识到教师不仅仅要教给学生知识，更要在教学中渗透数学中的思想方法，培养学生良好的数学素养和学习能力，让学生学会学习．2．2.2公式法教学目标【知识与技能】1．经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练．2．会用公式法解简单系数的一元二次方程．【过程与方法】通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想．【情感态度】让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用．【教学难点】理解求根公式的推导过程．教学过程一、情景导入，初步认知1．用配方法解方程：(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－3x＋5＝0.2．由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)使用这些步骤，然后求出解x的公式？【教学说明】这样做了以后，我们可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程的解，取得一通百通的效果．二、思考探究，获取新知1．用配方法解方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2＋bx ＝－c因为a≠0，所以方程两边同除以a 得： x 2＋b a x ＝－c a配方，得：x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a )2即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac4a ∵a≠0，∴4a 2>0当b 2－4ac≥0，b 2－4ac 4a2≥0 ∴x＋b 2a ＝±b 2－4ac 2a即x ＝－b±b 2－4ac 2a∴x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a .当b 2－4ac<0时，方程无解．【归纳结论】由上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac≥0时，将a 、b 、c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)就可求出方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：(1)将a 、b 、c 的值代入公式时，一定要注意符号不能出错．(2)式子b 2－4ac≥0是公式的一部分．【教学说明】让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)能否用配方法求出它的解？通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式．2．展示课本P 36例5(1)，(2)，按课本方式引导学生用公式法解一元二次方程，并提醒学生在确定a ，b ，c 的值时，先要将一元二次方程式化为一般形式，注意a ，b ，c 的符号．3．引导学生完成P 37例6.4．你能总结出用公式法解一元二次方程的一般步骤吗？【归纳结论】首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a ，b ，c 的值；其次要计算b 2－4ac 的值，当b 2－4ac≥0时，再用求根公式求解．三、运用新知，深化理解 1．用公式法解下列方程． 2x 2＋3＝7x分析：用公式法解一元二次方程，需先确定．a 、b 、c 的值、再算．出b 2－4ac 的值、最后代．入求根公式求解． 解：2x 2－7x ＋3＝0 a ＝2，b ＝－7，c ＝3∵b 2－4ac ＝(－7)2－4×2×3＝25>0 ∴x＝－b±b 2－4ac 2a ＝7±252×2＝7±54即x 1＝3，x 2＝12.2．某数学兴趣小组对关于x 的方程(m ＋1)xm 2＋1＋(m －2)x －1＝0提出了下列问题． (1)若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． (2)若使方程为一元一次方程m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？分析：(1)要使它为一元二次方程，必须满足m 2＋1＝2，同时还要满足(m ＋1)≠0. (2)要使它为一元一次方程，必须满足∶①⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋1＝1（m ＋1）＋（m －2）≠0或②⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋1＝0m －2≠0或 ③⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝0m －2≠0 解：(1)存在．根据题意，得：m 2＋1＝2 m 2＝1 m ＝±1当m ＝1时，m ＋1＝1＋1＝2≠0当m ＝－1时，m ＋1＝－1＋1＝0(不合题意，舍去)∴当m ＝1时，方程为2x 2－1－x ＝0 a ＝2，b ＝－1，c ＝－1 b 2－4ac ＝(－1)2－4×2×(－1)＝1＋8＝9 x ＝－（－1）±92×2＝1±34x 1＝1，x 2＝－12.因此，该方程是一元二次方程时，m ＝1，两根x 1＝1，x 2＝－12.(2)存在．根据题意，得：①m 2＋1＝1，m 2＝0，m ＝0 因为当m ＝0时，(m ＋1)＋(m －2)＝2m －1＝－1≠0 所以m ＝0满足题意．②当m 2＋1＝0，m 不存在．③当m ＋1＝0，即m ＝－1时，m －2＝－3≠0 所以m ＝－1也满足题意．当m ＝0时，一元一次方程是x －2x －1＝0， 解得：x ＝－1当m ＝－1时，一元一次方程是－3x －1＝0 解得x ＝－13因此，当m ＝0或－1时，该方程是一元一次方程，并且当m ＝0时，其根为x ＝－1；当m ＝－1时，其一元一次方程的根为x ＝－13.【教学说明】主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业布置作业：教材“习题2.2”中第4题．教学反思通过复习配方法使学生会对一元二次方程的定义及解法有一个熟悉的印象．然后让学生用配方法推导一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况．使学生的推理能力得到加强．2．2.3 因式分解法教学目标【知识与技能】能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程．能够根据一元二次方程的结构特点，灵活择其简单的方法．【过程与方法】通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力．【情感态度】通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题，解决问题，树立转化的思想方法．【教学重点】用因式分解法解一元二次方程．【教学难点】理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．教学过程一、情景导入，初步认知复习：将下列各式分解因式(1)5x2－4x(2)x2－4x＋4(3)4x(x－1)－2＋2x(4)x2－4(5)(2x－1)2－x2【教学说明】通过复习相关知识，有利于学生熟练正确将多项式因式分解，从而有利降低本节的难度．二、思考探究，获取新知1．解方程x2－3x＝0可用因式分解法求解方程左边提取公因式x，得x(x－3)＝0由此得x＝0或x－3＝0即x1＝0，x2＝3与公式法相比，哪种更简单？【归纳结论】利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．用因式分解法解下列方程；(1)x(x－5)＝3x；(2)2x(5x－1)＝3(5x－1)；(3)(35－2x)2－900＝0.3．你能总结因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？【归纳结论】把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解．4．说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程．【归纳结论】因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程．5．选择合适的方法解下列方程：(1)x2＋3x＝0；(2)5x2－4x－3＝0；(3)x 2＋2x －3＝0.按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程． 6．如何选择合适的方法解一元二次方程呢？【归纳结论】公式法适用于所有一元二次方程．因式分解法(有时需要先配方)适用于所有一元二次方程．配方法是为了推导出求根公式，以及先配方，然后用因式分解法．总之，解一元二次方程的基本思路都是：将一元二次方程转化成为一元一次方程，即降次，其本质是把方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的左边的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，即ax 2＋bx ＋c ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中x 1和x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根．【教学说明】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．三、运用新知，深化理解1．用因式分解法解下列方程：(1)5x 2＋3x ＝0；(2)7x(3－x)＝4(x －3)．分析：(1)左边＝x(5x ＋3)，右边＝0；(2)先把右边化为0，7x(3－x)－4(x －3)＝0，找出(3－x )与(x －3)的关系．解：(1)因式分解，得x(5x ＋3)＝0， 于是得x ＝0或5x ＋3＝0，x 1＝0，x 2＝－35；(2)原方程化为7x(3－x)－4(x －3)＝0， 因式分解，得(x －3)(－7x －4)＝0， 于是得x －3＝0或－7x －4＝0， x 1＝3，x 2＝－472．选择合适的方法解下列方程：(1)2x 2－5x ＋2＝0；(2)(1－x)(x ＋4)＝(x －1)(1－2x)．分析：(1)题宜用公式法；(2)题中找到(1－x)与(x －1)的关系用因式分解法； 解：(1)a ＝2，b ＝－5，c ＝2， b 2－4ac ＝(－5)2－4×2×2＝9＞0， x ＝5±92×2＝5±34，x 1＝2，x 2＝12(2)原方程化为(1－x)(x ＋4)＋(1－x)(1－2x)＝0， 因式分解，得(1－x)(5－x)＝0， 即(x －1)(x －5)＝0， x －1＝0或x －5＝0， x 1＝1，x 2＝53．用因式分解法解下列方程：(1)10x 2＋3x ＝0；(2)7x(3－x)＝6(x －3)；(3)9(x －2)2＝4(x ＋1)2.分析：(1)左边＝x(10x ＋3)，右边＝0；(2)先把右边化为0，7x(3－x)－6(x －3)＝0，找出(3－x)与(x －3)的关系；(3)应用平方差公式．解：(1)因式分解，得x(10x ＋3)＝0， 于是得x ＝0或10x ＋3＝0，x 1＝0，x 2＝－310；(2)原方程化为7x(3－x)－6(x －3)＝0， 因式分解，得(x －3)(－7x －6)＝0， 于是得x －3＝0或－7x －6＝0， x 1＝3，x 2＝－67；(3)原方程化为9(x －2)2－4(x ＋1)2＝0， 因式分解，得[3(x －2)＋2(x ＋1)][3(x －2)－2(x ＋1)]＝0， 即(5x －4)(x －8)＝0，于是得5x －4＝0或x －8＝0， x 1＝45，x 2＝8.4．已知(a 2＋b 2)2－(a 2＋b 2)－6＝0，求a 2＋b 2的值．分析：若把(a 2＋b 2)看作一个整体，则已知条件可以看作是以(a 2＋b 2)为未知数的一元二次方程．解：设a 2＋b 2＝x ，则原方程化为x 2－x －6＝0.a ＝1，b ＝－1，c ＝－6，b 2－4ac ＝12－4×(－6)×1＝25＞0， x ＝1±252，∴x 1＝3，x 2＝－2.即a 2＋b 2＝3或a 2＋b 2＝－2， ∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2＝－2不合题意应舍去，取a 2＋b 2＝3. 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充． 课后作业布置作业：教材“练习题2.2”中第5、6、9、10题． 教学反思这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程，而达到这一目的，我们主要利用了因式分解“降次”．在今天的学习中，要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学思想方法．2.3一元二次方程根的判别式2.4一元二次方程根与系数的关系教材P48习题2.4中的T1，T2，T3.【知识网络】突出2．5 一元二次方程的应用第1课时一元二次方程的应用(1)教学目标【知识与技能】使学生会用列一元二次方程的方法解应用题．【过程与方法】让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值．【情感态度】在应用一元二次方程的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力．【教学重点】建立一元二次方程模型解决一些代数问题．【教学难点】把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题．教学过程一、情景导入，初步认知列方程解应用问题的步骤是什么？①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答．【教学说明】七年级学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决．但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用．二、思考探究，获取新知1．某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率，若今年的使用率为40%，计划后年的使用率达到90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率(假设该省每年产生的秸秆总量不变)分析：由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是：今年的使用率×(1＋年平均增长率)2＝后年的使用率解：设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x，则根据等量关系，可列出方程：40%(1＋x)2＝90%解得：x1＝50%，x2＝－2.5根据题意可知：x＝50%答：这两年秸秆使用率的平均年增长率为50%.2．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．求平均每次降价的百分率．分析：问题中涉及的等量关系是：原价×(1－平均每次降价的百分率)2＝现在的售价解：设平均每次降价的百分率为x，则根据等量关系，可列出方程：100(1－x)2＝81解得：x1＝10%，x2＝1.9根据题意可知：x＝10%答：平均每次降价的百分率为10%.3．“议一议”运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？【归纳结论】运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：分析实际问题→建立一元二次方程模型→解一元二次方程→一元二次方程的根的检验→实际问题的解．【教学说明】使学生感受、明白利用一元二次方程解决实际问题的过程与方法．三、运用新知，深化理解1．见教材P50例2.2．一件商品的原价是121元，经过两次降价后的价格为100元．如果每次降价的百分率都是x，根据题意列方程得________．【答案】121(1－x)2＝1003．某小区2013年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2015年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．解：设这个增长率是x，根据题意得：2000×(1＋x)2＝2880解得：x1＝20%，x2＝－220%(舍去)故答案为：20%.4．某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2014年经营总收入要达到2160万元，且计划从2012年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，问2013年预计经营总收入为多少万元？解：设每年经营总收入的年增长率为a.列方程，600÷40%×(1＋a)2＝2160解方程，a1＝0.2，a2＝－2.2，(不符合题意，舍去)∴每年经营总收入的年增长率为0.2，则2013年预计经营总收入为：600÷40%×(1＋0.2)＝600÷40%×1.2＝1800答：2013年预计经营总收入为1800万元．5．将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，若这种商品涨价x元，则可赚得y元的利润．(1)写出x与y之间的关系式；(2)为了赚得8000元利润，售价应定为多少元，这时应进货多少个？解∶(1)商品的单价为50＋x元，每个的利润是(50＋x)－40元，销售量是500－10x个，则依题意得y＝[(50＋x)－40](500－10x)，即y＝－10x2＋400x＋5000.(2)依题意，得－10x2＋400x＋5000＝8000.整理，得x2－40x＋300＝0.解得x1＝10，x2＝30.所以商品的单价应定为50＋10＝60(元)或50＋30＝80(元)．当商品的单价为60元时，其进货量只能是500－10×10＝400(个)；当商品每个单价为80元时，其进货量只能是500－10×30＝200(个)．6．“国运兴衰，系于教育”下图中给出了我国从1998─2002年每年教育经费投入的情况．(1)由图可见，1998─2002年的五年内，我国教育经费投入呈现出________趋势；(2)如果我国的教育经费从2002年的5500亿元增加到2004年的7920亿元，那么这两年的教育经费平均年增长率为多少？。
2017-2018学年九年级上册数学全册教案(33份) 人教版12(免费推荐下载)
图形的旋转典型例题 例 如图，将△绕点旋转得到△，指出图中的旋转中心、旋转角度及对应线段、对应角。
分析 旋转角是连结对应点与旋转中心所形成的角，而对应线段是对应点所在的线段，对应角则由对应点所形成的角，因此关键是要分清楚是谁的对应点。
解 旋转中心是点；旋转角是∠或∠；对应线段是：与、与、与；对应角是：∠与∠、∠与∠、∠与∠。
点评 要记清旋转（对称）的如下特征： 旋转后的图形的对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应相等，图形的形状与大小都没有发生变化。
例 如图，已知ｔ△的周长为，∠＝°，∠＝°，△的边在直线l 上，按顺时针方向在直线l 上转动两次，使它转到△222C B A 位置，则=2AA,∠=B C A 11分析 由旋转后对应角相等，∠=111B C A ∠°可知第一次旋转的角度∠2ACA ＝ °，第二次旋转了°后至△222C B A 的位置，所以∠=B C A 11°－°＝°，又由旋转后对应线段相等，11C B BC =，AB B A =22，故1222112=++=++=AB BC AC A B C B AC AA 。
解 122=AA ；∠=B C A 11°例 圆心角（圆心为顶点，两半径所夹的角）都是°的扇形与扇形按如图所示那样叠放在一起，连结、。
说明△是由△旋转得到的；若＝㎝，＝㎝，求图中阴影部分的面积。
分析 由条件可知，图中且∠∠,可得△与△是旋转关系，从而阴影部分面积恰好就是两个扇形面积之差。
解 ⑴由题意，且∠∠, 所以△是由△绕点顺时针方向旋转°得到； ⑵πππ214134122=⨯⨯-⨯⨯=阴影S 点评 把不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解此类题的关键。
2018届北师大版九年级数学上册教案：6.3反比例函数的应用
首先，我发现同学们在理解反比例函数的概念和性质方面还存在一定的困难。在讲授过程中，我尽量用简单的语言和生动的例子来解释，但仍有部分同学表现出迷茫。针对这个问题，我考虑在接下来的课程中，增加一些互动环节，比如让同学们自己举例说明反比例函数在生活中的应用，以便加深他们对概念的理解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“反比例函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了反比例函数的基本概念、重要性质和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对反比例函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（2）在反比例函数应用方面，教师可以提供多个实际案例，如速度与时间的关系、浓度问题等，引导学生学会从实际问题中提炼反比例函数模型。
（3）针对性质的灵活运用，教师可以设计不同类型的习题，让学生在练习中逐步掌握如何运用反比例函数的性质解决具体问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《反比例函数的应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个变量的乘积保持不变的情况？”（例如：当你的速度加快时，所需时间会减少。）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索反比例函数的奥秘。
2017-2018学年九年级上册数学全册教案(33份) 人教版9(免费推荐下载)
降次——解一元二次方程疑难分析．通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.可以看出, 配方是为了降次,把一个一元二次方程转化成两个一元二次方程来解.. 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由方程的系数确定.因此,解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式20ax bx c ++=,当240b ac -≥,将代入式子x =就得到方程的根.这个式子就叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知, 一元二次方程最多有两个实数根..用因式分解的方法使方程化为两个一次式的乘积等于的形式,再使这两个一次式分别等于.从而实现降次,这种解法叫做因式分解法. .配方法要先配方,再降次;通过配方法可以推出求根公式,公式法直接利用求根公式; 因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为,再分别使各个一次式等于.配方法、公式法适用于所有一元二次方程, 因式分解法用于某些一元二次方程.总之,解一元二次方程的基本思想是:将二次方程化为一次方程,即降次.例题选讲例1． 用配方法解下列方程：（）2820x x -+= （）22490x x +-=解:()移项，得282x x -=-配方 2228424x x -+=-+2(4)14x -=由此可得 4x -=124,4x x ==.() 移项，得2249x x +=二次项系数化为,得2922x x +=配方22292112x x ++=+ 即 211(1)2x +=∴12x +=±∴121,122x x =-=-- 评注：运用配方法解一元二次方程,先移项把含有未知数的项移到方程左边,常数项移到方程的右边,再在方程的两边同时除以二次项的系数,把二次项的系数化为“” 的形式,然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,把方程化为2()ax b m +=的形式,再用直接开平方的方法求解.配方的关键是在二次项系数为的形式下,方程的两边同时加上一次项系数一半的平方.例. 解下列方程()2104x += ()(3)30x x x --+=解:()11,4a b c ===,2214(4114b ac -=-⨯⨯=(1212x -±==⨯1211,22x x == ()因式分解,得(1)(3)0x x --=于是得 10x -=或30x -=121,3x x ==评注：掌握好一元二次方程的求根公式是本节的重点,这是学好本章内容的关键. 因式分解法求根,解答过程较简单,但并不具有普遍意义.解一元二次方程具有普遍意义的是一元二次方程的求根公式.。
2017-2018学年九年级上册数学全册教案(33份) 人教版8(免费推荐下载)
降次——解一元二次方程课题：22.2.1配方法（第课时）一、教学目标.经历探究过程，会用配方法解较简单的一元二次方程（二次项系数为）..培养思考能力和探索精神.二、教学重点和难点.重点：用配方法解一元二次方程..难点：配方.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知.完成下面的解题过程：()解方程：；解：原方程化成.开平方，得，，.()解方程：().解：原方程化成.开平方，得，，.（二）尝试指导，讲授新课（师出示下面的板书）直接开平方法：第一步：化成什么＝常数；第二步：开平方降次；第三步：解一元一次方程.师：上节课我们学习了用直接开平方法解一元二次方程.（指准板书）用直接开平方法解一元二次方程有这么三步，第一步化成什么＝常数；第二步开平方降次，把一元二次方程转化为一元一次方程；第三步解一元一次方程，得到两个根.师：按这三步，我们来做一个题目.（师出示例）例解方程：.（先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）解：原方程化成().开平方，得（三）试探练习，回授调节.完成下面的解题过程：解方程：；解：原方程化成.开平方，得，，.（四）尝试指导，讲授新课师：下面我们再来做一个题目.（师出示例）例解方程：.师：（指准板书）怎么解这个一元二次方程？（稍停）还是要按这三步来做.按这三步来做，关键是哪一步？（稍停）关键是第一步，把方程化成什么＝常数的这种样子，也就是左边化成含有的式子的平方，右边是一个常数这种样子.怎么化呢？大家自己先化一化.（生尝试，师巡视）师：下面我们一起来化.师：（指准方程）要把这个方程化成什么＝常数这种样子，首先要把常数项移到右边去（板书：解：移项，得），然后在这个方程的两边加上（板书：），左边等于什么？（稍停）等于()（边讲边板书：()），右边等于（边讲边板书：＝）.这样我们把原方程化成了含有的式子的平方＝常数这种样子.师：方程化成这种样子，下面就很好做了.开平方，得±（边讲边板书：开平方，得±），解一元一次方程，得到两个根，，（边讲边板书：，）.师：（指准解题过程）这个题目做完了，通过做这个题目，大家不难发现，解这个题目的关键是在方程两边加上，把方程的左边配成().这样做叫什么？叫配方（板书：配方）.师：像这道例题那样，通过把方程左边配成平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法（板书：配方法）.师：下面请大家做几个有关配方法的练习.（五）试探练习，回授调节.填空：()··()；()··()；()()；()()..完成下面的解题过程：解方程：；解：移项，得.配方，得，.开平方，得，，..用配方法解方程：.（六）归纳小结，布置作业师：这节课我们学习了什么？（稍停）我们学习了用配方法解一元二次方程.怎么用配方法解一元二次方程？（指准板书）和直接开平方法一样，都是这么三步，所不同的是，直接开平方法很容易把原方程化成什么＝常数这种样子，而配方法需要通过配方才能把原方程化成这种样子.课外补充作业：.填空：()··()；()··()；()()；()()..完成下面的解题过程：解方程：.解：移项，得.配方，得，.开平方，得，，..用配方法解方程：.四、板书设计课题：22.2.1配方法（第课时）一、教学目标.会用配方法解一元二次方程（二次项系数不为）..培养数感和运算能力.二、教学重点和难点.重点：用配方法解一元二次方程..难点：配方法.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知.完成下面的解题过程：用配方法解方程：.解：移项，得.配方，得，.开平方，得，，..填空：()··13 ()；()()； ()32()； ()().（订正时告诉学生，加上的那个数是一次项系数一半的平方）（二）尝试指导，讲授新课（师出示下面的板书）配方法第一步：化成什么＝常数；第二步：开平方降次；第三步：解一元一次方程.师：（指准板书）上节课我们学习了用配方法解一元二次方程.怎么用配方法解一元二次方程？有这么三步，第一步：通过移项、配方把原方程化成什么＝常数这种样子；第二步：开平方，把一元二次方程转化为一元一次方程；第三步：解一元一次方程，得到两个根.在这三步中，第一步中的配方是关键，所以这种解法叫做配方法.师：下面我们用配方法再来解几个一元二次方程，先看例.（师出示例）（三）尝试指导，讲授新课例 用配方法解方程：14. （先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）解：移项，得14. 配方 252⎛⎫ ⎪⎝⎭14252⎛⎫ ⎪⎝⎭， 25x+=62⎛⎫ ⎪⎝⎭.开平方，得52， 5-2，5-2. （四）试探练习，回授调节.完成下面的解题过程：用配方法解方程：74. 解：移项，得.配方，. 开平方，得，，.（五）尝试指导，讲授新课 师：下面我们再来做一个题目.（师出示例）例 用配方法解方程：.师：（指准方程）这个方程与例这个方程有点区别，区别在哪儿？（稍停）区别主要是，例这个方程的二次项系数是，而这个方程的二次项系数不是.怎么办？我们可以设法把这个方程二次项系数化为.下面大家自己先试着做一做.（以下生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）解：移项，得.二次项系数化为，得231x -x=-22. 配方 2223313x -x+=-+2424⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 231x-=416⎛⎫ ⎪⎝⎭ 开平方，得31x-=44±， , 12. （六）试探练习，回授调节.完成下面的解题过程：用配方法解方程：.解：移项，得.二次项系数化为，得.配方，.开平方，得，..用配方法解方程：.（七）归纳小结，布置作业师：这节课我们继续学习了用配方法解一元二次方程，（指板书）用配方法解一元二次方程就这么三步，解题的关键是第一步.怎么做第一步？（指例）先移项，再把二次项系数化为，然后配方.配方时，要在方程两边加上一次项系数一半的平方.（作业：习题.）四、板书设计课题：22.2.1配方法（第课时）一、教学目标.会先整理再用配方法解一元二次方程（包括没有实数根的情况）..培养数感和运算能力.二、教学重点和难点.重点：先整理再用配方法解一元二次方程..难点：没有实数根的情况.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知.完成下面的解题过程：用配方法解方程：－.解：移项，得.二次项系数化为，得.配方，.开平方，得，.（二）创设情境，导入新课师：上节课我们用配方法解了几个一元二次方程，这节课我们用配方法再来做几个题目.（三）尝试指导，讲授新课（师出示例题）例 用配方法解方程：()()()；()().（先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）解：()整理，得.移项，得.配方 212⎛⎫ ⎪⎝⎭212⎛⎫⎪⎝⎭，2149x+=24⎛⎫⎪⎝⎭.开平方，得1272±，， .()整理，得.移项，得. 二次项系数化为，得24x -2x=-3配方 224x -2x+1=-+13，()21x-1=-3.原方程没有实数根.师：例题做完了，从这个例题，谁能概括怎么用配方法解一元二次方程？（让生思考一会儿，再叫学生）生：……（让一两名好生回答）师：用配方法解一元二次方程，（指准例）第一步要把原方程化成什么＝常数这种样子，怎么化呢？（稍停）先整理，把原方程化成一元一次方程的一般形式；再移项；然后把二次项系数化为；然后再配方，配方时，在方程两边加上一次项系数一半的平方.第一步完成后，看右边的常数，如果右边的常数为负数，说明原方程没有实数根；（指准例）如果右边的常数为非负数，则继续第二步第三步，第二步开平方，第三步解一元一次方程得到两个实数根.（四）试探练习，回授调节.完成下面的解题过程：用配方法解方程：().解：整理，得.移项，得.二次项系数化为，得.配方，.开平方，得，..用配方法解方程：()().（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们用配方法解了几个一元二次方程，通过做题，同桌之间互相说一说，怎么用配方法解一元二次方程？（同桌之间互相说）（作业：练习()()）四、板书设计（略）课题：22.2.2公式法（第课时）一、教学目标.经历一元二次方程求根的推导过程，会用公式法解一元二次方程..发展符号感.二、教学重点和难点.重点：一元二次方程求根公式的推导和运用..难点：一元二次方程求根公式的推导.三、教学过程（一）尝试指导，讲授新课师：（板书：，并指准）这是一个一元二次方程，是未知数，，，都是常数，而且≠（板书：(≠)）.怎么用配方法来解这个一元二次方程？大家自己先试一试.（生尝试，师巡视，要给学生充足的尝试时间）师：我们一起来解这个一元二次方程.首先我们要把这个方程化成什么常数这种样子，怎么化呢？师：先把常数项移到右边（板书：移项，得）.师：再把二次项系数化为，得2bc x +x=-a a （板书：二次项系数化为，得2b c x +x=-a a）. 师：然后配方（板书：配方），怎么配方？（稍停）在方程两边加上一次项系数一半的平方（板书：222b b c b x +x+=-+a 2a a 2a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭），左边是2b x+2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭（板书：2b x+2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭），右边222222222c b b c b 4ac b -4ac -+=-=-=a 4a 4a a 4a 4a 4a（边讲边在黑板的其它地方板演），所以2b x+2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭22b -4ac 4a （边讲边板书：22b -4ac 4a ）. 师：（指准板书）通过移项、二次项系数化为、配方，现在我们把原方程化成了什么常数这种形式，接下来怎么做呢？师：（指准方程）接下来开平方（板书：开平方，得），b x+=2a边板书：b x+=2a ，这个二次根式还可以化简，化简结果是2a（边讲边将上面的二次根式改写成2a）.师：（指准方程）把b 2a 移到方程右边去，可以解出，-b x=2a ±（边讲边板书：）.师：1x （边讲边板书），2x .师：（指准板书）这个方程解完了，通过解这个方程我们得出，一元二次方程的两个根是-b x=2a（在这个式子外加框）.师：（指）忙乎了半天，有的同学可能会问：这个方程尽是字母，很难解，解它有什么用？是啊，大家想一想，解这个方程有什么用啊？（让生思考一会儿，再叫学生）生：……（让几名同学发表看法）师：以前我们解一元二次方程用的是配方法，要一步一步来解，过程比较麻烦.现在好了，通过解这个方程，（指准求根公式）有了这个式子，只需要把二次项系数、一次项系数、常数项代入这个式子，就可以求出根.因为利用这个式子可直接求根，所以我们把这个式子叫做一元二次方程的求根公式（板书：求根公式）.师：（指求根公式）求根公式挺复杂，大家把求根公式写一写，记一记，熟悉熟悉.（生熟悉公式）师：下面我们利用求根公式来解几个一元二次方程. （师出示例题）例 利用求根公式解下列方程： ()； ()；().师：（指()题）怎么利用求根公式解这个一元二次方程？（板书：解：()） 师：（指()题）首先要找出这个方程的二次项系数、一次项系数、常数项，这个方程的，，等于什么？生：，，（生答师板书：，，）.师：找出了，，，接下来干什么？接下来要计算-4ac 的值（板书：-4ac ）. -4ac()××()（边讲边板书：()××()）师：大家可能觉得有点奇怪，找出了，，，为什么不把，，直接代入求根公式，而是先计算-4ac 的值？（稍停后指准求根公式）大家看求根公式，公式中这个二次根式的被开方数是-4ac ，可见-4ac 必须大于等于.计算-4ac 的目的是什么？目的是看一看-4ac 的值是大于等于还是小于.如果-4ac 的值大于等于，下一步才把，，代入求根公式；如果-4ac的值小于，这个二次根式没有意义，说明方程没有实数根.总之，要根据-4ac 值的符号来决定下一步怎么做，所以不能直接把，，代入求根公式，先要求-4ac 的值.师：（指准板书）这个方程的-4ac 等于，大于（边讲边板书：＞），所以下一步可以把，，代入求根公式.师：-b -(-4)4x=2a 212±±±⨯（边讲边板书）.师：1x 1x . （以下师边讲解边板书其它各题，解题过程如下） ()整理，得. ，，， -4ac()××()＞.-b -(-4)46x=2a 2510±±⨯，14+6x ==110，14-61x ==-105.()，××.-b 0x==2a 224±⨯，12x =x =2()整理，得. ，，， -4ac()××＜. 方程没有实数根. （二）试探练习，回授调节 .完成下面的解题过程： 利用求根公式解方程：. 解：，，.-4ac ＞.，1x =_________，1x =__________..利用求根公式解下列方程：()21x =04；()24x ； ()；（三）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了利用求根公式解一元二次方程，利用求根公式解一元二次方程，这种方法叫公式法（板书课题：22.2.2公式法）.师：和配方法相比，用公式法解一元二次方程要简单得多，不过我们还要看到，公式法所用的求根公式是用配方法推导出来的，所以我们说，公式法更简单，配方法更基本.（作业：习题()()()()） 四、板书设计（略）22.2.2公式法(≠) 例移项，得…… 二次项系数化为，得……配方…… …… 开平方，得…… …………课题：22.2.2公式法（第课时） 一、教学目标.会较熟练地用公式法解一元二次方程..知道什么是判别式，会根据判别式的值确定解的情况.二、教学重点和难点.重点：根据判别式的值确定解的情况. .难点：根据判别式的值确定解的情况. 三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知 .完成下面的解题过程： 用公式法解下列方程： (). 解：，，. -4ac ＞.，1x =_________，1x =__________.解：整理，得. ，，. -4ac.，12x =x =_________.()().解：整理，得. ，，. -4ac ＜.方程实数根. （二）尝试指导，讲授新课 （师出示下面的板书） 一元二次方程()当-4ac 时，方程有两个不相等的实数根；()当-4ac时，方程有两个相等的实数根；()当-4ac时，方程没有实数根.师：刚才我们解了个一元二次方程，我们是怎么解方程的？（稍停）师：（指准板书）首先我们把方程化成一元二次方程的一般形式，也就是这样的形式.师：然后计算-4ac的值，（指准板书）当-4ac的值怎么样时，方程有两个不相等的实数根？生：当-4ac＞时（多让几名同学回答，然后师填入：＞）.师：（指准板书）当-4ac的值怎么样时，方程有两个相等的实数根？生：当-4ac＝时（多让几名同学回答，然后师填入：＝）.师：（指准板书）当-4ac的值怎么样时，方程没有实数根？生：当-4ac＜时（生答师填入：＜）.师：（指板书）通过解一元二次方程，我们得到了这个的结论，请大家一起来把这个结论读两遍.（生读）师：（指板书）这是一个很重要的结论，这个结论告诉我们，一元二次方程根的情况由式子-4ac决定，所以我们把式子-4ac叫做一元二次方程根的判别式（板书：-4ac叫做根的判别式），记作△（板书：记作△）.师：下面我们就利用这个结论来做一个题目.（师出示下面的例题）例利用判别式判断下列方程的根的情况：()；()；()().（师边讲解边板书，解题过程如下）解：()，，.△-4ac××()＞，方程有两个不相等的实数根.()整理，得，，.△-4ac()××，方程有两个相等的实数根.()整理，得，，.△-4ac()××＜，方程没有实数根.（三）试探练习，回授调节.利用判别式判断下列方程的根的情况：()；()()()；（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了什么？（稍停）我们学习了利用判别式判断方程根的情况.请大家再把这个结论读一遍.（生读）（作业：习题()()）四、板书设计（略）一元二次方程例()当-4ac＞时……()当-4ac时……()当-4ac＜时……课题：22.2.3因式分解法（第课时）一、教学目标.会用因式分解法解一元二次方程，领会因式分解法的实质是降次..培养式的变形能力，发展符号感.二、教学重点和难点.重点：用因式分解法解一元二次方程..难点：式的变形.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知.完成下面的解题过程：用公式法解方程：()() 解：整理，得. ，，. -4ac ＞.x=__________________=______，1x =_________，2x =__________.（二）尝试指导，讲授新课师：刚才我们解了一个方程，我们是怎么解的？（稍停）我们先整理得到了方程（边讲边板书：），然后用公式法求出两个根.师：（指）除了用公式法，大家想一想，还有别的更简单的方法解这个方程吗？（让生思考一会儿）师：（指）我们把这个方程的左边分解因式（板书：因式分解，得），得到()（边讲边板书：()）.师：（指准()）乘以等于，这说明什么？ 生：……（多让几名同学发表看法）师：（指准()）乘以等于，说明或者（板书：于是得或）.师：（指准板书）这样我们通过因式分解把一元二次方程转化成了两个一元一次方程.接下来解这两个一元一次方程，由得到（板书：），由，得到23x =2（板书：23x =2）. 师：（指板书）用这种方法解出的结果与用公式法解出的结果是一样的，但显然用这种方法解更简单.大家再看一看，用这种方法解方程，哪一步是关键？生：因式分解.（多让几名同学回答）师：因式分解是这种方法的关键，那么这种方法应该叫做什么法？ 生：（齐答）因式分解法.（师板书课题：22.2.3因式分解法）师：通过因式分解来解一元二次方程，这种方法叫做因式分解法.下面我们用因式分解法再来解几个一元二次方程.（师出示例题）例 用因式分解法解下列方程： ()()；()1434；()()().（师边讲解边板书，()()题解题过程如课本第页所示，()题解题过程如下） ()移项，得 ()().因式分解，得()().于是得或，12y=-3，.师：我们用因式分解法做了几个题，通过做题，哪位同学会归纳用因式分解法解一元二次方程的步骤？（让生思考一会儿再叫学生）生：……（让两名学生归纳）师：（指准例()题）用因式分解法解一元二次方程，先把方程右边移到左边，再把左边分解因式，化为两个一次式的乘积等于的形式，然后得到两个一元一次方程，最后分别解这两个一元一次方程，得到两个根.师：按这样的步骤，下面同学们自己做几个练习.（三）试探练习，回授调节.完成下面的解题过程：解：移项，得.因式分解，得.于是得或，，..用因式分解法解下列方程：()；()；()()；()()().（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了用因式分解法解一元二次方程，因式分解法是一种比较简单的解方程的方法，它是通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程，从而达到降次的目的（边讲边板书：降次）.解一元二次方程的基本思路是什么？（稍停）基本思路是降次.配方法是通过配方来降次，因式分解法是通过因式分解来降次.降次是解一元二次方程的基本思路，这一点还希望同学们能好好理解，好好体会.（作业：习题）四、板书设计（略）22.2.3因式分解法例因式分解，得()于是得或，，3 2课题：22.2.3因式分解法（第课时）一、教学目标.通过基本训练，复习巩固解一元二次方程的四种方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）..会选择适当的方法解一元二次方程.二、教学重点和难点.重点：复习巩固四种方法..难点：选择适当的方法解一元二次方程.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知.填空：解一元二次方程的方法有四种，它们是直接开平方法、、、..完成下面的解题过程：()用直接开平方法解方程：()；解：原方程化成.开平方，得，，.()用配方法解方程：；解：移项，得.二次项系数化为，得. 配方， .开平方，得， ，.()用公式法解方程：(). 解：整理，得. ，，. -4ac ＞.,，.()用因式分解法解方程：(). 解：移项，得. 因式分解，得. 于是得或， ，.（二）尝试指导，讲授新课 （师出示下表）直接开平方法 配方法公式法因式分解法过程 简单 复杂 较简单简单 适用某些所有所有某些师：前面我们学习了解一元二次方程的四种方法，哪四种方法？（指准表）直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.这四种方法各有各的特点，这个表反映了它们各自的特点.师：（指准表格）直接开平方法解方程的过程简单，但这种方法只能用于解某些一元二次方程.譬如，，()（边讲边板书），这样的方程可以用直接开平方法来解.师：（指准表格）配方法解方程过程最复杂，但这种方法适用于所有的一元二次方程，也就是说，任何一元二次方程都可以用配方法来解.师：（指准表格）公式法解方程的过程比较简单，而且这种方法适用于所有的一元二次方程.师：（指准表格）因式分解法解方程的过程简单，但这种方法和直接开平方法一样只能用于解某些一元二次方程.譬如，，()（边讲边板书方程），这样的方程可以用因式分解法来解.师：知道了四种方法各自的特点，下面我们来看一道例题.（师出示例题）例指出下列方程用哪种方法来解比较适当：()()()；()；()().师：解一元二次方程有四种方法，现在要你指出这几个方程用哪种方法来解比较适当，请大家自己先考虑考虑.（让生思考一会儿）师：谁来说说你的想法？生：……（多让几名同学发表看法，最好要说出理由）师：（指准表格）在四种方法中，用直接开平方法、因式分解法解方程最简单，所以先要看能不能用这两种方法来解.如果不能用直接开平方法来解，也不能用因式分解法来解，就要用公式法来解.因为公式法能解所有的一元二次方程，它是“万能”的，而且比较简单.师：根据这样的思路，我们来看这道例题.师：（指例()题）这个方程能用直接开平方法解吗？（稍停）不能.能用因式分解法解吗？（稍停）能（板书：解：()因式分解法）.师：（指例()题）这个方程能用直接开平方法解吗？（稍停）不能.能用因式分解法解吗？（稍停）不能.所以要用公式法解（板书：()公式法）.师：（指例()题）这个方程用什么方法解合适？生：（齐答）直接开平方法（生答师板书：()直接开平方法）.师：这个例题做完了，做完了例题有的同学可能会提出一个问题，什么时候用配方法解方程？（稍停）老师要告诉大家，因为用配方法解方程最复杂，所以我们一般不用配方法解方程.师：有的同学可能会接着问：既然不用配方法解方程，为什么要学配方法？（稍停）在四种方法中，公式法最有用，什么方程都可以用公式法来解，而且比较简单，但求根公式是怎么推导出来的？（稍停）求根公式是用配方法推导出来的，不学配方法哪有公式法？所以我们说，公式法最有用，配方法最基本，而直接开平方法、因式分解法最简单，但这两种方法只适用于某些特殊的一元二次方程.（三）试探练习，回授调节.指出下列方程用哪种方法来解比较适当：()()；()()()；()().（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们复习了解一元二次方程的四种方法，这四种方法各有各的特点，但它们的基本思路是相同的.相同的思路是什么？（稍停）相同的思路是把一元二次方程化为一元一次方程，也就是降次（板书：降次）.不管用什么方法，降次是解一元二次方程的基本思路.课外补充作业：.先指出下列方程用哪种方法来解比较合适，然后再按这种方法解：()()；()()()；()()()..用配方法解方程：.四、板书设计表格例()()。
新课标人教版九年级上册数学全册教案(完整版)(2018)
新课标人教版九年级上册数学全册教案第二十一章 一元二次方程21. 1 一元二次方程教学目标1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．2.了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 重点难点重点：通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点：一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项系数的识别． 教学过程活动一：创设情境1．什么是方程？什么是一元一次方程？2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别是什么方程？(1)3x ＋4＝1；(2)6x －5y ＝7；(3)3x 4－y 5＝0；(4)51y ＝5；(5)x 2－70x ＋825＝0；(6)7＋y －23＝4；(7)x(x ＋5)＝150；(8)54x －3y ＝0.3．什么是“元”？什么是“次”？活动二：一元二次方程及其相关概念的学习自学教材第2～3页，思考教师所提下列问题：1．问题1中列方程的等量关系是________，所列方程为________，化简后为________．2．问题2中列方程的等量关系是________，为什么要乘21？所列方程为________，化简后为________．3．观察上面化简后的方程，会发现：等号两边都是________，只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的方程，叫做一元二次方程．4．任何一个方程都要化成它的一般形式，一元二次方程的一般形式为________(a ≠________)．为什么？5．说出一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项，在确定各个系数时要注意什么？设计意图：通过设问的方式来加深学生对一元二次方程的理解，排除学生对一元二次方程及其相关概念理解的障碍，让学生体会到一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型，同时，通过设问也给学生学习探究搭建了交流平台．活动三：尝试练习1．判断下列方程是否为一元二次方程．(1)3x＋2＝5y－3；(2)x2＝4；(3)3x2－x5＝0；(4)x2－4＝(x＋2)2；(5)ax2＋bx＋c＝0.2．方程2x2＝3(x－6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为( )A．2，3，－6 B．2，－3，18 C．2，－3，6 D．2，3，6(答案：1.略；2.B.)活动四：知识拓展例关于x的方程(m＋1)x|m|＋1＋3x＝6，当m＝________时，该方程是一元二次方程．分析：要使(m＋1)x|m|＋1＋3x＝6为一元二次方程，除了考虑未知数的最高次数为2，还要想到m＋1≠0.解题过程略．活动五：课堂小结和作业布置课堂小结：1．一元二次方程的概念是什么？一个一元二次方程必须同时满足三个要素：(1)整式；(2)方程整理后含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是二次．2．一元二次方程的一般形式是什么？二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项的概念分别是什么？作业布置：1．教材第4页练习第1～2题．2．若x2－2x m－1＋3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值．21. 2 解一元二次方程21. 2. 1 配方法(2课时)第1课时配方法的基本形式教学目标1．理解一元二次方程降次的转化思想．2．会利用直接开平方法对形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程进行求解．重点难点重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．教学过程活动一：情境引入印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽叽喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起．”大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的81的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？(多媒体展示问题．学生互相讨论、分析理解．教师点拨、启发、引导学生分析解题．)设计意图：寓教于乐，可激发学生的探索欲望．活动二：探索发现1．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点P从点B开始，沿BA边向点A以1 cm/s 的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，如果AB ＝6 cm，BC＝12 cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8 cm2?2．能否求下列方程的解？(1)(2t＋1)2＝8；(2)4(x－3)2＝225；(3)9x2－6x＋1＝0；(4)x2＋4x＋4＝1.(教师引导学生观察、分析、探索．学生小组内交流、探讨知识的发展变化，找出规律，升华为理论知识．)设计意图：通过该活动引导学生探究、发现解一元二次方程的解法．通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．活动三：归纳总结——由感性到理性问题1：你能和同伴交流吗？降次的实质：____________________.降次的方法：____________________.降次体现了________思想．2．如果方程能化成x2＝p或(nx＋m)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝________，或nx＋m＝________.(学生与同伴交流后将其发现告诉教师并共同探索．)设计意图：进一步体验充满探索与创造的数学活动，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．活动四：巩固练习1．教材第6页练习．2．你学会了吗？解下列方程：(1)(21x－2)2＝3；(2)2x2－98＝0；(3)x2－6x＋9＝2；(4)10(1＋x)2＝14.4；(5)(1＋x＋21)2＝2.56；(6)x4－6x2＋9＝0；(7)41(3x＋1)2－15＝0.(教师引导，组织学生练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，对学生存在的共性问题做好补教．强调该方法的依据是平方根的意义．学生独立思考解决问题．)设计意图：通过练习，帮助学生熟练掌握开平方法的应用，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．活动五：师生小结1．本节课你感受到了什么？2．根据本节课解方程的方法，你能谈谈你的收获吗？3．你认为应该注意什么？4．本节课你的困惑是什么？5．你认为最让你费解的地方在哪里？(教师启发学生回忆．学生可以与同伴交流，也可以请教老师．)设计意图：创造一个平等民主的学习氛围，尽可能地让学生把自己的所思所想表达出来，以期共同提高．活动六：布置作业教材第16页习题21.2第1题．(教师布置作业，学生按要求课外完成．)21. 2 解一元二次方程21. 2. 1 配方法(2课时)第2课时配方法的灵活应用教学目标1．理解配方法．2．会利用配方法熟练、灵活地解二次项系数为1的一元二次方程．重点难点重点：用配方法熟练地解二次项系数为1的一元二次方程．难点：灵活地运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．教学过程活动一：复习引入问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽应各是多少？(1)如何设未知数？根据题目的等量关系如何列出方程？(2)所列方程和之前我们学习的方程x2＋6x＋9＝2有何联系与区别？(3)你能由方程①x2＋6x＋9＝2的解法联想到怎样解方程②x2＋6x－16＝0吗？(学生完成问题(1)，列出方程．如何解这个方程呢？学生观察问题(2)，找到联系与区别，教师可点拨启发．问题(3)，学生思考、讨论．) 设计意图：问题(1)益于培养学生的应用意识，可激发学生的探究欲．问题(2)激起学生学习的欲望．活动二：实验发现我们研究方程x2＋6x＋7＝0的解法：将方程视为x2＋2·x·3＝－7，配方，得x2＋2·x·3＋32＝32－7，即(x＋3)2＝2，由此可得x＋3＝±，所以x1＝－3＋，x2＝－3－.这种解一元二次方程的方法叫做配方法．这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解．总结发现：用配方法解一元二次方程的步骤．①把原方程化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．(教师引导学生观察、分析、发现和提出问题．让学生用自己的方法探究一元二次方程的解法．)设计意图：通过引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．培养学生善于总结思考的能力．活动三：用配方法解决问题例解下列方程：(1)x2－2x－35＝0；(2)2x2－4x－1＝0.分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上．解：(1)x2－2x＝35.x2－2x＋12＝35＋12.(x－1)2＝36，x－1＝±6，x－1＝6，x－1＝－6，x 1＝7，x2＝－5.可以验证x1＝7，x2＝－5都是方程x2－2x－35＝0的根．(2)x2－2x－21＝0，x2－2x＝21，x2－2x＋12＝21＋12，(x－1)2＝23，x－1＝±26，即x－1＝26，x－1＝－26，x 1＝1＋26，x2＝1－26.可以验证x1＝1＋26，x2＝1－26都是方程2x2－4x－1＝0的根．(可以让两位学生演示．可给学生提示两边同时除以二次项的系数．验证不可少，但可写也可不写．)设计意图：通过练习，使学生认识到：配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方(二次项系数必须为1)．培养学生做事严谨周密的习惯．活动四：巩固练习1．填空：(1)x2＋10x＋( )＝( )2；(2)x2－8x＋( )＝(x－ )2；(3)x2＋x＋( )＝(x＋ )2；(4)4x2－6x＋( )＝4(x－ )2＋( )．2．用配方法解方程：(1)x2＋8x－2＝0；(2)x2－5x－6＝0；(3)x2＋7＝6x.(教师引导，组织学生练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，共性问题做好补教．学生独立思考解决问题．)设计意图：通过练习，帮助学生熟练掌握方法的应用，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．活动五：师生小结1．小结：应用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的要点是：(1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数；(3)方程两边各加上一次项系数一半的平方．2．布置作业：教材第17页习题21.2第2，3题．(教师发动学生共同参与，语言切忌主观，站在学生的角度看待每一点．教师布置作业，分层次提出要求．)设计意图：梳理学习内容、方法、思路，养成系统整理知识的习惯，形成知识体系．加深认识，深化提高，形成知识体系．21. 2. 2 公式法教学目标1．理解一元二次方程求根公式的推导过程．2．会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程．重点难点重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．教学过程活动一：复习引入用配方法解下列方程：(1)6x2－7x＋1＝0；(2)4x2－3x＝52.总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，教师点评)．(1)移项；(2)化二次项系数为1；(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方；(4)原方程变形为(x＋m)2＝n的形式；(5)如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解；如果右边是负数，则一元二次方程无解．(安排两名学生板书．教师引导学生回忆用配方法解一元二次方程的基本思路及基本步骤．)设计意图：通过复习引入，让学生回忆配方法的解题思路，并通过两道练习题巩固所学知识，同时为本节课的学习做好铺垫．活动二：实验发现如果一个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它的两根？请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且b2－4ac≥0，试推导它的两个根x1＝2ab2－4ac，x 2＝2ab2－4ac.分析：因为前面具体数字已做得很多了，我们现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤可以一直推导下去．解：移项，得ax2＋bx＝－c，二次项系数化为1，得x2＋a b x＝－a c，配方，得x2＋a b x＋(2a b)2＝－a c ＋(2a b)2， 即(x ＋2a b)2＝4a2b2－4ac①.因为a ≠0，所以4a 2>0，式子b 2－4ac 的值有以下三种情况： (1)当b 2－4ac>0时，4a2b2－4ac>0. 由①直接开平方，得 x ＋2a b＝ ±2a b2－4ac， 即x ＝2a b2－4ac ， ∴x 1＝2a b2－4ac ， x 2＝2a b2－4ac.(2)当b 2－4ac ＝0时，4a2b2－4ac＝0，由①可知，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2a b.(3)当b 2－4ac<0时，4a2b2－4ac<0，由①可知(x ＋2a b)2<0，因此方程无实数根． 由上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)根的判别式，通常用希腊字母Δ表示它，即Δ＝b 2－4ac ，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当Δ≥0时，将a ，b ，c 的值代入式子x ＝2a b2－4ac 就能得到方程的根；当Δ<0时就能得到方程无实数根．(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式． (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． (4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．(教师引导、启发学生探索求根公式并得出公式法的概念．也可课件演示推导过程．引导学生做完题后总结．)设计意图：让学生亲自动手实验，探究结论，激发兴趣．培养学生爱动脑思考的好习惯．活动三：利用公式解决问题教材第11页例2.(找四位学生板书，教师巡视及时发现错误及时纠正，对于部分学生给予适当鼓励．)设计意图：加深对所学知识的理解．活动四：巩固练习1．解下列方程：(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－7x＝4；(3)2x2－3x＋1＝0.2．应用题：有一长方形的桌子，长为3 m，宽为2 m，一长方形桌布的面积是桌面面积的2倍，且将桌布铺到桌面上时各边垂下的长度相同，则桌布长为________，宽为长度相同，则桌布长为________．(教师引导，组织练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，共性问题做好补教．学生独立思考解决问题．)设计意图：通过练习，帮助学生熟练掌握公式法，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．活动五：师生小结1．本节课你有什么困惑，请你大声地告诉老师．2．本节课你有何感想，请你畅所欲言．3．本节课你有何收获，请你与同伴分享．布置作业：教材第17页习题21.2第4，5题．21. 2. 3 因式分解法教学目标1．了解因式分解法的概念．2．会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程．重点难点重点：应用因式分解法解一元二次方程．难点：将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式进行因式分解．教学过程活动一：复习引入问题(学生活动)解下列方程．(1)2x2＋x＝0(用配方法)．(2)3x2＋6x＝0(用公式法)．(3)要使一块矩形场地的长比宽多3 m，并且面积为28 m2，场地的长和宽应各是多少？(4)如何设未知数并根据题目的等量关系列出方程？(5)所列方程和以前我们学习的方程x2＋6x＋9＝2有何联系与区别？(6)你能由方程x2＋6x＋9＝2的解法联想到怎样解方程x2＋3x－28＝0吗？(鼓励学生自主探究、小组合作交流．)设计意图：通过复习引入，让学生回忆配方法和公式法的解题思路，并通过两道练习题巩固所学知识，同时为本节课的学习做好铺垫．活动二：实验发现思考：(1)x(2x＋1)＝0；(2)3x(x＋2)＝0.问题：(1)你能观察出这两题的特点吗？(2)你知道方程的解吗？说说你的理由．因式分解法的理论根据是：两个因式的积等于零，那么这两个因式的值就至少有一个等于零．即：若ab＝0，则a＝0或b＝0.由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式的乘积而另一边等于0时，即可解之．这种方法叫做因式分解法．(3)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解．(教师展示练习．对于一部分学生老师可给予一定的帮助，也可以鼓励同学之间互相帮助．)设计意图：让学生亲自动手实验、探究结论、激发兴趣．活动三：用因式分解法解决问题教材第14页例3.补充例题：解方程．(1)3x2＝8x，(2)(x－4)2＝3x－12.分析：(1)移项提取公因式x；(2)等号右侧移项到左侧得－3x＋12，提取因式－3，即－3(x－4)，再提取公因式x－4，便可达到分解因式的目的，一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式．解：(1)移项，得3x2－8x＝0，因式分解，得x(3x－8)＝0，于是，得x＝0或3x－8＝0，x 1＝0，x2＝38.(2)移项，得(x－4)2－3x＋12＝0，(x－4)2－3(x－4)＝0，因式分解，得(x－4)(x－4－3)＝0，整理，得(x－4)(x－7)＝0，于是，得x－4＝0或x－7＝0.x 1＝4，x2＝7.(找两位同学板书，教师巡视及时发现错误及时纠正，对于部分学生给予适当鼓励．)设计意图：加深对所学知识的理解．活动四：巩固练习1．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－6x＋8＝0的解，则这个三角形的周长是( )A．8 B．8或10 C．10 D．8和10 2．用因式分解法解方程4(x＋1)－3x(x＋1)＝0，可把其化为两个一元一次方程________、________求解．3．方程(x＋1)(x－2)＝0的根是( )A．x＝－1 B．x＝2 C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝－1，x2＝24．解下列方程：(1)x2－3x－10＝0；(2)(x＋3)(x－1)＝5.(教师引导，组织练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，共性问题做好补教．学生独立思考解决问题．)设计意图：通过练习，帮助学生熟练掌握一元二次方程的解法，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．活动五：师生小结(1)用因式分解法，即用提取公因式法、平方差公式、完全平方公式等解一元二次方程．(2)三种方法(配方法、公式法、因式分解法)的联系与区别：联系：①降次，它们的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．②公式法是由配方法推导而得到．③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．区别：①配方法要先配方，再开方求根．②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使每个一次因式等于0.布置作业：教材第17页习题21.2第6题．*21. 2. 4 一元二次方程的根与系数的关系教学目标1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．2．灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题．3．提高学生综合运用基础知识分析解决复杂问题的能力．重点难点重点：一元二次方程的根与系数的关系．难点：对根与系数的关系的理解和推导．教学过程活动一：引入新课我们知道，方程的根是由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的各项系数a，b，c决定的．我们还知道根是由b2－4ac决定其情况的．今天我们来研究方程的两根的和及两根的积与a，b，c有怎样的关系？(教师出示问题，学生初步了解本节课的学习内容．教师引出新课并板书课题．)设计意图：开门见山，引入新课．活动二：思考与归纳从下表中找出两根之和x1＋x2与两根之积x1x2和a，b，c的关系：归纳：(1)形如x 2＋px ＋q ＝0的一元二次方程两根的和、积分别与系数有如下关系：x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q.(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的一元二次方程的两根的和、积分别与系数有如下关系：x 1＋x 2＝－a b，x 1x 2＝a c.(教师引导学生先观察表格中前三行，看有什么共同规律？再观察后三行．学生观察、思考、归纳、总结．)设计意图：通过几个具体的方程，经过观察、归纳得出一般规律． 活动三：推理验证验证ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1，x 2与a ，b ，c 的关系． 设ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2. 则x 1＝2a b2－4ac，x 2＝2a b2－4ac， 由此可知x 1＋x 2＝2a b2－4ac＋2a b2－4ac＝2a －2b＝－a b ， x 1x 2＝2a b2－4ac·2a b2－4ac＝4a2（－b ）2－（b2－4ac ）＝a c.(教师让学生通过推导证明前面的结论．教师引导：由求根公式求出x 1＋x 2，x 1x 2.)设计意图：通过推导证明渗透由特殊到一般的认知规律． 活动四：巩固练习 1．应用例4 教材第16页．补充例题：不解方程，若知道5x 2＋kx ＋12＝0的一个根为4，你能求出方程的另一个根吗？2．巩固练习教材第16页练习．(教师让学生尝试独立解决，师生共议．学生独立完成后，小组交流．教师引导：方法一，利用根与系数的关系，由两根之积和一个根，求出另一个根；方法二，把已知的一根4，代入原方程求出k，再把k值代入原方程，再利用两根之和与系数的关系求出另一根．教师巡视，学生独立完成．)设计意图：巩固根与系数的关系(韦达定理)的同时，增强学生的应用意识．巩固所学知识，培养学习能力．活动五：师生小结1．一元二次方程的根与系数有怎样的关系？2．对本节课你还有什么困惑？3．布置作业：教材第17页第7题．《实际问题与一元二次方程——几何动点问题》教学目标1.能根据问题中数量关系列一元二次方程，体会数学建模的优越性.2.使学生进一步掌握利用一元二次方程解决几何中的动点问题，体会几何问题代数化.3.进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生主动探索事物之间内在联系的学习习惯。
2018年冀教版九年级数学上册全册教案(含教学反思)
第二十三章数据分析1.经历收集、整理、描述和分析数据的活动,了解数据处理的过程,能用计算器处理较为复杂的数据.2.进一步理解平均数、中位数和众数等统计量的意义.3.会计算加权平均数,理解“权”的意义,能选择适当的统计量表示数据的集中趋势.4.体会刻画数据离散程度的意义,会计算简单数据的方差.5.体会样本和总体的关系,知道可以通过样本平均数、样本方差估计总体平均数和总体方差.6.能对统计结果进行合理的解释,进而进行简单的判断和预测,并能进行交流,清晰地表达自己的观点,体会统计对决策的作用.1.在实际问题情境中理解平均数、加权平均数、众数、中位数、方差的意义,体会数学与生活的密切联系,培养学生的应用意识和实践能力.2.经过进一步数据处理的过程,发展数据分析观念和数据分析处理能力,增强统计意识,提高统计能力.3.通过观察、理解、讨论、合作交流,体会如何探究问题,培养学生用数学知识解决生活中实际问题的能力.4.通过解决实际问题的过程,区分刻画“平均水平”的三个表示集中趋势的数据代表,让学生获得一定的评判能力,进一步发展其数学应用能力.5.通过小组合作活动,培养学生的合作意识和交流能力,激发学生学习兴趣,让学生体验成功的快乐.6.通过解决具体的实际问题进一步学习用样本估计总体的方法,认识统计在社会生活及科学领域中的应用,并能解决一些简单的实际问题.1.通过解决实际问题,体会数学与自然及人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心.2.通过小组合作活动,培养学生自主探索和合作交流的意识和能力,激发学生学习兴趣,体验成功的快乐.3.将知识的学习放在解决问题的情境中,通过数据分析与处理,培养学生求真的科学态度.4.通过计算器的使用,了解科学在人们日常生活中的重要作用,激励学生热爱科学、学好文化知识.【重点】1.平均数、加权平均数、中位数、众数、方差的概念、意义及计算.2.能根据平均数、中位数、众数、方差的概念解决实际问题.3.在实际问题中,能选择恰当的数据代表值描述一组数据的特征,并根据恰当的统计量进行决策.4.能用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差.【难点】1.利用平均数、中位数、众数、方差的概念解决实际问题.2.在实际问题中,能选择恰当的数据代表值描述一组数据的特征,并根据恰当的统计量做出决策.3.体会用样本估计总体的思想.1.现阶段的统计学习,是从实际问题出发,经历收集数据、整理数据、表示数据、分析数据和做出判断的过程,在解决问题的过程中,要理解相关概念,体会统计的基本思想,掌握简单的分析数据的方法,逐步建立数据分析的概念.在教学中多创造贴近学生生活实际的情境,让学生感受统计与实际生活的密切联系,以及统计在解决现实问题中的作用.2.统计观念反映的是由一组数据所引发的想法、能推测到的可能结果以及自觉地想到用统计的方法解决问题等,是在亲身经历统计活动的过程中培养出来的一种感觉,在教学中多采用学生活动的方式进行教学,在教学活动中教师应引导学生独立思考,明确具体任务,提出解决问题的设想和策略,然后对数据进行不同分析、不同解释,进而进行小组内合作交流,通过比较得到恰当的结论.3.在统计活动中,我们大多面对的是样本数据,由不同的样本数据计算得出的“统计量”可能不同,这反映了统计结果的不确定性.对有些问题,可以采用小组分工合作的方式,对不同的样本数据进行分析,通过交流和比较,体会统计结果既有不确定性,又有其规律性.4.统计教学的核心目标是培养学生的数据分析概念,应当把渗透统计思想、掌握数据分析的方法、理解“统计量”的意义和作用作为重点.避免将学生的主要精力引到复杂的计算中,在理解算法的基础上,尽量使用计算器处理复杂的数据.23.1平均数与加权平均数3课时23.2中位数和众数2课时23.3方差2课时23.4用样本估计总体1课时回顾与反思1课时23.1平均数与加权平均数1.理解平均数的意义,会计算一组数据的算术平均数.2.会用计算器计算一组数据的平均数.3.理解加权平均数的意义,了解“权”的含义,会计算一组数据的加权平均数.4.能说出算术平均数和加权平均数的联系和区别,并能利用它们解决一些实际问题.5.了解在实际生活中用样本平均数估计总体平均数.1.在实际问题情境中理解平均数、加权平均数的意义,体会数学与生活之间的密切联系.2.经历数据收集和处理的过程,发展学生初步的统计意识和数据处理的能力.3.通过观察、理解、讨论、合作交流,体会如何探究问题,培养学生用数学知识解决生活中实际问题的能力.4.通过探索算术平均数和加权平均数的联系和区别,发展求同和求异思维.5.通过用估测的方法解决实际问题,提高学生的应用意识,发展学生数学应用能力.1.让学生体会数学来源于生活,培养学生学数学、用数学的习惯.2.通过小组合作,培养学生的合作意识,激发学生学习兴趣,体验成功的快乐.3.通过计算器的使用,了解科学在人们日常生活中的重要作用,激励学生热爱科学、学好文化知识.4.通过解决实际问题,体会数学与自然及人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心.5.通过参与数学活动,增强学生的实践能力,让学生体验学习带来的快乐.【重点】平均数、加权平均数的概念及计算.【难点】平均数、加权平均数在实际生活中的应用.第课时1.理解平均数的意义.2.会计算一组数据的算术平均数.3.会用计算器计算一组数据的平均数.1.在实际问题情境中理解平均数的意义,体会数学与生活的密切联系.2.经历数据收集和处理的过程,发展学生初步的统计意识和数据处理的能力.3.通过观察、理解、讨论、合作交流,体会如何探究问题,培养学生用数学知识解决生活中实际问题的能力.1.让学生体会数学来源于生活,培养学生学数学、用数学的习惯.2.通过小组合作活动,培养学生的合作意识,激发学生学习兴趣,体验成功的快乐.3.通过计算器的使用,了解科学在人们日常生活中的重要作用,激励学生热爱科学、学好文化知识.【重点】算术平均数的计算.【难点】平均数在不同情境中的应用.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P2~4.导入一:【课件展示】张老师乘公交车上班,从家到学校有A,B两条路线可选择.对每条路线,各记录了10次路上花费的时间,依据数据绘制的统计图如图所示.根据图形提供的信息,你能判断哪条路线平均用时较少,哪条路线用时的波动较大吗?如何定量地描述平均用时及数据的波动情况?【师生活动】教师展示课件,学生观察图形,直观上得到结论,教师导入本章课题.[导入语]我们通过直观上观察得到路线A平均用时较少,路线B波动较小,那么我们如何通过定量计算描述平均用时和波动大小呢?通过本章的学习将得到解决.导入二:【课件展示】欣赏篮球比赛图片.【问题】怎样衡量哪支球队的身材更为高大?【师生活动】学生思考回答,师生共同导出本节课课题——平均数.导入三:复习提问:1.什么是平均数?2.如何求一组数据的平均数?【师生活动】学生思考回答,教师点评,导出本节课课题并板书.[设计意图]通过实际问题情境导出本章课题,再通过学生感兴趣的篮球赛实际问题导出本节课课题,激发学生的学习兴趣和探究本节课知识的欲望,感受生活与数学的密切联系.通过复习小学学过的平均数的概念和计算,做好新旧知识的衔接,为本节课的学习做好铺垫.[过渡语]在小学,我们对平均数已经有了一定的认识.现在,我们一起来探究平均数的意义和平均数在解决实际问题中的作用.共同探究一实际问题中平均数的计算【课件展示】某农科院为了寻找适合本地的优质高产小麦品种,将一块长方形试验田分成面积相等的9块,每块100 m2,在土壤肥力、施肥、管理等都相同的条件下试种A,B两个品种的小麦.小麦产量如下表:(1)观察下图,哪个品种小麦的产量更高些?(2)以100 m2为单位,如何比较A,B两个小麦品种的单位面积产量?(3)如果只考虑产量这个因素,哪个品种更适合本地种植?思路一教师引导分析:1.通过直观观察,你能得到哪个品种小麦的产量更高些吗?2.要比较哪个品种的产量高,我们通常通过计算什么值定量比较?3.如何求一组数据的平均值?4.你能求出A,B两个小麦品种的单位面积产量吗?5.通过计算,你认为哪个品种更适合本地种植?【师生活动】学生思考回答,独立完成解答过程,小组内交流答案,学生展示结果后,教师点评,并归纳得出结论:由于同一品种在不同试验田上的产量有差异,要比较两个品种哪个产量高,通常情况下是比较它们的平均产量.【课件展示】解:A品种小麦的平均产量:×(95+93+82+90+100)=92(kg),B品种小麦的平均产量:×(94+100+105+85)=96(kg).就试验结果来看,B品种小麦比A品种小麦的平均产量高,B品种更适合本地种植.思路二【师生活动】教师引导学生直观观察哪个品种的小麦的产量高,然后学生独立思考如何计算验证自己的结论是否正确,给学生足够的时间小组内合作交流,完成计算过程,小组代表展示,教师点评并进行归纳.【课件展示】解:A品种小麦的平均产量:×(95+93+82+90+100)=92(kg),B品种小麦的平均产量:×(94+100+105+85)=96(kg).就试验结果来看,B品种小麦比A品种小麦的平均产量高,B品种更适合本地种植.[设计意图]教师引导学生观察统计图,培养学生的读图能力和直观思维,再通过小组合作交流完成计算,提高学生的计算能力,为归纳概括算术平均数的概念做好铺垫,问题情境的引入,有利于学生对平均数的意义和作用进行深入理解.归纳概念教师引导思考:1.如果有n个数x1,x2,…,x n,你如何求它们的平均数?2.每个数与平均数的差的和是多少?(一组数据中,每个数据与平均数的偏差总和为0)【师生活动】学生思考回答,教师点评.师生共同归纳并课件展示算术平均数的概念.【课件展示】一般地,我们把n个数x1,x2,…,x n的和与n的比,叫做这n 个数的算术平均数,简称平均数,记作,读作“x拔”,即(x1+…+x n).因为(x1-)+…+(x n-)=0,所以取平均数可以抵消各数据之间的差异.因此,平均数是一组数据的代表值,它反映了数据的“一般水平”.[设计意图]学生通过回答问题,与教师共同归纳出平均数的概念,并体会平均数反映了一组数据的平均水平,进一步理解平均数的意义,同时培养学生归纳总结能力及数学理解能力.做一做【课件展示】从一批鸭蛋中任意取出20个,分别称得质量如下:8085707585858080758585807585807585708075(1)整理数据,填写统计表.质量/g 70 75 80 85频数(2)求这20个鸭蛋的平均质量.思路一【师生活动】学生思考后独立完成解答过程,小组内交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,并观察学生计算时的易错点,在点评小组代表的展示时强调易错点,课件展示正确解答过程.【课件展示】解:(1)质量70 75 80 85/g频数 2 5 6 7(2)×(70×2+75×5+80×6+85×7)=79.5(g).即这20个鸭蛋的平均质量是79.5 g.追问:当一组数据中某个数重复出现多次时,我们常怎样计算这组数据的平均数?(先整理数据,列出频数分布表,用简单方法计算平均数)思路二【师生活动】学生独立思考后,教师课件展示小明和小亮的计算方法,小组合作交流,判断他们谁的计算方法正确,并说明理由,教师对学生的展示进行点评,并总结相同的数重复出现多次的时候,计算平均数的方法.【课件展示】小明和小亮分别是这样计算平均数的.小明的计算结果:×(70+75+80+85)=77.5(g).小亮的计算结果:×(70×2+75×5+80×6+85×7)=79.5(g).你认为他们谁的计算方法正确?请和同学交流你的看法.(小亮的计算方法是正确的.由于70,75,80,85出现的频数不同,它们对平均数的影响也不同,所以,频数对平均数起着权衡轻重的作用)归纳:一组数据中某个数重复出现多次时,先整理数据,列出频数分布表,再用简单方法计算平均数.[设计意图]通过小组合作交流,探讨一组数据中某个数重复出现多次时的平均数的计算方法,加深对算术平均数的意义的理解,为下节课学习加权平均数做好铺垫.共同探究二用计算器求平均数【师生活动】学生自主学习课本中内容,然后小组内合作交流,共同归纳用计算器求平均数的方法,并互相出题用计算器求平均数,学生代表展示,教师点评,师生共同归纳用计算器求平均数的一般步骤.【课件展示】求“做一做”中20个数据的平均数的步骤如下(用A型计算器):步骤按键显示选择统计模式,进入一元统计状态MODE 2Stat x输入第1个数据70,频数27 0 , 2 DATA n=2输入第2个数据7 5 , 5 DATA n=775,频数5输入第3个数据8 0 , 6 DATA n=1380,频数6输入第4个数据8 5 , 7 DATA n=2085,频数7显示统计Rcl =79.5结果[设计意图]学生阅读计算器说明书后,小组合作交流操作方法,归纳操作步骤,培养学生自主学习能力和合作交流能力,同时培养学生归纳总结能力.[知识拓展]若要了解一组数据的平均水平,可计算这组数据的算术平均数,算术平均数与一组数据的每一个数据都有关系,当一个数据发生变化时,会影响整组数据的平均数,所以算术平均数的缺点是容易受个别特殊值的影响,有时不能代表一组数据的集中趋势.1.统计学是一门与数据打交道的学科,应用十分广泛.本章将要学习的是统计学的初步知识.2.求n个数据的平均数的公式.3.平均数的简化计算公式.4.用计算器求一组数据的平均数的步骤.1.2015年5月某日我国部分城市的最高气温统计如下表所示:城市武汉成都北京上海海南南京拉萨深圳气温/℃27 27 24 25 28 28 23 26这组数据的平均数是()A.24 ℃B.25 ℃C.26 ℃D.27 ℃解析:(27+27+24+25+28+28+23+26)÷8=208÷8=26(℃).故选C.2.在一次青年歌手大奖赛上,七位评委为某位歌手打出的分数如下(单位:分):9.5,9.4,9.6,9.9,9.3,9.7,9.0,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数是()A.9.2分B.9.3分C.9.4分D.9.5分解析:去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据是9.5,9.4,9.6,9.3,9.7,所以平均数是=9.5(分).故选D.3.若8个数的平均数是11,还有12个数的平均数是12,则这20个数的平均数是.解析:这些数之和为8×11+12×12=232,故这些数的平均数是=11.6.故填11.6.4.某老师为了了解学生周末利用网络进行学习的时间,在所任教班级随机调查了10名学生,其统计数据如表:时间/小时 4 3 2 1 0人数/名 2 4 2 1 1求这10名学生周末利用网络进行学习的平均时间.解:(4×2+3×4+2×2+1×1+0×1)=2.5(小时).即这10名学生周末利用网络进行学习的平均时间是2.5小时.第1课时共同探究一实际问题中平均数的计算做一做共同探究二用计算器求平均数一、教材作业【必做题】教材第5页习题A组第1,2题.【选做题】教材第5页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.数据a,a,b,c,a,c,d的平均数是()A. B.C. D.2.有m个数的平均数是x,n个数的平均数是y,则这m+n个数的平均数为()A. B.C. D.3.如果一组数据x1,x2,x3,x4的平均数是,那么另一组数据x1,x2+1,x3+2,x4+3的平均数是 ()A. B.+1C.+1.5D.+64.某次考试,5名学生的平均分是82,除学生甲外,其余4名学生的平均分是80,那么学生甲的得分是()A.84B.86C.88D.905.如果一组数据5,x,3,4的平均数是5,那么x=.6.一次数学测验,小红和小明的平均成绩是92分,小红和小芳的平均成绩是93分,三人的平均成绩是93分,则小明和小芳的平均成绩是分.7.一组数据1,2,3,x,y,z的平均数是4.(1)求x,y,z的平均数;(2)求4x+5,4y+6,4z+7的平均数.8.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一产品中,各抽出8件产品,对其使用寿命进行跟踪调查,结果如下:(单位:年)甲:3,4,5,6,8,8,8,10;乙:4,6,6,6,8,9,12,13;丙:3,3,4,7,9,10,11,13.试计算三个厂这三批灯泡的平均寿命并比较哪个厂生产的产品寿命最长.【能力提升】9.将一组数据中的每一个数减去50后,所得新的一组数据的平均数是2,则原来那组数据的平均数是()A.50B.52C.48D.210.若数据3,2,m,5,9,n的平均数为3,则m和n的平均数是.【拓展探究】11.某班在一次语文考试中,平均成绩是78分,男、女生各自平均成绩分别是81分、75.5分,求该班男、女生人数之比.【答案与解析】1.B(解析:根据平均数的定义可得这组数据的平均数为.故选B.)2.C(解析:m个数的平均数是x,则这m个数的和是mx,n个数的平均数是y则这n 个数的和是ny,则这m+n个数的和是mx+ny,根据平均数的定义,得这m+n个数的平均数是.故选C.)3.C(解析:由题意可得,则x1+x2+x3+x4=4,所以x1,x2+1,x3+2,x4+3的平均数是+1.5.故选C.)4.D(解析:设学生甲的得分为x,则x+4×80=5×82,解得x=90.故选D.)5.8(解析:根据平均数的计算公式可得5+x+3+4=4×5,解得x=8.故填8.)6.94(解析:设小红,小明和小芳的成绩分别为x分,y分,z分,根据题意可得x+y=2×92,x+z=2×93,x+y+z=3×93,解得x=91,y=93,z=95,所以小明和小芳的平均成绩是(93+95)÷2=94(分).故填94.)7.解:(1)由题意可得1+2+3+x+y+z=4×6,∴x+y+z=18,∴x,y,z的平均数为=6.(2)4x+5,4y+6,4z+7的平均数为=30.8.解:=6.5(年),=8(年),=7.5(年),∴乙厂生产的产品寿命最长.9.B(解析:设原来的数据为x1,x2,…,x n.由题意知新的一组数据的平均数=[(x1-50)+(x2-50)+…+(x n-50)]=[(x1+x2+…+x n)-50n]=2,∴(x1+x2+…+x n)-50=2,∴(x1+x2+…+x n)=52,即原来的那组数据的平均数为52.故选B.) 10.-0.5(解析:由题意知数据有6个,则有(3+2+m+5+9+n)=3,∴m+n=18-3-2-5-9=-1,∴m,n的平均数为-0.5.故填-0.5.) 11.解:设男生人数为m,女生人数为n,则有(m+n)×78=m×81+n×75.5,即78m+78n=81m+75.5n,∴3m=2.5n,∴m∶n=2.5∶3=5∶6.即该班男、女生人数之比为5∶6.本节课的重点是平均数的意义和作用,通过复习小学学过的平均数的概念及运算,为本节课的学习做好铺垫.平均数是反映数据集中趋势的量,在实际生活中应用广泛,通过比较两个不同品种小麦的单位面积产量,引出平均数的概念,在教学过程中学生通过自主学习、合作交流等活动获得新知,培养学生的读图能力,体会数形结合思想,让学生感受数学与实际生活的密切联系,提高应用意识.在“做一做”这一教学环节,让学生独立完成,小组内交流答案,由于出现相同的数据,所以教师先引导学生完成统计表,既复习了统计的知识,又为下节课学习加权平均数打下基础.整节课以教师引导、突出学生主体为主要形式,提高学生的学习能力.在教学过程中对平均数的意义的探索,由于小学已经熟悉平均数的计算,学生积极参与,课堂气氛活跃,在教师的引导下,学生顺利完成概念的形成及解决实际问题,但在用计算器计算的教学环节中,学生对计算器的应用不熟悉,对计算器的应用的学习没有足够的热情,教师给学生交流的时间也较短,所以完成效果不太好,在以后的教学中,教师应激发学生应用现代科技解决数学问题的兴趣.本节课是在小学对平均数有了初步认识的基础上,继续研究平均数的概念及计算,以生活实例导入新课,激发学生的学习兴趣,感受平均数在实际生活中的应用.以教材中比较两个不同品种的农作物的单位面积产量为问题情境,教师引导学生进行观察图形、独立思考、小组合作交流等数学活动,完成平均数概念的形成,不仅培养学生的读图能力,而且提高学生统计思想,使学生更深入地理解平均数的意义.在完成对平均数概念的认识后,通过“做一做”,让学生体会数据中有相同数据时计算平均数的方法,为学习加权平均数做好铺垫.在课堂上要重视学生学习能力的培养,突出以学生为主体的课堂.练习(教材第4页)2.解:(1)6名队员的平均身高是185 cm. (2)每名运动员身高与平均身高差的和是0.习题(教材第5页)A组1.解:(1)A厂电池连续使用时间的平均数为(40+48+40+42+43+45)=43(h);B厂电池连续使用时间的平均数为(40+50+45+46+46+52)=46.5(h). (2)B厂生产的电池质量可能更好些.2.解:全年级学生的平均分为≈82.1(分).B组1.解:(1)∵(12.8+12.4+12.2+13.1+12.7)≈12.6(s),(12.2+13.4+12.3+13.5+13.3+12.4+13.0)≈12.9(s).(2)∵12.6<12.9,∴从平均成绩的方面看,甲的实力更强一些.∵甲、乙的最好成绩都是12.2 s,∴从最好成绩方面看,两人的实力相当.2.解:∵(6×5+7×7+8×15+9×25+10×20)≈8.7(环),且8.7>8.4,∴乙的排名领先.关注统计与生活的密切联系统计与现实生活的联系是非常紧密的,这一领域的内容对学生来说应该是充满趣味性和吸引力的,在教学设计时要特别注意将统计的学习与实际问题紧密结合,选择典型的、学生感兴趣的和富有时代气息的现实问题作为例子,在解决这些实际问题的过程中,学习数据处理的方法,理解统计的概念和原理.课标的宏观理念的指导及教材具体素材的活泼灵动,为我们实施教学提供了理论与资源的支持.要通过丰富多彩的教学活动,使学生在解决实际问题的过程中,学会有关的统计知识和方法,体会统计的思想,同时也使学生感受到统计与实际生活的密切联系,以及统计在解决现实问题中的作用.让学生感受“现实的数学、有用的数学”.本节课先从学生熟悉的现实背景抽象出算术平均数的概念,然后在理解概念的基础上,解决有关平均数的实际问题,培养学生应用数学解决实际问题的能力.(1)求下列各组数据的平均数.A.1,2,3,4,5;B.11,12,13,14,15;C.10,20,30,40,50;D.3,5,7,9,11.(2)比较A与B,C,D的计算结果,你能发现什么规律?(3)若一组数据x1,x2,x3,…,x n的平均数为,那么另一组数据3x1-2,3x2-2,3x3-2,…,3x n-2的平均数为.解:(1)=3,=13,=30,=7.(2)A与B比较,B组中各数据比A组中对应各数据多10,所以+10=13.A与C比较,C组中各数据是A组中对应各数据的10倍,所以=10=30.A与D比较,D组中各数据是A组中对应各数据的2倍多1,所以=2+1=7.规律:若一组数据的每一个数都扩大为原来的k倍,则平均数扩大为原来的k 倍;若一组数据的每个数都加或减a,则平均数加或减a.(3)3-2第课时1.理解加权平均数的意义,了解“权”的含义.2.会计算一组数据的加权平均数.3.能说出算术平均数和加权平均数的联系和区别,并能利用它们解决一些现实问题.1.在实际问题情境中理解加权平均数的意义,体会数学与生活之间的密切联系.2.通过利用平均数解决实际问题,发展数学应用能力.3.通过探索算术平均数和加权平均数的联系和区别,发展求同和求异思维.1.通过解决实际问题,体会数学与自然及人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心.2.通过小组合作活动,培养学生的合作意识,激发学生学习兴趣,体验成功的快乐.【重点】加权平均数的计算及算术平均数与加权平均数的区别和联系.【难点】探索算术平均数和加权平均数的联系和区别.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P6~8.导入一:复习提问:1.什么叫算术平均数?。
2018年秋华师版数学九年级上教案精品全集
（ ）× 22 = 25
（ ）× 103 =107
（ ）× a3 =a7
一般地，设 m、 n 为正整数， m>n， a≠0，有 a m a n am n .
这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减。
4、利用除法的意义来说明这个法则的道理。 （让学生仿照问题 3 的解决过程，讲清道理， 并请几位同学业回答问题，教师加以评析） 因为除法是乘法的逆运算， am÷an=am-n 实际上是要求一个式子 （ ），使 an·（ ）= am
B ≠ 0。
分式没有意义
B=0 。
分式的值为 0
A=0 且 B≠ 0。
三、例题讲解与练习 例 1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
（1） 1 ； x
（2） x ； 2
（ 3） 2xy ； xy
例 2、 当 x 取什么值时，下列分式有意义？
x （ 1） x 2 ；
x1 （2） 4x 1 。
（4） 3x y . 3
而由同底数幂的乘法法则，可知
a an·
m-n
a＝
n+(m-n)
a
=
m
,
所以要求的式（
），即商为
m-n
a ，从而有
am
an
am n .
一、 例题讲解与练习巩固
例 1 计算： （1） a8÷a3;
（2） (- a) 10÷(- a) 3;
（3）(2 a) 7÷(2 a) 4;
（4）x6÷x
例 2 计算：（ 1）
.
例 4、下列等式的右边是怎样从左边得到的？
x2 xy （ 1） x 2
xy x
y1 （2） y 1
y2 2y 1 y 2 1 （y≠— 1）.
【最新】2018-2019学年最新湘教版九年级上册数学全册教案
5． 列出下列问题中的函数表达式 ， 并指出它们是什么函数．
(1) 某农场的粮食总产量为 1 500 t ， 则该农场人数 y(人 )与平均每人占有粮食 x(t) 的函数表达式；
(2) 在加油站 ，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升 变化而变化 ， 则总价 y(元 )与加油量 x(L) 的函数表达式；
本节课我们学习了反比例函数的定义
，并归纳总结出反比例函数的表达式为
y＝
k x
(k
为常数
，k ≠0)，
自变量 x 不能为零．还能根据定义和表达式判断某两个变量之间的关系是否是函数
， 是什么函数？
【预习导学】 知识探究
k≠ 0 反比例函数 自学反馈
自变量 因变量
③④⑤⑦ ③ y＝ 51x中 k ＝ 15；④ y＝－ 3x2中 k＝－ 32；⑤ xy＝ 3 中 k ＝ 3；⑦ xy＝－ 1 中 k ＝－ 1. 【合作探究】
C． x＜ 0
D ．一切实数
3． 若函数 y＝ kxk－2 是反比例函数 ， 则 k＝ ________.
6 4． 已知函数 y＝－ x， 当 x＝－ 2 时 ， y 的值是 ________．
5． 列出下列问题中的函数表达式 ， 并指出它们是什么函数．
(1) 某农场的粮食总产量为 1 500 t ， 则该农场人数 y(人 )与平均每人占有粮食 x(t) 的函数表达式；
4.75 元 ，总价从 0 元开始随着加油量的
(3) 小明完成 100 m 赛跑时 ， 时间 t(s)与他跑步的平均速度 v(m/s)之间的函数表达式．
活动 3 课堂小结
本节课我们学习了反比例函数的定义
，并归纳总结出反比例函数的表达式为
y＝
华东师大版_2017-2018年第一学期九年级数学初三上册全册教案(含教学反思)
二次根式21.1 二次根式【知识与技能】1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目.2.理解a（a≥0）是非负数和(a)2=a.3.理解2a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简.【过程与方法】1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(a)2=a（a≥0），最后运用结论严谨解题.3.通过具体数据的解答，探究并利用这个结论解决具体问题.【情感态度】通过具体的数据体会从特殊到一般、分类的数学思想，理解二次根式的概念及二次根式的有关性质.【教学重点】1.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.2. a（a≥0）是一个非负数；(a)2=a（a≥0）及其运用.3.【教学难点】利用“a（a≥0）”解决具体问题.关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出一、情境导入，初步认识回顾：当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根.当a是负数时，a没有意义.【教学说明】通过对算术平方根的回顾引入二次根式的概念.二、思考探究，获取新知概括：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平方等于a.即有：（1）a≥0；（2）(a)2=a（a≥0）.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.注意：在a中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数.思考：2a等于什么？我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3等，分别计算对应的2a的值，看看有什么规律.概括：当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a.三、运用新知，深化理解1.x取什么实数时，下列各式有意义？2.计算下列各式的值：【教学说明】可由学生抢答完成，再由老师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次根式的概念及有关性质：（1）(a)2=a（a≥0）；（2）当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.1.布置作业：从教材相应练习和“习题21.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课从复习算术平方根入手引入二次根式的概念，再通过特殊数据的计算，理解二次根式的有关性质，经历观察、归纳、分类讨论等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法.二次根式的乘除法1.二次根式的乘法【知识与技能】a•=ab（a≥b，b≥0）,并利用它们进行计算和化简.理解b【过程与方法】a•=ab（a≥0,b≥0）并运用它进行计算.由具体数据发现规律，导出b【情感态度】a•=ab（a≥0,b≥0），培养特殊到一般的探究精神，培养学生对事通过探究b物规律的观察发现能力，激发学生的学习兴趣.【教学重点】a•=ab（a≥0,b≥0），及它的运用.b【教学难点】a•=ab（a≥0,b≥0）.发现规律，导出b一、情境导入，初步认识1.填空：参照上面的结果，用“＞”、“＜”或“=”填空.2.利用计算器计算填空.a•=ab（a≥0,b≥0）.【教学说明】由学生通过具体数据，发现规律，导出b二、思考探究，获取新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律.教师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积.一般地，对二次根式的乘法规定为a•=ab（a≥0，b≥0）.：b【教学说明】引导学生应用公式a•=ab（a≥0,b≥0）.b三、运用新知，深化理解1.直角三角形两条直角边的长分别为15cm和12cm,那么此直角三角形斜边长是（）A.32cmB.33cmC.9cmD.27cm【答案】1.B 2.C 3.A 4.D【教学说明】可由学生抢答完成，再由教师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.a•=ab（a≥0,b≥0）.2.教师总结归纳二次根式的乘法规定b【教学说明】教师引发学习回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.a•=ab（a≥0,b≥0），这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出b并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣.积的算术平方根【知识与技能】a•（a≥0,b≥0）；1.理解ab=ba•（a≥0,b≥0）.2.运用ab=b【过程与方法】a•（a≥0,b≥0），并运用它解题和化简.利用逆向思维，得出ab=b【情感态度】a•（a≥0,b≥0）以训练逆向思维,通过严谨解题，增强学生让学生推导ab=b准确解题的能力.【教学重点】a•（a≥0,b≥0）及其运用.ab=b【教学难点】a•（a≥0,b≥0）的理解与应用.ab=b一、情境导入，初步认识a•=ab（a≥0,b≥0）.反过来，一般地，对二次根式的乘法规定为ba•（a≥0,b≥0）.ab=b【教学说明】引导让学生通过复习上节课学习的二次根式的规定，利用逆向思维，得出a•（a≥0,b≥0）.ab=b二、思考探究，获取新知例1化简：【教学说明】引导学生利用ab =b a •（a ≥0,b ≥0）直接化简即可. 例2判断下列各式是否正确，不正确的请改正:【教学说明】注意引导学生理解并掌握积的算术平方根应用的条件：a ≥0，b ≥0. 三、运用新知，深化理解1.化简：（1）20;（2）18;（3）24；（4）54.2.自由落体的公式为s=21gt 2（g 为重力加速度，它的值为10m/s 2），若物体下落的高度为120m ，则下落的时间是 s.【教学说明】可由学生自主完成分组讨论，小组代表汇报，再由老师总结归纳. 四、师生互动，课堂小结1.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.2.教师总结归纳积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即ab =b a •（a ≥0,b ≥0）.【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究、合作学习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力.二次根式的除法【知识与技能】 1.理解b a b a =（a ≥0,b ＞0）和bab a =（a ≥0,b ＞0），并运用它们进行计算. 2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式. 【过程与方法】1.先由具体数据，发现规律，导出b aba = (a ≥0,b ＞0），并用它进行计算. 2.再利用逆向思维，得出bab a =（a ≥0,b ＞0），并运用它进行解题和化简. 3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式. 【情感态度】 通过探究b aba =（a ≥0,b ＞0）培养学生由特殊到一般的探究精神；让学生推导bab a =（a ≥0,b ＞0）以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能力. 【教学重点】 1.理解b a b a =（a ≥0,b ＞0），bab a =（a ≥0,b ＞0）及利用它们进行计算和化简.2.最简二次根式的运用.【教学难点】发现规律，归纳出二次根式的除法规定.最简二次根式的运用.一、情境导入，初步认识（学生活动）请同学们完成下列各题.1.写出二次根式的乘法规定及逆向公式.2.填空：3.利用计算器计算填空：【教学说明】每组推荐一名学生上台阐述运算结果，最后教师点评. 二、思考探究，获取新知刚才同学们都练习得很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：b aba =（a ≥0,b ＞0） 反过来,bab a =（a ≥0,b ＞0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目. 例1 计算：【教学说明】 直接利用b aba =（a ≥0,b ＞0） 例2化简：观察上面各小题的最后结果，发现这些二次根式有这些特点：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中所含的因数（或因式）的幂的指数都小于2.【教学说明】利用二次根式的乘法、除法规定来化简，要求最后结果化成最简二次根式.三、运用新知，深化理解1.化简：3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的长.【教学说明】第1题可由学生自主完成，第2题、3题教师可给予相应的指导.四、师生互动，课堂小结请若干学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学突出学生主体性原则，即通过探究学习，指导学生独立思考，通过具体数据得出规律，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.二次根式的加减法【知识与技能】1.掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式.2.掌握二次根式加减乘除混合运算的方法.【过程与方法】通过二次根式的加减法运算培养学生的运算能力.【情感态度】形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题.【教学重点】二次根式加减法的运算.【教学难点】探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算.一、情境导入，初步认识1.合并同类项：（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2.解：（1）5x；（2）4x2.这几道题是你运用什么知识做的？加减法则.2.化简：3.如何进行二次根式的加减计算?先化简，再合并.4.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.如22与32；28、38与58.二、思考探究，获取新知例1计算：例2计算：【教学说明】进行二次根式的加减运算时，必须先将其化简，是同类二次根式才可合并.例3计算：【教学说明】在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.三、运用新知，深化理解.1.下列计算是否正确？为什么？【教学说明】这类计算的简便方法是先变形，再代入求值.四、师生互动，课堂小结请学生分组讨论，小组代表汇报，教师展示本节课学习的知识要点.1.布置作业：从教材相应练习和“习题21.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课通过复习整式的加减法合并同类项，引入二次根式的概念及二次根式的合并方法，对法则的教学与整式的加减比较学习，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.一元二次方程22.1 一元二次方程【知识与技能】1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a ≠0）.2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.【过程与方法】通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.【情感态度】通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.【教学重点】判定一个数是否是方程的根.【教学难点】由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.一、情境导入，初步认识问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0.（1）问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2）【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题.二、思考探究，获取新知思考、讨论问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？共同特点：（1）都是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0）.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项系数，c叫做常数项.例1判断下列方程是否为一元二次方程：解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.【教学说明】（1）一元二次方程为整式方程；（2）类似⑤这样的方程要化简后才能判断.例2 将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项.解:2x2-13x+11=0；2，-13，11.【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整.三、运用新知，深化理解1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.（1）5x2-1=4x（2）4x2=81（3）4x（x+2）=25（4）（3x-2）（x+1）=8x-3解：（1）5x2-4x-1=0；5，-4，-1；（2）4x2-81=0；4，0，-81（3）4x2+8x-25=0；4，8，-25（4）3x2-7x+1=0；3，-7，1.2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.解：（1）4x 2=25；4x 2-25=0； （2）x （x-2）=100；x 2-2x-100=0； （3）x=（1-x ）2；x2-3x+1=0.3.若x=2是方程ax 2+4x-5=0的一个根，求a 的值. 解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根. ∴4a+8-5=0解得：a=-43. 四、师生互动，课堂小结1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0（a ≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.3.在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.1”中选取. 2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.学习本课时，可让学生先自主探索再合作交流，小组内，小组之间充分交流后概括所得结论，从而强化学生对一元二次方程的有关概念的认识，掌握建模思想，利用一元二次方程解决实际问题.一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法【知识与技能】1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b （a ≠0,ab ≥0）的方程. 2.灵活应用因式分解法解一元二次方程. 3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用. 【过程与方法】创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.【情感态度】鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心.【教学重点】利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.【教学难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.一、情境导入，初步认识问：怎样解方程(x+1)2=256？解：方法1：直接开平方，得x+1=±16所以原方程的解是x1=15,x2=-17方法2：原方程可变形为：（x+1）2-256=0，方程左边分解因式，得（x+1+16）（x+1-16）=0即（x+17）（x-15）=0所以x+17=0或x-15=0原方程的解x1=15,x2=-17【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.二、思考探究，获取新知例1 用直接开平方法解下列方程（1）（3x+1）2=7;（2）y2+2y+1=24;（3）9n2-24n+16=11.【教学说明】运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根.例2 用因式分解法解下列方程：（1）5x2-4x=0（2）3x（2x+1）=4x+2（3）（x+5）2=3x+15【教学说明】解这里的（2）（3）题时，注意整体划归的思想.三、运用新知，深化理解1.用直接开平方法解下列方程（1）3（x-1）2-6=0（2）x2-4x+4=5（3）（x+5）2=25（4）x2+2x+1=42.用因式分解法解下列方程：3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地解：设小圆形场地的半径为xm.则可列方程2πx2=π（x+5）2.解得x1=5+52,x2=5-52（舍去）.答：小圆形场地的半径为（5+52）m.【教学说明】可由学生自主完成例题，分小组展示结果，教师点评.四、师生互动，课堂小结1.引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2.对于形如a（x-k）2=b（a≠0,b≥0）的方程，只要把（x-k）看作一个整体，就可转化为x2=n（n≥0）的形式用直接开平方法解.3.当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论，归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法，在整个教学过程中注意整体划归的思想.2.配方法【知识与技能】1.使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.2.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能.【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增加学生学习数学【教学重点】使学生掌握用配方法解一元二次方程. 【教学难点】发现并理解配方的方法.一、情境导入，初步认识问题要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2，场地的长和宽分别是多少？ 设场地的宽为xm ，则长为（x+6）m ，根据矩形面积为16m 2,得到方程x （x+6）=16,整理得到x 2+6x-16=0.【教学说明】创设实际问题情境，让学生感受到生活中处处有数学，激发学生的主动性和求知欲.二、思考探究，获取新知 探究如何解方程x 2+6x-16=0？问题1 通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明. 【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即（x+m ）2=n （n ≥0），运用直接开平方法可求解.问题2 你会用直接开平方法解下列方程吗？ （1）（x+3）2=25 （2）x 2+6x+9=25 （3）x 2+6x=16 （4）x 2+6x-16=0【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式，将x 2+6x-16=0转化为（x+3）2=25的形式，从而求得方程的解.解：移项得：x2+6x=16， 两边都加上9即（26）2,使左边配成x 2+bx+（b2）2的形式，得： x 2+6x+9=16+9,左边写成完全平方形式，得：（x+3）2=25,开平方,得：x+3=±5,（降次） 即x+3=5或x+3=-5 解一次方程得：x 1=2,x 2=-8.【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例1填空：（1）x 2+8x+16=（x+4）2（2）x 2-x+41=（x-21）2（3）4x 2+4x+1=（2x+1）2例2 列方程：（1）x 2+6x+5=0 （2）2x 2+6x+2=0 （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0【教学说明】教师可让学生自主完成例题，小组展示，教师点评归纳. 【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤： （1）把方程化为一般形式ax 2+bx+c=0； （2）把常数项移到方程的右边； （3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方形式，然后利用直接开平方法来解. 三、运用新知，深化理解 1.用配方法解下列方程： （1）2x 2-4x-8=0 （2）x 2-4x+2=0 （3）x 2-21x-1=0 2.如果x 2-4x+y2+6y+2 z +13=0，求（xy ）z 的值.【教学说明】学生独立解答，小组内交流，上台展示并讲解思路.四、师生互动，课堂小结1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中课时练习的“课时作业”部分.本节课先创设情境导入一元二次方程的解法，引导学生将要解决的问题转化为已学过的直接开平方法来解，从而探索出配方法的一般步骤，熟练运用配方法来解一元二次方程.公式法【知识与技能】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2.会熟练应用公式法解一元二次方程.【过程与方法】通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一步认识特殊与一般的关系.【情感态度】经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观点.【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用.【教学难点】一元二次方程求根公式的推导.一、情境导入，初步认识用配方法解方程：（1）x 2+3x+2=0 （2）2x 2-3x+5=0 解：（1）x 1=-1,x 2=-2 （2）无解 二、思考探究，获取新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题 已知ax 2+bx+c=0（a ≠0），试推导它的两个根【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a,b,c 也当成具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去.探究 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a,b,c 而定，因此: （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a,b,c 代入式子aac b b x 242-±-=就得到方程的根，当b 2-4ac ＜0时,方程没有实数根.（2）aac b b x 242-±-=叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式，体验获取知识的过程，体会成功的喜悦，可让学生小组展示.例1 用公式法解下列方程：①2x 2-4x-1=0 ②5x+2=3x2③（x-2）（3x-5）=0 ④4x 2-3x+1=0 解：①x 1=1+26,x 2=1-26②x 1=2,x 2=-31③x 1=2,x 2=35 ④无解【教学说明】（1）对②、③要先化成一般形式；（2）强调确定a,b,c 的值，注意它们的符号；（3）先计算b 2-4ac 的值，再代入公式.三、运用新知，深化理解 1.用公式法解下列方程： （1）x 2+x-12=0 （2）x 2-2x-41=0 （3）x 2+4x+8=2x+11 （4）x （x-4）=2-8x （5）x 2+2x=0（6）x 2+25x+10=0解：（1）x 1=3,x 2=-4; （2）x 1=232+,x 2=232-； （3）x 1=1,x 2=-3;（4）x 1=-2+6，x 2=-2-6； （5）x 1=0,x 2=-2; （6）无解.【教学说明】用公式法解方程关键是要先将方程化为一般形式. 四、师生互动，课堂小结 1.求根公式的概念及其推导过程. 2.公式法的概念.3.应用公式法解一元二次方程.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取. 2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察，交流与表述，体验知识的获取的过程，激发学生的学习兴趣，利用师生的双边活动，适时调试，从而提高学习效率.一元二次方程根的判别式【知识与技能】1.能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证；2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.【过程与方法】1.经历一元二次方程根的判别式的产生过程；2.向学生渗透分类讨论的数学思想；3.培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.【情感态度】1.体验数学的简洁美;2.培养学生的探索、创新精神和协作精神.【教学重点】根的判别式的正确理解与运用.【教学难点】含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.一、情境导入，初步认识用公式法解下列一元二次方程（1）x2+5x+6=0（2）9x2-6x+1=0（3）x2-2x+3=0解：（1）x1=-2,x2=-31（2）x1=x2=3（3）无解【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况，回顾已有知识.二、思考探究，获取新知观察解题过程，可以发现:在把系数代入求根公式之前，需先确定a,b,c 的值，然后求出b 2-4ac 的值，它能决定方程是否有解，我们把b 2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b 2-4ac.我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现：【归纳结论】（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根:a acb b x 2421-+-=,aac b b x 2422---=;（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根,x 1=x 2=-ab2; （3）当Δ＜0时，方程没有实数根.例1利用根的判别式判定下列方程的根的情况：解：（1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； （3）无实数根；（4）有两个不相等的实数根.例2 当m 为何值时，方程（m+1）x 2-（2m-3）x+m+1=0, （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？ 解：（1）m ＜41且m ≠-1; （2）m=41; （3）m ＞41.。
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九年义务教育湘教版九年级数学上册教案第 1 章一元二次方程
、
(1)()()=(y
第 1 章一元二次方程
将下列各题中唯一正确答案的序号填在题后的括号内。
x=
+2=0 B、x
三、用直接开平方法解下列方程（每题
8－x)2=a2+1
－
= ，
+x+ =0；。
= ，x
+2x－5=0；
(1) (x+ )1)2=－4
由此可得方程(2)有两个不相等的实数根，方程(3)没
组第2，3题。
教学反思
x= (b－4ac
一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方
(x+ ) =0
有实数解吗？试讨论方程x2+x+1=0
+ =3x2－
的值判定一元二次方程根的情况时，
3x+ =0
³ =0
³
－4
³矩形面积；
－（不合题意，舍去）= －－
＞
，请你画出设计图，x)= ³
米的道路，则依题意= ³
160x+375=0
）2=4 D
+3= y 4=0
）中主程左边有因式x－1
）中程左边是平方差形式，既可用平方差公式分解因的方法求解，又可用先移
，再求方程的解，
=
）中方程可化为x1= ，x2= ）中方程是一元二次方程的一般形式，且左边不易分解因式，因此可用公式法－ + －－ +
x + ）
x+ ）=0 + x=0
升，第一次倒出后剩下的纯精为63－浓度是 第二次倒出纯酒精 ²
）－
）－ =28 － ）=28 ）－ =
（不合题意，舍去）－ =
第 2 章命题与证明
第 2 章命题与证明
证明：因为将纸片沿直线EF折叠后，点A与点重合，所以EF是线段AD的对称轴。
∴EF⊥AD（对称轴垂直平分连结两个对称点之间的
1、会正确表述证明的过程
2、会判断如何证明角、边相等，两直线平行
3、学会用证明的两种思考方法，特别要体验逆向
（2）教材P61引入．
（3）相似图形概念：把形状相同的图形说成是相似图形．（4）让学生再举几个相似图形的例子．
（答：相似图形分别是：(1)和(8)；(2)和(6)；(3)和(7) ）
第 3 章图形的相似
板书设计教学反思
五、小结
1、黄金分割与黄金分割点。